2017年春季新版北师大版九年级数学下学期3.3、垂径定理导学案5

*3.3 垂径定理1．理解垂径定理和推论的内容，并会证明，利用垂径定理解决与圆有关的问题；(重点)2．利用垂径定理及其推论解决实际问题．(难点)一、情境导入如图①某公园中央地上有一些大理石球，小明想测量球的半径，于是找了两块厚20cm的砖塞在球的两侧(如图②所示)，他量了下两砖之间的距离刚好是80cm，聪明的你能算出大石头的半径吗？二、合作探究探究点一：垂径定理【类型一】利用垂径定理求直径或弦的长度如图所示，⊙O的直径AB垂直弦CD于点P，且P是半径OB的中点，CD＝6cm，则直径AB的长是( )A．23cm B．32cmC．42cm D．43cm解析：∵直径AB⊥DC，CD＝6，∴DP＝3.连接OD，∵P是OB的中点，设OP为x，则OD为2x，在Rt△DOP中，根据勾股定理列方程32＋x2＝(2x)2，解得x＝ 3.∴OD＝23，∴AB＝4 3.故选D.方法总结：我们常常连接半径，利用半径、弦、垂直于弦的直径造出直角三角形，然后应用勾股定理解决问题．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型二】垂径定理的实际应用如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的AB︵)，点O是这段弧的圆心，C 是AB︵上一点，OC⊥AB，垂足为D，AB＝300m，CD＝50m，则这段弯路的半径是________m.解析：本题考查垂径定理，∵OC⊥AB，AB＝300m，∴AD＝150m.设半径为R，根据勾股定理可列方程R2＝(R－50)2＋1502，解得R＝250.故答案为250.方法总结：将实际问题转化为数学问题，再利用我们学过的垂径定理、勾股定理等知识进行解答．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型三】垂径定理的综合应用如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD.(1)请证明：点E是OB的中点；(2)若AB＝8，求CD的长．解析：(1)要证明E是OB的中点，只要求证OE＝12OB＝12OC，即∠OCE＝30°；(2)在直角△OCE中，根据勾股定理可以解得CE 的长，进而求出CD的长．(1)证明：连接AC ，如图，∵直径AB 垂直于弦CD 于点E ，∴AC ︵＝AD ︵，∴AC ＝AD .∵过圆心O 的直线CF ⊥A D ，∴AF ＝DF ，即CF 是AD 的垂直平分线，∴AC ＝CD ，∴AC ＝AD ＝CD ，即△ACD 是等边三角形，∴∠FCD ＝30°.在Rt △COE 中，OE ＝12OC ，∴OE ＝12OB ，∴点E 为OB 的中点；(2)解：在Rt △OCE 中，AB ＝8，∴OC ＝OB ＝12AB ＝4.又∵BE ＝OE ，∴OE ＝2，∴CE＝OC 2－OE 2＝16－4＝23，∴CD ＝2CE ＝4 3.方法总结：解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题探究点二：垂径定理的推论【类型一】 利用垂径定理的推论求角的度数如图所示，⊙O 的弦AB 、AC 的夹角为50°，M 、N 分别是AB ︵、AC ︵的中点，则∠MON 的度数是( )A ．100°B ．110°C ．120°D ．130°解析：已知M 、N 分别是AB ︵、AC ︵的中点，由“平分弧的直径垂直平分弧所对的弦”得OM ⊥AB 、ON ⊥AC ，所以∠AEO ＝∠AFO ＝90°，而∠BAC ＝50°，由四边形内角和定理得∠MON ＝360°－∠AEO －∠AFO －∠BAC ＝360°－90°－90°－50°＝130°.故选D.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题．