全等三角形之截长补短模型

专题14倍长中线法与截长补短法构造全等三形模型一：倍长中线法构造全等三角形模型二：截长补短法构造全等三角形【典例分析】【模型一：倍长中线法构造全等三角形】△ABC 中,AD 是BC 边中线方式1到E ，使DE=AD ，连接BE方式2：间接倍长（1）作CF ⊥AD 于F，作BE⊥AD 的延长线于E（2）延长MD 到N，使DN=MD，连接CN【典例1】（2021春•吉安县期末）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC 中，若AB ＝8，AC ＝6，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小N延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。

此法常用于构造全等三角形，利用中线的性质、辅助线、对顶角一般用“SAS ”证明对应边之间的关系。

（在一定范围中）明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A．SSS B．SAS C．AAS D．HL （2）求得AD的取值范围是．A．6＜AD＜8B．6≤AD≤8C．1＜AD＜7D．1≤AD≤7（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．【变式1-1】（2021秋•肥西县期末）一个三角形的两边长分别为5和9，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是（）A．x＞5B．x＜7C．4＜x＜14D．2＜x＜7【变式1-2】如图，AE是△ABD的中线AB＝CD＝BD．求证：AB+AD＞2AE；【变式1-3】（2021秋•齐河县期末）（1）方法呈现：如图①：在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE，可证△ACD≌△EBD，从而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是（直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；（2）探究应用：如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系并证明；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F、点E 是BC的中点，若AE是∠BAF的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．【模型二：截长补短法构造全等三角形】∙截长：1.过某一点作长边的垂线；2.在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。

全等三角形模型之截长补短法若遇到证明线段的和差倍分关系时，通常考虑“截长补短法“”，构造全等三角形.（1）截长法：在较长线段中截取一段等于另两条较短线段中的一条，然后证明剩下部分等于另一条.即证明“短1＋短2＝长”，“截长法”是在“长”线段上截取一条和“短1”相等长度的线段，再证明剩下的部分和“短2”等长.（2）补短法：将一条较短线段延长，延长部分等于另一条较短线段，然后证明新线段等于较长线段.即证明“短1＋短2＝长”，“补短法”是将“短1”线段延长，延长的长度等于“短2”的长度，再证明新线段与“长”线段长度相等.【典型例题】1．【模型分析】当题目中出现线段的和差关系时，考虑用截长补短法，该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，采用截长补短法进行证明．问题：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且∠B＝2∠C，求证：AB+BD＝AC．截长法：在AC上截取AE＝AB，连接DE，证明CE＝BD即可．补短法：延长AB至点F，使AF＝AC，连接DF，证明BF＝BD即可．请结合【模型分析】证明结论．求证：AB+BD＝AC．【截长法】【补短法】2．已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC，求证：BC＝AB+CD．3．课堂上，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且AB+BD＝AC．求证：∠ABC＝2∠ACB．小明的方法是：如图2，在AC上截取AE，使AE＝AB，连接DE，构造全等三角形来证明结论．（1）小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段AB构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长AB至F，使BF＝BD，连接DF．请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；（2）小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：如图3，点D在△ABC的内部，AD，BD，CD分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，且AB+BD ＝AC．求证：∠ABC＝2∠ACB．请你解答小芸提出的这个问题；（3）小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：如果在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，点D在边BC上，AB+BD＝AC，那么AD平分∠BAC．小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明．4．阅读：探究线段的和差倍分关系是几何中常见的问题，解决此类问题通常会用截长法或补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．（1）请完成下题的证明过程：如图1，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD平分∠BAC．求证：AB+BD＝AC．证明：在AC上截取AE＝AB，连接DE（2）如图2，AD∥BC，EA，EB分别平分∠DAB，∠CBA，CD过点E，求证：AB＝AD+BC．【小试牛刀】1．如图，△ABC中，∠C＝2∠A，BD平分∠ABC交AC于D，求证：AB＝CD+BC．（用两种方法）2．如图，△ABC中，∠B＝2∠A，∠ACB的平分线CD交AB于点D，已知AC＝16，BC＝9，则BD的长为．3．已知，如图，BD是△ABC的角平分线，AB＝AC，（1）若BC＝AB+AD，请你猜想∠A的度数，并证明；（2）若BC＝BA+CD，求∠A的度数？（3）若∠A＝100°，求证：BC＝BD+DA．4．已知：如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，O是CD上一点，且AO平分∠BAD，BO 平分∠ABC．（1）求证：AO⊥BO；（2）若AO＝3，BO＝4，求四边形ABCD的面积．5．如图，已知△ABC中，∠A＝60°，D为AB上一点，且AC＝2AD+BD，∠B＝4∠ACD，则∠DCB的度数是．。

