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矩形的动点问题 含答案

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1专题1.20矩形的动点问题（专项练习）

一、解答题

1．已知，在矩形ABCD

中，ABa=，BCb

，动点M

从点A

出发沿边AD

向点D

运动．如

图，当2ba

，点M

运动到边AD

的中点时，请证明90BMC．

2．如图，在矩形ABCD

中，20ABcm

，动点P从点A开始沿AB

边以4/cms

的速度

运动，动点Q

从点C

开始沿CD

边以1/cms

的速度运动，点P和点Q

同时出发，当其中一

点到达终点时，另一点也随之停止运动，运动点的运动时间为ts

，则当t

为何值时，四边形

APQD时矩形？

3．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点

P分别作AC和BD的垂线，垂足为点E，F，求PE+PF的值。

4．如图，点M

是矩形ABCD

边AD

的中点，2ABAD

，点P是BC

边上一动点，

PEMC

，PFBM

，垂足分别为E

、F

，求点P运动到什么位置时，四边形PEMF为正方形，并证明．

5．如图，在矩形ABCD中，点P是BC边上一动点，连接AP，过点D作DEAP

于点E.

2设

APx，DEy

，若6AB

，8BC

，试求y与x之间的函数关系式.

6．如图，A、B、C、D是矩形的四个顶点，AB＝32cm，BC＝12cm，动点P从点A出发，

以6cm/s的速度向点B运动，直到点B为止；动点Q向时从点C出发，以4cm/s的速度向

点D运动，何时点P和点Q之间的距离是20cm？

7．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AD上一个动点，把△BAE沿BE向矩

形内部折叠，当点A的对应点A

1恰好落在∠BCD的平分线上时，求CA

1的长．

8．如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是BC边上一动点，PE⊥MC，PF⊥BM，

垂足为E、F．

(1)当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PEMF为矩形？猜想并证明你的结论．

(2)在(1)中，当点P运动到什么位置时，矩形PEMF变为正方形，为什么？

9．如图，矩形ABCD

中，5AD，7AB，点E

为DC

上一个动点，把ADE

沿AE

折

叠，当点D的对应点

D¢

落在ABC

的平分线上时，求DE

的长．

310．已知矩形ABCD

中，E

是AD

边上的一个动点，点F

、G

、

H分别是BC

、

BE、CE的中点．

（1）求证：BGFFHC

．

（2）若4AD，当四边形EGFH

是正方形时，求矩形ABCD

的面积．

11．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E是AD上一个动点，把△BAE沿BE向

矩形内部折叠，当点A的对应点A

恰好落在∠BCD的平分线上时，CA的长为多少？

12．已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中

点.求证：BGFFHC；

13．如图1，矩形ABCD中，点E是边AD上动点，点F是边BC上动点，连接EF，把矩

形ABCD沿直线EF折叠，点B恰好落在边AD上，记为点G；如图2，把矩形展开铺平，

连接BE，FG.

（1）判断四边形BEGF的形状一定是，请证明你的结论；

（2）若矩形边AB＝4，BC＝8，直接写出四边形BEGF面积的最大值为．

414．如图，E

是矩形ABCD

的边BC

的中点，P是AD

边上一动点，PFAE

，PHDE

，

垂足分别为FH，

．

（1）当矩形ABCD

的边AD

与AB

满足什么条件时，四边形PHEF

是矩形？请予以证明；

（2）在（1）中，动点P运动到什么位置时，矩形PHEF为正方形？为什么？

15．如图，在矩形ABCD

中，M

是AD

的中点，连接BM

、CM

，点

P是BC

边上的动

点，作PEMC

于E

点，PFMB

于F

点，当矩形的长与宽是什么关系时，四边形

PEMF是矩形？并证明．

16．在矩形ABCD

中，1AB

，BCa

，点E

是边BC

上一动点，连接AE

，将ABE△

沿AE翻折，点B的对应点为点B

．

（1）如图，设BEx

，3BC

，在点E

从B点运动到C

点的过程中．

①ABCB

最小值是______，此时x=______；

②点B

的运动路径长为______．

（2）如图，设3

5BEa

，当点B的对应点B

落在矩形ABCD

的边上时，求a

的值．

517．如图，在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=6cm．动点P、Q分别从点A、C以2cm/s的速

