【课后延时】小学数学专项《应用题》经典方阵问题基本知识-4星题(含解析)全国通用版

小学数学典型应用题16：方阵问题（含解析）方阵问题【含义】将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵）。

根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。

【数量关系】（1）方阵每边人数与四周人数的关系：四周人数＝（每边人数－1）×4每边人数＝四周人数÷4＋1（2）方阵总人数的求法：实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数空心方阵：总人数＝外每边的人数平方－内每边的人数平方内每边人数＝外每边人数－层数×2（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：总人数＝（每边人数－层数）×层数×4解题思路和方法方阵问题有实心与空心两种。

实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。

例1：佳一学校参加运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。

如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少23人。

那么参加团体操表演的运动员一共有多少人？解：1、要知道参加表演的运动员共有多少人，只需要找到最外层每边有多少人即可。

2、一个正方形队列，减去一行和一列，就是去掉了两条边上的人数，其中顶点上的人数计算了两次，所以减少的人数=每边的人数×2-1。

所以开始每边有（23+1）÷2=12（人），参加表演的有12×12=144（人）。

例2：欢欢用围棋子围成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子16枚，欢欢摆这个方阵共用了多少枚围棋子？解法1：1、本题考查的空心方阵，根据四周的枚数和每边上的枚数之间的关系，算出每一层的棋子数。

2、方阵每向里一层，每边的枚数就减少2枚。

知道最外一层每边放16枚，就可求出第二层及第三层每边枚数，知道各层每边的枚数，就可以求出各层的总数。

最外一层的棋子的枚数：（16-1）×4=60（枚），第二层棋子的枚数：（16-2-1）×4=52（枚），第三层棋子的枚数：（16-2-2-1×4=11×4=44（枚），摆这个方阵共用了60+52+44=156（枚）棋子。

小学数学应用题之方阵问题【含义】将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。

【数量关系】（1）方阵每边人数与四周人数的关系：四周人数＝（每边人数－1）×4每边人数＝四周人数÷4＋1（2）方阵总人数的求法：实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数空心方阵：总人数＝外每边的人数平方－内每边的人数平方内每边人数＝外每边人数－层数×2（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：总人数＝（每边人数－层数）×层数×4【解题思路和方法】方阵问题有实心与空心两种。

实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。

例1：佳一学校参加运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。

如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少23人。

那么参加团体操表演的运动员一共有多少人？解：1、要知道参加表演的运动员共有多少人，只需要找到最外层每边有多少人即可。

2、一个正方形队列，减去一行和一列，就是去掉了两条边上的人数，其中顶点上的人数计算了两次，所以减少的人数=每边的人数×2-1。

所以开始每边有（23+1）÷2=12（人），参加表演的有12×12=144（人）。

例2：欢欢用围棋子围成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子16枚，欢欢摆这个方阵共用了多少枚围棋子？解法1：1、本题考查的空心方阵，根据四周的枚数和每边上的枚数之间的关系，算出每一层的棋子数。

2、方阵每向里一层，每边的枚数就减少2枚。

知道最外一层每边放16枚，就可求出第二层及第三层每边枚数，知道各层每边的枚数，就可以求出各层的总数。

最外一层的棋子的枚数：（16-1）×4=60（枚），第二层棋子的枚数：（16-2-1）×4=52（枚），第三层棋子的枚数：（16-2-2-1）×4=11×4=44（枚），摆这个方阵共用了60+52+44=156（枚）棋子。

第四讲方阵问题［同步巩固演练］1、121人排成一个实心方阵，这个方阵每边多少人？2、每边站13人，可以排成一个共有多少人的实心方阵？3、一个正方形花坛，原来放了一些花，组成一个实心方阵，后来又运来21盆花添上去，使每行、每列各增加一排，成了一个大一点的实心方阵，问原来放了多少盆花？4、给一个方形建筑物插彩旗，每边插了7面彩旗，共插了多少面彩旗？5、用棋子排成一个二层空心方阵，里层每边6个棋子，求这个空心方阵的棋子总数。

6、用棋子摆成一个三层空心方阵，中间一层每边棋子数为9个，求一共用了多少个棋子。

[能力拓展平台]1、有若干枚棋子，若排成三层空心方阵，则多出5枚；若中空增加一层，则少11枚。

这堆棋子共有多少枚？2、同学们用小红花排成一个四层空心方阵，最外层每边12朵，共有红花多少朵？3、街心雕塑四周用432盆鲜花摆成了一个六层空心方阵，最内层共有多少盆鲜花？4、64名同学在游行彩车的四周排成了一个二层空心方阵，若外面再增加一层，还需要多少名同学？4、用一堆棋子摆成空心方阵，最外层共有棋子52枚，最内层共有棋子28枚。

这堆棋子共有多少枚？5、用一堆棋子摆成一个五层空心方阵，最内层每边12枚，求这堆棋子的总数。

[全讲综合训练]1、军训的学生进行队列表演，排成了一个7行7列的正方形队伍，如果去掉一行一列，要去掉多少人？还剩下多少人？2、幼儿园小朋友在教师的指导下，把棋子排成3个正方形方阵，如果在这个方阵中去掉横、竖各一排，则这个方阵少了13枚棋子，那么这个方阵共有多少枚棋子？3、在一次活动中，老师把学生组成一个正方形方队，其中有两行、两列都是男生，男生共有84人，其余是女生，问参加组成这个方队的学生共有多少人？4、在一块正方形草地四周种树，四个角上都种一棵，每边种13棵，这块草地四周共种多少棵？5、军训师生进行队伍表演，排成一个正方形队列，如果这个队列横、竖再增加一排，还需要补充15人，问原来参加队列表演的师生有多少人？6、棋子若干枚，恰好可以排成每边9枚的方阵，棋子总数是多少？7、一堆一分硬币排成正方形，多余4枚，若正方形纵横两个方面各增加一层，则缺少9枚，问这堆硬币有多少枚？8、三年级广播操比赛时排成一个正方形方阵，后来因场地原因减少了一行一列共39人。

