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2018版高中数学第二章概率疑难规律方法学案苏教版选修

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第二章概率1 求离散型随机变量的概率分布的方法对离散型随机变量概率分布的考查是概率考查的主要形式，那么准确写出概率分布显得至关重要．下面就谈一下如何准确求解离散型随机变量的概率分布．1．弄清“随机变量的取值”弄清“随机变量的取值”是第一步．确定随机变量的取值时，要做到准确无误，特别要注意随机变量能否取0的情形．另外，还需注意随机变量是从几开始取值，每种取值对应几种情况．例1 从4张标有1,2,3,4的卡片中任意取出两张，若ξ表示这两张卡片之和，请写出ξ的可能取值及指出此时ξ表示的意义．分析从标有1,2,3,4的四张卡片中取两张，ξ表示两张卡片之和，则首先弄清共有几种情况，再分别求和．解ξ的可能取值为3,4,5,6,7，其中ξ＝3表示取出分别标有1,2的两张卡片；ξ＝4表示取出分别标有1,3的两张卡片；ξ＝5表示取出分别标有1,4或2,3的两张卡片；ξ＝6表示取出分别标有2,4的两张卡片；ξ＝7表示取出分别标有3,4的两张卡片．2．弄清事件类型计算概率前要确定事件的类型，同时正确运用排列与组合知识求出相应事件的概率．例2 以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．甲组乙组9909891110分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y的概率分布．分析由茎叶图可知两组同学的植树棵数，则可得分别从甲、乙两组同学中随机选取一名同学，两同学的植树总棵数的所有可能取值，由古典概型可求概率．解由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数是9,9,11,11；乙组同学的植树棵数是9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4＝16(种)可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17,18,19,20,21.事件“Y＝17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2种可能的结果，因此P (Y ＝17)＝216＝18.同理可得P (Y ＝18)＝14，P (Y ＝19)＝14， P (Y ＝20)＝14，P (Y ＝21)＝18.所以随机变量Y 的概率分布为3.注意验证随机变量的概率之和是否为1通过验证概率之和是否为1，可以检验所求概率是否正确，还可以检验随机变量的取值是否出现重复或遗漏．例3 盒中装有大小相同的10个小球，编号分别为0,1,2，…，9，从中任取1个小球，规定一个随机变量X ，用“X ＝x 1”表示小球的编号小于5；“X ＝x 2”表示小球的编号等于5；“X ＝x 3”表示小球的编号大于5，求X 的概率分布． 解 随机变量X 的可能取值为x 1，x 2，x 3，且P (X ＝x 1)＝12，P (X ＝x 2)＝110，P (X ＝x 3)＝25.故X 的概率分布如下.点评 变量的概率分布是很重要的，为了保证它的准确性，我们可以利用 i ＝1np i ＝1进行检验.2 独立事件与互斥事件辨析相互独立事件与互斥事件是两个完全不同的概念，但同学们在学习过程中容易混淆这两个概念，而导致错误．下面结合例题加以分析帮助同学们正确区分这两个概念． 1．把握互斥事件中的“有一个发生”求互斥事件有一个发生的概率，即互斥事件中的每一个事件发生都会使所求事件发生，应用的是互斥事件概率加法公式P(A1∪A2∪…∪A n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)．例1 李老师正在写文章的时候，身边的电话突然响了起来．若电话响第1声时被接听的概率为0.1，响第2声时被接听的概率为0.15，响第3声时被接听的概率为0.5，响第4声时被接听的概率为0.22，那么在电话响前4声内被接听的概率是多少？分析在电话响前4声内李老师接电话的事件包括：打进的电话“响第1声时被接听”，“响第2声时被接听”，“响第3声时被接听”，“响第4声时被接听”这4个事件，而且只要有一个事件发生，其余的事件就不可能发生，从而求电话在响前4声内李老师接听的概率问题即为互斥事件有一个发生的概率问题．解李老师在电话响前4声内接听的概率P＝0.1＋0.15＋0.5＋0.22＝0.97.2．把握相互独立事件中的“同时发生”相互独立事件即是否发生相互之间没有影响的事件．求相互独立事件同时发生的概率，应用的是相互独立事件的概率乘法公式P(A1A2…A n)＝P(A1)P(A2)…P(A n)．例2 甲、乙两名跳高运动员在一次2米跳高中成功的概率分别为0.7、0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响．求：(1)甲试跳三次，第三次才成功的概率；(2)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率．解记“甲第i次试跳成功”为事件A i，“乙第i次试跳成功”为事件B i，i＝1,2,3.依题意得P(A i)＝0.7，P(B i)＝0.6，且A i与B i相互独立．(1)“甲第三次试跳才成功”为事件A1A2A3，所以P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2)P(A3)＝0.3×0.3×0.7＝0.063.所以甲第三次试跳才成功的概率为0.063.(2)记“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C.P(C)＝1－P(A1B1)＝1－P(A1)P(B1)＝1－0.3×0.4＝0.88.所以甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为0.88.点评本题考查事件的独立性，以及互斥事件和对立事件等知识，关键在于理解事件的性质，然后正确运用相应的概率公式加以求解．归纳总结1．对于事件A、B，如果事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，则称这两个事件为相互独立事件．如甲袋中装有3个白球，2个黑球，乙袋中装有2个白球，2个黑球，从这两个袋中分别摸出一个球，把“从甲袋中摸出1个球，得到白球”记为事件A，把“从乙袋中摸出1个球，得到白球”记为事件B，显然A与B互相独立．2．弄清事件间的“互斥”与“相互独立”的区别．两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．3．理解并运用相互独立事件的性质．如果事件A与B相互独立，那么下列各对事件：A与B，A与B，A与B也都相互独立．4．牢记公式的应用条件，准确、灵活地运用公式．5．认真审题，找准关键字句，提高解题能力．如“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”等.3 概率题易错点剖析概率内容的新概念较多，相近概念容易混淆，本文就学生易犯错误作如下总结：1．“非等可能”与“等可能”混同例1 掷两枚骰子，求所得的点数之和为6的概率．错解掷两枚骰子出现的点数之和有2,3,4，…，12共11种基本事件，所以概率为P＝111. 错因剖析以上11种基本事件不是等可能的，如点数之和为2只有(1,1)，而点数之和为6有(1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,2)、(5,1)共5种．事实上，掷两枚骰子共有36种基本事件，且是等可能的，所以“所得点数之和为6”的概率为P＝536.2．“互斥”与“对立”混同例2 把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是________．(填序号)①对立事件；②不可能事件；③互斥但不对立事件；④以上均不对．错解①错因剖析本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同，要准确解答这类问题，必须搞清对立事件与互斥事件的联系与区别，这二者的联系与区别主要体现在以下三个方面：(1)两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；(2)互斥的概念适用于多个事件，但对立的概念只适用于两个事件；(3)两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表明它们有且仅有一个发生．事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同时发生的两个事件，这两个事件可能恰有一个发生，一个也不发生，可能两个都不发生，所以应填③.正解③3．“互斥”与“独立”混同例3 甲投篮命中率为0.8，乙投篮命中率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少？错解 设“甲恰好投中两次”为事件A ，“乙恰好投中两次”为事件B ，则两人都恰好投中两次为事件A ＋B ，P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝C 23×0.82×0.2＋C 23×0.72×0.3＝0.825.错因剖析 本题错误的原因是把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑，将“两人都恰好投中2次”理解为“甲恰好投中两次”与“乙恰好投中两次”的和．正解 设“甲恰好投中两次”为事件A ，“乙恰好投中两次”为事件B ，且A ，B 相互独立，则两人都恰好投中两次为事件AB ，于是P (AB )＝P (A )×P (B )＝C 23×0.82×0.2×C 23×0.72×0.3≈0.169.点评 例3错误的原因在于把两事件互斥与两事件相互独立混同．互斥事件是指两个事件不可能同时发生；两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件的发生与否没有影响．它们虽然都描绘了两个事件间的关系，但所描绘的关系是根本不同的． 4．“条件概率P (B |A )”与“积事件的概率P (AB )”混同例4 袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，求第二次才取到黄球的概率．错解 记“第一次取到白球”为事件A ，“第二次取到黄球”为事件B ，“第二次才取到黄球”为事件C ，所以P (C )＝P (B |A )＝69＝23.错因剖析 本题错误在于P (AB )与P (B |A )的含义没有弄清，P (AB )表示在样本空间S 中，A 与B 同时发生的概率；而P (B |A )表示在缩减的样本空间S A 中，作为条件的A 已经发生的条件下事件B 发生的概率．正解 P (C )＝P (AB )＝P (A )·P (B |A ) ＝410×69＝415. 5．混淆有放回与不放回致错例5 某产品有3只次品，7只正品，每次取1只测试，取后不放回，求： (1)恰好到第5次3只次品全部被测出的概率；(2)恰好到第k 次3只次品全部被测出的概率f (k )的最大值和最小值． 错解 (1)P ＝310·29·78·57·16＝1144.(2)P 5(3)＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫3103·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3102＝0.132 3.错因剖析 错解(1)的错误的原因在于忽视了“不放回摸球”问题的每一次摸球是不独立的；而错解(2)的错误的原因则在于忽视了“不放回摸球”问题的每一次摸球袋内球的总数是变的(比前一次少一个)． 正解 (1)P ＝C 23·C 27·A 44A 10＝120. (2)P ＝C 23·C k －37·A k －1k －1A k10 ＝1240(k －1)(k －2)(3≤k ≤10，k ∈Z )， 当k ＝3时，[f (k )]min ＝f (3)＝1120； 当k ＝10时，[f (k )]max ＝f (10)＝310.4 概率问题与其他知识的交汇概率和其他知识整合的题目近年来频频出现在各类考试中，这类题目覆盖面广，交汇性强，用到的数学思想和方法比较多，对能力要求较高，我们要给予充分关注，并注意总结解题方法．1．概率与函数例1 在多项飞碟运动中，允许运动员射击两次．