机械能守恒2多物体机械能守恒问题

机械能守恒定律专题练习姓名：分数：专项练习题第一类问题：双物体系统的机械能守恒问题例1. （2007·江苏南京）如图所示，A 物体用板托着，位于离地面处，轻质细绳通过光滑定滑轮与A、B相连，绳子处于绷直状态，已知A 物体质量，B 物体质量，现将板抽走，A将拉动B上升，设A与地面碰后不反弹，B上升过程中不会碰到定滑轮，问：B 物体在上升过程中离地的最大高度为多大？（取）（例1）（例2）例2. 如图所示，质量分别为2m、m的两个物体A、B可视为质点，用轻质细线连接跨过光滑圆柱体，B着地A恰好与圆心等高，若无初速度地释放，则B上升的最大高度为多少？第二类问题：单一物体的机械能守恒问题例3. （2005年北京卷）是竖直平面内的四分之一圆弧形轨道，在下端B点与水平直轨道相切，如图所示，一小球自A点起由静止开始沿轨道下滑，已知圆轨道半径，不计各处摩擦，求：为R，小球的质量为m（1）小球运动到B点时的动能；（2）小球下滑到距水平轨道的高度为R时速度的大小和方向；（3）小球经过圆弧形轨道的B点和水平轨道的C点时，所受轨道支持力各是多大。

例4. （2007·南昌调考）如图所示，O点离地面高度为H，以O点为圆心，制作点等高的圆弧最高点滚下后水平抛出，试求：四分之一光滑圆弧轨道，小球从与O（1）小球落地点到O点的水平距离；（2）要使这一距离最大，R应满足何条件？最大距离为多少？第三类问题：机械能守恒与圆周运动的综合问题例5. 把一个小球用细线悬挂起来，就成为一个摆（如图所示），摆长为l ，最大偏角为，小球运动到最低位置时的速度是多大？（例5）（例6）例6. （2005·沙市）如图所示，用一根长为L 的细绳，一端固定在天花板上的O点，另一端系一小球A ，在O 点的正下方钉一钉子B ，当质量为m 的小球由水平位置静止释放后，小球运动到最低点时，细线遇到钉子B ，小球开始以B 为圆心做圆周运动，恰能过B 点正上方C ，求OB 的距离。

机械能守恒定律(系统的机械能守恒)系统的机械能守恒由两个或两个以上的物体所构成的系统，其机械能是否守恒，就看除了重力、弹力之外，系统内的各个物体所受到的各个力做功之和是否为零，为零，则系统的机械能守恒；做正功，系统的机械能就增加，做做多少正功，系统的机械能就增加多少；做负功，系统的机械能就减少，做多少负功，系统的机械能就减少多少。

系统间的相互作用力分为三类：1）刚体产生的弹力：比方轻绳的弹力，斜面的弹力，轻杆产生的弹力等2）弹簧产生的弹力：系统中包括有弹簧，弹簧的弹力在整个过程中做功，弹性势能参与机械能的转换。

3）其它力做功：比方炸药爆炸产生的冲击力，摩擦力对系统对功等。

在前两种情况中，轻绳的拉力，斜面的弹力，轻杆产生的弹力做功，使机械能在相互作用的两物体间进行等量的转移，系统的机械能还是守恒的。

虽然弹簧的弹力也做功，但包括弹性势能在内的机械能也守恒。

但在第三种情况下，由于其它形式的能参与了机械能的转换，系统的机械能就不再守恒了。

归纳起来，系统的机械能守恒问题有以下四个题型：〔1〕轻绳连体类〔2〕轻杆连体类〔3〕在水平面上可以自由移动的光滑圆弧类。

〔4〕悬点在水平面上可以自由移动的摆动类。

〔1〕轻绳连体类这一类题目，系统除重力以外的其它力对系统不做功，系统内部的相互作用力是轻绳的拉力，而拉力只是使系统内部的机械能在相互作用的两个物体之间进行等量的转换，并没有其它形式的能参与机械能的转换，所以系统的机械能守恒。

例：如图，倾角为 的光滑斜面上有一质量为M的物体，通过一根跨过定滑轮的细绳与质量为m的物体相连，开始时两物体均处于静止状态，且m离地面的高度为h，求它们开始运动后m着地时的速度？分析：对M 、m 和细绳所构成的系统，受到外界四个力的作用。

它们分别是：M 所受的重力Mg ，m 所受的重力mg ，斜面对M 的支持力N ，滑轮对细绳的作用力F 。

M 、m 的重力做功不会改变系统的机械能，支持力N 垂直于M 的运动方向对系统不做功，滑轮对细绳的作用力由于作用点没有位移也对系统不做功，所以满足系统机械能守恒的外部条件，系统内部的相互作用力是细绳的拉力，拉力做功只能使机械能在系统内部进行等量的转换也不会改变系统的机械能，故满足系统机械能守恒的外部条件。

两个物体组成的系统机械能守恒的求解方法作者：雷显宁李选涛来源：《读写算·基础教育研究》2016年第10期高考对机械能守恒定律的应用多数情况下考查的是两个物体组成的系统，这两个物体一般由细绳或轻杆连接在一起。

解决这类问题的关键从以下两个方面着手：1、判断机械能是否守恒（1）用做功来判断：分析物体或系统受力情况（包括内力和外力），明确各力做功的情况，若对物体或系统只有重力或弹簧弹力做功，没有其它力做功或其他力做功的代数和为零则机械能守恒。

（2）用能量转化来判定：若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体系统机械能守恒。

（3）对一些绳子突然绷紧，物体间非弹性碰撞等问题，除非题目特别说明，机械能必定不守恒。

【关键点拨】系统所受的合外力为零时，系统机械能不一定守恒。

如当物体在做竖直向上、向下等各方向匀速直线运动时，所受的合外力为零，但机械能不守恒。

2、求解方法求解这类问题的方法首先是找到两物体的速度关系从而确定系统动能的变化，其次找到两物体上升或下降的高度关系从而确定系统重力势能的变化，然后按照系统动能的变化等于重力势能的变化列方程求解，其中寻找两物体的速度关系是求解问题的关键，按两物体连接方式和速度关系一般可以分为以下三种：（1）速率相等的连接体：如图甲所示，A、B在运动过程中速度大小相等，根据系统减少的重力势能等于系统增加的动能列方程求解。