【类型二】 利用垂径定理的推论求边的长度如图，点A 、B 是⊙O 上两点，AB＝10cm ，点P 是⊙O 上的动点(与A 、B 不重合)，连接AP 、BP ，过点O 分别作OE ⊥AP 于E ，OF ⊥PB 于F ，求EF 的长．解析：运用垂径定理先证出EF 是△ABP 的中位线，然后运用三角形中位线性质把要求的EF 与AB 建立关系，从而解决问题．解：在⊙O 中，∵OE ⊥AP ，OF ⊥PB ，∴AE ＝PE ，BF ＝PF ，∴EF 是△ABP 的中位线，∴EF ＝12AB ＝12×10＝5(cm)．方法总结：垂径定理虽是圆的知识，但也不是孤立的，它常和三角形等知识综合来解决问题，我们一定要把知识融会贯通，在解决问题时才能得心应手．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题【类型三】 动点问题如图，⊙O 的直径为10cm ，弦AB＝8cm ，P 是弦AB 上的一个动点，求OP 的长度范围．解析：当点P 处于弦AB 的端点时，OP 最长，此时OP 为半径的长；当OP ⊥AB 时，OP 最短，利用垂径定理及勾股定理可求得此时OP 的长．解：作直径MN ⊥弦AB ，交AB 于点D ，由垂径定理，得AD ＝DB ＝12AB ＝4cm.又∵⊙O的直径为10cm ，连接OA ，∴OA ＝5cm.在Rt△AOD中，由勾股定理，得OD ＝OA2－AD2＝3cm.∵垂线段最短，半径最长，∴OP的长度范围是3cm≤OP≤5cm.方法总结：解题的关键是明确OP最长、最短时的情况，灵活利用垂径定理求解．容易出错的地方是不能确定最值时的情况．三、板书设计垂径定理1．垂径定理2．垂径定理的推论垂径定理是中学数学中的一个很重要的定理，由于它涉及的条件结论比较多，学生容易搞混淆，本节课采取了讲练结合、动手操作的教学方法，课前布置所有同学制作一张圆形纸片，课上利用此纸片探索、体验圆是轴对称图形，并进一步利用圆的轴对称性探究垂径定理，环环相扣、逐层深入，激发学生的学习兴趣，收到了很好的教学效果.欢迎您的下载，资料仅供参考！。

图3－3－12
你想知道桥拱的半径是多少吗？我们认真探索垂径定理之后，相信你一定可以算出来！(板书课题：*3垂径定理)
处理方式：让学生倾听欢快的音乐，欣赏赵州桥优美的图片，惊叹古代人们设计桥梁的技术，感受古代人们的伟大智慧，思索“桥”中的数学问题．
这一环节主要是让学生在欣赏赵州桥图片的同时，惊叹古代人的智慧，引起好奇，激起学生探究桥拱半径的兴趣.
巩固训练(多媒体出示)
1．辨析：判断下列图形能否使用垂径定理．
图3－3－15
2.如图3－3－16，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，连接OA，OB，下列结论中不一定正确的是()
A.AE＝BE
B. ＝ 图3－3－16
C.OE＝DE
D.∠AOD＝∠BOD
处理方式：先让学生独立思考，然后找学生回答，师生共同纠错．注意：定理中的两个条件缺一不可——直径(半径)，垂直于弦．通过以上辨析，让学生对垂径定理的两个条件的必要性有更充分的认识.
图3－3－22图3－3－23图3－3－24
3.一条排水管的截面如图3－3－24所示，已知排水管的半径OB＝10cm，水面宽AB＝16cm，则截面圆心O到水面的距离OC是________．
处理方式：学生在练习本上完成后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错.
在题目的设计上，尽量地遵循由易到难、层次分明的原则．通过这3个题目达到落实新知的目的，又将知识进一步延伸，拓广学生的思维．
在教师的引导下探究了垂径定理，并要求学生能快速、准确地将该定理的三种语言进行转化．教学时要鼓励学生用多种方法进行探讨，体会研究图形的多种方法.
让学生理解证明的方法，培养学生熟练证明的能力，提高证明过程的准确性和推理的能力．借此培养学生的合作意识.

