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运筹学第3章答案

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3.1某公司今后三年内有五项工程可以考虑投资。每项工程的期望收入和年度费用(万元)如表3-10所示。

表3-10

工 程 费 用 收 入

第一年 第二年 第三年

1

2

3

4

5 5 1 8

4 7 2

5 9 6

7 5 2

8 6 9 30

40

20

15

30

资金拥有量 30 25 30

每项工程都需要三年完成，应选择哪些项目使总收入最大，建立该问题的数学模型。

【解】设10jjxj投资项目不投资项目，模型为

12345123451234512345max30402015305457830795625826293001,1,,5jZxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxj＝或

最优解X＝(1,1,1,0,1)，Z=110万元，即选择项目1、2、3、5时总收入最大。

3.2址问题。以汉江、长江为界将武汉市划分为汉口、汉阳和武昌三镇。某商业银行计划投资9000万元在武汉市备选的12个点考虑设立支行，如图3-10所示。每个点的投资额与一年的收益见表3－10。计划汉口投资2～3个支行，汉阳投资1～2个支行，武昌投资3～4个支行。

如何投资使总收益最大，建立该问题的数学模型，说明是什么模型，可以用什么方法求解。

表3-11

地址i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

投资额(万元) 900 1200 1000 750 680 800 720 1150 1200 1250 850 1000

收益（万元） 400 500 450 350 300 400 320 460 500 510 380 400

【解】设xj为投资第j个点的状态，xj=1或0，j=1,2,…,12

12312123111244771212115588max40050045040090012001000850100090002,3,1,2,3,4101,,12jjjjjjjjjjjjjZxxxxxxxxxxxxxxxxj或， 图3-10 最优解：x1＝x5=x12=0，其余xj=1,总收益Z=3870万元，实际完成投资额8920万元。

3.3 一辆货车的有效载重量是20吨，载货有效空间是8×3.5×2 m。现有六件货物可供选择运输，每件货物的重量、体积及收入如表表3-12。另外，在货物4和5中先运货物5，货物1和2不能混装，怎样安排货物运输使收入最大，建立数学模型。

表3-12

货 物 号 1 2 3 4 5 6

重量（T） 6 5 3 4 7 2

体积（m3） 3 7 4 5 6 2

收入（百元） 5 8 4 6 7 3

【解】设xj为装载第j件货物的状态，xj=1表示装载第j件货物，xj=0表示不装载第j件货物，有

10105626547320274356376485max2154654321654321654321或jxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxZ

3.4 女子体操团体赛规定：（1）每个代表队由5名运动员组成，比赛项目是高低杠、平衡木、鞍马及自由体操。（2）每个运动员最多只能参加3个项目并且每个项目只能参赛一次；（3）每个项目至少要有人参赛一次，并且总的参赛人次数等于10；（4）每个项目采用10分制记分，将10次比赛的得分求和，按其得分高低排名，分数越高成绩越好。已知代表队5名运动员各单项的预赛成绩如表3-13所示。

表3-13

怎样安排运动员的参赛项目使团体总分最高，建立该问题的数学模型。

【解】设xij（i=1，2，…，5；j＝1，2，3，4）为第i人参赛j项目的状态，即

项目人不参赛第项目人参赛第jijixij01

记第i人参赛j项目的成绩为Cij,，目标函数

5141maxijijijxCZ

每个运动员最多只能参加3个项目并且每个项目只能参赛一次,约束条件：

5,,2,134321ixxxxiiii

每个项目至少要有人参赛一次，并且总的参赛人次数等于10，约束条件： 高低杠 平衡木 鞍马 自由体操

甲 8.6 9.7 8.9 9.4

乙 9.2 8.3 8.5 8.1

丙 8.8 8.7 9.3 9.6

丁 8.5 7.8 9.5 7.9

戊 8.0 9.4 8.2 7.7 4,3,2,1154321jxxxxxjjjjj

105141ijijx

数学模型为

54111234123455411max31,2,,511,2,3,41010,1,2,,5;1,2,3,4ijijijiiiijjjjjijijijZCxxxxxixxxxxjxxij或

