原子核物理实验方法

第一章放射性测量中的统计学放射性事件与核事件，例如核衰变、带电粒子在介质中损耗能量产生电子—离子对、 射线或中子与物质相互作用产生带电粒子等，在一定时间间隔内事件发生的数目和某一事件发生的时刻都是随机的，即具有统计涨落性。

因此在实验测量中，一定时间内测到的核事件数目或某种核事件发生的时刻也总是随机的。

了解放射性事件随机性方面的知识，一方面可以检验探测器的工作状态是否正常，分析测量值出现的不确定性是出于统计性原因还是仪器本身有其他误差因素，另一方面可对所测得的计数值进行一些合理校正，给定正确的误差范围，这对以后分析掌握辐射探测器的性能，安排实验测量是很有必要的，本章着重讨论在放射性测量中常遇到的一些统计涨落问题。

第一节核衰变数和计数的统计分布在放射性测量中，即使所有实验条件都是稳定的，如源的放射性活度、源的位置、源与探测器间的距离、探测器的工作电压等都保持不变，在相同时间内对同一对象进行多次测量，每次测到的计数并不完全相同而是围绕某个平均值上下涨落，这种现象称为放射性计数的统计涨落。

这种涨落不是由观测者的主观因素（如观测不准确）造成的，也不是由测量条件变化引起的，而是微观粒子运动过程中的一种规律性现象，是放射性原子核衰变的随机性引起的。

在放射性核衰变中，N个原子核在某个时间间隔内衰变的数目n是不确定的，这就引0起了放射性测量中计数的涨落，它服从统计分布规律。

另一方面，原子核衰变发出的粒子能否被探测器所接收并引起计数，也有统计涨落问题，即探测效率的随机性问题。

下面我们根据数理统计的理论分别讨论其规律性。

一、核衰变的统计分布假定在0t =时刻有0N 个不稳定的原子核，在某一时间t 内将有一部分核发生衰变。

先考虑一个原子核的情形。

假如在某一短时间间隔 t ∆内放射性原子核衰变的概率t P ∆与此原子核过去的历史和现在的环境无关，则t P ∆正比于t ∆，因此t P t λ∆=∆比例常数λ是该种放射性核素的特征值，因为衰变与不衰变是两种互相排斥的事件，两者概率之和为1，所以该原子核经过t ∆未发生衰变的概率是11t t q P t λ∆∆=-=-∆若将时间t 分为许多很短的时间间隔t ∆，则/t t i ∆=，那末该原子核经过2t ∆未发生衰变的概率为：2(1)(1)(1)t t t λλλ-∆-∆=-∆经过t 时间后未发生衰变的概率为：(1)(1)i i t t iλλ-∆=- 令i →∞，则0t ∆→，我们有：lim[1()]i t i t e iλλ-→∞+-= 所以一个放射性原子核经过t 时间后未发生衰变的概率为t e λ-，那末对于0t =时刻的0N 个原子核，在经过t 时间后未发生衰变的原子核数目为：0t N N e λ-= 1.1放射性核衰变服从的三种最基本的分布规律，即二项式分布，泊松分布，高斯分布（正态分布）。

1．二项式分布二项式分布是最基本的统计分布规律，它广泛地适用于许多随机过程，只要在某个随机过程中具有恒定的事件发生概率。

放射性原子核的衰变可以看成数理统计中的伯努利试验问题：在0t =时的0N 个原子核中，任何一个核在t 时间内衰变的概率为1t P e λ-=-，不衰变的概率为1t q P e λ-=-=，显然，1P q +=。

这样的情形服从二项式分布，在t 时间内发生核衰变数为n 的概率为：000!()(1)()!!N n n N P n P P N n n -=-- 1.2 即000!()(1)()()!!n n t n t N P n e e N n n λλ---=-- 1.3 对任何一种分布，有两个最重要的数字特征。

一个是数学期望值()E n （简称期望值，在物理中有时也称平均值，用m 表示），它表示随机变数n 取值的平均值；另一个是方差()D n ，又常用2σ表示，它表示随机变数n 取值相对于期望值()E n 的离散程度。

方差的开方根值称均方根差，用σ表示。

对以上的二项式分布，相应的期望值分别为：00(1)t m N P N e λ-==- 1.4200(1)(1)t t t N P P N e e me λλλσ---=-=-= 1.5假如1t λ，即时间t 远小于半衰期，可不考虑源活度的变化时，上式可简化为：2,m σσ==或 1.6 在m 数值较大时，由于n 值出现在平均值m 附近的概率较大，即涨落||m n m -，所以上式还可以简化为：σ≈ 1.7即σ可用任意一次观测到的衰变核数代替其平均值来进行计算。

二项式分布有两个独立的参数0N 和P ，用起来很方便，而且计算较复杂。

对于放射性核衰变来说，0N 总是一个很大的数目，在这种情况下，二项式分布可以简化为泊松分布或高斯分布。

2．泊松分布在二项式分布中，当0N 很大，且1t λ时，则有：11t P e λ-=-，这样，00m N P N =，这就意味着n 与m 和0N 相比足够小。

则在平均值m 附近的n 值，可得到：0000000!(1)(2)(1)()!n N N N N N n N N n =---+≈- 1.8a000(1)()N n N n N P P P e e -----≈≈ 1.8b 将上式代入（1.2）式，并注意到0m N P =，就得到：00()!!n nN P n m N m P n P e e n n --≈= 1.9 于是二项式分布即过渡到泊松分布。

