2024—2025年度高二上学期期中考试数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修第一册第一章至第三章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.绕原点逆时针旋转90°后所对应的直线的斜率为（ ）A.C.2.椭圆的两个焦点分别为，，长轴长为10，点在椭圆上，则的周长为（ ）A.16B.18C. D.203.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，定点，则的最小值为（ ）A.6B.7C.8D.94.已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（ ）A.9B.1C.1或9D.11或95.在正方体中，，，则（ ）A. B.C. D.6.过抛物线的焦点作圆的切线，该切线交抛物线C 于A ，B 两点，则（ ）0y +=22:19x y C m+=1F 2F P C 12PF F △10+212y x =F P (5,2)Q ||||PQ PF +22:1412x y C -=1F 2F C P 15PF =2PF =1111ABCD A B C D -13AE AB = 134BF BD = EF =11231234AB AD AA -++ 11331244AB AD AA -+11121243AB AD AA --+ 11331244AB AD AA -++2:4C y x =22:(3)1P x y -+=||AB =A. B.14 C.15 D.167.如图，在四棱锥中，平面，与底面所成的角为，底面为直角梯形，，，，三棱锥的外接球为球，则平面截球所得截面圆的面积为（ ）A.B.C.D.8.圆幂是指平面上任意一点到圆心的距离与半径的平方差.在平面上任给两个不同圆心的圆，则两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线被称为这两个圆的根轴.已知圆与圆，是这两个圆根轴上一点，则的最大值为（ ）B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线，直线，圆，则下列选项正确的是（ ）A.若，则B.若，则C.若与圆相交于，两点，则D.过上一点向圆作切线，切点为，则10.在菱形中，，，E 为AB 的中点，将沿直线DE 翻折至的位置，使得二面角为直二面角，若为线段的中点，则（ ）P ABCD -PA ⊥ABCD PB ABCD π4ABCD π2ABC BAD ∠=∠=2AD =1PA BC ==P ACD -O PBC O 9π811π89π411π421:2C x x +20y +=222:68160C x y x y +--+=P 21PC PC -1:(1)50l ax a y ++-=2:3450l x y -+=22:(3)(4)9C x y ++-=12//l l 37a =-12l l ⊥4a =-1l C A B min ||2AB =2l P C Q min ||PQ =ABCD 2AB =60BAD ∠=︒ADE △1A DE △1A DE C --P 1A CA.平面B.C.异面直线，所成的角为D.与平面11.已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上任意一点，则下列结论正确的是（ ）A.若存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为B.若存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为C.若存在点，使得，且，则椭圆D.若存在点，使得，且，则椭圆三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，，则向量在向量上的投影向量的模为___________.13.双曲线以椭圆的焦点为顶点，长轴的顶点为焦点，则双曲线的标准方程为___________，渐近线方程为___________.14.已知圆，直线，为圆上一动点，为直线上一动点，定点，则的最小值为___________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知椭圆上的点到其焦点的距离的最大值为16，最小值为4.（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆相交于A ，B 两点，若线段AB 的中点坐标为，求直线的方程.16.（15分）//BP 1A DE DP EC⊥PB 1A D π31A B PBD 2222:1(0)x y C a b a b+=>>1F 2F P C P 12π2F PF ∠=C ⎛ ⎝P ||2aOP =C ⎫⎪⎪⎭P 122PF PF =12π3F PF ∠=C P 2||3a OP =122π3F PF ∠=C (5,9,1)a =(2,1,1)b = a b C 2212036x y +=C 22:(1)(3)4C x y ++-=:280l x y --=M C N l (7,4)P --||||MN PN +2222:1(0)x y C a b a b+=>>C l C (3,4)--l已知的顶点，，顶点满足，记顶点的轨迹为.（1）求曲线的方程.（2）过点的直线（斜率不为0）与曲线交于不同的两点P ，Q ，O 为坐标原点，试判断直线OP ，OQ 的斜率之积是否为定值.若为定值，求出该定值；若不是，说明理由.17.（15分）如图，在几何体中，平面平面，四边形和是全等的菱形，且平面平面，是正三角形，，.（1）求该几何体的体积；（2）求平面与平面夹角的余弦值.18.（17分）已知动点到点的距离比它到直线的距离小，记动点的轨迹为.（1）求轨迹的方程.