运动员每一次射击命中碟靶的概率p 与运动员离碟靶的距离s (米)成反比，且距离s (米)与碟靶飞行时间t (秒)满足s ＝15(t ＋1)(0≤t ≤4)．现有一碟靶抛出后，某运动员在碟靶飞出0.5秒时进行第一次射击命中的概率为0.8；如果他发现没有命中，则迅速调整，在第一次射击后再经过0.5秒进行第二次射击，求此运动员命中碟靶的概率．解 设p ＝k s (k 为常数)，则p ＝k15(t ＋1) (0≤t ≤4)，依题意当t ＝0.5时，p 1＝0.8，则k ＝18， 所以p ＝65(t ＋1)，当t ＝1时，p 2＝0.6.故此人命中碟靶的概率为p ＝p 1＋(1－p 1)p 2＝0.8＋(1－0.8)×0.6＝0.92.点评 此题为条件概率问题(要注意第二次射击的前提)，两次射击可以理解为(有条件的)互斥事件． 2．概率与不等式例2 某商店采用“购物摸球中奖”的促销活动，球袋中装有10个球，号码为n (1≤n ≤10，n ∈N *)的球的重量为f (n )＝n 2－9n ＋21，现有两种摸球方案：①摸球1个，若球的重量小于该球的号码数，则中奖；②一次摸出两个球，若两球的重量相等，则中奖．试比较两种摸奖方案的中奖概率的大小． 解 方案①，球的重量小于号码数， 即n 2－9n ＋21<n ，解得3<n <7 (n ∈N *)， 故n 的取值为4,5,6， 中奖概率为p 1＝0.3；方案②，若第n 号球与第m 号球重量相等(n <m )， 则有n 2－9n ＋21＝m 2－9m ＋21， 即(n －m )(m ＋n －9)＝0， 故m ＋n ＝9 (n 可取值1,2,3,4)， 中奖概率为p 2＝4C 210＝445. 显然p 1>p 2，即方案①的中奖概率大．点评 解决此类问题需要先求不等式的整数解(实际问题的要求)，再计算中奖概率． 3．概率与递推数列例3 A 、B 两人拿两个骰子做抛掷游戏，规定：若掷出的点数之和是3的倍数，则由原抛掷者继续掷；若掷出的点数之和不是3的倍数就由对方接着掷，第一次由A 开始掷，设第n 次由A 掷的概率为p n ，求p n 的表达式． 解 第n 次由A 掷有两种情况：①第n －1次由A 掷，第n 次继续由A 掷，此时概率为1236p n －1；②第n －1次由B 掷，第n 次由A 掷，此时概率为⎝⎛⎭⎪⎫1－1236(1－p n －1)．故有p n ＝1236p n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1236(1－p n －1)(n ≥2)， 即p n ＝－13p n －1＋23(n ≥2)．令p n ＋x ＝－13(p n －1＋x )，整理可得x ＝－12，故p n －12＝－13⎝⎛⎭⎪⎫p n －1－12(n ≥2)，又p 1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫p n －12是以12为首项，－13为公比的等比数列，于是p n －12＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n －1，即p n ＝12＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n －1.点评 弄清p n 与p n －1的关系并建立递推关系式是问题获得解决的关键.5 深析超几何分布与二项分布的关系超几何分布与二项分布都是随机变量取非负整数值的离散分布，表面上看，两种分布的概率求取有截然不同的表达式，但看它们的概率分布表，会发现构造上的相似点．课本中对超几何分布的模型建立是这样的：若有N 件产品，其中M 件是废品，无放回地任意抽取n 件，则其中恰有的废品件数X 是服从超几何分布的．而对二项分布则使用比较容易理解的射击问题来建立模型．若将超几何分布的概率模型改成：若有N 件产品，其中M 件是废品，有放回地任意抽取n 件，则其中恰有的废品件数X 是服从二项分布的．在这里，两种分布的差别就在于“有”与“无”的差别，只要将概率模型中的“无”改为“有”，或将“有”改为“无”，就可以实现两种分布之间的转化．超几何分布与二项分布是两个非常重要的概率模型，许多实际问题都可以利用这两个概率模型来求解．在实际应用中，理解并辨别这两个概率模型是至关重要的．下面通过几个例子说明一下两者的区别．例1 从6名男生和4名女生中，随机选出3名学生参加一项竞技测试，试求选出的3名学生中女生人数ξ的概率分布．解 由题意得ξ＝0,1,2,3.ξ服从参数为N ＝10，M ＝4，n ＝3的超几何分布．P (ξ＝0)＝C 36C 310＝20120＝16，P (ξ＝1)＝C 14C 26C 310＝60120＝12，P (ξ＝2)＝C 24C 16C 310＝36120＝310，P (ξ＝3)＝C 34C 310＝4120＝130，故ξ的概率分布为点评这是一道超几何分布的题目，学生在做的时候容易把它看成是二项分布问题，把事件发生的概率看作是0.4.例 2 甲、乙两人玩秒表游戏，按开始键，然后随机按暂停键，观察秒表最后一位数，若出现0,1,2,3，则甲赢，若出现6,7,8,9，则乙赢，若出现4,5是平局．玩三次，记甲赢的次数为随机变量X，求X的概率分布．解由题意得X＝0,1,2,3，P(X＝0)＝C03×0.63＝0.216，P(X＝1)＝C13×0.62×0.4＝0.432，P(X＝2)＝C23×0.6×0.42＝0.288，P(X＝3)＝C33×0.43＝0.064.故X的概率分布为点评N＝10，M＝4，n＝3的超几何分布．二项分布应满足独立重复试验：①每一次试验中只有两种结果(要么发生，要么不发生)．②任何一次试验中发生的概率都一样．③每次试验间是相互独立的、互不影响的.6 三法求均值数学期望也称均值，是离散型随机变量的一个重要的数字特征，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，期望的求解策略也有多种，下面通过实例来阐述．1．利用定义求均值根据定义求离散型随机变量的均值，首先要求概率分布，然后利用公式E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋…＋x n p n求解．例1 一接待中心有A，B，C，D四部热线电话．已知某一时刻电话A，B占线的概率为0.5，电话C，D占线的概率为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响．假设该时刻有ξ部电话占线，试求随机变量ξ的概率分布和它的均值．分析先判断ξ的所有可能取值，再根据相应知识求概率．解由题意知ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4.P(ξ＝0)＝0.52×0.62＝0.09，P (ξ＝1)＝C 12×0.52×0.62＋C 12×0.4×0.6×0.52＝0.3，P (ξ＝2)＝C 22×0.52×0.62＋C 12×0.52×C 12×0.4×0.6＋C 22×0.42×0.52＝0.37， P (ξ＝3)＝C 22×0.52×C 12×0.4×0.6＋C 12×0.52×C 22×0.42＝0.2，P (ξ＝4)＝0.52×0.42＝0.04.于是得到随机变量ξ的概率分布为所以E (ξ)点评 均值与概率分布联系密切，正确地求出随机变量的概率分布，是求均值的关键．解题时，确定随机变量ξ取哪些值及相应的概率，是利用定义求均值的重点． 2．利用公式求均值有些离散型随机变量如果归结为两点分布、二项分布等常见分布类型时就常使用公式法求均值．其中：(1)若X 服从两点分布，则E (X )＝p (p 为X 的成功概率)． (2)若X 服从二项分布，即X ～B (n ，p )，则E (X )＝np . (3)若X 服从超几何分布，则E (X )＝MnN.例2 一个袋子里装有大小相同的5个白球和5个黑球，从中任取4个，求其中所含白球个数的均值．解 根据题目所含白球数X 服从参数N ＝10，M ＝5，n ＝4的超几何分布，则E (X )＝nM N ＝4×510＝2.所以从中任取4个球所含白球个数的均值为2.点评 此题判断随机变量服从哪种分布是关键，再者要弄清公式中参数的含义． 3．利用性质求均值对于aX ＋b 型的随机变量一般用性质E (aX ＋b )＝aE (X )＋b 来求解．例3 交5元钱，可以参加一次摸奖，一袋中有大小相同的球10个，其中有8个标有1元钱，2个标有5元钱，摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所摸2球的钱数之和．求摸奖人获利的均值．解 设X 为摸到的2球钱数之和，则X 的可能取值为X ＝2(摸到2个1元)；X ＝6(摸到1个1元，1个5元)； X ＝10(摸到2个5元)．故由题意可得 P (X ＝2)＝C 28C 210＝2845，P (X ＝6)＝C 18C 12C 210＝1645， P (X ＝10)＝C 22C 210＝145. 所以E (X )＝2×2845＋6×1645＋10×145＝185. 又设Y 为摸奖者获利的可能值，则Y ＝X －5，所以摸奖者获利的均值E (Y )＝E (X )－5＝－1.4.点评 解决此类问题的关键是找出变量Y 与X 的内在联系，并正确套用性质.7 用独立事件同时发生的概率讲“道理”概率本身就来源于生活，又服务于生活．在日常生活中，我们经常会遇到有理说不清的情况，如果我们有时能准确合理的运用概率知识进行分析，通过严密的分析和详实准确的数据，往往不仅能把道理讲清，而且能把道理讲透，讲得让人“心服口服”．如果不信，下面我们就不妨用独立事件同时发生的概率来讲两个道理．道理1：我国的大教育家孔子曰：“三人行，必有我师焉”．能用概率知识诠释孔子的这句名言吗？诠释：俗话说：“三百六十行，行行出状元．”我们不妨把一个人的才能分成360个方面．因为孔子是大学问家，我们假设他在每一行的排名都处在前的可能性为99%，即任意一个人在任一方面的才能低于他的可能性为99%.另外两个人在任何一方面的才能不如孔子分别看作两个独立事件，则在任一行中，这两个人的才能均不超过孔子就成了概率中两个独立事件同时发生的模型，所以可能性是99%×99%＝98.01%.而在360行中，另外两人的才能均不超过孔子的可能性即为独立事件重复发生的概率，所以为(98.01%)360≈0.07%.反过来说，另外两人中有人的才能在某一方面超过孔子的可能性为1－(98.01%)360≈99.93%.也就是说，两人中有人可以在某一方面做孔子的老师的可能性约为99.93%.从上面的分析可知，“三人行，必有我师”虽然是孔子自谦的话，但从实际情况来看，这句话是很有道理的．道理2：小强和小明的家都在同一栋10层的小高层里，小强家在顶层，小强坚持认为由于小高层有从底层到顶层的电梯，所以自己从电梯上楼到家的速度应该是相当快的．可是小明并不这样认为，但是又无法说服小强，只是一味地强调如果考虑每层都有人要上电梯，那么也要耽误很多时间，所以乘电梯也不一定很快．我们如何来帮助小明通过准确的数据来说服小强呢？我们不妨设计这样一个问题：十层电梯从底层到顶层停不少于3次的概率是多少？停几次概率最大？解 依题意，从底层到顶层停不少于3次，应包括停3次，停4次，停5次，…，停9次．这些情况都是互斥关系，电梯每一层停的概率为12，每种具体的情况实际上是独立事件重复发生的概率问题．∴从底层到顶层停不少于3次的概率P ＝C 39⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫126＋C 49⎝ ⎛⎭⎪⎫124⎝ ⎛⎭⎪⎫125＋C 59⎝ ⎛⎭⎪⎫125⎝ ⎛⎭⎪⎫124＋…＋C 99⎝ ⎛⎭⎪⎫129＝(C 39＋C 49＋C 59＋…＋C 99)⎝ ⎛⎭⎪⎫129 ＝[29－(C 09＋C 19＋C 29)] ⎝ ⎛⎭⎪⎫129 ＝(29－46)⎝ ⎛⎭⎪⎫129＝233256. 设从底层到顶层停k 次，则其概率为C k 9⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ⎝ ⎛⎭⎪⎫129－k ＝C k 9⎝ ⎛⎭⎪⎫129， ∴当k ＝4或k ＝5时，C k 9最大，即C k 9⎝ ⎛⎭⎪⎫129最大， ∴从底层到顶层停不少于3次的概率为233256， 停4次或5次的概率最大．通过上面的详实分析和准确数据，我们发现由于电梯至少停三次的概率较大，而且停4次或5次的可能性最大，因为每次电梯停下来开门、关门等都要耽误一定的时间，累计起来耽误的时间却是不少，所以小明的观念还是有一定的道理的．生活中像这样的现象很多，表面上看起来都与概率无关，但是对于“数学人”来说，生活中的概率无处不在，关键就在于要善于将这些现象转化为概率模型，通过数学知识来进行定性和定量分析，达到“以理服人”的效果.8 生活中的概率问题在日益发展的信息社会中，即使一般的劳动者，也必须具备基本的数学运算能力以及应用数学思想去观察和分析工作、生活乃至从事经济、政治活动的能力．