上海市奉贤区2018届最新九年级上期末考试数学试题(含答案)

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，在平面直角坐标系中，点A ，C 在x 轴上，点C 的坐标为（﹣1，0），AC=1．将Rt △ABC 先绕点C 顺时针旋转90°，再向右平移3个单位长度，则变换后点A 的对应点坐标是（ ）A ．（1，1）B ．（1，1）C ．（﹣1，1）D ．（1，﹣1）【答案】A 【分析】根据旋转变换的性质得到旋转变换后点A 的对应点坐标，根据平移的性质解答即可．【详解】∵点C 的坐标为（﹣1，0），AC=1，∴点A 的坐标为（﹣3，0），如图所示，将Rt △ABC 先绕点C 顺时针旋转90°，则点A′的坐标为（﹣1，1），再向右平移3个单位长度，则变换后点A′的对应点坐标为（1，1），故选A ．【点睛】本题考查的是坐标与图形变化旋转和平移，掌握旋转变换、平移变换的性质是解题的关键． 2．抛物线23123y x x =-+-的顶点坐标是（ ）A ．（2，9）B ．（2，-9）C ．（-2，9）D ．（-2，-9）【答案】A【分析】把抛物线解析式化为顶点式即可求得答案．【详解】∵223123=3(2)9y x x x =-+---+，∴顶点坐标为（2，9）．故选：A ．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解答此题的关键，即在2()y a x h k =-+中，对称轴为x=h ，顶点坐标为（h ，k ）．3．如图，ABCD 是矩形纸片，翻折∠B ，∠D ，使AD ，BC 边与对角线AC 重叠，且顶点B ，D 恰好落在同一点O 上，折痕分别是CE ，AF ，则AE EB等于（ ）A 3B ．2C ．1.5D 2【答案】B 【详解】解：∵ABCD 是矩形，∴AD=BC ，∠B=90°，∵翻折∠B ，∠D ，使AD ，BC 边与对角线AC 重叠，且顶点B ，D 恰好落在同一点O 上，∴AO=AD ，CO=BC ，∠AOE=∠COF=90°，∴AO=CO ，AC=AO+CO=AD+BC=2BC ，∴∠CAB=30°，∴∠ACB=60°，∴∠BCE=12∠ACB=30°， ∴BE=12CE ， ∵AB ∥CD ，∴∠OAE=∠FCO ，在△AOE 和△COF 中，∵∠OAE=∠FCO ，AO=CO ，∠AOE=∠COF ，∴△AOE ≌△COF ，∴OE=OF ，∴EF 与AC 互相垂直平分，∴四边形AECF 为菱形，∴AE=CE ，∴BE=12AE ， ∴12AE AE EB AE ==2， 故选B ．【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题）．4．如图，Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝2，则cosA ＝（ ）A ．32B ．23C ．21313D ．3133【答案】D【分析】根据勾股定理求出AC ，根据余弦的定义计算得到答案． 【详解】由勾股定理得，AC ＝22AB BC +＝2232+＝13，则cosA ＝AB AC ＝13＝31313， 故选：D ．【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A 的邻边b 与斜边c 的比叫做∠A 的余弦是解题的关键． 5．二次函数2y ax bx c =++图象如图所示，下列结论：①240b ac ->；②20a b +=；③0abc >；④420a b c ++>；⑤230ax bx c ++-=有两个相等的实数根，其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【分析】根据图象与x 轴有两个交点可判定①；根据对称轴为12b a-=可判定②；根据开口方向、对称轴和与y 轴的交点可判定③；根据当0x =时0y >以及对称轴为1x =可判定④；利用二次函数与一元二次方程的联系可判定⑤．【详解】解：①根据图象与x 轴有两个交点可得240b ac ->，此结论正确；②对称轴为12b a-=，即2b a =-，整理可得20a b +=，此结论正确； ③抛物线开口向下，故0a <，所以20b a =->，抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴，所以0c >，故0abc <，此结论错误；④当0x =时0y >，对称轴为1x =，所以当2x =时0y >，即420a b c ++>，此结论正确； ⑤当3y =时，只对应一个x 的值，即230ax bx c ++-=有两个相等的实数根，此结论正确； 综上所述，正确的有4个，故选：D ．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数与一元二次方程，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．6．若关于x 的函数y=（3-a ）x 2-x 是二次函数，则a 的取值范围( )A ．a≠0B ．a≠3C ．a ＜3D ．a ＞3 【答案】B【分析】根据二次函数的定义，二次项系数不等于0列式求解即可．【详解】根据二次函数的定义，二次项系数不等于0，3-a ≠0，则a≠3，故选B【点睛】本题考查二次函数的定义，熟记概念是解题的关键．7．已知二次函数()22y x a b =---的图象如图所示，则反比例函数ab y x=与一次函数y ax b =+的图象可能是 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】观察二次函数图象，找出a ＞0，b ＞0，再结合反比例函数、一次函数图象与系数的关系，即可得出结论．【详解】观察二次函数图象，发现：抛物线()22y x a b =---的顶点坐标()a b -，在第四象限，即00a b >-<，， ∴0a >，0b >． ∵反比例函数ab y x=中0ab >， ∴反比例函数图象在第一、三象限；∵一次函数0y ax b a =+>，，0b >，∴一次函数y ax b =+的图象过第一、二、三象限．故选：B ．【点睛】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，解题的关键是根据二次函数的图象找出0a >，0b >．解决该题型题目时，熟记各函数图象的性质是解题的关键．8．下列事件中，属于必然事件的是（ ）A ．明天的最高气温将达35℃B ．任意购买一张动车票，座位刚好挨着窗口C ．掷两次质地均匀的骰子，其中有一次正面朝上D ．对顶角相等【答案】D【解析】A 、明天最高气温是随机的，故A 选项错误；B 、任意买一张动车票，座位刚好挨着窗口是随机的，故B 选项错误；C 、掷骰子两面有一次正面朝上是随机的，故C 选项错误；D 、对顶角一定相等，所以是真命题，故D 选项正确.【详解】解：“对顶角相等”是真命题，发生的可能性为100%，故选：D ．【点睛】本题的考点是随机事件.解决本题需要正确理解必然事件的概念：必然事件指在一定条件下一定发生的事件.9．如果零上2℃记作＋2℃，那么零下3℃记作（ ）A ．－3℃B ．－2℃C ．＋3℃D ．＋2℃【答案】A【分析】一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示.【详解】∵“正”和“负”相对，∴如果零上2℃记作＋2℃，那么零下3℃记作－3℃.故选A.10．如图是半径为2的⊙O 的内接正六边形ABCDEF ，则圆心O 到边AB 的距离是（ ）A．2 B．1 C．3D．3 2【答案】C【分析】过O作OH⊥AB于H，根据正六边形ABCDEF的性质得到∠AOB＝3606︒＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠AOH＝30°，AH＝12AB＝1，于是得到结论．【详解】解：过O作OH⊥AB于H，在正六边形ABCDEF中，∠AOB＝3606︒＝60°，∵OA＝OB，∴∠AOH＝30°，AH＝12AB＝1，∴OH＝3AH＝3，故选：C．【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，等腰三角形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．11．关于x的一元二次方程210x mx--=的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．不能确定【答案】A【分析】根据根的判别式即可求解判断.【详解】∵△=b2-4ac=m2+4＞0，故方程有两个不相等的实数根，故选A.【点睛】此题主要考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟知判别式的性质.12．已知关于x 的一元二次方程2x 2x a 0+-=有两个相等的实数根，则a 的值是（ ）A ．4B ．﹣4C ．1D ．﹣1【答案】D【详解】解：根据一元二次方程根的判别式得，△()224a 0=-⋅-=， 解得a=﹣1．故选D ．二、填空题（本题包括8个小题）13．如图所示，△ABC 是⊙O 的内接三角形，若∠BAC 与∠BOC 互补，则∠BOC 的度数为_____．【答案】120°【分析】利用圆周角定理得到∠BAC ＝12∠BOC ，再利用∠BAC+∠BOC ＝180°可计算出∠BOC 的度数． 【详解】解：∵∠BAC 和∠BOC 所对的弧都是BC ，∴∠BAC ＝12∠BOC ∵∠BAC+∠BOC ＝180°， ∴12∠BOC+∠BOC ＝180°， ∴∠BOC ＝120°．故答案为：120°．【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解决本题的关键．14．如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝6cm ，AD ＝10cm ，点E 、F 在矩形ABCD 的边AB 、AD 上运动，将△AEF 沿EF 折叠，使点A′在BC 边上，当折痕EF 移动时，点A′在BC 边上也随之移动．则A′C 的取值范围为_____．【答案】4cm≤A′C≤8cm【分析】根据矩形的性质得到∠C＝90°，BC＝AD＝10cm，CD＝AB＝6cm，当折痕EF移动时，点A’在BC边上也随之移动，由此得到：点E与B重合时，A′C最小，当F与D重合时，A′C最大，据此画图解答.【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，BC＝AD＝10cm，CD＝AB＝6cm，当点E与B重合时，A′C最小，如图1所示：此时BA′＝BA＝6cm，∴A′C＝BC﹣BA′＝10cm﹣6cm＝4cm；当F与D重合时，A′C最大，如图2所示：此时A′D＝AD＝10cm，∴A′C＝22＝8（cm）；106综上所述：A′C的取值范围为4cm≤A′C≤8cm．故答案为：4cm≤A′C≤8cm．【点睛】此题考查折叠问题，利用了矩形的性质，解题中确定点E与F的位置是解题的关键.15．如图，矩形纸片ABCD中，AD＝5，AB＝1．若M为射线AD上的一个动点，将△ABM沿BM折叠得到△NBM．若△NBC是直角三角形．则所有符合条件的M点所对应的AM长度的和为_____．【答案】5．【分析】根据四边形ABCD为矩形以及折叠的性质得到∠A=∠MNB=90°，由M为射线AD上的一个动点可知若△NBC是直角三角形，∠NBC=90°与∠NCB=90°都不符合题意，只有∠BNC=90°．然后分 N在矩形ABCD 内部与 N在矩形ABCD外部两种情况进行讨论，利用勾股定理求得结论即可．【详解】∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD＝90°，∵将△ABM沿BM折叠得到△NBM，∴∠MAB＝∠MNB＝90°．∵M为射线AD上的一个动点，△NBC是直角三角形，∴∠NBC＝90°与∠NCB＝90°都不符合题意，∴只有∠BNC＝90°．①当∠BNC＝90°，N在矩形ABCD内部，如图3．∵∠BNC＝∠MNB＝90°，∴M、N、C三点共线，∵AB ＝BN ＝3，BC ＝5，∠BNC ＝90°，∴NC ＝4．设AM ＝MN ＝x ，∵MD ＝5﹣x ，MC ＝4+x ，∴在Rt △MDC 中，CD 5+MD 5＝MC 5，35+（5﹣x ）5＝（4+x ）5，解得x ＝3；当∠BNC ＝90°，N 在矩形ABCD 外部时，如图5．∵∠BNC ＝∠MNB ＝90°，∴M 、C 、N 三点共线，∵AB ＝BN ＝3，BC ＝5，∠BNC ＝90°，∴NC ＝4，设AM ＝MN ＝y ，∵MD ＝y ﹣5，MC ＝y ﹣4，∴在Rt △MDC 中，CD 5+MD 5＝MC 5，35+（y ﹣5）5＝（y ﹣4）5，解得y ＝9，则所有符合条件的M 点所对应的AM 和为3+9＝5．故答案为5．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质以及勾股定理，难度适中．利用数形结合与分类讨论的数学思想是解题的关键．16．当x_____时，|x ﹣2|＝2﹣x ．【答案】≤2【分析】由题意可知x ﹣2为负数或0，进而解出不等式即可得出答案.【详解】解：由|x ﹣2|＝2﹣x ，可得20x -≤，解得：2x ≤.故答案为：≤2.【点睛】本题考查绝对值性质和解不等式，熟练掌握绝对值性质和解不等式相关知识是解题的关键.17．在 ABC 中， 6AB = ， 5AC = ，点D 在边AB 上，且 2AD = ，点E 在边AC 上，当 AE =________时，以A 、D 、E 为顶点的三角形与 ABC 相似． 【答案】51235或 【解析】当AE AB AD AC =时， ∵∠A=∠A ，∴△AED ∽△ABC ，此时AE=·621255AB AD AC ⨯==； 当AD AB AE AC =时， ∵∠A=∠A ，∴△ADE ∽△ABC ，此时AE=·52563AC AD AB ⨯==； 故答案是：12553或. 18．如图，公路互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为2.4km ，则两点间的距离为______km.【答案】1.1【解析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得MC= AB=1.1km ．【详解】∵在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，M 为AB 的中点，∴MC=AB=AM=1.1(km).故答案为：1.1．【点睛】此题考查直角三角形的性质，解题关键点是熟练掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，理解题意，将实际问题转化为数学问题是解题的关键.三、解答题（本题包括8个小题）19．已知：如图，将△ADE 绕点A 顺时针旋转得到△ABC ，点E 对应点C 恰在D 的延长线上，若BC ∥AE ．求证：△ABD 为等边三角形．【答案】证明见解析．【分析】由旋转的性质可得ACB E ∠=∠，AC AE =，可得E ACE ∠=∠，由平行线的性质可得180BCE E ∠+∠=︒，可得60E ∠=︒，则可求60BAD ∠=︒，可得结论．【详解】解：由旋转知：△ADE ≌△ABC ，∴∠ACB ＝∠E ，AC ＝AE ，∴∠E ＝∠ACE ，又BC ∥AE ，∴∠BCE+∠E ＝180°，即∠ACB+∠ACE+∠E ＝180°，∴∠E ＝60°，又AC ＝AE ，∴△ACE 为等边三角形，∴∠CAE ＝60°又∠BAC ＝∠DAE∴∠BAD ＝∠CAE ＝60°又AB ＝AD∴△ABD 为等边三角形．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，平行线的性质等知识，求出60CAE ∠=︒是本题的关键． 20．一个二次函数的图象经过(3，1)，(0，-2)，(-2，6)三点．求这个二次函数的解析式并写出图象的顶点．【答案】二次函数为222y x x -=-，顶点(1,-3)．【分析】先设该二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c （a ≠0），利用待定系数法求a ，b ，c 的值，得到二次函数的解析式，然后化为顶点式，即可得到顶点坐标．【详解】解：∵二次函数的图象经过(0,-2)，可设所求二次函数为22y ax bx =+-， 由已知，函数的图象不经过(3,1)，(-2,6)两点，可得关于a 、b 的二元一次方程组9321,422 6.a b a b +-=⎧⎨--=⎩解这个方程，得1,2.a b =⎧⎨=-⎩∴二次函数为：222y x x -=-；化为顶点式得：2(1)3y x =--∴顶点为：(1,3)-．【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，同时还考查了方程组的解法以及顶点公式求法等知识，难度不大．21．将一元二次方程232=1x x --化为一般形式，并求出根的判别式的值．【答案】23210x x -+=，-8【分析】先移项，将方程化为一般式，然后算判别式的大小可得．【详解】解：将方程化为一般形式为:23210x x -+=∴a=3,b=－2,c=1∴ 根的判别式的值为224(2)4318b ac -=--⨯⨯=-．【点睛】本题考查一元二次方程的化简和求解判别式，注意此题的判别式为负数，即表示方程无实数根． 22．如图所示的双曲线是函数3(m y m x-=为常数，0x >)图象的一支若该函数的图象与一次函数1y x =+的图象在第一象限的交点为()2,A n ，求点A 的坐标及反比例函数的表达式．【答案】点A 的坐标为()2,3；反比例函数的表达式为6y x=． 【分析】先将x=2代入一次函数1y x =+中可得，点A 的坐标为()2,3，再将点A 的坐标代入3m y x -=可得反比例函数的解析式．【详解】解：点()2,A n 在一次函数1y x =+的图象上，213,n ∴=+=∴点A 的坐标为()2,3．又点A 在反比例函数3(m y m x-=为常数，0x >)的图象上，3236,m ∴-=⨯=∴反比例函数的表达式为6y x=． 【点睛】本题考查反比例函数和一次函数的交点问题和解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．23．解下列方程：210252(5)x x x -+=-【答案】x 1=5，x 2=1．【解析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【详解】x 2-10x+25=2（x-5），（x-5）2-2（x-5）=0，（x-5）（x-5-2）=0，x-5=0，x-5-2=0，x 1=5，x 2=1．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．24．如图，抛物线y=ax 2 +bx+ 4与x 轴的两个交点分别为A （－4，0）、B （2，0），与y 轴交于点C ，顶点为D ．E （1，2）为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于F 、G ．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D 的坐标；（2）在直线EF 上求一点H ，使△CDH 的周长最小，并求出最小周长；（3）若点K 在x 轴上方的抛物线上运动，当K 运动到什么位置时，△EFK 的面积最大？并求出最大面积．【答案】（1）2142y x x =--+顶点D 的坐标为（－1，92） （2）H （34，158） （2）K （－32，358） 【分析】（1）将A 、B 的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值，进而可用配方法求出其顶点D 的坐标；（2）根据抛物线的解析式可求出C 点的坐标，由于CD 是定长，若△CDH 的周长最小，那么CH+DH 的值最小，由于EF 垂直平分线段BC ，那么B 、C 关于直线EF 对称，所以BD 与EF 的交点即为所求的H 点；易求得直线BC 的解析式，关键是求出直线EF 的解析式；由于E 是BC 的中点，根据B 、C 的坐标即可求出E 点的坐标；可证△CEG ∽△COB ，根据相似三角形所得的比例线段即可求出CG 、OG 的长，由此可求出G 点坐标，进而可用待定系数法求出直线EF 的解析式，由此得解；（2）过K 作x 轴的垂线，交直线EF 于N ；设出K 点的横坐标，根据抛物线和直线EF 的解析式，即可表示出K 、N 的纵坐标，也就能得到KN 的长，以KN 为底，F 、E 横坐标差的绝对值为高，可求出△KEF 的面积，由此可得到关于△KEF 的面积与K 点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出其面积的最大值及对应的K 点坐标.【详解】（1）由题意，得164404240a b a b -+=⎧⎨++=⎩解得12a =-，b=－1． 所以抛物线的解析式为2142y x x =--+，顶点D 的坐标为（－1，92）． （2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ．因为EF 垂直平分BC ，即C 关于直线EG 的对称点为B ，连结BD 交于EF 于一点，则这一点为所求点H ，使DH+CH 最小，即最小为=2CD ==． ∴△CDH 的周长最小值为CD+DR+CH=2． 设直线BD 的解析式为y=k 1x+b ，则11112092k b k b +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩解得132k =-，b 1= 2． 所以直线BD 的解析式为y=32-x+ 2． 由于Rt △CEG ∽△COB ，得CE:CO=CG:CB ，所以CG= 2.3，GO= 1.3．G （0，1.3）．同理可求得直线EF 的解析式为y=12x+32． 联立直线BD 与EF 的方程，解得使△CDH 的周长最小的点H （34，158）． （2）设K （t ，2142t t --+），x F ＜t ＜x E ．过K 作x 轴的垂线交EF 于N ． 则KN=y K －y N =2142t t --+－（12t+32）=2135222t t --+．所以S △EFK =S △KFN +S △KNE =12KN （t+ 2）+12KN （1－t ）= 2KN= －t 2－2t+ 3 =－（t+32）2+294． 即当t=－32时，△EFK 的面积最大，最大面积为294，此时K （－32，358）． 【点睛】 本题是二次函数的综合类试题，考查了二次函数解析式的确定、轴对称的性质、相似三角形的判定和性质、三角形面积的求法、二次函数的应用等知识，难度较大．25．如图，在平面直角坐标系中，已知ABC ∆三个顶点的坐标分别是()4,2A -， ()3,1B -，()1,2C -． （1）请画出ABC ∆关于x 轴对称的111A B C ∆；（2）以点O 为位似中心，相似比为1:2，在y 轴右侧，画出111A B C ∆放大后的222A B C ∆；【答案】（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）利用关于x 轴对称点的性质:横坐标相等,纵坐标互为相反数可以求出.（2）利用位似图像的性质得出对应点位置.【详解】如图所示：画出ABC ∆轴对称的111A B C ∆．画出111A B C ∆放大后的位似222A B C ∆．【点睛】本题考查了关于对称轴对称的点的性质以及位似的性质.26．解方程：（1）2x 2+3x ﹣1＝0（2）1122 xx x-=+-【答案】（1）x1＝3174-+，x2＝3174--；（2）x＝23【分析】（1）将方程化为一般形式a x2+bx+c=0确定a，b，c的值，然后检验方程是否有解，若有解，代入公式即可求解；（2）最简公分母是（x+2）（x﹣2），去分母，转化为整式方程求解，需检验结果是否为原方程的解；【详解】解：（1）∵a=2，b=3，c=-1，∴∆=b2﹣4ac＝32﹣4×2×（﹣1）＝17＞0，∴x＝-b-317=±∆±，∴x1＝3174-+，x2＝3174--；（2）方程两边都乘以（x+2）（x﹣2）得：x（x﹣2）﹣（x+2）（x﹣2）＝x+2，解得：x＝23，检验：当x＝23时，（x+2）（x﹣2）≠0，所以x＝23是原方程的解；【点睛】本题主要考查了解一元二次方程-公式法，解分式方程，掌握解一元二次方程-公式法，解分式方程是解题的关键.27．公司经销的一种产品，按要求必须在15天内完成销售任务．已知该产品的销售价为62元/件，推销员小李第x天的销售数量为y件，y与x满足如下关系：y＝8(05)510(515) x xx x⎧⎨+<⎩（1）小李第几天销售的产品数量为70件？（2）设第x天销售的产品成本为m元/件，m与x的函数图象如图，小李第x天销售的利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出第几天时利润最大，最大利润是多少？【答案】（1）小李第1天销售的产品数量为70件；（2）第5天时利润最大，最大利润为880元．【分析】（1）根据y和x的关系式，分别列出方程并求解，去掉不符合情况的解后，即可得到答案;（2）根据m 与x 的函数图象，列出m 与x 的关系式并求解系数；然后结合利润等于售价减去成本后再乘以销售数量的关系，利用一元一次函数和一元二次函数的性质，计算得到答案．【详解】（1）如果8x ＝70得x ＝354＞5，不符合题意； 如果5x+10＝70得x ＝1．故小李第1天销售的产品数量为70件；（2）由函数图象可知：当0≤x≤5，m ＝40当5＜x≤15时，设m ＝kx+b将（5，40）（15，60）代入，得5401560k b k b +=⎧⎨+=⎩∴2k =且b=30∴m ＝2x+30①当0≤x≤5时w ＝（62﹣40）•8x ＝176x∵w 随x 的增大而增大∴当x ＝5时，w 最大为880；②当5＜x≤15时w ＝（62﹣2x ﹣30）（5x+10）＝﹣10x 2+140x+320∴当x ＝7时，w 最大为810∵880＞810∴当x ＝5时，w 取得最大值为880元故第5天时利润最大，最大利润为880元．【点睛】本题考察了从图像获取信息、一元一次函数、一元二次函数的知识；求解本题的关键为熟练掌握一元一次和一元二次函数的性质，并结合图像计算得到答案．九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图是一个正方体被截去一角后得到的几何体，从上面看得到的平面图形是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据俯视图是从上面看到的图形可得俯视图为正方形以及右下角一个三角形．【详解】从上面看，是正方形右边有一条斜线，如图：故选B ．【点睛】考查了三视图的知识，根据俯视图是从物体的上面看得到的视图得出是解题关键．2．