小学数学方阵问题应用题及参考答案1.全校排成一方阵做操．已知外层共有80人，那么这个学校共有多少学生做操？2.学校要美化校园，要在正方形水池四周摆花，四个角都摆一盆，每边都摆5盆，那么一共要准备多少盆花．3.同学们在操场上排队，每行人数和行数恰好相等，最外一圈有100人，每行多少人．4.同学们在操场上排队，每行人数和行数恰好相等，最外一圈有100人，每行同学们做操，排成一个正方形的队伍，从前，后，左，右数，小红都是第5个，问一共有多少人．5.把12枚棋子均匀围成一个正方形，每边是几枚棋子？6.一个池塘（正方形），每边都种10棵树，最少需要种多少棵，如果有48棵树苗，4角上都要种，平均每边种多少棵．7.四年级大家唱大家跳排成方阵，最外层每边都是25人，最外层一共有多少名队员？整个方阵共有多少名队员？8.一个方阵，最外层每边有10人，最外层一共有多少人？9.一个正方形的操场边长20米，如果每边栽5棵数（每个角的顶点栽一棵），一共要栽多少棵树？每两棵树之间的距离多少米？10.在一个边长是40米的正方形草地的四周擦彩旗，每隔5米插1面（正方形的每个顶点插1面），一共要插多少面彩旗．11.同学们用小红花排成了一个四层空心方阵，最外层每边12朵，共有红花多少朵？12.明明用围棋子摆成一个三层空心方阵，如果最外层每边有围棋子15个，明明摆这个方阵最里层一周共有多少个棋子．摆这个三层空心方阵共用了多少个棋子．13.在迎接神七返回的庆祝活动中，瑞金三中的同学们朝气蓬勃地扭着秧歌，排成了两个正方形阵，每一边有20人，在每个方阵的中心空出了36人的正方形空地，你能算出这个队伍的人数吗？14.一群人排成n×n的方阵，最外3层共有120人，求n的数值．15.共有960名男生站成一个三层的空心方阵，问：中间一层每边有多少人？参考答案：1.解：80÷4+1=21（人），21×21=441（人）；答：这个学校共有441个学生做操．【分析】由于四个顶点上的人属于相邻的两个边公共的人，所以每边的人数是：80÷4+1=21（人），因此这个方阵共有学生21×21=441（人），据此解答．2.解：（5-1）×4=4×4=16（盆）答：一共要准备16盆花．【分析】由题意，此题可看作是一个空心方阵，要求四周一共要摆多少盆花，根据“四周的盆数=（每边的盆数-1）×4”解答即可．3. 解：100÷4+1=25+1=26（人）答：每行26人．【分析】每行人数和行数恰好相等，即排成的是一个正方形实心方阵，已知最外一圈有100人，根据“每边的人数=四周的人数÷4+1”解答即可．4.解：每边人数是：5×2﹣1=9（人），共有：9×9=81（人），答：一共有81人．【分析】因为从前、后、左、右数，小红都是第5个，所以每行都有：5×2﹣1=9人，由此利用方阵问题中：总人数=每边人数×每边人数，即可解答．5.解：12÷4+1=4（枚），答：围成的正方形的每边棋子数是4枚．【分析】此题可以利用空心方阵的每边点数=四周点数÷4+1，先求出围成的这个正方形的每边上的棋子数，再进行选择．6.解：（10-1）×4 =9×4 =36（棵）48÷4+1 =12+1 =13（棵）答：最少需要种36棵，如果有48棵树苗，4角上都要种，平均每边种13棵．故答案为：36，13．7.解：25×4-4=100-4=96（名）25×25=625（名）答：最外层一共有96名队员，整个方阵共有625名队员．【分析】根据方阵问题中最外层人数=每边人数×4-4实心方阵中总人数=每边人数×每边人数；代入数据即可解答．8.解：10×4-4=40-4=36（人）答：最外层共有36人．故答案为：36．【分析】最外层每边都是10人，4条边共有：10×4=40（人），由于四个顶点重复计算了1次，实际最外层共有40-4=36（人）．9.解：5×4-4 =20-4 =16（棵）20÷（5-1）=20÷4 =5（米）答：一共要栽16棵树，每两棵树之间的距离5米．故答案为：16，5．【分析】根据方阵问题中最外层点数=每边点数×4-4，即可求出植树的总棵数；因为每条边上植树5棵，所以每条边上都有5-1=4个间隔，据此可以求出每个间隔的长度是20÷4=5米．10.解：40÷5+1 =8+1 =9（面）9×4-4 =36-4 =32（面）答：一共要插32面彩旗．故答案为：32．【分析】（1）先求出40里面有几个5，再加1就是每边最多要插的面数；（2）再用每边插的面数×4-4即可解答．11.解：（12-4）×4×4=8×16=128（朵）答：共有红花128朵．【分析】由题意知，要求这个四层空心方阵共有红花多少朵，就是求这个方阵的总点数；根据方阵问题中：空心方阵的总人数=（最外层每边的人数-空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4解答即可．12.解：根据分析可得，最里层：15﹣2×2=11（个），（11﹣1）×4=40（个）（15﹣3）×3×4=12×12=144（个）答：明明摆这个方阵最里层一周共有40个棋子．摆这个三层空心方阵共用了144个棋子．故答案为：40，144．【分析】由于方阵每减少一层，每边的围棋子数减少2个，所以这个方阵最里层每边有：15﹣2×2=11个，那么明明摆这个方阵最里层一周共有：（11﹣1）×4=40（个）；根据公式：空心方阵的总点数=（最外层每边的点数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，可得：（15﹣3）×3×4=144（个）；据此解答．13.解：（20×20﹣36）×2=（400﹣36）×2=364×2=728（人）答：这个队伍有728人．【分析】每一边有20人，则实心时应该有20×20=400人，减去36人的正方形空地，每一个方阵应有400﹣36=364人．两个方阵共有364×2=728人14.解：120÷4÷3+3=10+3=13（人）这个方阵的最外层每边13人，也就是n=13．答：n的数值是13．【分析】由题意知，可以先看成一个三层空心方阵，已知共有学生120人，要求最外层每边有多少名学生，据方阵问题中：空心方阵的总人数=（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，可得出：最外层每边人数=总人数÷4÷层数+层数，据此解答即可．15.解：最外层每边人数是：960÷4÷3+3，=80+3，=83（人），83﹣2=81（人），答：中间一层每边人数是81人．【分析】根据方阵问题中：空心方阵的总人数=（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，可得出最外层每边人数=空心方阵总人数÷4÷空心方阵的层数+空心方阵的层数，据此求出最外层每边人数，则再减去2人，就是中间一层的每边人数，据此解答即可．。

方阵问题的应用题1.军训的学生进行队列表演，排成一个10行，10列的正方形队列，这个方队有多少人？如果去掉一行一列，要去掉多少人？2.三年级学生组成一个正方形方队，共12行，每行12人，后来由于服装不够，只好去掉一行一列，问去掉了多少名学生？3.在一块正方形草地四周种树，四个角上都种一棵，每边种13棵，这块草地四周共种树多少棵？4.棋子若干枚，恰好可以排成每边九枚的方阵，棋子的总数是多少？5.幼儿园小朋友在老师的指导下，把棋子排成一个正方形方阵，如果在这个方阵中去掉横、竖各一排，则这个方阵少了13枚棋子。

那么这个方阵共有多少枚棋子？6.军训师生进行队伍表演，排成一个正方形队列，如果这个队列横、竖增加一排，还需要补充15人，问原来参加队列表演的师生有多少人？7.一个正方形方队，外层总共100人，求此方队总共有多少人？12列车问题8、一座大桥长2400米，一列火车以每分钟900米的速度通过大桥，从车头开上桥到车尾离开桥共需要3分钟。

这列火车长多少米？9、一列长200米的火车以每秒8米的速度通过一座大桥，用了2分5秒钟时间，求大桥的长度是多少米？10、一列长225米的慢车以每秒17米的速度行驶，一列长140米的快车以每秒22米的速度在后面追赶，求快车从追上到追过慢车需要多长时间？11一列长150米的列车以每秒22米的速度行驶，有一个扳道工人以每秒3米的速度迎面走来，那么，火车从工人身旁驶过需要多少时间？12、一列火车穿越一条长2000米的隧道用了88秒，以同样的速度通过一条长1250米的大桥用了58秒。

求这列火车的车速和车身长度各是多少？1.龟鹤共有100个头,350只脚.龟,鹤各多少只2.学校有象棋,跳棋共26副,恰好可供120个学生同时进行活动.象棋2人下一副棋,跳棋6人下一副.象棋和跳棋各有几副3.一些2分和5分的硬币,共值2.99元,其中2分硬币个数是5分硬币个数的4倍,问5分硬币有多少个。

方阵问题知识导航学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列。

如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方问题）。

核心公式：一、实心方阵1．方阵总人数=最外层每边人数的平方（方阵问题的核心）=每边数×每边数2．方阵最外层每边人数=（方阵最外层总人数÷4）＋13．方阵外一层每边人数比内一层每边人数多24．去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－15、每层数=（每边数-1）×4二、空心方阵1、外边人数=总人数÷4÷层数+层数2、总数=最外层人数2 - 最内层人数2=（最外层每边数-层数）×层数×4=（最外层数+最内层数）×层数÷23、内层数=外层数-84、每层数=（每边数-1）×45、实心方阵的总人数是一个完全平方数，空心方阵的总人数是4的倍数。

例1 四年级同学参加广播操比赛，要排列成每行8人，共8行方阵。

排列这个方阵共需要多少名同学？解题分析这是一道实心方阵问题，求这个方阵里有多少名同学，就是求实心方阵中布点的总数。

排列成每行8人点，共8行，就是有8个8点。

求方阵里有多少名同学，就是求8个8人是多少人？解：8×8=64（人）答：排列这个方阵，共需要64名同学。

例2 有一堆棋子，刚好可以排成每边6只的正方形。

问棋子的总数是多少？最外层有多少只棋子？解题分析依题意可以知道：每边6只棋子的正方形，就是棋子每6只1排，一共有6排的实心方阵。

根据方阵问题应用题的解题规律，求实心方阵总数的数量关系，总人数=每边人数×每边人数，从而可以求出棋子的总数是多少只。

而最外层棋子数则等于每边棋子数减去1乘以行数4，即（6-1）×4只。

解：（1）棋子的总数是多少？6×6=36（只）（2）最外层有多少只棋子？（6-1）×4=20（只）答：棋子的总数是36只，最外层有20只棋子。

方阵问题-' 方阵问题(1)明确空心方阵和实心方阵的概念及区别.(2)每边的个数=总数：4 + 1”；(3)每向里一层每边棋子数减少2；(4)掌握计算层数、每层个数、总个数的方法，及每层个数的变化规律。