模型介绍有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或"差”及其比例关系.这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解.所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系.所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等.然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系.有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解.①截长：在较长的线段上截取另外两条较短的线段.如图所示，在BF上截取BM=DF，易证△BMC≌△DFC（SAS）.②补短：选取两条较短线段中的一条进行延长，使得较短的两条线段共线并寻求解题突破.如图所示，延长GC至N，使CN=DF，易证△CDF≌△BCN（SAS）.例题精讲考点一：截长型【例1】．如图，△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，且AB+BD＝DC，则∠C等于_______.解：在DC上截取DE＝DB，连接AE．设∠BCA＝α，∵AB+BD＝DC，DE＝DB，∴CE＝AB．∵AD⊥BC，DB＝DE，∴直线AD是BE的垂直平分线，∴AB＝AE，∴CE＝AE，∴∠BCA＝∠CAE．∵AB＝AE，∴∠CBA＝∠AEB．∵∠AEB是△CAE的一个外角，∴∠AEB＝∠BCA+∠CAE，∴∠CBA＝∠AEB＝2α，∴∠CBA+∠BCA＝3α＝180°﹣120°＝60°，∴α＝20°，∴∠BCA＝20°．变式训练【变式1-1】．如图，△ABC中，AC＝BC，AD平分∠BAC，若AC+CD＝AB，求∠C的度数．解：在AB上截取AC＝AE，设∠B＝x°，∵AC＝BC，∴∠BAC＝∠B＝x°∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠CAD，在△EAD和△CAD中，∴△EAD≌△CAD，∴∠C＝∠AED，CD＝DE，∵AC+CD＝AB，AB﹣BE+AE，AE＝AC，∴BE＝DE＝DC，∴∠B＝∠BDE＝x°，∴∠C＝∠AED＝∠B+∠BDE°，在△ABC中，x+x+2x＝180°，∴x＝45，即∠C＝2x°＝90°．【变式1-2】．如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，且∠B＋∠D＝180°，若BE＝3，CE＝4，S△ACE＝14，则S△ACD＝________．解：在AE 上截取AM ＝AD ，连接CM ，∵AC 平分∠BAD ，∴∠1＝∠2，在△AMC 和△ADC 中，12AC AC AD AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AMC ≌△ADC （SAS ），∴3D ∠=∠，∵∠B ＋∠D ＝180°，43=180∠+∠︒，∴4=B ∠∠，∵CE ⊥AB ，∴90CEM CEB ∠=∠=︒，在EMC △和EBC 中，4B CEM CEB CE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EMC ≌△EBC （AAS ），∴ME ＝EB ＝3，∵CE ＝4，S △ACE ＝14，∴21474AE ⨯==，∴AM ＝AE -EM =7-3=4，∴1144822AMC S AM CE =⨯=⨯⨯= ，∴8ADC AMC S S ==．故答案为：８．【变式1-3】．已知在△ABC 中，∠B ＝2∠C ，∠BAC 的平分线AD 交BC 边于点D ．求证：AC ＝AB +BD．证明：在AC 上截取AE ＝AB ，连接DE ．∵∠BAC 的平分线AD 交BC 边于点D ，∴∠BAD ＝∠DAC ，在△ABD 与△AED中，，∴△ABD≌△AED（SAS），∴BD＝DE，∠B＝∠AED，∵∠B＝2∠C，∠AED＝∠C+∠EDC，∴∠AED＝2∠C，∴∠C＝∠EDC，∴CE＝DE，∴CE＝BD，∴AC＝AE+EC＝AB+BD．考点二：补短型【例2】．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一点，且∠ABD＝60°，∠ACD＝60°求证：BD+DC＝AB．证明：延长BD到F，使BF＝BA，连接AF，CF，∵∠ABD＝60度，∴△ABF为等边三角形，∴AF＝AB＝AC＝BF，∠AFB＝60°，∴∠ACF＝∠AFC，又∵∠ACD＝60°，∴∠AFB＝∠ACD＝60°∴∠DFC＝∠DCF，∴DC＝DF．