（2）角速度相等的连接体：如图乙所示，一轻质细杆的两端分别固定着A、B两小球，O 点是一垂直纸面的光滑水平轴，A、B在运动过程中角速度相等，其线速度的大小与半径成正比，根据系统减少的重力势能等于系统增加的动能列方程求解。

（3）某一方向分速度相等的连接体：如图丙所示，A放在光滑斜面上，B穿过竖直光滑杆PQ下滑，将B的速度v沿绳子和垂直绳子方向分解，如图丁所示，其中绳子的分速度vx 与A的速度大小相等，根据系统减少的重力势能等于系统增加的动能列方程求解。

机械能守恒类型题总结机械能守恒基础：1、选对错(1)克服重力做功，物体的重力势能一定增加．()(2)发生弹性形变的物体都具有弹性势能．()(3)物体速度增大时，其机械能可能在减小．()(4)物体所受合外力为零时，机械能一定守恒．()(5)物体受到摩擦力作用时，机械能一定要变化．()(6)物体只发生动能和势能的相互转化时，物体的机械能一定守恒．()【答案】(1)√(2)√(3)√(4)×(5)×(6)√2、关于重力势能，下列说法中正确的是()A．物体的位置一旦确定，它的重力势能的大小也随之确定B．物体与零势能面的距离越大，它的重力势能也越大C．一个物体的重力势能从－5 J变化到－3 J，重力势能减少了D．重力势能的减少量等于重力对物体做的功【答案】D3、(多选)关于弹性势能，下列说法中正确的是()A．任何发生弹性形变的物体，都具有弹性势能B．任何具有弹性势能的物体，一定发生了弹性形变C．物体只要发生形变，就一定具有弹性势能D．弹簧的弹性势能只跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关【答案】AB4、(2018·山东省泰安市上学期期中)下列几种运动中，机械能一定守恒的是()A．做匀速直线运动的物体B．做匀变速直线运动的物体C．做平抛运动的物体D．做匀速圆周运动的物体【答案】C【解析】做匀速直线运动的物体，动能不变，重力势能可能变化，机械能不一定守恒，故A错误；若是在水平面上的匀加速直线运动，动能增大，重力势能不变，则机械能不守恒，故B错误；做平抛运动的物体，只有重力做功，机械能必定守恒，故C正确；若物体在竖直平面内做匀速圆周运动，动能不变，重力势能在变化，机械能不守恒，故D错误．5、(多选)(2018·河南省郑州市质检)下列说法正确的是()A ．如果物体受到的合力为零，则其机械能一定守恒B ．如果物体受到的合力做功为零，则其机械能一定守恒C ．物体沿光滑曲面自由下滑的过程中，其机械能一定守恒D ．做匀加速运动的物体，其机械能可能守恒【答案】 CD【解析】 物体沿光滑曲面自由下滑的过程中，只有重力做功，所以机械能守恒，选项C 正确；做匀加速运动的物体，其机械能可能守恒，如自由落体运动，选项D 正确．6、(多选)如图所示，斜面体置于光滑水平地面上，其光滑斜面上有一物体由静止沿斜面下滑，在物体下滑过程中，下列说法正确的是( )A ．物体的重力势能减少，动能增加B ．斜面体的机械能不变C ．斜面体对物体的弹力垂直于接触面，不对物体做功D ．物体和斜面体组成的系统机械能守恒【答案】 AD【解析】 物体下滑过程中重力势能减少，动能增加，A 正确；地面光滑，斜面体会向右运动，动能增加，机械能增加，B 错误；斜面体对物体的弹力垂直于接触面，与物体的位移并不垂直，弹力对物体做负功，C 错误；物体与斜面体组成的系统，只有重力做功，系统的机械能守恒，D 正确．7、（高考题）如图所示，可视为质点的小球A 、B 用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上、半径为R 的光滑圆柱，A 的质量为B 的两倍．当B 位于地面上时，A 恰与圆柱轴心等高．将A 由静止释放，B 上升的最大高度是( )A ．2R B.5R 3 C.4R 3 D.2R 3【答案】 C【解析】 设B 球质量为m ，则A 球质量为2m ，A 球刚落地时，两球速度大小都为v ，根据机械能守恒定律得2mgR －mgR ＝12(2m ＋m )v 2，得v 2＝23gR ，B 球继续上升的高度h ＝v 22g＝R 3，B 球上升的最大高度为h ＋R ＝43R ，故选C.命题点1对守恒条件的理解1．在如图所示的物理过程示意图中，甲图中一端固定有小球的轻杆从右偏上30°角释放后绕光滑支点摆动；乙图为末端固定有小球的轻质直角架，释放后绕通过直角顶点的固定轴O 无摩擦转动：丙图为置于光滑水平面上的A、B两小车，B静止，A获得一向右的初速度后向右运动，某时刻连接两车的细绳绷紧，然后带动B车运动；丁图为置于光滑水平面上的带有竖直支架的小车，把用细绳悬挂的小球从图示位置释放，小球开始摆动．关于这几个物理过程(空气阻力忽略不计)，下列判断中正确的是()A．甲图中小球机械能守恒B．乙图中小球A的机械能守恒C．丙图中两车组成的系统机械能守恒D．丁图中小球的机械能守恒【解析】甲图所示过程中轻杆对小球不做功，小球的机械能守恒；乙图所示过程中轻杆对A的弹力不沿杆的方向，会对小球做功，所以小球A的机械能不守恒，但把两个小球作为一个系统时机械能守恒；丙图所示过程中绳子绷紧的过程虽然只有弹力作为内力做功，但弹力突变有内能转化，机械能不守恒；丁图所示过程中细绳也会拉动小车运动，取地面为参考系，小球的轨迹不是圆弧，细绳会对小球做功，小球的机械能不守恒，把小球和小车当作一个系统，机械能才守恒．【答案】A2、如图所示，将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水平面上，槽的左侧有一竖直墙壁．现让一小球自左端槽口A点的正上方由静止开始下落，小球从A点与半圆形槽相切进入槽内，则下列说法正确的是()A．小球在半圆形槽内运动的全过程中，只有重力对它做功B．小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，小球处于失重状态C．小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与槽组成的系统机械能守恒D．小球从下落到从右侧离开槽的过程中机械能守恒【答案】C【解析】 小球从A 点向半圆形槽的最低点运动的过程中，半圆形槽有向左运动的趋势，但实际上没有动，整个系统中只有重力做功，所以小球与槽组成的系统机械能守恒；小球过了半圆形槽的最低点以后，半圆形槽向右运动，系统没有其他形式的能量产生，满足机械能守恒的条件，所以系统的机械能守恒；小球从A 点至到达槽最低点过程中，小球先失重，后超重；小球由最低点向右侧最高点运动的过程中，半圆形槽也向右移动，半圆形槽对小球做负功，小球的机械能不守恒，故选项C 正确．