梯度法
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matlab梯度算法
matlab梯度算法Matlab梯度算法在数学和计算机科学中，梯度是指一个多元函数在某一点上的变化率或斜率。
梯度算法是一种优化算法，用于找到函数的最小值或最大值。
在Matlab中，有多种方法可以使用梯度算法来优化函数，包括梯度下降和共轭梯度法。
本文将详细介绍Matlab中的梯度算法，并逐步讲解其原理和应用。
I. 梯度下降法梯度下降法是一种基于迭代的优化算法，通过计算函数的梯度来更新参数的值，以逐步接近函数的最小值。
在Matlab中，可以使用"gradientDescent"函数来实现梯度下降法。
1. 实现梯度下降法首先，我们需要定义一个优化目标函数，例如：f(x) = x^2 + 2x + 1。
然后，定义其梯度函数为g(x) = 2x + 2。
接下来，我们可以使用以下代码来计算梯度下降：matlab定义优化目标函数f = (x) x^2 + 2*x + 1;定义梯度函数g = (x) 2*x + 2;初始化参数x0 = 0;设置学习率和迭代次数alpha = 0.01;iterations = 100;梯度下降法for i = 1:iterationsx0 = x0 - alpha * g(x0);end打印最优解disp(['Optimal solution: ', num2str(x0)]);在这个例子中，我们使用了学习率(alpha)为0.01，迭代次数(iterations)为100。
通过不断更新参数x0的值，最终得到了最优解。
2. 梯度下降法的原理梯度下降法的核心思想是利用函数在当前点的梯度信息来更新参数的值，以便能够向着函数的最小值前进。
具体来说，算法的步骤如下：a. 初始化参数的值：选择一个初始参数的值作为起始点。
b. 计算梯度：计算函数在当前点的梯度，即求解函数关于参数的偏导数。
c. 更新参数：根据当前点的梯度和学习率，通过减去梯度的乘积来更新参数的值。
梯度方法
长取常值αk ≡ α,且
2 α ∈ (0, M ),
在算法1中ϵ = 0. 则由算法1生成的点列{xk}满足
∥xk+1 − x∗∥ ≤ qk∥x1 − x∗∥,
其中x∗是f 的唯一极小点,
{
}
q = max |1 − αm|, |1 − αM | < 1.
最速下降方法
最优化方法 16
证明
由∇f (xk) = ∇f (xk) − ∇f (x∗) = Gk(xk − x∗)其中 ∫1
f (xk+1) ≤ f (xk) − 1 ∥∇f (xk)∥2. 2M
最速下降方法
最优化方法 23
应用引理1,由此不等式可得 f (xk+1) − f (x∗) ≤ [f (xk) − f (x∗)] − m (1 + m )[f (xk) − f (x∗)]
2M M ≤ ρ[f (xk) − f (x∗)].
k→∞
最速下降方法
最优化方法 11
证明
对第k步,用中值定理得存在θ ∈ [0, 1], f (xk+1) = f (xk + αdk) = f (xk) + α⟨∇f (x¯), dk⟩,
其中x¯ = xk + θαdk. 于是
f (xk+1) = f (xk) + α⟨∇f (xk), dk⟩ + α⟨∇f (x¯) − ∇f (xk), dk⟩ ≤ f (xk) + α⟨∇f (xk), dk⟩ + α∥∇f (x¯) − ∇f (xk)∥∥dk∥ ≤ f (xk) − α∥∇f (xk)∥2 + αM ∥xk − x¯∥∥∇f (xk)∥ ≤ f (xk) − α∥∇f (xk)∥2 + M α2∥∇f (xk)∥2 = f (xk) − α(1 − M α)∥∇f (xk)∥2. (1)
梯度法
A1=A0+△A0 推广到一般的k+1次构造矩阵