∴BD+DC＝BD+DF＝BF＝AB，即BD+DC＝AB．变式训练【变式2-1】．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，点E为AD上一点，连接BE，CE，且BE、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ．求证：BC ＝AB +DC ．证明：延长BE 交CD 的延长线于点F ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠CBE ，∵AB ∥CD ，∴∠F ＝∠ABE ，∠A ＝∠FDA ，∴∠F ＝∠CBE ，∴CF ＝BC ，∵CE 平分∠BCD ，∴BE ＝EF （三线合一），在△ABE 和△DFE 中，，∴△ABE ≌△FDE （ASA ），∴FD ＝AB ，∵CF ＝DF +CD ，∴CF ＝AB +CD ，∴BC ＝AB +CD ．【变式2-2】．【问题背景】如图1：在四边形ABCD 中，AB AD =，120BAD ∠=︒，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且60EAF ∠=︒，小王同学探究此问题的方法是：延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ，再证明AEF AGF ≅△△，可得出结论．【探索延伸】如图2，若在四边形ABCD 中，AB AD =，E 、F 分别是BC ，CD 上的点12BAD ，上述结论是否仍然成立【学以致用】如图3，四边形ABCD 是边长为5的正方形，45EBF ∠=︒，求DEF 的周长．解：（1）【问题背景】如图1在ABE △和ADG 中，∵DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABE ADG SAS ≅△△，∴AE AG =，BAE DAG ∠=∠，∵18EAF BAD ∠=∠，∴GAF DAG DAF BAE DAF BAD EAF EAF ∠=∠+∠=∠+∠=∠-∠=∠，∴EAF GAF ∠=∠，在AEF 和GAF 中，∵AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AEF AGF SAS ≅△△，∴EF FG =，∵FG DG DF BE DF =+=+，∴EF BE DF =+；故答案为：EF BE DF =+．（2）【探索延伸】解：结论EF BE DF =+仍然成立；理由：如图2，延长FD 到点G ．连接AG ，在ABE △和ADG 中，∵DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABE ADG SAS ≅△△，∴AE AG =，BAE DAG ∠=∠，∵13EAF BAD ∠=∠，∴GAF DAG DAF BAE DAF BAD EAF EAF ∠=∠+∠=∠+∠=∠-∠=∠，∴EAF GAF ∠=∠，在AEF 和GAF 中，∵AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AEF AGF SAS ≅△△，∴EF FG =，∵FG DG DF BE DF =+=+，∴EF BE DF =+；（3）【学以致用】解：如图3，延长DC 到点G ，连接BG ，在AEB △与CGB △中，∵AE CG A BCG AB BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AEB CGB SAS ≅△△，∴BE BG =，ABE CBG ∠=∠．∵45EBF ∠=︒，90ABC ∠=︒，∴45ABE CBF ∠+∠=︒，∴45CBF CBG ∠+∠=︒，在EBF △与GBF 中，∵BE BG EBF GBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()EBF GBF SAS ≅△△，∴EF GF =，∴DEF 的周长5510EF ED DF AE CF DE DF AD CD =++=+++=+=+=．实战演练1．如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，∠C ＝2∠CDB ，AB ＝12，CD ＝3，则△ABC 的周长为（）A ．21B ．24C ．27D ．