3、如图所示，用一轻绳系一小球悬于O 点．现将小球拉至水平位置，然后释放，不计阻力，小球下落到最低点的过程中，下列表述正确的是( )A ．小球的机械能守恒B ．小球所受的合力不变C ．小球的动能不断减小D ．小球的重力势能增加【答案】A【解析】 小球在下落的过程中，受到重力和绳的拉力的作用，绳的拉力与小球的运动方向垂直，对小球不做功，只有重力做功，故在整个过程中小球的机械能守恒，选项A 正确；由于小球的速度变大，动能增加，所需的向心力变大，故小球所受的合力变大，选项B 、C 错误；小球的高度下降，重力势能减小，选项D 错误．4、如图所示，长度为l 的细线，一端固定于O 点，另一端拴一小球，先将细线拉直呈水平状态，使小球位于P 点，然后无初速度释放小球，当小球运动到最低点时，细线遇到在O 点正下方水平固定着的钉子K ，不计任何阻力，若要求小球能绕钉子在竖直面内做完整的圆周运动，则K 与O 点的距离可能是( )A.45l B ．34l C.12l D ．13l【解析】 设K 与O 点的距离为x ，则根据机械能守恒有mgl ＝12mv 20，若恰能完成完整的圆周运动，则12mv 20＝mg ·2(l －x )＋12mv 2，且mg ＝mv 2l －x，整理得x ＝35l ，因此K 与O 点的距离至少为35l ，因此A 、B 正确，C 、D 错误． 【答案】 AB第一类：单体机械能守恒问题命题点1 处理平抛与圆周运动相结合的问题1、(2017·课标卷Ⅱ，17)如图，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直．一小物块以速度v 从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时对应的轨道半径为(重力加速度大小为g )( )A.v 216gB ．v 28g C.v 24g D ．v 22g【解析】 设小物块的质量为m ，滑到轨道上端时的速度为v 1.小物块上滑过程中，机械能守恒，有12mv 2＝12mv 21＋2mgR Ⅱ 小物块从轨道上端水平飞出，做平抛运动，设水平位移为x ，下落时间为t ，有2R ＝12gt 2Ⅱ x ＝v 1t Ⅱ联立ⅡⅡⅡ式整理得x 2＝⎝⎛⎭⎫v 22g 2－⎝⎛⎭⎫4R －v 22g 2 可得x 有最大值v 22g ，对应的轨道半径R ＝v 28g.故选B. 【答案】 B2、(2018·山东泰安高三上学期期中)如图，在竖直平面内由14圆弧AB 和12圆弧BC 组成的光滑固定轨道，两者在最低点B 平滑连接．AB 弧的半径为R ，BC 弧的半径为R 2.一小球(可视为质点)在A 点正上方与A 相距R 2处由静止开始自由下落，经A 点沿圆弧轨道运动．求： (1)小球经B 点前后瞬间对轨道的压力大小之比； (2)小球离开C 点后，再经多长时间落在AB 弧上？【解析】 (1)设小球经过B 点时速度为v B ，根据机械能守恒定律得mg ⎝⎛⎭⎫R 2＋R ＝12mv 2B小球经过B 点前后，根据牛顿第二定律F N 1－mg ＝m v 2B R F N 2－mg ＝m v 2B R2由牛顿第三定律知，小球经过B 点前后对轨道的压力大小也分别与F N 1、F N 2相等 F ′N ＝F N整理得F ′N 1F ′N 2＝47. (2)设小球经过C 点时速度为v C ，根据机械能守恒定律得mg R 2＝12mv 2C设小球再次落到弧AB 时，沿水平方向的距离为x ，沿竖直方向下降的高度为h .根据平抛运动的规律可知x ＝v C t ，h ＝12gt 2 由几何关系知x 2＋h 2＝R 2整理得t ＝ 22－1R g . 【答案】 (1)47(2) 22－1R g 命题点2 处理多过程问题（含圆周、平抛运动的结合）1、(2016·课标卷Ⅱ，24)如图，在竖直平面内有由14圆弧AB 和12圆弧BC 组成的光滑固定轨道，两者在最低点B 平滑连接．AB 弧的半径为R ，BC 弧的半径为R 2.一小球在A 点正上方与A相距R 4处由静止开始自由下落，经A 点沿圆弧轨道运动．(1)求小球在B 、A 两点的动能之比；(2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C 点．【解析】 (1)设小球的质量为m ，小球在A 点的动能为E k A ，由机械能守恒可得E k A ＝mg R 4Ⅱ 设小球在B 点的动能为E k B ，同理有E k B ＝mg 5R 4Ⅱ 由ⅡⅡ联立可得E k B E k A＝5Ⅱ (2)若小球能沿轨道运动到C 点，则小球在C 点所受轨道的正压力N 应满足N ≥0Ⅱ设小球在C 点的速度大小为v C ，根据牛顿第二定律和向心加速度公式有N ＋mg ＝m v 2C R 2Ⅱ 联立ⅡⅡ式可得m 2v 2C R≥mg Ⅱ 根据机械能守恒可得mg R 4＝12mv 2CⅡ 根据ⅡⅡ式可知，小球恰好可以沿轨道运动到C 点．【答案】 (1)5 (2)小球恰好可以沿轨道运动到C 点2、如图所示，竖直平面内的一半径R ＝0.50 m 的光滑圆弧槽BCD ，B 点与圆心O 等高，一水平面与圆弧槽相接于D 点，质量m ＝0.10 kg 的小球从B 点正上方H ＝0.95 m 高处的A 点自由下落，由B 点进入圆弧轨道，从D 点飞出后落在水平面上的Q 点，DQ 间的距离x ＝2.4 m ，球从D 点飞出后的运动过程中相对水平面上升的最大高度h ＝0.80 m ，g 取10 m/s 2，不计空气阻力，求：(1)小球经过C 点时轨道对它的支持力大小F N ；(2)小球经过最高点P 的速度大小v P ；(3)D 点与圆心O 的高度差h OD .【解析】 (1)设经过C 点时速度为v 1，由机械能守恒有mg (H ＋R )＝12mv 21由牛顿第二定律有F N －mg ＝mv 21R代入数据解得F N ＝6.8 N.(2)P 到Q 做平抛运动有h ＝12gt 2，x 2＝v P t 代入数据解得v P ＝3.0 m/s.(3)由机械能守恒定律，有12mv 2P＋mgh ＝mg (H ＋h OD )，代入数据，解得h OD ＝0.30 m. 【答案】 (1)6.8 N (2)3.0 m/s (3)0.30 m3、(2018·湖南省株洲市上学期质检一)如图所示，半径为R 的光滑圆周轨道AB 固定在竖直平面内，O 为圆心，OA 与水平方向的夹角为30°，OB 在竖直方向．