在教学过程中，我注重引导学生从实际问题出发，通过观察和操作，发现垂径定理的内在规律。我设计了一系列的教学活动，包括直观演示、小组讨论、几何画板软件操作等，旨在激发学生的学习兴趣，提高学生的参与度。
同时，我还注重培养学生的逻辑思维能力，引导学生从特殊到一般，从具体到抽象的思考问题，让学生在理解垂径定理的同时，能够灵活运用该定理解决实际问题。
（三）学生小组讨论
1.设计具有挑战性和综合性的小组合作任务，让学生在合作中思考、交流、探究，提高学生的学习效果。
2.组织学生进行小组讨论，鼓励学生提出问题、分享思路、互相启发、互相学习，培养学生的批判性思维和问题解决能力。
3.教师在小组讨论过程中给予及时的反馈和指导，帮助学生更好地理解和掌握垂径定理。
（四）反思与评价
1.引导学生对学习过程进行反思，培养学生自我评价和自我调整的能力。
2.设计具有针对性和全面性的评价指标体系，对学生的知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观进行全面评价。
3.利用自评、互评、师评等多种评价方式，给予学生客观、公正的评价，提高学生的自信心和积极性。
4.根据评价结果，调整教学策略和教学方法，为下一阶段的教学提供有益的参考。
北师大版九年级下册3.3垂径定理优秀教学案例
一、案例背景
北师大版九年级下册3.3垂径定理是圆的知识点中的一个重要定理，它揭示了圆中关于垂直于弦的直径的一系列性质。在本节课中，学生需要理解和掌握垂径定理的内容，并能够运用该定理解决相关问题。
在进行本节课的教学设计时，我充分考虑了学生的年龄特点和学习需求，以提高学生的几何思维能力和解决问题的能力为目标，力求通过丰富的教学活动和合理的教学设计，帮助学生理解和掌握垂径定理。
2.要求学生对自己的作业进行自我评价，培养学生的自我反思和自我调整能力。

中学导学案 时间：第4题图第5题图学科 数学 课题 3.垂径定理 主备者 参备者 执教者 班级 九、二 学生姓名 学习目标： 1．利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理；2．运用垂径定理及其逆定理解决问题．重、难点： 垂径定理及其逆定理的证明，以及应用时如何添加辅助线．学前准备1、等腰三角形是轴对称图形吗？2、如果将一等腰三角形沿底边上的高对折，可以发现什么结论？3、如果以这个等腰三角形的顶角顶点为圆心，腰长为半径画 圆，得到的图形是否是轴对称图形呢？互 动 课 堂探索合作：1、如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为M ． 求证：AM =BM ；⌒AC =⌒BC ；⌒AD =⌒BD .垂径定理： 几何语言：∵ ∴注意：定理中的两个条件缺一不可——直径（半径），垂直于弦． 2、垂径定理逆定理的探索如图，AB 是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分AB 的直径CD ，交AB 于点M .（1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由.垂径定理逆定理：例：达 标 检 测1、如图，在⊙O 中，已知半径为5，弦AB 的长为8，那么圆心O 到AB 的距离为 _________ ．2、如图，⊙O 的直径CD 垂直弦AB 于点E ，且CE=2，DE=8，则AB 的长为（ ）A. 2B. 4C. 6D.83、如图，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，那么弦AB 的长是（ ）A ．4B ．6C ．7D ．8 4、如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的一个动点，则线段OM 长的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 5、如图，O ⊙的直径AB 垂直弦CD 于P ，且P 是半径OB 的中点，6cm CD ，则直径AB 的长是（ ）A ．23cm B ．32cm C ．42cm D ．43cm 6、下列命题中，正确的是（ ）A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C ．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心D ．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心7、如图，直径是50cm 圆柱形油槽装入油后，油深CD 为15cm ，求油面宽度ABD OBC A第3题图E BDOCA第2题第1题图。