05基础知识(万有)

万有引力—基础知识（2013.10）一. 行星的运动：1．认识历程：地心说：地球静止不动，是宇宙的中心，代表人物：托勒密（古希腊），第谷（丹麦）第谷：天文观测精密，误差2’,地心说，匀圆日心说：太阳是宇宙的中心，行星和地球绕太阳运动代表：哥白尼（波兰），布鲁诺（意大利），开普勒（德国）开普勒：用了20年时间研究第谷的行星观测记录总结出三定律，相信日心说，首次提出行星椭圆运动无心说：宇宙没有中心，恒星都是遥远的太阳2.开普勒三定律：轨道定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上面积定律：对于任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积周期定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等（322()4R GMK KTπ== G=6.67×10-11Nm2/C2 M是中心天体的质量）例题：一种通信卫星需要“静止”在赤道上空的某一点，因此它的运行周期必须与地球自转周期相同，月球绕地球转一圈的时间几乎是27天，请估算，通信卫星离地心的距离大约是月心离地心距离的几分之一？33121 221221 9R R RT T R=⇒=二. 万有引力定律：是什么原因使行星绕太阳运动，伽利略，开普勒，笛卡儿都提出过自己的解释，牛顿时代的科学家如胡克，哈雷等对这一问题的认识更进一步，胡克等人认为，行星绕太阳运动是因为受到了太阳对它的引力，甚至证明了如果行星的轨道是圆形的，它所受引力的大小跟行星到太阳距离的二次方成反比。

但是由于关于运动和力的清晰概念是在他们以后由牛顿建立的，当时没有这些概念，因此他们无法深入研究。

1 推导：行星以太阳为圆心做匀速圆周运动223222221214()()V r r m m F m m m k F r r T r T r rππ====⇒∝（m 为行星质量，r 为行星到太阳距离）222m Mm MmF F FG r r r∝⇒∝⇒= ( M 为太阳质量，G 为常数)※ 月地检验：如何检验？假定维持月球绕地球运动的力与使得苹果下落的力真的是同一种力，同样遵从“平方反比”的规律，那么，由于月球轨道半径约为地球半径的60倍，所以月球轨道上一个物体受到的引力，比它在地面附近时受到的引力要小，前者只有后者的2160。

根据牛顿第二定律，物体在月球轨道上运动时的加速度（月球公转的向心加速度）也就应该大约是它在地面附近下落时的加速度（自由落体加速度）的2160。

在牛顿的时代，自由落体加速度已经能够比较精确地测定，当时也能比较精确地测定月球与地球的距离、月球公转的周期，从而能够算出月球运动的向心加速度。

计算结果与我们的预期符合得很好。

这表明，地面物体所受地球的引力，月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力，真的遵从相同的规律。

※ 合理推广：宇宙中的一切物体之间的引力都遵从万有引力定律 2. 内容及表达式内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与质量m 1和m 2的乘积成正比、与它们之间距离r 的二次方成反比。

表达式：122m m F Gr = 适用：质点，对于质量分布均匀的球体r 指两球心间距离。

2 引力恒量G 测定：卡文迪许采用光放大的原理完成 （牛顿得出万有引力定律之后100多年）(注意：反射光线转过的角度是平面镜转过角度的两倍)3． 万有引力和重力关系：表面：万有引力的一个很大很大的分力是重力，另一个很小很小的分力提供物体做圆周运动所需的向心力。

在偏差最大的赤道位置，万有引力和重力的偏差也仅占万有引力的3.4%0※ 黄金代换式：gR 2＝GM （R 为地球半径，g 为地球表面重力加速度）空中：万有引力严格等于重力，但此时物体处于完全失重状态，万有引力全部用来提供物体做圆周运动所需的向心力。

高为h 处：2()h GMg R h =+4．万有引力理论的成就 中心天体质量的计算：质量计算：2322224()Mm r G mr M r T GTππ=⇒= 密度计算：2332334343r M r GT V GT R R ππρπ=== （若r=R, 23GT πρ=） 可测中心天体质量组合（已知两个物理量）（1）T ，R （2）V ，ω （3）V ，R （4）ω，R （5）星球表面g 和星球半径R 发现未知天体：到了18世纪，人们已经知道太阳系有7颗行星，其中1781年发现的第七颗行星—天王星的运动轨道有些古怪，根据万有引力定律计算出来的轨道与实际观测的结果总有一些偏差。

有人推测，在天王星轨道外面还有一颗未发现的行星，它对天王星的吸引使其轨道产生了偏离。

英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出这颗“新”行星的轨道，1846年9月23日晚，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星，人们称其为“笔尖下发现的行星”。