一' 方阵问题【例1】在一次运动会开幕式上，有一大一小两个方阵合并变换成一个10行10列的方阵，求原来两个方阵各有多少人？【考点】方阵问题【难度】2星【题型】解答【解析】根据时间多少和学生具体情况可考虑教给学生平方数的概念，并记住一些简单的平方数.10行10列的方阵由100人组成，原来的小方阵每行或每列人数都不会超过10人，大方阵人数应该在50—100之间，可取64或81,运用枚举法，可求出满足条件的是：大方阵有64人，小方阵有36 人. 【答案】大方阵有64人，小方阵有36人【巩固】小华观看团体操表演，他看到表演队伍中的一个方阵变换成一个正三角形实心队列，他估计队伍中人数大概在30至50人之间，你能告诉他到底有多少人吗？【考点】方阵问题【难度】3星【题型】解答【解析】方阵总人数的特点:它是两个相同自然数的积，而三角形队列总人数的特点是:总数是从1开始若干个连续自然数的和，我们只要在3070的范围内找出同时满足这两个条件的数就可以得出总人数.由于队伍可以排成方阵，在30至50人的范围内人数可能是6x6=36人或7x7=49人，又因为36 = 1 + 2 + 3 + 4 + ...+8, 49 = 1 + 2 + 3 + 4 + ...+9 + 4,所以总人数是36人.【答案】36人【例2】学生进行队列表演，排成了一个正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉11A，问这个方阵共有多少人?【考点】方阵问题【难度】2星【题型】解答【解析】由上题思路，带领学生进行逆向思维.学生排成一正方形队列表演，去掉一行一列，去掉了11人, 那我们就要思考每行去掉了几个同学，因为是正方形队列，所以每行每列人数一样多，但在数的时候，站在角落的同学被数了两个，那么现在求每行的人数时就要在11里面多加一个.现在每行的人数是：（11 + 1） + 2 = 6 （人），共6x6 = 36 （人）.【答案】36人【巩固】学生进行队列表演，排成了一个正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉13人，问这个方阵共有多少人？【考点】方阵问题【难度】2星【题型】解答【解析】每行：（13 + 1—2 = 7 （人），总人数：7x7 = 49 （人）.【答案】49人【例3】二年级舞蹈队为全校做健美操表演，组成一个正方形队列，后来由于表演的需要，又增加一行一列，增加的人数正好是17人，那么原来准备参加健美操表演的有多少人？【考点】方阵问题【难度】2星【题型】解答【解析】可先让学生自己画图实践，从3乘3的方阵变成4乘4的如何进行，掌握画法后再来思考这题. 因增加的是一行一列，而行、列人数仍应相等，但为什么增加的却是17人，因有1人是既在他所在的行，又在他所在的列.若把它减掉，剩下人数恰是原两行或两列的人数，则原来一行或一列的人数可求.参加健美操表演的人数可求.列式：（17 — 1） + 2 = 16 + 2 = 8 （人），8X8=64（A）.【答案】64人【巩固】某部队战士排成方阵行军，另一支队伍共17人加入他们的方阵，正好使横竖各增加一排，现共有多少战士？【考点】方阵问题【难度】2星【题型】解答【解析】后来的战士加入方阵时，是在原方阵外侧横竖方向各增加一排，那么有一个战士要站在这两排的交界处，计算横排竖排的人数时，对他进行了重复计算，也就是说现在每一排实际人数是（17+1）+2=9（人），因此可以求出总人数：9x9=81 （人）.【答案】81人【例4】育新小学召开秋季运动会，准备在正方形的操场周围插上彩旗.如果4个角上都要插上一面彩旗，要使每边有7面彩旗，那么一共要准备多少面彩旗才行？【解析】心急的学生会很配合的说28,此时可提示他们想想，彩旗不够，能不能少点？根据题目的要求画出【考点】方阵【难度】2【题型】解示意图：我们把这些彩旗按照图中所示的方式分成相等的4部分，可以看出每一部分都有7-1=6面旗.（7 — l）x4 = 24（面），一共准备24面彩旗.【答案】24面【巩固】某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60人.问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有五年级学生多少人？【考点】方阵问题【难度】3星【题型】解答【解析】根据四周人数和每边人数的关系可以知：每边人数=四周人数44 + 1,可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了.所以方阵最外层每边人数：60+4 + 1 = 16（人），整个方阵共有学生人数：16x16 = 256 （A）.【答案】方阵最外层每边人数16人，整个方阵共有学生人数256人.【例5】新学期开始，手持鲜花的少先队员在一辆彩车四周围成了每边两层的方阵，最外面一层每边13 人，彩车周围的少先队员有多少人？【考点】方阵问题【难度】3星【题型】解答【解析】先让学生自己思考，待大家都有结果后，让学生思考一个问题：相邻两层差几个人.外层13x4-4=4$人，内外相差8人（教师可举例说明），内层48-8 = 40人，共88人.【答案】88人列【考点】方阵【难度】3【题型】填【巩固】节日来临，同学们用盆花在操场上摆了一个空心花坛，最外层的一层每边摆了 12盆花，一共3层,一共用去多少盆花？【考点】方阵问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】让学生利用上题思考结果加以解决.（法1）不论是空心方阵还是实心方阵，每向里一层，每边的花盆就少2个，每层的花盆就少8个，因此可以依次求出每层花盆的个数.最外层有花盆:Q2-l ）x4 = 44（盆），第二层有:44-8 = 36（盆），第三层有:36-8=28（盆），共有:44+ 36+ 28=108（盆）.（法2）将三层花盆分成四块，形成四个相等的长方形.它们的长是（12-3）个，宽是3个， （12-3*3=2,个，即每个长方形中包括27个花盆，再将结果乘以4就得到总数是108个，于是 我们可以总结为:空心方阵中点的总个数=（最外层每边的个数-层数）x 层数x 4 .（法3）也可以将这种情况看作从一个大的实心方阵中取出一个小的实心方阵.【答案】108盆【例6】 在一次团体操表演中，有一个空心方阵最外层有64人，最内层有32人，参加团体操表演的共多 少人？【考点】方阵问题 【难度】4星 【题型】解答【解析】根据最外层和最内层人数，可以分别求出内外层每边的人数，一个空心方阵，可以看做从一个最 外层有64人的实心方阵中，减去了一个小方阵.外层每边人数：64+4 + 1 = 17 （人）.内层每边 人数：32+4 + 1 = 9 （人），空心方阵人数：17x17-（9 —2）x （9-2） = 240 （人）.【答案】240人【巩固】希望小学举行运动会，全体运动员的编号是从1开始的连续整数，他们按图1中实线所示，从第 1行第1列开始，按照编号从小到大的顺序排成一个方阵。

小升初典型问题分类：方阵问题一、填空题（共3题；共4分）1.同学们做操，排成方形的队伍，无论从前数、从后数，还是从左数、从右数，小红都是第5个，这队伍共有________人？2.，按这个规律，第6个图形共有________个小圆点，第n个图形共有________个小圆点。

