1启东教育一元二次方程概念与根的意义授课

第二章一元二次方程2.1 认识一元二次方程第 1 课时一、教学目标1．经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型．2．理解一元二次方程及其相关概念．二、教学重点及难点重点：一元二次方程的定义及各项系数的辨别．难点：对一元二次方程定义的理解．三、教学用具多媒体课件．四、相关资源《一元二次方程的定义》微课、《一元二次方程的定义》小结图片．五、教学过程【复习引入】1．什么是方程？什么是一元一次方程？答：含有未知数的等式叫做方程．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是一次的整式方程，叫做一元一次方程．通常标准形式是ax+b=0(a，b为常数，且a≠0)．2．指出下列方程哪些是一元一次方程？（1）3x+4=1；（2）6x-5y=7；（3）453x y-=；（4）155y=；（5）x2-70x+825=0；（6）3742y+=-；（7）x(x+5)=150；（8）453x y-=．解：（1）（4）．3．什么是“元”？什么是“次”？答：“元”是指方程中含有的未知数；“次”是指方程中含有的未知数的次数．师生活动：教师提出问题，学生完成解答．设计意图：通过复习方程和一元一次方程的概念为下面学习一元二次方程的概念作知识准备．（二）探究新知想一想1．幼儿园某教室矩形地面的长为8 m，宽为5 m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18 m2的地毯（如图），四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，那么这个宽度应是多少米？如果设这个宽度为x m，那么你能列出怎样的方程？2．观察等式：102+112+122=132+142．你还能找到五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？如果将这五个连续整数中的第一个数设为x，那么怎样用含x的代数式表示其余四个数呢？根据题意，你能列出怎样的方程？3．如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m．如果梯子的顶端下滑1 m，那么梯子的底端滑动多少米？如果设梯子底端滑动x m，那么你能列出怎样的方程？师生活动：教师出示问题，引导学生只列方程，不解方程．答：1．(8-2x)(5-2x)=18；2．x2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2；3．(x+6)2+72=102．设计意图：对于具体问题情境的选择，既注意了力求贴近学生的生活实际，又关注了数学本身的要求，让学生体会一元二次方程是数学内部发展和实际问题解决的必然结果．感受到研究一元二次方程是现实生活的需要，进一步提高学生学习的积极性．议一议方程(8-2x)(5-2x)=18，x2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2及(x+6)2+72=102有什么共同特点呢？师生活动：教师出示问题，学生思考，教师引导学生先将上述方程化简，然后再观察、讨论它们的共同特点．答：方程(8-2x )(5-2x )=18可化为2x 2-13x +11=0，x 2+(x +1)2+(x +2)2=(x +3)2+(x +4)2可化为x 2-8x -20=0，方程(x +6)2+72=102可化为x 2+12x -15=0．共同特点是：（1）都只含有一个未知数x ；（2）都可化为ax 2+bx +c =0(a ，b ，c 为常数，a ≠0)；（3）未知数的最高次数都是2；（4）等号两边都是整式．教师归纳：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成ax 2+bx +c =0(a ，b ，c 为常数，a ≠0)的形式，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．设计意图：旨在通过对三个方程共性的分析，抽象出一元二次方程的概念．教学中，应先引导学生根据已有的方程知识和经验，将上述三个方程进行化简，并整理成一般形式；然后让学生对整理后的方程进行观察与思考．本部分由特殊例子出发，由特殊到一般探索出一元二次方程的定义及其相关概念．【典例精析】例1 下列方程中哪些是一元二次方程？为什么？（1）3x +2=5x -3；（2）4y 2=5y ；（3）；（4）x 2+y =2． 师生活动：教师出示问题，学生思考，教师请学生代表回答．解：（2）是一元二次方程，（1）（3）（4）不是一元二次方程；（1）是一元一次方程， （3）是分式方程，（4）是二元二次方程．例2 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它们的二次项系数、一次项系数和常数项．（1）x 2=0；（2）4x +1=x 2；（3）2x 2= -3x +1；（4）x (x +3)= -2．师生活动：教师出示问题，学生思考，教师请学生代表板演，讲解出现的问题． 解：（1）x 2=0化为一元二次方程的一般形式仍为x 2=0；（2）移项，得一元二次方程的一般形式为x 2-4x -1=0；（3）移项，得一元二次方程的一般形式为2x 2+3x -1=0；21120x x+-=（4）去括号，移项，得一元二次方程的一般形式为x 2+3x +2=0．方程二次项系数 一次项系数 常数项 x 2=01 0 0 4x +1=x 21 -4 -1 2x 2= -3x +12 3 -1 x (x +3)= -2 1 3 2设计意图：加深对一元二次方程概念的理解．本图片是微课的首页截图，本微课资源介绍了一元二次方程的定义与一般形式，并通过典例的讲解了利用一元二次方程的定义求参数，有利于启发教师教学或学生预习或复习使用.若需使用，请插入微课【知识点解析】一元二次方程的定义.【课堂练习】1．下列关于x 的方程：（1）(m -3)x 2-3x -2=0；（2）k 2x +5k +6=0；（3）23x 24x -12-=0；（4）21320x x +-=．其中是一元二次方程的个数是（ ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．下列关于x 的方程中，一元二次方程的个数有（ ）．①22203x x -=；②121x x x-=-；③kx 2-3x +1=0； ④x 2-x 2(x 2+1)-3=0；⑤(k +3)x 2-3kx +2k -1=0．A ．0B ．1C ．2D ．33．将方程2x 2=1-3x 化成一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）．A ．2，1，-3B ．2，3，-1C ．2，3，1D ．2，1，34．将方程(x -1)(x +3)=12化为ax 2+bx +c =0的形式后，a ，b ，c 的值分别为（ ）．A ．1，-2，-15B ．1，-2，-15C ．1，2，-15D ．-1，2，-155．若方程2(4)810m m x x -+++=是一元二次方程，则m =______．6．把方程(3x +2)2=4(x -3)2化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．7．已知关于x 的方程．（1）当k 为何值时，方程是关于x 的一元二次方程；（2）当k 为何值时，方程是关于x 的一元一次方程．参考答案1．A ．2．B ．3．B ．4．C ．5．4．6．方程(3x +2)2=4(x -3)2化成一元二次方程的一般形式为5x 2+36x -32=0．其中二次项系数为5，一次项系数为36，常数项为-32．7．（1）；（2）．师生活动：教师找学生代表回答，讲解出现的问题．设计意图：通过本环节的学习，让学生巩固所学知识．六、课堂小结本节课我们主要学习了：1．一元二次方程的概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般形式是ax 2+bx +c =0(a ，b ，c 为常数，a ≠0)．其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．师生活动：教师引导学生归纳、总结本节课所学内容．设计意图：通过总结使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容．22(1)2(1)3(1)0k x k x k -+++-=22(1)2(1)3(1)0k x k x k -+++-=22(1)2(1)3(1)0k x k x k -+++-=1k ≠±1k =七、板书设计2.1 认识一元二次方程（1）1．一元二次方程的概念：2．一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)．。