在存款、利息、投资、保险、成本、利润、彩票等中，我们常遇见一些概率问题．下面就我们现实生活中常见的一些概率问题进行一些简单的分析：1．谁先谁后的问题单位有六台旧麻将机将处理给单位员工，定价300元一台．结果有12位希望买一台．于是单位领导就写了十二张小纸条，其中有六张写着“恭喜购买成功”，另六张写着“谢谢你的配合，你购买不成功！”．再把纸条折好．然后叫十二位员工按先后顺序来抓．请问：这十二位员工抽中的概率是一样的吗？也就是说这种方法公平吗？最后一位员工是不是最划不来？显然，对于第一个抓纸条的人来说，他从12张纸条中选一张，抽到“恭喜购买成功”的概率为12.对于第二个抓纸条的人来说，可以分两种情况考虑：①第一个人抽中，他抽中的概率，②第一个人没有抽中，他抽中的概率，这两种情况是等概率事件，所以不管第一个人抽中还是没抽中，不影响第二个人抽中的概率．同样对于第三个人来说，他抽中的概率可以分成四种情况考虑：①一中，二中，他抽中的概率，②一中，二不中，他抽中的概率，③一不中，二中，他抽中的概率，④一不中，二不中，他抽中的概率，这四种情况是等概率事件，所以也不影响第三个人抽中的概率．由此可以类推，第四个人，第五个人等，抽中的概率都不受影响，所以这种方法是公平的，哪个人先抽，哪个人后抽，对个人来说，没有影响．2．性别问题你隔壁刚刚搬来了新的邻居，透过墙壁，你可以清楚的听到有3个小孩的声音，但是，因为这3个小孩，年龄都很小，所以你不确定他们是男是女．1．基于好奇心，你决定到隔壁敲门，看看他们是男是女，这个时候，一个男孩出来开门，请问，这3个小孩都是男孩的概率是多少？2．当然，你还是没有足够的讯息，确定所有3个小孩的性别．所以，你决定再找个理由，到隔壁敲了第二次门，很幸运的是，这次来开门的是另外的一个男孩，请问，这3个小孩都是男孩的概率是多少？3．如果，你第三次去敲了隔壁邻居的门，请问，你可以百分之百确定这3个性别的概率是多少？对于这种问题，我们在平时的言谈中经常会遇到，一下子接触，感觉有点懵．其实这种问题认真分析的话也会感觉到其中的乐趣.1.一个男孩开门，那么就会有两个小孩不知道性别，有四种可能，所以全是男孩的概率为14.2.第二次敲门，又有一个男孩开门，就只有一个小孩不知道性别，有两种可能，所以全是男孩的概率为12.3.第三次敲门，三个小孩都有可能开门，所以全是男孩的概率为12.这种问题其实和抛硬币，掷骰子的问题大致相同，只是情境不同．3．玩扑克牌中的出牌问题在玩扑克牌中，我们经常会懊悔出错了牌，一手好牌就此浪费了．比如斗地主中，炸弹(四个相同的点数或双王)，三带一，连子，出现的概率很低，对子，单的概率很高，所以合理的安排出牌，胜利的次数就比较多．如果一个玩牌者经过计算，认定出牌A比出牌B获胜的概率大，那么它会出牌A，尽管出牌A也有招致失败的风险．可见，在生活中，我们会遇到很多难题，当我们从概率的角度进行判断，然后作出决策时，完全有可能犯错误，不可能有绝对的把握正确．只是，我们总希望犯错误的概率小一些，能够使自己获得最高的成功率．把握住事件出现的概率，我们就很容易的做出判断解决问题．4．生日相同的问题如果一个班级有50位学生，那么其中至少有两位学生生日相同的概率是多少？要直接计算50人中有至少2人生日相同比较困难．我们就先算出全部不同的概率．然后用1减去它就是至少有2人相同的概率了．我们可以这样考虑：随意找一位学生甲，他的生日可以是365(不考虑闰年)天中的任意一天，所以有365种可能，对于学生乙同样有365种可能，所以50位学生生日的情况就有36550种生日不相同的情况，对于甲有365种可能，乙和甲不同就有364种，所以50位学生生日不同的情况有A50365种，所以生日不同的概率为A5036536550，所以至少有两位学生生日相同的概率为1－A5036536550.该问题的概率较大，正说明一些看似巧合的现象其实极为平凡，这也有助于我们破除迷信，树立唯物主义的世界观.。

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2017_2018学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2椭圆学案苏教版选修1_12017110931

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2．2椭圆2．2.1椭圆的标准方程在平面直角坐标系中，已知A(－2,0)，B(2,0)，C(0,2)，D(0，－2)．问题1：若动点P满足PA＋PB＝6，设P的坐标为(x，y)，则x，y满足的关系式是什么？提示：由两点间距离公式得x＋22＋y2＋x－22＋y2＝6，x2 y2化简得＋＝1.9 5问题2：若动点P满足PC＋PD＝6，设P的坐标为(x，y)，则x、y满足什么关系？提示：由两点间距离公式得x2＋y－22＋x2＋y＋22＝6，y2 x2化简得＋＝1.9 5椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上x2 y2标准方程＋＝1(a＞b＞0)a2 b2y2 x2＋＝1(a＞b＞0) a2 b2焦点坐标(±c,0) (0，±c)a、b、c的关系c2＝a2－b21．标准方程中的两个参数a和b，确定了椭圆的形状和大小，是椭圆的定形条件．a，b，c三者之间a最大，b，c大小不确定，且满足a2＝b2＋c2.2．两种形式的标准方程具有共同的特征：方程右边为1，左边是两个非负分式的和，并且分母为不相等的正值．当椭圆焦点在x轴上时，含x项的分母大；当椭圆焦点在y轴上时，含y项的分母大，已知椭圆的方程解题时，应特别注意a>b>0这个条件．[对应学生用书P20]待定系数法求椭圆标准方程- 1 -[例1]求适合下列条件的椭圆的标准方程：14(1)经过两点(2，－2)，( 2 )；－1，y2 x2(2)过点( 3，－5)，且与椭圆＋＝1有相同的焦点．25 9[思路点拨](1)由于椭圆焦点的位置不确定，故可分焦点在x轴上和在y轴上两种情况进行讨论．也可利用椭圆的一般方程Ax2＋By2＝1(其中A>0，B>0，A≠B)，直接求A，B.(2)求出焦点，然后设出相应方程，将点( 3，－5)代入，即可求出a，b，则标准方程易得．[精解详析](1)法一：若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为x2 y2＋＝1(a>b>0)．a2 b2由已知条件得Error!解得Error!x2 y2所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.8 4若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为y2 x2＋＝1(a>b>0)．a2 b2由已知条件得Error!解得Error!即a2＝4，b2＝8，则a2<b2，与题设中a>b>0矛盾，舍去．x2 y2综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1.8 4法二：设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．将两点(2，－2)，(－1，142 )代入，得Error!解得Error!x2 y2所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.8 4y2 x2(2)因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，25 9所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.y2 x2设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．a2 b2因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①(－5 )2 3 2又点( 3，－5)在椭圆上，所以＋＝1，a2 b25 3即＋＝1.②a2 b2由①②得b2＝4，a2＝20，y2 x2所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.20 4[一点通]求椭圆标准方程的一般步骤为：1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)，(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；1 1 1( ，3 )，Q(0，－.(2)经过两点P2)3解：(1)由已知得：c＝4，a＝5.b2＝a2－c2＝25－16＝9.x2 y2故所求椭圆方程为＋＝1.25 9(2)设椭圆方程为Ax2＋By2＝1.(A>0，B>0，A≠B)由已知得，Error!解得：Error!y2 x2故所求椭圆方程为＋＝1.1 14 52．求适合下列条件的椭圆的方程．(1)焦点在x轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)；(2)焦点在y轴上，与y轴的一个交点为P(0，－10)，P到它较近的一个焦点的距离等于2.解：(1)因为椭圆的焦点在x轴上，x2 y2所以可设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．a2 b2∵椭圆经过点(2,0)和(0,1)，∴Error!∴Error!x2 故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.4y2 x2(2)∵椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．a2 b2∵P(0，－10)在椭圆上，∴a＝10.又∵P到它较近的一个焦点的距离等于2，∴－c－(－10)＝2，故c＝8，∴b2＝a2－c2＝36，y2 x2∴所求椭圆的标准方程是＋＝1.100 36椭圆标准方程的讨论[例2]已知方程x2·sinα－y2·cosα＝1(0≤α≤2π)表示椭圆．(1)若椭圆的焦点在x轴上，求α的取值范围．(2)若椭圆的焦点在y轴上，求α的取值范围．[思路点拨](1)已知的方程不是椭圆的标准形式，应先化成标准方程．x2 y2(2)对于椭圆方程＋＝1(m>0，n>0，m≠n)可由m，n的大小确定椭圆焦点的位置，列m n出三角不等式后求α的范围．[精解详析]将椭圆方程x2·sinα－y2·cosα＝1(0≤α≤2π)化为标准形式为x2 1y2＋＝1(0≤α≤2π)．1sin α－cos α(1)若方程表示焦点在x轴上的椭圆，1 1则>－>0，即Error!sin αcos α3 3π所以4π<α<π.即α的取值范围是( ，2π).4(2)若方程表示焦点在y轴上的椭圆，1 1则－> >0，即Error!cos αsin απ3ππ3π所以<α< 4.即α的取值范围是( 4 ).，2 2[一点通]对于讨论椭圆方程中参数的取值范围问题，一般的解题方法是根据题设条件给出的焦点位置，结合对应的标准方程应满足的条件，建立一个含参数的不等式组，通过求解不等式组得到参数的取值范围．x2 y23．如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是________．a2 a＋6解析：由于椭圆的焦点在x轴上，所以Error!即Error!解得a>3或－6<a<－2.答案：(3，＋∞)∪(－6，－2)x2 y24．已知方程＋＝－1表示椭圆，求k的取值范围．k－5 3－k- 4 -x 2 y 2 x 2 y 2解：方程 ＋ ＝－1可化为 ＋ ＝1，由椭圆的标准方程可得Error! k －5 3－k 5－k k －3 得 3<k <5，且 k ≠4.所以满足条件的 k 的取值范围是{k |3<k <5，且 k ≠4}.椭圆的定义及标准方程的应用x 2 y 2[例 3] 如图所示，已知椭圆的方程为 ＋ ＝1，若点 P 在第二象 4 3 ∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．限，且 [思路点拨] 根据椭圆的标准方程知PF 1＋PF 2＝4结，合面积公式 和 余弦定理找到PF 1和PF 2的关系求解．[精解详析] 由已知 a ＝2，b ＝ 3， 所以 c ＝ a 2－b 2＝ 4－3＝1，F 1F 2＝2c ＝2，在△PF 1F 2中，由余弦定理，得PF ＝PF ＋F 1F －2PF 1·F 1F 2cos 120°，2122即 PF ＝PF ＋4＋2PF 1.①212由椭圆定义，得 PF 1＋PF 2＝4， 即 PF 2＝4－PF 1.