3.有一个正方形的池塘，四个角上都栽一棵树，如果每边栽7棵树，四边一共栽________ 棵树．二、应用题（共15题；共75分）4.学校体育队的同学排成一个方阵表演“中国功夫”，最外一层的人数是60人，方阵最外一层每边有多少人?一共有多少人?5.大庆路小学启智楼前摆放了一个方阵花坛．这个花坛的最外层每边各摆放8盆花，最外层共摆了多少盆花？这个方阵花坛共有多少盆花？6.2009年10月1日，为庆祝新中国60华诞，天安门广场举行了盛大的阅兵仪式，共有56个方队通过天安门广场接受祖国和人民的检阅．其中徒步方队12个，每个方队有14行，每行25人．徒步方队一共有多少人？7.全校学生排成5个方阵做操，每个方阵有8行，每行有10人，5个方阵一共有多少人？8.在第五届运动会上，红星小学组成了一个大型方块队，方块队最外边每边30人，共有10层，中间5层的位置由20个同学抬着这次运动会的会徽，这个方块队共由多少个同学组成？9.设计一个团体操表演队形，想排成6层的中空方阵，已知参加表演的有360人，求最外层每边应安排多少人？10.教室里有很多桌子，都整齐地排列着，每列桌子数相等，每排的桌子数相等，小秋的桌从前面数第3张，从后面数第4张，他的左边有3张，右边有1张，小秋的教室一共有多少张？11.共有960名男生站成一个三层的空心方阵，问：中间一层每边有多少人？12.同学们表演团体操表演，排成一个方阵，每行20人，一共排了20行，最外层有多少人，整个方阵一共多少人？13.要在五边形的水池边上摆上花盆，使每一边都有5盆花，最少需要几盆花？14.战成方队军训最外边站了12人，最外层一共有多少人？参加军训的一共有多少学生？15.同学们用小红花排成了一个四层空心方阵，最外层每边12朵，共有红花多少朵？16.四年级共选49位同学参加校运会开幕式，他们排成一个方阵．这个方阵的最外层一共有多少人？17.涧小举行艺体节队列表演，共4个方队，每个方队排成8行，每行8人，最外圈的同学穿红色运动服，其余同学穿绿色运动服．一共要准备两种颜色的运动服各多少套？（提示：画一个方队点子图帮助理解）18.一群人排成n×n的方阵，最外3层共有120人，求n的数值．答案解析部分一、填空题1.【答案】81【解析】【解答】5+4=9这队伍有9×9=81(人)故答案为：81【分析】因为从左数、右数都是第5个，那么这个方阵共有5+4=9排，每排有9人，用每排的人数乘排数即可求出总人数.2.【答案】19；3n+1【解析】【解答】解：第6个图形：6×3+1=19(个)，第n个图形：n×3+1=3n+1(个)故答案为：19；3n+1【分析】规律：小圆点的个数=图形个数×3+1，按照这样的规律计算或用字母表示这个规律即可.3.【答案】24【解析】【解答】解：7×4﹣4=28﹣4=24（棵）答：四边一共种了24棵．故答案为：24．【分析】四周植树时，如果每个角处都植树，那么正好围成了一个空心方阵，此时四周点数之和=每边点数×4﹣4，由此即可解答．二、应用题4.【答案】60÷4+1=16(人)，16×16=256(人)，答：方阵最外一层每边有16人，一共有256人。

知识结构一、方阵问题（1）明确空心方阵和实心方阵的概念及区别.（2）每边的个数＝总数÷41 ”；（3）每向里一层每边棋子数减少2；（4）掌握计算层数、每层个数、总个数的方法，及每层个数的变化规律。

例题精讲一、方阵问题【例1】在一次运动会开幕式上，有一大一小两个方阵合并变换成一个10行10列的方阵，求原来两个方阵各有多少人？【巩固】小华观看团体操表演，他看到表演队伍中的一个方阵变换成一个正三角形实心队列，他估计队伍中人数大概在30至50人之间，你能告诉他到底有多少人吗？【例2】学生进行队列表演，排成了一个正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉11人，问这个方阵共方阵问题三年级奥数专题有多少人？【巩固】学生进行队列表演，排成了一个正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉13人，问这个方阵共有多少人？【例3】二年级舞蹈队为全校做健美操表演，组成一个正方形队列，后来由于表演的需要，又增加一行一列，增加的人数正好是17人，那么原来准备参加健美操表演的有多少人？三年级奥数专题【巩固】某部队战士排成方阵行军，另一支队伍共17人加入他们的方阵，正好使横竖各增加一排，现共有多少战士？【例4】育新小学召开秋季运动会，准备在正方形的操场周围插上彩旗．如果4个角上都要插上一面彩旗，要使每边有7面彩旗，那么一共要准备多少面彩旗才行？【巩固】某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60人．问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有五年级学生多少人？【例5】新学期开始，手持鲜花的少先队员在一辆彩车四周围成了每边两层的方阵，最外面一层每边13人，彩车周围的少先队员有多少人？【巩固】节日来临，同学们用盆花在操场上摆了一个空心花坛，最外层的一层每边摆了12盆花，一共3层，一共用去多少盆花？【例6】在一次团体操表演中，有一个空心方阵最外层有64人，最内层有32人，参加团体操表演的共多少人？【巩固】希望小学举行运动会，全体运动员的编号是从1开始的连续整数，他们按图1中实线所示，从第1行第1列开始，按照编号从小到大的顺序排成一个方阵。

方阵问题【课前引入】学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列。

如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵。

方阵包括：空心方阵和实心方阵。

而实心方阵的每一层又可以单独看成一个空心方阵，因此空心方阵的规律对它也是适用的。

版块一例1小明养了一些花，他将这些花排成3行3列的方阵，后来小明又买了一些花，形成一个新的方阵，这样正好比原来的多2行2列，求小明后来买了多少盆花？拓展四年级一班同学参加了广播操比赛，排成每行8人，每列8人的方阵，问方阵中共有多少学生？如果去掉一行一列，还剩多少同学？例2同学们做操，小林站在左起第5列，右起第3列；从前数前面有4个同学，从后数后面有6个同学。

每行每列的人数同样多，做操的同学一共有多少人？拓展小美在一长方形的队伍里，她数了一下她左边有13人，右边有14人，前边有11人，后边有12人，请问你知道这队伍有多少人么？例3二年级舞蹈队为全校做健美操表演，组成一个正方形队列，后来由于表演的需要，又增加一行一列，增加的人数正好是17人，那么原来准备参加健美操表演的有多少人？拓展学生进行队列表演，排成了一个正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉11人，问这个方阵共有多少人？版块二前铺最外层总数每层总数：(每边人数－1)×4(风车法)每边人数：每层总数÷4＋1(风车法)例4某校三年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为36人，问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有三年级学生多少人？前埔每向里一层：每边少2，每层少8(单数层最中心1个，第二层8个，是特例)前埔在一次团体操表演中，有一个空心方阵最外层有60人，最内层有36人，参加团体操表演的共多少人？例5将120个棋子摆成一个3层空心方阵，最内层每边有多少枚棋子？拓展人民公园有一实心方阵花坛，最外两层有32盆花，求这个花坛共有多少盆花？求总数＝(最外层每边－层数)×层数×4求最外层每边＝总数÷4÷层数＋层数例6李小姐想将原本8行8列的实心方阵花坛改成一个2层的空心方阵，求此空心方阵的最外层每边有多少盆花枚棋子？将一个最外层每边20枚棋子的2层空心方阵转换成一个6层空心方阵，求新的方阵最外层每边有多少枚棋子？版块三在一次运动会开幕式上，有一大一小2个方阵合并变换成一个10行10列的方阵，求原来这2个方阵各有多少人？测试题1．一群小猴排成整齐的队伍做操。

2023年小升初数学总复习：方阵问题一．选择题（共6小题）1．元旦节，学校举行诗歌朗诵比赛．五（2）班学生排成一个方阵，最外层每边站7名学生，最外层一共有（）名学生．A．28B．32C．242．五年级同学体操表演，站成一个方阵，最外围每边站10人，最外围有（）人．A．100B．81C．40D．363．观察下面3个图形的规律，按这样的规律排列，第8个图形有（）个．A．24B．28C．324．同学们在操场上排队，每行人数和行数恰好相等，最外一圈有100人，每行（）人．A．10B．25C．265．在一个正方形花坛四周种树，每边种5棵（四个顶点也要种），一共要种（）棵．A．20B．28C．16D．156．点阵图中第n个点阵有（）个点．A．n B．2n C．n×n二．填空题（共30小题）7．五年级同学排成一个方阵参加校园足球操表演，外层每边都是9人．整个方阵一共有人；最外层一共有人．8．五年级同学排成方阵做操，最外层每边站了10人，最外层一共有名同学，整个方阵一共有名学生．9．三年级学生组成一个正方形方队表演团体操，共8行，每行8人，后来由于服装不够，只好去掉一行一列，共去掉了个学生．10．舞蹈队员站成一个方阵表演节目，最外圈有20人，这个方阵一共有人。

