高中数学 2.1.1 合情推理教案 新人教A版选修12 (2)(1)

1 2．1.1 合情推理

(教师用书独具)

●三维目标

1．知识与技能

(1)结合已学过的数学实例，了解归纳推理与类比推理的含义．

(2)能利用归纳和类比的方法进行简单的推理．

(3)体会并认识归纳推理、类比推理在数学发现中的作用．

2．过程与方法

让学生感受数学知识与实际生活的普遍联系，通过让学生积极参与，亲身经历归纳、类比推理定义的获得过程，培养学生归纳推理、类比推理的思想．

3．情感、态度与价值观

通过本节学习正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成认真观察事物、分析事物、发现事物之间的质的联系的良好品质，善于发现问题，探求新知识．

●重点难点

重点：归纳推理与类比推理概念的理解，归纳推理与类比推理思想方法的掌握．

难点：归纳推理、类比推理的应用．

通过举例分析归纳推理与类比推理的异同，让学生对两个概念有较深刻的理解，突出本节重点，通过例题讲解总结归纳推理与类比推理的应用方法及解题规律，强化训练有关题型，化解难点．

(教师用书独具) 2

●教学建议

1．关于归纳推理的教学

教学时要从具体的事例出发，让学生参与猜测，引导学生归纳，激发学生学习的兴趣，总结归纳推理的过程，让学生自己去发现归纳推理的应用方法与技巧．通过适量的练习使学生掌握观察、猜测、归纳、论证各环节的规律方法，并能灵活应用．

2．关于类比推理的教学

类比推理的难度要大于归纳推理，教学时应该借助实例帮助学生学会分析类比对象之间的异同点，学会由已知对象的性质、特征联想类比对象的相应性质特征．通过适量练习让学生逐步掌握类比的技巧方法．引导学生总结并掌握常见的类比结论．

●教学流程

创设问题情境，引出问题，猜想数列的项及三角形内角和，引入归纳推理的概念．创设问题情境，引出问题，由三角形的性质，推测空间四面体的性质，从而引出类比推理的概念．创设问题情境，通过归纳推理、类比推理的概念，引出合情推理的概念．引导学生分析例题1，找出图案的个数变化，猜想出排列规律，从而计算出第六个图案的个数．总结方法，完成变式训练．

完成当堂双基达标，巩固所学知识及应用方法．并进行反馈矫正．归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识，强调重点内容和规律方法．讲解例题3，指出解题误区及如何避免，总结合情推理的应用类型解题方法．引导学生分析例题2，指出相对应的类比元素，三边对四面，高对高推测结论，并给出证明，总结类比方法，引导学生完成互动探究．

课标解读 1.了解合情推理的含义，正确理解归纳推理与类比推理．(重点)

2．能用归纳和类比进行简单的推理．(难点)

3．了解合情推理在数学发现中的作用.

归纳推理

【问题导思】 3 1．数列{an}中，a1＝12，a2＝34，a3＝78，a4＝1516.你能猜出a5的值吗？

【提示】 a5＝3132.

2．直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，你能猜想出什么结论？

【提示】 所有三角形内角和都是180°.

定义 特征

由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理 归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理

类比推理

【问题导思】

已知三角形的如下性质：

(1)三角形的两边之和大于第三边；

(2)三角形的面积等于高与底乘积的12.

1．试根据上述三角形的性质推测空间四面体的性质．

【提示】 (1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积．

(2)四面体的体积等于底面积与高乘积的13.

2．以上两个推理有什么共同特点？

【提示】 都是根据三角形的特征，类比四面体相关元素得出结论的．

定义 特征

由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理 类比推理是由特殊到特殊的推理

合情推理

【问题导思】

1．归纳推理与类比推理有没有共同点？

【提示】 二者都是从具体事实出发，推断猜想新的结论． 4 2．归纳推理与类比推理得出的结论一定正确吗？

【提示】 不一定正确．

归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理． 5

归纳推理

有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )

图2－1－1

A．26 B．31

C．32 D．36

【思路探究】 本题中图形的变化比较简单，可有两种思路：第一种，直接查个数，找到变化规律后再猜想；第二种，看图形的排列规律，每相邻的两块无纹正六边形之间有一块“公共”的有菱形纹正六边形．

【自主解答】 法一 有菱形纹的正六边形个数如下表：

图案 1 2 3 …

个数 6 11 16 …

由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.故选B.

