北师大七年级数学下第四章--全等三角形中的动态问题练习(无答案)

难点研究专题：全等三角形中的动向问题◆种类一全等三角形中的动点问题1．如图，在△MAB 中， MA ＝ MB ，过 M 点作直线个动点，在点P 挪动的过程中，若NA ＝ NB ，则∠ PAMMN 交 AB 于 N点．P是直线与∠ PBM 能否相等？说明原因．MN上的一2．如图①，在△ABC 中，∠ BAC ＝ 90°， AB ＝AC( ∠ ABC ＝∠ ACB ＝45°)，点 D 为直线BC 上一动点 (点 D 不与 B， C 重合 )，以 AD 为边在 AD 右边作正方形ADEF ，连结 CF.(1)察看猜想：如图①，当点 D 在线段 BC 上时，①BC 与 CF 的地点关系为________；②线段 BC， CD ，CF 之间的数目关系为______________ ( 将结论直接写在横线上)；(2)数学思虑：如图②，当点 D 在线段CB的延伸线上时，结论①，②能否仍旧建立？若建立，请赐予证明；若不建立，请你写出正确结论再赐予证明．◆种类二全等三角形中的动图问题3．已知等边三角形的三条边相等、三个角都等于60°.如图，△ ABC与△ CDE都是等边三角形，连结 AD ， BE.(1)假如点 B ，C， D 在同一条直线上，如图①所示，试说明：AD ＝ BE ；(2)假如△ ABC 绕 C 点转过一个角度，如图②所示，(1)中的结论还可否建立？请说明原因．◆种类三全等三角形中的翻折问题4．如图，将 Rt△ ABC 沿斜边翻折获得△ ADC ，E，F 分别为 DC ，BC 边上的点，且∠ EAF ＝1 2∠ DAB. 试猜想 DE ， BF， EF 之间有何数目关系，并说明原因．参照答案与分析1．解：∠PAM＝∠PBM.原因以下：∵NA＝NB，MA＝∴△ AMN ≌△BMN (SSS)，∴∠ MAN ＝∠ MBN ，∠ MNA ＝∠ MNB .又∵MB，MN 是公共边，NA＝NB， PN 是公共边，∴△ PAN≌△ PBN(SAS) ，∴∠ PAN＝∠ PBN.∴∠ PAM ＝∠ PBM .2．解： (1)①垂直② BC＝CD＋CF(2)CF ⊥ BC 建立； BC＝ CD ＋ CF 不建立，正确结论： CD ＝ CF＋ BC.证明以下：∵正方形ADEFAD ＝AF ，中，AD ＝ AF ，∠ DAF ＝∠ BAC ＝ 90°，∴∠ BAD ＝∠ CAF.在△ DAB 与△ FAC 中， ∠ BAD ＝∠ CAF ，AB ＝ AC ，∴△ DAB ≌△ FAC(SAS) ，∴∠ ABD ＝∠ ACF ， DB ＝ CF .∵∠ ACB ＝∠ ABC ＝ 45°，∴∠ ABD ＝ 180° － 45°＝ 135°，∴∠ BCF ＝∠ ACF －∠ ACB ＝∠ ABD －∠ ACB ＝ 90°，∴ CF ⊥ BC.∵ CD ＝DB ＋ BC ，DB ＝ CF ，∴ CD ＝ CF ＋ BC.3．解：(1) ∵△ ABC ，△CDE 都是等边三角形， ∴ AC ＝ BC ，CD ＝ DE ，∠ ACB ＝∠ DCE ＝ 60°.∵ 点 B ， C ， D 在同一条直线上，∴∠ ACE ＝ 60°，∴∠ BCE ＝∠ ACD ＝ 120°.在△ ACD 与△ BCE 中，AC ＝ BC ，∵ ∠ ACD ＝∠ BCE ， ∴△ ACD ≌△ BCE(SAS) ．∴ AD ＝ BE.CD ＝ CE ，(2)建立．原因以下：∵∠ ACB ＝∠ DCE ＝ 60°，∴∠ ACB ＋∠ ACE ＝∠ DCE ＋∠ ACE ，即∠ BCE ＝∠ ACD.又∵ AC ＝ BC ，CD ＝ CE ，∴△ ACD ≌△ BCE ，∴ AD ＝BE .4．解： DE ＋ BF ＝EF .原因以下：延伸 CB 至 G ，作∠ 5＝∠ 1，以下图．∵将Rt △ ABC 沿斜边翻折获得△ ADC ，∠ EAF ＝1∠ DAB ，∴ AB ＝ AD ，∠ ABC ＝∠ ADE ＝ 90°，∠ 2＋∠ 3＝∠ 1＋∠4， 2∴∠ ABG ＝ 90°＝ ADE .∵∠ 5＝∠ 1，∴∠ 2＋∠ 3＝∠ 4＋∠ 5，∴∠ GAF ＝∠ EAF .在△ AGB 和△ AED∠ GAB ＝∠ EAD ，中， AB ＝AD ，∴△ AGB ≌△ AED (ASA) ，∴ AG ＝ AE ， BG ＝ DE .在△ AGF 和△ AEF 中，∠ ABG ＝∠ ADE ， AG ＝ AE ，∠ GAF ＝∠ EAF ，∴△ AGF ≌△ AEF(SAS) ，∴ GF ＝ EF ，∴ BG ＋BF ＝ EF ，∴ DE ＋ BF ＝ EF. AF ＝ AF ，。