11．有28盆花，平均放在会议室前、后、左、右四周，要求四个角都要放一盆，每边放的花的盆数相同，每边各有盆花．12．同学们在操场上围成一个正方形玩游戏，每边28个同学，一共有个同学在玩游戏．13．五年级同学排成方阵做操，最外层每边站了20人，最外层一共有名同学，整个方阵一共有名学生．14．在体操表演时，六年级学生排成一个方队（横竖行人数相等）．已知最外层为72人，那么这个方队共有人．15．在一个正方形花坛的每条边上摆5盆鲜花，四条边上最多能摆盆，最少能摆盆．16．如图中第5个正方形有个点．如果某个正方形每边上的点子数用a表示，则这个正方形的点子总数可表示为．17．观察下面图形中的规律，填一填照此规律，第⑤个图形中有个O，有个●18．舞蹈队站成一个方阵表演节目，最外层每边站8人，最外层一共有人，整个方阵一共有人．19．观察下列点阵，第10个点阵有个点，第24个点阵有个点．20．一个正方形的棋盘，一共放了24枚棋子（四个顶点都有一枚），每边放枚棋子．21．观察点阵的规律，第15个点阵应该有点数．22．有一堆棋子，排列成n×n的正方形方阵，多余出3只棋子；如果在这个正方形方阵横纵两个方向各增加一行，则缺少8只棋子．则这堆棋子有只．23．运动会体操表演方阵，最外层每边站了10个人，它的最外层一共有个人．24．丁丁和东东用玩具小人摆了一个方阵，最外层每边13个．最外层一共有个玩具小人，整个方阵一共有个玩具小人．25．有一个正方形的池塘，四个角上都栽一棵树，如果每边栽9棵树，四边一共栽棵树．26．同学做操时站成一个方阵，最外一层每边有16人，这个方阵最外一层共有人，五年级一共有人．27．有一个正六边形形池塘，在它的每边都种上树（顶点都种），每条边上种a棵，一共可以种棵．28．有一个正方形的池塘，四个角上都栽一棵树，如果每边栽7棵树，四边一共栽棵树．29．表演队原有64名同学排成方队，现要使方队的每行每列都增加1人，算一算，需要增加名同学．30．一个方队外围周长是36米，每隔3米站了一个同学，外围一周一共站了个同学．31．五年级学生排成实心方阵举行团体操表演，最外层每边15人，最外层一共有名学生，整个方阵有名学生．32．一个表演方阵，每排7人，有7行，最外层有人．33．学校组织学生排成一个实心方阵进行团体操表演，最外层共站了64人，这个方阵共有人．34．在一个正方形的每条边上摆4枚棋子，四条边上最多能摆枚，最少能摆枚．35．在一个棋盘上放一个正方形棋阵，如果最外一层每边放8枚棋子（四个角个放一枚），那么这个棋阵的最外一层有个棋子；整个棋阵一共有个棋子．36．同学们在操场上围成一个正方形玩游戏，每边18个同学，一共有个同学在玩游戏．三．应用题（共7小题）37．四年级同学排成5个方阵进行团体操表演，每个方阵排成6行，每行6人．最外圈的同学穿蓝色运动服，其余同学穿黄色运动服．一共要准备两种颜色的运动服各多少套？38．一个正方形的活动场地，在它的四周插上彩旗（四个角都插）．每条边上插8面．一共要插多少面？（先画一画，再算一算）39．小区物业摆了一个正方形花坛（如图）．最外一层摆的是兰花，里面摆的都是月季花，兰花和月季花各摆了多少盆？40．小红用1元的硬币摆了一个正方形方阵，最外层每边都有6枚硬币．最外层一共有多少枚硬币？41．四年级同学参加学校运动会开幕式表演，共排成4个方队，每个方队排成6行，每行6人．最外圈的同学举彩旗，其余同学举花束．举彩旗的同学一共有多少人？举花束的呢？42．红星小学举行队列比赛时，五年级四个班排成了一个大型的方阵，最外层一周的人数为64人，方阵外层每边有多少人？这个方阵队列一共有多少人？43．同学们做早操，小刚站在左起第6列，右起第12列；从前面数是第7个，从后面数是第13个．如果每列的人数同样多，每行的人数也同样多，则一共有多少个同学在做早操？四．解答题（共7小题）44．同学们排成方阵参加体操表演，无论从前往后数、从后往前数，还是从左往右数或从右往左数，王华都是第5个，这个方阵共有多少人？45．学校六一庆祝会上，在一个长9m、宽3m的长方形舞台外沿，每隔1m挂一束气球（一束气球有3个），靠墙（长边）的一面不挂，但四个角都要挂．一共需要多少个气球？46．又运来了25盆菊花，继续按如图摆放，能否在外围再整体增加一层？47．游行队伍中，手持鲜花的少先队员在一辆彩车的四周围成每边三层的方阵，最外边一层每边12人，请问：彩车周围的少先队员共有多少人？48．学校开联欢晚会，要在正方形的操场四周装彩灯，四个角都装一盏，每边装7盏，那么一共要准备多少盏彩灯？49．教室里有很多桌子，都整齐地排列着，每列桌子数相等，每排的桌子数相等，小秋的桌从前面数第3张，从后面数第4张，他的左边有3张，右边有1张，小秋的教室一共有多少张？50．学校选了一批同学参加团体操表演，把这些同学排成一个三层的空心方阵，多了12个同学，再选40个同学参加，正好在排成的空心方阵外多排了一层，成为四层空心方阵．共有多少人参加团体操表演？2023年小升初数学总复习：方阵问题参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．元旦节，学校举行诗歌朗诵比赛．五（2）班学生排成一个方阵，最外层每边站7名学生，最外层一共有（）名学生．A．28B．32C．24【解答】解：7×4﹣4＝28﹣4＝24（人）答：最外层一共有24名学生．故选：C．2．五年级同学体操表演，站成一个方阵，最外围每边站10人，最外围有（）人．A．100B．81C．40D．36【解答】解：（10﹣1）×4＝9×4＝36（人）答：最外围有36人．故选：D．3．观察下面3个图形的规律，按这样的规律排列，第8个图形有（）个．A．24B．28C．32【解答】解：（8+1）×4﹣4＝36﹣4＝32（人）答：第8个图形有32个．故选：C．4．同学们在操场上排队，每行人数和行数恰好相等，最外一圈有100人，每行（）人．A．10B．25C．26【解答】解：100÷4+1＝25+1＝26（人）答：每行26人．故选：C．5．在一个正方形花坛四周种树，每边种5棵（四个顶点也要种），一共要种（）棵．A．20B．28C．16D．15【解答】解：5×4﹣4＝20﹣4＝16（棵）答：四周共种了16棵．故选：C．6．点阵图中第n个点阵有（）个点．A．n B．2n C．n×n【解答】解：点阵图中第n个点阵有n×n＝n2个点．故选：C．二．填空题（共30小题）7．五年级同学排成一个方阵参加校园足球操表演，外层每边都是9人．整个方阵一共有81人；最外层一共有32人．【解答】解：9×9＝81（人）9×4﹣4＝36﹣4＝32（人）答：整个方阵一共有81人；最外层一共有32人．故答案为：81；32．8．五年级同学排成方阵做操，最外层每边站了10人，最外层一共有36名同学，整个方阵一共有100名学生．【解答】解：10×4﹣4＝36（名），10×10＝100（名），答：最外层一共有36名同学，整个方阵一共有100名学．故答案为：36，100．9．三年级学生组成一个正方形方队表演团体操，共8行，每行8人，后来由于服装不够，只好去掉一行一列，共去掉了15个学生．【解答】解：8×2﹣1＝15（人），答：一共去掉了15人．故答案为：15．10．舞蹈队员站成一个方阵表演节目，最外圈有20人，这个方阵一共有36人。

六年级小学生应用题之方阵问题
关于六年级小学生应用题之方阵问题
奥数是一种理性的精神，使人类的思维得以运用到最完善的.程度.让我们一起来阅读六年级小学生应用题之方阵问题6,感受奥数的奇异世界!
1.要排成一个4行4列的正方形方阵，需要()名同学。

2.学生进行军训队列表演，排成一个7行7列，如果去掉一行一列，要去掉()人，还剩下()人。

3.某年级同学参加广播操比赛，因服装问题要横竖各减少一排，这样共去掉了19人，则此年级原准备()人参加比赛。

4.某校学生站成25行25列方阵，现去掉5行5列，要减少()人。

5.正方形广场四周均匀挂彩灯，四个角上都挂一盏，每边挂了20盏，则这块广场的四周共需挂()盏彩灯。

6.在一个正方形场地四周插入彩旗，四个角都插一面，共插了24面彩旗，问四周每边插彩旗()面。

7.游乐场用木桩排一个四层的空心方阵，最外边一层每边15根木桩，则共需()根木桩。

8.小红用围棋字摆了一个八层空心方阵，共享了424个，则最外层每边有()个棋子。

9.一个五层空心方阵最外层每边有20人，则最内层每边有()人。

10.一个六层空心方阵最内层每边有6人，则最外层每边有()人。

六年级下册数学试题-小升初必考专题训练之应用题：方阵问题（无答案）全国通用方阵问题【知识点拨】一.基本概念 1.定义：人或物排队，排成行数=列数，形成一个正方形的队伍 2.特点：1）同一层，每边数相等 2）相邻两层，每边数差2 相邻两层，每层总数差8 3）类型：实心和空心二．应用 1.实心方阵总数=行数×列数=最外层每边数×最外层每边数2.一行一列数=（大方阵每边数-1）×2 3.每层总数=（每边数-1）×4 每边数=每层总数÷4+1 4.空心方阵1）大实心-小实心 2）每层总数成等差数列※中间层=方阵总数÷层数★小贴士★ 方阵问题对于小朋友是比较有难度的专题，公式较多，需要与图进行结合，因此小朋友学习的时候更多的是要去理解，而不是只记公式。