如图， 抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A （-1,0），顶点坐标（1，n ）与y 轴的交点在（0,2），（0,3）之间（包 含端点），则下列结论：①30a b +<；②213a -≤≤-；③对于任意实数m ，a+b≥am 2+bm 总成立；④关于x 的方程21ax bx c n ++=-有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为( )A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个【答案】D 【解析】利用抛物线开口方向得到a ＜0，再由抛物线的对称轴方程得到b=-2a ，则3a+b=a ，于是可对①进行判断；利用2≤c≤3和c=-3a 可对②进行判断；利用二次函数的性质可对③进行判断；根据抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=n-1有两个交点可对④进行判断．【详解】∵抛物线开口向下，∴a ＜0，而抛物线的对称轴为直线x=-b2a=1，即b=-2a，∴3a+b=3a-2a=a＜0，所以①正确；∵2≤c≤3，而c=-3a，∴2≤-3a≤3，∴-1≤a≤-23，所以②正确；∵抛物线的顶点坐标（1，n），∴x=1时，二次函数值有最大值n，∴a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am2+bm，所以③正确；∵抛物线的顶点坐标（1，n），∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n-1有两个交点，∴关于x的方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，所以④正确．故选D．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a 与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．3．二次函数y＝ax1+bx+c（a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：给出以下结论：（1）二次函数y＝ax1+bx+c有最小值，最小值为﹣3；（1）当﹣12＜x＜1时，y＜0；（3）已知点A（x1，y1）、B（x1，y1）在函数的图象上，则当﹣1＜x1＜0，3＜x1＜4时，y1＞y1．上述结论中正确的结论个数为（）A．0 B．1 C．1 D．3【答案】B【分析】根据表格的数据，以及二次函数的性质，即可对每个选项进行判断.【详解】解：（1）函数的对称轴为：x＝1，最小值为﹣4，故错误，不符合题意；（1）从表格可以看出，当﹣12＜x ＜1时，y ＜0，符合题意； （3）﹣1＜x 1＜0，3＜x 1＜4时，x 1离对称轴远，故错误，不符合题意； 故选择：B ． 【点睛】本题考查了二次函数的最值，抛物线与x 轴的交点，仔细分析表格数据，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．4．点P(-6，1)在双曲线ky x=上，则k 的值为( ) A ．-6 B ．6C ．16-D ．16【答案】A【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征可直接得到答案． 【详解】解：∵点P （61-，）在双曲线ky x=上， ∴616k =-⨯=-； 故选：A. 【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上的点（x ，y ）的横纵坐标的积是定值k ，即xy=k ． 5．下列各组图形中，两个图形不一定是相似形的是（ ） A ．两个等边三角形 B ．有一个角是100︒的两个等腰三角形 C ．两个矩形 D ．两个正方形【答案】C【分析】根据相似图形的定义，以及等边三角形，等腰三角形，矩形，正方形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A 、两个等边三角形，对应边的比相等，角都是60°，相等，所以一定相似，故A 正确； B 、有一个角是100°的两个等腰三角形，100°的角只能是顶角，夹顶角的两边成比例，所以一定相似，故B 正确；C 、两个矩形，四个角都是直角，但四条边不一定对应成比例，不一定相似，故C 错误；D 、两个正方形，对应边的比相等，角都是90°，相等，所以一定相似，故D 正确． 故选：C ． 【点睛】本题考查了相似图形的判断，严格按照定义，对应边成比例，对应角相等进行判断即可，另外，熟悉等腰三角形，等边三角形，正方形的性质对解题也很关键．6．如图，PA 是⊙O 的切线，OP 交⊙O 于点B ，如果1sin 2P =，OB=1，那么BP 的长是（ ）A ．4B ．2C ．1D ．3【答案】C【分析】根据题意连接OA 由切线定义可知OA 垂直AP 且OA 为半径，以此进行分析求解即可. 【详解】解：连接OA ，已知PA 是⊙O 的切线，OP 交⊙O 于点B ，可知OA 垂直AP 且OA 为半径，所以三角形OAP 为直角三角形，∵1sin 2P =，OB=1， ∴1sin 2OA P OP ==，OA=OB=1， ∴OP=2，BP=OP-OB=2-1=1. 故选C. 【点睛】本题结合圆的切线定义考查解直角三角形，熟练掌握圆的切线定义以及解直角三角形相关概念是解题关键.7．已知函数ky x=的图象经过点（2, 3 )，下列说法正确的是( ) A ．y 随x 的增大而增大 B ．函数的图象只在第一象限 C ．当x<0时，必y<0 D ．点(-2, -3)不在此函数的图象上【答案】C【解析】∵图象经过点（2，3），∴k=2×3=6＞0，∴图象在第一、三象限．∴只有C 正确．故选C ． 8．若角αβ，都是锐角，以下结论：①若αβ<，则sin sin αβ<；②若αβ<，则cos cos αβ<；③若αβ<，则tan tan αβ<；④若90αβ+=，则sin cos αβ=.其中正确的是( ) A ．①② B ．①②③C ．①③④D ．①②③④【答案】C【分析】根据锐角范围内sin α 、cos α 、tan α 的增减性以及互余两锐角的正余弦函数间的关系可得． 【详解】①∵sin α随α 的增大而增大，正确； ②∵cos α随α 的增大而减小，错误； ③∵tan α随α 的增大而增大，正确；④若90αβ+=，根据互余两锐角的正余弦函数间的关系可得sin cos αβ=，正确； 综上所述，①③④正确 故答案为：C ． 【点睛】本题考查了锐角的正余弦函数，掌握锐角的正余弦函数的增减性以及互余锐角的正余弦函数间的关系是解题的关键．9．某反比例函数的图象经过点（-2,3），则此函数图象也经过（ ） A ．（2，-3） B ．（-3,3）C ．（2,3）D ．（-4,6）【答案】A【分析】设反比例函数y=kx（k 为常数，k≠0），由于反比例函数的图象经过点（-2，3），则k=-6，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征分别进行判断． 【详解】设反比例函数y=kx（k 为常数，k≠0）， ∵反比例函数的图象经过点（-2，3）， ∴k=-2×3=-6，而2×（-3）=-6，（-3）×（-3）=9，2×3=6，-4×6=-24， ∴点（2，-3）在反比例函数y=-6x的图象上． 故选A ． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=kx（k 为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x ，y ）的横纵坐标的积是定值k ，即xy=k ． 10．如图，ABC ∆中，//,2,3DE BC AD BD ==，则DE AEBC AC=的值为（ ）A ．2:3B ．1:2C ．3:5D ．2:5【答案】D【解析】根据相似三角形的判定和性质，即可得到答案. 【详解】解：∵//DE BC ， ∴ADE ∆∽ABC ∆， ∴22235DE AE AD AD BC AC AB AD DB =====++； 故选：D. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质.11．如图，已知BD 是⊙O 直径，点A 、C 在⊙O 上，AB BC =，∠AOB=60°，则∠BDC 的度数是（ ）A ．20°B ．25°C ．30°D ．40°【答案】C【详解】∵AB BC =，∠AOB=60°， ∴∠BDC=12∠AOB=30°． 故选C ．12．口袋中有14个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，多次实验后发现摸到白球的频率稳定在0.3，则白球的个数是( ) A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】B【分析】设白球的个数为x ，利用概率公式即可求得. 【详解】设白球的个数为x ，由题意得，从14个红球和x 个白球中，随机摸出一个球是白球的概率为0.3， 则利用概率公式得：0.314xx=+，解得：6x =，经检验，x=6是原方程的根， 故选：B. 【点睛】本题考查了等可能下概率的计算，理解题意利用概率公式列出等式是解题关键.二、填空题（本题包括8个小题）13．用一个圆心角为120︒的扇形作一个圆锥的侧面，若这个圆锥的底面半径恰好等于4，则这个圆锥的母线长为_____． 【答案】12【解析】根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长列式进行求解即可. 【详解】设这个圆锥的母线长为l ， 依题意，有：12024180lππ⨯⨯=， 解得：12l ＝， 故答案为：12. 【点睛】本题考查了圆锥的运算，正确把握圆锥侧面展开图的扇形的弧长与底面圆的周长间的关系是解题的关键.14．若12y x =，则y x x +=___________．【答案】32【分析】把所求比例形式进行变形，然后整体代入求值即可． 【详解】=1y x y x x ++，12y x =，13=+1=22y x x +∴；故答案为32． 【点睛】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的方法是解题的关键．15．将二次函数y=x 2﹣1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式是_____． 【答案】y=x 1+1【解析】分析：先确定二次函数y=x 1﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），再根据点平移的规律得到点（0，﹣1）平移后所得对应点的坐标为（0，1），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．详解：二次函数y=x 1﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），把点（0，﹣1）向上平移3个单位长度所得对应点的坐标为（0，1），所以平移后的抛物线解析式为y=x 1+1． 故答案为y=x 1+1．点睛：本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 16．点A ()12,y -，B ()21,y -都在反比例函数3y x=-图象上，则1y _____2y ．（填写<，>，=号） 【答案】＜．【分析】根据反比例函数的增减性即可得出结论．。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．已知如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠BCA＝75°，AC＝8cm，DE垂直平分BC，则BE的长是（）A．4cm B．8cm C．16cm D．32cm【答案】C【分析】连接CE，先由三角形内角和定理求出∠B的度数，再由线段垂直平分线的性质及三角形外角的性质求出∠CEA的度数，由直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半即可解答．【详解】解：连接CE，∵Rt△ABC中，∠A＝90°，∠BCA＝75°，∴∠B＝90°﹣∠BCA＝90°﹣75°＝15°，∵DE垂直平分BC，∴BE＝CE，∴∠BCE＝∠B＝15°，∴∠AEC＝∠BCE+∠B＝30°，∵Rt△AEC中，AC＝8cm，∴CE＝2AC＝16cm，∵BE＝CE，∴BE＝16cm．故选：C．【点睛】此题考查的是垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质和直角三角形的性质，掌握垂直平分线的性质、等边对等角、三角形外角的性质和30°所对的直角边是斜边的一半是解决此题的关键．2．正六边形的周长为12，则它的面积为（）A3B．33C．43D．63【答案】D【分析】首先根据题意画出图形，即可得△OBC是等边三角形，又由正六边形ABCDEF的周长为12，即可求得BC的长，继而求得△OBC的面积，则可求得该六边形的面积．【详解】解：如图，连接OB，OC，过O作OM⊥BC于M，∴∠BOC=16×360°=60°，∵OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∵正六边形ABCDEF的周长为12，∴BC=12÷6=2，∴OB=BC=2，∴BM=12BC=1，∴OM=22OB BM=3，∴S△OBC=12×BC×OM=12×2×3=3，∴该六边形的面积为：3×6=63．故选：D．【点睛】此题考查了圆的内接六边形的性质与等边三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．3．如图，公园中一正方形水池中有一喷泉，喷出的水流呈抛物线状，测得喷出口高出水面0.8m，水流在离喷出口的水平距离1.25m处达到最高，密集的水滴在水面上形成了一个半径为3m的圆，考虑到出水口过高影响美观，水滴落水形成的圆半径过大容易造成水滴外溅到池外，现决定通过降低出水口的高度，使落水形成的圆半径为2.75m，则应把出水口的高度调节为高出水面（）A．0.55米B．1130米C．1330米D．0.4米【答案】B【分析】如图，以O为原点，建立平面直角坐标系，由题意得到对称轴为x＝1.25＝54，A（0，0.8），C（3，0），列方程组求得函数解析式，即可得到结论．【详解】解：如图，以O为原点，建立平面直角坐标系，由题意得，对称轴为x＝1.25＝54，A（0，0.8），C（3，0），设解析式为y＝ax2+bx+c，∴9305240.8a b cbac++=⎧⎪⎪-=⎨⎪=⎪⎩，解得：8154345abc⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，所以解析式为：y＝815-x2+43x+45，当x＝2.75时，y＝1330，∴使落水形成的圆半径为2.75m，则应把出水口的高度调节为高出水面08﹣1330＝1130，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意建立合适的坐标系，找到点的坐标，用待定系数法解出函数解析式是解题的关键4．如果2a b=（a，b均为非零向量），那么下列结论错误的是（）A．a//b B．a-2b=0 C．b=12a D．2a b=【答案】B【解析】试题解析：向量最后的差应该还是向量.20.a b-=故错误.故选B.5．已知二次函数233y x mx n=-+-的图像与x轴没有交点，则( )A ．423m n +＞B ．423m n +＜C ．423m n -＜D ．423m n -＞ 【答案】C 【分析】若二次函数233y x mx n =-+-的图像与x 轴没有交点，则0∆＜，解出关于m 、n 的不等式，再分别判断即可；【详解】解：233y x m n =-+-与x 轴无交点，2239120,4m n n m ∴∆=-<∴>， 22334442244333m n m m m ⎛⎫∴++=+-≥- ⎪⎝⎭＞，故A 、B 错误； 同理：22334442244333m n m m m ⎛⎫-<-=--+≤ ⎪⎝⎭； 故选C .【点睛】本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点，掌握抛物线与坐标轴的交点是解题的关键.6．如图，在正三角形ABC 中，D,E,F 分别是BC,AC,AB 上的点，DE ⊥AC,EF ⊥AB,FD ⊥BC ，则△DEF 的面积与△ABC 的面积之比等于（ ）A ．1∶3B ．2∶3C 3 2D 3 3【答案】A 【解析】∵DE ⊥AC ，EF ⊥AB ，FD ⊥BC ，∴∠C+∠EDC=90°，∠FDE+∠EDC=90°，∴∠C=∠FDE ，同理可得：∠B=∠DFE ，∠A=DEF ，∴△DEF ∽△CAB ，∴△DEF 与△ABC 的面积之比=2DE AC ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 又∵△ABC 为正三角形，∴∠B=∠C=∠A=60°∴△EFD 是等边三角形，∴EF=DE=DF ，又∵DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，∴△AEF≌△CDE≌△BFD，∴BF=AE=CD，AF=BD=EC，在Rt△DEC中，DE=DC×sin∠C=3DC，EC=cos∠C×DC=12DC，又∵DC+BD=BC=AC=32DC，∴332332DCDEAC DC==，∴△DEF与△ABC的面积之比等于：2231:3DEAC⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选A．点晴：本题主要通过证出两个三角形是相似三角形，再利用相似三角形的性质：相似三角形的面积之比等于对应边之比的平方，进而将求面积比的问题转化为求边之比的问题，并通过含30度角的直角三角形三边间的关系（锐角三角形函数）即可得出对应边DEAC之比，进而得到面积比．7．如图为二次函数()20y ax bx c a=++≠的图象，则下列说法：①0a>；②20a b+=；③0a b c++>；④0>；⑤420a b c-+<，其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根据抛物线的开口向下可知a<0，由此可判断①；根据抛物线的对称轴可判断②；根据x=1时y 的值可判断③；根据抛物线与x轴交点的个数可判断④；根据x=-2时，y的值可判断⑤.【详解】抛物线开口向下，∴a<0，故①错误；∵抛物线与x轴两交点坐标为（-1，0）、（3，0），∴抛物线的对称轴为x=2ba-=1，∴2a+b=0，故②正确；观察可知当x=1时，函数有最大值，a+b+c>0，故③正确；∵抛物线与x轴有两交点坐标，∴△>0，故④正确；观察图形可知当x=-2时，函数值为负数，即4a-2b+c<0，故⑤正确，故选D.本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象为抛物线，当a ＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=-2b a ；抛物线与y 轴的交点坐标为（0，c ）；当b 2-4ac ＞0，抛物线与x 轴有两个交点；当b 2-4ac=0，抛物线与x 轴有一个交点；当b 2-4ac ＜0，抛物线与x 轴没有交点．8．袋中装有5个白球，3个黑球，除颜色外均相同，从中一次任摸出一个球，则摸到黑球的概率是（ ） A ．35 B ．38 C ．58 D ．34【答案】B【解析】先求出球的总个数，根据概率公式解答即可．【详解】因为白球5个，黑球3个一共是8个球，所以从中随机摸出1个球，则摸出黑球的概率是38． 故选B ．【点睛】本题考查了概率公式，明确概率的意义是解答问题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．9．抛物线223y x x =--的对称轴是（ ）A ．1x =B ．1x =-C ．2x =D ．2x =- 【答案】A【分析】直接利用对称轴为2b x a =-计算即可． 【详解】∵21221b x a -=-=-=⨯， ∴抛物线223y x x =--的对称轴是1x =，故选：A ．【点睛】本题主要考查二次函数的对称轴，掌握二次函数对称轴的求法是解题的关键．10．如图，一次函数1y ax b 和反比例函数2k y x=的图象相交于A ，B 两点，则使12y y >成立的x 取值范围是( )A ．20x -<<或04x <<B ．2x <-或04x <<C ．2x <-或4x >D ．20x -<<或4x >【分析】根据图象找出一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的自变量的取值范围即可.【详解】观察函数图象可发现：2x <-或04x <<时，一次函数图象在反比例函数图象上方， ∴使12y y >成立的x 取值范围是2x <-或04x <<，故选B ．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，函数与不等式，利用数形结合思想是解题的关键.11．已知关于x 的方程x 2﹣3x+2k ＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．k ＞98B ．k ＜98C ．k ＜﹣98D ．k ＜89【答案】B【分析】利用判别式的意义得到△＝（﹣3）2﹣4•2k ＞0，然后解不等式即可．【详解】解：根据题意得△＝（﹣3）2﹣4•2k ＞0，解得k ＜98． 故选：B ．【点睛】此题主要考查一元二次方程的根的情况，解题的关键是熟知根的判别式．12．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．某女模特身高165cm ，下半身长x （cm ）与身高l （cm ）的比值是0.1．为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（ ）A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm 【答案】C【分析】根据比例关系即可求解.【详解】∵模特身高165cm ，下半身长x （cm ）与身高l （cm ）的比值是0.1， ∴165x ＝0.1， 解得：x ＝99，设需要穿的高跟鞋是ycm ，则根据黄金分割的定义得：99165y y++＝0.612， 解得：y ≈2．故选：C ．【点睛】此题主要考查比例的性质，解题的关键是熟知比例关系的定义.二、填空题（本题包括8个小题）13．一组数据6，2，–1，5的极差为__________．【解析】根据极差的定义,一组数据的最大值与最小值的差为极差,所以这组数据的极差是7,故答案为:7. 14．如图，已知圆锥的高为3，高所在直线与母线的夹角为30°，圆锥的侧面积为_____．【答案】2π【解析】试题分析：如图，∠BAO=30°，3，在Rt △ABO 中，∵tan ∠BAO=BO AO ， ∴3tan30°=1，即圆锥的底面圆的半径为1，∴22(3)12-=，即圆锥的母线长为2，∴圆锥的侧面积=121222ππ⨯⨯⨯=． 考点：圆锥的计算．15．若二次函数y ＝mx 2+2x+1的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是 _____．【答案】m≤1且m≠1．【分析】由抛物线与x 轴有公共点可知△≥1，再由二次项系数不等于1，建立不等式即可求出m 的取值范围.【详解】解：y ＝mx 2+2x+1是二次函数，∴m≠1，由题意可知：△≥1，∴4﹣4m≥1，∴m≤1∴m≤1且m≠1故答案为m≤1且m≠1．【点睛】本题考查二次函数图像与x 轴的交点问题，熟练掌握交点个数与△的关系是解题的关键.16．如图，若点P 在反比例函数y ＝﹣3x （x ＜0）的图象上，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N ，则矩形PMON 的面积为_____．【答案】1【分析】设PN ＝a ，PM ＝b ，根据P 点在第二象限得P （﹣a ，b ），根据矩形的面积公式即可得到结论．【详解】解：设PN ＝a ，PM ＝b ，∵P 点在第二象限，∴P （﹣a ，b ），代入y ＝3x中，得 k ＝﹣ab ＝﹣1，∴矩形PMON 的面积＝PN•PM ＝ab ＝1，故答案为：1．【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，即S 矩形PMON =K17．如图，将ABC ∆绕点A 顺时针旋转55︒得到ADE ∆，点B 的对应点是点D ，直线BC 与直线DE 所夹的锐角是_______.【答案】55︒【分析】延长DE 交AC 于点O ，延长BC 交DE 的延长线于点F ，然后根据旋转的性质分别求出∠EAC=55°，∠AED=∠ACB ，再根据对顶角相等，可得出∠DFB=∠EAC=55°.【详解】解：延长DE 交AC 于点O ，延长BC 交DE 的延长线于点F由题意可得：∠EAC=55°，∠AED=∠ACB∴∠AEF=∠ACF又∵∠AOE=∠FOC∴∠DFB=∠EAC=55°故答案为：55°【点睛】本题考查旋转的性质，掌握旋转图形对应角相等是本题的解题关键.18．已知一元二次方程230x x a ++=的一个根为1，则a =__________．【答案】-4【分析】将x=1代入方程求解即可.【详解】将x=1代入方程得4+a=0，解得a=-4，故答案为：-4.【点睛】此题考查一元二次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解，已知方程的解时将解代入方程求参数即可.三、解答题（本题包括8个小题）19．矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，A 、C 两点的坐标分别为A(6，0)、C(0，3)，直线与BC 边相交于点D ．（1）求点D 的坐标；（2）若抛物线经过A 、D 两点，试确定此抛物线的解析式；（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线AD 交于点M ，点P 为对称轴上一动点，以P 、A 、M 为顶点的三角形与△ABD 相似，求符合条件的所有点P 的坐标.【答案】（3）点D 的坐标为（3，3）；（3） 抛物线的解析式为23984y x x =-+；（3） 符合条件的点P 有两个，P 3（3，0）、P 3（3，-4）.【分析】（3）有题目所给信息可以知道，BC 线上所有的点的纵坐标都是3，又有D 在直线3942=-+y x 上，代入后求解可以得出答案．（3）A 、D ，两点坐标已知，把它们代入二次函数解析式中，得出两个二元一次方程，联立求解可以得出答案．（3）由题目分析可以知道∠B=90°，以P 、A 、M 为顶点的三角形与△ABD 相似，所以应有∠APM 、∠AMP 或者∠MAP 等于90°，很明显∠AMP 不可能等于90°，所以有两种情况． 【详解】（3） ∵四边形OABC 为矩形，C （0，3） ∴BC ∥OA ，点D 的纵坐标为3． ∵直线3942=-+y x 与BC 边相交于点D ， ∴393,242x x -+==． ∴点D 的坐标为（3，3）． （3） ∵若抛物线2y ax bx =+经过A （6，0）、D （3，3）两点，∴3660423a b a b +=⎧⎨+=⎩解得：3894a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的解析式为23984y x x =-+（3） ∵抛物线23984y x x =-+的对称轴为x=3， 设对称轴x=3与x 轴交于点P 3，∴BA ∥MP 3， ∴∠BAD=∠AMP 3．