第四章三角形专题二：图形的全等知识点一：认识全等图形例1：如图所示五对图形是全等的图形的共有（）A 1对B 2对C 3对D 4对例2：下列说法正确的个数为（）（1）用一张像底片冲出来的10张一寸照片是全等形（2）我国国旗商店四颗小五角星是全等形（3)所有的正六边形是全等形（4）面积相等的两个正方形是全等形A.1个B.2个C.3个D.4个例3：下面是网球场地，A、B、C、D、E、F几个区域中，其中全等图形的对数为（）A.1B.2C.3D.4挑战自我，勇攀高分1.指出下列图形中的全等图形2.判断正误（1）两个形状相同的图形，称为全等图形（）（2）两个圆是全等图形（）（3）两个正方形是全等图形（）（4）全等图形的形状和大小都相同（）（5）面积相同的两个直角三角形是全等图形（）3.下列命题：其中错误命题的个数是（）(1)只有两个三角形才能完全重合；(2)如果两个图形全等，它们的形状和大小一定都相同；(3)两个正方形一定是全等形；(4)边数相同的图形一定能互相重合A.4个B.3个C.2个D.1个知识点二：全等图形的性质例1：对于两个图形，给出下列结论：（1）两个图形的周长相等；（2）两个图形的面积相等；（3）两个图形的周长、面积都相等；（4）两个图形的形状相同，面积也相同。

其中能得到两个图形全等的结论共有（） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个挑战自我，勇攀高分1.能把图中的这个“十”图形分成两个全等的图形吗？你有几种不同的分割方法？请画图表示。

2.如图所示，小芳用10个全等的小长方形纸片拼成了大长方形，她测量了拼成的这个大长方形的宽为50cm，试求一个小长方形的面积。

知识点三：全等三角形的概念及表示方法例1：在下图中，每个图形都有两个三角形全等，根据已知条件，写出其余相等的对应边和对应角：知识点四：全等三角形的性质及符号语言 例1：如图，EFD ABC ∆≅∆，ο50=∠A ，AC=cm 4，cm BC 6=，你能得出EFD ∆中能哪些角的大小，哪些边的长度？例2：已知：MNP DEF ∆≅∆，且EF=NP ，P F ∠=∠，ο48=∠D ，ο52=∠E ，MN=12cm ，求P ∠的度数，DE 的长度。

常见解题模型非三角形问题中构造全等三角形解题方法模型总结：若四边形中有两对邻边相等，常连接这两对邻边的交点，构造全等三角形解题。

1．已知，如图，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE＝DF．2．如图，在一个风筝ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，分别在AB、AD的中点E、F处贴两根彩线EC、FC．（1）∠B与∠D相等吗？请说明理由；（2）求证：EC＝FC．一线三等角模型3．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E分别在BC、AC边上，且∠1＝∠B，AD＝DE，求证：△ADB≌△DEC．三垂直模型方法模型总结：在三垂直模型中，利用余角的性质寻求两直角三角形中一组角相等，再加上任一组对边相等，易证两直角三角形全等，常见的模型如下：4．如图，已知AB⊥BC，AE⊥BE，CD⊥BE，垂足分别为B、E、D，AB＝BC．求证：BE＝CD．5．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°点D在BC的延长线上，且BD＝AB．过点B作BE⊥AC，与BD 的垂线DE交于点E．（1）求证：△ABC≌△BDE；（2）请找出线段AB、DE、CD之间的数量关系，并说明理由．倍长中线法6．在△ABC中，AD为中线，试说明AD<（AB+AC）．7．如图，已知△ABC中，AD是中线，AE是△ABD的中线，BA＝BD，∠BAD＝∠BDA，求证：AC＝2AE．8．如图，△ABC中，BD＝DC＝AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE．截长补短法9．小明在做题时遇到了下面的一个问题：如图，在△ABC中，AB＞AC，AD⊥BC于D，P在AD上且为A与D之间的任一点，判断PB+AC与AB+PC 的大小关系．小明思考了很长时间都没有思路，便求助了老师．老师给了他一个提示：在BD上取一点E，使得DE＝DC，再根据对称图形的特点就可以将AC、PC两条线段的位置转移了．小明根据老师的提示，接着又连接了AE和PE，便建立了证明思路．请你帮小明同学写出PB+AC与AB+PC的大小关系的结论，并完成证明步骤．10．已知：如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，且∠B+∠D＝180°，求证：AE＝AD+BE．解法一（截长法）：如图，在EA上取点F，使EF=BE,连接CF 。