一个可视为质点的小球从O 点正上方某处以某一水平初速度向右抛出，小球恰好能无碰撞地从A 点进入圆轨道内侧，此后沿圆轨道运动到达B 点．已知重力加速度为g ，求：(不计空气阻力)(1)小球初速度的大小；(2)小球运动到B 点时对圆轨道压力的大小．【答案】 (1)gR 2(2)6mg 【解析】(1)设小球的初速度为v 0，飞行时间为t ，则在水平方向有R cos 30°＝v 0t在竖直方向有h 1＝12gt 2，v y ＝gt 小球运动到A 点时与轨道无碰撞，故tan 30°＝v 0v y联立解得v 0＝gR 2，h 1＝34R . (2)抛出点距轨道最低点的高度h ＝R ＋R sin 30°＋h 1设小球运动到最低点B 时速度为v ，圆轨道对小球的弹力为F N ，根据机械能守恒有mgh ＋12m v 02＝12m v 2 根据牛顿第二定律有F N －mg ＝m v 2R联立解得F N ＝6mg由牛顿第三定律得在B 点时小球对圆轨道的压力大小为F N ′＝F N ＝6mg .4、(2018·河南省南阳市上学期期末)如图所示，固定在竖直平面内的圆管形轨道的外轨光滑，内轨粗糙．一小球从轨道的最低点以初速度v 0向右运动，球的直径略小于圆管的直径，球运动的轨道半径为R ，空气阻力不计，重力加速度大小为g ，下列说法一定正确的是( )A ．若v 0<2gR ，小球运动过程中机械能不可能守恒B ．若v 0＝3gR ，小球运动过程中机械能守恒C ．若v 0<5gR ，小球不可能到达最高点D ．若v 0＝2gR ，小球恰好能到达最高点【答案】 B【答案】 若小球运动过程中机械能守恒，当小球恰好上升到与圆心等高处时，有：12m v 02＝mgR ，解得v 0＝2gR <2gR ，故A 错误；如果小球不挤压内轨，则小球到达最高点速度最小时，有mg ＝m v 2R ，从最低点到最高点过程中，由机械能守恒定律得：12m v 02＝12m v 2＋mg ·2R ，解得：v 0＝5gR ，则小球要不挤压内轨且做完整圆周运动，初速度应大于等于5gR ，此时小球机械能守恒，故B 正确；若小球的速度小于5gR ，也有可能做完整的圆周运动到达最高点，只是最终在圆心下方做往复运动，故C 错误；如果小球运动到最高点时速度为0，由机械能守恒定律得：12m v 02＝mg ·2R ，解得：v 0＝2gR ，由于内轨粗糙，如果小球运动到最高点时速度为0，一定受到摩擦力作用，故小球在到达最高点以前速度已为零，不能到达最高点，故D 错误．第二类：多体机械能守恒命题点1 绳连接物体系统机械能守恒问题1、如图所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m 的圆环，圆环与一橡皮绳相连，橡皮绳的另一端固定在地面上的A 点，橡皮绳竖直时处于原长h .让圆环沿杆滑下，滑到杆的底端时速度为零．则在圆环下滑过程中( )A ．圆环机械能守恒B．橡皮绳的弹性势能一直增大C．橡皮绳的弹性势能增加了mghD．橡皮绳再次达到原长时圆环动能最大【解析】圆环沿杆滑下，滑到杆的底端的过程中有两个力对圆环做功，即环的重力和橡皮绳的拉力，所以圆环的机械能不守恒，如果把圆环和橡皮绳组成的系统作为研究对象，则系统的机械能守恒，故A错误；橡皮绳的弹性势能随橡皮绳的形变量的变化而变化，由图知橡皮绳先缩短松弛后再伸长，故橡皮绳的弹性势能先不变再增大，故B错误；根据系统的机械能守恒，圆环的机械能减少了mgh，那么圆环的机械能的减少量等于橡皮绳的弹性势能增大量，为mgh，故C正确；在圆环下滑过程中，橡皮绳再次达到原长时，该过程中动能一直增大，但不是最大，沿杆方向合力为零的时刻，圆环的动能最大，故D错误．【答案】C2、如图所示，物块A与物块B通过一轻绳相连处在定滑轮两侧，物块A套在一光滑水平横杆上，用手按住A，此时轻绳与杆夹角为30°，物块B静止，现释放物块A，让其向右滑行，已知A、B质量均为m，定滑轮中心距横杆高度为h，忽略定滑轮大小，B始终未与横杆触碰，则下列说法中正确的为()A．B在下落过程中机械能守恒B．A物块的最大速度为2ghC．物块向右滑行过程中，绳对A的拉力的功率一直增大D．物块B的机械能最小时，物块A的动能最大【解析】B下落过程中，绳的拉力对B做负功，机械能不守恒，A错；当物体A到达滑轮正下方时，速度达到最大，此时v B＝0，v A最大且沿水平方向，C错；A、B组成的系统机械能守恒：mg(2h－h)＝12mv2A，v A＝2gh，此时B机械能最小，A动能最大，B、D对．【答案】BD3、(2018·山东临沂高三上学期期中)如图所示，表面光滑的固定斜面顶端安装一定滑轮，小物块A、B用轻绳连接并跨过滑轮(不计滑轮的质量和摩擦)．初始时刻，A、B处于同一高度并恰好处于静止状态．剪断轻绳后，A自由下落、B沿斜面下滑，则从剪断轻绳到物块着地，两物块()A ．速度的变化量大小相等B ．机械能的变化量不同C ．重力势能的变化量相同D ．重力做功的平均功率不同【解析】 两物块着地时速度大小相等，方向不同，落地时间不同，故速度变化量大小相等，A 对；机械能都守恒，变化量为零也相同，B 错；m A g ＝m B g sin θ，质量不同，重力势能变化量不同，C 错；t ＝1sin θ2h g ，P A ＝m A gh t A ，P B ＝m B gh t B也相同，D 错． 【答案】 A4、(2018·山东泰安高三上学期期中)如图所示，一轻绳通过无摩擦的小定滑轮O 与质量为m B 的小球B 连接，另一端与套在光滑竖直杆上质量为m A 的小物块A 连接，杆两端固定且足够长，物块A 由静止从图示位置释放后，先沿杆向上运动．设某时刻物块A 运动的速度大小为v A ，加速度大小为a A ，小球B 运动的速度大小为v B ，轻绳与杆的夹角为θ.则( )A ．vB ＝v A cos θ B ．a A ＝m B g cos θm A－gC ．小球B 减小的重力势能等于物块A 增加的动能D ．当物块A 上升到与滑轮等高时，它的机械能最大【解析】 将v A 分解为沿绳方向的速度大小即为v B 、垂直于绳方向的速度，则v B ＝v A ·cos θ，设绳中张力为T ，则T cos θ－m A g ＝m A a A ，T －m B g ＝m B a B ，故A 对，B 错；小球B 减小的重力势能等于A 增加的重力势能与系统增加的动能之和，C 错；A 上升到与滑轮等高时，机械能最大，D 对．