不动点定理及其应用(高考)

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I / 20 摘要

本文首先介绍Banach空间中的不动点定理、在其他线性拓扑空间中不动点定理的一维推广形式、在一般完备度量空间上的推广形式.

其次,通过分析近几年全国各地高考数学卷中一些试题特点,总结了利用不动点定理求解有关数列的问题.其中包括数列通项、数列的有界性问题.最后介绍了不动点定理中的吸引不动点和排斥不动点在讨论数列的单调性及收敛性方面的应用.

关键词 ：Banach不动点定理,数列通项，有界性，单调性，收敛性.

Abstract

This article firstly introduced the Fixpoint Theorem in

Banach space, the one-dimensional extended form of the

Fixpoint Theorem in other linear topological space and the

extended form in general complete metric space. Then, we

summarized the problem on sequence of number using

Fixpoint Theorem, analyzing the characteristics of tests

emerged on math papers of all parts of our country recent

years, including the problem of general term and

boundedness of a sequence of number. At last, attractive fix

point and rejection fix point in Fixpoint Theorem were

introduced which can solve the problem about the

monotonicity and astringency of sequence of number.

Keywords:Banach fixed point theorem,Sequence,

Boundedness, Monotonicity Convergence.

目录

第1章绪论3

1.1导论3

1.1.1 选题背景3

1.1.2 选题意义2

1.1.3 课题研究内容4 ………………………………………………最新资料推荐………………………………………

II / 20 1.2 研究现状2

1.3本章小结3

第2章不动点定理4

2.1 有关概念4

2.2 不动点定理和几种推广形式4

2.3本章小结7

第3章 不动点定理在数列中的应用8

3.1 求数列的通项公式8

3.2 数列的有界性9

3.3 数列的单调性及收敛性11

3.3.1数列的单调性、收敛性的重要结论11

3.3.2数列的单调性、收敛性的证明14

3.4本章小结17

第6章 结束语18

参考文献19………………………………………………最新资料推荐………………………………………

3 / 20 第1章 绪论

1.1导论

不动点理论的研究兴起于20世纪初,荷兰数学家布劳维在1909年创立了不动点理论[1]．在此基础上，不动点定理有了进一步的发展，并产生了用迭代法求不动点的迭代思想．美国数学家莱布尼茨在1923年发现了更为深刻的不动点理论，称为莱布尼茨不动点理论[2]．1927年，丹麦数学家尼尔森研究不动点个数问题，并提出了尼尔森数的概念[3]．我国数学家江泽涵、姜伯驹、石根华等人则大大推广了可计算尼森数的情形，并得出了莱布尼茨不动点理论的逆定理[4]．

不动点理论一个发展方向是只限于欧氏空间多面体[5]上的映射,不动点理论的另一个发展方向是不限于欧氏空间中多面体上的映射，而考察一般的距离空间或线性拓扑空间上的不动点问题．最后给出结果的是波兰数学家巴拿赫(Bananch)[6]，他于1922年提出的压缩映像原理发展了迭代思想，并给出了Banach不动点定理[6]．这一定理有着及其广泛的应用，像代数方程、微分方程、积分方程、隐函数理论等中的许多存在性与唯一性问题均可以归结为此定理的推论．

1.1.1 选题背景

不动点定理在微分方程、函数方程、动力系统理论等中有极为广泛的应用.函数的"不动点"理论虽然不是中学教材的必修内容，但是它的存在确实使一些数学问题在无法想象中得到了解决.已知递推公式求其数列通项，数列有界性、数列的单调性及收敛性等，历来是高考的重点和热点题型，对那些已知递推关系但又难求通项的数列综合问题，充分运用函数的相关性质是解决这类问题的着手点和关键．因此，它就自然成为各类数学竞赛和选择性考试必选的内容之一，尤其在近年的高考中对该定理的应用越来越频繁.

1.1.2 选题意义

利用“不动点”法巧解高考题 ，递推公式求数列的通项，证明数列的有界性、数列的单调性及收敛性等，历来是高考的重点和热点题型，那些已知递推关系但又难求通项的数列综合问题，充分运用函数的相关性质是解决这类问题的着手点和关键．与递推关系对应的函数的“不动点”决定着递推数列的增减情况，因此本文对函数“不动点”问题的研究结果，来简化求数列的通项公式、数列的有界性、数列的单调性及收敛性等问题具有指导意义和理论意义. ………………………………………………最新资料推荐………………………………………

4 / 20 1.1.3 课题研究内容

本文通过介绍不动点定理的证明，不动点定理的迭代思想和不动点定理的推论，研究了以下的内容：

①利用不动点定理的迭代思想，简化求递推数列的通项问题.

②以不动点定理为指导思想，证明数列的有界性.