2023北师大七年级下册生物全等三角形动点问题专题训练本文档旨在为七年级下册生物课程的学生提供全等三角形动点问题专题训练。

以下是一系列练题，帮助学生巩固并提高对全等三角形动点问题的理解和解题能力。

1. 单选题1. 下列哪个条件是判断两个三角形全等的定理？- A. 利用两个角度相等。

- B. 利用两个边长成比例。

- C. 利用两个角度和一个边长相等。

- D. 利用三边分别相等。

2. 若三角形ABC全等于三角形DEF，那么下列哪个说法是错误的？- A. 角A等于角D。

- B. 边AC等于边DF。

- C. 三角形ABC的面积等于三角形DEF的面积。

- D. 三角形ABC的周长等于三角形DEF的周长。

3. 下面哪个条件不能用来判断两个三角形全等？- A. 两个角度相等。

- B. 两个边长成比例。

- C. 两个角度和一个边长相等。

- D. 两个角度和两个边长分别相等。

2. 填空题1. 若三角形ABC全等于三角形DEF，已知∠A=40°，∠C=70°，∠D=40°，求∠F的度数。

- 答案：∠F = 70°。

2. 若三角形ABC全等于三角形DEF，已知边AC的长度为5cm，边DF的长度为10cm，求边BC的长度。

- 答案：边BC的长度为10cm。

3. 解答题1. 题目：若三角形ABC全等于三角形DEF，已知边AB的长度为6cm，边BC的长度为8cm，边AC的长度为10cm，求边EF的长度。

- 解答：根据三角形全等的定义，边AB对应边DE，边BC对应边EF，边AC对应边DF。

因此，边EF的长度等于边BC的长度，即边EF的长度为8cm。

2. 题目：若三角形ABC全等于三角形DEF，已知边AB的长度为12cm，边BC的长度为5cm，边AC的长度为13cm，求边DF 的长度。

- 解答：根据三角形全等的定义，边AB对应边DE，边BC对应边EF，边AC对应边DF。

因此，边DF的长度等于边AC的长度，即边DF的长度为13cm。

第四章三角形第2节图形的全等课后练习学校:___________姓名：___________班级：___________考生__________评卷人得分一、单选题1．两个全等图形中可以不同的是（）A．位置B．长度C．角度D．面积2．下列每组中的两个图形，是全等图形的为（）A．B．C．D．3．下列图形是全等图形的是（）A．B．C．D．4．下列说法中：①全等三角形的对应边相等；②全等三角形的对应角相等；③全等三角形的周长相等；④周长相等的两个三角形全等；⑤全等三角形的面积相等；⑥面积相等的两个三角形全等，正确的()A．①②③④⑤B．③④⑤⑥C．①②③⑤D．①②③④⑤⑥5．下列各图形中，不是全等形的是()A．B．C．D．6．如图中，是全等图形的是（）A．B．C．D．7．如图所示的图形是全等图形的是（）A．B．C．D．8．下列图形是全等图形的是（）A．图1B．图2C．图3D．图4评卷人得分二、填空题9．若两个图形全等，则其中一个图形可通过平移、__________或__________与另一个三角形完全重合．10．能够________的两个图形叫做全等形．两个三角形重合时，互相________的顶点叫做对应顶点．记两个三角形全等时，通常把________顶点的字母写在________的位置上．11．全等三角形的对应边相等，对应角相等．( )评卷人得分三、解答题12．沿着图中的虚线，用四种不同的方法将下面的图形分成两个全等的图形13．试沿着虚线，将如图的正方形划分为两个全等的图形（请你再画出五种不同的方法）14．你能沿虚线把下面图形划分成两个全等图形吗？请找出三种方法．15．观察下列图形的特点：有几组全等图形？请一一指出：___________．16．图①，图①都是由一个正方形和一个等腰直角三角形组成的图形.（1）用实线把图①分割成六个全等图形；（2）用实线把图①分割成四个全等图形.17．如图，某校有一块正方形花坛，现要把它分成4块全等的部分，分别种植四种不同品种的花卉，图中给出了一种设计方案，请你再给出四种不同的设计方案．18．找出下列图形中的全等图形.（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）19．如图所示，试判断图中的两个图形是否全等；若不全等，请说明理由；若全等，请说明怎样做才能使它们重合.20．观察如图5—34所示的各个图形，指出其中的全等图形．参考答案：1．A【解析】【分析】根据能够互相重合的两个图形叫做全等图形解答．【详解】两个全等图形中对应边的长度，对应角的角度，图形的面积相等，可以不同的是位置．故选A．【点睛】本题考查了全等图形，熟记全等图形的概念是解题的关键．2．A【解析】【分析】依据全等的图形的概念即可判断.【详解】A.两个图形的形状和大小都一样，能够完全重合，是全等图形.故本选项正确；B.两个图形形状一样但是大小不一样，不是全等图形，故本选项错误；C.两个图形形状一样但是大小不一样，不是全等图形，故本选项错误；D.两个图形形状一样但是大小不一样，不是全等图形，故本选项错误.故A选项正确.【点睛】掌握全等图像的概念：形状相同，大小相等，能够完全重合的两个图形是全等图形，是解决本题的关键.3．B【解析】【详解】A、两个图形相似，错误；B、两个图形全等，正确；C、两个图形相似，错误；D、两个图形不全等，错误；故选B.4．C【解析】【分析】根据全等三角形的定义和性质逐条分析即可.【详解】根据全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等、周长相等、面积相等，因此①①①①是正确的；但是周长相等的两个三角形却不一定全等，比如边长分别为3、4、5的直角三角形和边长为4的等边三角形虽然周长相等，但是却不全等．