启东教育第12课时⼀元⼆次⽅程第12课时⼀元⼆次⽅程⼀、中考知识导航⼀元⼆次⽅程的定义⼀元⼆次⽅程的解法⼀元⼆次⽅程⼀元⼆次⽅程根的判别式⼀元⼆次⽅程根与系数的关系⼀元⼆次⽅程的应⽤⼆、中考课标要求┌───┬───────────┬────────────┐│││知识与技能⽬标││考点│课标要求├──┬──┬──┬───┤│││了解│理解│掌握│灵活应⽤├───┼───────────┼──┼──┼──┼───┤││了解⼀元⼆次⽅程的定义│∨││││││及双重性││││││⼀├───────────┼──┼──┼──┼───┤│元│掌握⼀元⼆次⽅程的四种││││││⼆│解法,并能灵活运⽤│││∨│∨││次├───────────┼──┼──┼──┼───┤│⽅│掌握⼀元⼆次⽅程根的判││∨│∨│∨││程│别式,并能运⽤它解相应│││││││问题││││││├───────────┼──┼──┼──┼───┤││掌握⼀元⼆次⽅程根与系│││││││数的关系,会⽤它们解决││∨│∨│∨│││有关问题││││││├───────────┼──┼──┼──┼───┤││会解⼀元⼆次⽅程应⽤题│││∨││└───┴───────────┴──┴──┴──┴───┘三、中考知识梳理1.灵活运⽤四种解法解⼀元⼆次⽅程⼀元⼆次⽅程的⼀般形式:a2x+bx+c=0(a≠0)四种解法:直接开平⽅法,配⽅法,公式法, 因式分解法,公式法:2a(b2-4ac≥0)注意:掌握⼀元⼆次⽅程求根公式的推导;主要数学⽅法有:配⽅法,换元法,“消元”与“降次”.2.根的判别式及应⽤(△=b 2-4ac) (1)判定⼀元⼆次⽅程根的情况. △>0?有两个不相等的实数根; △=0?有两个相等的实数根; △<0?没有实数根; △≥0?有实数根.(2)确定字母的值或取值范围.应⽤根的判别式,其前提为⼆次系数不为0;考查时,经常和根与系数的关系、函数知识相联系、判别根的情况常⽤配⽅法.3.根与系数的关系(韦达定理)的应⽤韦达定理:如果⼀元⼆次⽅程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两根为x 1、x 2，则x 1+x 2=-b a,x 1·x 2=c a.(1)已知⼀根求另⼀根及未知系数； (2)求与⽅程的根有关的代数式的值; (3)已知两根求作⽅程;(4)已知两数的和与积,求这两个数; (5)确定根的符号:(x 1,x 2是⽅程两根). 有两正根?12120,0,0x x x x ?≥??+>??>?有两负根?12120,0,0x x x x ?≥??+?有⼀正根⼀负根?120,0x x ?>??有⼀正根⼀零根?12120,00x x x x ?>??+>??=?有⼀负根⼀零根?12120,00x x x x ?>??+x 1=x 2=0?12120,0x x x x ?>??+==?应⽤韦达定理时,要确保⼀元⼆次⽅程有根,即⼀定要判断根的判别式是否⾮负;求作⼀元⼆次⽅程时,⼀般把求作⽅程的⼆次项系数设为1,即以x 1、x 2为根的⼀元⼆次⽅程为x 2-(x 1+x 2)x+x 1x 2=0;求字母系数的值时,需使⼆次项系数a≠0,同时满⾜△≥0;求代数式的值,常⽤整体思想,把所求代数式变形成为含有两根之和x1+x2,?两根之积x1x2的代数式的形式,整体代⼊.4.⼀元⼆次⽅程的应⽤解应⽤题的关键是把握题意,找准等量关系,列出⽅程.?最后还要注意求出的未知数的值,是否符合实际意义.四、中考题型例析1.了解⽅程判定⽅程根的情况例1 (2004·武汉)⼀元⼆次⽅程4x2+3x-2=0的根的情况是( ).A.有两个相等的实数根;B.有两个不相等的实数根C.只有⼀个实数根;D.没有实数根解析:因为△=32-4×4×(-2)>0,所以该⽅程有两个不相等的实数根.答案:B.2.由⽅程根的情况求字母系数的取值范围例2 (2004·重庆)若关于x的⼀元⼆次⽅程x2+x-3m=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是( ) A.m>112B.m<112C.m>-112D.m<-112分析:因为该⽅程有两个不相等的实数根,所以应满⾜△>0. 解:由题意,得△=12-4×1×(-3m)>0,解得 m>-112.答案:C.3. 解⼀元⼆次⽅程例3 (2004·四川)解⽅程:x2+3x=10.分析:根据⽅程的特点,可⽤公式法求解.解:原⽅程就是x2+3x-10=0,这⾥a=1,b=3,c=-10.b2-4ac=32-4×1×(-10)=49.∴37 2212a-±==.∴x1=2,x2=-5.点评:要根据⽅程的特点灵活选⽤⽅法解⽅程.4.根据与系数的关系,求与⽅程的根有关的代数式的值.例4 (2004·河北)若x1,x2是⼀元⼆次⽅程2x2-3x+1=0的两个根,则x12+x22的值是( )A. 54B.94C.114D.7分析:本题解法不唯⼀,可先解⽅程求出两根,然后代⼊x12+x22,求得其值.但⼀般不解⽅程,只要将所求代数式转化成含有x1+x2和x1x2的代数式,再整体代⼊.解:由根与系数关系可得x1+x2=32,x1·x2=12,x12+x22=(x1+x2)2-2x1·x2=(32)2-2×12=54.答案:A.点评:公式之间的恒等变换要熟练掌握.5.⼀元⼆次⽅程的应⽤例5 (2004·陕西)在⼀幅长80cm,宽50cm的矩形风景画的四周镶⼀条⾦⾊纸边,制成⼀幅矩形挂图.如果要使整个挂图的⾯积是 5 400cm2,设⾦⾊纸边的宽为xcm,那么x满⾜的⽅程是( )A.x2+130x-1 400=0B.x2+65-350=0C.x2-130x-1 400=0D.x2-64x-1 350=0解析:在矩形挂图的四周镶⼀条宽为xcm的⾦边,那么挂图的长为(80+2x)cm,?宽为(50+2x)cm,由题意,可得(80+2x)(50+2x)=5 400.答案:B.基础达标验收卷⼀、选择题1.(2004·武汉)⼀元⼆次⽅程x2-4=0的根为( ).A.x=2B.x=-2C.x1=2,x2=-2D.x=42.(2004.长沙)下列⼀元⼆次⽅程中,有实数根是( ).A.x2-x+1=0B.x2-2x+3=0；C.x2+x-1=0D.x2+4=03.(2004·河南)如果关于x的⽅程x2+mx+1=0的两个根的差为1,那么m等于( ).A.