② 6②代入①解得 PF 1＝ .51∴S △PF 1F 2＝ PF 1·F 1F 2·sin 120°2 1 63 3 3 ＝ × ×2× ＝ ， 2 5 2 5 3 3 即△PF 1F 2的面积是 .5[一点通] 在椭圆中，由三条线段 PF 1，PF 2，F 1F 2围成的三角形称为椭圆的焦点三角形．涉 及椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义列出 PF 1＋PF 2＝2a ，利用这个关系式便可求出结 果，因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法．5．已知两定点 F 1(－1,0)、F 2(1,0)，且 F 1F 2是 PF 1与 PF 2的等差中项，则动点 P 的轨迹方 程是________．解析：∵F 1(－1,0)，F 2(1,0)，∴F 1F 2＝2. ∵F 1F 2是 PF 1与 PF 2的等差中项， ∴2F 1F 2＝PF 1＋PF 2， 即 PF 1＋PF 2＝4，∴点P在以F1，F2为焦点的椭圆上，∵2a＝4，a＝2，c＝1，∴b2＝3.x2 y2∴椭圆的方程是＋＝1.4 3x2 y2答案：＋＝14 3x2 y26．设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF1∶PF2＝2∶1，则△F1PF29 4的面积等于________．x2 y2解析：由＋＝1，得a＝3，b＝2，9 4∴c2＝a2－b2＝5.∴c＝5.∴F1F2＝2 5.由Error!得Error!∴PF21＋PF＝F1F.2 2∴△F1PF2为直角三角形．1∴S△F1PF2＝PF1·PF2＝4.2答案：4x2 y27．如图，已知F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点．100 36(1)若椭圆上一点P到焦点F1的距离等于15，那么点P到另一个焦点F2的距离是多少？(2)过F1作直线与椭圆交于A，B两点，试求△ABF2的周长．解：由椭圆的标准方程可知a2＝100，所以a＝10.(1)由椭圆的定义得PF1＋PF2＝2a＝20，又PF1＝15，所以PF2＝20－15＝5，即点P到焦点F2的距离为5.(2)△ABF2的周长为AB＋AF2＋BF2＝(AF1＋BF1)＋AF2＋BF2＝(AF1＋AF2)＋(BF1＋BF2)．由椭圆的定义可知AF1＋AF2＝2a，BF1＋BF2＝2a，故AB＋AF2＋BF2＝4a＝40.用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解；也可设Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的．[对应课时跟踪训练(八)]- 6 -x 2 y 21．若椭圆 ＋ ＝1上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为________．25 9 解析：由椭圆定义知，a ＝5，P 到两个焦点的距离之和为 2a ＝10，因此，到另一个焦点的 距离为 5.答案：52．椭圆 25x 2＋16y 2＝1的焦点坐标是________．x 2 y 2 1 1解析：椭圆的标准方程为 ＋ ＝1，故焦点在 y 轴上，其中 a 2＝ ，b 2＝ ，所以 c 2＝a 2 1 1 16 2525 16 1 1933 －b 2＝ － ＝，故 c ＝ .所以该椭圆的焦点坐标为20).20(0， ±16 25 400答案：(0， ±3 20)3．已知方程(k 2－1)x 2＋3y 2＝1是焦点在 y 轴上的椭圆，则 k 的取值范围是________． x 2 y 2解析：方程(k 2－1)x 2＋3y 2＝1可化为 ＋ ＝1.1 1k 2－1 3 由椭圆焦点在 y 轴上，得Error! 解之得 k >2或 k <－2. 答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)x 2 y 24．已知 F 1，F 2为椭圆 ＋ ＝1的两个焦点，过 F 1的直线交椭圆于 A ，B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |25 9 ＝12，则|AB |＝________.解析：由题意，知(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝2a ＋2a ，又由 a ＝5，可得|AB |＋(|BF 2|＋|AF 2|)＝20，即|AB |＝8.答案：8x 2 4y 25．已知 P 为椭圆 ＋ ＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的25 75 面积为________．解析：在△F 1PF 2中，F 1F ＝PF ＋PF －2PF 1·PF 2cos 60°，2122即 25＝PF 21＋PF －PF 1·PF 2.①2由椭圆的定义，得 10＝PF 1＋PF 2.②由①②，得 PF 1·PF 2＝25，1 25 32 4- 7 -25 3答案：46．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)以(0,5)和(0，－5)为焦点，且椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26；(2)以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点，且经过M(2，6)．解：(1)∵椭圆的焦点在y轴上，y2 x2∴设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．a2 b2∵2a＝26,2c＝10，∴a＝13，c＝5.∴b2＝a2－c2＝144.y2 x2∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.169 144(2)法一：由9x2＋5y2＝45，y2 x2得＋＝1，c2＝9－5＝4，9 5所以其焦点坐标为F1(0,2)，F2(0，－2)．y2 x2设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．a2 b2由点M(2，6)在椭圆上，所以MF1＋MF2＝2a，即2a＝2－02＋6－22＋2－02＋6＋22＝4 3，所以a＝2 3，又c＝2，所以b2＝a2－c2＝8，y2 x2所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.12 8法二：由法一知，椭圆9x2＋5y2＝45的焦点坐标为F1(0,2)，F2(0，－2)，y2 x2则设所求椭圆方程为＋＝1(λ＞0)，λ＋4 λ6 4将M(2，6)代入，得＋＝1(λ＞0)，λ＋4 λ解得λ＝8或λ＝－2(舍去)．y2 x2所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.12 87．如图，设点P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是点P在x轴上的投影，M为PD上一点，4且MD＝PD，当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程．5解：设M点的坐标为(x，y)，P点的坐标为(x P，y P)，- 8 -由已知易得Error!5∵P在圆上，∴x2＋( y)2＝25.4x2 y2即轨迹C的方程为＋＝1.25 168．已知动圆M过定点A(－3,0)，并且内切于定圆B：(x－3)2＋y2＝64，求动圆圆心M的轨迹方程．解：设动圆M的半径为r，则|MA|＝r，|MB|＝8－r，∴|MA|＋|MB|＝8，且8>|AB|＝6，∴动点M的轨迹是椭圆，且焦点分别是A(－3,0)，B(3,0)，且2a＝8，∴a＝4，c＝3，∴b2＝a2－c2＝16－9＝7.x2 y2∴所求动圆圆心M的轨迹方程是＋＝1.16 72．2.2椭圆的几何性质建立了椭圆的标准方程后，我们就可以通过方程研究椭圆的几何性质．x2 y2以方程＋＝1(a＞b＞0)为例，试着完成下列问题：a2 b2问题1：方程中对x，y有限制的范围吗？y2 x2提示：由＝1－≥0，得－a≤x≤a.b2 a2同理－b≤y≤b.问题2：在方程中，用－x代x，－y代y，方程的形式是否发生了变化？提示：不变．问题3：方程与坐标轴的交点坐标是什么？提示：令x＝0，得y＝±b；令y＝0，得x＝±a；与x轴的交点为(a,0)，(－a,0)，- 9 -与y轴的交点为(0，b)，(0，－b)．椭圆的几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形x2 y2标准方程＋＝1(a＞b＞0)a2 b2y2 x2＋＝1(a＞b＞0) a2 b2范围－a≤x≤a，－b≤y≤b－a≤y≤a，－b≤x≤b顶点(±a,0)，(0，±b) (0，±a)，(±b,0)轴长短轴长＝2b，长轴长＝2a焦点(±c,0) (0，±c)焦距F1F2＝2c对称性对称轴x轴，y轴，对称中心(0,0)c离心率e＝∈(0,1)a1．椭圆的对称性椭圆的图像关于x轴成轴对称，关于y轴成轴对称，关于原点成中心对称．2．椭圆的离心率与椭圆形状变化间的关系(1)0<e<1，e越趋近于1，越扁，越趋近于0，越圆(可以根据字体1很扁、0很圆进行记忆)．(2)当e→0，c→0时，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在e＝0时的特例．(3)当e→1，c→a，椭圆变扁，直至成为极限位置线段F1F2，此时也可认为F1F2为椭圆在e＝1时的特例．[对应学生用书P23]已知椭圆方程求几何性质[例1]求椭圆81x2＋y2＝81的长轴和短轴的长及其焦点和顶点坐标，离心率．- 10 -[思路点拨]本题中椭圆的方程不是标准形式，故先化为标准形式后求出a，b，c，再根据焦点位置写出相应的几何性质．[精解详析]椭圆的方程可化为y2x2＋＝1，∴a＝9，b＝1，81∴c＝81－1＝80＝4 5，∴椭圆的长轴和短轴长分别为18,2.∵椭圆的焦点在y轴上，故其焦点坐标为F1(0，－4 5)，F2(0,4 5)，顶点坐标为A1(0，－9)，A2(0,9)，c 4 5B1(－1,0)，B2(1,0)，e＝＝.a9[一点通]求椭圆几何性质参数时，应把椭圆化成标准方程，注意分清焦点的位置，这样便于直观写出a，b的值，进而求出c，写出椭圆的几何性质参数．x2 y2 11．若椭圆＋＝1的离心率为，则m的值为________．m 4 3解析：当m>4时，由c2＝a2－b2＝m－4，m－4 1 9得＝.解得m＝.m 3 2当m<4时，由c2＝a2－b2＝4－m，4－m 1 32得＝，解得m＝.2 3 99 32答案：或2 92．求椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．x2 y2解：椭圆方程变形为＋＝1，9 4∴a＝3，b＝2，∴c＝a2－b2＝9－4＝5.∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a＝6,2c＝2 5，焦点坐标为F1(－5，0)，F2( 5，0)，c 5顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)，B1(0，－2)，B2(0,2)，离心率e＝＝.a 3由椭圆的几何性质求标准方程- 11 -[例2]求适合下列条件的椭圆的标准方程：4(1)长轴长为20，离心率等于；5(2)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)．[思路点拨]先确定椭圆的焦点位置，不能确定的要分情况讨论，然后设出标准方程，再利用待定系数法求出a、b、c，得到椭圆的标准方程．c 4[精解详析](1)∵2a＝20，e＝＝，a 5∴a＝10，c＝8，b2＝a2－c2＝36.x2 y2 由于椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1100 36y2 x2或＋＝1.100 36x2 y2 y2 x2(2)设椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1(a>b>0)．a2 b2 a2 b2由已知a＝2b，①且椭圆过点(2，－6)，从而有22 －6 2 －6 2 22＋＝1或＋＝1.②a2 b2 a2 b2由①②得a2＝148，b2＝37或a2＝52，b2＝13.x2 y2 y2 x2故所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.148 37 52 13[一点通]在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式，若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论．