①∵∠AP 3M=∠ABD=90°，∴△ABD∽△AMP 3． ∴P 3（3，0）．②当∠MAP 3=∠ABD=90°时，△ABD ∽△MAP 3． ∴∠AP 3M=∠ADB∵AP 3=AB ，∠AP 3P 3=∠ABD=90° ∴△AP 3P 3≌△ABD ∴P 3P 3=BD=4∵点P 3在第四象限，∴P 3（3，-4）．∴符合条件的点P 有两个，P 3（3，0）、P 3（3，-4）．20．如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，求抛物线经过A （1，0），C （0，3）两点，与x 轴交于A 、B 两点．（1）若直线y=mx+n 经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；（3）设点P 为该抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，直接写出使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标． （提示：若平面直角坐标系内有两点P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2），则线段PQ 的长度221212()()x x y y -+-）． 【答案】（1）y=x+3；y=﹣x 2﹣2x+3；（2）M 的坐标是（﹣1，2）；（3）P 的坐标是（﹣1317+1，3172）或（﹣1，4）或（﹣1，﹣2）． 【分析】（1）用待定系数法即可求出直线BC 和抛物线的解析式；（2）设直线BC 与对称轴x ＝−1的交点为M ，则此时MA ＋MC 的值最小．把x ＝−1代入直线y ＝x ＋3得y 的值，即可求出点M 坐标；（3）设P （−1，t ），又因为B （−3，0），C （0，3），所以可得BC 2＝18，PB 2＝（−1＋3）2＋t 2＝4＋t 2，PC 2＝（−1）2＋（t−3）2＝t 2−6t ＋10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t 值即可求出点P 的坐标． 【详解】（1）A （1，0）关于x=﹣1的对称点是（﹣3，0）， 则B 的坐标是（﹣3，0）根据题意得：303m n n -+=⎧⎨=⎩解得13m n =⎧⎨=⎩则直线的解析式是y=x+3； 根据题意得：解得：93003a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩则抛物线的解析式是y=﹣x 2﹣2x+3（2）设直线BC 与对称轴x ＝−1的交点为M ，则此时MA ＋MC 的值最小． 把x ＝−1代入直线y ＝x ＋3得，y ＝−1＋3＝2， ∴M （−1，2），即当点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为（−1，2）； （3）如图，设P （−1，t ）， 又∵B （−3，0），C （0，3），∴BC 2＝18，PB 2＝（−1＋3）2＋t 2＝4＋t 2，PC 2＝（−1）2＋（t −3）2＝t 2−6t ＋10， ①若点B 为直角顶点，则BC 2＋PB 2＝PC 2即：18＋4＋t 2＝t 2−6t ＋10解之得：t ＝−2； ②若点C 为直角顶点，则BC 2＋PC 2＝PB 2即：18＋t 2−6t ＋10＝4＋t 2解之得：t ＝4， ③若点P 为直角顶点，则PB 2＋PC 2＝BC 2即：4＋t 2＋t 2−6t ＋10＝18解之得：t 1＝3172+，t 2＝3172-； ∴P 的坐标是（﹣1，317+）或（﹣1，317-）或（﹣1，4）或（﹣1，﹣2）．【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数的解析式，利用轴对称性质确定线段的最小长度，两点间的距离公式的运用，直角三角形的性质等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．21．如图，已知抛物线214y x bx c =++经过ABC 的三个顶点，其中点(0,3)A ，点(12,15)-B ，//AC x 轴，点P 是直线AC 下方抛物线上的动点.（1）求抛物线的解析式；（2）过点P 且与y 轴平行的直线l 与直线AB 、AC 分别交与点E 、F ，当四边形AECP 的面积最大时，求点P 的坐标；（3）当点P 为抛物线的顶点时，在直线AC 上是否存在点Q ，使得以C 、P 、Q 为顶点的三角形与ABC 相似，若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）21234y x x =++；（2）(6,0)P -；（3）存在，116(,3)3Q - ，2(4,3)Q 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）设点P （m ，21234m m ++），表示出PE ＝2134m m --，再用S 四边形AECP ＝S △AEC ＋S △APC ＝12AC ×PE ，建立函数关系式，求出最值即可；（3）先判断出PF ＝CF ，再得到∠PCA ＝∠EAC ，以C 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，分两种情况计算即可．【详解】（1）∵点(0,3)A ，(12,15)-B 在抛物线上，∴3115144124c b c =⎧⎪⎨=⨯-+⎪⎩， ∴23b c =⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为21234y x x =++， （2）∵AC ∥x 轴，A （0，3） ∴21234x x ++＝3， ∴x 1＝−6，x 2＝0， ∴点C 的坐标（−8，3）， ∵点(0,3)A ，(12,15)-B ， 求得直线AB 的解析式为y ＝−x ＋3，设点P （m ，21234m m ++）∴E （m ，−m ＋3） ∴PE ＝−m ＋3−（21234m m ++）＝2134m m --，∵AC ⊥EP ，AC ＝8， ∴S 四边形AECP ＝S △AEC ＋S △APC＝12AC ×EF ＋12AC ×PF ＝12AC ×（EF ＋PF ） ＝12AC ×PE ＝12×8×（2134m m --） ＝−m 2−12m＝−（m ＋6）2＋36， ∵−8＜m ＜0∴当m ＝−6时，四边形AECP 的面积的最大，此时点P （−6，0）； （3）∵21234y x x =++＝21(4)14x +-， ∴P （−4，−1），∴PF ＝y F −y P ＝4，CF ＝x F −x C ＝4， ∴PF ＝CF ， ∴∠PCF ＝45°同理可得：∠EAF ＝45°， ∴∠PCF ＝∠EAF ，∴在直线AC 上存在满足条件的Q ，设Q （t ，3）且AB ，AC ＝8，CP =，∵以C 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似， ①当△CPQ ∽△ABC 时， ∴CQ CP AC AB=，∴88t +=∴t ＝−163或t ＝−323（不符合题意，舍） ∴Q （−163，3）②当△CQP ∽△ABC 时， ∴CQ CPAB AC=，=， ∴t ＝4或t ＝−20（不符合题意，舍） ∴Q （4，3）综上，存在点116 (,3)3Q-2(4,3)Q.【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的性质，几何图形面积的求法（用割补法），解本题的关键是求函数解析式．22．某商场为了方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯．如图所示，已知原阶梯式扶梯AB长为10m，坡角∠ABD＝30°；改造后斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB＝9°，请计算改造后的斜坡AC的长度，（结果精确到0.01（sin9°≈0.156，cos9°≈0.988，tan9°≈0.158）【答案】32.05米【分析】先在Rt△ABD中，用三角函数求出AD，最后在Rt△ACD中用三角函数即可得出结论．【详解】解：在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，AB＝10m，∴AD＝ABsin∠ABD＝10×sin30°＝5（m），在Rt△ACD中，∠ACD＝9°，sin9°＝AD AC，∴AC＝5sin9︒＝50.156≈32.05（m），答：改造后的斜坡AC的长度为32.05米．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练利用锐角三角函数关系得出是解题关键．23．垃圾分类是必须要落实的国家政策，环卫部门要求垃圾要按:A可回收物，:B有害垃圾，:C餐厨垃圾，:D其它垃圾四类分别装袋，投放.甲投放了一袋垃圾，乙投放了两袋垃圾（两袋垃圾不同类）. （1）直接写出甲投放的垃圾恰好是A类垃圾的概率；（2）用树状图求乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率．【答案】(1) 14； (2)乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率是13.【分析】（1）甲投放的垃圾可能出现的情况为4种，以此得出甲投放的垃圾恰好是A类垃圾的概率；（2）根据题意作出树状图，依据树状图找出所有符合的情况，求乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率．【详解】(1) 甲投放的垃圾共有A、B、C、D四种可能，所以甲投放的垃圾恰好是A类垃圾的概率为14；(2)161P 483== ∴ 乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率是13. 【点睛】本题考查了概率事件以及树状图，掌握概率的公式以及树状图的作法是解题的关键.24．一个二次函数的图象经过(3，1)，(0，-2)，(-2，6)三点．求这个二次函数的解析式并写出图象的顶点． 【答案】二次函数为222y x x -=-，顶点(1,-3)．【分析】先设该二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c （a ≠0），利用待定系数法求a ，b ，c 的值，得到二次函数的解析式，然后化为顶点式，即可得到顶点坐标．【详解】解：∵二次函数的图象经过(0,-2)，可设所求二次函数为22y ax bx =+-， 由已知，函数的图象不经过(3,1)，(-2,6)两点，可得关于a 、b 的二元一次方程组9321,422 6.a b a b +-=⎧⎨--=⎩解这个方程，得1,2.a b =⎧⎨=-⎩∴二次函数为：222y x x -=-； 化为顶点式得：2(1)3y x =-- ∴顶点为：(1,3)-． 【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，同时还考查了方程组的解法以及顶点公式求法等知识，难度不大．25．已知反比例函数y=kx的图象与一次函数y=kx+m 的图象相交于点A （2，1）． （1）分别求出这两个函数的解析式；（2）当x 取什么范围时，反比例函数值大于0；（3）若一次函数与反比例函数另一交点为B ，且纵坐标为﹣4，当x 取什么范围时，反比例函数值大于一次函数的值；（4）试判断点P （﹣1，5）关于x 轴的对称点P′是否在一次函数y=kx+m 的图象上．【答案】（1）y=2x，y=2x﹣3；（2）x＞1；（3）x＜﹣1.5或1＜x＜2；（4）点P′在直线上．【详解】试题分析：（1）根据题意，反比例函数y=kx的图象过点A（2，1），可求得k的值，进而可得解析式；一次函数y=kx+m的图象过点A（2，1），代入求得m的值，从而得出一次函数的解析式；（2）根据（1）中求得的解析式，当y＞1时，解得对应x的取值即可；（3）由题意可知，反比例函数值大于一次函数的值，即可得2x＞2x﹣3，解得x的取值范围即可；（4）先根据题意求出P′的坐标，再代入一次函数的解析式即可判断P′是否在一次函数y=kx+m的图象上．．试题解析：解：（1）根据题意，反比例函数y=kx的图象与一次函数y=kx+m的图象相交于点A（2，1），则反比例函数y=kx中有k=2×1=2，y=kx+m中，k=2，又∵过（2，1），解可得m=﹣3；故其解析式为y=2x，y=2x﹣3；（2）由（1）可得反比例函数的解析式为y=2x，令y＞1，即2x＞1，解可得x＞1．（3）根据题意，要反比例函数值大于一次函数的值，即2x＞2x﹣3，解可得x＜﹣1.5或1＜x＜2．（4）根据题意，易得点P（﹣1，5）关于x轴的对称点P′的坐标为（﹣1，﹣5）在y=2x﹣3中，x=﹣1时，y=﹣5；故点P′在直线上．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．26．如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，分别连接AC、BC，过点B作直线BD，使CBD A∠=∠.求证：直线BD与圆O相切.【答案】见解析【分析】根据直径所对的圆周角是直角，可得90C =∠，然后根据直角三角形的性质和已知条件即可证出AB BD ⊥，最后根据切线的判定定理即可证出直线BD 与圆O 相切． 【详解】证明：∵AB 是圆O 的直径 ∴90C =∠ ∴90A ABC ∠+∠= ∵CBD A ∠=∠∴90ABD CBD ABC ∠=∠+∠=， 即AB BD ⊥ ∵点B 在圆O 上 ∴直线BD 与圆O 相切． 【点睛】此题考查的是圆周角定理的推论和切线的判定，掌握直径所对的圆周角是直角和切线的判定定理是解决此题的关键．27．某篮球队对队员进行定点投篮测试，每人每天投篮10次，现对甲、乙两名队员在五天中进球数（单位：个）进行统计，结果如下： 甲 10 6 10 6 8 乙79789经过计算，甲进球的平均数为8，方差为3.2. （1）求乙进球的平均数和方差；（2）如果综合考虑平均成绩和成绩稳定性两方面的因素，从甲、乙两名队员中选出一人去参加定点投篮比赛，应选谁？为什么？【答案】（1）乙平均数为8，方差为0.8；（2）乙． 【分析】（1）根据平均数、方差的计算公式计算即可；（2）根据平均数相同时，方差越大，波动越大，成绩越不稳定；方差越小，波动越小，成绩越稳定进行解答．【详解】（1）乙进球的平均数为：（7+9+7+8+9）÷5=8，乙进球的方差为：15[（7﹣8）2+（9﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2]=0.8；（2）∵二人的平均数相同，而S甲2=3.2，S乙2=0.8，∴S甲2＞S乙2，∴乙的波动较小，成绩更稳定，∴应选乙去参加定点投篮比赛．【点睛】本题考查了方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为x，则方差S21n=[（x1x-）2+（x2x-）2+…+（x n x-）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．也考查了平均数．九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．设点()11A ,x y 和()22B ,x y 是反比例函数k y x =图象上的两个点，当1x ＜2x ＜时，1y ＜2y ，则一次函数2y x k =-+的图象不经过的象限是A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】A【解析】∵点()11A ,x y 和()22B ,x y 是反比例函数k y x =图象上的两个点，当1x ＜2x ＜1时，1y ＜2y ，即y 随x 增大而增大，∴根据反比例函数k y x=图象与系数的关系：当0k >时函数图象的每一支上，y 随x 的增大而减小；当0k <时，函数图象的每一支上，y 随x 的增大而增大．故k ＜1．∴根据一次函数图象与系数的关系：一次函数1y=k x+b 的图象有四种情况：①当1k 0>，b 0>时，函数1y=k x+b 的图象经过第一、二、三象限；②当1k 0>，b 0<时，函数1y=k x+b 的图象经过第一、三、四象限；③当1k 0<，b 0>时，函数1y=k x+b 的图象经过第一、二、四象限；④当1k 0<，b 0<时，函数1y=k x+b 的图象经过第二、三、四象限．因此，一次函数2y x k =-+的1k 20=-<，b=k 0<，故它的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限．故选A ．2．如图，在ABC ∆中，DE ∥BC ，5AD =，10BD =，4AE =，AC =( )A ．8B ．9C ．10D ．12【答案】D 【分析】先由DE ∥BC 得出AD AE AB AC =，再将已知数值代入即可求出AC ． 【详解】∵DE ∥BC ，∴AD AE AB AC=， ∵AD=5，BD=10，∴AB=5+10=15，∵AE=4， ∴5415AC=， ∴AC=12.故选：D.【点睛】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键.3．二次函数222=++y x x 与坐标轴的交点个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 【答案】B【分析】先计算根的判别式的值，然后根据b 2−4ac 决定抛物线与x 轴的交点个数进行判断．【详解】∵△＝22−4×1×2＝−4＜0，∴二次函数y ＝x 2＋2x ＋2与x 轴没有交点，与y 轴有一个交点．∴二次函数y ＝x 2＋2x ＋2与坐标轴的交点个数是1个，故选：B ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标，令y ＝0，即ax 2＋bx ＋c ＝0，解关于x 的一元二次方程即可求得交点横坐标．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的交点与一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0根之间的关系：△＝b 2−4ac 决定抛物线与x 轴的交点个数；△＝b 2−4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△＝b 2−4ac ＝0时，抛物线与x 轴有1个交点；△＝b 2−4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．4．若点(2, 3)在反比例函数y=k x 的图象上，那么下列各点在此图象上的是( ) A ．(-2,3)B ．(1,5)C ．(1, 6)D ．(1, -6) 【答案】C 【解析】将（2，3）代入y=k x即可求出k 的值，再根据k=xy 解答即可． 【详解】∵点（2，3）在反比例函数y=k x （k≠0）的图象上， ∴k=xy=2×3=6，A 、∵-2×3=-6≠6，∴此点不在函数图象上；B 、∵1×5=5≠6，∴此点不在函数图象上；C 、∵1×6=6，此点在函数图象上；D 、∵1×（-6）=-6≠6，此点不在函数图象上．故选：C ．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．5．如图，平行四边形ABCD 中，M 为BC 边的中点，DM 交AC 于点E ，则图中阴影部分面积与平行四边形ABCD 的面积之比为（ ）A ．1:2B ．2:5C ．5:12D ．6:13【答案】C 【分析】根据等底等高的三角形面积比和相似三角形的相似比推出阴影部分面积．【详解】设平行四边形的边AD=2a ，AD 边上的高为3b ；过点E 作EF ⊥AD 交AD 于F ，延长FE 交BC 于G∴平行四边形的面积是6ab∴FG=3b∵AD ∥BC∴△AED ∽△CEM∵M 是BC 边的中点， ∴2EF AD EG MC==, ∴EF=2b ，EG=b ∴1122CEM S EG CM ab =⨯= ∵1322CDM ACM S S FG CM ab ==⨯= ∴CDE CDM CEM S S S ab =-=∴阴影部分面积=52ACM CDE S S ab =+= ∴阴影部分面积：平行四边形ABCD 的面积=5:65:122ab ab = 故选：C ．本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应边上的高线的比等于相似比．6．一元二次方程2(x 2)0-=的根是( )A ．x 2=B ．12x x 2==C ．1x 2=-，2x 2=D ．1x 0=，2x 2=【答案】B【分析】方程两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【详解】（x ﹣2）2＝0，则x 1＝x 2＝2，故选B ．【点睛】本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是掌握要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解．7．下列汽车标志中，可以看作是中心对称图形的是 A ． B ． C ． D ．【答案】A【详解】考点：中心对称图形．分析：根据中心对称图形的性质得出图形旋转180°，与原图形能够完全重合的图形是中心对称图形，分别判断得出即可．解：A ．旋转180°，与原图形能够完全重合是中心对称图形；故此选项正确；B ．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项错误；C ．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项错误；D ．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项错误；故选A ．8．在平面直角坐标系中，正方形1111D C B A ，1122D E E B ，2222A B C D ，2343D E E B ，3333,A B C D ，按如图所示的方式放置，其中点1B 在y 轴上，点1C ，1E ，2E ，2C ，3E ，4E ，3C …在x 轴上，已知正方形1111D C B A 的边长为1，1130OB C ∠=︒，112233////B C B C B C ，…，则正方形n n n n A B C D 的边长是（ ）A．1()2n B．11()2n-C．3()n D．13()n-【答案】D【分析】利用正方形的性质结合锐角三角函数关系得出正方形边长，进而即可找到规律得出答案．【详解】∵正方形1111DCBA的边长为1，1130OB C∠=︒，112233////B C B C B C，…11222334111222334,,30D E B E D E B D D C E C B E C B E∴==∠=∠=∠=︒11111sin302D E C D∴=︒=122132()33B C∴==同理可得23313()33B C==故正方形n n n nA B C D的边长为13()3n-故选：D．【点睛】本题主要考查正方形的性质和锐角三角函数，利用正方形的性质和锐角三角函数找出规律是解题的关键．9．某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为（）A．95sinα米B．95cosα米C．59sinα米D．59cosα米【答案】B【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出AB的长．【详解】解：作AD⊥BC于点D，则BD＝32＋0.3＝95，∵cosα＝BD AB，∴cosα＝95 AB，解得，AB＝95cosα米，故选B．【点睛】本题考查解直角三角形的应用、轴对称图形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．10．要得到抛物线y＝2（x﹣4）2+1，可以将抛物线y＝2x2（）A．向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度C．向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度D．向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度【答案】C【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．【详解】∵y＝2（x﹣4）2+1的顶点坐标为（4，1），y＝2x2的顶点坐标为（0，0），∴将抛物线y＝2x2向右平移4个单位，再向上平移1个单位，可得到抛物线y＝2（x﹣4）2+1．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，求出顶点坐标并抓住点的平移规律是解题关键．11．如图，以原点O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是AB上一点（不与A，B重合），连接OP，设∠POB=α，则点P的坐标是（）。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．若关于x 的一元二次方程22(1)5320m x x m m -++-+=有一个根为0，则m 的值（ ） A ．0B ．1或2C ．1D ．2【答案】D【分析】把x=1代入已知方程得到关于m 的一元二次方程，通过解方程求得m 的值；注意二次项系数不为零，即m-1≠1．【详解】解：根据题意，将x=1代入方程，得：m 2-3m+2=1，解得：m=1或m=2，又m-1≠1，即m≠1，∴m=2，故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解定义和一元二次方程的定义．注意：本题中所求得的m 的值必须满足：m-1≠1这一条件．2．下列说法中正确的有（ ）①位似图形都相似；②两个等腰三角形一定相似；③两个相似多边形的面积比是2:3，则周长比为4:9；④若一个矩形的四边形分别比另一个矩形的四边形长2，那么这两个矩形一定相似．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】A【分析】根据位似变换的概念、相似多边形的判定定理和性质定理判断．【详解】解：①位似图形都相似，本选项说法正确；②两个等腰三角形不一定相似，本选项说法错误；③两个相似多边形的面积比是2：3，本选项说法错误；④若一个矩形的四边分别比另一个矩形的四边长2，那么这两个矩形对应边的比不一定相等，两个矩形不一定一定相似，本选项说法错误；∴正确的只有①；故选：A ．【点睛】本题考查的是位似变换、相似多边形的判定和性质，掌握位似变换的概念、相似多边形的判定定理和性质定理是解题的关键．