±2B.C.D.4.(2004·安徽)⽅程x2-3x+1=0根的情况是( ).A.有两个不相等的实数根;B.有两个相等的实数根C.没有实数根;D.只有⼀个实数根5.(2004·云南)⽤配⽅法解⼀元⼆次⽅程x2+8x+7=0,则⽅程可变形为( ).A.(x-4)2=9B.(x+4)2=9;C.(x-8)2=16D.(x+8)2=576.(2004·黄冈)下列说法中正确的是 ( ) [可多选]A.⽅程x2+2x-7=0的两实数根之和为2;B.⽅程2x2-3x-5=0的两实数根之积为-5 2C.⽅程x2-2x-7=0的两实数根的平⽅和为18;D.⽅程x2+3x-5=0的两实数根的倒数和为3 5⼆、填空题1.(2004·天津)已知关于x的⽅程x2-3x+m=0的⼀个根是另⼀个根的2倍,则m?的值为_______.2.(2004.沈阳)⽅程x2-2x-3=0的根是________.3.(2004,青海)⽅程x2+ax-1=0有_______个实数根.4.(2004.青海)以2_________.5.(2003.重庆)已知x1、x2是关于x的⽅程(a-1)x2+x+a2-1=0的两个实数根,且x1+x2=13,则x1·x2=_________.三、解答题1.(2004.上海)关于x的⼀元⼆次⽅程mx2-(3m-1)x+2m-1=0,其根的判别式的值为1,求m的值及该⽅程的根.2.(2004.重庆)已知关于x的⼀元⼆次⽅程x2+(2m-3)x+m2=0?的两个不相等的实数根为α、β满⾜11αβ+=1,求m的值.3.(2004.南昌)已知关于x的⽅程x2-2(m+1)x+m2=0.(1)当m取什么值时,原⽅程没有实数根.(2)对m选取⼀个合适的⾮零整数,使原⽅程有两个实数根,并求这两个实数根的平⽅和.能⼒提⾼练习⼀、学科内综合题1.(2004.沈阳)阅读下列解题过程:题⽬:已知⽅程x2+3x+1=0的两个根为α、β,.解:∵△=32-4×1×1=5=0,∴α≠β. ①由⼀元⼆次⽅程的根与系数的关系,得α+β=-3, αβ=1. ②+31-===-3 ③阅读后回答问题:上⾯的解题过程是否正确?若不正确,指出错在哪⼀步,并写出正确的解题过程.⼆、跨学科应⽤题2.队伍长skm.通讯员从排尾赶到排头后⼜⽴即返回排尾,?这时队伍恰好前进了skm,假设这⼀过程中,队伍和通讯员的速度不变,求通讯员所⾛的路程.三、开放探索题3.(2004.四川)已知关于x 的⽅程x 2-2(m+1)x+m 2-2m -3=0……①的两个不相等实数根中有⼀个根为0,是否存在实数k,使关于x 的⽅程x 2-(k -m)x -k -m 2+5m -2=0……②的两个实数根x 1,x 2之差的绝对值为1?若存在,求出k 的值;若不存在,请说明理由.四、实际应⽤题4.(2004.⼴东)某商场今年2⽉份的营业额为400万元,3⽉份的营业额⽐2⽉份增加10%,5⽉份的营业额达到633.6万元,求3⽉份到5⽉份营业额的平均⽉增长率.答案:基础达标验收卷⼀、1.C 2.C 3.C 4.A 5.B 6.B、C、D⼆、1.2 2.x1=3,x2=-1 3.2 4.x2-4x+1=0 5.-1三、1.解:由题意,得m≠0,⽽且△=[-(3m-1)]2-4m(2m-1)=9m2-6m+1-8m2+4m=m2-2m+1=1, ∴m2-2m=0.∴m1=0(舍去),m2=2.将m=2代⼊原⽅程得2x2-5x+3=0.解得⽅程的根为x1=32,x2=1.2.解:由△>0得(2m-3)2-4m2>0.解得m<3 4 .∵11αβ+=1,即αβαβ+=1,∴α+β=αβ.⼜α+β=-(2m-3), αβ=m2.代⼊上式得3-2m=m2,解之m1=-3,m2=1.∵m=1>34故舍去,∴m=-3.3.解:(1)△=[-2(m+1)]2-4m2=4(m2+2m+1)-4m2=4(2m+1)<0,∴m<-12.当m<-12时,原⽅程没有实数根.(2)取m=1时,原⽅程为x2-4x+1=0设此⽅程的两实数根为x1,x2.则x1+x2=4,x1·x2=1.∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1·x2=42-2×1=14.[m取其他符合要求的值也可.] 能⼒提⾼练习1.解:不正确,第(3)步错. 正确的解题过程是: ∵△=32-4×1×1=5>0,∴α≠β.由⼀元⼆次⽅程的根与系数的关系得α+β=-3<0, α·β=1>0, ∴α<0,β<0,+βα·αβαβ+=32.解:设队伍的速度为xkm/h,⽽通讯员的速度为ykm/h,?则通讯员从排尾赶到排头的速度是(y-x)km/h,从排头赶到排尾的速度是(y+x)km/h,他来回各⾛了skm,同时队伍⾛了skm.由题意,得 (s y x-+s y x+)·x=s.解得y 12舍去)∴通讯员⾛的路程为·x ·s x答:通讯员⾛了(1+)skm. 3.解:∵⽅程①有两个不相等的实数根,∴△=[-2(m+1)]2-4(m 2-2m-3)=16m+16>0.解得m>-1. ⼜∵⽅程①有⼀个根为0,∴m 2-2m-3=0,即(m-3)(m+1)=0.解得m=3,m=-1. ⼜∵m>-1,∴m 1=-1应舍去.∴m=3当m=3时,⽅程②变形为x 2-(k-3)x-k+4=0. ∵x 1,x 2是⽅程②的两个实数根, ∴x 1+x 2=k-3,x 1· x 2=-k+4.若│x 1-x 2│=1,即k 2-2k-8=0,(k-4)(k+2)=0. ∴k 1=-2,k 2=4.∵当k=-2时,△=[-(k-3)]2-4(-k+4)=k 2-2k-7=(-2)2-2×(-2)-7=1>0, 此时,⽅程②为x 2+5x+6=0, 即x 1=-3,x 2=-2,满⾜条件.当k=4时,△=k 2-2k-7=42-2×4-7=1>0, 此时,⽅程②为x 2-x=0,x 1=0,x 2=1也满⾜条件. ∴k=-2或4.∴存在实数k=-2或4,使得⽅程②的两个实数根之差的绝对值为1. 4.解:设3⽉份⾄5⽉份的营业额的平均⽉增长率为x,依题意得400(1+10%)(1+x)2=633.6.整理得(1+x)2=1.44.解得x 1=0.2,x 2=-2.2(不合题意,舍去)答:3⽉份⾄5⽉份的营业额的平均⽉增长率为20%.。