一般地，已知椭圆的焦点坐标时，可以确定焦点所在的坐标轴；而已知椭圆的离心率、长轴长、短轴长或焦距时，则不能确定焦点所在的坐标轴．33．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个2焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________________．c 3解析：由题意得2a＝12，＝，所以a＝6，c＝3 3，b＝3.a 2x2 y2故椭圆方程为＋＝1.36 9x2 y2答案：＋＝136 94．求满足下列条件的椭圆的标准方程：- 12 -(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3,2)；5(2)离心率为，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.13解：(1)由焦距是4可得c＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2)．由椭圆的定义知，2a＝32＋2＋22＋32＋2－22＝8，所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.y2 x2又焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为＋＝1.16 12(2)由题意知，2a＝26，即a＝13，c 5又e＝＝，所以c＝5，a13所以b2＝a2－c2＝132－52＝144，因为焦点所在的坐标轴不确定，x2 y2 y2 x2所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.169 144 169 144与椭圆离心率有关的问题x2 y2[例3]已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2.P是椭圆M上的任一a2 b21点，且PF1·PF2的最大值的取值范围为[ c2，3c2]，其中c2＝a2－b2，求椭圆的离心率的取值范2围．[思路点拨]由P是椭圆上一点，知PF1＋PF2＝2a，进而设法求出PF1·PF2的最大值，再由已知的范围求出离心率e的范围．[精解详析]∵P是椭圆上一点，∴PF1＋PF2＝2a，∴2a＝PF1＋PF2≥2PF1·PF2，即PF1·PF2≤a2，当且仅当PF1＝PF2时取等号．1 1 c2∴c2≤a2≤3c2，∴≤≤2，2 3 a21 3∴≤e2≤2，∴≤e≤2.3 33∵0<e<1，∴≤e<1，3- 13 -3∴椭圆的离心率的取值范围是[ ，1).3[一点通](1)椭圆的离心率的求法：b2 b①直接求a，c后求e，或利用e＝1－，求出后求e.a2 a②将条件转化为关于a，b，c的关系式，利用b2＝a2－c2消去b.等式两边同除以a2或a4c构造关于(e)的方程求e.a(2)求离心率范围时，常需根据条件或椭圆的范围建立不等式关系，通过解不等式求解，注意最后要与区间(0,1)取交集．5．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________．解析：设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，则由已知得2a＋2c＝4b.即a＋c＝2b，又a2＝b2＋c2，5 3 3解得a＝b，c＝b，e＝.4 4 53答案：5x2 y26．椭圆M：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆M上任一点，且a2 b2PF·1PF的最大值的取值范围是[c2,3c2]，其中c＝a2－b2，则椭圆M的离心率e的取值范2围是________．解析：设P(x，y)、F1(－c,0)、F2(c,0)，则P F＝(－c－x，－y)，1PF＝(c－x，－y)，2PF·1PF＝x2＋y2－c2，2又x2＋y2可看作P(x，y)到原点的距离的平方，所以(x2＋y2)max＝a2，( PF·1PF)max＝b2，21 1 所以c2≤b2＝a2－c2≤3c2，即≤e2≤，4 21 2所以≤e≤.2 21 答案：[ ，2 2 2]- 14 -与椭圆相关的应用问题[例4]某宇宙飞船的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，设地球半径为R，若其近地1 1 点、远地点离地面的距离分别大约是R、R，求此宇宙飞船运行的轨道方程．15 3[思路点拨]根据条件建立坐标系，设出椭圆方程，构造方程，求得宇宙飞船运行的轨道方程．[精解详析]如图所示，以运行轨道的中心为原点，其与地心的连线为x轴建立坐标系且，令地心F2为椭圆的右焦点，则轨道方程为焦点在xx2 y2 轴上的椭圆的标准方程不，妨设为＋＝1(a>b>0)则，地心F2的坐标为(c,0)，a2 b2其中a2＝b2＋c2，则Error!解得Error!6 2 64( R)2－( R)2＝R2.∴b2＝a2－c2＝5 15 45∴此宇宙飞船运行的轨道方程为x2 y2＋＝1.36 64R2 R225 45[一点通]解决此类问题，首先要根据条件建立平面直角坐标系，将实际问题转化为有关椭圆的问题，再将条件转化为a，b，c的关系，进而求出椭圆方程，解决其它问题．注意：①椭圆方程中变量的范围对实际问题的限制；②最后要将数学模型还原回实际问题作答．7．某航天飞行控制中心对某卫星成功实施了第二次近月制动，卫星顺利进入周期为3.5 h的环月小椭圆轨道(以月球球心为焦点)．卫星远月点(距离月球表面最远的点)高度降至1 700 km，近月点(距离月球表面最近的点)高度是200km，月球的半径约是1 800 k m，且近月点、远月点及月球的球心在同一直线上，此时小椭圆轨道的离心率是________．解析：可设小椭圆的长轴长为2a，焦距为2c，由已知得2a＝1 700＋2×1 800＋200，∴a＝2 750.又a＋2c＝1 700＋1 800，∴c＝375.c375 3∴e＝＝＝.a 2 750 22- 15 -3答案：228．已知某荒漠上F1、F2两点相距2 km，现准备在荒漠上开垦出一片以F1、F2为一条对角线的平行四边形区域，建农艺园．按照规划，平行四边形区域边界总长为8 km.(1)试求平行四边形另两个顶点的轨迹方程；(2)问农艺园的最大面积能达到多少？解：(1)以F1F2所在直线为x轴，F1F2的中垂线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则F1(－1,0)，F2(1,0)．设平行四边形的另两个顶点为P(x，y)，Q(x′，y′)，则由已知得PF1＋PF2＝4.由椭圆定义知点P在以F1、F2为焦点，以4为长轴长的椭圆上，此时a＝2，c＝1，则b＝3.x2 y2∴P点的轨迹方程为＋＝1(y≠0)，4 3同理Q点轨迹方程同上．(2)S▱PF1QF2＝F1F2·|y P|≤2c·b＝2 3(km2)，所以当P为椭圆短轴端点时，农艺园的面积最大为2 3 km2.1．椭圆的顶点、焦点、中心坐标等几何性质与坐标有关，它们反映了椭圆在平面内的位置．2．椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率等几何性质与坐标无关，它们反映了椭圆的形状．3．讨论与坐标有关的几何性质应先由焦点确定出椭圆的类型，不能确定的应分焦点在x轴上、y轴上进行讨论．[对应课时跟踪训练(九)]x2 y21．(新课标全国卷Ⅱ改编)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是a2 b2C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为________．解析：法一：由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝3m，故离心率e＝c2c|F1F2| 3m 3＝＝＝＝.a2a|PF1|＋|PF2| 2m＋m 3b2法二：由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，将x＝c代入椭圆方程可解得y＝±，所以|PF2|a- 16 -b2 b2＝.又由∠PF1F2＝30°可得|F1F2|＝|PF2|，故2c＝·，变形可得(a2－c2)＝2ac，等3 3 3a a3式两边同除以a2，得3(1－e2)＝2e，解得e＝或e＝－3(舍去)．3答案：3312．(广东高考改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的2方程是__________________．x2 y2解析：依题意，设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，所以Error!解得a2＝4，b2＝3.a2 b2x2 y2答案：＋＝14 3x2 y2 x2 y23．曲线＋＝1与曲线＋＝1(k<9)的________相等．(填“长轴长”或“短轴25 9 25－k9－k长”或“离心率”或“焦距”)解析：c2＝25－k－(9－k)＝16，c＝4.故两条曲线有相同的焦距．答案：焦距x2 y2 64．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率是，过椭圆上一点M作直线MA，MB分别交椭圆a2 b2 3于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，则k1·k2的值为________．解析：设点M(x，y)，A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，b2x2 b2x21则y2＝b2－，y＝b2－.21a2 a2y－y1 y＋y1 y2－y21b2 c2所以k1·k2＝·＝＝－＝－1x－x1 x＋x1 x2－x21a2 a21＝e2－1＝－，31即k1·k2的值为－.31答案：－3x2 y2 3a5．设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1a2 b2 2是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率是________．3a解析：设直线x＝与x轴交于点M，则∠PF2M＝60°.23a 由题意知，F1F2＝PF2＝2c，F2M＝－c.2- 17 -1 3a在Rt△PF2M中，F2M＝PF2，即－c＝c.2 2c 3∴e＝＝.a 43答案：43 5 36．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率e＝，经过点A( ，－2)，求椭圆的标准方程．5 2解：设椭圆的标准方程为x2 y2 75 4＋＝1(a>b>0)，则＋＝1.①a2 b2 4a2 b23 c 3 3由已知e＝，∴＝，∴c＝a.5 a 5 53 16∴b2＝a2－c2＝a2－( a)2，即b2＝a2.②5 2575 4 × 25把②代入①，得＋＝1，4a2 16a2x2 y2解得a2＝25，∴b2＝16，∴所求方程为＋＝1.25 1637．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、2焦点坐标、顶点坐标．x2 y2解：椭圆方程可化为＋＝1，m mm＋3m由m>0，易知m> ，m＋3m∴a2＝m，b2＝.m＋3m m＋2∴c＝a2－b2＝.m＋33 m＋2 3由e＝，得＝，解得m＝1，2 m＋3 2y2 ∴椭圆的标准方程为x2＋＝1.141 3∴a＝1，b＝，c＝.2 2∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1，3 3( ，F2 ，两焦点坐标分别为F1－，0) ( ，0)2 2- 18 -11 顶点坐标分别为 A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1( 2)，B 2(0， .0，－2 )8．若椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，点 P 是椭圆上的一点，P 在 x 轴上的射影恰为 椭圆的左焦点，P 与中心 O 的连线平行于右顶点与上顶点的连线，且左焦点与左顶点的距离等 于 10－ 5，试求椭圆的离心率及其方程．x 2 y 2解：令 x ＝－c ，代入 ＋ ＝1(a ＞b ＞0)，a 2b 2c 2 b 4 b 2得 y 2＝b 2(1－ )＝ ，∴y ＝± . a 2 a 2 ab 2 设 P (－c ， )，椭圆的右顶点 A (a,0)，上顶点 B (0，b )． ab 2 b∵OP ∥AB ，∴k OP ＝k AB ，∴－ ＝－ ， ac ac2∴b ＝c .而 a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，∴a ＝ 2c ，∴e ＝ ＝ . a 2又∵a －c ＝ 10－ 5，解得 a ＝ 10，c ＝ 5，∴b ＝ 5，x 2 y 2∴所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.10 5 - 19 -。