度同时出发．动点P沿AB向终点B运动，动点Q沿CD向终点D运动，连结PQ交对角

线AC于点O．设点P的运动时间为t（s）．

（1）求OC的长．

（2）当四边形APQD是矩形时，直接写出t的值．

（3）当四边形APCQ是菱形时，求t的值．

（4）当△APO是等腰三角形时，直接写出t的值．

18．有一张矩形纸片ABCD

，其中10,6ABAD

，现将矩形折叠，点D的对应点记为

点P，折痕为EF

（点E、F是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原．

（1）若点P落在矩形ABCD

的边AB

上（如图1）．

①当点P与点A重合时，DEF

__________，当点E与点A重合时，

DEF

__________，当点F与C重合时，AP

__________；

②若P为AB

的中点时，求AE的长；

（2）若点P落在矩形的外部（如图2），点F与点C重合，点E在AD

上，线段BA

与线段

FP

交于点M，当AMDE

时，请求出线段AE

的长度．

（3）若点E为动点，点F与点DC

的中点，直接写出线段

AP的最小值=__________．

6

7参考答案

1．见解析.

【分析】

由b＝2a，点M是AD的中点，可得AB＝AM＝MD＝DC＝a，又由四边形ABCD是矩形，

即可求得∠AMB＝∠DMC＝45°，则可求得∠BMC＝90°．

【详解】

证明：∵b＝2a，点M是AD的中点，

∴AB＝AM＝MD＝DC＝a，

又∵在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，

∴∠AMB＝∠DMC＝45°，

∴∠BMC＝90°．

【点拨】本题考查了矩形的性质以及等腰直角三角形的性质，求出∠AMB＝∠DMC＝45°

是解题的关键．

2．当4ts

时，四边形APQD

是矩形

【分析】

根据题意表示出AP=4t,DQ=20-t;根据菱形的对边相等,求出的值,即可解决问题.【详解】

由题意得：4APt

，20DQt

；

∵四边形APQD

是矩形，

∴APDQ

，即420tt

，

解得：

4ts

．

即当4ts

时，四边形APQD

是矩形．

【点拨】本题主要考查矩形的判定与性质.

3．PE+PF=12

5

【解析】

8【分析】

连接OP，过点A作AG⊥BD于G，利用勾股定理列式求出BD，再利用三角形的面积求出

AG，然后根据△AOD的面积求出PE+PF=AG即可．

【详解】

解：如图所示，连接OP，过点A作AG⊥BD于G，

∵AB=3，AD=4，

∴

BD=22345，S△

ABD=1

2AB•AD=1

2BD•AG，

即

1

2×3×4=1

2×5×AG，

解得：AG=12

5，

在矩形ABCD中，OA=OD，

∵S

△AOD=1

2OA•PE+1

2OD•PF=1

2OD•AG，

∴PE+PF=AG=12

5．

故PE+PF=12

5

【点拨】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形的面积；熟练掌握各性质并利用三角形

的面积列出方程是解题的关键．

4．当P是BC

的中点时，矩形PEMF

为正方形．

【解析】

【分析】

根据矩形的相知和已知条件推出∠A=∠D=90°，AB=CD，AM=DM，求出

∠ABM=∠AMB=45°，∠DCM=∠DMC=45°，求出∠BMC=90°，即可求出矩形PEMF.根据

AAS证△BFP≌△CEP，推出PE=PF即可.

【详解】

解：当P是BC

的中点时，四边形PEMF

为正方形．理由如下：

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(完整)初二数学动点问题归类复习(含例题、练习及答案)(2)

(完整)初二数学动点问题归类复习(含例题、练习及答案)(2)

1 初二数学动点问题归类复习（含例题、练习及答案）

所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.

关键:动中求静.

数学思想：分类思想 数形结合思想 转化思想

本文将初一至二学习过的有关知识，结合动点问题进行归类复习，希望对同学们能有所帮助。

一、等腰三角形类：因动点产生的等腰三角形问题

例1：（2013年上海市虹口区中考模拟第25题）如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°．

（1）求ED、EC的长；

（2）若BP＝2，求CQ的长；

（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．

图1 备用图

思路点拨

1．第（2）题BP＝2分两种情况．

2．解第（2）题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系．

3．第（3）题探求等腰三角形PDF时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三角形CDQ．

解答：（1）在Rt△ABC中， AB＝6，AC＝8，所以BC＝10．

在Rt△CDE中，CD＝5，所以315tan544EDCDC，254EC．

（2）如图2，过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M、N，那么DM、DN是

△ABC的两条中位线，DM＝4，DN＝3．

由∠PDQ＝90°，∠MDN＝90°，可得∠PDM＝∠QDN．

因此△PDM∽△QDN．

所以43PMDMQNDN．所以34QNPM，43PMQN．

图2 图3 图4

①如图3，当BP＝2，P在BM上时，PM＝1．

2020中考数学 几何图形的折叠与动点问题(含答案)