Ak+1=Ak+△Ak
矩阵序列的 基本迭代式
△Ak称为校正矩阵
拟牛顿条件
设F（x）为一般形式n阶的目标函数，并具有连续的一、二 阶偏导。在点 处的二次泰勒近似展开
该近似二次函数的梯度是
沿g(k)方向一维搜索，
求最优步长(k)。
x(k+1)= x(k)- (k) g(k)
出口
例 8-4 用最速下降法求解下列问题
min f (x) 2x12 x22 ，
给 定 初 始 点 x(1) (1, 1)T , 1 ．
10
解 目 标 函 数 f (x) 的 梯 度 及 x(1) 处 的 最 速 下 降 方 向 为
f(xk+1)
>
阻尼牛顿法
对原始牛顿法的改进
为解决原始牛顿法的不足，加入搜索步长(k)
因此，迭代公式变为：
x (k+1) = x (k) - (k) Hk-1gk 这就是阻尼牛顿法的迭代公式，最优步长(k)也称
为阻尼因子，是沿牛顿方向一维搜索得到的最优步 长。
牛顿法算法步骤
⑴任选初始点 ，给定精度ε，置k←0 ⑵计算 点的梯度矢量及其模
(x)=
x (k)
gk+
Hkx=0
得 x (k+1) = x (k) - Hk-1gk
即牛顿法迭代公式，方向- Hk-1gk称为牛顿方向
三、原始牛顿法的特点
若用原始牛顿法求某二次目标函数的最优解，则 构造的逼近函数与原目标函数是完全相同的二次式， 其等值线完全重合，故从任一点出发，一定可以一次 达到目标函数的极小点。
二、 确k定的方确法定自学，不作要求。记住
最速下降法原理及例题实例
−1 1
=
G
αk
=
g1d1 + g2d2 3d12 + d22 − 2d1d2
[ ] [ ] 取 X (1) = (0, 0)T ，则 ∇f ( X (1) ) = −2, 0 T ，所以 d (1) = −∇f ( X (1) ) = 2, 0 T ，
因此
α1
=
22 3× 22
=
1 3
[ ] [ ] X (2) = X (1) + α1d (1) =
=
1 + 4x1 + 2x2 −1+ 2x1 + 2x2
∂(x2 )
∇f
(X
(1) )
=
1 −1
令搜索方向 d (1)
=
−∇f
(X
(1) )
=
−1 1
再从
X
(1) 出发，沿
d (1) 方向作一维寻优，令
步长变量为 λ
，最优步长为 λ1 ，则有
X
(1)
+
λd (1)
=
0 0
+
λ
−1 1
min f ( X ) = (x1 − 2)4 + (x1 − 2x2 )2
其中 X = (x1, x2 )T ，要求选取初始点 X 0 = (0, 3)T ，终止误差 ε = 0.1.
解：因
∇f ( X ) = [4(x1 − 2)3 + 2(x1 − 2x2 ), −4(x1 − 2x2 )]T
∇f (x∗ ) = 0源自(二)最速下降法的基本思想和迭代步骤
最速下降法又称为梯度法，是 1847 年由著名数学家 Cauchy 给出的。他是解析法中最古老的一 种，其他解析方法或是它的变形，或是受它的启发而得到的，因此它是最优化方法的基础。
地电位梯度法
地电位梯度法
地电位梯度法是一种地质勘探方法，通过测量地面上的电位变化来了解地下的岩层结构和地下水的情况。
这种方法利用了地下岩层导电性和地下水的电性差异，通过测量地面上的电位变化来推断地下岩层结构和地下水的情况。
地电位梯度法的原理是利用地下岩层的电性差异和地下水的存在对地面上的电位产生影响。
当地下存在导电性差异的岩层或者地下水时，会导致地面上的电位发生变化。
通过在地面上布设电极，可以测量这些电位变化，从而推断地下岩层结构和地下水的情况。
地电位梯度法在地质勘探中具有重要的应用价值。
首先，它可以用来勘探地下水资源。
地下水含有溶解的矿物质和离子，因此具有一定的电性，通过地电位梯度法可以推断地下水的存在和分布情况，为地下水资源的开发和管理提供重要的数据支持。