初中数学说课稿《一元二次方程的概念》说课稿范文一元二次方程的概念说课稿一、教材分析：1、教材的地位和作用一元二次方程是中学数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要地位。

通过一元二次方程的学习，可以对已学过实数、一元一次方程、因式分解、二次根式等知识加以巩固，同时又是今后学习可化为一元二次方程的其它高元方程、一元二次不等式、二次函数等知识的基础。

此外，学习一元二次方程对其它学科有重要意义。

本节课是一元二次方程的概念，是通过丰富的实例，让学生建立一元二次方程，并通过观察归纳出一元二次方程的概念。

2、教学目标根据大纲的要求、本节教材的内容和学生的好奇心、求知欲及已有的知识经验，本节课的三维目标主要体现在：知识与能力目标：要求学生会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，培养学生归纳、分析的能力。

过程与方法目标：引导学生分析实际问题中的数量关系，回顾一元一次方程的概念，组织学生讨论，让学生自己抽象出一元二次方程的概念。

情感、态度与价值观：通过数学建模的分析、思考过程，激发学生学数学的兴趣，体会做数学的快乐，培养用数学的意识。

3、教学重点与难点要运用一元二次方程解决生活中的实际问题，首先必须了解一元二次方程的概念，而概念的教学又要从大量的实例出发。

所以，本节课的重点是：由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念。

鉴于学生比较缺乏社会生活经历，处理信息的能力也较弱，因此把由实际问题转化成数学方程确定为本节课的难点。

二、教法、学法：因为学生已经学习了一元一次方程及相关概念，所以本节课我主要采用启发式、类比法教学。

教学中力求体现“问题情景---数学模型-----概念归纳”的模式。

但是由于学生将实践问题转化为数学方程的能力有限，所以，本节课借助多媒体辅助教学，指导学生通过直观形象的观察与演示，从具体的问题情景中抽象出数学问题，建立数学方程，从而突破难点。

同时学生在现实的生活情景中，经历数学建模，经过自主探索和合作交流的学习过程，产生积极的情感体验，进而创造性地解决问题，有效发挥学生的思维能力。

《一元二次方程的根与系数的关系》教学设计
一、教学目标
1.熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系；
2.灵活运用一元二次方程的根与系数的关系解决实际问题；
3.经历探索一元二次方程的根与系数的关系，发展学生的逻辑推理和数学运算的核心
素养，培养学生观察、分析、归纳和判断的能力；
4.通过探索一元二次方程的根与系数的关系，体验韦达定理的发现、不完全归纳证明
以及演绎证明等整个数学思维过程，提升数学的学习兴趣；
5.提高学生综合运用知识分析解决较复杂问题的能力.
二、教学重难点
重点：一元二次方程的根与系数的关系.
难点：对一元二次方程的根与系数关系的理解和推导.
三、教学用具
多媒体课件
四、教学过程设计
思维导图的形式呈现本节课的主要内容：
问题：本节课你学到了什么？。

