电磁场第四讲：.
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∇⋅
� D
=
ρ,⇒
∇⋅
� E
=
ρ
�
�ε
∇× E = 0, ⇒ E = −∇ϕ
泊松方程：
⇒∇2ϕ = − ρ ε
在无源区：
∇2ϕ =0
♠注意：1）着眼于解标量方程，电场可以通过电位与电场的关系确定；2）泊松 方程或拉普拉斯方程是着眼于有限域问题 3）微分方程+边值问题是电磁场问题的 一般方法；4）边界处理是解决问题的关键
讨论：1）在电介质与电介质的情况下，分界面上不存在自由电荷：
E1t = E2t ⇒E1sinα1 = E2 sinα2
ε1E1n =ε2E2n ⇒ε1E1cosα1 =ε2E2 cosα2
⇒ tgα1 = ε1 tgα2 ε2
2）在导体与电介质的情况下，分界面上不存在自由电荷，以 1 表示导体，2 表示电介质
4、算例
例 1-12 如图所示：平行板电容器由两层介质构成，介电常
数分别为ε1、ε2，两极板电压为 U，两层介质的厚度分别为d1、
d2，忽略边缘效应，求出两层介质中的 1）电位分布；2）
电场分布 解：
+
d1
U
d2
-
例 1- 13 如图所示为一长直同轴电缆的截面，设同轴电缆的 内外半径分别为 R1、R2，，中间填充介质介电常数为ε， 内外导体间的电压 U，1）电位分布；2）电场强度分 布；3）电荷分布
第四讲
� � � 复习引入课题：
I 对导体什么是静电平衡状态？静电平衡状态有何特点？
r ∈V : E（r）= 0
� ��
r ∈S : E（r）= Ennˆ
�
�
r�∈V or S :�ϕ（r）= C
r ∈V : ρ（r）= 0
� 注 意
r 1）任
何
∈
S
:
�
σ（r）=
En
,
Et = 0
材料中电荷激发电场本质特征一样，只是导电机理不同而
σ =p�⋅n�0
材料外部 材料内部
♠注意：上式的法向为由电介质指向外部 III 高斯通量定理
��
∫�sD ⋅
dS �
=
q
D = εE, ε = ε0εr
♠注意：高斯定律右边电量为自由电量，极化的影响体现在 介电常数ε中
§1-5 静电场的基本方程•分界面上的边值条件
§1-6 泊松方程和拉普拉斯方程
已；2）电荷面密度正，电场沿法线向外；电荷面密度负，
电场沿法线向里；
II 什么是电介质的极化度？物理本质？
电偶极矩（电矩）：p = qd +• d •-
��
ϕ 单偶极子的电场：
=
1
4πε0
⋅
p⋅r
r3
极化强度：
� p
=
lim
∑
�
p
线性、各向同 性材料：
� � ∆v→0 ∆v
p=� χε0E
p ρ = −∇⋅ p
在 y<0 的区域ε1=3ε0 若已知 E2=10i+20j 伏/米，求 D2、D1、E1
D1 ε1
ε2
X
D2
例 1-10 在聚苯乙烯（ε=2.6ε0）与空气的分界面两边，聚苯乙烯的电场 强度为 2500 米/伏，电场方向与分界面法向的夹角是 20 度，求 1）空气 中电场强度与分界面法向的夹角；2）空气中的电场强度和电位移
处理边界问题的基础是静电场基本方程
二、分界面上的边值条件
� � 1、边值条件
∫E⋅dl = 0, ⇒E1t = E2t
��
∫D⋅dS = q,
s
⇒ε1E1n −ε2E2n =σ
E2
α2
ε2
ε1
ε2 ε1
♦
α1
E1
D2
α2
α1
D1
任取一矩形闭合曲 线，宽为小量∆L，矩 形高 h 为小小量
任取一薄饼状闭合曲 面 ， 面 积 为 小 量 ∆S ， 薄饼厚度 h 为小小量
一、静电场的基本方程
� � � ♣ 问题：电场、电位的计算公式是不是基本方程？
∫ E ⋅dl = 0, ��
∇× E = 0 无旋 �
∫�sD
⋅
dS �
= ∫vρdV,
∇⋅D= ρ
有源
D = εE
♠注意：1）积分方程永远成立，面向过程的电荷激发电场方程通过数学方式由积 分方程得出；2）微分方程成立的条件是介质连续； ♣ 问题：1）求解电磁场问题，人们思维定势是：微分求解方程+边界条件，对于 分层介质或介质不连续情况，必须分区域处理，在边界利用边界条件进行连接；2）
解：
E1
ε1
X
ε2
E2
例 1-11 下两个图分别表示平行板电容器，设板间距、截面以及介电常 数分别为 d1、d2、S1、S2、ε1 和ε2，对于前者，给定了两极板间的电压 为 U0，对于后者给出了两极板上的总电荷，试分别给出其中的电场强度
ε1
ε2
d1
d2
U0
S1
ε1
S2
ε2
三、分界面上的边值条件
1、 方程及其意义
E1t = E2t = 0, D1n = 0
E2n
=
σ ε
D2n =σ
3）边界条件的电位表示
介质与介质：
ϕ1 =ϕ2
ε1
∂ϕ1n ∂n
= ε2
∂ϕ2n ∂n
导体与介质：
ϕ1 =ϕ2
ε2
∂ϕ2n ∂n
=
−σ
2、算例
例 1-9 设 y=0 平面是两种介质的分界面，在 y>0 的区域内，ε2=5ε0，而
2、边界条件分类 以Γ表示边界，则
第一类边界条件 ϕ Γ = given
第二类：∂ϕ Γ = given ∂n
第三类：∂ϕ Γ1 = given，Γ2 = given ∂n
第三类又称为混合 边界条件：
其中：Γ1+Γ2 =Γ
3、解的惟一性定理 表述：方程确定和边界（第一、第三类）确定，方程可以 惟一确定；方程确定和边界（第二类）确定，方程可以确 定到与真解相差一个常数；