【挑战练习】【练习1】1）有1 个实心方阵，去掉一行一列，去掉 17 人，求：原方阵共有多少人？ 2）有 1 个实心方阵，增加一行一列，增加 21 人，求：原方阵共有多少人？【练习2】一个 400 人实心方阵的队伍，将其拆成 1 大 1 小两个实心方阵，求：此两个实行方阵总数各为多少？【练习3】一队学生站成 20 行 20 列方阵，如果去掉 4 行 4 列，那么要减少多少人？【练习4】四年级学生参加广播操比赛，他们排成一个方阵，最外一层的人数是56人，四年级共有多少学生参加了比赛？【练习5】某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为84 人.问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有五年级学生多少人？【练习6】小雨用跳棋摆成一个两层空心方阵，最外一层每边有跳棋 14 个。

小雨摆这个方阵共用去多少个跳棋？【练习7】晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子 14 个，晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个？【练习8】在一次团体操表演中，有一个空心方阵最外层有 64 人，最内层有 32 人，参加团体操表演的共多少人？【练习9】为迎接奥运，某市举行团体操表演，队员们排成一个实心方阵，已知最外一层共有 80 名队员，这个方阵共有多少人？【练习10】“六一”儿童节前夕，在校园雕塑的周围，用 204 盆鲜花围成了一个每边三层的方阵，请你求出最外面一层每边有鲜花多少盆? 【练习11】同学们用64 盆花排出一个两层空心方阵，后来又决定在外面再增加一层成为三层方阵，还需多少盆花？【练习12】将一个每边 16 枚棋子的实心方阵变成一个四层的空心方阵，此空心方阵的最外层每边有多少棋子？。

专题6-方阵问题小升初数学思维拓展典型应用题专项训练（知识梳理+典题精讲+专项训练）1、方阵问题。

将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题．2、数量关系。

（1）方阵每边人数与四周人数的关系：四周人数=（每边人数-1）×4每边人数=四周人数÷4+1（2）方阵总人数的求法：实心方阵：总人数=每边人数×每边人数空心方阵：总人数=（外边人数）2-（内边人数）2内边人数=外边人数-层数×2（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：总人数=（每边人数-层数）×层数×4．【典例一】为庆祝“六一”儿童节，城东小学四年级同学举行队列表演，他们排成2个“77⨯”的方阵。

每个方阵中，外两圈同学穿黄色运动服，其余同学穿红色运动服。

最少需要准备套黄色运动服，套红色运动服。

【答案】80；18。

【分析】每个方阵的最外层一共有4个边，每边有7人，共4层，然后根据总点数=每边点数⨯每边点数求出总方阵的人数和内2层的人数，再进一步解答即可。

【解答】解：（1）7749⨯=（人)(722)(722)--⨯--=⨯339=（人)9218⨯=（人)-=（人)49940⨯=（人)40280答：最少需要准备80套黄色运动服，18套红色运动服。

故答案为：80；18。

【点评】此题考查了方阵问题中：总点数=每边点数⨯每边点数的灵活应用。

【典例二】运动会上，四年级同学组成了四个表演方阵，每个方阵排成6行，每行6人。

每个方阵最外面一圈的同学穿黄色表演服，其余同学穿红色表演服，这两种颜色的表演服各多少件？【答案】黄色表演服80件，红色表演服64件。

【分析】用6乘6求出每个方队的总人数，然后用64⨯减去4求出最外圈穿黄色表演服的人数；再和每个方队的总人数相减求出穿红色表演服的人数。

最后再用每个方队中红、黄的衣服人数分别乘4，求出4个方队中两种颜色的表演服的件数即可。

专题29 方阵问题2023-2024学年六年级备战小升初数学专项复习精讲练（考点聚焦+重点速记+真题专练）将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题．数量关系：（1）方阵每边人数与四周人数的关系：四周人数=（每边人数-1）×4每边人数=四周人数÷4+1（2）方阵总人数的求法：实心方阵：总人数=每边人数×每边人数空心方阵：总人数=（外边人数）2-（内边人数）2内边人数=外边人数-层数×2（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：总人数=（每边人数-层数）×层数×4．一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）1．（2分）四年级组成了一个正方形队列，准备参加学校课间操比赛，由于服装不够，只好减少33人，使横竖各减少一排，四年级原来准备( )人参加比赛．A ．1089B ．1024C ．289D ．1962．（2分）为庆祝国庆60周年，学校排练团体操，六年级学生排成方阵，最外层每边（含顶点）站了12人，最外层一共有多少名学生？算式是( )A ．124⨯B ．(121)4-⨯C ．122112⨯+⨯3．（2分）在学校组织的“庆六一”团体操表演中，当表演方队是一个正方形时，小芳的位置用数对表示是(6,8)，参加团体操表演的至少有( )人。

A ．64B ．48C ．36D ．244．（2分）某学校的全体学生刚好排成一个方阵，最外层的人数是108人，问这个方阵共有多少人( )A ．748B ．752C ．729D ．7845．（2分）观察下面3个图形的规律，按这样的规律排列，第8个图形有( )个．A ．24B ．28C ．326．（2分）在一个正方形花坛四周种树，每边种5棵（四个顶点也要种），一共要种( )棵．A ．20B ．28C ．16D ．157．（2分）若干名学生排成8列长方形队列，若增加120人或减少120人，都能组成一个新的正方形队伍，那么原来学生有()人A．902 B．136 C．2408．（2分）参加体操表演的同学站成一个方阵，最外层每一边各站了20人，最外层一共有()人．A．80 B．78 C．76 D．74二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）9．（2分）图中第5个长方形有个点，第10个长方形点子总数是个。

应用题-经典应用题-方阵问题基本知识-0星题课程目标知识提要页码问题基本知识•概述页码问题是根据书的页码而编制出来的一类应用题．编一本书的页码，计算一共需要多少个数码；反过来，知道编一本书的页码所需的数码数量，求这本书的页数．这是页码问题中的两个基本内容．数是由数字组成的，数由无数个，但数字只有10种，即0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，数字也称为数码。