③利用不动点及特征函数的性质研究数列的单调性及收敛性，并借此解决一些高考题．

1.2研究现状

不动点理论一直是一个既比较古老的问题，又比较有新生命力的领域，它的历史悠久，却又是近现代一个发展较快的理论定理.自不动点理论问世以来，特别是最近的二三十年来，由于学术上的不断发展和数学工作者的不懈努力，这门学科的理论及应用的研究已经取得了重要的进展，不断有新的不动点理论研究成果涌现，并日臻完善.

不动点的有关理论是泛函分析中最重要的原理之一，它依据于著名的巴拿赫（Banach）压缩映射定理，如今已广泛应用于数学分析的各个方面.

许多著名的数学家为不动点理论的证明及应用作出了贡献.例如，荷兰数学家布劳威尔在1910年发表的《关于流形的映射》[2]一文中就证明了经典的不动点定理的一维形式.即,设连续函数()fx()fx把单位闭区间[0,1]映到[0,1][0,1]中，则有0[0,1]x，使00()fxx.波利亚曾经说过：“在问题解决中，如果你不能解答所提的问题，那么就去考虑一个适当的与之相关联的辅助问题”.“不动点”就是一个有效的可供选择的辅助问题.

近年来，有不少人研究中学数学中所涉及到的不动点问题，将拓扑学不动点定理的一些基本思想，采用通俗易懂的语言和形象生动的例子运用到初等数学中去，扩大中学生的知识领域，加深中学生对数学基础知识的掌握.在中学中，不动点有关知识常常用来解决一些初等数学中的问题，例如以“不动点”为载体、将函数、数列、不等式、方程以及解析几何等知识有机地交汇在一起的数学问题，从而体现了用不动点有关知识来求解这些问题有时是非常简单和巧妙的.

1.3 本章小结

本章介绍了选题的背景和意义，并对课题的要求和研究内容作了分析，对不动点定理的现况作了概要性的说明，是不动点定理及其应用的前期研究基础. ………………………………………………最新资料推荐………………………………………

5 / 20 第2章 不动点定理

2.1 有关概念

函数的不动点，在数学中是指被这个函数映射到其自身的一个点，即函数()fx的取值过程中，如果有0x,使0()fxx.就称0x为()fx的一个不动点．

对此定义，有两方面的理解：

⑴代数意义：若方程00()fxx有实数根0x，则00)(xxf有不动点0x．

⑵几何意义：若函数)(xfy与xy有交点),(00yx，则0x为()yfx的不动点．

为了介绍不动点的一般概念，本文先介绍以下相关概念.

定义1[7]度量空间: 设X是一个集合，RXX:.如果对于任何Xzyx,,，有

⑴（正定性）(,)0xy,并且(,)0xy当且仅当yx；

⑵（对称性）(,)(,)xyyx；

⑶（三角不等式）(,)(,)(,)xzxyyz，

则称是集合X的一个度量,偶对,X是一个度量空间.

定义2[7]压缩映射：给定,X如果对于映射T:XX存在常数K,10K使得(,)(,)TxTyKxy，(,)xyX则称T是一个压缩映射.

定义3[7]Cauchy 列 ：给定(,)X,nxX,若对任取的0,有自然数N使对Nnm,,都成立(,)mnxx则称序列nx是Cauchy列.

定义4[7]完备度量空间：给定(,)X，若X中任一Cauchy 列都收敛,则称它是完备的.

定义5[8]不动点：给定度量空间(,)T及XX 的映射T如果存在Xx*使**xTx 则称*x为映射T的不动点.

定义6[9]凸集：设X是维欧式空间的一点集，若任意的两点XxXx21,的连线上的所有的点)10(,)1(21Xxx;则称X为凸集.

2.2 不动点定理和几种推广形式 ………………………………………………最新资料推荐………………………………………

6 / 20 不动点理论是关于方程的一种一般理论.数学里到处要解方程，诸如代数方程、微分方程、函数方程等，种类繁多，形式各异，但是它们常能改写成()fxx的形状这里的x是某个适当的空间X中的点，f是X到X的一个映射，把每个x移到()fx.方程()fxx的解恰好就是在f这个映射下被留在原地不动的点，故称不动点，于是解方程的问题就是化成了找不动点的这个几何问题，不动点理论就是研究不动点的有无、个数性质与方法.

首先,本文介绍Banach 不动点定理的证明

定理l （Banach 不动点定理 ——压缩映射原理[10]）设(,)X是一个完备的度量空间T是(,)X到其自身的一个压缩映射,则T在X中存在惟一的不动点.

证明 首先,证明T存在不动点

取定Xx0以递推形式nnTxx1 确定一序列nx是Cauchy 列.事实上，由1111221210(,)(,)(,)(,)(,)(,)mmmmmmmmmmmxxTxTxKxxKTxTxKxxKxx

任取自然数nm,,不妨设nm那么

1111101010(,)(,)(,)()(,)1()(,)(,)11mmnmnmmnnnmmmxxxxxxKKKxxKKKxxxxKK

从而知nx 是一Canchy 列,故存在Xx*使*xxn且*x是T的不动点,因为