其次，地电位梯度法可以用来勘探矿产资源。
地下的矿层通常具有较高的电导率，通过地电位梯度法可以推断地下矿层的存在和分布情况，为矿产资源的勘探和开发提供重要的信息。
此外，地电位梯度法还可以用来
勘探地下岩层结构，例如地下岩层的断裂带和构造变形等情况，为地质灾害防治和地质工程设计提供重要的参考依据。
总之，地电位梯度法是一种重要的地质勘探方法，通过测量地面上的电位变化来推断地下岩层结构和地下水的情况。
它在地下水资源勘探、矿产资源勘探和地质灾害防治等方面具有重要的应用价值，为地质勘探和地质工程提供了重要的技术手段。
梯度算法的实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的1. 理解梯度算法的基本原理和适用场景。
2. 掌握梯度算法的编程实现。
3. 分析梯度算法在不同问题上的性能表现。
二、实验内容本次实验主要研究了梯度算法在求解凸优化问题和非线性优化问题中的应用。
实验内容包括：1. 梯度算法的基本原理和公式推导。
2. 梯度算法的编程实现。
3. 实验数据及实验结果分析。
三、实验原理1. 梯度算法的基本原理梯度算法是一种优化算法，用于求解凸优化问题和非线性优化问题。
其基本思想是：在当前点附近，沿目标函数梯度的反方向进行搜索，以寻找目标函数的最优解。
2. 梯度算法的公式推导假设目标函数为 f(x)，其中 x 是 n 维向量，梯度 g(x) 表示目标函数在 x 点的梯度。
梯度算法的迭代公式如下：x_{k+1} = x_k - α g(x_k)其中，α 为学习率，控制搜索步长。
四、实验环境1. 操作系统：Windows 102. 编程语言：Python3. 库：NumPy、SciPy、Matplotlib五、实验数据1. 凸优化问题：f(x) = (x - 2)^2 + (y - 3)^22. 非线性优化问题：f(x) = sin(x) + cos(y)六、实验步骤1. 编写梯度算法的 Python 代码。
2. 运行代码，求解凸优化问题和非线性优化问题。
3. 分析实验结果，比较不同学习率对算法性能的影响。
七、实验结果与分析1. 梯度算法在凸优化问题上的表现实验结果显示，梯度算法在求解凸优化问题时具有较高的收敛速度和精度。
随着迭代次数的增加，目标函数值逐渐减小，最终收敛到最优解。
2. 梯度算法在非线性优化问题上的表现实验结果显示，梯度算法在求解非线性优化问题时也具有较好的收敛性能。
然而，由于目标函数的非线性特性，算法的收敛速度相对较慢。
3. 学习率对算法性能的影响实验结果表明，学习率对梯度算法的性能有显著影响。
当学习率过大时，算法可能会越过最优解；当学习率过小时，算法的收敛速度会变慢。
梯度法最速下降法
4. 令 x k 1 x k k d k , 令 k : k 1 , 转2。
2 2 例. 用最速下降法求解 : min f ( x ) x1 3 x2 , 设初始点为 x 1 ( 2 , 1 )T ,
求迭代一次后的迭代点 x 2 。
解： f ( x ) ( 2 x1 , 6 x 2 )T ,
n 次迭代必可得到最优解 。
如何选取一组共轭方向？
2. 共轭梯度法
Fletcher R eeves 共轭梯度法:
1 T x Ax bT x c 2 其中 x R n , A是对称正定矩阵， b R n， c 是常数。 min f ( x)
基本思想： 将共轭性和最速下降方 向相结合，利用已知迭 代点
向量，则这个向量组线性无关。
证明
设存在实数 1 , 2 ,, k ，使得
i 1
id 0,
T
k
i
上式两边同时左乘 d j A ，则有
i 1 k
id
k
jT
Ad i 0 ,
因为 d 1 , d 2 ,, d 是 k 个 A 共轭的向量，所以上式可化简为
jd
j
jT
Ad j 0 .