【答案】 AD5、(多选)(2018·贵州省贵阳市5月适应性二)如图所示，不可伸长的轻绳通过定滑轮将物块甲、乙(均可视为质点)连接，物块甲套在固定的竖直光滑杆上，用外力使两物块静止，轻绳与竖直方向夹角θ＝37°，然后撤去外力，甲、乙两物块从静止开始运动，物块甲恰能上升到最高点P ，P 点与滑轮上缘O 在同一水平线上，甲、乙两物块质量分别为m 、M ，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度为g ，不计空气阻力，不计滑轮的大小和摩擦．设物块甲上升到最高点P 时加速度为a ，则下列说法正确的是( )A ．M ＝2mB ．M ＝3mC ．a ＝gD ．a ＝0 【答案】AC【解析】 设QP 间的距离为h ，OQ 间的绳长L ＝h cos 37°＝5h4，则乙下降的高度为h ′＝L －h tan37°＝h2，则根据机械能守恒定律可知mgh ＝Mgh ′，解得M ＝2m ，故A 正确，B 错误．甲上升到最高点P 时，由于不受摩擦力，所以在竖直方向上只受重力，水平方向上弹力与绳子的拉力平衡，因此甲的加速度为g ，故C 正确，D 错误．6、如图6所示，左侧竖直墙面上固定半径为R ＝0.3 m 的光滑半圆环，右侧竖直墙面上与圆环的圆心O 等高处固定一光滑直杆．质量为m a ＝100 g 的小球a 套在半圆环上，质量为m b ＝36 g 的滑块b 套在直杆上，二者之间用长为l ＝0.4 m 的轻杆通过两铰链连接．现将a 从圆环的最高处由静止释放，使a 沿圆环自由下滑，不计一切摩擦，a 、b 均视为质点，重力加速度g ＝10 m/s 2.求：图6(1)小球a 滑到与圆心O 等高的P 点时的向心力大小；(2)小球a 从P 点下滑至杆与圆环相切的Q 点的过程中，杆对滑块b 做的功． 【答案】 (1)2 N (2)0.194 4 J【解析】 (1)当a 滑到与圆心O 等高的P 点时，a 的速度v 沿圆环切线竖直向下，b 的速度为零，由机械能守恒可得：m a gR ＝12m a v 2解得v ＝2gR在P 点对小球a ，由牛顿第二定律可得： F n ＝m a v 2R＝2m a g ＝2 N(2)杆与圆环相切时，如图所示，此时a 的速度沿杆方向，设此时b 的速度为v b ，则知v a ＝v b cos θ由几何关系可得：cos θ＝ll 2＋R 2＝0.8 球a 下降的高度h ＝R cos θa 、b 及杆组成的系统机械能守恒：m a gh ＝12m a v a 2＋12m b v b 2－12m a v 2对滑块b ，由动能定理得：W ＝12m b v b 2＝0.194 4 J命题点2 杆连接物体系统机械能守恒问题1、(2016·课标卷Ⅱ，21)如图，小球套在光滑的竖直杆上，轻弹簧一端固定于O 点，另一端与小球相连．现将小球从M 点由静止释放，它在下降的过程中经过了N 点．已知在M 、N 两点处，弹簧对小球的弹力大小相等，且ⅡONM <ⅡOMN <π2.在小球从M 点运动到N 点的过程中，( )A ．弹力对小球先做正功后做负功B ．有两个时刻小球的加速度等于重力加速度C ．弹簧长度最短时，弹力对小球做功的功率为零D ．小球到达N 点时的动能等于其在M 、N 两点的重力势能差【解析】 由M 和N 两点处弹簧对小球的弹力大小相等，且ⅡONM <ⅡOMN <π2知M 处的弹簧处于压缩状态，N 处的弹簧处于伸长状态，则弹簧的弹力对小球先做负功后做正功，再做负功，选项A 错误．当弹簧水平时，竖直方向的力只有重力，加速度为g ；当弹簧恢复原长，竖直方向的合外力为mg 时，加速度也为g ，则有两个时刻的加速度大小等于g ，选项B 正确；弹簧长度最短时，即弹簧水平，弹力与速度垂直，则做功的功率为零，选项C 正确；由M →N 的动能定理W F k ＋W G ＝ΔE k ，知M 和N 两点处弹簧对小球的弹力大小相等，则由弹力做功特点知W F k ＝0，即W G ＝ΔE k ，选项D 正确．【答案】 BCD2、(2015·课标卷Ⅱ，21)如图，滑块a 、b 的质量均为m ，a 套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h ，b 放在地面上．a 、b 通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动．不计摩擦，a 、b 可视为质点，重力加速度大小为g .则( )A ．a 落地前，轻杆对b 一直做正功B ．a 落地时速度大小为2ghC ．a 下落过程中，其加速度大小始终不大于gD ．a 落地前，当a 的机械能最小时，b 对地面的压力大小为mg【解析】 滑块b 的初速度为零，末速度也为零，所以轻杆对b 先做正功，后做负功，选项A 错误；以滑块a 、b 及轻杆为研究对象，系统的机械能守恒，当a 刚落地时，b 的速度为零，则mgh ＝12mv 2a ＋0，即v a ＝2gh ，选项B 正确；a 、b 的先后受力分析如图所示．由a 的受力图可知，a 下落过程中，其加速度大小先小于g 后大于g ，选项C 错误；当a 落地前b 的加速度为零(即轻杆对b 的作用力为零)时，b 的机械能最大，a 的机械能最小，这时b 受重力、支持力，且F N b ＝mg ，由牛顿第三定律可知，b 对地面的压力大小为mg ，选项D 正确．3、如图所示，竖直平面内的半圆形光滑轨道，其半径为R .小球A 、B 质量分别为m A 、m B ，A 和B 之间用一根长为l (l ＜R )的轻杆相连，从图示位置由静止释放，球和杆只能在同一竖直面内运动，下列说法正确的是( )A ．若m A ＜mB ，B 在右侧上升的最大高度与A 的起始高度相同 B ．若m A ＞m B ，B 在右侧上升的最大高度与A 的起始高度相同C ．在A 下滑过程中轻杆对A 做负功，对B 做正功D ．A 在下滑过程中减少的重力势能等于A 与B 增加的动能【解析】 选轨道最低点为零势能点，根据系统机械能守恒条件可知A 和B 组成的系统机械能守恒，如果B 在右侧上升的最大高度与A 的起始高度相同，则有m A gh －m B gh ＝0，则有m A ＝m B ，故选项A 、B 错误；小球A 下滑、B 上升过程中小球B 机械能增加，则小球A 机械能减少，说明轻杆对A 做负功，对B 做正功，故选项C 正确；下滑过程中减少的重力势能等于B 上升过程中增加的重力势能和A 与B 增加的动能之和，故选项D 错误． 4、如图所示，半径为R 的光滑圆环固定在竖直平面内，C 是圆环最低点。

