2015年湖北省高考数学试题及答案(理科)【解析版】

1 2015年湖北省高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）（2015•湖北）i为虚数单位，i607的共轭复数为（ ）

A． i B． ﹣i C． 1 D． ﹣1

考点： 虚数单位i及其性质．

专题： 数系的扩充和复数．

分析： 直接利用复数的单位的幂运算求解即可．

解答： 解：i607=i604+3=i3=﹣i，

它的共轭复数为：i．

故选：A．

点评： 本题考查复数的基本运算，复式单位的幂运算以及共轭复数的知识，基本知识的考查．

2．（5分）（2015•湖北）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）

A． 134石 B． 169石 C． 338石 D． 1365石

考点： 随机抽样和样本估计总体的实际应用．

专题： 计算题；概率与统计．

分析： 根据254粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论．

解答： 解：由题意，这批米内夹谷约为1534×≈169石，

故选：B．

点评： 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础．

3．（5分）（2015•湖北）已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）

A． 212 B． 211 C． 210 D． 29

考点： 二项式定理；二项式系数的性质．

专题： 二项式定理．

分析： 直接利用二项式定理求出n，然后利用二项式定理系数的性质求出结果即可．

解答： 解：已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，

2 可得，可得n=3+7=10．

（1+x）10的展开式中奇数项的二项式系数和为：=29．

故选：D．

点评： 本题考查二项式定理的应用，组合数的形状的应用，考查基本知识的灵活运用以及计算能力．

4．（5分）（2015•湖北）设X～N（μ1，ς12），Y～N（μ2，ς22），这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）

A． P（Y≥μ2）≥P（Y≥μ1） B． P（X≤ς2）≤P（X≤ς1）

C． 对任意正数t，P（X≤t）≥P（Y≤t） D． 对任意正数t，P（X≥t）≥P（Y≥t）

考点： 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．

专题： 概率与统计．

分析： 直接利用正态分布曲线的特征，集合概率，直接判断即可．

解答： 解：正态分布密度曲线图象关于x=μ对称，所以μ1＜μ2，从图中容易得到P（X≤t）≥P（Y≤t）．

故选：C．

点评： 本题考查了正态分布的图象与性质，学习正态分布，一定要紧紧抓住平均数μ和标准差ς这两个关键量，结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质．

5．（5分）（2015•湖北）设a1，a2，…，an∈R，n≥3．若p：a1，a2，…，an成等比数列；q：（a12+a22+…+an﹣12）（a22+a32+…+an2）=（a1a2+a2a3+…+an﹣1an）2，则（ ）

3 A． p是q的充分条件，但不是q的必要条件

B． p是q的必要条件，但不是q的充分条件

C． p是q的充分必要条件

D． p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

考点： 等比数列的性质．

专题： 等差数列与等比数列；简易逻辑．

分析： 运用柯西不等式，可得：（a12+a22+…+an﹣12）（a22+a32+…+an2）≥（a1a2+a2a3+…+an﹣1an）2，讨论等号成立的条件，结合等比数列的定义和充分必要条件的定义，即可得到．

解答： 解：由a1，a2，…，an∈R，n≥3．

运用柯西不等式，可得：

（a12+a22+…+an﹣12）（a22+a32+…+an2）≥（a1a2+a2a3+…+an﹣1an）2，

若a1，a2，…，an成等比数列，即有==…=，

则（a12+a22+…+an﹣12）（a22+a32+…+an2）=（a1a2+a2a3+…+an﹣1an）2，

即由p推得q，

但由q推不到p，比如a1=a2=a3=…=an=0，则a1，a2，…，an不成等比数列．

故p是q的充分不必要条件．

故选：A．

点评： 本题考查充分必要条件的判断，同时考查等比数列的定义，注意运用定义法和柯西不等式解题是关键．

6．（5分）（2015•湖北）已知符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（ ）

A．sgn[g（x）]=sgnx B．sgn[g（x）]=﹣sgnx

C．sgn[g（x）]=sgn[f（x）] D．sgn[g（x）]=﹣sgn[f（x）]

考点： 函数与方程的综合运用．

专题： 函数的性质及应用．

分析： 直接利用特殊法，设出函数f（x），以及a的值，判断选项即可．

解答： 解：由于本题是选择题，可以常用特殊法，符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），

不妨令f（x）=x，a=2，

则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x，

sgn[g（x）]=﹣sgnx．所以A不正确，B正确，

4 sgn[f（x）]=sgnx，C不正确；D正确；

对于D，令f（x）=x+1，a=2，

则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x﹣1，

sgn[f（x）]=sgn（x+1）=；

sgn[g（x）]=sgn（﹣x﹣1）=，

﹣sgn[f（x）]=﹣sgn（x+1）=；所以D不正确；

故选：B．

点评： 本题考查函数表达式的比较，选取特殊值法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．

7．（5分）（2015•湖北）在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记P1为事件“x+y≥”的概率，P2为事件“|x﹣y|≤”的概率，P3为事件“xy≤”的概率，则（ ）

A． P1＜P2＜P3 B． P2＜P3＜P1 C． P3＜P1＜P2 D． P3＜P2＜P1

考点： 几何概型．

专题： 概率与统计．

分析： 作出每个事件对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何概型的概率公式进行计算比较即可．

解答： 解：分别作出事件对应的图象如图（阴影部分）：

P1：D（0，），F（，0），A（0，1），B（1，1），C（1，0），

则阴影部分的面积S1=1×1﹣=1﹣=，

S2=1×1﹣2×=1﹣=，

S3=1×+dx=+lnx|=﹣ln=+ln2，

∴S2＜S3＜S1，

5 即P2＜P3＜P1，

故选：B．

点评： 本题主要考查几何概型的概率计算，利用数形结合是解决本题的关键．本题也可以直接通过图象比较面积的大小即可比较大小．

8．（5分）（2015•湖北）将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b（a≠b）同时增加m（m＞0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（ ）

A． 对任意的a，b，e1＞e2

B． 当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2

C． 对任意的a，b，e1＜e2

D． 当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2

考点： 双曲线的简单性质．

专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： 分别求出双曲线的离心率，再平方作差，即可得出结论．

6 解答： 解：由题意，双曲线C1：c2=a2+b2，e1=；

双曲线C2：c′2=（a+m）2+（b+m）2，e2=，

∴=﹣=，

∴当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2，

故选：D．

点评： 本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．

9．（5分）（2015•湖北）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A⊕B中元素的个数为（ ）

A． 77 B． 49 C． 45 D． 30

考点： 集合中元素个数的最值．

专题： 新定义；开放型；集合．

分析： 由题意可得，A={（0，0），（0，1），（0，﹣1），（1，0），（﹣1，0），B={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2）（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2）}，根据定义可求

解答： 解：∵A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}={（0，0），（0，1），（0，﹣1），（1，0），（﹣1，0），

B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2）（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2）}

∵A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，

∴A⊕B={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2），（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），

（﹣2，3），（﹣2，﹣3），（0，﹣3），（2，﹣3），（﹣1，3），（﹣1，﹣3），（1，3），（2，3），（0，3），（3，﹣1），（3，0）（3，1），（3，2），（3，﹣2）（﹣3，2）（﹣3，1），（1，﹣3），（﹣3，﹣1），（﹣3，0），（﹣3，﹣2）}共45个元素

故选：C．

点评： 本题以新定义为载体，主要考查了几何的基本定义及运算，解题中需要取得重复的元素．