2011年高考数学试题分类汇编 立体几何

概率与统计

1．（天津文）15．（本小题满分13分）

编号为1216,,,AAA的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：

运动员编号

1A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8A

得分 15 35 21 28

25 36 18

34

运动员编号

9A 10A 11A 12A 13A 14A 15A

16A

得分

17 26 25 33 22 12 31 38

（Ⅰ）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；

区间 10,20 20,30 30,40

人数

（Ⅱ）从得分在区间20,30内的运动员中随机抽取2人，

（i）用运动员的编号列出所有可能的抽取结果；（ii）求这2人得分之和大于50的概率．

2. （北京文）16．以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示.

（1）如果X=8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；

（2）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率.

（注：方差],)()()[(1222212xxxxxxnsn其中x为nxxx,,,21的平均数）

3. （全国新文）19．某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每产品的质量指标值，得到时下面试验结果：

A配方的频数分布表

指标值分组 [90，94） [94，98） [98，102） [102，106） [106，110] 频数 8 20 42 22 8

B配方的频数分布表

指标值分组 [90，94） [94，98） [98，102） [102，106） [106，110]

频数 4 12 42 32 10

（I）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；

立体几何（山东卷）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的1、

表面积是 πB）10(A)9π （ (D)12π (C)11π 从三视图可以看出该几何体是由一解析】考查三视图与几何体的表面积。【 个球和一个圆柱组合而成的，其表面及为22.22121S4311

D 答案：

GHIC△A，B，三边的中点）得到几何体如图、（广东卷）将正三棱柱截去三个角（如图1所示分别是2 ）2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（

A A G H

B

B

B

B

B

B

C

C 侧视I

E

E

E

D D

E

E E

D． CA． B．．F F

2 1

图图

【解析】解题时在图2的右边放扇墙(心中有墙),可得答案A.

答案：A

67的某几何体的一条棱长为这条棱的投影是长为，3、（海南、宁夏理科卷）在该几何体的正视图中，线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为（ ）

2352224 D AC．．B ．．

【解析】结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算。如图

m,n,k，由题意得设长方体的高宽高分别为

kn 222226mnkk7m1n ，m

222261)1)((abba1m1k ，，所以222222216b2ab8b)ab2aba8a∴(8ba ，ab4ab2时取等。 当且仅当答案：C

4、（海南、宁夏理科卷）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一9，底面周长为3，则这个球的体积为 个球面上，且该六棱柱的体积为 ． 8 h22R)a(ahR有然显，为高，为长边面底且，的柱棱六，为径半的球令】析解【2．

531. 如果一条直线和两个平面中的一个相交，那么它和另一个平面也相交.

已知：α∥β,l∩α＝A.

求证：l与β相交.

证明：∵α∥β,l∩α＝A

∴Aβ.

假设l与β不相交，则l∥β

在平面β内任取一点D，则Dl.

∴点D、l确定平面PBD，如图

∵α与平面PBD相交于过A的一条直线AC，

β与平面PBD相交于过点D的一条直线BD.

又α∥β ∴AC与BD无公共点.

∵AC和BD都在平面PBD内，

∴AC∥BD.

由l∥β可知l∥BD.

∴AC∥l且l与AC相交于A.

∴AC与l重合，又AC在平面α内.

∴l在α内与l∩α＝A矛盾.

∴假设不成立，

∴l与β必相交.

532. 如图，正四棱锥S—ABCD的底面边长为a，侧棱长为2a，点P、Q分别在BD和SC上，并且BP∶PD＝1∶2，PQ∥平面SAD，求线段PQ的长.

解析： 要求出PQ的长，一般设法构造三角形，使PQ为其一边，然后通过解三角形的办法去处理.

作PM∥AD交CD于M连QM，∵PM∥平面SAD，PQ∥平面SAD.

∴平面PQM∥平面SAD，而平面SCD分别与此两平行平面相交于QM，SD.

∴QM∥SD.

∵BC＝a,SD＝2a. ∴PDBP＝21.

∴BCMP＝BDPD＝32,MP＝32a,

SDMQ＝CDMC＝BDBP＝31.

∴MQ＝31SD＝32a,又∠PMQ＝∠ADS.

∴cos∠PMQ＝cos∠ADS＝aa221＝41.

在ΔPMQ中由余弦定理得

PQ2＝(32a)2+(32a)2-2·32a·32a·41＝96a2.

∴PQ＝36a.

评析：本题的关键是运用面面平行的判定和性质，结合平行线截比例线段定理，最后由余弦定理求得结果，综合性较强.

533. 已知：如图，α∥β，异面直线AB、CD和平面α、β分别交于A、B、C、D四点，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，求证：(1)E、F、G、H共面；(2)面EFGH∥平面α.

考点35立体几何中的向量方法

一、解答题

1. （2011·福建卷理科·Ｔ20）(本小题满分14分)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD.四边形ABCD中，AB⊥AD，AB+AD=4，CD=2，45CDA.

（I）求证：平面PAB⊥平面PAD；

（II）设AB=AP.

（i）若直线PB与平面PCD所成的角为30，求线段AB的长；

（ii）在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由.

【思路点拨】(1)证面面PAB中的直线ABPAD面，从而可推得面PABPAD面，也可以建立坐标系证明两面的法向量垂直；

（2）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系-Axyz，然后用空间向量法进行求解探究.

【精讲精析】

解法1：（I）因为PA平面ABCD，AB平面ABCD，所以PAAB，又,ABADPAADA，所以AB平面PAD.又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD.

(2)以A为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz（如图）.

在平面ABCD内，作//CEAB交AD于点E，则CEAD.

在RtCDE中，cos451DECD.设ABAPt，则(,0,0),(0,0,)BtPt.

由AB+AD＝4得AD＝4t，所以(0,3,0),1,3,0),(0,4,0)EtCtDt（，

(1,1,0),(0,4,).CDPDtt

（i）设平面PCD的法向量为=(,,),xyzn

由,,CDPDnn得0(4)0.xytytz

取xt，得平面PCD的一个法向量(,,4)tttn.

cos60||,|||PBPBnn|即22222|24|1,2(4)2tttttt

解得45t或4t（舍去，因为40ADt），所以AB＝4.5

（ii）假设在线段AD上存在一个点G（如下图），使得点G到点P、B、C、D的距离都相等，