d 1 f ( x 1 ) ( 4 , 6 )T . x 1 d 1 ( 2 4 , 1 6 )T . 令 ( ) f ( x 1 d 1 ) ( 2 4 ) 2 3 ( 1 6 ) 2 ，
求解
min ( )
d (1)T Ad ( 2) 0,
即等值面上一点处的切 向量与由这一点指向极小点的向量关于A 共轭。
1 T x Ax bT x c ， 2 其中 A 是 n 阶对称正定矩阵。 d (1) , d ( 2 ) ,, d ( k ) 是 一组A共轭向量。
梯度法的原理
梯度法的原理
梯度法是一种优化算法，用于找到函数的最小值或最大值。
它利用了函数的偏导数来确定函数在给定点的变化方向，并根据方向的陡峭程度来调整步长。
该算法的基本原理是通过迭代的方式不断更新当前点的位置，直到找到函数的极值点为止。
具体而言，梯度法使用函数的偏导数来确定当前点的梯度值，即函数在该点的变化方向。
然后根据梯度的方向和大小来更新当前点的位置，以此来逐步接近函数的极值点。
梯度法的更新公式如下：
x_new = x_old - learning_rate * gradient
其中，x_new是更新后的点的位置，x_old是当前点的位置，learning_rate是一个称为学习率的超参数，用来控制每次更新
的步长，gradient是函数在当前点的梯度值。
通过不断迭代上述更新公式，梯度法可以逐步接近函数的最小值点。
然而，梯度法并不保证能够找到全局最小值，而可能收敛到局部最小值。
因此，在应用梯度法时需要注意选择合适的初始点和调整学习率等超参数，以提高找到全局最小值的概率。
除了基本的梯度下降法，还有一些变种算法，如随机梯度下降法（SGD）和批量梯度下降法（BGD）。
它们在样本选择和
更新方式上有所区别，但基本原理相同。
梯度法在各个学科领域都得到了广泛的应用，尤其是在机器学习和深度学习等领域中被广泛采用。
密度梯度法原理
密度梯度法原理密度梯度法是一种用于测量流体密度变化的方法。
它基于流体在重力场中的行为，利用密度差异来推断流体的性质和特征。
该方法在地球科学领域广泛应用于地下水和石油勘探、地质构造研究等领域。
密度梯度法的基本原理是根据流体密度随深度的变化来推断地下流体的性质。
在地球重力场中，流体受到重力作用会产生密度梯度，即密度随深度的变化。
根据阿基米德原理，密度高的流体会向下运动，密度低的流体则向上运动。
因此，通过观察密度梯度的变化，可以推断地下流体的性质。
密度梯度法通常使用密度差异较大的物质作为示踪剂，注入到地下流体中。
示踪剂的密度通常比地下流体的密度高或低，以便观察到密度梯度的变化。
在注入示踪剂之后，通过观测示踪剂在地下的分布和运动，可以推断出地下流体的性质和分布。
密度梯度法的具体实施过程包括示踪剂的选择与注入、观测与分析等步骤。
首先，选择合适的示踪剂，使其密度与地下流体的密度差异较大，并且具有较好的稳定性和可观测性。
然后，将示踪剂注入到地下流体中，并通过观测井或其他观测手段，实时或定期监测示踪剂的分布和运动。
观测示踪剂的分布和运动可以使用不同的方法，如地下水位监测、地下水化学分析、地电阻率测量等。
这些观测数据可以用于构建密度梯度模型，并通过数学模拟和数据分析方法，推断地下流体的性质和分布。
密度梯度法在地下水和石油勘探中有着重要的应用。
在地下水领域，通过监测地下水中的示踪剂，可以推断地下水流动的路径和速度，帮助解决地下水污染和资源管理等问题。
在石油勘探中，密度梯度法可以用于识别油气藏的边界和储量分布，为油田开发提供重要的依据。
除了地下水和石油勘探，密度梯度法还可以应用于地质构造研究、环境地质调查、地质灾害预测等领域。
通过观测地下流体的密度梯度变化，可以揭示地下介质的性质和结构，为地质研究和工程建设提供重要的参考依据。
密度梯度法是一种基于流体密度变化的方法，通过观测密度梯度的变化来推断地下流体的性质和分布。
该方法在地下水和石油勘探、地质构造研究等领域具有重要的应用价值。
梯度法
2 x1 f ( x1 , x2 ) 8 x 2 f ( x(0) ) (2,8)T
f ( x (0) ) 8.24621
d (0) f ( x(0) ) (2, 8)T x(1) x(0) 0d (0) , 其中0由min f ( x(0) d (0) ) min(1 2 )2 4(1 8 )2
1 2 0.73846 x 0.13077 1 8 0.04616