3.5利用0－1变量对下列各题分别表示成一般线性约束条件

（1）x1+2x2≤8、4x1+x2≥10及2x1+6x2≤18 三个约束中至少两个满足

（2）若x1≥5，则x2≥10，否则x2≤8

（3）x1取值2，4，6，8中的一个

【解】12112212312228410(1)26181011,2,3jxxyMxxyMxxyMyyyyj或，

10)1(810)1(55)2(2211或yMyxyMxMyxyMx4,3,2,11018642)3(432143211jyyyyyyyyyxj，或

6．考虑下列数学模型

)()(min21xgxfZ

其中

0,00,1015)(,0,00,610)(22221111xxxxgxxxxf若若若若

满足约束条件

（1）x1≥8或x2≥6

（2）|x1－x2|=0，4或8

（3）x1+2x2≥20、2x1+x2≥20及x1+x2≥20 三个约束中至少一个满足

（4）x1≥0，x2≥0

将此问题归结为混合整数规划的数学模型。勤劳的蜜蜂有糖吃

【解】）条件（）条件（）条件（）条件（，，或432111,2,110;0,0220202202188440)1(68;1015610min211110911211021921876548765421323122112211jyxxyyyMyxxMyxxMyxxyyyyyyyyyyxxMyxMyxMyxMyxxyxyZj

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运筹学第3章习题

运筹学第3章习题

第3章运输问题习题详解(习题)

3.1分别判断表3-1、表3-2中给出的调运方案能否作为用表上作业法求解时的最初解？为什么？

表3—1

销地

产地 1 2 3 4 产量

1 0 15 15

2 15 10 25

3 5 5

销量 5 15 15 10

表3—2

销地

产地 1 2 3 4 5 产量

1 150 250 400

2 200 300 500

3 250 50 300

4 90 210

300

5 80 20 100

销量 240 410 550 330 70

3.2表3-3和表3-4中分别给出两个运输问题的产销平衡表和单位运价表，试用伏格尔法直接给出近似最优解。

表3-3

销地

产地 1 2 3 产量

1 5 1 8 12

2 2 4 1 14

3 3 6 7 4

销量 9 10 11

表3-4

销地

产地 1 2 3 4 5 产量

1 10 2 3 15 9 25

2 5 20 15 2 4 30 3 15 5 14 7 15 20

4 20 15 13 M 8 30

销量 20 20 30 10 25

3.3用表上作业法求给出表3-5、表3-6、表3-7、表3-8、运输问题的最优解（M是任意大正数）

（1）表3-5

销地

产地 甲 乙 丙 丁 产量

1 3 7 6 4 5

2 2 4 3 2 2

3 4 3 8 5 3

销量 3 3 2 2

（2）表3-6

销地

产地 甲 乙 丙 丁 产量

1 10 6 7 12 4

2 16 10 5 9 9

3 5 4 10 10 4

销量 5 2 4 6

（3）表3-7

销地

产地 甲 乙 丙 丁 戊 产量

1 10 20 5 9 10 5

2 2 10 8 30 6 6

3 1 20 7 10 4 2

4 8 6 3 7 5 9

销量 4 4 6 2 4

运筹学第三章习题答案详细

运筹学第三章习题答案详细

运筹学第三章习题答案详细

运筹学是一门研究如何有效地做出决策的学科，它运用数学和逻辑的方法来解决实际问题。在运筹学的学习中，习题是非常重要的一部分，通过解答习题可以加深对知识的理解和应用。本文将详细解答运筹学第三章的习题，帮助读者更好地掌握该章节的内容。

第一题是关于线性规划的基本概念和性质的。线性规划是运筹学中的重要分支，它的目标是在一组约束条件下，找到使目标函数最大或最小的变量值。这个问题可以用一个线性规划模型来描述，其中包括决策变量、目标函数和约束条件。在解答这个问题时，我们需要先确定决策变量、目标函数和约束条件，然后使用线性规划的方法求解最优解。具体的计算过程可以通过线性规划的算法来完成。

第二题是关于线性规划的图解法的。线性规划的图解法是一种直观的解法，它通过绘制变量的可行域和目标函数的等高线图来求解最优解。在解答这个问题时，我们需要先将约束条件转化为直线或者曲线的形式，然后绘制出这些直线或曲线，并确定它们的交点。最后，我们需要在可行域内找到使目标函数取得最大或最小值的点，这个点就是线性规划的最优解。

第三题是关于整数规划的应用的。整数规划是线性规划的一种特殊形式，它要求决策变量取整数值。在解答这个问题时，我们需要先确定整数规划的模型，包括决策变量、目标函数和约束条件。然后，我们可以使用整数规划的算法来求解最优解。在实际应用中，整数规划可以用来解决很多实际问题，比如生产计划、运输调度等。

