第２６卷第４期 ２０１３年８月 四川理工学院学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｉｃｈｕａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ＆Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） Ｖｏｌ＿２６ Ｎｏ．４ Ａｕｇ．２０１３
文章编号：１６７３－１５４９（２０１３）０４－００９３－０４ ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７３—１５４９．２０１３．０４．０２２
二阶常系数非齐次线性微分方程特解的简便解法
李岚
（闽西职业技术学院电气系，福建龙岩３６４０２１）
摘要：利用积分公式和微分逆算子法，推导出一类二阶常系数非齐次线性微分方程的特解公式，
进而得出求此类微分方程特解的简便方法。
关键词：二阶常系数非齐次线性微分方程；特征根方程；微分算子；逆算子
中图分类号：Ｏ１７５ 文献标志码：Ａ
引言
二阶复常系数非齐次线性微分方程的一般形式是：
” ｐ ｑｘ＝ ｔ） （１）
其中，Ｐ、ｑ是复常数，若微分方程（１）中的自由项－厂（ｔ）＝
ｅａｔＱ （ｔ），则
＋ｐｘ ＋ｑｘ＝ｅａｔＱ （ｔ） （２）
其中Ｑ （ ）＝∑ａｉｔ 是ｍ次多项式，ｏｌ、ａｉ（ｉ＝０，１，２，
…，ｍ）是复常数。
本文利用微分逆算子法推导出微分方程（２）的特解
的求解公式，并根据微分方程（２）中的自由项
ｅａｔＱ （ ）的不同情况得出相应的计算公式，从而可以用
简便快捷的方法求出二阶复常系数非齐次线性微分方
程（２）的一个特解。
１主要定理和性质
１．１ 微分算子与逆算子及其性质
Ｉ．１．１微分算子
记
。＝告 ＝ ・ ＝ ・
称Ｄ，Ｄ ，…Ｄ ，…为微分算子，则二阶常系数线性
微分方程（１）用算子符号记为： （Ｄ ＋ｐＤ＋ｑ）ｘ＝ ｔ） （３）
称Ｐ（Ｄ）＝Ｄ ＋ｐＤ＋ｑ为算子多项式，方程（３）可简记
为Ｐ（Ｄ） ＝＿厂（ｔ）。
１．１．２逆算子
微分算子多项式Ｐ（Ｄ）的逆算子记为 ，它满
常系数非齐次线性微分方程
常系数非齐次线性微分方程是一类常见的微分方程，在数学和物理学等领域有着广泛的应用。那么，常系数非齐次线性微分方程是什么呢？它的一般形式是什么样的？它的解法有哪些呢？下面我们来一一探讨。
首先，常系数非齐次线性微分方程是指一类满足以下形式的微分方程：
a1(x)y'' + a2(x)y' + a3(x)y = f(x)
其中，a1(x)、a2(x)、a3(x)是常数系数，y是未知函数，f(x)是给定的函数。这类微分方程的特点是：未知函数的阶数不超过二阶，并且常数系数都是常数。
其次，常系数非齐次线性微分方程的解法有多种。对于没有特殊限制的常系数非齐次线性微分方程，通常采用牛顿迭代法来求解。牛顿迭代法是利用牛顿近似定理，通过不断迭代来逼近方程的解的一种求解方法。但是，如果该方程具有特殊的性质，则可以使用其它方法来求解。例如，如果该方程具有对称性，则可以使用对称法求解；如果该方程具有线性特征，则可以使用线性特征法求解。
最后，常系数非齐次线性微分方程在数学和物理学等领域有着广泛的应用。在数学中，它常用于描述各种数学模型；在物理学中，它常用于描述各种物理现象，如电学、力学、热学等。因此，掌握常系数非齐次线性微分方程的求解方法，对于理解和研究这些领域的知识具有十分重要的意义。