2019-2020年高中数学苏教版选修2-1第2章《圆锥曲线与方程》(5)word学案

2019-2020年高中数学苏教版选修2-1第2章《圆锥曲线与方程》(5)word学案

2019-2020年高中数学苏教版选修2-1第2章《圆锥曲线与方程》（5）word 学案 [学习目标] 1.了解圆锥曲线的统一定义.2.能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题．[知识链接]1．椭圆上一点到准线距离与它到对应焦点距离之比等于多少？ 答：1e. 2．动点M 到一个定点F 的距离与到一条定直线l 的距离之比为定值的轨迹一定是圆锥曲线吗？ 答：当F ∉l 时，动点M 轨迹是圆锥曲线．当F ∈l 时，动点M 轨迹是过F 且与l 垂直的直线． [预习导引]1．圆锥曲线的统一定义平面内到一个定点F 和到一条定直线l (F 不在l 上)的距离的比等于常数e 的点的轨迹． 0<e <1时，它表示椭圆；e >1时，它表示双曲线；e ＝1时，它表示抛物线．2．对于椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)和双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)中，与F (c,0)对应的准线方程是l ：x ＝a 2c ，与F ′(－c ，0)对应的准线方程是l ′：x ＝－a 2c；如果焦点在y 轴上，则两条准线方程为y ＝±a 2c.要点一 统一定义的简单应用例1 椭圆x 225＋y 29＝1上有一点P ，它到左准线的距离等于2.5，那么，P 到右焦点的距离为________．答案 8解析 如图所示，PF 1＋PF 2＝2a ＝10，e ＝c a ＝45， 而PF 12.5＝e ＝45，∴PF 1＝2，∴PF 2＝10－PF 1＝10－2＝8.规律方法 椭圆的两个定义从不同角度反映了椭圆的特征，解题时要灵活运用．一般地，如果遇到有动点到两定点距离和的问题，应自然联想到椭圆的定义；如果遇到有动点到一定点及一定直线距离的问题，应自然联想到统一定义；若两者都涉及，则要综合运用两个定义才行．跟踪演练1 已知椭圆x 24b 2＋y 2b 2＝1上一点P 到右焦点F 2的距离为b (b >1)，求P 到左准线的距离．解 方法一 由x 24b 2＋y 2b 2＝1，得a ＝2b ，c ＝3b ，e ＝32.由椭圆第一定义， PF 1＋PF 2＝2a ＝4b ，得PF 1＝4b －PF 2＝4b －b ＝3b .由椭圆第二定义，PF 1d 1＝e ，d 1为P 到左准线的距离， ∴d 1＝PF 1e ＝23b ，即P 到左准线的距离为23b . 方法二 ∵PF 2d 2＝e ，d 2为P 到右准线的距离． e ＝c a ＝32，∴d 2＝PF 2e ＝233b . 又椭圆的两准线的距离为2·a 2c ＝833b ， ∴P 到左准线的距离为833b －233b ＝23b . 要点二 应用统一定义转化求最值例2 已知椭圆x 28＋y 26＝1内有一点P (1，－1)，F 是椭圆的右焦点，在椭圆上求一点M ，使MP ＋2MF 之值为最小．解 设d 为M 到右准线的距离．∵e ＝c a ＝12，MF d ＝12， ∴MF 12＝d ，即d ＝2MF (如图)． 故MP ＋2MF ＝MP ＋MM ′.显然，当P 、M 、M ′三点共线时，所求的值为最小，从而求得点M 的坐标为(2315，－1)．规律方法 本例中，利用统一定义，将椭圆上点M 到焦点F 的距离转化为到准线的距离，再利用图形的形象直观，使问题得到简捷的解决．跟踪演练2 已知双曲线x 29－y 216＝1的右焦点为F ，点A (9,2)，试在双曲线上求一点M ，使MA ＋35MF 的值最小，并求这个最小值． 解 过M 作MN 垂直于双曲线的右准线l 于N ，由第二定义可知MN ＝MF e(如图)． 又a ＝3，b ＝4，c ＝5，e ＝53， ∴MN ＝35MF ，∴MA ＋35MF ＝MA ＋MN ，显然当M 、N 、A 三点共线时MA ＋MN ＝AN 为最小，即MA ＋35MF 取得最小值，此时AN ＝9－a 2c ＝9－95＝365，∴MA ＋35MF 的最小值为365，此时点M (352，2)． 要点三 圆锥曲线统一定义的综合应用例3 已知A 、B 是椭圆x 2a 2＋y 2925a 2＝1上的点，F 2是右焦点，且AF 2＋BF 2＝85a ，AB 的中点N 到左准线的距离等于32，求此椭圆方程． 解 设F 1为左焦点，则根据椭圆定义有：AF 1＋BF 1＝2a －AF 2＋2a －BF 2＝4a －(AF 2＋BF 2)＝4a －85a ＝125a . 再设A 、B 、N 三点到左准线距离分别为d 1，d 2，d 3，由梯形中位线定理有d 1＋d 2＝2d 3＝3，而已知b 2＝925a 2， ∴c 2＝1625a 2，∴离心率e ＝45， 由统一定义AF 1＝ed 1，BF 1＝ed 2，∴AF 1＋BF 1＝125a ＝e (d 1＋d 2)＝125，∴a ＝1， ∴椭圆方程为x 2＋y 2925＝1. 规律方法 在圆锥曲线有关问题中，充分利用圆锥曲线的共同特征，将曲线上的点到准线的距离与到焦点的距离相互转化是一种常用方法．跟踪演练3 设P (x 0，y 0)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上任意一点，F 1为其左焦点． (1)求PF 1的最小值和最大值；(2)在椭圆x 225＋y 25＝1上求一点P ，使这点与椭圆两焦点的连线互相垂直． 解 (1)对应于F 1的准线方程为x ＝－a 2c， 根据统一定义：PF 1x 0＋a 2c＝e ， ∴PF 1＝a ＋ex 0.又－a ≤x 0≤a ，∴当x 0＝－a 时，(PF 1)min ＝a ＋c a×(－a )＝a －c ； 当x 0＝a 时，(PF 1)max ＝a ＋c a·a ＝a ＋c . (2)∵a 2＝25，b 2＝5，∴c 2＝20，e 2＝45. ∵PF 21＋PF 22＝F 1F 22，∴(a ＋ex 0)2＋(a －ex 0)2＝4c 2. 将数据代入得25＋45x 20＝40.∴x 0＝±532. 代入椭圆方程得P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫532，52，⎝⎛⎭⎫532，－52，⎝⎛⎭⎫－532，52，⎝⎛⎭⎫－532，－52.1．已知方程(1＋k )x 2－(1－k )y 2＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围为________． 答案 －1<k <1解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋k >0，1－k >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k >－1，k <1，即－1<k <1. 2．已知点F 1，F 2分别是椭圆x 2＋2y 2＝2的左，右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF→1＋PF →2|的最小值是________． 答案 2解析 设P (x 0，y 0)，则PF →1＝(－1－x 0，－y 0)，PF →2＝(1－x 0，－y 0)，∴PF →1＋PF →2＝(－2x 0，－2y 0)，∴|PF →1＋PF →2|＝4x 20＋4y 20＝22－2y 20＋y 20＝2－y 20＋2.∵点P 在椭圆上，∴0≤y 20≤1，∴当y 20＝1时，|PF →1＋PF →2|取最小值为2.3．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点．满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．答案 (0，22) 解析 ∵MF 1→·MF 2→＝0，∴M 点轨迹方程为x 2＋y 2＝c 2，其中F 1F 2为直径，由题意知椭圆上的点在圆x 2＋y 2＝c 2外部，设点P 为椭圆上任意一点，则OP >c 恒成立，由椭圆性质知OP ≥b ，其中b 为椭圆短半轴长，∴b >c ，∴c 2<b 2＝a 2－c 2，∴a 2>2c 2，∴(c a )2<12，∴e ＝c a <22. 又∵0<e <1，∴0<e <22. 4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线x 2m 2－y 2n2＝1(m ＞0，n ＞0)，有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c 是a 、m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率是________．答案 12解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝c 2， ①m 2＋n 2＝c 2，②c 2＝am ，③2n 2＝2m 2＋c 2，④由②④可得m 2＋n 2＝2n 2－2m 2，即n 2＝3m 2，⑤⑤代入②得4m 2＝c 2⇒c ＝2m ，⑥⑥代入③得4m 2＝am ⇒a ＝4m .所以椭圆的离心率e ＝c a ＝12.1.三种圆锥曲线的共同特征是曲线上的点到定点的距离与它到定直线距离的比是常数．2．利用圆锥曲线的统一定义可实现曲线上的点到焦点的距离与到准线距离的相互转化．一、基础达标1．若直线ax －y ＋1＝0经过抛物线y 2＝4x 的焦点，则实数a ＝______.答案 －1解析 焦点为(1,0)，代入直线方程，可得a ＝－1.2．已知椭圆的准线方程为y ＝±4，离心率为12，则椭圆的标准方程为____________． 答案 x 23＋y 24＝1 解析 由⎩⎨⎧ a 2c ＝4，c a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，c ＝1. 所以b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆的标准方程为x 23＋y 24＝1. 3．双曲线3x 2－y 2＝9，P 是双曲线上一点，则P 点到右焦点的距离与P 点到右准线的距离的比值为________．答案 2解析 由统一定义，所求距离之比即为双曲线的离心率．双曲线方程可化为x 23－y 29＝1， 得a 2＝3，b 2＝9，c 2＝a 2＋b 2＝12，所以e ＝c a ＝123＝2. 4．椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到左焦点F 1的距离为3，则点P 到左准线的距离为________． 答案 5解析 依题意e ＝35，所以点P 到左准线的距离d ＝PF 1e＝5. 5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，右准线方程为x ＝33，则双曲线方程为__________．答案 x 2－y 22＝1 解析 由⎩⎨⎧c a ＝3，a 2c ＝33，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝3，所以b 2＝3－1＝2. 所以双曲线方程为x 2－y 22＝1. 6．已知抛物线y 2＝2px 的准线与双曲线x 2－y 2＝2的左准线重合，则抛物线的焦点坐标为________．答案 (1,0)解析 双曲线的左准线为x ＝－1，抛物线的准线为x ＝－p 2，所以p 2＝1，所以p ＝2. 故抛物线的焦点坐标为(1,0)．7．已知双曲线的渐近线方程为3x ±4y ＝0，一条准线方程为y ＝95，求该双曲线的标准方程． 解 由已知可设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)． 由题意有⎩⎨⎧a 2c ＝95，ab ＝34，a 2＋b 2＝c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16. 