（2）已知直线与轨迹交于A ，B 两点，以A ，B 为切点作两条切线，分别为，，且，相交于点.若，求.19.（17分）在平面内，若直线将多边形分为两部分，且多边形在两侧的顶点到的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”.已知双曲线与双曲线有相同的离心率，，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一动点，双曲线在点处的切线与双曲线的渐近线交于A ，B 两点（A 在B 上方），当轴时，直线为的等线.（1）求双曲线的方程；（2）若是四边形的等线，求四边形的面积；（3）已知为坐标原点，直线OP 与双曲线的右支交于点，试判断双曲线在点处的切线是否为的等线，请说明理由.ABC △(2,0)A -(3,0)B C 3||2||CA CB =C W W A l W 111ABDC A B C -111//A B C ABDC 11A ACC ABDC 11A ACC ⊥ABDC 111A B C △2AB =160A AC BAC ︒∠=∠=11A ABB 11B C D M 30,2⎛⎫⎪⎝⎭30y +=32M C C :3l y kx =+C 1l 2l 1l 2l P ||||AB AP =k l l l l 22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>222:31C x y -=1F 2F 1C P 1C 1C P 1l 1C 2PF x ⊥y =12PF F △1C y =12AF BF 12AF BF O 2C Q 2C Q 2l 12AF F △[注]双曲线在其上一点处的切线方程为.2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>()00,P x y 00221x x y y a b -=2024—2025年度高二上学期期中考试数学参考答案1.D的斜率为，倾斜角为120°，所以绕原点逆时针旋转90°后所对应的直线的倾斜角为30°，斜率为.2.B 因为长轴长为10，所以长半轴长，短半轴长，半焦距，故的周长为.3.C 因为等于点到准线的距离，所以当PQ 垂直于准线时，有最小值，最小值为.4.A因为，所以，故.5.D 因为，，所以.因为，所以.6.D 记抛物线的焦点为，则.记切点为，因为圆的圆心为，所以，，所以，所以直线AB 的方程为.设，，联立方程组得，所以，所以.7.A 如图，建立空间直角坐标系，则，，.易知三棱锥的外接球球心为PD 的中点，所以.设平面的法向量为，因为，，所以令，得.因为，所以点到平面的距离.0y +=tan 30=︒5a =3b =4c ==12PF F △2218a c +=||PF P ||||PQ PF +82Q px +=156PF a c =<+=2124PF PF a -==29PF =13AE AB = 134BF BD = 12334EF EB BF AB BD =+=+111BD BD DD AD AB AA =+=-+()1123133341244EF AB AD AB AA AB AD AA =+-+=-++C F (1,0)F Q P (3,0)P ||2PF =||1PQ =30PFQ ∠=︒1)y x =-()11,A x y ()22,Bx y 21),4,y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩21410x x -+=1214x x +=12||16AB x x p =++=(0,0,1)P (1,0,0)B (1,1,0)C P ACD -O 10,1,2O ⎛⎫ ⎪⎝⎭PBC (,,)n x y z = (1,0,1)BP =- (0,1,0)BC = 0,0,n BP x z n BC y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩1x =(1,0,1)n = 10,1,2OP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ O PBC ||||OP n d n ⋅===设截面圆的半径为，则，所以截面圆的面积为.8.A 由题知，圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径.设点为圆与圆的根轴上的任意一点，则，所以，整理得，即圆与圆的根轴为直线.取关于对称的点，则.因为，所以在上，所以当，，三点共线时，取得最大值.因为到到，所以，即的最大值为.9.ABD 若，则，得，故A 正确.若，则，得，故B 正确.因为过定点，所以，故C 不正确.因为，所以当时，取得最小值.因为圆心到直线的距离，所以，故D 正确.10.AC 如图，建立空间直角坐标系，则，，，，.r222519||488r OP d =-=-=9π81C 1(1,0)C -11r =2C 2(3,4)C 23r =(,)P x y 1C 2C l 22221122PC r PC r -=-()()()22222211343x y x y++-=-+--20x y +-=1C 2C l 20x y +-=1C l1C '11PC PC '=12C C l ⊥1C '12C C P 1C '2C 2121PC PC PC PC '-=-12C C '1C l 2C l 12C C '=21PC PC -12//l l 15345a a +-=≠-37a =-12l l ⊥34(1)0a a -+=4a =-1l (5,5)M -min ||4AB ===2222||||||||9PQ PC CQ PC =-=-2PC l ⊥||PQ C 2l 4d ==min ||PQ ==1(0,0,1)A (1,0,0)B C D 12P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭对于A ，因为，平面的一个法向量为，所以，所以平面，故A 正确.