30解：如图，在AB 上截取BE ＝BC ，连接DE，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD ，在△CBD 和△EBD 中，CB BE CBD DBE BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CBD ≌△EBD （SAS ），∴∠CDB ＝∠BDE ，∠C ＝∠DEB ，∵∠C ＝2∠CDB ，∴∠CDE ＝∠DEB ，∴∠ADE ＝∠AED ，∴AD ＝AE ，∴△ABC 的周长＝AD +AE +BE +BC +CD ＝AB +AB +CD ＝27，故选C ．2．如图，AD ⊥BC ，AB +BD ＝DC ，∠B ＝54°，则∠C ＝27°．解：在DC 上截取DE ＝BD ，连接AE，∵AD ⊥BC ，DE ＝BD ，∴AD 是BE 的垂直平分线，∴AB ＝AE ，∴∠B ＝∠AEB ＝54°，∵AB +BD ＝DC ，DE +EC ＝DC ，∴AB ＝EC ，∴AE ＝EC ，∴∠C ＝∠EAC ，∵∠C+∠EAC＝∠AEB＝54°，∴∠C＝∠EAC＝∠AEB＝27°，故答案为：27°．3．已知：如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝100°，AD平分∠CAB．求证：AD+CD＝AB．证明：如图，在AB上截取AE＝AC，延长AD到F使AF＝AB，连接DE、BF．又∵∠1＝∠2，AD是公共边BE，在△ADC和△ADE中，，∴△ADC≌△ADE，∴∠AED＝∠C＝100°，则得∠DEB＝80°∵CA＝CB，AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2＝20°，∠3＝40°∵AF＝AB，∠2＝20°，∴∠F＝∠ABF＝1/2（180°﹣∠2）＝80°则∠F＝∠DEB∴∠4＝80°﹣∠3＝40°，∴∠3＝∠4，∠F＝∠DEC，在△BDF和△BDE中，，∴△DBE≌△DBF（AAS）∴DF＝DE＝CD∴AB＝AF＝AD+DF＝AD+DC．4．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，点D、E分别在AB、AC上，∠BCD＝∠CBE＝30°，BE、CD相交于点O，OG⊥BC于点G，求证：OE+OD＝2OG．证明：延长OE至点M，使OM＝OC，连接CM，∵∠BCD＝∠CBE＝30°，∴OB＝OC，∠MOC＝30°+30°＝60°，∵OM＝OC，∴△OMC为等边三角形，∴CM＝OC＝OB，∠M＝60°，∴∠DBO＝∠MCE，在△BOD和△CME中，，∴△BOD≌△MCE，∴DO＝EM，∴OE+OD＝OM＝OB，在Rt△OBG中，∠OBG＝30°，OG⊥BC，∴2OG＝OB，∴OE+OD＝2OG．5．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的角平分线．求证：（1）BQ＝CQ；（2）BQ+AQ＝AB+BP．证明：（1）∵BQ是∠ABC的角平分线，∴∠QBC＝∠ABC．∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，且∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，∴∠ABC＝80°，∴∠QBC＝＝40°，∴∠QBC＝∠C，∴BQ＝CQ；（2）延长AB至M，使得BM＝BP，连接MP．∴∠M＝∠BPM，∵△ABC中∠BAC＝60°，∠C＝40°，∴∠ABC＝80°，∵BQ平分∠ABC，∴∠QBC＝40°＝∠C，∴BQ＝CQ，∵∠ABC＝∠M+∠BPM，∴∠M＝∠BPM＝40°＝∠C，∵AP平分∠BAC，∴∠MAP＝∠CAP，在△AMP和△ACP中，∵∴△AMP≌△ACP，∴AM＝AC，∵AM＝AB+BM＝AB+BP，AC＝AQ+QC＝AQ+BQ，∴AB+BP＝AQ+BQ．6．如图，△ABC两条角平分线BD，CE相交于点O，∠A＝60°，求证：CD+BE＝BC．证明：在BC上找到F使得BF＝BE，，∵∠A＝60°，BD、CE是△ABC的角平分线，∴∠BOC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝120°，∴∠BOE＝∠COD＝60°，在△BOE和△BOF中，，∴△BOE≌△BOF，（SAS）∴∠BOF＝∠BOE＝60°，∴∠COF＝∠BOC﹣∠BOF＝60°，在△OCF和△OCD中，，∴△OCF≌△OCD（ASA），∴CF＝CD，∵BC＝BF+CF，∴BC＝BE+CD．7．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC和∠BCD的平分线的交点E在AD上．