21.1 一元二次方程说课稿各位评委老师好：我今天说课的题目内容是：一元二次方程。

这节课我将从教材、目标、教法、过程、板书这五方面进行分析。

一、教材的地位和作用一元二次方程是新人教版九年制义务教育课本中九年级上第21章的第一节内容，是中学数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要地位。

通过一元二次方程的学习，可以对已学过实数、一元一次方程、因式分解、二次根式等知识加以巩固，同时又是今后学习二次函数、可化为一元二次方程的其它高元方程、一元二次不等式等知识的基础。

此外，学习一元二次方程对其它学科有重要意义。

本节课是一元二次方程的概念，是通过丰富的实例，让学生建立一元二次方程，并通过观察归纳出一元二次方程的概念。

一、内容和内容解析二、教学目标根据大纲的要求、本节教材的内容和学生已有的知识经验，确定本节课的三维目标：知识与能力目标：（1）继续体会方程是刻画数量关系的一个有效数学模型；（2）理解一元二次方程的概念，一般形式，会将一元二次方程化成一般形式，正确识别一般形式中的项和系数；（3）培养学生观察、类比、归纳的能力。

过程与方法目标：引导学生分析实际问题中的数量关系，回顾一元一次方程的概念，组织学生讨论，让学生自己抽象出一元二次方程的概念 < 情感、态度与价值观：通过数学建模的分析、思考过程，激发学生学数学的兴趣，体会做数学的快乐，培养用数学的意识。

3、教学重点与难点要运用一元二次方程解决生活中的实际问题，首先必须了解一元二次方程的概念，而概念的教学又要从大量的实例出发。

教学重点：理解一元二次方程的概念，掌握它的一般形式。

教学难点：；一元二次方程的概念，正确识别一般式中的项及系数。

三、教法、学法：因为学生已经学习了一元一次方程、二元一次方程及相关概念，所以本节课我主要采用启发式、类比法教学。

教学中力求体现“问题情景---数学模型----- 概念归纳”的模式。

指导学生从具体的问题情景中抽象出数学问题，建立数学方程，从而突破难点。

一元二次方程概念、解法、根的判别式一、知识点睛1. 只含有___________________的整式方程，并且都可以化成__________（________________）的形式，这样的方程叫做一元二次方程．思考次序：______________、__________、_______________．2. 我们把__________________（__________________）称为一元二次方程的_______形式，其中____，____，____分别称为二次项、一次项和常数项，_____，_____分别称为二次项系数和一次项系数．3. 解一元二次方程的思路是设法将其转化成________________来处理．主要解法有：____________，________________，_____________，_____________等．4. 配方法是配成_______公式；公式法的公式是_____________；分解因式法是先把方程化为___________________________的形式，然后把方程左边进行____________________，根据_________________________，解出方程的根．5. 通过分析求根公式，我们发现___________决定了根的个数，因此_________被称作根的判别式，用符号记作_________；当__________时，方程有两个不相等的实数根（有两个解）；当__________时，方程有两个相等的实数根（有一个解）；当__________时，方程没有实数根（无根或无解）．二、精讲精练1. 下列方程：①3157x x +=+；②2110x x+-=；③25ax bx -=（a ，b 为常数）；④322=-m m ；⑤202y =；⑥2(1)3x x x +=-；⑦22250x xy y -+=．其中为一元二次方程的是____________．2. 方程221x =-的二次项是________，一次项系数是____，常数项是______．3. 若关于x 的方程21(1)230m m x x +-+-=是一元二次方程，则m 的值为___________．4. 若方程01)1(2=-+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A ．m =0B ．m ≠1C ．m ≥0且m ≠1D ．m 为任意实数 5. 若x =2是关于x 的方程230x x a -+=的一个根，则2a -1的值是（ ） A ．2B ．-2C ．3D ．-3 6. 一元二次方程2(4)25x +=的根为（ ） A ．x =1 B ．x =21 C ．x 1=1，x 2=-9D ．x 1=-1，x 2=9 7. 关于x 的方程210x kx --=的根的情况是（ ）A ．方程有两个不相等的实数根B ．方程有两个相等的实数根C ．方程没有实数根D ．根的情况与k 的取值有关8. 如果关于x 的方程220x x m -+=（m 为常数）有两个相等的实数根，那么m =_________．9. 若一元二次方程22(4)60x x kx -+-+=无实数根，则k 的最小整数值是________．10. 用配方法解方程：（1）2210x x --=；解：22____x x -=， 22___1___x x -+=+， ()2___________=，_______=_____， x = ∴1x = ，2x =（2）210x x +-=； （3）23920x x -+=；（4）24810x x --=； （5）20ax bx c ++=（a ≠0）．11. 用公式法解方程：（1）23100x x +-=；（2）22790x x --=； 解：a =___，b =___，c =___，∵24b ac -=________=________>0∴ x ==∴1x = ，2x =（3）21683x x +=；（4）2352x x -+=-．12. 用分解因式法解方程：（1）(54)54x x x +=+；（2）(1)(8)12x x ++=-； 解：( _____ )(54)0x +=，_______=0或_______=0，∴1x = ，2x =（3）22(2)(23)x x -=+；（4）29x -=；（5）2(21)10kx k x k -+++=（k ≠0）．13. 阅读题：解方程的关键是设法将其转化为一元一次方程，转化的思路是“多元消元、高次降次”，换元法是降次的常用工具．例 解方程：42320x x -+=．解：设2y x =，则2320y y -+=，解得，11y =，22y =．当21x =时，11x =，21x =-；当22x =时，3x =4x =故原方程的解为11x =，21x =-，3x 4x =仿照以上作法求解方程：222(5)2(5)240x x x x +-+-=．随堂测试1. 已知关于x 的方程22(1)40m m mx m x -+---=是一元二次方程，则m 的值为__________．2. 已知x =a 是一元二次方程2350x x --=的一个根，则代数式23a a -=————． 3. 用你认为合适的方法解方程：（1）2410x x --=；（2）2(32)(1)(32)x x x x -=--；（3）2280x x --=；（4）23440x x --=．作业1. 已知x =1是关于x 的一元二次方程2(1)10m x x -++=的一个根，则m 的值是（ ）A ．-3B ．-1C ．1D ．3 2. 用配方法解一元二次方程2890x x -+=，配方得2()x m n +=，则m ，n 的值分别为（ ） A ．4，7 B ．4，-7 C ．-4，7D ．-4，-7 3. 关于x 的方程22210x kx k ++-=的根的情况描述正确的是（ ）A ．k 为任何实数，方程都没有实数根B ．k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根C ．k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根D ．根据k 的不同取值，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种4. 下列方程：①21213x x -=；②230y xy y -+=；③2710y +=；④213x =；⑤22(1)23x x x -=-；⑥20ax bx c ++=（a ，b ，c 为常数，且a ≠0）．其中是一元二次方程的是____________．5. 方程(1)(21)2x x -+=化成一般形式是______________，它的二次项是________，一次项系数是______，常数项是______．6. 已知关于x 的方程22(1)(1)20m x m x -+--=，当m _____时，方程为一元二次方程；当m ______时，方程为一元一次方程．7. 若m 是方程220x x --=的一个根，则代数式2m m -=_____．8. 方程3(1)22x x x -=-的解为____________．9. 若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是______．10. 用配方法解方程：（1）2440x x --=；（2）2214x x -=．11. 用公式法解方程：（1）230x x --=；（2）22750x x --=．12. 用分解因式法解方程：（1）(1)(2)24x x x ++=+；（2）(2)(3)12x x --=．13. 用你认为合适的方法解方程：（1）2240x x --=；（2）2310x x --=；（3）2+3280x x -=；（4）2(21)10mx m x m ---+=（m ≠0）．14. 阅读题：解方程的关键是设法将其转化为一元一次方程，转化的思路是“多元消元、高次降次”，分解因式是降次的一种工具．例 解方程：3234120x x x --+=．解：原方程可化为：2(3)4(3)0x x x ---=2(3)(4)0x x --= (3)(2)(2)0x x x -+-=∴x 1=3，x 2=-2，x 3=2．仿照以上作法求解方程：3244160x x x +--=。