页码也可称为页数，它是由数字组成，一个数字组成一位数，两个数字组成两位数⋯页码（页数）的个数是无限的。

为了顺利地解答页码问题，我们先看一下“数”与“组成它的数码个数”之间的关系．一位数共有9个，组成所有的一位数需要9个数码；两位数共有90个，组成所有的两位数需要2×90＝180（个）数码；三位数共有900个，组成所有的三位数需要3×900＝2700（个）数码……为了清楚起见，我们将n位数的个数、组成所有n位数需要的数码个数、组成所有不大于n位的数需要的数码个数之间的关系列表如下：由上表看出，如果一本书不足100页，那么排这本书的页码所需的数码个数不会超过189个；如果某本书排的页码用了10000个数码，因为2889＜10000＜38889，所以这本书肯定是上千页．一本书的页码有以下规律：1、同一张纸的正反面页码是先奇后偶的两个相邻自然数．2、任意翻开的两页页码是先偶后奇的两个相邻自然数．3、任意翻开的两页的页码和除以4余1．4、同一张纸的页码和除以4余3．精选例题页码问题基本知识1. 一套数学书分上下两册，编页码时共用了2010个数码．又知上册比下册多28页，那么上册有页．【答案】385【分析】每册书从第1页到第99页有数码9+90×2=189（个），两册书共有189×2= 378（个）．三位数页码的数码共2010−378=1632（个），含1632÷3=544（页）．两册书共有99×2+544=742（页），上册书共有(742+28)÷2=385（页）．2. 有一本科幻小说书，它的任意连续15页中必有一页是图画，另外14页是文字，已知这本书一共有10页图画，那么这本书最少一共有页，最多一共页．【答案】最少136页，最多164页【分析】从第1页图片开始算起，它接下来的14页都是文字，接下来又是1页图片，14页文字，⋯⋯，到第10页图片，一共至少有(1+14)×9+1=136(页),这种情况下首尾两端各加14页文字，仍然符合题意，即最多有136+2×14=164（页）． 3. 如图，《经典童话》一书共有382页，则这本书的页码中数字0共有个．【答案】68【分析】1∼382中，个位每10个数中出现一个0，382÷10=38⋯⋯2,每10个数中最后一个数个位为0，所以个位中共有38个0，1∼99中十位上没有0，十位有0的有，100∼109，200∼209，300∼309，共30个，所以共38+30=68(个).4. 一本书的页码依次是1、2、3、4⋯一共有2796个数字组成，这本书有多少页？【答案】968页【分析】1～9页，9个数字，10～99页，(99−10+1)×2=180（个）数字，所以排在三位数的页数有(2796−9−180)÷3=869(页),所以这本书有9+90+869=968(页)5. 一本书的页码从1至62，即共有62页．在把这本书的各页的页码累加起来时，有一个页码被错误地多加了一次．结果，得到的和数为2000．问：这个被多加了一次的页码是几？【答案】47【分析】因为这本书的页码从1至62，所以这本书的全书页码之和为：1+2+⋯+61+62=62×(62+1)÷2=1953.由于多加了一个页码之后，所得到的和数为2000，所以2000减去1953就是多加了一次的那个页码，是2000−1953=47．6. 给一本书编页码，一共用了225个数字，这本书一共有多少页？【答案】111【分析】1∼9页每页上的页码是一位数，共需数字：1×9=9(个)；10∼99页每页上的页码是两位数，共需数字：2×90=180(个)；100∼999页每页上的页码是三位数，共需数字：3×900=2700(个)；9+180<225<9+180+2700，所以这本书的页数在100∼999之间，所有三位数页码共有数字：225−9−180=36(个)，每一页用3个数字，所以，还有36+3=12(页)，共有99+12=111(页)．7. 一本书一共186页，那么数字1，3，5，7，9在页码中一共出现了多少次？【答案】270次【分析】1，3，5，7，9为连续奇数，从1～186，个位上出现奇数的次数为186÷2=93（次）；从10～186，十位上出现奇数的次数为10～19，30～39，⋯，170～179，共9×10=90（次）；从100～186，百位上出现奇数的次数为87次；所以，1，3，5，7，9在页码中一共出现了93+90+87=270(次).8. 小高读一本故事书，如果他第一天读了25页，以后每天比前一天多读5页，那么到最后一天时，还剩47页；如果他第一天读40页，以后每天比前一天多读5页，那么到最后一天时，还剩下37页．请问：这本故事书最少共有多少页？【答案】947页．【分析】第一种情况每天读的页数：25、30、35、40、45、50、 (47)第二种情况每天读的页数：40、45、50、 (37)如果将第一种情况前三天读的页数放到最后才读，则两种情况下前面几天读的是完全一样的．第一种情况每天读的页数：40、45、50、…、47、25、30、35；第二种情况每天读的页数：40、45、50、 (37)对比可知，第二种情况在最后一天之前有连续几天（也可能是连续1天）读的总页数是47+25+30+35−37=100页；由于每天至少读40页，因此读这100页不能用3天；而用2天也找不到符合题意的解，因此只能是用1天读了100页．所以这本书共有40+45+50+⋯+100+37=947页．9. 有两本书，加起来一共200页，其中一本书比另外一本书多12页，那么页数多的这本书比页数少的书组成页码的数字多多少个？【答案】31个【分析】两本书一共200页，一本比另一本多12页，所以页数多的那本书有(200+12)÷2=106(页),页数少的书有200−106=94(页),106页的书比94页的书多出95～106页，其中两位数有5个，三位数有7个，所以多出的数字为2×5+3×7=31(个).10. 一本《新编小学生字典》共563页，需要多少个数字编页码？【答案】1581个【分析】1位数页码有数字1×9=9(个),2位数页码有数字2×90=180(个),3位数页码有数字3×(563−99)=1392(个),共用数字9+180+1392=1581(个).11. 一本书撕掉一张纸后页码和为1145，问：撕掉的一张是哪一张？【答案】15页和16页的那一张【分析】假设这本书的页码是从1到n的自然数，那么完整的书的页码和为n(n+1)÷2，由题意可知n(n+1)÷2>1145,估算可得，当n=48时，n(n+1)÷2=1176>1145，1176−1145=31，即撕掉的这一张纸的页码和为31，又任何一张纸上的两个页码，都是奇数在前偶数在后，所以这一张的两页分别为第15页和第16页．12. 将所有自然数，自1开始依次写下去得到：12345678910111213⋯，试确定第206788个位置上出现的数字．【答案】7【分析】一位数9个位置，二位数180个位置，三位数2700个位置，四位数36000个位置，还剩：206788−9−180−2700−36000=167899,167899÷5=33579⋯⋯4,所以答案为33579+10000=43579的第4个数字7．13. （1）一本书共有100页，1∼100页的页码中，一共用了多少个数字“2”？（2）一本书共有1000页，1∼1000页的页码中，一共用了多少个数字“2”？【答案】（1）20；（2）300【分析】（1）枚举法：个位上的2:2,12,22,32,42,52,62,72,82,92,出现10次；十位上的2:20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,出现10次；共10+10=20(次)，即用了20个数字“2”．（2）个位上的2：因为每连续10个数，在个位上就出现一次2，所以个位上2出现1000÷10=100(次)；十位上的2：每连续100个数就有10个十位是2的数，所以十位上2出现1000÷100×10=100(次)；百位上的2：1∼1000有100个百位是2的数，所以百位上2出现100次．所以总共出现2的次数是100+100+100=300(次)，即用了300个数字“2”．14. 某小说书有上、下两册，且这两册书的页码共有1116个数字，且上册比下册多4页，则上册小说有多少页？【答案】224页【分析】由已知条件容易得出上、下册都有上百页的结论，上册比下册多4页，即上册比下册多12个数字，所以上册的页码共有数字(1116+12)÷2=564(个),1位数和2位数页码共需要数字1×9+2×90=189(个),所以3位数页码就有(564−189)÷3=125(个),因此，上册小说有 99+125=224(页).15. 一本书共200页，撕掉第1张纸，之后每隔2张纸撕掉1张，剩下的纸的页码和为多少？【答案】13266【分析】本书共有100张纸，完整的书的页码的和为1+2+3+⋯+199+200=20100,根据题意可知，撕掉的纸为书的第1，4，7，⋯，97，100张，且第n张纸上的页码为2n−1和2n，即页码和为4n−1，所以撕掉的34张纸上的页码总和为4×(1+4+7+⋯+100)−34=6834,所以剩下的纸的页码和为20100−6834=13266．16. 一本书共204页，需多少个数码编页码？【答案】504个【分析】1～9页每页上的页码是一位数，共需数码：1×9=9（个）；10～99页每页上的页码是两位数，共需数码：2×90=180（个）；100～204页每页上的页码是三位数，共需数码：(204−100+1)×3=105×3=315(个).综上所述，这本书共需数码9+180+315=504(个).17. 有一本故事书，它的任意连续10页中必有一页是图画，另外九页是文字，已知这本书一共有15页图画，那么这本书最少一共有多少页？最多一共多少页？【答案】最少141页，最多159页【分析】从第1页是图片开始算起，它接下来的9页都是文字，接下来又是1页图片，9页文字，⋯⋯，到第15页图片，一共有(1+9)×14+1=141(页),这种情况下首尾两端各加9页文字，仍然符合题意，即最多有141+2×9=159(页).18. 