第１５卷第３期 ２０１２年５月 高等数学研究 ＳＴＵＤＩＥＳ ＩＮ Ｃ０ＬＬＥＧＥ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ Ｖｏｌ＿１５，ＮＯ．３ Ｍａｙ，２０１２ 高阶常系数非齐次线性微分方程的解法 宋燕 （渤海大学数理学院，辽宁锦州１２１０００） 摘 要 利用高阶常系数齐次线性微分方程的特征根，可将一般的高阶常系数非齐次线性微分方程的求解问 题归结为多个一阶线性微分方程的求解问题，实例说明该方法的应用． 关键词 高阶常系数非齐次线性微分方程；通解；特解 中图分类号 Ｏ１７５．１ 文献标识码 Ａ 文章编号 １００８—１３９９（２０１２）０３—００２２—０２ 一般教材中，求高阶常系数非齐次线性微分方 程的通解归结为求对应的齐次线性微分方程的通解 与非齐次线性微分方程的一个特解．而高阶常系数 齐次线性微分方程的通解可由其特征方程的根来决 定．对非齐次线性微分方程，教材中只介绍当非齐 次项为两种特殊类型的函数时，其特解可用待定系 数法求得＿】 ］． 本文将根据１１阶常系数齐次线性微分方程的特 征根，利用降阶法，给出当非齐次项为任意连续函数 时，ｎ阶常系数非齐次线性微分方程的特解求法，即 阶常系数非齐次线性微分方程的求解问题可归结 为 个一阶线性微分方程的求解问题． 定理１ 设１１阶常系数非齐次线性微分方程 Ｙ ＋ａ１Ｙ ’＋…＋口 ｌＹ －９ａｎｙ一， ） （１） 所对应的齐次方程的特征根为 ， ，…， ，而，（ ｚ） 为任意连续函数，则方程（１）的求解问题可归结为ｎ 个一阶线性微分方程的求解问题，即 ｆ －－．Ａ 一 ｊ 一 ’ （２） Ｊ……… 【 ｌ— ｌ 一ｌ一厂（ｚ）． 证明 用数学归纳法．当 一２时，结论成 立 ］．假设，ｚ一１时结论成立，即对 一１阶常系数非 齐次线性微分方程 ＿１’＋ａｌＹ‘一 ＋…＋ａ １ Ｙ＝＝＝ ’（ ）， 若 ， ，…， 是其所对应的齐次线性微分方程 的特征根，则其求解问题可归结为 一１个一阶线性 微分方程 ｖ 一 一１ Ｙ一 】， 收稿日期：２０１１—１Ｏ一１８；修改日期：２０１２—０３—０５ 基金项目：辽宁省自然科学基金项目（２００９２１９４） 作者简介：宋燕（１９６２－－），女，辽宁锦州人，硕士，教授，从事常微分方 程定性理论研究．Ｅｍａｉｌ：ｊｚｓｏｎｇｙａｎ＠１６３．ｃｏｒｎ ｚ — ，ｒ＿２ｚ１一ｚ２， ｚ 一２一 ｌｚ ２一，（ ） 的求解问题．下面证明 时结论也成立．由于 ， ， …， 是方程（１）所对应的齐次方程的特征根，由韦 达定理知 １＋ ２＋…＋ ＝＝＝一ａ１， １ ２＋…＋ ｌ ＋ ２ ３＋…＋ 一ａ２， ∑ ・・ 一（一１） ａ ， 】≤ ｌ＜ ２＜…＜ ≤ １ ２… 一（——１） ｄ ， 于是方程（１）可写成如下形式 ‘ 一（ １＋ ２＋…＋ ） ＋ （ １ ２＋ ３＋…＋ ｌ ） ＋…＋ （一１） （ ∑ … ） ”一 ＋…＋ １≤ １＜ ２＜…ｉｋ≤ （一１） Ａ ２… ．ｙ一厂（ ）． （３） 若令 ， 、 ｌ＝＝：Ｙ一＾ｎＹ， 那么 一Ｙ 州 一 ’（走＝１，２，…，１１—１）， 通过计算易知 （ １＋ ２＋…＋ ） 。 ＋ （ １ ２＋…＋Ａｎ ２Ａ．－１）ｚ ＋…＋ （一１） ∑ “Ａｉ， ｛一 －９…－９ ｌ≤ １＜ｉ２＜…＜ ≤ １ （——１） 一 １ ２… １ｚｌ一，（ｚ）， （４） 且 ， ，…， 一 为方程（４）所对应的齐次方程的特 征根．由归纳假设，方程（４）可转化为 一１个一阶线 性微分方程 — １ ｚ１一 ２， ｚ —— 一２Ｚ２＝：
n阶常系数非齐次线性微分方程特解的统一求法
非齐次线性微分方程指的是一类数学问题，其特征是一个常系数、高阶数函数来描述某些物理量及其之间间的变化规律。对于这类物理问题，求解通常使用统一求法，也就是阶常系数非齐次线性微分方程特解的统一求法。
阶常系数非齐次线性微分方程特解的统一求法是一种微积分解决方案，需要利用数学工具，包括积分学的概念，基础的几何和代数的计算方法，常数及共轭量的对应，解析函数及其分部积分等，这些都是进行解决非齐次线性微分方程问题所必须具备的知识。在求解特解时，主要是通过计算微分系数，解它们的积分表达式，再通过求和或者其他方法得出最终答案。
计算机科学的发展，给阶常系数非齐次线性微分方程特解的统一求法带来了更多便利。如今，已经有很多种具有优良性能的软件在处理这类数学问题上发挥了关键作用。这些软件不仅可以提升计算效率，而且有效解决了复杂问题，也使得研究及科学实验更为便捷。
总之，阶常系数非齐次线性微分方程特解的统一求法是解决物理问题所必备的基础方法。在计算机的帮助下，已经可以解决大量的复杂问题，从而大大提高了研究实验的便捷性。