2020中考数学 几何图形的折叠与动点问题(含答案)

2020中考数学 几何图形的折叠与动点问题（含答案）

1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝9，点E在BC上，CE＝4，点F是AD上的一个动点，若把△BEF沿EF折叠，点B落在点B′处，当点B′恰好落在矩形ABCD的一边上，则AF的长为________．

第1题图

3或 113

2.如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝6，点P是边BC上的动点，现将纸片折叠，使点A与点P重合，折痕与矩形边的交点分别为E、F，要使折痕始终与边AB、AD有交点，则BP的取值范围是________．

第2题图

6－25≤BP≤4

3.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝6，E，F分别是线段AD、BC上的点，连接EF，使四边形ABFE为正方形，若点G是AD上的动点，连接FG，将矩形沿FG折叠使得点C落在正方形ABFE的对角线所在的直线上，对应点为P，则线段AP的长为__________．

第3题图

4或4－22

4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC(AD＜BC)，AB与CD不平行，AB＝CD＝5，BC＝12，点E是BC上的动点，将∠B沿着AE折叠，使点B落在直线AD上的点B′处，DB′＝1，直线BB′与直线DC交于点H，则DH＝________．

第4题图

511或513

5.如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝8，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于点M，N.当点B′分线段MN为3∶5的两部分时，EN的长为________．

第5题图

35511或53913

6.如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P是对角线BD上一动点，将纸片折叠，使点C与点P重合，折痕为EF，折痕EF的两端分别在BC、DC边上(含端点)，当△PDF为直角三角形时，FC的长为________．

第6题图

247或 83

动点问题(一)

动点问题(一)

动点问题（一）

1.如图，已知：在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发．设S表示面积，x表示移动时间（x＞0）．（1）几秒后△PBQ的面积等于8cm2；（2）写出S△DPQ与x的函数关系式；（3）求出S△DPQ最小值和S△DPQ最大值，并说明理由

2.已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠ACB = ∠EDF = 90°，∠DEF = 45°，AC = 8 cm，BC = 6 cm，EF = 9 cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1 cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2 cm/s的速度沿BA向点A匀速移动.当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列问题：（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？（2）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，说明理由．（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由

3.如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A，B的坐标分别为（4，0），（4，3），动点M，N分别从O，B同时出发．以每秒1个单位的速度运动．其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点M作MP⊥OA，交AC于P，连接NP，已知动点运动了x秒．（1）P点的坐标为多少（用含x的代数式表示）；（2）试求△NPC面积S的表达式，并求出面积S的最大值及相应的x值；（3）当x为何值时，△NPC是一个等腰三角形？简要说明理由

2020年中考数学三轮冲刺 难点题型突破 3 动点问题的函数图像

2020年中考数学三轮冲刺 难点题型突破 3 动点问题的函数图像

2020

中考

动点问题的函数图像

1．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点P是BC边上的一个动点（点P与点B、C都不重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点F处；过点P作∠BPF的角平分线交AB于点E．设BP＝x，BE＝y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）

A． B．

C． D．

2．如图，正方形ABCD的边长为4，点P、Q分别是CD、AD的中点，动点E从点A向点B运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点P出发，沿P→D→Q运动，点E、F的运动速度相同．设点E的运动路程为x，△AEF的面积为y，能大致刻画y与x的函数关系的图象是（ ）

2020

中考

A． B．

C． D．

3．如图，已知正△ABC的边长为2，E、F、G分别是AB、BC、CA上的点，且AE＝BF＝CG，设△EFG的面积为y，AE的长为x，则y关于x的函数图象大致是（

）

A． B．

C． D．

4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P是斜边AB的中点，点M从点C向点A匀速运动，点N从点B向点C匀速运动，已知两点同时出发，同时到达终点，连接PM、PN、MN，在整个运动过程中，△PMN的面积S与运动时间t的函数关系图象大致是（ ） 2020

中考

A． B．

C． D．

5．如图是自行车骑行训练场地的一部分，半圆O的直径AB＝100，在半圆弧上有一运动员C从B点沿半圆周匀速运动到M（最高点），此时由于自行车故障原地停留了一段时间，修理好继续以相同的速度运动到A点停止．设运动时间为t，点B到直线OC的距离为d，则下列图象能大致刻画d与t之间的关系是（ ）

A． B．

C． D．

6．如图，AB为半圆所在⊙O的直径，弦CD为定长且小于⊙O的半径（C点与A点不重合），2020

中考

CF⊥CD交AB于点F，DE⊥CD交AB于点E，G为半圆弧上的中点．当点C在上运动时，设的长为x，CF+DE＝y．则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）