第八章 机械能守恒定律第四节 机械能守恒定律[核心素养·明目标]核心素养学习目标物理观念围绕功能关系的基本线索，建立“通过做功的多少，定量的研究能量及其相互转化”的观念，进而理解机械能守恒定律。

科学思维 初步学会从能量守恒的角度来解释物理现象，分析物理问题。

科学探究 体会自然界中“守恒”思想和利用“守恒”思想解决问题的方法。

科学态度与责任通过机械能守恒的学习，使学生树立科学观点，理解和利用自然规律，解决实际问题。

1.机械能(1)定义：物体的动能与重力势能(弹性势能)之和称为机械能。

(2)表达式：E ＝E p ＋E k ，其中E 表示机械能。

2.机械能守恒定律(1)内容：在只有重力或弹力这类力做功的情况下，物体系统的动能与势能相互转化，但机械能的总量保持不变。

(2)表达式：12mv 22＋mgh 2＝12mv 21＋mgh 1或E k2＋E p2＝E k1＋E p1。

3.机械能的理解(1)机械能⎩⎪⎨⎪⎧动能：E k＝12mv 2势能⎩⎪⎨⎪⎧重力势能：E p＝mgh 弹性势能(2)机械能的性质①状态量：做机械运动的物体在某一位置时，具有确定的机械能。