“一元二次方程的概念”说课稿一、教材分析1、教材的地位和作用本节是人教版九年级数学第二十二章第一节，是一元二次方程的概念课，主要是通过丰富的实例，让学生通过观察归纳出一元二次方程的概念，近而利用概念解决问题。

2、教学目标知识目标：1）理解、掌握一元二次方程、一元二次方程根的概念，2）熟练写出一元二次方程和验证一元二次方程的根。

能力目标：引导学生分析实际问题中的数量关系，培养学生归纳、分析的能力。

情感目标：激发学生学数学的兴趣，体会做数学的快乐，培养用数学的意识。

3、教学重点与难点重点：由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的有关概念。

难点：一元二次方程一般式的转化和一元二次方程根的应用。

二、教法、学法因为学生已经学习了一元一次方程及相关概念，所以本节课我主要采用启发式、类比法教学。

教学中力求体现“问题情景---数学模型-----概念归纳”的模式，从具体的问题情景中抽象出数学问题，建立数学方程，从而突破难点。

三、教学过程设计1、前置自学设计----创设情境。

因为数学来源与生活，所以以学生的实际生活背景为素材创设情景，易于被学生接受、感知。

利用教材25页的问题1（由一个矩形纸片制作成一个无盖的方盒）和问题2（排球比赛场数），还有补充的问题3（某正方形玻璃的面积是35cm2，则它的边长为多少）和问题4（甲数比乙数大5且两数的积为0，则两数是多少），帮助学生从实际问题中提炼出数学问题，初步培养学生的空间概念和抽象能力。

情景分析中学生自然会想到用方程来解决问题，但所列的方程不是以前学过的，从而激发学生的求知欲望，顺利地进入新课。

2、展示交流，突破重点。

通过上述情景分析，学生独立思考后列出方程，再进行展示交流。

因为，我补充的问题3、4所列出的方程正好是一个一次项为0，一个常数项为0 的特殊一元二次方程，这就为概括得出一元二次方程的一般形式作好了准备。

通过学生列出的四个方程，引导学生分析所列方程的特征，同时与一元一次方程相比较，找出两者的区别与联系，并类比一元一次方程的概念来得出一元二次方程的概念。

探究一元二次方程的根教案（初中数学第一册）一元二次方程在初中数学中是比较重要的一部分，掌握一元二次方程的求解方法将有助于学生在更高层次的数学知识上有所提升。

针对这个问题，许多老师们构思了各种各样的教案。

本文将介绍探究一元二次方程的根教案。

一、目标通过本教案，希望学生能够：1. 掌握一元二次方程的定义及其基本特征；2. 理解二次方程的根的概念和在坐标系中的意义；3. 学会通过公式求解一元二次方程的根，并灵活运用公式解答问题。

二、教学内容1. 什么是一元二次方程？在教学开始前，应该先让学生了解一元二次方程的定义。

一元二次方程是指形如 ax^2+bx+c=0 的方程，其中 a, b, c 是已知的常数，x 是未知数。

它的一些基本特征是：1. 系数 a 不等于零，因为 x 的平方项是必不可少的。

2. 如果 a 是正数，方程的图像将是一个开口向上的抛物线，因为对于所有实数 x，ax^2 都大于零。

3. 如果 a 是负数，方程的图像会是一个开口向下的抛物线，因为对于所有实数 x，ax^2 都小于零。

2. 二次方程的根是什么？老师可以通过探讨二次方程的根来引出“一元二次方程的根”的概念。

当一元二次方程的求解处于考虑“根”的这个阶段时，学生可以问如下问题：什么是根？如何理解“二次方程的根”？对于这个问题，可以通过在坐标系中绘制二次方程的图像来回答。