法二 由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有菱形纹的正六边形围绕(第一个图案)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块有菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的有菱形纹正六边形)，第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为6＋5×(6－1)＝31，故选B.

【答案】 B

1．解答本题时，关键是找出相邻图形间正六边形个数的变化规律． 6 2．对于图形中的归纳推理问题，可从图形中相关元素(点、直线等)的变化规律入手直接求解，也可将其转化为数列问题进行求解．

(2012·陕西高考)观察下列不等式：

1＋122<32，

1＋122＋133<53，

1＋122＋132＋142<74，

………

照此规律，第五个．．．不等式为________．

【解析】

观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列．

∴第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<116.

【答案】 1＋122＋132＋142＋152＋162<116

类比推理

如图2－1－2所示，在平面上，设ha，hb，hc分别是△ABC三条边上的高，P为△ABC内任意一点，P到相应三边的距离分别为pa，pb，pc，可以得到结论paha＋pbhb＋pchc＝1.

图2－1－2

证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明．

【思路探究】 三角形类比四面体，三角形的边类比四面体的面，三角形边上的高类比四面体以某一面为底面的高．

【自主解答】 paha＝12BC·pa12BC·ha＝S△PBCS△ABC，

同理，pbhb＝S△PACS△ABC，pchc＝S△PABS△ABC. 7 ∵S△PBC＋S△PAC＋S△PAB＝S△ABC，

∴paha＋pbhb＋pchc＝S△PBC＋S△PAC＋S△PABS△ABC＝1.

类比上述结论得出以下结论：如图所示，在四面体ABCD中，设ha，hb，hc，hd分别是该四面体的四个顶点到对面的距离，P为该四面体内任意一点，P到相应四个面的距离分别为pa，pb，pc，pd，可以得到结论paha＋pbhb＋pchc＋pdhd＝1.

证明如下：paha＝13S△BCD·pa13S△BCD·ha＝VP－BCDVA－BCD，

同理，pbhb＝VP－ACDVA－BCD，pchc＝VP－ABDVA－BCD，pdhd＝VP－ABCVA－BCD.

∵VP－BCD＋VP－ACD＋VP－ABD＋VP－ABC＝VA－BCD，

∴paha＋pbhb＋pchc＋pdhd

＝VP－BCD＋VP－ACD＋VP－ABD＋VP－ABCVA－BCD＝1.

1．类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论．

2．平面图形与空间图形类比如下：

平面图形 点 线 边长 面积 线线角 三角形

空间图形 线 面 面积 体积 二面角 四面体

在本例中，若△ABC的边长分别为a，b，c，其对角分别为A、B、C，那么由a＝b·cos

C＋c·cos B可类比四面体的什么性质？

【解】 在如图所示的四面体中，S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC 8 的面积，

α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小．

猜想S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ.

合情推理的综合应用

在公比为4的等比数列{bn}中，若Tn是数列{bn}的前n项积，则有T20T10，T30T20，T40T30也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列{an}中，若Sn是{an}的前n项和．

(1)写出相应的结论，判断该结论是否正确，并加以证明；

(2)写出该结论一个更为一般的情形(不必证明)．

【思路探究】 结合已知等比数列的特征可类比等差数列每隔10项和的有关性质．

【自主解答】 (1)数列S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差数列，且公差为300.该结论是正确的．

证明如下：

∵等差数列{an}的公差d＝3，

∴(S30－S20)－(S20－S10)

＝(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)

＝10d＋10d＋…＋10d10个＝100d＝300，

同理可得：

(S40－S30)－(S30－S20)＝300，

所以数列S20－S10，S30－S20，S40－S30

是等差数列，且公差为300.

(2)对于∀k∈N*，都有

数列S2k－Sk，S3k－S2k，S4k－S3k是等差数列，且公差为k2d.

在等比数列与等差数列的类比中，要注意等差与等比、加与乘、减与除、乘法与乘方的类比特点．

等差数列有如下性质：若数列{an}是等差数列，则当bn＝a1＋a2＋…＋ann时，数列{bn}也是等差数列；类比上述性质，相应地，若数列{cn}是正项等比数列，则当dn＝________时，数列{dn}也是等比数列．

【解析】 类比等差数列与等比数列的性质：定义中“差”与“商”，中项中“和”与