3．为了测量某沙漠地区的温度变化情况，从某时刻开始记录了12个小时的温度，记时间为t （单位：h ）温度为y （单位：C ︒）.当48t ≤≤时，y 与t 的函数关系是21011y t t =-++，则48t ≤≤时该地区的最高温度是（ ）A ．11C ︒B ．27C ︒ C ．35︒CD ．36C ︒ 【答案】D【分析】利用配方法求最值.【详解】解：221011(5)36y t t t =-++=--+∵a=-1<0∴当t=5时，y 有最大值为36故选：D【点睛】本题考查配方法求最值，掌握配方法的方法正确计算是本题的解题关键.4．已知x ，y 满足2254440-+++=x x xy y ，则x y 的值是（ ）．A ．16B ．116C ．8D ．18【答案】A【分析】先把等式左边分组因式分解，化成非负数之和等于0形式，求出x,y 即可.【详解】由2254440-+++=x x xy y 得 ()()22244440xy y x x x +++-+=()()22220x x y +++=所以2x y +=0，2x +=0所以x=-2,y=-4所以x y =（-4）-2=16故选：A【点睛】考核知识点：因式分解运用.灵活拆项因式分解是关键.5．已知一元二次方程2x x 30--=的较小根为x 1，则下面对x 1的估计正确的是A ．12<x <1--B ．13<x <2--C ．12<x <3D ．11<x <0- 【答案】A【解析】试题分析：解2x x 30--=得x =，∴较小根为1x =∵1411313311331139<13<163<13<44<13<3<<<<12<<<12222-----⇒⇒---⇒⇒--⇒---， ∴12<x <1--．故选A ． 6．有一组数据：4，6，6，6，8，9，12，13，这组数据的中位数为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9 【答案】B【分析】先把这组数据按顺序排列：4，6，6，6，8，9，12，13，根据中位数的定义可知：这组数据的中位数是6，8的平均数．【详解】∵一组数据：4，6，6，6，8，9，12，13，∴这组数据的中位数是()6821427+÷÷==，故选：B ．【点睛】本题考查中位数的计算，解题的关键是熟练掌握中位数的求解方法：先将数据按大小顺序排列，当数据个数为奇数时，最中间的那个数据是中位数，当数据个数为偶数时，居于中间的两个数据的平均数才是中位数．7．将抛物线2y x 向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（ ）A ．2(3)1y x =++B ．2(3)1y x =-+C ．2(3)1y x =+-D ．2(3)1y x =-- 【答案】B【分析】根据函数图象向上平移加，向右平移减，可得函数解析式．【详解】解：将抛物线2yx 向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为：2(3)1y x =-+．故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象的平移规律是：左加右减，上加下减．8．如图，点(),Q m n （1m ）是反比例函数1y x=上的动点，过Q 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为A ，B .随着m 的增大，四边形OAQB 的面积（ ）A ．增大B ．减小C ．不确定D ．不变【答案】D【分析】由长方形的面积公式可得出四边形OAQB 的面积为mn ，再根据点Q 在反比例函数图象上，可知1mn = ，从而可判断面积的变化情况．【详解】∵点(),Q m n,OA m AQ n ∴==∴四边形OAQB 的面积为·OA AQ mn =， ∵点(),Q m n （1m ）是反比例函数1y x=上的动点 1mn ∴=∴四边形OAQB 的面积为定值，不会发生改变故选：D ．【点睛】本题主要考查反比例函数比例系数的几何意义，掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键． 9．如图，是一个几何体的三视图，根据图中标注的数据可求得这个几何体的体积为（ ）A ．12πB ．24πC ．36πD ．48π【答案】B 【解析】根据三视图：俯视图是圆，主视图与左视图是长方形可以确定该几何体是圆柱体，再利用已知数据计算圆柱体的体积．【详解】先由三视图确定该几何体是圆柱体，底面直径是4，半径是2，高是1．所以该几何体的体积为π×22×1=24π．故选B ．【点睛】本题主要考查由三视图确定几何体和求圆柱体的面积，考查学生的空间想象能力．10．下列图形：任取一个是中心对称图形的概率是 （ ）A．1 4B．12C．34D．1【答案】C【解析】本题考查概率的计算和中心对称图形的概念,根据中心对称图形的概念可以判定①③④是中心对称图形,4个图形任取一个是中心对称的图形的概率为P=34,因此本题正确选项是C.11．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，下列说法中不正确．．．的是()A．12DE BC=B．AD AEAB AC=C．△ADE∽△ABC D．:1:2ADE ABCS S=【答案】D【解析】∵在△ABC 中，点D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE=12BC，∴△ADE∽△ABC，AD AEAB AC=，∴21()4ADEABCS DES BC==.由此可知：A、B、C三个选项中的结论正确，D选项中结论错误.故选D.12．在Rt ABC中，∠C=90°，如果sin cosA A=，那么A∠的值是（）A．90°B．60°C．45°D．30°【答案】C【分析】根据锐角三角函数的定义解得即可．【详解】解：由已知，sinBCAAB=，cosACAAB=∵sin cosA A=∴BC AC=∵∠C=90°∴A∠=45°故选：C【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，解答关键是根据定义和已知条件构造等式求解．二、填空题（本题包括8个小题）13．已知反比例函数k y x =的图象经过点()3,2M -，则这个函数的表达式为__________． 【答案】6y x=- 【分析】把点的坐标代入根据待定系数法即可得解． 【详解】解：∵反比例函数y=k x 经过点M （-3，2）， ∴2=3k -， 解得k=-6，所以，反比例函数表达式为y=6x -． 故答案为：y=6x -． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，是求函数解析式常用的方法，需要熟练掌握并灵活运用． 14．抛物线2 y x bx c =-++的部分图象如图所示，对称轴是直线1x =-，则关于x 的一元二次方程20x bx c -++=的解为____．【答案】121,3x x ==-【分析】根据二次函数的性质和函数的图象，可以得到该函数图象与x 轴的另一个交点，从而可以得到一元二次方程20x bx c -++=的解，本题得以解决．【详解】由图象可得，抛物线2y x bx c =-++与x 轴的一个交点为（1，0），对称轴是直线1x =-，则抛物线与x 轴的另一个交点为（-3，0），即当0y =时，20x bx c -++=，此时方程的解是1213x x ==-，，故答案为：1213x x ==-，．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．15．在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2如图所示，已知A 点坐标为（1，1），过点A 作AA 1∥x 轴交抛物线于点A 1，过点A 1作A 1A 2∥OA 交抛物线于点A 2，过点A 2作A 2A 3∥x 轴交抛物线于点A 3，过点A 3作A 3A 4∥OA 交抛物线于点A 4，过点A 4作A 4A 5∥x 轴交抛物线于点A 5，则点A 5的坐标为_____．【答案】 (﹣3，9)【分析】根据二次函数性质可得出点A 1的坐标，求得直线A 1A 2为y =x+2，联立方程求得A 2的坐标，即可求得A 3的坐标，同理求得A 4的坐标，即可求得A 5的坐标．【详解】∵A 点坐标为(1，1)，∴直线OA 为y =x ，A 1(﹣1，1)，∵A 1A 2∥OA ，∴直线A 1A 2为y =x+2，解22y x y x =+⎧⎨=⎩得：11x y =-⎧⎨=⎩或24x y =⎧⎨=⎩， ∴A 2(2，4)，∴A 3(﹣2，4)，∵A 3A 4∥OA ，∴直线A 3A 4为y =x+6，解26y x y x =+⎧⎨=⎩得：24x y =-⎧⎨=⎩或39x y =⎧⎨=⎩， ∴A 4(3，9)，∴A 5(﹣3，9)，故答案为：(﹣3，9)．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键．16．O 的半径是2，弦2AB =，点C 为O 上的一点（不与点A 、B 重合），则ACB ∠的度数为______________.【答案】30或150 ；【分析】证出△ABO 是等边三角形得出∠AOB ＝60°． 再分两种情况：点C 在优弧ACB 上，则∠BCA ＝30°；点C 在劣弧AB 上，则∠BCA ＝12（360°−∠AOB ）＝150°；即可得出结果． 【详解】如图，连接OA ，OB ．∵AO ＝BO ＝2，AB ＝2，∴△ABO 是等边三角形，∴∠AOB ＝60°．若点C 在优弧ACB 上，则∠BCA ＝30°；若点C 在劣弧AB 上，则∠BCA ＝12（360°−∠AOB ）＝150°； 综上所述：∠BCA 的度数为30°或150°．故答案为30°或150°．【点睛】此题考查了垂径定理、等边三角形的判定与性质、三角函数、弧长公式．熟练掌握垂径定理，证明△OAB 是等边三角形是解决问题的关键．17．如图，在平面直角坐标系中，直线l 的函数表达式为y ＝x ，点O 1的坐标为（1，0），以O 1为圆心，O 1O 为半径画圆，交直线l 于点P 1，交x 轴正半轴于点O 2，以O 2为圆心，O 2O 为半径画圆，交直线l 于点P 2，交x 轴正半轴于点O 3，以O 3为圆心，O 3O 为半径画圆，交直线l 于点P 3，交x 轴正半轴于点O 4；…按此做法进行下去，其中20172018P O 的长为_____．【答案】22015π【分析】连接P 1O 1，P 2O 2，P 3O 3，易求得P n O n 垂直于x 轴，可知1n n P O 为14圆的周长，再找出圆半径的规律即可解题．【详解】解：连接P 1O 1，P 2O 2，P 3O 3…，∵P 1 是⊙O 1上的点，∴P 1O 1＝OO 1，∵直线l 解析式为y ＝x ，∴∠P 1OO 1＝45°，∴△P 1OO 1为等腰直角三角形，即P 1O 1⊥x 轴，同理，P n O n 垂直于x 轴，∴1n n P O 为14圆的周长， ∵以O 1为圆心，O 1O 为半径画圆，交x 轴正半轴于点O 2，以O 2为圆心，O 2O 为半径画圆，交x 轴正半轴于点O 3，以此类推，∴OO 1＝1＝20，OO 2＝2＝21，OO 3＝4＝22，OO 4＝8＝23，…，∴OO n ＝12n -， ∴12112224n n n n P O ，∴201520172018P 2O π=，故答案为：22015π．【点睛】本题考查了图形类规律探索、一次函数的性质、等腰直角三角形的性质以及弧长的计算，本题中准确找到圆半径的规律是解题的关键．18．经过点(1,tan 60)-°的反比例函数的解析式为__________． 【答案】3y x=- 【分析】设出反比例函数解析式解析式，然后利用待定系数法列式求出k 值，即可得解．【详解】设反比例函数解析式为k y x =， 则tan 601k ︒=-，解得：3k=-，∴此函数的解析式为3yx=-．故答案为：3yx=-．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式及特殊角的三角函数值，设出函数的表达式，然后把点的坐标代入求解即可，比较简单．三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点M是BC的中点．（1）在AM上求作一点E，使△ADE∽△MAB（尺规作图，不写作法）；（2）在（1）的条件下，求AE的长．【答案】（1）过D 作DE⊥AM于E，△ADE即为所求；见解析；（2）AE＝125．【分析】（1）根据题意作出图形即可；（2）先根据矩形的性质，得到AD∥BC，则∠DAE＝∠AMB，又由∠DEA＝∠B，根据有两角对应相等的两三角形相似，即可证明出△DAE∽△AMB，根据相似三角形的对应边成比例，即可求出DE的长，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：（1）过D 作DE⊥AM于E，△ADE即为所求；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠AMB，又∵∠DEA＝∠B＝90°，∴△DAE∽△AMB，∴DE：AD＝AB：AM，∵M是边BC的中点，BC＝6，∴BM＝3，又∵AB＝4，∠B＝90°，∴AM＝5，∴DE：6＝4：5，∴DE ＝245， ∴AE ＝22AD DE -＝222465⎛⎫- ⎪⎝⎭＝125．【点睛】考核知识点：相似三角形判定和性质.根据相似三角形判定和性质求出线段比，利用勾股定理进一步求解是关键.20．超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到县城城南大道的距离为100米的点P 处．这时，一辆出租车由西向东匀速行驶，测得此车从A 处行驶到B 处所用的时间为4秒，且60APO ∠=，45BPO ∠=．()1求A 、B 之间的路程；()2请判断此出租车是否超过了城南大道每小时60千米的限制速度？【答案】)10031（米）；此车超过了每小时60千米的限制速度. 【分析】（1）利用三角函数在两个直角三角形中分别计算出BO 、AO 的长，即可算出AB 的长； （2）利用路程÷时间＝速度，计算出出租车的速度，再把60千米/时化为503米/秒，再进行比较即可． 【详解】()1由题意知：PO 100=米，APO 60∠=，BPO 45∠=，在直角三角形BPO 中，∵BPO 45∠=，∴BO PO 100==米，在直角三角形APO 中，∵APO 60∠=，∴AO PB tan601003=⋅=米，∴())AB AO BO 100310010031=-==（米）； ()2∵从A 处行驶到B 处所用的时间为4秒，∴速度为()()1003142531-÷=-米/秒， ∵60千米/时6010005036003⨯==米/秒， 而()5025313->， ∴此车超过了每小时60千米的限制速度.【点睛】此题是解直角三角形的应用，主要考查了锐角三角函数，从复杂的实际问题中整理出直角三角形并求解是解决此类题目的关键．21．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 切⊙O 于点C ，BE ⊥CD 于E ，连接AC ，BC ．（1）求证：BC 平分∠ABE ；（2）若⊙O 的半径为3，cosA ＝23，求CE 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）143． 【分析】（1）根据切线的性质得OC ⊥DE ，则可判断OC ∥BE ，根据平行线的性质得∠OCB ＝∠CBE ，加上∠OCB ＝∠CBO ，所以∠OBC ＝∠CBE ；（2）由已知数据可求出AC ，BC 的长，易证△BEC ∽△BCA ，由相似三角形的性质即可求出CE 的长．【详解】（1）证明：∵CD 是⊙O 的切线，∴OC ⊥DE ，而BE ⊥DE ，∴OC ∥BE ，∴∠OCB ＝∠CBE ，而OB ＝OC ，∴∠OCB ＝∠CBO ，∴∠OBC ＝∠CBE ，即BC 平分∠ABE ；（2）∵⊙O 的半径为3，∴AB ＝6，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∵cosA＝3， ∴AC AB， ∴AC ＝，∴BC，∵∠ABC ＝∠ECB ，∠ACB ＝∠BEC ＝90°，∴△BEC ∽△BCA ， ∴CE AC ＝BC AB，， ∴CE． 【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的判定和性质，勾股定理的运用以及相似三角形的判定和性质，熟记和圆有关的各种性质定理是解题的关键．22．已知关于x 的一元二次方程mx 2+2mx+m ﹣4＝0；（1）若该方程没有实数根，求m 的取值范围．（2）怎样平移函数y ＝mx 2+2mx+m ﹣4的图象，可以得到函数y ＝mx 2的图象？【答案】（1）m ＜0；（1）向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度．【分析】（1）根据关于x 的一元二次方程mx 1+1mx+m ﹣4＝0没有实数根，可以得到关于m 的不等式组，从而可以求得m 的取值范围；（1）先将函数y ＝mx 1+1mx+m ﹣4化为顶点式，再根据平移的性质可以得到函数y ＝mx 1．【详解】（1）∵关于x 的一元二次方程mx 1+1mx+m ﹣4＝0没有实数根，∴()()202440m m m m ≠⎧⎪⎨--<⎪⎩ ， 解得，m ＜0，即m 的取值范围是m ＜0；（1）∵函数y ＝mx 1+1mx+m ﹣4＝m(x+1)1﹣4，∴函数y＝mx1+1mx+m﹣4的图象向右平移一个单位长度，在向上平移4个单位长度即可得到函数y＝mx1的图象．【点睛】本题考查了一元二次方程的问题，掌握根的判别式、一元二次方程的性质以及图象是解题的关键．23．五一期间，小红和爸爸妈妈去开元寺参观，对东西塔这对中国现存最高也是最大的石塔赞叹不已，也对石塔的高度产生了浓厚的兴趣．小红进行了以下的测量：她到与西塔距离27米的一栋大楼处，在楼底A处测得塔顶B的仰角为60°，再到楼顶C处测得塔顶B的仰角为30°．那么你能帮小红计算西塔BD和大楼AC的高度吗？【答案】西塔BD的高度为273米，大楼AC的高度为183米.【分析】作CE⊥BD于E，根据正切的定义求出BD，根据正切的定义求出BE，计算求出DE，得到AC 的长．【详解】解：作CE⊥BD于E，则四边形ACED为矩形，∴CE=AD=27，AC=DE，在Rt△BAD中，tan∠BAD=BD AD，则BD=AD•tan∠BAD=273，在Rt△BCE中，tan∠BCE=BE CE，则BE=CE•tan∠BCE=93，∴AC=DE=BD-BE=183，答：西塔BD的高度为273米，大楼AC的高度为183米.【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．24．在一个不透明的袋子中装有3个乒乓球，分别标有数字1，2，3，这些乒乓球除所标数字不同外其余均相同．先从袋子中随机摸出1个乒乓球，记下标号后放回，再从袋子中随机摸出1个乒乓球记下标号，用画树状图（或列表）的方法，求两次摸出的乒乓球标号之和是偶数的概率．【答案】图形见解析，概率为5 9【分析】根据题意列出树形图,再利用概率公式计算即可.【详解】根据题意，列表如下：共有9种结果，并且它们出现的可能性相等，符合题意的结果有5种，(5 9P和为偶数）∴.【点睛】本题考查概率的计算,关键在于熟悉树形图和概率公式.25．如图，要设计一幅宽为20cm，长30cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条宽度相等，如果要使余下的图案面积为504cm2，彩条的宽应是多少cm．【答案】1cm．【分析】设每个彩条的宽度为xcm，根据剩余面积为504cm2，建立方程求出其解即可．【详解】设每个彩条的宽度为xcm，由题意，得（30﹣2x）（20﹣2x）＝504，解得：x1＝24（舍去），x2＝1．答：每个彩条的宽度为1cm．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据剩余面积=总面积-彩条面积列出方程.26．某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．(1)降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？(2)要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？【答案】 (1) 4800元；(2) 降价60元.【解析】试题分析：（1）先求出降价前每件商品的利润，乘以每月销售的数量就可以得出每月的总利润；（2）设每件商品应降价x元，由销售问题的数量关系“每件商品的利润×商品的销售数量=总利润”列出方程，解方程即可解决问题．试题解析：（1）由题意得60×（360－280）＝4800（元）.即降价前商场每月销售该商品的利润是4800元；（2）设每件商品应降价x元，由题意得（360－x－280）（5x＋60）＝7200，解得x1＝8，x2＝60.要更有利于减少库存，则x＝60.即要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价60元.点睛：本题考查了列一元二次方程解实际问题的销售问题，解答时根据销售问题的数量关系建立方程是关键．27．A，B，C三人玩篮球传球游戏，游戏规则是：第一次传球由A将球随机地传给B，C两人中的某一人，以后的每一次传球都是由接球者将球随机地传给其余两人中的某人。

奉贤区初三数学第一学期期末质量抽查试卷参考答案一、选择题1、 A ；2、B ；3、B ；4、C ；5、D ；6、C. 二、填空题：7、x ≠2； 8、x =0或y 轴； 9、1300； 10、左侧； 11、4； 12、 12-；13、5； 14、23； 15、3； 16、13； 17、14或2； 18、35.三、解答题： 19、解：设234a b c k === 则a = 2k ，b=3k ，c = 4k又∵a – b + 2c = 14 即 2k – 3k+8k = 14 解得k = 2∴a = 4，b = 6，c = 8 ∴483216663ac b ⨯===答：a c b的值为16320、解：a ∥b由a b c -= ，a 23b c += 得：3(a )2b a b -=+∴3a 32b a b -=+ 解得5a 2b =根据实数与向量相乘的意义，可知a ∥b21、解：（1）过点B 、C 分别作BH ⊥AD ，CE ⊥AD ，垂足为H 、E ，在Rt △ABH 中，，BH = 10∵ sin BH =2ABα==∴=45α°在Rt △CED 中，CE = 10，i= 1∴tan β=1=3∴ β=30°（2）∵ i= 1=3C ED E=即103D E=解得 DE = 在Rt △ABH 中，=45α°，AH=BH=10又∵HE=BC = 16 ∴∴S梯形ABCD=12（AD + BC ）··答：拦水坝横截面面积为（）平方米22、（1）过A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，交MN 于E ，设MN=x ∵四边形MPNQ 为正方形，PQ 落在BC 上∴MN ∥BC ∴△AMN ∽△ABC∵AD ⊥BC ，MN ∥BC ∴AG ⊥MN ∵BC=6，S △ABC = 12，∴AD ＝4∵MP ⊥BC ，AD ⊥BC ，NQ ⊥BC ∴GD=MN=x ，∴AG = 4 – x ∴M N A G B CA D= ∴464x x -=解得x = 2.4即当正方形MPQN 边长PQ 恰好落在边BC 上时，MN 的长为2.4（2） 当PQ 在BC 上方时，则y = x 2∵y =103∴2103x =即3x =当PQ 在BC 下方时，设BC 分别交MP 、NQ 于E 、F ，则四边形MEFN 为矩形设ME=NF=h ，AG = 4 – h∵MN ∥BC ∴△AMN ∽△ABC∴M N A G B CA D= ∴4h 64x -=解得h = 2x 43-+∴y = 22x 43x -+∵y =103∴2210433x x -+=解得x = 5（x=1舍去）答：若正方形MPQN 与△ABC 公共部分的面积为103时，MN 3或523、（1）证明：∵四边形ABCD 平行四边形∴∠C +∠D=180°，AB∥CD∴∠BAE=∠AED∵∠BFE=∠C，∠BFE+∠AFB=180°∴∠AFB=∠D∴△ABF∽△EAD（2）∵AB∥CD ∴∠ABE=∠BEC∵BE⊥CD ∴∠BEC=90°∴∠ABE=90°在Rt△ABE中∵∠BAE=30°，AB=4∴BE =3AB = ，AE =∵△ABF∽△EAD ∴A B B FA E A D=43BF=解得BF=答：BF的长为24、（1）∵二次函数经过A（1，0）和B（3，0）∴01093b cb c=++⎧⎨=++⎩解得43bc=-⎧⎨=⎩∴y = x2– 4x + 3y =（x – 2）2– 1 ∴顶点P（2，– 1）（2）C（0，3）则BC2 = 9+9=18，PB2 = 1+1=2，CP2=4+16=20∵CP2 = BC2 + PB2∴△PBC为以∠PBC为直角的直角三角形在Rt△PBC中，sin∠CPB =10BCPC==答：∠CPB1025、（1）当AC1⊥BC时，∵AB=AC ∴BE=CE = 12BC=4∵AC1⊥BC ∴3=∵△ACD≌△AC1D ∴AC1=AC=5，C1D=CD=x∴EC=CE – CD = 4 – x ，C1E =AC1 = AE = 2∵AC1⊥BC ∴C1D2 = ED2 + EC12即x2 =（4 – x）2 + 4 解得x = 2.5 答：此时CD的长为2.5综上：存在这样的点D使△EC1D为等腰三角形，此时x = 3或者5 –。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB，BD于M，N两点．若AM＝2，则线段ON的长为( )A．2B．3C．1 D．6【答案】C【分析】作MH⊥AC于H，如图，根据正方形的性质得∠MAH=45°，则△AMH为等腰直角三角形，所以AH=MH=22AM=2，再根据角平分线性质得BM=MH=2，则AB=2+2，于是利用正方形的性质得到AC=2AB=22+2，OC=12AC=2+1，所以CH=AC-AH=2+2，然后证明△CON∽△CHM，再利用相似比可计算出ON的长．【详解】试题分析：作MH⊥AC于H，如图，∵四边形ABCD为正方形，∴∠MAH=45°，∴△AMH为等腰直角三角形，∴AH=MH=22AM=222∵CM平分∠ACB，∴2∴2∴222）2+2，∴OC=122+1，CH=AC﹣222，∵BD⊥AC，∴ON ∥MH ，∴△CON ∽△CHM ， ∴ON OC MH CH =，即21222+=+， ∴ON=1．故选C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了角平分线的性质和正方形的性质．2．如图是二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c ＝0；②b ＞2a ；③方程ax 2+bx+c ＝0的两根分别为－3和1；④a －2b+c≥0，其中正确的命题是（ ）A ．①②③B ．①④C ．①③D ．