求证：（1）点E是AD的中点；（2）BC＝AB+CD．证明：延长CE交BA的延长线于点F．∵CE和BE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，即∠ECB＝∠DCB，∠EBC＝∠CBA，又∵AB∥CD，∴∠DCB+∠CBA＝180°，∴∠ECB+∠EBC＝90°，∴∠CEB＝90°，即BE⊥EC，∵AB∥CD∴∠DCE＝∠F，又∵∠DCE＝∠ECB，∴∠F＝∠ECB∴BF＝BC，EC＝EF．在△DCE和△AFE中，，∴△DCE≌△AFE，∴DE＝AE，即E是AD的中点，DC＝AF，∴BC＝BF＝AB+CD．8．已知，如图，BD是△ABC的角平分线，AB＝AC，（1）若BC＝AB+AD，请你猜想∠A的度数，并证明；（2）若BC＝BA+CD，求∠A的度数？（3）若∠A＝100°，求证：BC＝BD+DA．解：（1）答：∠A＝90°．理由如下：在BC上截取BE＝BA，连接DE．∵BC＝AB+AD，∴CE＝AD，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠EBD，∵AB＝BE，BD＝BD，∴△ABD≌△EBD，∴AD＝DE＝CE，∠A＝∠DEB∴∠C＝∠EDC，∴∠A＝∠DEB＝∠C+∠EDC＝2∠C，∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴4∠C＝180°，∴∠C＝45°，∠A＝2∠C＝90°，即∠A＝90°；（2）解：在BC上截取CF＝CD，连接DF．∵BC＝BA+CD，∴BF＝BA，∵∠ABD＝∠FBD，BD＝BD，∴△ABD≌△FBD，∴∠A＝∠DFB，∵CD＝CF，∴∠CDF＝∠CFD，∴∠C+2∠DFC＝180°，∵∠A+∠DFC＝180°，∴2∠A﹣∠C＝180°，∵∠A+2∠C＝180°，解得：∠A＝108°，答：∠A的度数是108°．（3）证明：在BC上截取BQ＝BD，连接DQ，延长BA到W使BW＝BQ，连接DW．∵∠A＝100°，AC＝AB，∴∠C＝∠ABC＝40°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBQ＝20°，∵BD＝BQ，∴∠DQB＝∠BDQ＝（180°﹣∠DBQ）＝80°，∴∠CDQ＝∠DQB﹣∠C＝40°＝∠C，∴DQ＝CQ，∵在△WBD和△QBD中，∴△WBD≌△QBD，∴∠W＝∠DQB＝80°，DW＝DQ＝CQ，∵∠BAC＝100°，∴∠WAD＝180°﹣∠BAC＝180°﹣100°＝80°，即∠WAD＝∠W，∴AD＝DW＝DQ＝CQ，∴BC＝BD+DA．9．阅读：探究线段的和．差．倍．分关系是几何中常见的问题，解决此类问题通常会用截长法或补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．（1）请完成下题的证明过程：如图1，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD平分∠BAC．求证：AB+BD＝AC．证明：在AC上截取AE＝AB，连接DE（2）如图2，AD∥BC，EA，EB分别平分∠DAB，∠CBA，CD过点E，求证：AB＝AD+BC．证明：在AC上截取AE＝AB，连接DE，如图1：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，在△ABD和△AED中，，∴△ABD≌△AED（SAS），∴∠B＝∠AED，BD＝DE，又∠B＝2∠C，∴∠AED＝2∠C，而∠AED＝∠C+∠EDC＝2∠C，∴∠C＝∠EDC，∴DE＝CE，∴AB+BD＝AE+CE＝AC；（2）延长AE、BC交于F，∵AB＝BF，BE平分∠ABF，∴AE＝EF，在△ADE和△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（ASA），∴AD＝CF，∴AB＝BF＝BC+CF＝BC+AD．10．在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E、F分别在边AB、AD上，且AE＝DF，BF与DE交于点G．（1）如图①，连接BD．求证：△ADE≌△DBF；（2）如图②，连接CG．求证：BG+DG＝CG．