第四题是关于线性规划的灵敏度分析的。灵敏度分析是线性规划中的一种重要技术，它用来分析目标函数系数、约束条件右端常数和决策变量上下界的变化对最优解的影响。在解答这个问题时，我们需要计算目标函数系数、约束条件右端常数和决策变量上下界的变化对最优解的影响程度，并进行相应的调整。通过灵敏度分析，我们可以了解到线性规划模型对参数变化的敏感性，从而做出更加准确的决策。

第五题是关于线性规划的对偶问题的。线性规划的对偶问题是线性规划的一个重要概念，它可以用来求解原始问题的最优解。在解答这个问题时，我们需要先建立原始问题和对偶问题的模型，然后使用对偶问题的算法来求解最优解。通过对偶问题的求解，我们可以得到原始问题的最优解和对偶问题的最优解之间的关系，从而更好地理解线性规划的性质和应用。

运筹学第3章习题 2

运筹学第3章习题 2

第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题

一、思考题

1． 对偶问题和对偶变量的经济意义是什么

2．简述对偶单纯形法的计算步骤。它与单纯形法的异同之处是什么

3．什么是资源的影子价格它和相应的市场价格之间有什么区别

4．如何根据原问题和对偶问题之间的对应关系，找出两个问题变量之间、解及检

验数之间的关系

5．利用对偶单纯形法计算时，如何判断原问题有最优解或无可行解

6．在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量（或剩余变量）0knx，其经济意

义是什么

7．在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量knx的检验数0kn（标准形为

求最小值），其经济意义是什么

8．将ijjibca,,的变化直接反映到最优单纯形表中，表中原问题和对偶问题的解

将会出现什么变化有多少种不同情况如何去处理

二、判断下列说法是否正确

1．任何线性规划问题都存在且有唯一的对偶问题。

2．对偶问题的对偶问题一定是原问题。

3．若线性规划的原问题和其对偶问题都有最优解，则最优解一定相等。

4．对于线性规划的原问题和其对偶问题，若其中一个有最优解，另一个也一定

有最优解。

5．若线性规划的原问题有无穷多个最优解时，其对偶问题也有无穷多个最优解。

6．已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量0iy，说明在最优生产计

划中，第i种资源已经完全用尽。

7．已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量0iy，说明在最优生产计

划中，第i种资源一定还有剩余。

8．对于ijjibca,,来说，每一个都有有限的变化范围，当其改变超出了这个范围

之后，线性规划的最优解就会发生变化。

9．若某种资源的影子价格为u，则在其它资源数量不变的情况下，该资源增加k

个单位，相应的目标函数值增加 uk。

10．应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量0ix，且ix所在行的

《运筹学教程》第三章习题答案

《运筹学教程》第三章习题答案

《运筹学教程》第三章习题答案

1. 影子价格是根据资源在生产中作出的贡献而做的估价。它是一种边际价格，其值相当于在资源得到最有效利用的生产条件下，资源每变化一个单位时目标函数的增量变化。又称效率价格。

影子价格是指社会处于某种最优状态下，能够反映社会劳动消耗、资源稀缺程度和最终产品需求状况的价格，是社会对货物真实价值的度量。只有在完善的市场条件下才会出现，然而这种完善的市场条件是不存在的，因此现成的影子价格也是不存在的。市场价格是物品和服务在市场上销售的实际价格，是由供求关系决定的。

2.证明：当原问题约束条件右端变为bi′时，

原问题变为： maxz=∑CiXj

s.t. ∑aijXi≤bi′(i=1,2,3,……,m)

Xj≥0 (j=1,2,3,……,n)

对偶问题为： minp=∑bi′yi

s.t. ∑aij yi≥Ci

yi≥0

(i=1,2,3,……,m) (j=1,2,3,……,n)

设，当bi变为bi′原问题有最优解（X1′X2′X3′……Xn-1′Xn′）时，对偶问题的最优解为（y1′y2′y3′……yn-1′yn′）,则有：

又因为当原问题有最优解时，对偶问题也有最优解，且相等，则有：

所以

3（1）.minp=6y1 + 2y2

s.t. -y1+2y2≥-3

3y1+3y2≥4

y1,y2≥0

(2)解：令X2=X2′-X2〞，X4= X4′-X4〞，X2′，X2〞，X4′，X4〞≥0 ，原式化为：

maxz=2X1 +2X2′-2X2〞-5X3 +2X4′-2X4〞

s.t. 2X1 -X2′+X2〞+3X3 +3X4′-3X4〞≤-5