①③④【答案】C 【分析】根据二次函数的图象可知抛物线开口向上，对称轴为x=-1，且过点（1，0），根据对称轴可得抛物线与x 轴的另一个交点为（-3，0），把（1，0）代入可对①做出判断；由对称轴为x=-1，可对②做出判断；根据二次函数与一元二次方程的关系，可对③做出判断；根据a 、c 的符号，以及对称轴可对④做出判断；最后综合得出答案．【详解】解：由图象可知：抛物线开口向上，对称轴为直线x=-1，过（1，0）点，把（1，0）代入y=ax 2+bx+c 得，a+b+c=0，因此①正确；对称轴为直线x=-1，即：12b a-=-整理得，b=2a ，因此②不正确； 由抛物线的对称性，可知抛物线与x 轴的两个交点为（1，0）（-3，0），因此方程ax 2+bx+c=0的两根分别为-3和1；故③是正确的；由a ＞0，b ＞0，c ＜0，且b=2a ，则a-2b+c=a-4a+c=-3a+c ＜0，因此④不正确；故选：C ．【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数之间的关系，能够根据开口判断a 的符号，根据与x 轴，y 轴的交点判断c 的值以及b 用a 表示出的代数式是解题的关键．3．如果280x x m -+=可以通过配方写成()26x n -=的形式，那么280x x m ++=可以配方成（ ）A ．()251x n -+=B ．()26x n +=C ．()2511x n -+=D ．()21x n += 【答案】B 【分析】根据配方法即可求出答案．【详解】∵x 2−8x ＋m ＝0可以通过配方写成（x−n ）2＝6的形式，∴x 2−8x ＋16＝16−m ，x 2−2nx ＋n 2＝6，∴n ＝4，m ＝10，∴x 2＋8x ＋m ＝x 2＋8x ＋10＝0，∴（x ＋4）2＝6，即()26x n +=故选：B ．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型．4．下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ）A ．2x ﹣3＝xB ．2x+3y ＝5C ．2x ﹣x 2＝1D ．17x x += 【答案】C【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．【详解】A 、方程2x ﹣3＝x 为一元一次方程，不符合题意；B 、方程2x+3y ＝5是二元一次方程，不符合题意；C 、方程2x ﹣x 2＝1是一元二次方程，符合题意；D 、方程x+1x＝7是分式方程，不符合题意， 故选：C ．【点睛】本题考查了一元一次方程的问题，掌握一元一次方程的定义是解题的关键．5．一元二次方程x 2－8x －1=0配方后为( )A ．(x －4)2=17B ．(x ＋4)2=15C ．(x ＋4)2=17D ．(x －4)2=17或(x ＋4)2=17 【答案】A【解析】x 2－8x －1=0，移项，得x 2－8x=1，配方，得x 2－8x+42=1+42，即（x －4）2=17.故选A.点睛：配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方.6．一元二次方程2430x x -+=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定【答案】A【解析】先求出△的值，再根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系即可得出答案．【详解】解：一元二次方程2430x x-+=中，=-⨯⨯=>，△1641340则原方程有两个不相等的实数根．故选：A．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：>⇔方程有两个不相等的实数根；（1）△0=⇔方程有两个相等的实数根；（2）△0<⇔方程没有实数根（3）△07．如图，已知⊙O的直径为4，∠ACB＝45°，则AB的长为（）A．4 B．2 C．42D．22【答案】D【分析】连接OA、OB，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求出∠AOB＝90°，再根据等腰直角三角形的性质即可求出AB的长.【详解】连接OA、OB，如图，∵∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°，∴△AOB为等腰直角三角形，∴AB＝2OA＝22．故选：D．【点睛】此题考查的是圆周角定理和等腰直角三角形的性质，掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解决此题的关键.8．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，这些汽车标识中，是中心对称图形的是()A．B．C．D．【答案】D【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析．【详解】A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是中心对称图形，故此选项错误；D、是中心对称图形，故此选项正确；故选：D．【点睛】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．9．如图，菱形ABCD中，∠B＝70°，AB＝3，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则弧DE的长为（）A．13πB．23πC．76πD．43π【答案】A【分析】连接OE，由菱形的性质得出∠D＝∠B＝70°，AD＝AB＝3，得出OA＝OD＝1.5，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DOE＝40°，再由弧长公式即可得出答案．【详解】连接OE，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴∠D＝∠B＝70°，AD＝AB＝3，∴OA＝OD＝1.5，∵OD＝OE，∴∠OED＝∠D＝70°，∴∠DOE＝180°﹣2×70°＝40°，∴DE的长=40 1.51 1803ππ⨯=.故选:A.【点睛】此题考查菱形的性质、弧长计算，根据菱形得到需要的边长及角度即可代入公式计算弧长.10．已知：如图，菱形ABCD的周长为20cm，对角线AC=8cm，直线l从点A出发，以1cm/s的速度沿AC 向右运动，直到过点C为止在运动过程中，直线l始终垂直于AC，若平移过程中直线l扫过的面积为S（cm2），直线l的运动时间为t（s），则下列最能反映S与t之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】先由勾股定理计算出BO，OD，进而求出△AMN的面积.从而就可以得出0≤t≤4时的函数解析式；再得出当4＜t≤8时的函数解析式．【详解】解：连接BD交AC于点O，令直线l与AD或CD交于点N，与AB或BC交于点M．∵菱形ABCD的周长为20cm，∴AD=5cm．∵AC=8cm，∴AO=OC=4cm，由勾股定理得2254-，分两种情况：（1）当0≤t≤4时，如图1，MN∥BD，△AMN∽△ABD，∴MN AE BD AO =，t 64MN =，∴MN=32t ，∴S=12MN·AE=1322⨯t·t=34t 2 函数图象是开口向上，对称轴为y 轴且位于对称轴右侧的抛物线的一部分； （2）当4＜t≤8时，如图2，MN ∥BD ，∴△CMN ∽△CBD ，∴MN CE BD CO =，864MN t -=，MN=32-t+12， ∴S=S 菱形ABCD -S △CMN =()11386128222t t ⎛⎫⨯⨯-⨯-+- ⎪⎝⎭=34-t 2+12t-24=34-（t-8）2+24. 函数图象是开口向下，对称轴为直线t=8且位于对称轴左侧的抛物线的一部分．故选B ．【点睛】本题是动点函数图象题型，当某部分的解析式好写时，可以写出来，结合排除法，答案还是不难得到的． 11．一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的1个红球和3个绿球，从袋子中随机摸出一个小球，记下颜色后，不放回再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球恰好是一个红球和一个绿球的概率为( ) A ．12 B ．716 C ．14 D ．38【答案】A【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球恰好是一个红球和一个绿球的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的小球恰好是一个红球和一个绿球的结果数为6，所以两次摸出的小球恰好是一个红球和一个绿球的概率=612=12．故选A．【点睛】此题考查列表法与树状图法，解题关键在于根据题意画出树状图.12．下列4个图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意，故此选项错误．故选A．【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．二、填空题（本题包括8个小题）13．如果32ab=，那么a bb+= ．【答案】5 2【解析】试题分析：本题主要考查的就是比的基本性质.根据题意可得：a bb+=ab+bb=ab+1=32+1=52.14．若m是方程5x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则15m﹣3m+2010的值为_____．【答案】1【分析】根据m是方程5x2﹣3x﹣1＝0的一个根代入得到5m2﹣3m﹣1＝0，进一步得到5m2﹣1＝3m，两边同时除以m得：5m﹣1m＝3，然后整体代入即可求得答案．【详解】解：∵m是方程5x2﹣3x﹣1＝0的一个根，∴5m 2﹣3m ﹣1＝0，∴5m 2﹣1＝3m ，两边同时除以m 得：5m ﹣1m ＝3， ∴15m ﹣3m +2010＝3（5m ﹣1m ）+2010＝9+2010＝1， 故答案为：1．【点睛】本题考查了一元二次方程的根，灵活的进行代数式的变形是解题的关键.15．已知2x =-是一元二次方程240x mx ++=的一个解，则m 的值是__________．【答案】4【分析】把x=-2代入x 2+mx+4=0可得关于m 的一元一次方程，解方程即可求出m 的值.【详解】∵2x =-是一元二次方程240x mx ++=的一个解，∴4-2m+4=0，解得：m=4，故答案为：4【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 16．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，AD ∥BC ，DE 与AB 交于点F ，已知AD ＝4，DF ＝2EF ，sin ∠DAB ＝35，则线段DE ＝_____．【答案】10【分析】作DG ⊥BC 于G ，则DG ＝AC ＝6，CG ＝AD ＝4，由平行线得出△ADF ∽△BEF ，得出AD BE ＝DF EF ＝2，求出BE ＝12AD ＝2，由平行线的性质和三角函数定义求出AB ＝53C ＝10，由勾股定理得出BC ＝8，求出EG ＝BC ﹣BE ﹣CG ＝2，再由勾股定理即可得出答案．【详解】解：作DG ⊥BC 于G ，则DG ＝AC ＝6，CG ＝AD ＝4，∵AD ∥BC ，∴△ADF ∽△BEF ，∴AD BE ＝DF EF ＝2， ∴BE ＝12AD ＝2， ∵AD ∥BC ，∴∠ABC ＝∠DAB ，∵∠C ＝90°，∴sin ∠ABC ＝AC AB＝sin ∠DAB ＝35， ∴AB ＝53AC ＝53×6＝10， ∴BC ＝22106-＝8，∴EG ＝BC ﹣BE ﹣CG ＝8﹣2﹣4＝2，∴DE ＝22DG EG +＝2262+＝210；故答案为：210．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质以及解直角三角形等知识；证明三角形相似是解题的关键．17．若反比例函数y ＝(0)k k x≠的图象与一次函数y ＝﹣x+3的图象的一个交点到x 轴的距离为1，则k ＝_____．【答案】2或﹣1 【分析】分反比例函数y ＝(0)k k x≠在第一象限和第四象限两种情况解答． 【详解】解：当反比例函数y ＝(0)k k x ≠在第一象限时，﹣x+3＝1，解得x ＝2，即反比例函数y ＝(0)k k x ≠的图象与一次函数y ＝﹣x+3的图象交于点（2，1），∴k ＝2×1＝2；当反比例函数y ＝(0)k k x ≠在第四象限时，﹣x+3＝﹣1，解得x ＝1，即反比例函数y ＝(0)k k x≠的图象与一次函数y ＝﹣x+3的图象交于点（1，﹣1），∴k ＝1×（﹣1）＝﹣1．∴k ＝2或﹣1．故答案为：2或﹣1 【点睛】本题主要考察反比例函数和一次函数的交点问题，分象限情况作答是解题关键. 18．方程()()()232x x x ++=+的解是__________． 【答案】122x x ==-【分析】先通过移项将等号右边多项式移到左边，再利用提公因式法因式分解，即可得出方程的根. 【详解】解：()()()232x x x ++=+ 移项得：()()()2023x x x -++=+ 提公因式得：()()022x x ++= 解得：122x x ==-； 故答案为：122x x ==-. 【点睛】本题考查一元二次方程因式分解的解法.在解一元二次方程的时候，一定要先观察方程的形式，如果遇到了相同的因式，先将他们移到方程等号的一侧，看能否利用提公因式解方程，观察以及积累是快速解题的关键.三、解答题（本题包括8个小题）19．今年我县为了创建省级文明县城，全面推行中小学校“社会主义核心价值观”进课堂．某校对全校学生进行了检测评价，检测结果分为A (优秀)、B (良好)、C (合格)、D (不合格)四个等级．并随机抽取若干名学生的检测结果作为样本进行数据处理，制作了如下所示不完整的统计表和统计图．请根据统计表和统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次随机抽取的样本容量为__________； （2）统计表中a =_________，b =_________．（3）若该校共有学生5000人，请你估算该校学生在本次检测中达到“A (优秀)”等级的学生人数． 【答案】（1）100；（2）30，0.3；（3）1500人【分析】（1）用B 组的人数除以B 组的频率可以求得本次的样本容量；（2）用样本容量×A 组的频率可求出a 的值，用C 组的频数除以样本容量可求出b 的值；（3）用5000×A组的频率可求出在本次检测中达到“A(优秀)”等级的学生人数．【详解】解：（1）本次随机抽取的样本容量为：35÷0.35=100，故答案为：100；（2）a=100×0.3=30，b=30÷100=0.3，故答案为：30，0.3；（3）5000×0.3=1500（人），答：达到“A(优秀)”等级的学生人数是1500人．【点睛】本题考查条形统计图、统计表、样本容量、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．20．菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销.李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售.(1)求平均每次下调的百分率；(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金200元.试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由.【答案】(1) 10%.(1) 小华选择方案一购买更优惠.【解析】试题分析：（1）设出平均每次下调的百分率，根据从5元下调到3.1列出一元二次方程求解即可；（1）根据优惠方案分别求得两种方案的费用后比较即可得到结果．试题解析：（1）设平均每次下调的百分率为x．由题意，得5（1﹣x）1=3.1．解这个方程，得x1=0.1，x1=1.8（不符合题意），符合题目要求的是x1=0.1=10%．答：平均每次下调的百分率是10%．（1）小华选择方案一购买更优惠．理由：方案一所需费用为：3.1×0.9×5000=14400（元），方案二所需费用为：3.1×5000﹣100×5=15000（元）．∵14400＜15000，∴小华选择方案一购买更优惠．【考点】一元二次方程的应用．21．已知抛物线y = x2+ mx - 2m - 4（m>0）．（1）证明：该抛物线与 x 轴总有两个不同的交点；（2）设该抛物线与 x 轴的两个交点分别为 A ，B （点 A 在点 B 的右侧)，与 y 轴交于点 C ，A ，B ，三点都在圆 P 上．①若已知 B （-3，0），抛物线上存在一点 M 使△ABM 的面积为 15，求点 M 的坐标；②试判断：不论 m 取任何正数，圆 P 是否经过 y 轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标，若不是，说明理由．【答案】（1）见解析；（2）①M (4,6)-或(3,6)或(0,6)-或(1,6)--；②是，圆 P 经过 y 轴上的定点（0,1）．【分析】（1）令y=0，证明24(24)0m m ∆=--->，即可解答；（2）①将B （-3，0）代入y = x 2 + mx - 2m - 4，求出抛物线解析式，求出点A 的坐标，从而得到AB=5，根据△ABM 的面积为 15，列出方程解答即可；②求出OA=2，OB=m+2，OC=2（m+2），判断出∠OCB=∠OAF ，求出tan ∠OCB=12，即可求出OF=1，即可得出结论．【详解】解：（1）当y=0时，x 2 + mx - 2m - 4=0∴2224(24)816(4)m m m m m ∆=---=++=+，∵m>0，∴2(4)0m ∆=+>，∴该抛物线与 x 轴总有两个不同的交点；（2）①将B （-3，0）代入y = x 2 + mx - 2m - 4得：93240m m ---=，解得m=1，∴y = x 2 +x - 6，令y=0得：x 2 +x - 6=0，解得：123,2x x =-=， ∴A （2,0），AB=5， 设M （n ，n 2 +n - 6） 则216152ABMSAB n n =+-=，即256152n n ⨯+-= 解得：12344,3,0,1n n n n =-===-， ∴M (4,6)-或(3,6)或(0,6)-或(1,6)--．②是，圆 P 经过 y 轴上的定点（0,1），理由如下： 令y=0，∴x 2 + mx - 2m - 4=0，即(2)[(2)]0x x m -++=，∴2x =或(2)x m =-+， ∴A （2,0），()(2),0m -+， ∴OA=2，OB=m+2， 令x=0，则y=-2(m+2)， ∴OC=2(m+2)，如图，∵点A ，B ，C 在圆P 上， ∴∠OCB=∠OAF ，在Rt △BOC 中，21tan 2(2)2OB m OCB OC m +∠===+， 在Rt △AOF 中，1tan 22OF OAF ∠==， ∴OF=1， ∴点F （0,1）∴圆 P 经过 y 轴上的定点（0,1）．【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了一元二次方程的根的判别式，圆周角定理，锐角三角函数，求出点A ，B ，C 的坐标，根据圆的性质得出∠OCB=∠OAF 是解本题的关键．22．王大伯几年前承包了甲、乙两片荒山，各栽100棵杨梅树，成活98%．现已挂果，经济效益初步显现，为了分析收成情况，他分别从两山上随意各采摘了4棵树上的杨梅，每棵的产量如折线统计图所示． （1）分别计算甲、乙两山样本的平均数，并估算出甲、乙两山杨梅的产量总和； （2）试通过计算说明，哪个山上的杨梅产量较稳定？【答案】（1）甲、乙样本的平均数分别为：40kg，40kg；产量总和为7840千克（2）乙．【分析】（1）根据折线图先求出甲山和乙山的杨梅的总数就可以求出样本的平均数；利用样本平均数代替总体平均数即可估算出甲、乙两山杨梅的产量总和；（2）根据甲乙两山的样本数据求出方差，比较大小就可以求出结论．【详解】解：（1）甲山上4棵树的产量分别为：50千克、36千克、40千克、34千克，所以甲山产量的样本平均数为：50364034==404x+++千克；乙山上4棵树的产量分别为：36千克、40千克、48千克、36千克，所以乙山产量的样本平均数为36404836==404x+++千克．答：甲、乙两片山上杨梅产量数样本的平均数分别为：40kg，40kg；甲、乙两山的产量总和为：100×98%×2×40=7840千克．（2）由题意，得S甲2=2222(4050)(4036)(4040)(4034)=384-+-+-+-（千克2）；S乙2=2222(4036)(4040)(4048)(4036)=244-+-+-+-（千克2）∵38＞24∴S2甲＞S2乙∴乙山上的杨梅产量较稳定．【点睛】本题考查了折线统计图、方差、平均数和极差，从图中找到所需的统计量是解题的关键．23．在平面直角坐标系中，直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=a2x+bx+c(a<0)经过点A，B，(1)求a、b满足的关系式及c的值，(2)当x<0时，若y=a2x+bx+c(a<0)的函数值随x的增大而增大，求a的取值范围，(3)如图，当a=−1时，在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积为32?若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由，【答案】（1）b=3a+1；c=3；（2）103a -≤<；（3）点P 的坐标为：（352-+，552+）或（352--，55-）或（313-+，113+）或（313--，113-）.【分析】（1）求出点A 、B 的坐标，即可求解；（2）当x ＜0时，若y=ax 2+bx+c （a ＜0）的函数值随x 的增大而增大，则函数对称轴02bx a=-≥，而b=3a+1，即：3102a a+-≥，即可求解； （3）过点P 作直线l ∥AB ，作PQ ∥y 轴交BA 于点Q ，作PH ⊥AB 于点H ，由S △PAB =32，则P Q y y -=1，即可求解．【详解】解：（1）y=x+3，令x=0，则y=3，令y=0，则x=3-， 故点A 、B 的坐标分别为（-3，0）、（0，3），则c=3， 则函数表达式为：y=ax 2+bx+3，将点A 坐标代入上式并整理得：b=3a+1；（2）当x ＜0时，若y=ax 2+bx+c （a ＜0）的函数值随x 的增大而增大， 则函数对称轴02bx a=-≥， ∵31b a =+，∴3102a a+-≥， 解得：13a ≥-，∴a 的取值范围为：103a -≤<； （3）当a=1-时，b=3a+1=2-二次函数表达式为：223y x x =--+，过点P 作直线l ∥AB ，作PQ ∥y 轴交BA 于点Q ，作PH ⊥AB 于点H ，∵OA=OB ，∴∠BAO=∠PQH=45°，S △PAB =12×AB ×PH=12×32×PQ ×22=32， 则PQ=P Q y y -=1，在直线AB 下方作直线m ，使直线m 和l 与直线AB 等距离， 则直线m 与抛物线两个交点，分别与点AB 组成的三角形的面积也为32， ∴1P Q y y -=，设点P （x ，-x 2-2x+3），则点Q （x ，x+3）， 即：-x 2-2x+3-x-3=±1， 解得：352x -±=或3132x -±=； ∴点P 的坐标为：（35-+，55+）或（35--，55-）或（313-+，113+）或（313--，113-）. 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．24．地下停车场的设计大大缓解了住宅小区停车难的问题，如图是龙泉某小区的地下停车库坡道入口的设计示意图，其中，AB ⊥BD ，∠BAD ＝18°，C 在BD 上，BC ＝0.5m ．根据规定，地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志，以便告知驾驶员所驾车辆能否安全驶入．小刚认为CD 的长就是所限制的高度，而小亮认为应该以CE 的长作为限制的高度．小刚和小亮谁说得对？请你判断并计算出正确的限制高度．（结果精确到0.1m ，参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.325）【答案】小亮说的对，CE 为2.6m ．【解析】先根据CE ⊥AE ,判断出CE 为高,再根据解直角三角形的知识解答． 【详解】解：在△ABD 中,∠ABD ＝90°,∠BAD ＝18°,BA ＝10m , ∵tan ∠BAD ＝，∴BD ＝10×tan18°,∴CD ＝BD ﹣BC ＝10×tan18°﹣0.5≈2.7（m ）, 在△ABD 中,∠CDE ＝90°﹣∠BAD ＝72°, ∵CE ⊥ED , ∴sin ∠CDE ＝,∴CE ＝sin ∠CDE ×CD ＝sin72°×2.7≈2.6（m ）, ∵2.6m ＜2.7m ,且CE ⊥AE , ∴小亮说的对．答：小亮说的对,CE 为2.6m ． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用,主要是正弦、正切概念及运算,解决本题的关键把实际问题转化为数学问题.25．如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，点M 在O 上，MD 恰好经过圆心O ，连接MB .（1）若16CD =，4BE =，求O 的直径；（2）若M D ∠=∠，求D ∠的度数. 【答案】（1）1；（2）30【分析】（1）由CD ＝16，BE ＝4，根据垂径定理得出CE ＝DE ＝8，设⊙O 的半径为r ，则4OE r =-，根据勾股定理即可求得结果；（2）由∠M ＝∠D ，∠DOB ＝2∠D ，结合直角三角形可以求得结果；（2）由OM ＝OB 得到∠B ＝∠M ，根据三角形外角性质得∠DOB ＝∠B ＋∠M ＝2∠B ，则2∠B ＋∠D ＝90°，加上∠B ＝∠D ，所以2∠D ＋∠D ＝90°，然后解方程即可得∠D 的度数； 【详解】解：（1）∵AB ⊥CD ，CD ＝16， ∴CE ＝DE ＝8， 设OB r =， 又∵BE ＝4， ∴4OE r =- ∴()22248r r =-+，解得：10r =，∴⊙O的直径是1．（2）∵OM＝OB，∴∠B＝∠M，∴∠DOB＝∠B＋∠M＝2∠B，∵∠DOB＋∠D＝90°，∴2∠B＋∠D＝90°，∵M D∠=∠，∴∠B＝∠D，∴2∠D＋∠D＝90°，∴∠D＝30°；【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．26．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以斜边AB上一点O为圆心，OB为半径作⊙O，交AC于点E，交AB于点D，且∠BEC=∠BDE．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）连接OC交BE于点F，若23CEAE=，求OFCF的值．