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠C＝∠BAD＝60°，∴△ABD和△CBD都是等边三角形，∴AD＝DB，∠BDF＝∠DAE＝60°，在△ADE和△DBF中，，∴△ADE≌△DBF（SAS）；（2）如图②，延长GB到点H，使BH＝DG，连接CH、BD，由（1）知△ADE≌△DBF，△CBD是等边三角形，∴∠ADE＝∠DBF，∠CBD＝∠BCD＝60°，∴∠DBF+∠CBH＝180°﹣∠CBD＝120°，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴BC＝CD，∠ADC＝180°﹣∠BAD＝120°，∴∠ADE+∠CDG＝120°，∴∠CBH＝∠CDG，在△CBH和△CDG中，，∴△CBH≌△CDG（SAS），∴CH＝CG，∠BCH＝∠DCG，∵∠BCD＝∠DCG+∠BCG＝60°，∴∠BCH+∠BCG＝60°，即∠GCH＝60°，∴△CGH是等边三角形，∴GH＝CG，∵GH＝BG+BH＝BG+DG，∴BG+DG＝CG．11．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，点E、F分别在直线BC、CD上，且∠EAF＝∠BAD．（1）当点E、F分别在边BC、CD上时（如图1），请说明EF＝BE+FD的理由；（2）当点E、F分别在边BC、CD延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出EF、BE、FD之间的数量关系，并说明理由．解：（1）EF＝BE+DF，理由：延长EB至G，使BG＝DF，连接AG，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABG＝180°，∴∠ADC＝∠ABG，在△ABG和△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠BAE+∠DAF＝∠BAE+∠BAG＝∠EAF，即∠EAG＝∠EAF，在△EAG和△EAF中，，∴△EAG≌△EAF（SAS），∴GE＝EF，∴EF＝BE+DF；（2）（1）中结论不成立，EF＝BE﹣FD，在BE上截取BM＝DF，连接AM，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，∴∠ABC＝∠ADF，在△ABM和△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，∵∠BAM+∠MAD＝∠DAF+∠MAD，∴∠BAD＝∠MAF，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠EAF＝∠MAF，∴∠EAF＝∠EAM，在△AME和△AFE中，，∴△AME≌△AFE（SAS），∴ME＝EF，∴ME＝BE﹣BM＝BE﹣DF，∴EF＝BE﹣FD．12．如图，在锐角△ABC中，∠A＝60°，点D，E分别是边AB，AC上一动点，连接BE 交直线CD于点F．（1）如图1，若AB＞AC，且BD＝CE，∠BCD＝∠CBE，求∠CFE的度数；（2）如图2，若AB＝AC，且BD＝AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN．在点D，E运动过程中，猜想线段BF，CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想．解：（1）如图1中，在射线CD上取一点K，使得CK＝BE，在△BCE和△CBK中，，∴△BCE≌△CBK（SAS），∴BK＝CE，∠BEC＝∠BKD，∵CE＝BD，∴BD＝BK，∴∠BKD＝∠BDK＝∠ADC＝∠CEB，∵∠BEC+∠AEF＝180°，∴∠ADF+∠AEF＝180°，∴∠A+∠EFD＝180°，∵∠A＝60°，∴∠EFD＝120°，∴∠CFE＝180°﹣120°＝60°；（2）结论：BF+CF＝2CN．理由：如图2中，∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝CB，∠A＝∠CBD＝60°，∵AE＝BD，∴△ABE≌△BCD（SAS），∴∠BCF＝∠ABE，∴∠FBC+∠BCF＝60°，∴∠BFC＝120°，如图2中，延长CN到Q，使得NQ＝CN，连接FQ，∵NM＝NF，∠CNM＝∠FNQ，CN＝NQ，∴△CNM≌△QNF（SAS），∴FQ＝CM＝BC，延长CF到P，使得PF＝BF，则△PBF是等边三角形，∴∠PBC+∠PCB＝∠PCB+∠FCM＝120°，∴∠PFQ＝∠FCM＝∠PBC，∵PB＝PF，∴△PFQ≌△PBC（SAS），∴PQ＝PC，∠CPB＝∠QPF＝60°，∴△PCQ是等边三角形，∴BF+CF＝PC＝QC＝2CN．13．如图1，点A和点B分别在y轴正半轴和x轴正半轴上，且OA＝OB，点C和点D分别在第三象限和第二象限上，且OC⊥OD，OC＝OD，点C的坐标为（m，n），且满足（m﹣2n）2+|n+2|＝0．