(1)
f ( x(1) ) (1.47692, 0.36923)T
f ( x (1) ) 1.52237
d (1) f ( x(1) ) (1.47692,0.36923)T
形的；对于高维的非线性函 数，接近极值点处，容易陷 入稳定的锯齿形搜索路径。
四、梯度法的例题
试用梯度法求
2 的极小点。迭代两次，计算各迭代点的函数值、梯 f ( x1, x2 ) x12 4x2
度、及其模，并验证相邻两个搜索方向是正交的。 解：设初始点为
x(0) . (1,1)T
由 x(0) (1,1)T
f ( x(2) ) 0.06134 f ( x(2) ) (0.22152,0.88608)T
f ( x ( 2) ) 0.91335
d (2) (0.22152, 0.88608)T
验证d 和d 及d 和d 的正交性：
0 1 1 2
d
d
(1)T
d (0) (1.47692)(2) (0.36923)(8) 0
k arg min f ( x( k ) k d ( k ) )
于是，就有
df ( x ( k ) d ( k ) ) k f ( x ( k 1) )T d 0 d
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基本思想 1、任一点的负梯度方向是函数值在该点下降最快的方向。 2、将n维问题转化为一系列沿负梯度方向用一维搜索方法 寻优的问题。 3、利用负梯度作为搜索方向，故称最速下降法或梯度法。
收敛准则
|| f ( x (k) ) ||
梯度法（最速下降法）：
1. 搜索方向：pk f (xk ) ,也称为最速下降方向；
最速下降法的收敛性
性质. 证明
设 f ( x) 有一阶连续偏导数，若步长 k 满足
f
(xk
kd k
)
min
f
(xk
d k
)
则有 f ( xk kd k )T d k 0。
令 ( ) f ( xk d k )，所以
( ) f ( xk d k )T d k .
f
(xk
kd k )
min
梯度法的内容
几个概念
1、梯度：f(x)是定义在Rn上的可微函数，称以f(x)的n个偏导
数为分量的向量，为f(x)的梯度，记作▽ f(x)即：
T
f(x)
f(x x1
)
,
f(x) x2
,,
f(x xn
)
2、梯度向量：
f
Hale Waihona Puke ( x0 )f (x0 ) x1
,
f (x0 ) x2
,
,
f (x0 ) xn
T
上式即为为f(x) 在x0处的梯度向量。
3、梯度▽ f(x)的模：
|| f (x) ||
f (x) x1
2
f (x) x2
2
,
,
f (x) xn
2
梯度法的基本原理
由高等数学知识知道任意一点的负梯度方向是函数值 在该点下降最快的方向，那么利用负梯度作为极值搜索方 向，达到搜索区间最速下降的目的。
而由极值点导数性质，知道该点的梯度▽f(x)=0，故而其终止条件也就 是梯度逼近0，也就是当搜索区间非常逼近极值点时。
f
(xk
pk
)。
4. 令 xk1 xk k pk ,令 k : k 1,转2。
给定X (0) ,
0k
f ( X (k) ) p(k)
p(k) ?
是
否
求k ,使 min f ( X (k) k p(k) )
X (k) k p(k) X (k)
k 1 k
输出X (k) , f ( X (k) )
f
(xk
d k )
(k ) f ( xk kd k )T d k 0 .
因为梯度法的搜索方向d k1 f ( xk kd k )，所以
(d k1 )T d k 0 d k1 d k 。
少一个倒三角
相邻两次的搜索方向是正交的， 所以搜索路径是曲折的锯齿形的； 对于高维的非线性函数，接近极值 点处，当迭代点接近极小点时，步 长变得很小，越走越慢容易陷入稳 定的锯齿形搜索路径。最速下降方 向反映了目标函数的一种局部性质 。它只是局部目标函数值下降最快 的方向。因此，最速下降法一般适 用于计算过程的前期迭代或作为检 查步骤。
2. 搜索步长:
k
取最优步长,
即满足
f
(xk
k pk )
min
f
(xk
pk )。
梯度法算法步骤：
1. x0 Rn, 0, k 0
2. 计算搜索方向 pk f (xk ) ;
3. 若|| pk || ,则停止计算，xk为所求极值点；否则，求最优步长 k
使得
f
(xk
k
pk
)
min