同样，底为4高为3的三角形，与底为3高为4的三角形，它们面积虽然相等，但是却不全等．因此①①是错误的；故选C．【点睛】本题主要考查全等图形的概念、性质，能够完全重合的两个图形叫做全等图形，全等图形的大小和形状相同.全等三角形的性质：①全等三角形的对应边相等，对应角相等；②全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高）、周长、面积相等.5．A【解析】【分析】根据能够完全重合的两个图形是全等图形对各选项分析即可得解．【详解】观察发现，B、C、D选项的两个图形都可以完全重合，①是全等图形，A选项中两组图画不可能完全重合，①不是全等形．故选A．【点睛】本题考查了全等形的识别、全等图形的基本性质，属于较容易的基础题．6．A【解析】【分析】根据全等图形的定义求解.【详解】A选项：两个图形形状相同，大小相等，所以是全等图形，故正确；B选项：大小不相等，所以不是全等图形，故错误；C选项：大小不相等，所以不是全等图形，故错误；D选项：大小不相等，所以不是全等图形，故错误；故选A.【点睛】考查了全等图形的定义，解题关键抓住图形是否形状相同，大小相等.7．B【解析】【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．【详解】解：如图所示的图形是全等图形的是B，故选B．【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等形的定义．8．B【解析】【分析】根据全等形是能够完全重合的两个图形进行分析判断．【详解】图1中的两个图形大小不相同，故不是全等图形；图2中的两个图形形状、大小完全相同，是全等图形；图3中的两个图形大小不相同，故不是全等图形；图4中的两个图形形状不一样，故不是全等图形，故选B.【点睛】本题考查的是全等形的识别，熟练掌握形状、大小完全相同的两个图形是全等形是解题的关键.本题属于较容易的基础题.9．旋转对称【解析】【详解】解：一个图形经过旋转、对称、翻折后并不改变图形的形状与大小，所以与原图形是全等的，所以若两个图形全等，则其中一个图形可通过平移、旋转或对称与另一个三角形完全重合，故答案为：旋转，对称．10．互相重合重合对应对应【解析】【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形，以及对应顶点、对应边、对应角的概念填空．【详解】解：能够互相重合的两个图形叫做全等形．两个三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点．记两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上．故答案为互相重合；重合；对应；对应．【点睛】此题主要考查了全等形及相关概念，是需要识记的内容．11．对【解析】【分析】根据全等三角形的性质进行分析，从而得到答案.【详解】解：根据全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等，故此正确.故答案为对.【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角、对应边相等是解题的关键．12．见详解【解析】【分析】直接利用图形形状分成全等的两部分即可．【详解】解：如图所示：．【点睛】此题主要考查了全等图形，正确把握全等图形的定义是解题关键．13．见解析【解析】【分析】根据全等形的定义及网格的特点解答即可.【详解】如图，【点睛】本题考查的是作图-应用与设计作图，熟悉图形全等的定义和轴对称的性质是解题的关键．14．如图所示：【解析】【分析】要把图片中的图形分成两个全等的图形，就要组成这两个图形的小正方形的个数相等，且两个图形的形状要一致．【详解】如图所示：【点睛】作此类画线平分图形的题，要先观察图形的对称性，然后按自己找出的规律画线最后验证是否符合条件．15．1与6；2与12；3与5与11；4与9；7与10【解析】【分析】根据全等图形的定义判断即可．【详解】解：根据全等图形可得：1与6、2与12、3与5与11、4与9、7与10；故答案为1与6、2与12、3与5与11、4与9、7与10【点睛】本题考查了全等图形，是基础题，熟记概念并准确识图是解题的关键．16．(1)见解析;(2)见解析.【解析】【分析】设正方形的面积为2，则等腰直角三角形的面积为1，（1）根据题意，分成的每一个图形的面积为12，分成六等腰个直角三角形即可；（2）根据题意，分成的每一个图形的面积为34，分成四个直角梯形即可．【详解】解：如图所示：【点睛】本题考查复杂作图，根据面积确定出分成的每一个图形的面积是解题的关键，难度中等，但不容易考虑．17．见解答过程．【解析】【详解】分析:根据正方形的性质，①两条对角线把正方形分成四个全等的三角形；①作一组对边的平行线也能把正方形分成四个全等的矩形；①连接一组对边的中点，把正方形分成两个全等的矩形，再作矩形的对角线就把每个矩形都分成两个全等的三角形，这样就分成了四个全等的三角形；①过正方形的中心做互相垂直的两条线也能把正方形分成四个全等的四边形．本题解析:设计方案如下：18．（1）和（10），（2）和（12），（4）和（8），（5）和（9）是全等图形【解析】【详解】试题分析：根据全等图形的概念，能够完全重合的图形叫全等图形，直接判断即可.试题解析：根据全等图形的概念，可知：（1）和（10），（2）和（12），（4）和（8），（5）和（9）是全等图形.19．见解析【解析】【详解】试题分析：根据全等图形的概念进行判断即可.试题解析：两个图形全等；折叠能使它们重合．20．见解析【解析】【详解】试题分析：如果两个图形能够完全重合，则两个图形全等．试题解析：①和①，①和①，①和①分别为全等的图形．。