【答案】（1）证明见解析；（2）3 5【解析】试题分析：（1）连接OE，证得OE⊥AC即可确定AC是切线；（2）根据OE∥BC，分别得到△AOE∽△ACB和△OEF∽△CBF，利用相似三角形对应边的比相等找到中间比即可求解．试题解析：解：（1）连接OE．∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB．∵∠ACB=90°，∴∠CBE+∠BEC=90°．∵BD为⊙O的直径，∴∠BED=90°，∴∠DBE+∠BDE=90°，∴∠CBE=∠DBE，∴∠CBE=∠OEB，∴OE∥BC，∴∠OEA=∠ACB=90°，即OE⊥AC，∴AC为⊙O的切线．（2）∵OE∥BC，∴△AOE∽△ABC，∴OE：BC=AE：AC．∵CE：AE=2：3，∴AE：AC=3：1，∴OE：BC=3：1．∵OE ∥BC ，∴△OEF ∽△CBF ，∴35OF OE CF BC ==．点睛：本题考查了切线的判定，在解决切线问题时，常常连接圆心和切点，证明垂直或根据切线得到垂直． 27．已知二次函数243y x x =-+-.()1用配方法求该二次函数图象的顶点坐标；()2在所给坐标系中画出该二次函数的图象，并直接写出当0y >时自变量x 的取值范围.【答案】（1）顶点坐标为()2,1；（2）图象见解析，由图象得当13x <<时0y >. 【分析】（1）用配方法将函数一般式转化为顶点式即可；（2）采用列表描点法画出二次函数图象即可，根据函数图象，即可判定当0y >时自变量x 的取值范围. 【详解】()1243y x x =-+-()243x x =---. ()24443x x =--+-- ()221x =--+. ∴顶点坐标为()2,1()2列表:x 012 34··· y···3- 013-···图象如图所示y>.∴由图象得当13x<<时0【点睛】此题主要考查二次函数顶点式以及图象的性质，熟练掌握，即可解题.九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan∠ABC的值为（）A．35B．34C．105D．1【答案】B【分析】根据网格结构找出∠ABC所在的直角三角形，然后根据锐角的正切等于对边比邻边列式即可．【详解】解：∠ABC所在的直角三角形的对边是3，邻边是4，所以，tan∠ABC＝34．故选B．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握网格结构找出直角三角形是解题的关键．2．甲从标有1，2，3，4的4张卡片中任抽1张，然后放回.乙再从中任抽1张，两人抽到的标号的和是2的倍数的（包括2）概率是（）A．12B．14C．16D．18【答案】A【分析】首先列举出所有可能的情况，然后根据概率公式求解即可.【详解】根据题意，列出所有情况，如下：甲乙1 2 3 41 （1,1）（1,2）（1,3）（1,4）2 （2,1）（2,2）（2,3）（2,4）3 （3,1）（3,2）（3,3）（3,4）4 （4,1）（4,2）（4,3）（4,4）标号的和是2的倍数的（包括2）的情况共有8种∴其概率为81 162故选：A. 【点睛】此题主要考查对概率的求解，熟练掌握，即可解题.3．在直角三角形ABC 中，已知∠C=90°，∠A=40°，BC=3，则AC=（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】试题分析：∵∠C=90°，∠A=40°，∴∠B=50°.∵BC=3，，∴.故选D.考点：1.直角三角形两锐角的关系；2.锐角三角函数定义.4．在美术字中，有些汉字是中心对称图形，下面的汉字不是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．【详解】A 、不是中心对称图形，故此选项符合题意；B 、是中心对称图形，故此选项不符合题意；C 、是中心对称图形，故此选项不符合题意；D 、是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查中心对称图形的概念，解题的关键是熟知中心图形的定义.5．二次函数2y x =的图象向上平移2个单位得到的图象的解析式为（ ）A ．2 (2)y x =+B ．2 2? y x =+C ．2 (2)y x =-D ．2 2y x =-【答案】B【分析】直接根据“上加下减”的原则进行解答即可．【详解】由“上加下减”的原则可知,把二次函数y=x2的图象向上平移2个单位,得到的新图象的二次函数解析式是：y=x2+2.故答案选B.【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，解题的关键是熟练的掌握二次函数图象与几何变换.6．“2020年的6月21日是晴天”这个事件是（）A．确定事件B．不可能事件C．必然事件D．不确定事件【答案】D【分析】在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．【详解】“2020年的6月21日是晴天”这个事件是随机事件，属于不确定事件，故选：D．【点睛】本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．7．如图，△ABC中∠A=60°，AB=4，AC=6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的三角形与△ABC不相似的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．【详解】A、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项符合题意，B、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意，C、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意，D、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意，故选：A.【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．8．如图所示，若△ABC∽△DEF，则∠E的度数为（）A．28°B．32°C．42°D．52°【答案】C【详解】∵△ABC∽△DEF，∴∠B=∠E，在△ABC中，∠A=110°，∠C=28°，∴∠B=180°-∠A-∠C=42°，∴∠E=42°，故选C．9．下列说法正确的是( )A．“概率为1．1111的事件”是不可能事件B．任意掷一枚质地均匀的硬币11次，正面向上的一定是5次C．“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件D．“任意画出一个平行四边行，它是中心对称图形”是必然事件【答案】D【分析】根据不可能事件、随机事件、以及必然事件的定义（即根据事件发生的可能性大小）逐项判断即可．【详解】在一定条件下，不可能发生的事件叫不可能事件；一定会发生的事件叫必然事件；可能发生也可能不发生的事件叫随机事件A、“概率为0.0001的事件”是随机事件，此项错误B、任意掷一枚质地均匀的硬币11次，正面向上的不一定是5次，此项错误C、“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是必然事件，此项错误D、“任意画出一个平行四边行，它是中心对称图形”是必然事件，此项正确故选：D．【点睛】本题考查了不可能事件、随机事件、以及必然事件的定义，掌握理解相关定义是解题关键．10．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转50°得△DEC，若AC⊥DE，则∠BAC等于( )。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．已知二次函数2() 0y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列结论:①0a b c -+>;②0abc >; ③420a b c -+>;④0.a c ->⑤3+a c 0>;其中正确结论的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【分析】利用特殊值法求①和③，根据图像判断出a 、b 和c 的值判断②和④，再根据对称轴求出a 和b 的关系，再用特殊值法判断⑤，即可得出答案.【详解】令x=-1，则y=a-b+c ，根据图像可得，当x=-1时，y ＜0，所以a-b+c ＜0，故①错误； 由图可得，a ＞0，b ＜0，c ＜0，所以abc ＞0，a-c ＞0，故②④正确；令x=-2，则y=4a-2b+c ，根据图像可得，当x=-2时，y ＞0，所以4a-2b+c ＞0，故③正确； 12b x a=-=，所以-b=2a ，∴a-b+c=a+2a+c=3a+c ＜0，故⑤错误； 故答案选择B.【点睛】本题考查的是二次函数，难度偏高，需要熟练掌握二次函数的图像与性质.2．如图，在Rt ABC ∆中， 90BAC =︒∠，45ACB ∠=︒，22AB =，点P 为BC 上任意一点，连结PA ，以PA ，PC 为邻边作平行四边形PAQC ，连结PQ ，则PQ 的最小值为（ ）A ．2B 2C ．22D ．4【答案】A 【分析】设PQ 与AC 交于点O ，作OP '⊥BC 于P '，首先求出OP '，当P 与P '重合时，PQ 的值最小，PQ 的最小值=2OP '．【详解】设PQ 与AC 交于点O ，作OP '⊥BC 于P '，如图所示：在Rt △ABC 中，∠BAC=90︒，∠ACB=45︒， ∴22AB AC ==，∵四边形PAQC 是平行四边形，∴122OA OC AC ===， ∵OP '⊥BC ，∠ACB=45︒，∴2sin 4521OP OC =︒='=， 当P 与P '重合时，OP 的值最小，则PQ 的值最小，∴PQ 的最小值22OP ='=故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质以及垂线段最短的性质，利用垂线段最短求线段的最小值是解题的关键．3．如图，是用棋子摆成的“上”字：如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现：第30个“上”字需用多少枚棋子（ ）A ．122B ．120C ．118D ．116【答案】A 【分析】可以将上字看做有四个端点每次每个端点增加一个，还有两个点在里面不发生变化．找到其规律即可解答.【详解】第1个“上”字中的棋子个数是6；第2个“上”字中的棋子个数是10；第3个“上”字中的棋子个数是14；进一步发现规律：第n 个“上”字中的棋子个数是（4n+2）．所以第30个“上”字需要4×30+2=122枚棋子．故选：A ．【点睛】此题考查规律型：图形的变化，解题关键是通过归纳与总结，得到其中的规律.4．若△ABC ∽△ADE ，若AB=6，AC=4,AD=3，则AE 的长是（ ）A ．1B ．2C ．1.5D ．3【答案】B 【分析】根据相似三角形的性质，由AD AE AB AC =，即可得到AE 的长. 【详解】解：∵△ABC ∽△ADE ， ∴AD AE AB AC=， ∵AB=6，AC=4，AD=3， ∴364AE =， ∴2AE =；故选择：B.【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质.5．13名同学参加歌咏比赛，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前6名参加决赛，小红同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的（ ）A ．方差B ．众数C ．平均数D ．中位数【答案】D【解析】由于有13名同学参加歌咏比赛，要取前6名参加决赛，故应考虑中位数的大小．【详解】共有13名学生参加比赛，取前6名，所以小红需要知道自己的成绩是否进入前六．我们把所有同学的成绩按大小顺序排列，第7名学生的成绩是这组数据的中位数，所以小红知道这组数据的中位数，才能知道自己是否进入决赛．故选D ．【点睛】本题考查了用中位数的意义解决实际问题．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．6．能说明命题“关于x 的方程240x x m -+=一定有实数根”是假命题的反例为（ ）A ．1m =-B ．0m =C ．4m =D ．5m =【答案】D【分析】利用m=5使方程x 2-4x+m=0没有实数解，从而可把m=5作为说明命题“关于x 的方程x 2-4x+m=0一定有实数根”是假命题的反例．【详解】当m=5时，方程变形为x 2-4x+m=5=0，因为△=（-4）2-4×5＜0，所以方程没有实数解，所以m=5可作为说明命题“关于x 的方程x 2-4x+m=0一定有实数根”是假命题的反例．故选D ．【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．7．关于抛物线()212y x =--，下列说法错误的是（ ）A ．开口方向向上B ．对称轴是直线1x =C ．顶点坐标为()1,2--D ．当1x >时，y 随x 的增大而增大 【答案】C【分析】根据二次函数的图象和性质逐一进行判断即可．【详解】A. 因为二次项系数大于0，所以开口方向向上，故正确；B. 对称轴是直线1x =，故正确；C. 顶点坐标为()1,2-，故错误；D. 当1x >时，y 随x 的增大而增大，故正确；故选：C ．【点睛】本题主要考查二次函数，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．8．将点A(2，1)向右平移2个单位长度得到点A′，则点A′的坐标是（ ）A ．(0，1)B ．(2，﹣1)C ．(4，1)D ．(2，3) 【答案】C【分析】把点（2，1）的横坐标加2，纵坐标不变即可得到对应点的坐标．【详解】解：∵将点（2，1）向右平移2个单位长度，∴得到的点的坐标是（2+2，1），即：（4，1），故选：C ．【点睛】本题主要考查了坐标系中点的平移规律，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．9．已知0ab <，一次函数y ax b =-与反比例函数a y x =在同一直角坐标系中的图象可能（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据反比例函数图象确定b 的符号，结合已知条件求得a 的符号，由a,b 的符号确定一次函数图象所经过的象限．【详解】解：若反比例函数a xy ＝ 经过第一、三象限，则0a ＞ ．所以0b ＜ ．则一次函数y ax b ＝﹣ 的图象应该经过第一、二、三象限；若反比例函数a xy ＝经过第二、四象限，则a<1．所以b>1．则一次函数y ax b ＝﹣的图象应该经过第二、三、四象限．故选项A 正确；故选A ．【点睛】本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题． 10．下面哪个图形不是正方体的平面展开图（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】根据正方体展开图的11种形式，对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A 、不是正方体展开图，符合题意；B 、是正方体展开图，不符合题意；C 、是正方体展开图，不符合题意；D 、是正方体展开图，不符合题意．故选：A ．【点睛】本题主要考查了正方体的展开图，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．11．反比例函数3y x =-的图像经过点1(1,)y -，2(2,)y ，则下列关系正确的是（ ） A ．12y y <B ．12y y >C ．12y y =D ．不能确定 【答案】B【分析】根据点的横坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征即可求出y 1、y 2的值，比较后即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数3y x =-的图象经过点1(1,)y -，2(2,)y ， ∴y 1=3，y 2=32-， ∵3＞32-， ∴12y y >．故选：B ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据点的横坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征求出点的纵坐标是解题的关键．12．下列方程中没有实数根的是（ ）A ．210x x --=B ．2320x x ++=C ．2201911200x x +-=D ．220x x ++= 【答案】D【分析】分别计算出判别式△＝b 2−4ac 的值，然后根据判别式的意义分别判断即可．【详解】解：A 、△＝21411＝5＞0，方程有两个不相等的实数根；B 、△＝32−4×1×2＝1＞0，方程有两个不相等的实数根；C 、△＝112−4×2019×（−20）＝161641＞0，方程有两个不相等的实数根；D 、△＝12−4×1×2＝−7＜0，方程没有实数根．故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的根的判别式△＝b 2−4ac 的意义，当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．二、填空题（本题包括8个小题）13．一个不透明的盒子中有4个白球，3个黑球，2个红球，各球的大小与质地都相同，现随机从盒子中摸出一个球，摸到白球的概率是_____．【答案】49．【分析】直接利用概率求法，白球数量除以总数进而得出答案．【详解】∵一个不透明的盒子中有4个白球，3个黑球，2个红球，∴随机从盒子中摸出一个球，摸到白球的概率是：49．故答案为：49．【点睛】此题主要考查了概率公式，正确掌握概率求法是解题关键．14．一元二次方程x2＝2x的解为________．【答案】x1＝0，x1＝1【解析】试题分析：移项得x1-1x=0，即x（x-1）=0，解得x=0或x=1．考点：解一元二次方程15．若m是方程2x2﹣3x＝1的一个根，则6m2﹣9m的值为_____．【答案】1【分析】把m代入方程2x2﹣1x＝1，得到2m2-1m=1，再把6m2-9m变形为1（2m2-1m），然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：∵m是方程2x2﹣1x＝1的一个根，∴2m2﹣1m＝1，∴6m2﹣9m＝1(2m2﹣1m)＝1×1＝1．故答案为1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．16．已知x＝﹣1是方程x2﹣2mx﹣3＝0的一个根，则该方程的另一个根为_____．【答案】1【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．【详解】解：设另外一个根为x，由根与系数的关系可知：﹣x＝﹣1，∴x＝1，故答案为：1．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知根与系数的关系是解题的关键．17．定义符号max{a ，b}的含义为：当a≥b 时，max{a ，b}＝a ；当a ＜b 时，max{a ，b}＝b ．如max{1，﹣3}＝1，则max{x 2+2x+3，﹣2x+8}的最小值是_____．【答案】1【分析】根据题意，利用分类讨论的方法、二次函数的性质和一次函数的性质可以求得各段对应的最小值，从而可以解答本题．【详解】∵(x 2+2x+3)﹣(﹣2x+8)=x 2+4x ﹣5=(x+5)(x ﹣1)，∴当x=﹣5或x=1时，(x 2+2x+3)﹣(﹣2x+8)=0，∴当x ≥1时，max{x 2+2x+3，﹣2x+8}=x 2+2x+3=(x+1)2+2≥1，当x ≤﹣5时，max{x 2+2x+3，﹣2x+8}=x 2+2x+3=(x+1)2+2≥18，当﹣5＜x ＜1时，max{x 2+2x+3，﹣2x+8}=﹣2x+8＞1，由上可得：max{x 2+2x+3，﹣2x+8}的最小值是1．故答案为：1．【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和分类讨论的方法解答．18．反比例函数()0k y k x=>在第一象限内的图象如图，点M 是图象上一点，MP 垂直x 轴于点P ，如果MOP ∆的面积为4，那么k 的值是__________．【答案】1【分析】利用反比例函数k 的几何意义得到12|k|=4，然后利用反比例函数的性质确定k 的值． 【详解】解：∵△MOP 的面积为4，∴12|k|=4， ∴|k|=1，∵反比例函数图象的一支在第一象限，∴k ＞0，∴k=1，故答案为：1．【点睛】本题考查了比例系数k 的几何意义：在反比例函数y=k x图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12|k|，且保持不变．也考查了反比例函数的性质． 三、解答题（本题包括8个小题）19．已知关于x 的一元二次方程()22x 2k 1x k k 0-+++= （1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若△ABC 的两边AB 、AC 的长是方程的两个实数根，第三边BC 的长为1．当△ABC 是等腰三角形时，求k 的值【答案】（5）详见解析（4）k 4=或k 5=【分析】（5）先计算出△=5，然后根据判别式的意义即可得到结论；（4）先利用公式法求出方程的解为x 5=k ，x 4=k+5，然后分类讨论：AB=k ，AC=k+5，当AB=BC 或AC=BC 时△ABC 为等腰三角形，然后求出k 的值．【详解】解：（5）证明：∵△=（4k+5）4-4（k 4+k ）=5＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（4）解：一元二次方程x 4-（4k+5）x+k 4+k=0的解为x=2112k +±，即x 5=k ，x 4=k+5， ∵k＜k+5，∴AB≠AC．当AB=k ，AC=k+5，且AB=BC 时，△ABC 是等腰三角形，则k=5；当AB=k ，AC=k+5，且AC=BC 时，△ABC 是等腰三角形，则k+5=5，解得k=4，所以k 的值为5或4．【点睛】5．根的判别式；4．解一元二次方程-因式分解法；5．三角形三边关系；4．等腰三角形的性质． 20．已知：在△EFG 中，∠EFG ＝90°，EF ＝FG ，且点E ，F 分别在矩形ABCD 的边AB ，AD 上．（1）如图1，当点G 在CD 上时，求证：△AEF ≌△DFG ；（2）如图2，若F 是AD 的中点，FG 与CD 相交于点N ，连接EN ，求证：EN ＝AE+DN ；（3）如图3，若AE ＝AD ，EG ，FG 分别交CD 于点M ，N ，求证：MG 2＝MN•MD ．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.【分析】（1）先用同角的余角相等，判断出∠AEF＝∠DFG，即可得出结论；（2）先判断出△AHF≌△DNF，得出AH＝DN，FH＝FN，进而判断出EH＝EN，即可得出结论；（3）先判断出AF＝PG，PF＝AE，进而判断出PG＝PD，得出∠MDG＝45°，进而得出∠FGE＝∠GDM，判断出△MGN∽△MDG，即可得出结论．【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∴∠AEF+∠AFE＝90°，∵∠EFG＝90°，∴∠AFE+∠DFG＝90°，∴∠AEF＝∠DFG，∵EF＝FG，∴△AEF≌△DFG（AAS）；（2）如图2，，延长NF，EA相交于H，∴∠AFH＝∠DFN，由（1）知，∠EAF＝∠D＝90°，∴∠HAF＝∠D＝90°，∵点F是AD的中点，∴AF＝DF，∴△AHF≌△DNF（ASA），∴AH＝DN，FH＝FN，∵∠EFN＝90°，∴EH＝EN，∵EH＝AE+AH＝AE+DN，∴EN＝AE+DN；（3）如图3，过点G作GP⊥AD交AD的延长线于P，∴∠P＝90°，同（1）的方法得，△AEF≌△PFG（AAS），∴AF＝PG，PF＝AE，∵AE＝AD，∴PF＝AD，∴AF＝PD，∴PG＝PD，∵∠P＝90°，∴∠PDG＝45°，∴∠MDG＝45°，在Rt△EFG中，EF＝FG，∴∠FGE＝45°，∴∠FGE＝∠GDM，∵∠GMN＝∠DMG，∴△MGN∽△MDG，∴MG MNDM MG，MG2＝MN•MD．【点睛】考核知识点：相似三角形判定和性质.作辅助线，构造全等三角形，利用相似三角形解决问题是关键. 21．如图，C地在B地的正东方向，因有大山阻隔，由B地到C地需绕行A地，已知A地位于B地北偏东53°方向，距离B地516千米，C地位于A地南偏东45°方向．现打算打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求建成高铁后从B地前往C地的路程．（结果精确到1千米）（参考数据：sin53°＝45，cos53°＝35，tan53°＝43）【答案】建成高铁后从B 地前往C 地的路程约为722千米．【分析】作AD ⊥BC 于D ，分别根据正弦、余弦的定义求出BD 、AD ，再根据等腰直角三角形的性质求出CD 的长，最后计算即可.【详解】解：如图：作AD ⊥BC 于D ，在Rt △ADB 中，cos ∠DAB ＝AD AB ，sin ∠DAB ＝BD AB ， ∴AD ＝AB •cos ∠DAB ＝516×35＝309.6，BD ＝AB •sin ∠DAB ＝516×45＝412.8， 在Rt △ADC 中，∠DAC ＝45°，∴CD ＝AD ＝309.6，∴BC ＝BD+CD ≈722，答：建成高铁后从B 地前往C 地的路程约为722千米．【点睛】本题考查了方向角问题，掌握方向角的概念和熟记锐角三角函数的定义是解答本题的关键.22．如图，AB 为ABC ∆外接圆O 的直径，点P 是线段CA 延长线上一点，点E 在圆上且满足2·PE PA PC =，连接CE ，AE ，OE ，OE 交CA 于点D .（1）求证：PAE PEC ∆∆∽.（2）过点O 作OM PC ⊥，垂足为M ，30B ∠=︒，12AP AC =，求证：OD PD =. 【答案】（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）利用两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似即可；（2）构造全等三角形，先找出OD 与PA 的关系，再用等积式找出PE 与PA 的关系，从而判断出OM ＝PE ，得出△ODM ≌△PDE 即可．【详解】（1）证明：∵2·PE PA PC =，∴PE PC PA PE=， ∵APE EPC ∠=∠，∴PAE PEC ∆∆∽.