（1）求点C坐标；（2）求证：AC＝BD，AC⊥BD；（3）求∠BEO度数；（4）如图2，点P在OA上，点Q在OB上且OP＝OQ，直线ON⊥BP，交AB于点N，MN⊥AQ交BP延长线于点M，请猜想ON，MN，BM的数量关系并证明．解：（1）∵（m﹣2n）2+|n+2|＝0又∵（m﹣2n）2≥0，|n+2|≥0，∴n＝﹣2，m＝﹣4，∴点C坐标为（﹣4，﹣2）；（2）如图1中，作OH⊥BD于H，OF⊥AC于F．∵OA＝OB，OD＝OC，∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠BOD＝∠AOC，∴△BOD≌△AOC（SAS），∴BD＝AC，∴HO＝OF（全等三角形对应边上的高相等），∴OE平分∠BEC，∵△BOD≌△AOC，∴∠OBD＝∠OAC，设BD交y轴于点R，则∠ARE＝∠BRO，∴∠AEB＝∠BOA＝90°，即AC⊥BD；（3）由（2）知，AC⊥BD，则∠FEH＝90°，∴∠OHE＝∠OFE＝∠FEH＝90°，故四边形OHEF为矩形，而HO＝OF，故四边形OHEF为正方形，而OE为该正方形的对角线，∴∠BEO＝45°；（4）结论：BM＝MN+ON．理由：如图2中，过点B作BH∥y轴交MN的延长线于H．∵OQ＝OP，OA＝OB，∠AOQ＝∠BOP＝90°，∴△AOQ≌△BOP（SAS），∴∠OBP＝∠OAQ，∵∠OBA＝∠OAB＝45°，∴∠ABP＝∠BAQ，∵NM⊥AQ，BM⊥ON，∴∠ANM+∠BAQ＝90°，∠BNO+∠ABP＝90°，∴∠ANM＝∠BNO＝∠HNB，∵∠HBN＝∠OBN＝45°，BN＝BN，∴△BNH≌△BNO（ASA），∴HN＝NO，∠H＝∠BON，∵∠HBM+∠MBO＝90°，∠BON+∠MBO＝90°，∴∠HBM＝∠BON＝∠H，∴MH＝MB，∴BM＝MN+NH＝MN+ON．14．如图所示：△ABC是等腰直角三角形，BC＝AC，直角顶点C在x轴上，一锐角顶点B 在y轴上（1）如图1所示，若C的坐标是（2，0），点A的坐标是（﹣2，﹣2），求：点B的坐标；（2）如图2，若y轴恰好平分∠ABC，AC与y轴交于点D，过点A作AE⊥y轴于E，问BD与AE有怎样的数量关系，并说明理由；（3）如图3角边BC在两坐标轴上滑动，使点A在第四象限内，过A点作AF⊥y轴于F，在滑动的过程中，两个结论①为定值；②为定值，只有一个结论成立，请你判断正确的结论加以证明，并求出定值．解：（1）过点A作AD垂直OC于D．∵∠DAC+∠ACD＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠BCD＝∠DAC，在△ADC和△COB中，，∴△ADC≌△COB（AAS），∴AD＝OC，CD＝OB，∴点B坐标为（0，4）；（2）延长BC，AE交于点F，∵AC＝BC，AC⊥BC，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，∵BD平分∠ABC，∴∠COD＝22.5°，∠DAE＝90°﹣∠ABD﹣∠BAD＝22.5°，在△ACF和△BCD中，，∴△ACF≌△BCD（ASA），∴AF＝BD，在△ABE和△FBE中，，∴△ABE≌△FBE（ASA），∴AE＝EF，∴BD＝2AE；（3）作AE⊥OC，则AF＝OE，∵∠CBO+∠OCB＝90°，∠OCB+∠ACO＝90°，∴∠ACO＝∠CBO，在△BCO和△ACE中，，∴△BCO≌△ACE（AAS），∴CE＝OB，∴OB+AF＝OC．∴＝1．。

截长补短法构造全等三角形
截长补短法（SSS）是指通过修改三角形的边长，在保持三个边长之和不变的情况下，改变三角形的形状，使其与另一个三角形完全相同。

下面是一个使用截长补短法构造全等三角形的示例：
给定三角形ABC和DEF，其中AB=6cm，BC=5cm，AC=7cm，DE=5cm，EF=6cm，DF=7cm。

我们需要使用截长补短法构造一个与ABC全等的三角形。

步骤如下：
1. 在BC的中点G处，画一条平行于AC的直线，并延长到交DE延长线于点H。

2. 在AC的中点I处，画一条平行于BC的直线，并延长到交EF延长线于点J。

3. 连接BH和CJ，将四边形BCHJ分成两个三角形。

4. 证明三角形ABH和DEF全等，由于BH=DE=5cm，AB和DF都平行于HJ，AH和DE都平行于BC，因此根据副角定理和平行线性质可知，两个三角形全等。

5. 证明三角形ACJ和DEF全等，AC=DF=7cm，AC和DF都平行于CJ，AJ 和DE都平行于BC，因此根据副角定理和平行线性质可知，两个三角形全等。

因此，三角形ABC和DEF是全等的，且可以通过截长补短法构造。