2020北师大七年级下册数学全等三角形动点问题专题训练1.已知点P在∠AOB的角平分线上，点D在边OA上。

XXX在边OB上取一点E，使得PE=PD。

他发现∠XXX与∠ODP之间有一定的相等关系。

求∠OEP与∠ODP所有可能的数量关系。

2.在直角三角形△ABC中，∠C=90°，CA=CB。

点M在线段AB上，且∠XXX⊥MG，垂足为G，MG与BC相交于点H。

若MH=8cm，则求BG的长度。

3.在直角三角形△ABC中，∠ACB=90°，AC=7cm，BC=11cm。

点M从A点出发沿A→C→B路径向终点运动，终点为B点；点N从B点出发沿B→C→A路径向终点运动，终点为A点。

点M和N分别以每秒1cm和3cm的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动。

过M和N分别作ME⊥l于E，NF⊥l于F。

设运动时间为t秒，则当t=秒时，以点M，E，C为顶点的三角形与以点N，F，C 为顶点的三角形全等。

4.在等边三角形ABC中，D是AB边上的一动点，以CD 为一边，向上作等边△XXX，连接AE。

1）证明：△ACE≌△BCD。

2）判断AE与BC的位置关系，并说明理由。

5.已知：如图①，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=50°。

1）证明：①AC=BD；②∠APB=50°；2）如图②，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α，则AC与BD间的等量关系为，∠APB的大小为。

6.在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90度，D是AC边上的动点，连结BD，E、F分别是AB、BC上的点，且DE⊥DF。

1）如图1，若D为AC边上的中点，求∠C和∠XXX的大小。

2）证明：△BDE≌△CDF。

2）如图2，D从点C出发，点E在PD上，以每秒1个单位的速度向终点A运动，过点B作BP∥AC，且PB=AC=4，点E在PD上，设点D运动的时间为t秒（0≤t≤4）。