②相对性：其大小与参考系、零势能面的选取有关。

③系统性：是物体、地球和弹性系统所共有的。

(3)动能和势能可以相互转化。

4.守恒条件的理解只有重力或弹力做功的物体系统，可从三个方面理解： (1)受力：物体系统只受重力或弹力作用。

(2)做功：物体系统存在其他力作用，但其他力不做功，只有重力或弹力做功。

(3)转化：相互作用的物体组成的系统只有动能和势能的相互转化，无其他形式能量的转化。

注意：“只有重力或弹力做功”并非“只受重力或弹力作用”，也不是合力的功等于零，更不是某个物体所受的合力等于零。

知识点二 机械能守恒定律的应用 1.公式的证明如图，质量为m 的小球从光滑曲面上滑下。

当它到达高度为h 1的位置A 时，速度的大小为v 1，滑到高度为h 2的位置B 时，速度的大小为v 2。

一.必备知识精讲1.多物体组成的系统机械能守恒是否守恒的判断方法看是否有其他形式的能与机械能相互转化。

2．三种守恒表达式的比拟角度公式意义考前须知守恒观点E k1＋E p1＝E k2＋E p2系统的初状态机械能的总和与末状态机械能的总和相等初、末状态必须用同一零势能面计算势能转化观点ΔE k＝－ΔE p系统减少(或增加)的势能等于系统增加(或减少)的动能应用时关键在于分清势能的增加量或减少量，可不选零势能面而直接计算初、末状态的势能差转移观点ΔE A增＝ΔE B减假设系统由A、B两物体组成，那么A物体机械能的增加量与B物体机械能的减少量相等常用于解决两个或多个物体组成的系统的机械能守恒问题3．几种常见类型类型一：质量均匀的链条或柔软的绳索类型二：轻绳连接的物体系统(1)常见情景(2)三点提醒①分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。

(易错点)②用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。

③对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能那么可能守恒。

类型三：轻杆连接的物体系统(1)常见情景(2)三大特点①用杆连接的两个物体，其线速度大小一般有以下两种情况：a．假设两物体绕某一固定点做圆周运动，根据角速度ω相等确定线速度v的大小。

b．“关联速度法〞：两物体沿杆方向速度大小相等。

②杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。

③对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，那么系统机械能守恒。

类型四：几个接触的物体组成的连接体类型五：轻绳、物体轻弹簧组成的连接体〔下一节具体探讨〕二.典型例题精讲题型一：质量均匀的链条模型例1：一根质量为m、长为L的均匀链条一半放在光滑的水平桌面上，另一半悬在桌边，桌面足够高，如图a所示。

假设将一个质量也为m的小球分别拴在链条左端或右端，如图b、图c所示，约束链条的挡板光滑，三种情况下链条均由静止释放，当整根链条刚离开桌面时，设它们的速度分别为v a、v b、v c，那么关于v a、v b、v c的关系，以下判断中正确的选项是( )A ．v a ＝v b ＝v c B.v a <v b <v c C ．v c >v a >v b D.v a >v b >v c答案 C解析 设桌面下方L 处为零势能面。

机械能守恒（二）【典型例题1】如图34-1所示，密度为ρ的液体置于截面积为S 的均匀U 形管内，液柱长为4h ，两管内液柱高度差为h ，静止起释放液柱，阻力不计，求液柱运动的最大速度。

解答：当液柱运动到两边液面高度相同时速度最大，设整个液柱的质量为m ，对于势能的变化，我们可以认为是图中左管虚线以上的一块液柱移到了右管中虚线以下空缺部分，这块液柱的质量为m /8，重心高度改变量为h /2，则由机械能守恒定律得：m 8 ⨯g ⨯h 2 ＝12mv 2， 所以v ＝gh / 8 。

分析：大物体相当于物体系，物体系的机械能守恒通常用表达式∆E k ＝－∆E P 来解，另外大物体的势能改变量应看其重心位置的高度差。

【典型例题2】如图34-2所示，两小球A 、B 用细线相连后挂在半径为R 的光滑固定半柱面上，两小球恰在其水平直径两端，已知A 、B 两小球的质量关系是m B ＞m A ，静止起释放它们，当A 球运动到最高点时恰离开柱面，求：A 、B 两小球的质量之比m A ／m B 。

解答：在此过程中A 球上升高度为R ，B 球下降高度为πR2，设A 球经过最高点时的速度大小为v ，由A 球运动到最高点时恰离开柱面得：m A g ＝m v 2R ，则v ＝gR 。

又由机械能守恒定律得：m B g πR2 －m A gR ＝12（m A ＋m B ）v 2， 所以m B gπR2 －m A gR ＝12Rg （m A ＋m B ），即πm B －2m A ＝m A ＋m B ， 所以：m A m B ＝π－13。

【典型例题3】如图34-3所示，已知A 、B 、C 三小球质量均为m ，用长均为L 的细线相连后放于高为h 的光滑桌面上，已知L ＞h ，C 球恰在桌边外，且桌边有光滑挡板，使小球离开桌面后只能向下运动，静止起释放它们，求小球A 落地时的速度大小。

解答：第一个过程是三个小球一起运动，设小球C 到达地面时速度为v 1，由机械能守恒得：mgh ＝3⨯12 mv 12，则v 12＝2gh3，第二个过程是A 、B 两个小球一起运动，设小球B 到达地面时速度为v 2，由机械能守图34-1恒得：mgh ＝2⨯12 mv 22－2⨯12 mv 12，则v 22＝v 12＋gh ＝2gh 3 ＋gh ＝5gh3，第三个过程是A 小球运动，设小球A 到达地面时速度为v 3，由机械能守恒得：mgh ＝12mv 32－12 mv 22，则v 32＝v 22＋2gh ＝5gh 3 ＋2gh ＝11gh 3，分析：本题B 、C 分别落地时都有机械能损失，所以只能分成三个过程列机械能守恒方程。