通过绘制出二次方程的图像，学生可以更好地理解二次方程的根是什么，以及它们在坐标系上的位置和意义。

对于二次方程 ax^2+bx+c=0，如果其解为 x1 和 x2， x1 和 x2 称为二次方程的根。

在图像中，它们表示成抛物线与 x 轴的交点。

3. 如何通过公式求解根？掌握了二次方程根的概念后，就可以教授如何确定根的公式及其推导步骤。

其中，公式是 -b±√(b^2-4ac) / 2a。

在教学此步骤时，老师可以通过演示具体的求解过程来让学生更好地理解公式。

在老师演示完成后，可以要求学生完成几个基础的练习来验证他们掌握了公式的运用。

第10课一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系（教学案）启东市长江中学九年级数学组执教者:黄美娟复习目标:1•掌握用判别式判断一元二次方程的根的情况和用判别式确定方程中字母 系数的取值范围，会灵活运用判别式解决有关问题。

2•理解一元二次方程的根与系数的关系式，会用它解决有关简单问题。

复习重点：掌握根的判别式及根与系数关系.灵活运用配方法、因式分解法等数 学方法和降次、化归、方程、分类讨论的数学思想解决问题。

复习难点：根的判别式和根与系数关系的综合题；不遗漏、不重复地列出所解问 题应具备的条件，特别是不忽略隐含条件并注意对待定系数的检验。

—、预习交流复习书本P34-37, P40-41内容，完成【知识整理】和【基础扫描】 （一）、【知识整理】（二）、【基础扫描】1. （2011*福州）一元二次方程x （x-2） =0根的情况是（ ）A. 有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C •只有一个实数根 D.没有实数根 2. （2011・威海）关于x 的一元二次方程x?+ （m-2） x+m+l=0有两个相等的实数根，则m 的值是（）A.OB.8 CA±y{2 D.0 或 8 3・（2010-荆门市）若关于x 的方程a X 2+2X +1= 0有两个不等实数根，则实数a的取值范围 ________—元二次方程 ax - +bx+c=0(aH0)J4.（2010-眉山）已知方程x2 -5x+2=O的两个解分别为x |、x 2，Wljx1 + x2-x1・x2的值为（）A.-7B.-3C.7D.35.（2011-常州）已知关于x的方程x2+mx-6=0的一个根为2,则m= _________ ,另一个根是—6•已知£ , x?是一元二次方程X2-2X-1=0的两根，则x「+X2：= ________ , Xj +2 X2= __7.（2011-南充市）已知关于x的一元二次方程x:+2x+k+1= 0的实数解是X］和 X?.（1）求k的取值范围；（2）如果X1+X2-X1X2 且k为整数，求k的值.8.（2010*中山）已知关于x的一元二次方程x2-2x+m=0.（1）若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为xi, X2,且xi+3X2=3,求m的值.二、展示交流 1例1. （1） m为任意实数时，关于x的方程-x2-（m + \）x+m2 + 2m + 2 = 0 的根的情况是___________ 2（2） a,b,c分别是三角形的三边，则方程（a+b）x2+2cx + （a + b） = 0的根的情况是___________例2：已知关于x的一元二次方程（m-l）x2+x+l=0有实数根，则m的取值范围_______ °变式1：已知关于x的方程（m・l）x2+x+l=0有两个不相等实数根，则m的取值范围________变式2：已知关于x的方程（m-1） x2+x+l=0有两个实数根，则m的取值范围例3 (2010＞芜湖)已知A), x2是方程X2+3X +\= 0的两个实数根，求下列式子的值(l)(x ] - 2)(x 2 - 2) (2)x「+ Sx2 + 20例4已知关于x的一元二次方程x?+ (2m-1) x+m2 =0有两个实数根X】和x?・(1)求实数m的取值范围；(2)当(Xi + x?) • (Xj- x2) =0 时，求 m 的值.三、课堂小结1 •本课我们复习了哪些知识点？2 •解题时注意哪些问题？四、当堂检测1.（2011-潍坊）关于x的方程x2+2kx+k-l=O的根的情况描述正确的是（）A、k为任何实数，方程都没有实数根B、k为任何实数，方程都有两个不相等的实数抿C、k为任何实数，方程都有两个相等的实数根D、根据k的取值不同，方程根的悄况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种2.（2010*自贡）关于x的一元二次方程-X，+ （2m+l） x+l-m2=0无实数根,则m的取值范围是_________3.（2011-德州）若” X，是方程x2+x-l=0的两个根，贝9立+生二____________ ,Xi X.4•已知方程X2-2X+C=0的一个根是3,则方程的另一个根__________ c的值5•已知x,, X2是关于X的一元二次方程x2-6x+k=0的两个实数根，且 x「x22- x r x2=115.求 k 的值。