对于B ，因为，，所以，所以DP ，EC 不垂直，故B 错误.对于C ，因为，，所以，所以异面直线，所成的角为，故C 正确.对于D ，设平面的法向量为，因为，，所以令，得.设与平面所成的角为，因为，所以，，故D 错误.11.BCD 对于A ，只需，因为，所以，所以，故A 错误.对于B ，若存在，则只需，所以，故B 正确.对于C，因为，，所以，.因为，所以，，所以，故C 正确.12BP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭1A DE (1,0,0)m =0BP m ⋅= //BP 1ADE 11,2DP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭EC =102DP EC ⋅=≠ 10,2PB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 11)A D =-1cos ,PB A D = 1112PB A D PB A D ⋅=PB 1A D π3PBD (,,)n x y z =12BP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭(BD =- 10,20,n BP y z nBD x ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩ x =n = 1A B PBD θ1(1,0,1)A B =-111sin cos ,A B n A B n A B nθ⋅====cos θ=b c ≤222b ac =-2222b ac c =-≤c e a ⎫=∈⎪⎪⎭||2a OP =2ab ≥e ⎫=⎪⎪⎭122PF PF =122PF PF a +=143a PF =223aPF =12π3F PF ∠=2221644214299332a a c a a =+-⨯⨯⨯223c a =c e a ==对于D ，因为，所以.因为，所以，所以.因为，所以，所以.由，得D 正确.向量在向量上的投影向量的模为.13.； 设双曲线的方程为，因为椭圆的焦点为，长轴顶点为，所以，，所以.故双曲线的标准方程为，渐近线方程为.14.11 设圆心关于对称的点为，则解得即，连接，（图略），所以，故的最小值为.15.解：（1）由题意，可知解得因为，所以椭圆的方程为.（2）设，，则122PF PF PO += 2221212122cos 4||PF PF PF PF F PF PO ++∠=122PF PF a +=()2222121212121639PF PF PF PF PF PF PF PF a +-=+-=2122027PF PF a =222121212122cos PF PF PF PF F PF F F +-∠=()2212124PF PF PF PF c +-=221244PF PF a c =-222204427a a c =-e =ab ||||b a b ⋅= 2211620y x -=y x =C 22221(0,0)y x a b a b-=>>2212036x y +=(0,4)±(0,6)±4a =6c =b ==C 2211620y x -=a y x x b =±=(1,3)C -l ()000,C x y 000013280,2232,1x y y x -+⎧-⨯-=⎪⎪⎨-⎪=-+⎪⎩005,9,x y =⎧⎨=-⎩0(5,9)C -0C N 0C P 0013CN PN C N PN C P +=+≥=MN PN +13211-=16,4,a c a c +=⎧⎨-=⎩10,6.a c =⎧⎨=⎩22264b a c =-=C 22110064x y +=()11,A x y ()22,B x y 221122221,100641,10064x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得，整理可得.因为线段AB 的中点坐标为，所以，，.所以直线的斜率，故直线的方程为，即.16.解：（1）设，因为，所以，所以，所以的方程为.（2）设，，.联立方程组得，所以，.因为，所以，故直线OP ，OQ 的斜率之积为定值，且定值为.17.解：取AC 的中点，连接，，则，.因为平面平面，且交于AC ，所以平面.如图，以为坐标原点，，，的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，，，.（1）连接BC .因为，所以.因为，，所以，2222121210064x x y y --+=121212121625y y x xx x y y -+=-⨯-+(3,4)--126x x +=-128y y +=-l 1212121216166122525825y y x x k x x y y -+-==-⨯=-⨯=--+-l 124(3)25y x +=-+12251360x y ++=(,)C x y 3||2||CA CB =22229(2)94(3)4x y x y ++=-+22120x y x ++=W 22120(0)x y x y ++=≠:2l x my =-()11,P x y ()22,Q x y 222,120,x my x y x =-⎧⎨++=⎩()2218200m y my ++-=12281m y y m +=-+122201y y m =-+()()()222121212122222016422244111m m x x my my m y y m y y m m m -=--=-++=++=+++12125OP OQ y y k k x x ⋅==-5-O 1A O BO 1A O AC ⊥BO AC ⊥11A ACC ⊥ABDC 1A O ⊥ABDC O OB OC 1OA(0,1,0)A -B (0,1,0)C 2,0)D 1A 1B 1(0,C 1222ABC S =⨯⨯=△1OA =11113A B C ABC ABC V S OA -=⋅=△(BC = 1BB = 1cos ,BC BB = 1114||BC BB BC BB ⋅=则.