后来这颗行星命名为海王星。

1705年，英国天文学家哈雷根据万有引力定律计算了一颗著名彗星的轨道并正确预言了它的回归。

海王星的发现和哈雷彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位。

例题：某星球有一颗卫星，卫星沿圆轨道运行，轨道半径是6.8×103km,周期是5.6×103s,试从这些数据估算该星球的质量。

（结果保留一位有效数字）解：22232632318232421132252()44 3.14(6.810)4 3.14 6.81049.86314.4106106.6710(5.610) 6.67 5.610 6.6731.36GMm mr r T r M GT ππ--=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯====≈⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯例题：用万有引力定律证明在近地点和远地点满足： R 1V 1=R 2V 21122⇒V V 11221122解一：微元法，在近远地点由开普勒第二定律：R V t=R V t R V =R V 21212222:G :GV Mm mR V Mmm R ρρ==⇒1122解一：用曲率半径，在近远地点近地点远地点R V =R V例题：在圆轨道情况下用万有引力定律证明开普勒第三定律322222:()4GMm r GMmr r T T ππ=⇒=解例题：地球绕太阳公转的速度为30km/s,公转的轨道半径为1.5×108km,由此求得太阳的质量约为多少？解：2221132118303011111.510(3010) 1.59101013.510 2.0106.6710 6.6710 6.67GMm V m r r rV M G --=⨯⨯⨯⨯⨯⨯====⨯≈⨯⨯⨯例题：假设地球是一半径为R 、质量分布均匀的球体。

地球表面处的重力加速度为g, 一矿井深度为d, 已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零，矿井底部的重力加速度大小为多少？3223244334()43()()3()G R GM g g G R R R G R d g G R d R d R d g gRρππρππρ⨯====⨯-==---⇒=表面井底井底解： 三. 人造卫星:（1）理想实验： (2) 卫星圆轨道条件：条件：物体做圆周运动的圆心必须是地球的球心。

（3）卫星做圆周运动的规律：22222()Mm V G m mr mr r r Tπω=== （M ：中心天体质量） ※ 决定式：VωT＝2※ 变化：卫星轨道半径变小时,势能变小、动能变大、速度变大、周期变小、角速度变大、加速度变大； ※ 能量：,,22K P K P GMm GMm GMmE E E E E r r r==-=+=-(4)同步卫星 222()Mm Gm r h r h Tπ=++（）（）(地球半径r =6400km) (地球同步卫星只能运行于赤道上空，运行周期(T=24小时)和转动方向和地球自转相同；同步卫星离地心距离为r+h ≈42000km ，h:距地球表面的高度h ≈36000km ) （5）近地卫星：V=7.9km/s, T=1.4h （6）变轨问题：a.由1轨道到2轨道，在P 点加速， 由2轨道到3轨道，在Q 点加速b.无论在哪个轨道，P 点和Q 点的加速度都相同，因为加速度均由万有引力全部提供。

例题：如图所示，A 为静止于地球赤道上的物体，B 为绕地球做椭圆轨道运行的卫星，C 为绕地球做圆周运动的卫星，P 为B 、C 两卫星轨道的交点．已知A 、B 、C 绕地心运动的周期相同．相对于地心，判断正误( )1．卫星B 运动轨道的长轴和卫星C 圆周运动的直径相等 2．卫星B 在近地点运行速度大于卫星C 的速度 3. 卫星B 在远地点运行速度小于卫星C 的速度 4．可能出现在每天的某一时刻卫星B 在物体A 的正上方 5. 可能出现卫星B 永远不能出现在物体A 的正上方6．卫星B 在P 点的加速度大小与卫星C 在该点加速度大小相等例题：人造地球卫星是由人类建造，以太空飞行载具如火箭、航天飞机等发射到太空中，像天然卫星一样环绕地球的人造装置。

其中绕地球的周期和地球的自转同步的人造卫星称为地球同步卫星。

以下关于地球同步卫星的下列说法，正确的是（D ） A. 同步卫星的轨道可以根据需要调整为椭圆轨道。

B. 同步卫星可能经过鞍山市的上空。

C. 周期为24小时的卫星都是同步卫星。

D. 同步卫星运行速度小于第一宇宙速度。

四. 宇宙速度第一宇宙速度（环绕速度）V 1；最大环绕和最小发射第二宇宙速度（脱离速度）(狭义的逃逸速度)V 2＝11.2km/s ；是卫星挣脱地球引力束缚的最小发射速度第三宇宙速度（逃逸速度）(广义的逃逸速度)V 3＝16.7km/s ；是卫星挣脱太阳引力束缚的最小发射速度 补充说明：（1）若发射速度介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间，则物体围绕地球做椭圆轨道运动，若发射速度介于第二宇宙速度和第三宇宙速度之间，则物体围绕太阳做椭圆轨道运动（2）发射速度和环绕速度：发射速度：助推火箭燃料用尽时卫星的速度 环绕速度：卫星在圆形轨道围绕地球运行时的速度例题：已知地球半径为R ,质量为M ,自转角速度为ω，地面重力加速度为g ,引力常量为G ,地球同步卫星的运行速度为V , 分别用以上两到三个物理量表示第一宇宙速度Vx ？ （1）x V =（2）x V =（3）x V ===（4）2322x GM V V GM rV r r V ω=⇒====(5) xV ==（3）黑洞: 若物体脱离某天体的最小速度大于光在真空中的速度，这样的天体叫黑洞例题：已知物体能脱离地球的最小速度（第二宇宙速度）2V =,其中G,M,R 分别是引力常量，地球的质量和半径。

已知光在真空中的速度为C. (1) 设某黑洞的质量等于太阳的质量M’,求它的最大可能半径。