全等三角形的性质及判定运用知识清单全等三角形的认识与性质 全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形． 全等三角形：能够完全重合的三角形就是全等三角形． 全等三角形的对应边相等，对应角分别相等；反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等． 全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等．全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角．全等符号为“≌”．全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．考点扫描板块一 全等三角形的认识【例1】 (四川遂宁)已知ABC ∆中，AB BC AC =≠，作与ABC ∆只有一条公共边，且与ABC ∆全等的三角形，这样的三角形一共能作出 个．【例2】 如图所示，ABD CDB ∆∆≌，下面四个结论中，不正确的是（ ）A.ABD ∆和CDB ∆的面积相等B.ABD ∆和CDB ∆的周长相等C.A ABD C CBD ∠+∠=∠+∠D.AD BC ∥，且AD BC =【拓展延伸1】已知ABC DEF ≌△△，DEF △的周长为32cm ，912DE cm EF cm ==，，则AB = ，BC = ，AC = ．板块二、三角形全等的判定与应用DCBA全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS )：三边对应相等的两个三角形全等．(4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．判定三角形全等的基本思路：SAS HL SSS →⎧⎪→⎨⎪→⎩找夹角已知两边 找直角 找另一边ASA AAS SAS AAS ⎧⎪⎧⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩边为角的对边→找任意一角→ 找这条边上的另一角→已知一边一角 边就是角的一条边 找这条边上的对角→ 找该角的另一边→ ASAAAS →⎧⎨→⎩找两角的夹边已知两角 找任意一边全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式： ⑴ 平移全等型⑵ 对称全等型⑶ 旋转全等型由全等可得到的相关定理：⑴ 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．⑵ 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上．⑶ 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角)． ⑷ 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合．⑸ 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)． ⑹ 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等．⑺ 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．平移全等模型【例3】 已知：如图，AB DE ∥，AC DF ∥，BE CF =． 求证：AB DE =．【例4】 如图，AC DE ∥，BC EF ∥，AC DE =．求证：AF BD =．【拓展延伸1】如图所示：AB CD ∥，AB CD =．求证：AD BC ∥．对称全等模型【例5】 已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AB DC =，BE CF =，B C ∠=∠．求证：OA OD =．【拓展延伸1】已知：如图，AD BC =，AC BD =，求证：C D ∠=∠．【拓展延伸2】已知，如图，AB AC =，CE AB ⊥，BF AC ⊥，求证：BF CE =．【例6】 如图所示， 已知AB DC =，AE DF =，CE BF =，证明：AF DE =．【拓展延伸1】在凸五边形中，B E ∠=∠，C D ∠=∠，BC DE =，M 为CD 中点．求证：AM CD ⊥．基本旋转全等模型【例7】 （成都市高中阶段教育学校统一招生考试)如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 为CD 中点，连结AE 并延长AE 交BC 的延长线于点F ．求证：FC AD =．【例8】 如图，AB CD ，相交于点O ，OA OB =，E 、F 为CD 上两点，AE BF ∥，CE DF =．求证：AC BD ∥．【例9】 已知：BD CE 、是ABC ∆的高，点P 在BD 的延长线上，BP AC =，点Q 在CE 上，CQ AB =，求证：⑴AP AQ =；⑵AP AQ ⊥．F DC BAM EDC BAK 字型模型【例10】 E 、F 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 边上的点，且BE CF =．求证：AE BF ⊥．【拓展延伸】E 、F 、G 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 、AB 边上的点，GE EF ⊥，GE EF =．求证：BG CF BC +=．课后作业1、判定两个三角形全等的方法是：⑴ ；⑵ ；⑶ ；⑷ ；⑸ ；⑹ ．全等三角形的性质是对应边、对应角、周长、面积都分别 ．2、不能确定两个三角形全等的条件是（ ）A ．三边对应相等B ．两边及其夹角相等C ．两角和任一边对应相等D ．三个角对应相等3、如图，ABC △中，90C AC BC AD ∠=︒=，，平分CAB ∠交BC 于D ，DE AB ⊥于E 且6AB cm =，则DEB △的周长为（ ）A ．40 cmB ．6 cmC ．8cmD ．10cmPDQCBEAEDCBA4、如图，△ABC ≌ΔADE ，若∠B ＝80°，∠C ＝30°，∠DAC ＝35°，则∠EAC 的度数为 （ ） A ．40°B ．35°C ．30°D ．25°5、已知：如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 是CD 的中点，BE 的延长线与AD 的延长线相交于点F ．求证：BCE FDE ∆∆≌．6、如图所示：AB AC =，AD AE =，CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DAE ∠．7、如图所示，C 是AB 的中点，CD CE =，DCA ECB ∠=∠，求证DAE EBD ∠=∠．8、如图，AB AC =，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，AM CD ⊥于M ，AN BE ⊥于N ．求证：AM AN =．全等三角形与旋转问题知识清单把图形G 绕平面上的一个定点O 旋转一个角度θ，得到图形G '，这样的由图形G 到G '变换叫做旋转变换，点O 叫做旋转中心，θ叫做旋转角，G '叫做G 的象；G 叫做G '的原象，无论是什么图形，在旋转变换下，象与原象是全等形．很明显，旋转变换具有以下基本性质：①旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等； ②对应直线的交角等于旋转角．旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规则的图形上，其功能还是把分散的条件盯对集中，以便于诸条件的综合与推演．考点扫描“拉手”模型【例1】 已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．求证：AN BM =．【例2】 如图，B ，C ，E 三点共线，且ABC ∆与DCE ∆是等边三角形，连结BD ，AE 分别交AC ，DC于M ，N 点．求证：CM CN =．【拓展延伸1】已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．求证：CF 平分AFB ∠．【拓展延伸2】如图，点为线段上一点，、是等边三角形，是中点，是中点，求证：是等边三角形．C AB ACM ∆CBN ∆D ANE BM CDE ∆等边三角形共顶点模型【例3】 如图，等边三角形与等边共顶点于点．求证：．等腰直角三角形共顶点问题【例4】 如图，等腰直角三角形中，，，为中点，．求证：为定值．【拓展延伸1】如图，正方形绕正方形中点旋转，其交点为、，求证：．正方形旋转模型【例5】 、分别是正方形的边、上的点，且，，为垂足，求证：．ABC ∆DEC ∆C AE BD=ABC 90B =︒∠AB a =O AC EO OF ⊥BE BF+OGHK ABCD O E F AE CF AB +=E F ABCD BC CD 45EAF =︒∠AH EF ⊥H AH AB =【拓展延伸1】如图，正方形的边长为，点在线段上运动，平分交边于点．求证：．【例6】 以△ ABC 的两边AB 、AC 为边向外作正方形ABDE 、ACFG ，求证：CE=BG ，且CE ⊥BG ．对角和180°模型【例7】 如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120o 的等腰三角形，以D 为顶点作一个60o 的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．ABCD 1F CD AE BAF ∠BC E AF DF BE =+OGFEDCA【例8】 (1)如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF=∠BAD ．求证：EF ＝BE FD;(2) 如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠ B+∠ D ＝，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠ EAF=∠ BAD ， (1)中的结论是否仍然成立？不用证明．90︒12+FED CBA180︒12FEDB A课后作业1、如图，已知和都是等边三角形，、、在一条直线上，试说明与相等的理由．