多物体机械能守恒问题多物体机械能守恒问题是物理学中一个重要的概念。

根据能量守恒定律，对于一个孤立系统，机械能守恒，即系统中所有物体的机械能总和在时间上保持不变。

这个理论在解决各种实际问题中非常有用，尤其是在涉及多个物体之间相互作用的情况下。

在多物体的机械能守恒问题中，我们通常需要考虑物体之间的相对运动、动能和势能的转化以及可能存在的外力等因素。

通过对这些因素的仔细分析，我们可以确定系统中每个物体的运动情况，并且可以预测未来的运动状态。

首先，我们必须考虑每个物体的动能和势能的贡献。

动能是由物体的质量和速度决定的，而势能则取决于物体所处的位置。

在考虑动能和势能的转化时，我们必须考虑物体之间可能存在的弹性碰撞或摩擦等相互作用。

这些相互作用可能导致动能和势能的转移，从而影响系统的机械能总和。

其次，外力也是多物体机械能守恒问题中的一个关键因素。

外力可以改变物体的运动状态，从而影响机械能的守恒。

例如，当存在摩擦力时，物体会受到额外的耗散力，从而导致机械能的减小。

通过确定系统中每个物体的动能和势能以及考虑外力的影响，我们可以使用机械能守恒定律来解决多物体机械能守恒问题。

我们可以建立方程来表示系统中各个物体的机械能总和，并通过求解这些方程来确定系统的未来运动状态。

通过应用这个方法，我们可以预测多物体系统在任意时间点的位置和速度。

总而言之，多物体机械能守恒问题是一个涉及多个物体相互作用的复杂问题。

通过分析各个物体的动能和势能，考虑可能的相互作用和外力的影响，应用能量守恒定律，我们可以解决这些问题并预测多物体系统的运动状态。

这个概念在物理学的研究和应用中具有重要的意义和广泛的适用性。

机械能守恒应用2 多物体机械能守恒问题一、轻杆连接系统机械能守恒 1、模型构建轻杆两端各固定一个物体，整个系统一起沿斜面运动或绕某点转动或关联运动，该系统即为机械能守恒中的轻杆模型． 2、模型条件(1)．忽略空气阻力和各种摩擦．(2)．平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等，关联运动时沿杆方向速度相等。

3、模型特点(1)．杆对物体的作用力并不总是指向杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒． (2)．对于杆和球组成的系统，没有外力对系统做功，因此系统的总机械能守恒．例1．[转动]质量分别为m 和2m 的两个小球P 和Q ，中间用轻质杆固定连接，杆长为L ，在离P 球L3处有一个光滑固定轴O ，如图8所示．现在把杆置于水平位置后自由释放，在Q 球顺时针摆动到最低位置时，求：图8(1)小球P 的速度大小；(2)在此过程中小球P 机械能的变化量． 答案 (1)2gL 3 (2)增加49mgL 解析 (1)两球和杆组成的系统机械能守恒，设小球Q 摆到最低位置时P 球的速度为v ，由于P 、Q 两球的角速度相等，Q 球运动半径是P 球运动半径的两倍，故Q 球的速度为2v .由机械能守恒定律得 2mg ·23L －mg ·13L ＝12mv 2＋12·2m ·(2v )2，解得v ＝2gL3. (2)小球P 机械能增加量ΔE ＝mg ·13L ＋12mv 2＝49mgL[跟踪训练].如图5－3－7所示，在长为L 的轻杆中点A 和端点B 各固定一质量为m 的球，杆可绕无摩擦的轴O 转动，使杆从水平位置无初速度释放。

求当杆转到竖直位置时，轻杆对A 、B 两球分别做了多少功？图5－3－7解析：设当杆转到竖直位置时，A 球和B 球的速度分别为v A 和v B 。

如果把轻杆、两球组成的系统作为研究对象，那么由于杆和球的相互作用力做功总和等于零，故系统机械能守恒。

机械能守恒问题的解题技巧机械能守恒是物理学中的一个重要原理，用于解决与能量转化和守恒相关的问题。

本文将介绍机械能守恒问题的解题技巧，帮助读者更好地掌握它。

一、了解机械能守恒原理机械能守恒原理指出，在无外力做功的封闭系统中，刚体所具有的动能和势能之和保持不变。

这意味着系统内能量的转化只会导致动能和势能的相互转换，而总能量是守恒的。

二、确定系统边界在解决机械能守恒问题之前，我们首先要明确定义我们所关注的系统。

该系统可能是一个简单的物体，也可能是多个物体的集合。

确切地界定系统边界是解题的基础。

三、计算初始机械能与最终机械能在问题给出的初始条件下，计算系统的初始机械能。

机械能由动能和势能两部分组成，动能可通过物体的质量和速度来计算，势能可通过物体的高度和重力加速度来计算。

同样地，根据问题给出的最终条件，计算系统的最终机械能。

通过比较初始和最终机械能的差异，我们可以得出能量转化的结论。

四、考虑能量转化方式在机械能守恒问题中，能量可以通过多种方式进行转化，例如势能转化为动能，动能转化为势能，或者机械能转化为其他形式的能量损失。

根据问题的描述和给定条件，确定能量的转化方式，并正确计算每种转化的量。

这样一来，我们就能更好地理解能量在系统内的转换过程。

五、利用机械能守恒方程求解问题在确定了系统的边界、计算了初始和最终机械能，并考虑了能量转化方式之后，我们可以利用机械能守恒的方程来解决问题。

根据机械能守恒原理，系统的初始机械能等于最终机械能，即初始机械能 = 最终机械能通过代入相应的数值和符号，我们可以求解出未知量，解决问题。

六、注意能量损失在实际情况下，机械能守恒往往不完全成立。

系统可能会存在能量损失，例如由于摩擦力的作用导致能量转化为热能。

在解题过程中，我们应该注意这些能量损失，并根据问题描述进行相应的修正。

这样可以使解题结果更为准确和合理。

七、多练习，熟能生巧机械能守恒问题涉及到多个概念和计算步骤，因此多做练习是掌握解题技巧的重要方法。