一元二次方程及根的定义1. 已知对于的方程的一个根为2，求另一个根及的值 .思路点拨：从一元二次方程的解的观点下手，将根代入原方程解的值，再代回原方程，解方程求出另一个根即可.解：将代入原方程，得即解方程，得当时，原方程都可化为解方程，得.因此方程的另一个根为4，或-1.总结升华：以方程的根为载点. 综合考察解方程的问题是一个常考问题，解这种问题关键是要抓住“根”的观点，并以此为打破口.贯通融会：【变式1】已知一元二次方程的一个根是，求代数式的值 .思路点拨：抓住为方程的一个根这一要点，运用根的观点解题.解：由于是方程的一个根,因此,故,,因此..总结升华：“方程”即是一个“等式”，在“等式”中，依据题目的需要，合理地变形，是一种对代数运算综合要求较高的能力，在这一方面注意丰富自己的经验.种类二、一元二次方程的解法2.用直接开平方法解以下方程：(1)3-27x 2=0； (2)4(1-x)2-9=0.解： (1)27x 2=3.(2)4(1-x)2=93.用配方法解以下方程：(1)；(2).解：(1) 由，得，，，因此，故.(2) 由，得，，，因此故4.用公式法解以下方程：(1)；(2)；(3).解： (1) 这里而且因此，因此，.(2) 将原方程变形为，则，因此，因此.(3) 将原方程睁开并整理得，这里，而且，因此.因此.总结升华：公式法解一元二次方程是解一元二次方程的一个要点，要求娴熟掌握，它对我们的运算能力有较高要求，也是提升我们运算能力训练的好素材.5.用因式分解法解以下方程：(1)；(2)；(3).解： (1)将原方程变形为提取公因式，得由于，因此因此或，故，，(2)直接提取公因式，得因此或，(即故.(3)直接用平方差公式因式分解得即因此或故.贯通融会：【变式 1】用适合方法解以下方程．(1)2(x+3)2=x(x+3) ；(2)x2-2x+2=0；(3)x 2-8x=0 ；(4)x2+12x+32=0.解： (1)2(x+3)2=x(x+3)2(x+3)2-x(x+3)=0(x+3)[2(x+3)-x]=0 (x+3)(x+6)=0x 1=-3 ， x2=-6 ．(2)x 2x+2=0 -2这里 a=1， b=-2，c=2b 2-4ac=(-2) 2- 4×1×2=12＞ 0x==x 1=+， x2=-(3)x(x-8)=0x 1=0， x2=8．(4)配方，得x2+12x+32+4=0+4(x+6)2=4x+6=2 或 x+6=-2x 1=-4 ， x2=-8 ．评论 : 要依据方程的特色灵巧采用方法解方程.6. 若，求的值 .思路点拨：察看，掌握要点：换元，即把解：由，得，当作一个“整体”.，，因此，故或(舍去)，因此.总结升华：把某一“式子”当作一个“整体”，用换元的思想转变为方程求解，这种转变与化归的意识要成立起来 .种类三、一元二次方程根的鉴别式的应用7.( 武汉 ) 一元二次方程4x2+3x-2=0 的根的状况是 ( )A. 有两个相等的实数根;B. 有两个不相等的实数根C. 只有一个实数根;D.没有实数根分析 : 由于△ =3 2- 4×4×(-2) ＞0，因此该方程有两个不相等的实数根.答案:B.8.( 重庆 ) 若对于 x 的一元二次方程 x2+x-3m=0 有两个不相等的实数根，则 m的取值范围是 ( )＞＜＞-＜-思路点拨：由于该方程有两个不相等的实数根，因此应知足.解 : 由题意，得△ =1 2- 4×1×(-3m) ＞ 0，解得 m＞ -.答案:C.贯通融会：【变式 1】当 m为何值时，对于x 的方程有实根.思路点拨：题设中的方程未指明是一元二次方程，仍是一元一次方程，因此应分和两种情况议论.解：当即时，，方程为一元一次方程，总有实根；当即时，方程有根的条件是：，解得∴当且时，方程有实根.综上所述：当时，方程有实根.【变式2】若对于 x 的一元二次方程 (a-2)x2-2ax+a+1=0 没有实数解，求ax+3＞ 0 的解集( 用含 a 的式子表示 ) ．思路点拨：要求 ax+3＞ 0 的解集，就是求ax＞ -3的解集，那么就转变为要判断 a 的值是正、负或0．由于一元二次方程(a-2)x 2没有实数根，即 (-2a)2-2ax+a+1=0-4(a-2)(a+1)＜0 便可求出 a 的取值范围．解：∵对于 x 的一元二次方程 (a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数根．∴(-2a) 2-4(a-2)(a+1)=4a2-4a 2+4a+8＜ 0∴知足∵a x+3＞ 0 即 ax＞ -3∴所求不等式的解集为.种类四、依据与系数的关系，求与方程的根相关的代数式的值9.( 河北 ) 若 x1， x2是一元二次方程2x2-3x+1=0 的两个根，则x12+x22的值是 ( )A. B. C.思路点拨 : 此题解法不独一，可先解方程求出两根，而后辈入22x1 +x2，求得其值 . 但一般不解方程，只需将所求代数式转变成含有x +x和 x x的代数式，再整体代入 .1212解 : 由根与系数关系可得x1+x2= ，x1·x2=2+x2222-2×=.，x1=(x 1+x2) -2x 1·x2=()答案:A.总结升华 : 公式之间的恒等变换要娴熟掌握.种类五、一元二次方程的应用考点解说：1．建立一元二次方程数学模型：一元二次方程也是刻画现实问题的有效数学模型，经过审题弄清详细问题中的数目关系，是建立数学模型，解决实质问题的要点．2．着重解法的选择与验根：在详细问题中要注意适合的选择解法，以保证解题过程简洁流利，特别要对方程的解注意查验，依据实质做出正确弃取，以保证结论的正确性．10.( 陕西 ) 在一幅长 80cm，宽 50cm 的矩形景色画的周围镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图. 假如要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x 知足的方程是()+130x-1400=0+65x-350=0=0=0分析 : 在矩形挂图的周围镶一条宽为xcm 的金边，那么挂图的长为(80+2x)cm ，? 宽为(50+2x)cm ，由题意，可得(80+2x)(50+2x)=5400 ，整理得2x +65x-350=0.答案:B.11.( 海口 ) 某水果批发商场经销一种高档水果，假如每千克盈余10 元，每日可售出 500 千克，经市场检查发现，在进货价不变的状况下，若每千克涨价 1 元，日销售量将减少 20 千克，现该商场要保证每日盈余6000 元，同时又要使顾客获得优惠，那么每千克应涨价多少元解：设每千克水果应涨价x 元，依题意，得(500-20x)(10+x)=6000．2要使顾客获得优惠，应取x=5．答：每千克应涨价 5 元．总结升华：应抓住“要使顾客获得优惠”这句话来弃取根的状况．12.( 深圳南山区 ) 课外植物小组准备利用学校库房旁的一块空地，开拓一个面积为130 平方米的花园( 如图 ) ，打算一面利用长为15 米的库房墙面，三面利用长为33 米的旧围栏，求花园的长和宽．解：设与墙垂直的两边长都为米，则另一边长为米，依题意得又∵当时，当时，∴不合题意，舍去．∴.答：花园的长为13 米，宽为10 米．。