2、(湖北省黄冈市初中毕业生升学考试)已知：如图，点是正方形的边上任意一点，过点作交的延长线于点．求证：．3、已知：如图，点为线段上一点，、是等边三角形．、分别是、 的高．求证：．4、在等腰直角中，，，是的中点，点从出发向运动，交于点，试说明的形状和面积将如何变化．5、如图，正方形中，．求证：．ABC ∆ADE ∆B C D CE AC CD+E ABCD AB D DF DE ⊥BC F DE DF=C AB ACM ∆CBN ∆CG CH ACN ∆MCB ∆CG CH=ABC ∆90ACB ∠=o AC BC =M AB P B C MQ MP ⊥AC Q MPQ∆ABCD FAD FAE ∠=∠BE DF AE +=6、等边和等边的边长均为1，是上异于的任意一点，是上一点，满足，当移动时，试判断的形状．全等三角形与中点问题知识清单三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形中线的相关定理： 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合) 三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边． 中线中位线相关问题(涉及中点的问题)见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见．考点扫描倍长中线模型【例1】 在△ABC 中，9,5==AC AB ，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是什么？【拓展延伸1】已知：ABC ∆中，AM 是中线．求证：1()2AM AB AC <+．ABD ∆CBD ∆E BE AD ⊥A D 、F CD 1AE CF +=E F 、BEF∆【例2】 如图，ABC ∆中，<AB AC ，AD 是中线．求证：<DAC DAB ∠∠．【拓展延伸1】如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．【例3】 如图所示，已知ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，E 、F 分别在BD 、AD 上．DE CD =，EF AC =．求证：EF ∥AB类倍长中线模型【例4】 已知AD 为ABC ∆的中线，ADB ∠，ADC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：BE CF EF +>．【拓展延伸1】在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且ED FD ⊥．以线段BE 、EF 、FC 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？中位线的运用【例5】 已知，如图四边形ABCD 中，AD BC =，E 、F 分别是AB 和CD 的中点，AD 、EF 、BC的延长线分别交于M 、N 两点． 求证：AME BNE ∠=∠．【例6】 在四边形ABCD 中，设M ,N 分别为CD ,AB 的中点，求证()12MN AD BC +≤，当且仅当AD BC ∥时等号成立．【例7】 如图，在五边形ABCDE 中，，BAC EAD ∠=∠，F 为CD 的中点．求证：BF EF =．课后作业1、如图，在等腰ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，过A 作AE DE ⊥，AF DF ⊥，且AE AF =．求证：EDB FDC ∠=∠．2、如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F ，AF 与EF 相等吗？为什么？3、如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交EF 于点G ，若BG CF =，求证：AD 为ABC ∆的角平分线．全等三角形与角平分线问题知识清单与角平分线相关全等问题 角平分线的两个性质：⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等； ⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们具有互逆性．角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式： 1． 由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2． 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形， 3． OA OB =，这种对称的图形应用得也较为普遍，考点扫描角平分线基本性质与全等的关系【例1】 已知ABC ∆中，AB AC =，BE 、CD 分别是ABC ∠及ACB ∠平分线．求证：CD BE =．【例2】 如图所示：AB AC =，AD AE =，CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DAE ∠．【拓展延伸1】如图，已知E 是AC 上的一点，又12∠=∠，34∠=∠．求证：ED EB =．【拓展延伸2】如图所示，OP 是AOC ∠和BOD ∠的平分线，OA OC =，OB OD =．求证：AB CD =．两边作垂线问题【例3】 如图，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，过C 作CE AB E ⊥于，并且1()2AE AB AD =+，则ABC ADC ∠+∠等于多少？【拓展延伸1】ABC ∆中，D 为BC 中点，DE BC ⊥交BAC ∠的平分线于点E ，EF AB ⊥于F EG AC⊥于G ．求证：BF CG =．作角平分线的垂线问题【例4】 如图所示，在ABC ∆中，AC AB >，M 为BC 的中点，AD 是BAC ∠的平分线，若CF AD ⊥且交AD 的延长线于F ，求证()12MF AC AB =-．【例5】 如图所示，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AD AB =，CM AD ⊥于M ，求证2AB AC AM +=．取线段长度相等【例6】 如图所示，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，A ∠的平分线AE 交DC 于E ，求证：当BE 是B ∠的平分线时，有AD BC AB +=．【例7】 如图，在ABC ∆中，AB BD AC +=，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：2B C ∠=∠．课后作业1、在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AB BD AC +=．求:B C ∠∠的值．2、如图，ABC ∆中，AB AC =，BD 、CE 分别为两底角的外角平分线，AD BD ⊥于D ，AE CE ⊥于E ．求证：AD AE =．3、如图，已知在ABC ∆中，3ABC C ∠=∠，12∠=∠，BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=．4、如图，180A D ∠+∠=︒，BE 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠，点E 在AD 上．① 探讨线段AB 、CD 和BC 之间的等量关系． ② 探讨线段BE 与CE 之间的位置关系．全等三角形截长补短及方法总结知识清单常见辅助线的作法有以下几种：1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．2) 遇到三角形的中点或中线，倍长中线或倍长类中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”.5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．考点扫描截长模型【例1】 已知ABC ∆中，60A ∠=o ，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．【例2】 如图所示，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，A ∠的平分线AE 交DC 于E ，求证：当BE 是B ∠的平分线时，有AD BC AB +=．“补短”模型【例3】 已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD =∠FAE . 求证：BE +DF =AE .【例4】 点M ，N 在等边三角形ABC 的AB 边上运动，BD =DC ，∠BDC =120°，∠MDN =60°，求证MN =MB +NC ．补形法【例5】 如图，在四边形ABCD 中，90A C ︒∠=∠=，AB AD =，若这个四边形的面积为16，则BC CD+=___________.对称法【例6】 如图，ABC △中，由点A 作BC 边上的高线，垂足为D . 如果2C B ∠=∠，求证：AC CD BD +=.旋转法【例7】 正方形ABCD 中，E 为上的一点，F 为CD 上的一点，BE DF EF +=，求EAF ∠的度数.【拓展延伸1】如图所示．正方形ABCD 中，在边CD 上任取一点Q ，连AQ ，过D 作DP AQ ⊥，交AQ 于R ，交BC 于P ，正方形对角线交点为O ，连OP OQ ，．求证：OP OQ ⊥．割补面积法【例8】 如图P 为等腰三角形ABC 的底边AB 上的中点，PE AC ⊥于点E ，PF BC ⊥于点F ，AD BC⊥于点D ，，求证：PE PF AD +=．【拓展延伸1】如图，点P 为等腰三角形ABC 的底边BA 的延长线上的一点，PE CA ⊥的延长线于点E ，PF BC ⊥于点F ，AD BC ⊥于点D ．PE 、PF 、AD 之间存在着怎样的数量关系?【例9】 如图，点P 为正三角形ABC 内任意一点，PE AC ⊥于点E ，PF BC ⊥于点F ，PG AB ⊥于点G ，AD ⊥BC 于点D ．PE 、PF 、PG 、AD 之间存在怎样的数量关系?。