（2）证明：连接BE ，∴OBE OEB ∠=∠，∵OBE PCE ∠=∠，∴OEB PCE ∠=∠，∵PAE PEC ∆∆∽，∴PEA PCE ∠=∠，∴PEA OEB ∠=∠，AB 为直径，∴90AEB =︒∠，∴90OEB OEA ∠+∠=︒，∵90PEA OEA ∠+∠=︒，∴90OEP ∠=︒，设圆O 半径为r ，在RT ABC ∆中，∵30B ∠=︒， ∴12CA AB r ==，CB =， ∵OM PC ⊥， ∴OM BC ， ∴QMA BCA ∆∆∽，又O 为AB 中点，∴122OM CB -=，1122AP AC r ==， ∵2·PE PA PC =，∴2PE r OM ==， 又OMD PED ∠=∠，ODM PDE ∠=∠，∴ODM PDE ∆∆≌，∴OD PD =.【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，圆的性质，全等三角形的判定和学生，解本题的关键是构造全等三角形，难点是找OM ＝PE ．23．如图，一根竖直的木杆在离地面3.1m 处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成38°角，则木杆折断之前高度约为__________．（参考数据：sin380.62,cos380.79,tan380.78︒≈︒≈︒≈）【答案】8.1m【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度．【详解】解：如图：3.1,38AC m B =∠=︒， ∴ 3.15sin 0.62AC AB B ===， ∴木杆折断之前高度()3.158.1AC AB m =+=+=故答案为8.1m【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握运算法则是解题关键.24．倡导全民阅读，建设书香社会．（调查）目前，某地纸媒体阅读率为40%，电子媒体阅读率为80%，综合媒体阅读率为90%．（百度百科）某种媒体阅读率，指有某种媒体阅读行为人数占人口总数的百分比；综合阅读率，在纸媒体和电子体中，至少有一种阅读行为的人数占人口总数的百分比，它反映了一个国家或地区的阅读水平．（问题解决）（1）求该地目前只有电子媒体阅读行为人数占人口总数的百分比；（2）国家倡导全民阅读，建设书香社会．预计未来两个五年中，若该地每五年纸媒体阅读人数按百分数x减少，综合阅读人数按百分数x增加，这样十年后，只读电子媒体的人数比目前增加53%，求百分数x．【答案】（1）该社区有电子媒体阅读行为人数占人口总数的百分比为50%．（2）x为10%．【分析】（1）根据题意，利用某地传统媒体阅读率为80%，数字媒体阅读率为40%，而综合阅读率为90%，得出等式求出答案；（2）根据综合阅读人数﹣纸媒体阅读人数＝只读电子媒体的人数，结合该地每五年纸媒体阅读人数按百分数x减少，综合阅读人数按百分数x增加列出方程即可求出答案．【详解】解：（1）设某地人数为a，既有传统媒体阅读又有数字媒体阅读的人数为y，则传统媒体阅读人数为0.8a，数字媒体阅读人数为0.4a．依题意得：0.8a+0.4a﹣y＝0.9a，解得y＝0.3a，∴传统媒体阅读又有数字媒体阅读的人数占总人口总数的百分比为30%．则该社区有电子媒体阅读行为人数占人口总数的百分比为＝80%﹣30%＝50%．（2）依题意得：0.9a（1+x）2+0.4a（1﹣x）2＝0.5a（1+0.53），整理得：5x2+26x﹣2.65＝0，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣5.3（舍去），答：x为10%．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意得出正确等量关系是解题关键．25．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，CF⊥AF，且CF=CE（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若sin∠BAC=25，求CBDABCSS∆∆的值．【答案】（1）见解析（2）8 25【分析】（1）首先连接OC，由CD⊥AB，CF⊥AF，CF=CE，即可判定AC平分∠BAF，由圆周角定理即可得∠BOC=2∠BAC，则可证得∠BOC=∠BAF，即可判定OC∥AF，即可证得CF是⊙O的切线．（2）由垂径定理可得CE=DE，即可得S△CBD=2S△CEB，由△ABC∽△CBE，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，易求得△CBE 与△ABC的面积比，从而可求得CBD ABCS S ∆∆的值． 【详解】（1）证明：连接OC ．∵CE ⊥AB ，CF ⊥AF ，CE=CF ，∴AC 平分∠BAF ，即∠BAF=2∠BAC ．∵∠BOC=2∠BAC ，∴∠BOC=∠BAF ．∴OC ∥AF ．∴CF ⊥OC ．∴CF 是⊙O 的切线．（2）解：∵AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，∴CE=ED ，∠ACB=∠BEC=90°．∴S △CBD =2S △CEB ，∠BAC=∠BCE ．∴△ABC ∽△CBE ．∴．∴．26．() 1解方程:2450x x --=; ()2二次函数图象经过点()4,3A -，当3x =时，函数有最大值1-，求二次函数的解析式．【答案】()1125,1x x ==-；()2()2231y x =--- 【分析】（1）根据题意利用因式分解法进行一元二次方程求解；（2）根据题意确定出顶点坐标，设出顶点形式，将（4，-3）代入即可确定出解析式．【详解】()1解:()()510x x -+=125,1x x ==-;()2解:由题意可知此抛物线顶点坐标为()3,1-，设其解析式为()231y a x =--，将点()4,3-代入得:31a -=-，解得:2a =-， ∴此抛物线解析式为:()2231y x =---.【点睛】考查一元二次方程求解以及待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握一元二次方程的解法和待定系数法求二次函数解析式是解本题的关键．27．如图，菱形ABCD 的边AB 在x 轴上，点A 的坐标为()1,0，点()44D ,在反比例函数k y x =（0x >）的图象上，直线23y x b =+经过点C ，与y 轴交于点E ，连接AC ，AE .（1）求k ，b 的值；（2）求ACE ∆的面积.【答案】（1）16k =，2b =-；（2）6∆=AEC S .【解析】（1）由菱形的性质可知()6,0B ，()9,4C ，点()44D ,代入反比例函数k y x=，求出k ；将点()9,4C 代入23y x b =+，求出b ； （2）求出直线223y x =-与x 轴和y 轴的交点，即可求AEC ∆的面积； 【详解】解：（1）由已知可得5AD =，∵菱形ABCD ，∴()6,0B ，()9,4C ， ∵点()44D ,在反比例函数()0k y x x =>的图象上， ∴16k =，将点()9,4C 代入23y x b =+， ∴2b =-； （2）()0,2E -，直线223y x =-与x 轴交点为()3,0， ∴()122462AEC S ∆=⨯⨯+=； 【点睛】本题考查反比例函数、一次函数的图象及性质，菱形的性质；能够将借助菱形的边长和菱形边的平行求点的坐标是解题的关键.九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a<0）过A（－3，0），B（1，0），C（－5，y 1），D（5，y 2）四点，则y1与y2的大小关系是（）A．y1>y2B．y1＝y2C．y1<y2D．不能确定【答案】A【分析】根据二次函数图象的对称轴位置以及开口方向，可得C（－5，y 1）距对称轴的距离比D（5，y 2）距对称轴的距离小，进而即可得到答案．【详解】∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a<0）过A（－3，0），B（1，0），∴抛物线的对称轴是：直线x=-1，且开口向下，∵C（－5，y 1）距对称轴的距离比D（5，y 2）距对称轴的距离小，∴y1>y2，故选A．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握用抛物线的轴对称性比较二次函数值的大小，是解题的关键．2．在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，则估计盒子中大约有白球（）A．12个B．16个C．20个D．30个【答案】A【解析】∵共摸了40次，其中10次摸到黑球，∴有10次摸到白球．∴摸到黑球与摸到白球的次数之比为1：1．∴口袋中黑球和白球个数之比为1：1．∴4×1=12（个）．故选A．考点：用样本估计总体．3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，OD∥BC，∠ABC=40°，则∠BCD的度数为（）A．80°B．90°C．100°D．110°【答案】D【分析】根据平行线的性质求出∠AOD，根据等腰三角形的性质求出∠OAD，根据圆内接四边形的性质计算即可．【详解】∵OD∥BC，∴∠AOD=∠ABC=40°，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA=70°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BCD=180°-∠OAD=110°，故选：D．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、平行线的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．4．如图，O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为6，则AB的长为（）A．8B．10C．12D．16【答案】D【分析】过点O作OC⊥AB于C，连接OA，根据勾股定理求出AC长，根据垂径定理得出AB=2CA，代入求出即可.【详解】过点O作OC⊥AB于C，连接OA，则OC=6，OA=10，由勾股定理得：228AC OA OC=-=，∵OC⊥AB，OC过圆心O，∴AB=2AC=16，故选D．【点睛】本题主要考查了勾股定理和垂径定理等知识点的应用，正确作出辅助线是关键.5．已知正六边形的边心距是26）A．42B．46C．62D．2【答案】A【分析】如图所示：正六边形ABCDEF中，OM为边心距，OM=26OA、OB，然后求出正六边形的中心角，证出△OAB 为等边三角形，然后利用等边三角形的性质和锐角三角函数即可求出结论． 【详解】解：如图所示：正六边形ABCDEF 中，OM 为边心距，OM=26，连接OA 、OB正六边形的中心角∠AOB=360°÷6=60° ∴△OAB 为等边三角形∴∠AOM=12∠AOB=30°，OA=AB 在Rt △OAM 中，OA=42cos OMAOM=∠ 即正六边形的边长是42． 故选A ． 【点睛】此题考查的是根据正六边形的边心距求边长，掌握中心角的定义、等边三角形的判定及性质和锐角三角函数是解决此题的关键．6．已知抛物线的解析式为y=（x-2）2+1，则这条抛物线的顶点坐标是（ ）. A ．（﹣2，1） B ．（2，1） C ．（2，﹣1） D ．（1，2） 【答案】B【解析】根据顶点式y=（x-h ）2+k 的顶点为（h ，k ），由y=（x-2）2+1为抛物线的顶点式，顶点坐标为（2，1）． 故选：B ．7．反比例函数y ＝(k≠0)的图象经过点(2，-4)，若点(4，n)在反比例函数的图象上，则n 等于( )A ．﹣8B ．﹣4C ．﹣D ．﹣2【答案】D【解析】利用反比例函数图象上点的坐标特征得到4n=1×(-4)，然后解关于n 的方程即可． 【详解】∵点（1，-4）和点（4，n ）在反比例函数y=的图象上，∴4n=1×(-4)， ∴n=-1． 故选D ． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k 为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x ，y ）的横纵坐标的积是定值k ，即xy=k ．8．四位同学在研究函数2y x bx c =++（,b c 是常数）时，甲发现当1x =时，函数有最小值；乙发现1-是方程20x bx c ++=的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当2x =时，4y =，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】B【分析】利用假设法逐一分析，分别求出二次函数的解析式，再判断与假设是否矛盾即可得出结论． 【详解】解：A ．假设甲同学的结论错误，则乙、丙、丁的结论都正确 由乙、丁同学的结论可得01442b cb c =-+⎧⎨=++⎩解得：1323b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴二次函数的解析式为：221212533636⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭-y x x x∴当x=16-时，y 的最小值为2536-，与丙的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意； B ．假设乙同学的结论错误，则甲、丙、丁的结论都正确 由甲、丙的结论可得二次函数解析式为()213y x =-+ 当x=2时，解得y=4，当x=-1时，y=7≠0 ∴此时符合假设条件，故本选项符合题意；C ． 假设丙同学的结论错误，则甲、乙、丁的结论都正确 由甲乙的结论可得1201bb c⎧-=⎪⎨⎪=-+⎩ 解得：23b c =-⎧⎨=-⎩∴223y x x =--当x=2时，解得：y=-3，与丁的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意；D ． 假设丁同学的结论错误，则甲、乙、丙的结论都正确 由甲、丙的结论可得二次函数解析式为()213y x =-+当x=-1时，解得y=7≠0，与乙的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意． 故选B ． 【点睛】此题考查的是利用待定系数法求二次函数解析式，利用假设法求出b 、c 的值是解决此题的关键． 9．如图，在△ABC 中，中线BE 、CF 相交于点G ，连接EF ，下列结论：①EF BC =12； ②EGF CGBS S =12； ③AF AB =GE GB； ④GEF AEFS S =13．其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．C ．3个D ．4个【答案】C【解析】根据三角形的中位线定理推出FE ∥BC ，利用平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质和等底同高的三角形面积相等一一判断即可．【详解】∵AF ＝FB ，AE ＝EC ，∴FE ∥BC ，FE ：BC ＝1：2，∴AF FE GEAB BC GB==，故①③正确． ∵FE ∥BC ，FE ：BC ＝1：2，∴FG ：GC=1：2，△FEG ∽△CBG ．设S △FGE ＝S ，则S △EGC ＝2S ，S △BGC ＝4s ，∴14EGF CGBSS=，故②错误．∵S △FGE ＝S ，S △EGC ＝2S ，∴S △EFC ＝3S ．∵AE=EC ，∴S △AEF ＝3S ，∴GEFAEFSS=13，故④正确． 故选C ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 10．下列说法错误的是（ ） A ．必然事件发生的概率是1B ．通过大量重复试验，可以用频率估计概率C ．概率很小的事件不可能发生D ．投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得 【答案】C【解析】不确定事件就是随机事件，即可能发生也可能不发生的事件，发生的概率大于0并且小于1 【详解】A 、必然事件发生的概率是1，正确； B 、通过大量重复试验，可以用频率估计概率，正确； C 、概率很小的事件也有可能发生，故错误；D 、投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得，正确， 故选：C ． 【点睛】本题考查了概率的意义，概率的意义反映的只是这一事件发生的可能性的大小，概率取值范围：0≤p ≤1，其中必然发生的事件的概率P(A)＝1；不可能发生事件的概率P(A)＝0；随机事件，发生的概率大于0并且小于1.事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0.11．为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A ，再在他所在的这一侧选点B ，C ，D ，使得AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，然后找出AD 与BC 的交点E ，如图所示．若测得BE ＝90 m ，EC ＝45 m ，CD ＝60 m ，则这条河的宽AB 等于( )A ．120 mB ．67.5 mC ．40 mD ．30 m【答案】A【解析】∵∠ABE=∠DCE, ∠AEB=∠CED, ∴△ABE ∽△DCE, ∴AB BECD CE=. ∵BE =90m ，EC =45m ，CD =60m ， ∴()906012045AB m ⨯== 故选A.12．如图，已知△ABC 与△DEF 位似，位似中心为点O ，且△ABC 的面积等于△DEF 面积的49，则AO ：AD 的值为（ ）。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．已知△ABC∽△A1B1C1，若△ABC与△A1B1C1的相似比为3：2，则△ABC与△A1B1C1的周长之比是（）A．2：3 B．9：4 C．3：2 D．4：9【答案】C【分析】直接利用相似三角形的性质求解．【详解】解：∵△ABC与△A1B1C1的相似比为3：1，∴△ABC与△A1B1C1的周长之比3：1．故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．2．已知x=1是一元二次方程mx2–2=0的一个解，则m的值是（）.A．2B．2 C．2D．1或2【答案】B【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入mx2–2=0可得关于m的一元一次方程，解方程求出m的值即可得答案.【详解】∵x=1是一元二次方程mx2–2=0的一个解，∴m-2=0，解得：m=2，故选：B.【点睛】本题考查一元二次方程的解的定义，把求未知系数的问题转化为方程求解的问题，能够使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解；熟练掌握定义是解题关键.3．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1和3，则函数值y 随x值的增大而减小时，x的取值范围是（）A ．x ＜1B ．x ＞1C ．x ＜2D ．x ＞2【答案】A 【分析】首先根据抛物线与坐标轴的交点确定对称轴，然后根据其开口方向确定当x 满足什么条件数值y 随x 值的增大而减小即可．【详解】∵二次函数的图象与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为﹣1、3，∴AB 中点坐标为（1，0），而点A 与点B 是抛物线上的对称点，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，∵开口向上，∴当x ＜1时，y 随着x 的增大而减小，故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质以及判断方法是解题的关键．4．如图，∠1＝∠2，则下列各式不能说明△ABC ∽△ADE 的是（ ）A ．∠D ＝∠BB ．∠E ＝∠C C ．AD AE AB AC = D ．AD DE AB BC= 【答案】D 【分析】根据∠1＝∠2，可知∠DAE ＝∠BAC ，因此只要再找一组角或一组对应边成比例即可．【详解】解：A 和B 符合有两组角对应相等的两个三角形相似；C 、符合两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似；D 、对应边成比例但无法证明其夹角相等，故其不能推出两三角形相似．故选D ．【点睛】考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．5．某次聚会，每两个参加聚会的人都互相握了一次手，有人统计一共握了10次手．求这次聚会的人数是多少？设这次聚会共有x 人，可列出的方程为（ ）A ．()110x x +=B ．()1=10x x -C ．()21=10x x -D ．1(1)102x x -= 【答案】D【分析】每个人都要和他自己以外的人握手一次，但两个人之间只握手一次，所以等量关系为12×聚会人数×（聚会人数-1）=总握手次数，把相关数值代入即可．【详解】解：设参加这次聚会的同学共有x 人， 由题意得：1(1)102x x -=， 故选：D ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．6．一元二次方程x （3x+2）＝6（3x+2）的解是（ ）A ．x ＝6B ．x ＝﹣23C ．x 1＝6，x 2＝﹣23D ．x 1＝﹣6，x 2＝23 【答案】C【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可求出答案．【详解】解：∵x （3x+2）＝6（3x+2），∴（x ﹣6）（3x+2）＝0，∴x ＝6或x ＝23-， 故选：C ．【点睛】本题主要考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法是解题的关键.7．如图，PA .PB 分别与O 相切于A .B 两点，点C 为O 上一点，连接AC .BC ，若50P ∠=︒，则ACB ∠的度数为（ ）.A ．60︒；B ．75︒；C ．70︒；D ．65︒.【答案】D 【解析】连接OA .OB ，由切线的性质可知90OAP OBP ∠=∠=︒，由四边形内角和可求出AOB ∠的度数，根据圆周角定理（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）可知ACB ∠的度数.【详解】解：连接OA .OB ，∵PA .PB 分别与O 相切于A .B 两点，∴OA PA ⊥，OB PB ⊥，∴90OAP OBP ∠=∠=︒，∴180********AOB P ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴111306522ACB AOB ︒︒∠=∠=⨯=． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了圆的切线性质及圆周角定理，灵活应用切线性质及圆周角定理是解题的关键.8．下列方程是一元二次方程的是( )A ．20x -=B ．2320x x -=C ．30xy +=D ．1230x x-+= 【答案】B【分析】一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax 2+bx+c=0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．【详解】解：选项A ：是一元一次方程，故不符合题意；选项B ：只含一个未知数，并且未知数最高次项是2次，是一元二次方程，故符合题意；选项C ：有两个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意；选项D ：不是整式方程，故不符合题意；综上，只有B 正确．故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，属于基础知识的考查，比较简单．9．如果二次函数()2y x m n =-+的图像如图所示，那么一次函数y mx n =+的图像经过（ ）A ．第一、二、三象限B ．第一、三、四象限C ．第一、二、四象限D ．第二、三、四象限【答案】B 【分析】由二次函数解析式表示出顶点坐标，根据图形得到顶点在第四象限，求出m 与n 的正负，即可作出判断．【详解】根据题意得：抛物线的顶点坐标为（m ，n ），且在第四象限，∴m ＞0，n ＜0，则一次函数y=mx+n 经过第一、三、四象限．故选：B ．【点睛】此题考查了二次函数与一次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数及一次函数的图象与性质是解题的关键．10．二次函数y=kx 2+2x+1的部分图象如图所示，则k 的取值范围是（ ）A ．k≤1B ．k≥1C ．k<1D ．0<k < 1【答案】D 【分析】由二次函数y=kx 2+2x+1的部分图象可知开口朝上以及顶点在x 轴下方进行分析.【详解】解：由图象可知开口朝上即有0<k ，又因为顶点在x 轴下方，所以顶点纵坐标224420,44ac b k a k--=<从而解得k < 1，所以k 的取值范围是0<k < 1. 故选D.【点睛】本题考查二次函数图像性质，根据开口朝上以及顶点在x 轴下方分别代入进行分析.11．下列说法正确的是（ ）A ．一颗质地硬币已连续抛掷了5次，其中抛掷出正面的次数为1次，则第6次一定抛掷出为正面B ．某种彩票中奖的概率是2%，因此买100张该种彩票一定会中奖C ．天气预报说2020年元旦节紫云下雨的概率是50%，所以紫云2020年元旦节这天将有一半时间在下雨D ．某口袋中有红球3个，每次摸出一个球是红球的概率为100%【答案】D【分析】概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生．【详解】解：A 、一颗质地硬币已连续抛掷了5次，其中抛掷出正面的次数为1次，则第6次一定抛掷出为正面，是随机事件，错误；B 、某种彩票中奖的概率是2%，因此买100张该种彩票不一定会中奖，错误；C 、下雨的概率是50%，是说明天下雨的可能性是50%，而不是明天将有一半时间在下雨，错误；D 、正确．故选：D ．【点睛】正确理解概率的含义是解决本题的关键．注意随机事件的条件不同，发生的可能性也不等．12．如图，正六边形ABCDEF的半径OA＝OD＝2，则点B关于原点O的对称点坐标为（）A．（1，﹣3）B．（﹣1，3）C．（﹣3，1）D．（3，﹣1）【答案】D【分析】根据正六边形的性质，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：连接OB，∵正六边形ABCDEF的半径OA＝OD＝2，∴OB＝OA＝AB＝6，∠ABO＝∠60°，∴∠OBH＝60°，∴BH＝12OB＝1，OH＝32OB3∴B31），∴点B关于原点O31）．故选：D．