所以所求双曲线方程为y 29－x 216＝1. 二、能力提升8．已知点P 在椭圆x 216＋y 225＝1上，F 1、F 2是椭圆的上、下焦点，M 是PF 1的中点，OM ＝4，则点P 到下准线的距离为________．答案 403解析 因为OM 是△F 1F 2P 的中位线，所以PF 2＝2OM ＝8.又e ＝35，所以P 到下准线的距离d ＝PF 2e ＝8×53＝403. 9．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上横坐标为3a 2的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线的离心率的取值范围是________．答案 (2，＋∞)解析 由已知得(3a 2－a 2c )e >3a 2＋a 2c，即3c 2>5ac ＋2a 2， 所以3e 2－5e －2>0，解得e >2或e <－13(舍去)． 10．在给定的椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应的准线的距离为1，则椭圆的离心率为________．答案 22解析 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)， 则右焦点F (c,0)，右准线l ：x ＝a 2c. 把x ＝c 代入椭圆的方程得y 2＝b 2(1－c 2a 2)＝b 4a 2，即y ＝±b 2a. 依题设知2b 2a ＝2且a 2c －c ＝b 2c＝1， 所以e ＝c a ＝b 2a ·c b 2＝22×1＝22. 11．已知双曲线过点(3，－2)，且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程．解 (1)椭圆的焦点为(5，0)，(－5，0)，它也是双曲线的焦点．设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)． 则由题设得⎩⎪⎨⎪⎧ 9a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，b 2＝2. 所以双曲线的标准方程为x 23－y 22＝1. (2)由(1)可知双曲线的右准线为x ＝a 2c ＝355. 它也是抛物线的准线，所以p 2＝355， 故抛物线的标准方程为y 2＝－1255x . 12．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率e ＝22，点F 2到右准线l 的距离为 2.(1)求a 、b 的值；(2)设M 、N 是l 上的两个动点，F 1M →·F 2N →＝0，证明：当|MN →|取最小值时，F 2F 1→＋F 2M →＋F 2N →＝0.(1)解 因为e ＝c a ，F 2到l 的距离d ＝a 2c－c ， 所以由题设得⎩⎨⎧ c a ＝22，a 2c －c ＝2，解得c ＝2，a ＝2.由b 2＝a 2－c 2＝2，得b ＝ 2.故a ＝2，b ＝ 2.(2)证明 由c ＝2，a ＝2得F 1(－2，0)，F 2(2，0)，l 的方程为x ＝22， 故可设M (22，y 1)，N (22，y 2)．由F 1M →·F 2N →＝0知(22＋2，y 1)·(22－2，y 2)＝0，得y 1y 2＝－6，所以y 1y 2≠0，y 2＝－6y 1. |MN →|＝|y 1－y 2|＝|y 1＋6y 1|＝|y 1|＋6|y 1|≥26， 当且仅当y 1＝±6时，上式取等号，此时y 2＝－y 1，所以，F 2F 1→＋F 2M →＋F 2N →＝(－22，0)＋(2，y 1)＋(2，y 2)＝(0，y 1＋y 2)＝0.三、探究与创新13.如图所示，已知某椭圆的焦点是F 1(－4，0)、F 2(4,0)，过点F 2作垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且F 1B ＋F 2B ＝10，椭圆上不同的两点A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)满足条件：F 2A 、F 2B 、F 2C 成等差数列．(1)求该椭圆的方程；(2)求弦AC 中点的横坐标．解 (1)由椭圆定义及条件知，2a ＝F 1B ＋F 2B ＝10，得a ＝5，又c ＝4，所以b ＝a 2－c 2＝3.故椭圆方程为x 225＋y 29＝1.(2)由点B (4，y B )在椭圆上，得F 2B ＝y B ＝95. 因为椭圆右准线方程为x ＝254，离心率为45， 根据椭圆定义，有F 2A ＝45⎝⎛⎭⎫254－x 1，F 2C ＝45⎝⎛⎭⎫254－x 2，由F 2A 、F 2B 、F 2C 成等差数列，得 45⎝⎛⎭⎫254－x 1＋45⎝⎛⎭⎫254－x 2＝2×95，由此得出x 1＋x 2＝8.设弦AC 的中点为P (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝4.。

【配套K12】[学习]2018版高中数学 第二章 概率章末复习课学案 苏教版选修2-3

【配套K12】[学习]2018版高中数学 第二章 概率章末复习课学案 苏教版选修2-3

第二章 概率学习目标 1.进一步理解随机变量及其概率分布的概念，了解概率分布对于刻画随机现象的重要性.2.理解超几何分布及其导出过程，并能够进行简单的应用.3.了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n 次独立重复试验模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题.4.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念，能计算简单的离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单的实际问题．1．事件概率的求法 (1)条件概率的求法①利用定义分别求出P (B )和P (AB )，解得P (A |B )＝P (AB )P (B ). ②借助古典概型公式，先求事件B 包含的基本事件数n ，再在事件B 发生的条件下求事件A 包含的基本事件数m ，得P (A |B )＝mn. (2)相互独立事件的概率若事件A ，B 相互独立，则P (AB )＝P (A )P (B )． (3)n 次独立重复试验在n 次独立重复试验中，事件A 发生k 次的概率为P n (k )＝C k n p k qn －k，k ＝0,1,2，…，n ，q ＝1－p . 2．随机变量的分布列(1)求离散型随机变量的概率分布的步骤 ①明确随机变量X 取哪些值；②计算随机变量X 取每一个值时的概率；③将结果用二维表格形式给出．计算概率时注意结合排列与组合知识． (2)两种常见的分布列 ①超几何分布若一个随机变量X 的分布列为P (X ＝r )＝C r M C n －rN －MC n N ，其中r ＝0,1,2,3，…，l ，l ＝min(n ，M )，则称X 服从超几何分布． ②二项分布若随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝C k n p k qn －k，其中0＜p ＜1，p ＋q ＝1，k ＝0,1,2，…，n ，则称X 服从参数为n ，p 的二项分布，记作X ～B (n ，p )． 3．离散型随机变量的均值与方差(1)若离散型随机变量X 的概率分布如下表：则E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n 则V (X )＝(x 1－μ)2p 1＋(x 2－μ)2p 2＋…＋(x n －μ)2p n . (2)当X ～H (n ，M ，N )时，E (X )＝nM N ，V (X )＝nM (N －M )(N －n )N 2(N －1).(3)当X ～B (n ，p )时，E (X )＝np ，V (X )＝np (1－p )．类型一 条件概率的求法例1 口袋中有2个白球和4个红球，现从中随机不放回地连续抽取两次，每次抽取1个，则： (1)第一次取出的是红球的概率是多少？(2)第一次和第二次都取出的是红球的概率是多少？(3)在第一次取出红球的条件下，第二次取出的是红球的概率是多少？反思与感悟 条件概率是学习相互独立事件的前提和基础，计算条件概率时，必须搞清要求的条件概率是在什么条件下发生的概率．一般地，计算条件概率常有两种方法 (1)P (B |A )＝P (AB )P (A ).(2)P (B |A )＝n (AB )n (A ).在古典概型下，n (AB )指事件A 与事件B 同时发生的基本事件个数；n (A )是指事件A 发生的基本事件个数．跟踪训练1 掷两颗均匀的骰子，已知第一颗骰子掷出6点，问“掷出点数之和大于或等于10”的概率．类型二 互斥、对立、独立事件的概率例2 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立． (1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的概率分布和均值．反思与感悟 在求解此类问题中，主要运用对立事件、独立事件的概率公式(1)P(A)＝1－P(A)．(2)若事件A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)．(3)若事件A，B是互斥事件，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．跟踪训练2 红队队员甲，乙，丙与蓝队队员A，B，C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘．已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立．(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求P(ξ≤1)．类型三离散型随机变量的概率分布、均值和方差例3 一次同时投掷两枚相同的正方体骰子(骰子质地均匀，且各面分别刻有1,2,2,3,3,3六个数字)，(1)设随机变量η表示一次掷得的点数和，求η的概率分布；(2)若连续投掷10次，设随机变量ξ表示一次掷得的点数和大于5的次数，求E(ξ)，V(ξ)．反思与感悟 求离散型随机变量的均值与方差的步骤跟踪训练3 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束，除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23，假设各局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分，对方得1分，求乙队得分X 的概率分布及均值．类型四概率的实际应用例4 某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得－10分．如果一个挑战者回答前两个问题正确的概率都是0.8，回答第三个问题正确的概率为0.6，且各题回答正确与否相互之间没有影响．(1)求这位挑战者回答这三个问题的总得分ξ的概率分布和均值；(2)求这位挑战者总得分不为负分(即ξ≥0)的概率．反思与感悟 解需要分类讨论的问题的实质是：整体问题转化为部分问题来解决．转化成部分问题后增加了题设条件，易于解题，这也是解决需要分类讨论问题的总的指导思想． 跟踪训练4 某地有A ，B ，C ，D 四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A 到过疫区，B 肯定是受A 感染，对于C ，因为难以断定他是受A 还是受B 感染的，于是假定他受A 和受B 感染的概率都是12.同样也假定D 受A 、B 和C 感染的概率都是13.在这种假定之下，B 、C 、D 中直接受A 感染的人数X 就是一个随机变量．写出X 的概率分布．1．抛掷一枚骰子，观察出现的点数，若已知出现的点数不超过4，则出现的点数是奇数的概率为________．2．在5道题中有3道理科题和2道文科题．事件A 为“取到的2道题中至少有一道理科题”，事件B 为“取到的2道题中一题为理科题，另一题为文科题”，则P (B |A )＝________.3．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝C k n (23)k (13)n －k，k ＝0,1,2，…，n ，且E (ξ)＝24，则V (ξ)的值为________．4．设X 为随机变量，X ～B (n ，13)，若X 的方差为V (X )＝43，则P (X ＝2)＝________.5．