给一本书编页码时，一共用了24个数字“8”且最后一页是含有“8”的页码，请问这本书有多少页？【答案】138【分析】1∼100会出现20个数字“8”，第24个“8”出现在第138页上，又因为最后一页是含有8的页码，说明138页是这本书的最后一页，所以这本书有138页．19. 一本书的页码从1到80，共80页．在把这本书的各页的页码累加起来时，有一个页码漏加了，结果得到的和数为3182．问：这个被漏加的页码是多少？【答案】58【分析】如果没有漏加页码，即从1加到80，那么结果得到的和为1+2+3+⋯+79+80=3240,比实际得到的和数大3240−3182=58，这个差就是被漏加的页码．20. 翻开数学书，连续看了5页，页码的和为60，那么这5页的页码分别是多少？【答案】10，11，12，13，14【分析】连续看了5页，那么这5页的页码是连续的，由此可得，这5页的中间一页页码为60÷5=12，所以这5页的页码分别为10，11，12，13，14．21. 编一本故事书原先用了195个数字，后来又增加了15页，那么还要增加多少个数字？【答案】45个【分析】一位数共需要数字1×9=9(个),两位数共需要数字2×90=180(个),195个数字就是有三位数(195−9−180)÷3=2(个),所以再增加15页，也都是三位数页码，所以要增加数字：15×3=45（个）．22. 一本书一共有1、2、3⋯100页，求所有页数的数码之和是多少？【答案】901【分析】1～9页的数码和为：1+2+3+⋯+9=45；10～19页的数码和为：1+2+3+⋯+9+10×1=55；20～29页的数码和为：1+2+3+⋯+9+10×2=65；⋯⋯90～99页的数码和为：1+2+3+⋯+9+10×9=135；100的数码和是1+0+0=1；所有页数的数码之和是45+55+65+⋯+135+1=901．23. 一本小说的页码，共用137个数字．这本书共有多少页？【答案】73【分析】1∼9页每页上的页码是一位数，共需数字：1×9=9(个)；10∼99页每页上的页码是两位数，共需数字：2×90=180(个)；9<137<189，所以这本书的页数在10∼99之间，所有两位数页码共有数字：137−9= 128(个)，每一页用2个数字，128÷2=64(页)，9+64=73(页)．24. 有一本48页的书，中间缺了一张，小明将残书的页码相加，得到1131．老师说小明计算错了，你知道为什么吗？【答案】见解析．【分析】48页书的所有页码数之和为1+2+⋯+48=48×(48+1)÷2=1176.按照小明的计算，中间缺的这一张上的两个页码之和为1176−1131=45．这两个页码应该是22页和23页．但是按照印刷的规定，书的正文从第1页起，即单数页印在正面，偶数页印在反面，所以任何一张上的两个页码，都是奇数在前，偶数在后，也就是说奇数小偶数大．小明计算出来的是缺22页和23页，这是不可能的．25. 一本书共100页，撕掉第1张纸，之后每隔1张纸撕掉1张，剩下的纸的页码和为多少？【答案】2575【分析】本书共有50张纸，完整的书的页码的和为1+2+3+⋯+100=5050,根据题意可知，撕掉的纸为书的第1，3，5，⋯，49张，第n张纸上的页码为2n−1和2n，页码和为4n−1，所以撕下的25张纸上的页码和为4(1+3+5+⋯+49)−25=2475，所以剩下的纸的页码和为5050−2475=2575．26. 给一本书编页码时，一共用了13个数字“7”，请问这本书有多少页？【答案】75【分析】少于20个数字，所以答案在100页以内，7,17,27,37,47,57,67共有7个，70,71,72,73,74,75共6个，所以这本书有75页．27. 排印240页的长篇小说，共需要用多少个数码？【答案】612个【分析】1～9页每页上的页码是一位数，共需数码：1×9=9（个）；10～99页每页上的页码是两位数，共需数码：2×90=180（个）；100～240页每页上的页码是三位数，共需数码：(240−100+1)×3=141×3=423（个）．综上所述，这本书共需数码9+180+423=612（个）．28. 数89之数码和为17．请问1、2、3、⋯、2008这2008个数之数码和的总和为多少？【答案】28054【分析】这2008个数的个位数码之和是(1+2+3+4+5+6+7+8+9)×200+(1+2+3+4+5+6+7+8)=9036;这2008个数的十位数码之和是(1+2+3+4+5+6+7+8+9)×200=9000;这2008个数的百位数码之和是(1+2+3+4+5+6+7+8+9)×200=9000;这2008个数的千位数码之和是1×1000+2×9=1018;所以这2008个数的所有数码之和是9036+9000+9000+1018=28054．29. 一本故事书的页码，在排版时必须用2211个数码．问：这本书共有多少页？【答案】773页【分析】因为189<2211<2889，所以这本书有几百页．由前面的分析知道，这本书在排三位数的页码时用了数码(2211−189)个，所以三位数的页数有(2211−189)÷3=674(页).另外，不到三位的页数有99页，所以这故事书共有：99+674=773(页).30. 排一本400页的书的页码，共需要多少个数码“0”？【答案】71个【分析】将1～400分为四组：1～100，101～200，201～300，301～400．在1～100中共出现11次0，其余各组每组都比1～100多出现9次0，即每组出现20次0．所以共需要数码“0”：11+20+20+20=71（个）．31. （1）—本书共有20页，1∼20页的页码一共用了多少个数字？（2）若一本书共有150页，1∼150页的页码一共用了多少个数字？【答案】（1）31；（2）342【分析】（1）1∼9页每页上的页码是一位数，共需数字：1×9=9(个)；10∼20页每页上的页码是两位数，共需数字：2×11=22(个)；综上所述，这本书共需数字：9+22=31(个)．（2）1∼9页每页上的页码是一位数，共需数字：1×9=9(个)；10∼99页每页上的页码是两位数，共需数字：2×90=180(个)；100∼150页每页上的页码是三位数，共需数字：3×51=153(个)；综上所述，这本书共需数字：9+180+153=342(个)．32. 给一本书编页码，一共用了246个数字，这本书一共有多少页？【答案】118【分析】1∼9页每页上的页码是一位数，共需数字：1×9=9(个)；10∼99页每页上的页码是两位数，共需数字：2×90=180(个)；100∼999页每页上的页码是三位数，共需数字：3×900=2700(个)；189<246<2889，所以这本书的页数在100∼999之间，所有三位数页码共有数字：246−189=57(个)，每一页用3个数字，57÷3=19(页)，99+19=118(页)．33. 言言有本小说，一共有200页，这本书的页码中一共有多少个数字1？【答案】140个【分析】一位数中1～9有1个数字1，两位数中10～19有11个数字1，20～99有8个数字1，所以一位数和两位数共有20个数字1，以此可知，从100～200这101个三位数中的个位和十位有20个1，加上百位的100个1，即这本书的页码中一共有20+20+100= 140(个)数字1．34. 从一本有200页的书中撕下22张纸，这22张纸的页码之和可能是1000吗？为什么？【答案】不可能，理由见解析．【分析】如果撕下这本书的前22张纸，则其页码为1～44，页码和为1+2+⋯+43+44=990,即这22张纸的页码和最小为990，又因为任意两张纸的页码和之差一定是4的倍数，而1000−990=10不能被4整除，所以这22张纸的页码之和不可能是1000．35. 有一本科幻故事书，每四页中，有一页为文字，其余三页为图画．如果第一页为图画，那么第二、三页也是图画，第四页为文字，第五、六、七页又为图画，依此类推．如果第一页为文字，那么第二、三、四页为图画，第五页为文字，第六、七、八页又为图画，依此类推．试问：（1）假如这本书有96页，那么这本书多少页有图画？（2）假如这本书有99页，那么多少页有图画？【答案】（1）72页；（2）75或74页【分析】（1）将每4页看作是一组，每一组中有3页是图画：96÷4=24(页),24×3=72(页),这本书有72页是图画；（2）99÷4=24⋯⋯3,如果第一页是图画，24×3+3=75（页），这本书有75页是图画；如果第一页是文字，24×3+2=74（页），这本书有74页是图画．36. 将自然数按从小到大的顺序无间隔地排成一个大数：123456789101112⋯问：左起第1000位上的数字是多少？【答案】3【分析】1～9页每页上的页码是一位数，共需数码1×9=9（个）；10～99页每页上的页码是两位数，共需数码2×90=180（个）；因为(1000−189)÷3=270⋯⋯1,所以1000个数码排到第：99+270+1=370（个）数的第1个数码“3”．所以本题的第1000位数是3．37. 一本科幻小说共164页，编印这本科幻小说的页码共用多少个数字0？【答案】26个【分析】一位数页码不存在数字0，两位数页码中只有9个数字0，三位数从100至164共有17个数字0，其中7个在个位上，10个在十位上，所以数字0共有9+17=26(个).38. 一本书共有500页，1∼500页的页码中，一共用了多少个数字“1”？【答案】200【分析】个位上的1：因为每连续10个数，在个位上就出现一次1，所以个位上1出现500÷10=50(次)；十位上的1：每连续100个数就有10个十位是1的数，所以十位上1出现500÷100×10=50(次)；百位上的1:1∼500有100个百位是1的数，所以百位上1出现100次．这样总共出现1的次数是50+50+100=200(次)，即用了200个数字“1”．39. 一本书共有80页，1∼80页的页码一共用了多少个数字？【答案】151【分析】1∼9页每页上的页码是一位数，共需数字：1×9=9(个)；10∼80页每页上的页码是两位数，共需数字：2×71=142(个)；综上所述，这本书共需数字：9+142=151(个)．。