【点睛】本题考查了正六边形的性质和解直角三角形的相关知识，解决本题的关键是熟练掌握正六边形的性质，能够得到相应角的度数.二、填空题（本题包括8个小题）13．点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），则BPAP=________．51．【解析】解：∵点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），∴BP APAP AB==512-．故答案为512-．点睛：本题考查了黄金分割的定义，牢记黄金分割比是解题的关键．14．在锐角ABC中，2232sin cos22A B⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝0，则∠C的度数为____．【答案】75°【分析】由非负数的性质可得：3sin2cos2AB⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可求,A B∠∠，从而利用三角形的内角和可得答案．【详解】解：由题意，得sinA＝32，cosB＝22，解得∠A＝60°，∠B＝45°，∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝75°，故答案为：75°．【点睛】本题考查了非负数的性质：偶次方、三角形的内角和定理，特殊角的三角函数值，掌握以上知识是解题的关键．15．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B(3，1)，B′(6，2)，若点A′(5，6)，则A的坐标为______.【答案】(2.5，3)【分析】利用点B(3，1)，B′(6，2)即可得出位似比进而得出A的坐标.【详解】解：∵点B(3，1)，B′(6，2)，点A′(5，6)，∴A的坐标为：(2.5，3).故答案为：(2.5，3).【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．16．如图，在平行四边形ABCD中，E是AB边上的点，3AE BE=，连接AC，DE相交于点O，则:AOE ACD S S ∆∆=_________．【答案】928【分析】设△AEO 的面积为a ，由平行四边形的性质可知AE ∥CD ，可证△AEO ∽△CDO ，相似比为AE ：CD ＝EO ：DO ＝3：4，由相似三角形的性质可求△CDO 的面积，由等高的两个三角形面积等于底边之比，可求△ADO 的面积，得出:AOE ACD S S ∆∆的值．【详解】解：设△AEO 的面积为a ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，且AB ＝CD ，∵3AE BE =，∴AE ＝34 CD ＝34AB ， 由AB ∥CD 知△AEO ∽△CDO ， ∴34AE EO CD DO ==， ∴239416AEO CDO ⎛⎫== ⎪⎝⎭， ∵设△AEO 的面积为a ，，∴S △CDO ＝169a ， ∵△ADO 和△AEO 共高，且EO ：DO ＝3：4，，∴S △ADO ＝43a ， 则S △ACD ＝S △ADO ＋S △CDO ＝16428939a a a +=， ∴289::928AOE ACDS S a a ∆∆== 故答案为：928． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是由平行线得出相似三角形，利用相似比求相似三角形的面积，等高的三角形面积．17．如图，已知△ABC ，AB=6，AC=5，D 是边AB 的中点，E 是边AC 上一点，∠ADE=∠C ，∠BAC 的平分线分别交DE、BC于点F、G，那么AFAG的值为__________．【答案】3 5【分析】由题中所给条件证明△ADF~△ACG，可求出AFAG的值.【详解】解：在△ADF和△ACG中，AB=6，AC=5，D是边AB的中点AG是∠BAC的平分线，∴∠DAF=∠CAG∠ADE＝∠C∴△ADF~△ACG∴35 AF ADAG AC==.故答案为35.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，难度适中，需熟练掌握.18．如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF长为10cm，母线OE（OF）长为10cm．在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣，且FA=2cm，一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点，则此蚂蚁爬行的最短距离________cm．【答案】241cm【解析】试题分析：因为OE=OF=EF=10（cm），所以底面周长=10π（cm），将圆锥侧面沿OF剪开展平得一扇形，此扇形的半径OE=10（cm），弧长等于圆锥底面圆的周长10π（cm）设扇形圆心角度数为n，则根据弧长公式得：10π=，所以n=180°，即展开图是一个半圆，因为E 点是展开图弧的中点，所以∠EOF=90°，连接EA ，则EA 就是蚂蚁爬行的最短距离，在Rt △AOE 中由勾股定理得，EA 2=OE 2+OA 2=100+64=164，所以EA=2（cm ），即蚂蚁爬行的最短距离是2（cm ）．考点：平面展开-最短路径问题；圆锥的计算．三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，M 为BC 的中点，MH ⊥AC ，垂足为 H ．（1）求证：2AM AB AH =⋅；（2）若 AB ＝AC ＝10，BC ＝1．求CH 的长．【答案】（1）详见解析；（2）3.2【分析】（1）证明AMB AHM ∆∆∽，利用线段比例关系可得；（2）利用等腰三角形三线合一和勾股定理求出AM 的长，再由（1）中关系式可得AH 长度，可得CH 的长.【详解】解：（1）证明：∵=AB AC ，M 为BC 的中点，∴=BAM CAM AM BC ∠∠⊥，∴=90AMB ∠︒∵MH AC ⊥∴=90AHM ∠︒∴=AMB AHM ∠∠∴AMB AHM ∆∆∽ ∴=AM AB AH AM∴2=AM AB AH ⋅（2）解：∵==10AB AC ，=12BC ，M 为BC 的中点，∴==6BM CM ，在Rt ABM ∆中，AM ，由（1）得228===6.410AM AH AB ∴==10 6.4=3.2CH AC AH --.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形三线合一的性质，解题的关键是利用相似三角形得到线段比例关系.20． “互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐，某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可售价100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x 元(x 为正整数)，每月的销售量为y 条． （1）直接写出y 与x 的函数关系式；（2）设该网店每月获得的利润为w 元，当销售单价为多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？ （3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生，为了保证捐款后每月利润不低于3800元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？【答案】（1）5500y x =-+；（2）当销售单价为70元时，最大利润4500元；（3）销售单价定为60元．【分析】（1）根据降价1元，销量增加5条，则降价()80x -元，销量增加()580-x 件，即可得出关系式；（2）根据总利润=每条利润×销量，可建立函数关系式，再根据二次函数最值的求法得到最大利润； （3）先求出利润为(3800+200)元时的售价，取符合题意的价格即可．【详解】解：（1）由题意可得：()100580y x =+-整理得5500y x =-+（2）()()405500w x x =--+2570020000x x =-+-()25704500x =--+ 50a =-<∴ 当70x =时，w 4500=最大值即当销售单价为70元时，最大利润4500元．（3）由题意，得：()257045003800200x --+=+解得：160x =，280x =抛物线开口向下，对称轴为直线70x = ∴当6080x ≤≤时，符合该网店要求而为了让顾客得到最大实惠，故60x =∴当销售单价定为60元时，即符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠．【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握销售问题的等量关系建立二次函数模型是解题的关键． 21．（1）解方程2980x x +-=．（2）计算：2102452(3.14)π---+-．【答案】（1）192x -+=，292x -=；（2）112-． 【分析】（1）根据题意直接运用公式法解一元二次方程即可；（2）根据题意运用幂的运算以及特殊锐角三角函数进行计算即可.【详解】解：（1）由题意可知1,9,8a b c ===-，1922b x a -+-+==，2922b x a ----==.（2）()02122 3.14π---+-14122=-+-+ 112=-． 【点睛】本题考查解一元二次方程以及实数的运算，熟练掌握实数运算法则以及解一元二次方程的解法是解本题的关键．22．如图，在矩形ABCD 中，M 是BC 中点，请你仅用无刻度直尺按要求作图．（1）在图1中，作AD 的中点P ；（2）在图2中，作AB 的中点Q ．【答案】(1)画图见解析；(2)画图见解析.【解析】（1）先连接矩形的对角线交于点O，再连接MO并延长，交AD于P，则点P即为AD的中点；（2）先运用（1）中的方法，画出AD的中点P，再连接BP，交AC于点K，则点E，再连接DK并延长，交AB于点Q，则点Q即为AB的中点．【详解】(1)如图点P即为所求；(2)如图点Q即为所求；【点睛】本题考查的是作图的应用，掌握矩形的性质和三角形中位线定理、正确作出图形是解题的关键．23．我县寿源壹号楼盘准备以每平方米5000元均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格进行两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率．（2）某人准备以开盘均价购买一套120平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米70元．试问哪种方案更优惠？【答案】（1）10%；（2）选择方案①更优惠．⨯-下调【分析】（1）此题可以通过设出平均每次下调的百分率为x，根据等量关系“起初每平米的均价(1⨯-下调百分率）=两次下调后的均价”，列出一元二次方程求出．百分率）(1⨯⨯+两年物业（2）对于方案的确定，可以通过比较两种方案得出的费用：①方案：下调后的均价1000.98⨯，比较确定出更优惠的方案．管理费②方案：下调后的均价100【详解】解：（1）设平均每次降价的百分率是x，依题意得2-=，x5000(1)4050解得：110%x =，21910x =（不合题意，舍去）． 答：平均每次降价的百分率为10%．（2）方案①购房优惠：4050×120×(1-0.98)=9720(元)方案②购房优惠：70×120=8400(元)9720(元)＞8400(元)答：选择方案①更优惠．【点睛】本题结合实际问题考查了一元二次方程的应用，根据题意找准等量关系从而列出函数关系式是解题的关键． 24．如图，已知反比例函数1k y x=与一次函数2y ax b =+的图象相交于点A 、点D ，且点A 的横坐标为1，点D 的纵坐标为－1，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，△AOB 的面积为1．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）若一次函数y=ax+b 的图像与x 轴交于点C ，求∠ACO 的度数．（3）结合图像直接写出，当12y y >时，x 的取值范围．【答案】（1）2y x=，1y x =+；（2）∠ACO=45°；（3）0＜x ＜1 ，x ＜－2 【分析】（1）由△AOB 的面积为1，点A 的横坐标为1，求点A 的纵坐标，确定反比例函数解析式，利用反比例函数解析式求D 点坐标，利用“两点法”求一次函数解析式；（2）由一次函数解析式求C 点坐标，再求AB 、BC ，在Rt △ABC 中，求tan ∠ACO 的值，再求∠ACO 的度数；（3）当y 1＞y 2时，y 1的图象在y 2的上面，由此求出x 的取值范围．【详解】解（1）如图：S ∆AOB =1，则122k k ==， 则反比例函数的解析式：2y x= ∴A （1，2），D （－2，－1）设一次函数的解析式为y kx b =+，则b 121k k b +=⎧⎨-+=-⎩， 解得：11k b =⎧⎨=⎩. ∴一次函数的解析式为：1y x =+（2）由直线y=x+1可知，C （-1，0），则BC=OB+OC=2，AB=2，所以，在Rt △ABC 中，tan ∠ACO=AB BC=1， 故∠ACO=45°；（3）由图象可知，当y 1＞y 2时，x ＜-2或0＜x ＜1．【点睛】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题．解题关键是由已知条件求交点坐标，根据交点坐标求反比例函数、一次函数的解析式，利用解析式，形数结合解答题目的问题．25．如图，直线11y k x b =+与双曲线22k y x =在第一象限内交于,A B 两点，已知()1,,,1)(2A m B ．（1）求2k 的值及直线AB 的解析式． （2）根据函数图象，直接写出不等式21y y >的解集．（3）设点是线段AB 上的一个动点，过点P 作PD x ⊥轴于点,D E 是y 轴上一点，当PED 的面积为98时，请直接写出此时点P 的坐标．【答案】（1）22k =，3y x =-+（2）解集为01x <<或2x >（3）33,22⎛⎫⎪⎝⎭ 【分析】（1）先把B （2，1）代入22k y x =，求出反比例函数解析式，进而求出点A 坐标，最后用待定系数法，即可得出直线AB 的解析式；（2）直接利用函数图象得出结论；（3）先设出点P 坐标，进而表示出△PED 的面积等于98，解之即可得出结论．【详解】解：（1）：∵点()2,1B 在双曲线22k y x=上， ∴2212k =⨯=， ∴双曲线的解析式为22y x=. ∵()1,A m 在双曲线22y x =， ∴2m =，∴()1,2A .∵直线11:AB y k x b =+过()()1,22,1A B 、两点，∴11221k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得113k b =-⎧⎨=⎩ ∴直线AB 的解析式为3y x =-+（2）根据函数图象，由不等式与函数图像的关系可得：双曲线在直线上方的部分对应的x 范围是：01x <<或2x >，∴不等式21y y >的解集为01x <<或2x >.（3）点P 的坐标为33,22⎛⎫⎪⎝⎭. 设点(),3Px x -+，且12x ≤≤， 则22113139()222228S PD OD x x x =⋅=-+=--+. ∵当98S =时， 解得1232x x ==， ∴此时点P 的坐标为33,22⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，待定系数法，三角形的面积公式，求出直线AB 的解析式是解本题的关键．26．某食品商店将甲、乙、丙3种糖果的质量按5:4:1配置成一种什锦糖果，已知甲、乙、丙三种糖果的单价分别为16元／kg 、20元／kg 、27元／kg ．若将这种什锦糖果的单价定为这三种糖果单价的算术平均数，你认为合理吗？如果合理，请说明理由；如果不合理，请求出该什锦糖果合理的单价．【答案】这样定价不合理,理由见解析【分析】根据加权平均数的概念即可解题.【详解】解：这样定价不合理．54116202718.7101010x=⨯+⨯+⨯=（元／kg）．答：该什锦糖果合理的单价为18.7元／kg．【点睛】本题考查了加权平均数的实际计算,属于简单题,熟悉加权平均数的概念是解题关键.27．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5经过A(﹣5，0)，B(﹣4，﹣3)两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD．(1)求该抛物线的表达式；(2)点P为该抛物线上一动点(与点B、C不重合)，设点P的横坐标为t．①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值；②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y＝x2+6x+5；(2)①S△PBC的最大值为278；②存在，点P的坐标为P(﹣32，﹣74)或(0，5)．【解析】(1)将点A、B坐标代入二次函数表达式，即可求出二次函数解析式；(2)①如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点G，将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y＝x+1，设点G(t，t+1)，则点P(t，t2+6t+5)，利用三角形面积公式求出最大值即可；②设直线BP与CD交于点H，当点P在直线BC下方时，求出线段BC的中点坐标为(﹣52，﹣32)，过该点与BC垂直的直线的k值为﹣1，求出直线BC中垂线的表达式为：y＝﹣x﹣4…③，同理直线CD的表达式为：y＝2x+2…④，、联立③④并解得：x＝﹣2，即点H(﹣2，﹣2)，同理可得直线BH的表达式为：y＝1 2 x﹣1…⑤，联立⑤和y＝x2+6x+5并解得：x＝﹣32，即可求出P点；当点P(P′)在直线BC上方时，根据∠PBC＝∠BCD求出BP′∥CD，求出直线BP′的表达式为：y＝2x+5，联立y＝x2+6x+5和y＝2x+5，求出x，即可求出P.【详解】解：(1)将点A、B坐标代入二次函数表达式得：25550 16453a ba b-+=⎧⎨-+=-⎩，解得：16 ab=⎧⎨=⎩，故抛物线的表达式为：y＝x2+6x+5…①，令y＝0，则x＝﹣1或﹣5，即点C(﹣1，0)；(2)①如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点G，将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y＝x+1…②，设点G(t，t+1)，则点P(t，t2+6t+5)，S△PBC＝12PG(x C﹣x B)＝32(t+1﹣t2﹣6t﹣5)＝﹣32t2﹣152t﹣6，∵-32＜0，∴S△PBC有最大值，当t＝﹣52时，其最大值为278；②设直线BP与CD交于点H，当点P在直线BC下方时，∵∠PBC＝∠BCD，∴点H在BC的中垂线上，线段BC的中点坐标为(﹣52，﹣32)，过该点与BC垂直的直线的k值为﹣1，设BC中垂线的表达式为：y＝﹣x+m，将点(﹣52，﹣32)代入上式并解得：直线BC中垂线的表达式为：y＝﹣x﹣4…③，同理直线CD的表达式为：y＝2x+2…④，联立③④并解得：x＝﹣2，即点H(﹣2，﹣2)，同理可得直线BH的表达式为：y＝12x﹣1…⑤，联立①⑤并解得：x＝﹣32或﹣4(舍去﹣4)，故点P(﹣32，﹣74)；当点P(P′)在直线BC上方时，∵∠PBC＝∠BCD，∴BP′∥CD，则直线BP′的表达式为：y＝2x+s，将点B坐标代入上式并解得：s＝5，即直线BP′的表达式为：y＝2x+5…⑥，联立①⑥并解得：x＝0或﹣4(舍去﹣4)，故点P(0，5)；故点P的坐标为P(﹣32，﹣74)或(0，5)．【点睛】本题考查的是二次函数，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键.九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．关于x 的一元二次方程x 2+mx+m 2﹣7＝0的一个根是﹣2，则m 的值可以是（ ）A ．﹣1B ．3C ．﹣1或3D ．﹣3或1【答案】C【分析】先把x ＝﹣2代入方程x 2+mx+m 2﹣7＝0得4﹣2m+m 2﹣7＝0，然后解关于m 的方程即可．【详解】解：把x ＝﹣2代入方程x 2+mx+m 2﹣7＝0得4﹣2m+m 2﹣7＝0，解得m ＝﹣1或1．故选：C ．【点睛】本题主要考察一元一次方程的解及根与系数的关系，解题关键是熟练掌握计算法则.2．如图，在矩形ABCD 中，E 在AD 上，EF BE ⊥，交CD 于F ，连结BF ，则图中与ABE △一定相似的三角形是A ．EFB △B ．DEFC ．CFBD ．EFB △和DEF【答案】B 【解析】试题分析：根据矩形的性质可得∠A=∠D=90°，再由EF BE ⊥根据同角的余角相等可得∠AEB=∠DFE ，即可得到结果.∵矩形ABCD∴∠A=∠D=90°∴∠DEF+∠DFE=90°∵EF BE ⊥∴∠AEB+∠DEF=90°∴∠AEB=∠DFE∵∠A=∠D=90°，∠AEB=∠DFE∴ABE ∽DEF故选B.考点：矩形的性质，相似三角形的判定点评：相似三角形的判定和性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中半径常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.3．下列各点中，在函数y=－8x 图象上的是（ ） A ．（﹣2，4）B ．（2，4）C ．（﹣2，﹣4）D ．（8，1） 【答案】A 【分析】所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．本题只需把所给点的横纵坐标相乘，结果是﹣8的，就在此函数图象上【详解】解:-2×4=-8故选:A【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数性质是本题的解题关键．4．如图，AB 是O 的直径，BC 是O 的弦，已知40ABC ∠=︒，则AOC ∠的度数为（ ）A ．60︒B ．70︒C ．80︒D ．90︒【答案】C 【分析】根据圆周角定理即可解决问题． 【详解】∵AC AC =，∴224080AOC ABC ∠∠==⨯︒=︒．故选：C ．【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．5．已知一个单位向量e ，设a 、b 是非零向量，那么下列等式中正确的是（ ）．A ．1a e a =； B ．e a a =； C ．b e b =； D ．11a b a b =．【答案】B【分析】长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解．【详解】解：A 、左边得出的是a 的方向不是单位向量，故错误；B 、符合向量的长度及方向，正确；C 、由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误；D 、左边得出的是a 的方向，右边得出的是b 的方向，两者方向不一定相同，故错误．故选：B ．【点睛】本题考查了向量的性质．6．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，∠CDB ＝30°，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，则sinE 的值为（ ）A ．3B ．12C ．3D ．3【答案】B 【分析】首先连接OC ，由CE 是O 切线，可得OC CE ⊥，由圆周角定理，可得60BOC ∠=︒，继而求得E ∠的度数，则可求得sin E ∠的值．【详解】解：连接OC ，CE 是O 切线，OC CE ∴⊥，即90OCE ∠=︒，30CDB ∠=︒，COB ∠、CDB ∠分别是BC 所对的圆心角、圆周角,260COB CDB ∴∠=∠=︒，9030E COB ∴∠=︒-∠=︒，1sin 2E ∴∠=． 故选：B.【点睛】此题考查了切线的性质、圆周角定理以及特殊角的三角函数值．根据切线的性质连半径是解题的关键． 7．如图所示是滨河公园中的两个物体一天中四个不同时刻在太阳光的照射下落在地面上的影子，按照时间的先后顺序排列正确的是（ ）A ．(3)(4)(1)(2)B ．(4)(3)(1)(2)C ．(4)(3)(2)(1)D ．(2)(4)(3)(1)【答案】C 【解析】试题分析：根据平行投影的特点和规律可知，（3），（4）是上午，（1），（2）是下午，根据影子的长度可知先后为（4）（3）（2）（1）．故选C ．考点：平行投影．8．如图，两条直线被三条平行线所截，若4,6,3AC CE BD ＝＝＝，则BF ＝（ ）A ．32B ．23C ．94D ．152【答案】D【解析】先根据平行线分线段成比例定理求出DF 的长，然后可求出BF 的长.【详解】////AB CD EF ，∴=AC BD CE DF ，即436DF=， 解得，92DF ＝， 152BF BD DF ∴+＝＝， 故选：D ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例.9．把图1的正方体切下一个角，按图2放置，则切下的几何体的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据主视图的定义，画出图2的主视图进行判断即可．【详解】根据主视图的定义，切下的几何体的主视图是含底边高的等边三角形（高为虚线），作出切下的几何体的主视图如下故答案为：B ．【点睛】本题考查了立体几何的主视图问题，掌握主视图的定义和作法是解题的关键．10．数据4，3，5，3，6，3，4的众数和中位数是（ ）A ．3，4B ．3，5C ．4，3D ．4，5 【答案】A【分析】根据众数和中位数的定义解答即可．【详解】解：在这组数据中出现次数最多的是3，即众数是3；把这组数据按照从小到大的顺序排列3，3，3，4，4，5，6，∴中位数为4；故选：A ．【点睛】本题考查一组数据的中位数和众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；在求中位数时，首先要把这列数字按照从小到大或从的大到小排列，找出中间一个数字或中间两个数字的平均数即为所求． 11．10件产品中有2件次品，从中任意抽取1件，恰好抽到次品的概率是（ ）A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】D 【分析】由于10件产品中有2件次品，所以从10件产品中任意抽取1件，抽中次品的概率是21105=． 【详解】解：()21P 105==次品 ． 故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是用概率公式求事件的概率，根据题目找出全部情况的总数以及符合条件的情况数目是解此题的关键．。