盒子中有5个球，其中3个白球，2个黑球，从中任取两个球，求取出白球的均值和方差．1．条件概率的两个求解策略(1)定义法：计算P (A )，P (B )，P (AB )，利用P (A |B )＝P (AB )P (B )⎝ ⎛⎭⎪⎫或P (B |A )＝P (AB )P (A )求解． (2)缩小样本空间法：利用P (B |A )＝n (AB )n (A )求解． 其中(2)常用于古典概型的概率计算问题．2．求相互独立事件同时发生的概率需注意的三个问题(1)“P (AB )＝P (A )P (B )”是判断事件是否相互独立的充要条件，也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具．(2)涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率问题，务必分清事件间的相互关系． (3)公式“P (A ∪B )＝1－P (A B )”常应用于求相互独立事件至少有一个发生的概率． 3．求解实际问题的均值与方差的解题思路：先要将实际问题数学化，然后求出随机变量的概率分布，同时要注意运用两点分布、二项分布等特殊分布的均值、方差公式以及均值与方差的线性性质．答案精析题型探究例1 解 记事件A ：第一次取出的球是红球；事件B ：第二次取出的球是红球．(1)从口袋中随机不放回地连续抽取两次，每次抽取1个，所有基本事件共6×5个；第一次取出的球是红球，第二次是其余5个球中的任一个，符合条件的事件有4×5个， 所以P (A )＝4×56×5＝23.(2)从口袋中随机不放回地连续抽取两次，每次抽取1个，所有基本事件共6×5个；第一次和第二次都取出的球是红球，相当于取两个球，都是红球，符合条件的事件有4×3个，所以P (AB )＝4×36×5＝25. (3)利用条件概率的计算公式， 可得P (B |A )＝P (AB )P (A )＝2523＝35.跟踪训练1 解 设“掷出点数之和大于或等于10”为事件A ，“第一颗骰子掷出6点”为事件B .方法一 P (A |B )＝P (AB )P (B )＝336636＝12.方法二 “第一颗骰子掷出6点”的情况有(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共6种，∴n (B )＝6.“掷出点数之和大于或等于10”且“第一颗骰子掷出6点”的情况有(6,4)，(6,5)，(6,6)，共3种，即n (AB )＝3. ∴P (A |B )＝n (AB )n (B )＝36＝12. 例2 解 记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}．由题设知P (E )＝23，P (E )＝13，P (F )＝35，P (F )＝25，且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立．(1)记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则H ＝E F ， 于是P (H )＝P (E )P (F )＝13×25＝215， 故所求的概率为P (H )＝1－P (H )＝1－215＝1315.(2)设企业可获利润为X 万元，则X 的可能取值为0,100,120,220. 因为P (X ＝0)＝P (E F )＝13×25＝215， P (X ＝100)＝P (E F )＝13×35＝315＝15， P (X ＝120)＝P (E F )＝23×25＝415， P (X ＝220)＝P (E F )＝23×35＝615＝25， 故所求的概率分布如下表：E (X )＝0×215＋100×15＋120×15＋220×5＝140.跟踪训练2 解 (1)设“甲胜A ”为事件D ，“乙胜B ”为事件E ，“丙胜C ”为事件F ，则D ，E ，F 分别表示甲不胜A 、乙不胜B 、丙不胜C 的事件．因为P (D )＝0.6，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5.由对立事件的概率公式知，P (D )＝0.4，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5. 红队至少两人获胜的事件有DE F ，D E F ，D EF ，DEF .由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P ＝P (DE F )＋P (D E F )＋P (D EF )＋P (DEF )＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55. (2)由题意知，ξ的可能取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝P (D E F )＝0.4×0.5×0.5＝0.1，P (ξ＝1)＝P (D E F )＋P (D E F )＋P (D E F )＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35，所以P (ξ≤1)＝P (ξ＝0)＋P (ξ＝1) ＝0.45.例3 解 (1)由已知，随机变量η的取值为2,3,4,5,6.设掷一个正方体骰子所得点数为η0，P (η0＝1)＝16，P (η0＝2)＝13， P (η0＝3)＝12，所以P (η＝2)＝16×16＝136，P (η＝3)＝2×16×13＝19， P (η＝4)＝2×16×12＋13×13＝518， P (η＝5)＝2×13×12＝13， P (η＝6)＝12×12＝14.故η的概率分布为(2)由已知，满足条件的一次投掷的点数和取值为6，设某次发生的概率为p ，由(1)知，p ＝14.因为随机变量ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫10，14， 所以E (ξ)＝np ＝10×14＝52，V (ξ)＝np (1－p )＝10×14×34＝158.跟踪训练3 解 (1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A 1，“甲队以3∶1胜利”为事件A 2，“甲队以3∶2胜利”为事件A 3，由题意知各局比赛结果相互独立， 故P (A 1)＝(23)3＝827，P (A 2)＝C 23(23)2(1－23)×23＝827，P (A 3)＝C 24(23)2(1－23)2×12＝427. 所以，甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率分别是827，827，427.(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A 4， 由题意知各局比赛结果相互独立， 所以P (A 4)＝C 24(1－23)2(23)2×(1－12)＝427.由题意知，随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3， 根据事件的互斥性，得P (X ＝0)＝P (A 1∪A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝1627，P (X ＝1)＝P (A 3)＝427， P (X ＝2)＝P (A 4)＝427，P (X ＝3)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝2)＝19.故X 的概率分布为所以E (X )＝0×1627＋1×427＋2×27＋3×9＝9.例4 解 (1)三个问题均答错，得0＋0＋(－10)＝－10(分)． 三个问题均答对，得10＋10＋20＝40(分)． 三个问题一对两错，包括两种情况： ①前两个问题一对一错，第三个问题错， 得10＋0＋(－10)＝0(分)；②前两个问题错，第三个问题对，得0＋0＋20＝20(分)． 三个问题两对一错，也包括两种情况： ①前两个问题对，第三个问题错， 得10＋10＋(－10)＝10(分)；②第三个问题对，前两个问题一对一错， 得20＋10＋0＝30(分)．故ξ的可能取值为－10,0,10,20,30,40.P (ξ＝－10)＝0.2×0.2×0.4＝0.016， P (ξ＝0)＝C 12×0.2×0.8×0.4＝0.128， P (ξ＝10)＝0.8×0.8×0.4＝0.256， P (ξ＝20)＝0.2×0.2×0.6＝0.024， P (ξ＝30)＝C 12×0.8×0.2×0.6＝0.192，P (ξ＝40)＝0.8×0.8×0.6＝0.384.所以ξ的概率分布为所以E (ξ)24.(2)这位挑战者总得分不为负分的概率为P (ξ≥0)＝1－P (ξ<0)＝1－0.016＝0.984.跟踪训练4 解 (1)A 直接感染一个人有2种情况：分别是A －B －C －D 和A －B －⎣⎢⎡C D，概率是12×13＋12×13＝13；(2)A 直接感染二个人有3种情况：分别是A －⎣⎢⎡B －CD，A —⎣⎢⎡B －D C，A —⎣⎢⎡B C －D，概率是12×13＋12×13＋12×13＝12； (3)A 直接感染三个人只有一种情况：ABDC ，概率是12×13＝16.∴随机变量X 的概率分布是当堂训练1.122.233.84.802435．解 取出的白球个数ξ可能取值为0,1,2. ξ＝0时表示取出的两个球都为黑球，即P (ξ＝0)＝C 22C 25＝110.ξ＝1表示取出的两个球中一个黑球，一个白球， 即P (ξ＝1)＝C 13C 12C 25＝35.ξ＝2表示取出的两个球均为白球， 即P (ξ＝2)＝C 23C 25＝310.于是E (ξ)＝0×110＋1×35＋2×310＝1.2，V (ξ)＝(0－1.2)2×110＋(1－1.2)2×35＋(2－1.2)2×310＝0.36.。

苏教版高中数学选修2-3《条件概率》参考学案

苏教版高中数学选修2-3《条件概率》参考学案

2.3 .1条件概率学习目标了解条件概率的概念了解条件概率的乘法公式学习过程一、课前准备预习教材找出疑惑之处，并准备解决下面问题:在一次抛掷两粒质地均匀骰子试验中，问两粒骰子正面向上数字之和是7的概率二、新课导学【学习探究】一抛掷一枚质地均匀的硬币两次.（1）两次都是正面向上的概率是多少？（2）在第一次出现正面向上的条件下，第二次出现正面向上的概率是多少？（3）在已知有一次出现正面向上的条件下，两次都是正面向上的概率是多少？新知1 条件概率一般地，若有两个事件A和B，在已知事件B发生的条件下考虑事件A发生的概率，则称此概率为B已发生的条件下A的条件概率.记为(|)P A B.试试用条件概率的相关知识表示一下学习探究一中的问题思考若事件A与B互斥，则(|)P A B等于多少？新知2 事件AB表示事件A和事件B同时发生【学习探究】二通过具体事例来发现(|)P AB P B三者的关系，证明不作要求。

P A B，(),()新知 3 条件概率公式 乘法公式一般地，若()0P B >,则事件B 已发生的条件下A 发生的条件概率是()(|)()P AB P A B P B = 乘法公式 ()()()P AB P A B P B =【数学运用】例1 教材 例1例2 教材 例2例3 教材 例3小结 （1）条件概率的“条件”可以理解为“前提”的意思（2）本章中条件概率仍可用古典概型知识求解学习评价当堂练习1.练习1,22．已知P(B|A)=103,P(A)=51,则P(AB)=_______________． 3．由“0”、“1” 组成的三位数码组中，若用A 表示“第二位数字为0”的事件，用B 表示“第一位数字为0”的事件，则P(A|B)=_______________．4．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是154，刮三级以上风的概率为152，既刮风又下雨的概率为101，则在下雨天里，刮风的概率为_______________．课后拓展1．设某种动物有出生算起活20岁以上的概率为0.8，活到25岁以上的概率为0.4.现有一个20岁的这种动物，问它能活到25岁以上的概率是________．2．某个班级共有学生40人，其中有团员15人，全班分成四个小组，第一小组有学生10人，其中团员4人．如果要在班内任选一人当学生代表（1）求这个代表恰好在第一小组内的概率（2）求这个代表恰好是团员代表的概率（3）求这个代表恰好是第一小组内团员的概率（4）现在要在班内任选一个团员代表，问这个代表恰好在第一小组内的概率3．一个家庭中有两个小孩，已知其中一个是女孩，问这时另一个小孩也是女孩的概率？（每个小孩是男孩和女孩的概率相等）本课时小结。

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