对于0N 不小于100，而P 不大于0.01时，泊松分布能很好地近似于二项式分布。

在泊松分布中，n 取值范围为所有正整数(0,1,2,3)，并在n m =附近时，()P n 有较大值。

泊松分布中只存在一个参数，即平均值m ，0m N P =。

当m 较小时，分布是不对称的；若m 较大时，分布逐渐趋于对称，如图1.1所示，泊松分布的均方根差σ为：21/21[()()]n n m P n σ∞==-=∑ 1.103．高斯分布高斯分布又称正态分布，当1m 时，二项式分布可以简化为高斯分布：222()()22()n m n m m P n σ----== 1.11式中，σ=，其期望值与方差为：()E n m = 1.122()D n m σ==高斯分布是对称的，一般当20m ≥时，泊松分布就可以用高斯分布来代替了。

图1.2中列出了当20m=时这两种分布的图形，可见它们已经很相近了。

此外，在二项式分布与泊松分布中，n是离散性随机变数，只限于取整数值。

但对高斯分布来说，n可以是离散变数，不限于只取整数值，也可以是连续型随机变数。

所以（1.11）式的()P n可理解为在n 处的概率密度函数。

此时，()P n可以写成：22()1212()n mnnP n dnσ--+-=⎰ 1.13 在用正态分布计算时，必须正确写出积分限。

例如原子核衰变数在某一数值区间12[,]n n内的概率为2221()1221122()n mnnP n n n dnσ--+-≤≤=⎰ 1.14a 当n很大时，为计算方便，可用下式代替：2221()212()n mnnP n n n dnσ--≤≤=⎰ 1.14b 实际使用时，这一积分一般不直接计算，通常利用现成的高斯分布积分数值表。

表格中给出了对应于z的函数值()zφ22()zzz e dzφ-= 1.15 为了计算（1.14）式，需要作如下的变量置换（称为标准化），令：,n m dnz dzσσ-==于是得：22121212()()zzzP n n n P z z z e dz-≤≤=≤≤= 1.16 注意到函数()zφ的奇对称性，当计算()zφ-时，可利用如下的关系式：()()z zφφ-=- 1.17 下面举两个例子：例1 若在时间t内，放射源放出粒子的平均值为100m=。

试求：①在相同时间内放出108个粒子的概率；②出现绝对偏差||6m n->的概率。

解：①因100m=，则10σ===，代入（1.11）式：2(108100)/210(108)0.03P n--⨯==≈②进行变量置换，即1061000.6010n mzσ--===。

查表(0.60)0.2258φ=，所以放出粒子数的偏差||6m n->的概率为：1(94106)1(0.600.60)12(0.60)120.22580.55P n P zφ-≤≤=--≤≤=-=-⨯≈例 2 设衰变核素平均值为m ，求其观测值落在m m m ±±±解：所求概率为(()()()2()P m n m P k z k k k k φφφ-≤≤+=-≤≤=--=。

对本题来说，k 分别相当于1，2，3。

查表可知，相应的概率分别为0.683,0.955,0.997。

从以上讨论可以看出，原子核衰变的随机变数服从最基本的二项式分布。

但是对于一般的核衰变来说，有较大的0N 及较小的衰变概率P ，此时二项式分布可简化为泊松分布。

当核衰变数的平均值0m N P =较大时，泊松分布又可以进一步简化为正态分布。

二、计数的统计分布原子核发生衰变后，我们要用探测器对衰变产生的粒子进行探测，只有被探测器接收并能引起计数的事件才为人们所感知。

但是，一方面，并不是所有的核衰变事件都能进入探测器中；另一方面，每个进入到探测器中的粒子可能被记录下来，也可能不被记录下来。

即粒子的探测也是一个随机过程。

我们用类似上面对原子核衰变的统计分布的讨论，进一步说明放射性测量计数的统计分布。

为讨论方便，假定在某时间间隔内放射源衰变发出的N 个粒子全部入射到探测器上，探测器对入射粒子的探测效率为ε，即每个入射粒子引起探测器计数的概率为ε，未引起计数的概率为(1)ε-，这相当于一个伯努利试验。

这N 个入射粒子引起的计数为n ，n 也是一个随机变数，它服从的分布为!()(1)()!!n N n N P n N n n εε-=-- 1.18以上n 所服从的分布形式与二项式分布相同，但进入探测器的粒子数N 不是一个常数，而是一个随机变数。

假定N 服从泊松分布：()!NM M P N e N -= 1.19 其中，M 是入射粒子数N 的期望值。

进一步考察（1.18）式，被探测粒子数n 服从二项式分布的条件是N 为一确定值，换句话说，在有N 个粒子入射的条件下，被探测的粒子数的条件概率服从二项式分布，将（1.18）式改写为：!(/)(1)()!!n N n N P n N N n n εε-=-- 1.20 现在入射粒子数N 也是一个随机变数，根据全概率公式，可以推的n 的概率密度分布：!()(/)()(1)()!!()(1)!()!N n N n MN n N n n N n N n M N n N M P n P n N P N e N n N M M e n N n εεεε∞∞--==--∞-===---=-∑∑∑令i N n =-，则(1)0()(1)()()!!!()!M ni i nM M i n M M M M P n e e e n i n M e n εεεεεε∞---=--===∑ 1.21从上式可以看出，当入射到探测器的粒子数N 服从平均值为M 的泊松分布时，引起的探测器的计数n 服从平均值为M ε的泊松分布，其方差2σ也为M ε。