《图形的全等》典型例题例1 如图，ABC ∆≌ADE ∆，写出其对应顶点、对应边、对应角．例2 如图，已知ABC ∆≌C B A '''∆，且C C B B ''、、、在同一直线上，（1）B B '和C C '相等吗？试说明理由；（2）如果︒=∠50A ，求A '∠和DC B '∠的度数．例3 下列各题的全等三角形经过怎样的运动后能完全重合？（1）ABC ∆≌ADE ∆；（2）ABC ∆≌ADC ∆；（3）ABC ∆≌ADE ∆．例4 如图，ABC ∆≌CDA ∆，求证：CD AB //例 5 如图，ABC ∆与DCB ∆全等，你能找出其中相等的线段和相等的角吗？参考答案例1 分析：找对应元素，有一简便方法：先结合图形判断已知条件中的“ABC ∆≌ADE ∆”是否按照对应顶点的顺序写的，如果确认顺序正确，则可以按照以下顺序：写出它们的对应边：AB 与AD ，BC 与DE ，AC 与AE ，类似地，可以写出它们的对应顶点、对应角．解：对应顶点：A 与A ，B 与D ，C 与E对应边：AB 与AD ，BC 与DE ，AC 与AE对应角：ABC ∠与ADE ∠，ACB ∠与AED ∠，BAC ∠与DAE ∠例2 分析：（1）因为ABC ∆≌C B A '''∆，所以C C C B C B C B BC B B C B BC '='-''='-='''=,．（2）因为ABC ∆≌C B A '''∆，︒=∠='∠50A A ，又因为C B A B '''∠=∠，所以B A AB ''//．所以︒=∠='∠50A DC B ．解：（1）C C B B '='，因为ABC ∆≌C B A '''∆，所以C B BC ''=,所以C C C B BC B B '='-='．（2）︒=∠='∠='∠50A DC B A因为ABC ∆≌C B A '''∆，所以，︒=∠='∠50A A所以C B A B '''∠=∠，所以B A AB ''//，所以︒=∠='∠50A DC B ．说明：该题主要是应用“全等三角形对应边相等，对应角相等”，在找相等的边和角时，应注意“对应”．例3 分析：这样的题关键是先找到对应边和对应角，即哪个边和哪个边重合，哪个角和哪个角重合就可以找到运动的办法．解：（1）把三角形ADE 顺时针旋转45°；（2）把三角形ABC 沿AC 对折过去；（3）把三角形ABC沿A、F所在的直线对折过去．说明：（1）要找准对应边、对应角；（2）运动是相对的，所以两个三角形中移动哪个都可以．例4分析：本题是全等三角形与平行线的综合应用，由三角形全等可推出对应角相等，而由角相等可推出直线（或线段）平行．同学们，数学知识是前后贯通的，你体会到了吗？解：ABC∆∆≌CDA∴DCA∠（全等三角形对应角相等）BAC∠=∴CDAB//（内错角相等，两直线平行）例5 分析：观察图形可知，公共边BC与CB、最长边BD与CA、最短边AB与DC是对应边．然后根据“对应边所对的角是对应角”或“两条对应边所夹的角是对应角”可以识别对应角．解：由全等三角形的对应边相等，对应角相等，得∠∠A∠===,D∠,∠∠ACDCBCCBDBAB==D C BA C B,D B C =,A B C。