设平面的法向量为，则令，得，因为，所以点到平面的距离所以，所以该几何体的体积.（2）设平面的法向量为，因为，，所以令，则.设平面的法向量为，因为，，所以所以.设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.18.解：（1）由题意知动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，所以轨迹的方程为.（2）设，，联立方程组得，则，.易知，的斜率存在，设的方程为，1sin B BC ∠=11B BCC S =四边形11B BCC (,,)n x y z = 10,0,n BC y n BB y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 1x =()1n =- (0,2,0)DB =- D 11B BCC ||||DB n d n ⋅==1111123D B BCC B BCC V S d -=⋅=四边形111115A B C ABC D B BCC V V V --=+=11A ABB ()111,,p x y z =AB = 1AA = 111110,0,p AB y p AA y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 11x =(1,p = 11B C D ()222,,q x y z =11(B C = 1(0,1,B D = 11221220,0,q B C y q B D y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩q = 11A ABB 11B C D θ||1cos |cos ,|||||5p q p q p q θ⋅=〈〉==11A ABB 11B C D 15M 30,2⎛⎫⎪⎝⎭32y =-C 26x y =2111,6A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭2221,6B x x ⎛⎫⎪⎝⎭26,3,x y y kx ⎧=⎨=+⎩26180x kx --=126x x k +=1218x x =-1l 2l 1l ()21116y x m x x -=-联立方程组得.由，解得，所以的方程为.同理可得，的方程为. 由解得即点.因为，，，且，所以，即，化简得，因此或故.因为直线为的等线，所以点在轴的上方，即.由，得因为双曲线的离心率为2，所以双曲线的离心率为，又因为，所以，所以，，所以双曲线的方程为.（2）设，则双曲线在点处的切线的方程为.双曲线的渐近线方程为，可得，()21121,66y x m x x x y⎧-=-⎪⎨⎪=⎩2211660x mx mx x -+-=()221136460m mx x ∆=--=13x m =1l 2111136y x x x =-2l 2221136y x x x =-21122211,3611,36y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩1212,2,6x x x x x y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1212,26x x x x P +⎛⎫ ⎪⎝⎭222121,6x x AB x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ ()12121,26x x x x x AP -⎛⎫-=⎪⎝⎭()22121,26x x x x x PB -⎫-⎛=⎪ ⎝⎭ ||||AB AP =()0AB AP PB +⋅=()()()()()222221212212112210236436x x x x x x x x x x x x x AB PB AP PB -+---⋅+⋅=+++= 22122227290x x x x ++=-=126,3x x =-⎧⎨=⎩126,3,x x =⎧⎨=-⎩12k =±y =12PF F △P x 2,b Pc a⎛⎫ ⎪⎝⎭2b a -=2b a=2C 1C 2ca=222c a b =+223b a =a =3b =1C 22139x y -=()00,P x y 1C P 1l 00139x x y y-=1C y =A x =B x =所以，所以是线段AB 的中点.因为点，到过原点的直线的距离相等，所以过原点的等线必定满足点A ，B 到该等线的距离相等，且分别位于两侧，所以该等线必过点，即直线OP 的方程为.方程组解得或所以.所以，，所以，故.（3）设，则双曲线在点处的切线的方程为.易知与在的右侧，在的左侧，因为，，所以点到的距离由得.因为，，所以，，所以因为点到的距离，点到的距离所以，即为的等线.02A B x x x +=+=P 1F 2F O O P y =22,1,39y x y⎧=⎪⎨-=⎪⎩3,x y =⎧⎪⎨=⎪⎩3,x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩P A A y ===+B B y ===--A B y y -=1212113622A B AF BF S F F y y =⋅-=⨯=四边形()11,Q x y 2C Q 2l 11310x x y y --=A 2F 2l 1F 2l A x =A y =A 2l 1d 0022,31,y y x x x y ⎧=⎪⎨⎪-=⎩22022003x x x y =-10x >220039x y -=013x x =013y y =1d 2F 2l 2d =1(F -2l 3d =123d d d +=2l 12AF F △。
