河南省信阳高中2020届高三数学第一次大考试题 理(无答案)

河南省信阳市河南第一高级中学2020-2021学年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列函数中，定义域是R且为增函数的是（）A．y=e﹣x B．y=x3 C．y=lnx D．y=|x|参考答案：B【考点】3E：函数单调性的判断与证明．【分析】根据函数单调性的性质分别进行判断即可得到结论．【解答】解：对于选项A，y=e x为增函数，y=﹣x为减函数，故y=e﹣x为减函数，对于选项B，y′=3x2＞0，故y=x3为增函数，对于选项C，函数的定义域为x＞0，不为R，对于选项D，函数y=|x|为偶函数，在（﹣∞．0）上单调递减，在（0，∞）上单调递增，故选：B．2. 中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为S1，圆面中剩余部分的面积为S2，当S1与S2的比值为时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为( )A. B.C. D.参考答案：A【分析】根据扇形与圆面积公式，可知面积比即为圆心角之比，再根据圆心角和的关系，求解出扇形的圆心角. 【详解】与所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，设与所在扇形圆心角分别为，则，又，解得【点睛】本题考查圆与扇形的面积计算，难度较易.扇形的面积公式：，其中是扇形圆心角的弧度数，是扇形的弧长.3. 如图所示的韦恩图中，阴影部分对应的集合是（）A．A∩B B．?U（A∩B）C．A∩（?U B）D．（?U A）∩B参考答案：C4. 已知直线x+y=a与圆x2+y2=1交于A，B两点，O是坐标原点，向量满足，则实数a的值为（）A．1 B．2 C．±1D．±2参考答案：C【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；方程思想；演绎法；直线与圆．【分析】先由向量关系推出OA⊥OB，结合直线方程推出A、B两点在坐标轴上，然后求得a的值．【解答】解：由满足，得，因为直线x+y=a的斜率是﹣1，所以A、B两点在坐标轴上并且在圆上；所以（0，1）和（0，﹣1）点都适合直线的方程，a=±1；故选C．【点评】本题考查直线和圆的方程的应用，向量的模的有关知识，是基础题．5. 若全集则集合，则图中阴影部分表示的集合是（）参考答案：D6. 已知，则是的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A7. 若实数x，y满足不等式，且x+y的最大值为9，则实数m=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2参考答案：C【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线x+y=9过可行域内的点A时，从而得到m值即可．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，设z=x+y，将最大值转化为y轴上的截距，当直线z=x+y经过直线x+y=9与直线2x﹣y﹣3=0的交点A（4，5）时，z最大，将m等价为斜率的倒数，数形结合，将点A的坐标代入x﹣my+1=0得m=1，故选C．8. 已知函数,则（）A． B． C． D．参考答案：A9. 设偶函数在上递减, 则与的大小关系是( )A． B．C． D．不能确定参考答案：B10. 若当方程所表示的圆取得最大面积时，则直线的倾斜角（）．A .B. C.D.参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数f'（x）、g'（x）分别是二次函数f（x）和三次函数g（x）的导函数，它们在同一坐标系下的图象如图所示：①若f（1）=1，则f（﹣1）= ；②设函数h（x）=f（x）﹣g（x），则h（﹣1），h（0），h（1）的大小关系为．（用“＜”连接）参考答案：1；h（0）＜h（1）＜h（﹣1）。

2020年河南省信阳市实验中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数，且，则函数的图象的一条对称轴是（）A． B． C． D．参考答案：A2. 函数f（x）=1+log2（﹣x）与g（x）=2x﹣1在同一直角坐标系下的图象大致是（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】函数的图象．【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】由条件利用函数的定义域和单调性，结合函数的图象特征，得出结论．【解答】解：函数f（x）=1+log2（﹣x）的定义域为（﹣∞，0），且单调递减；g（x）=2x﹣1 的定义域为R，且单调递增，故选：A．【点评】本题主要考查函数的定义域和单调性，函数的图象特征，属于基础题．3. 设集合N}的真子集的个数是A．15 B．8 C．7 D．3参考答案：A4. 非零向量，满足2?=，||+||=2，则，的夹角θ的最小值为( )A．B．C．D．参考答案：C考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：运用向量的数量积的定义和向量的平方即为模的平方，可得2cosθ=||?||，再由基本不等式，可得cosθ≤，结合余弦函数的性质，即可得到所求最小值．解答：解：非零向量，满足2?=，|即有2||?||?cosθ=||2?||2，即2cosθ=||?||，由||+||=2，则||?||≤（）2=1，即有cosθ≤，由于0≤θ≤π，则≤θ≤π，则当||=||=1时，，的夹角θ取得最小值为．故选C．点评：本题考查向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，以及基本不等式的运用，属于基础题．5. 已知向量与的夹角为且，，则( )A.2B. －1C. －3D.参考答案：C6. 已知全集，集合，，那么集合（）（A）（B）（C）（D）参考答案：A略7. 在平面直角坐标系xOy中，设，，向D中随机投一点，则所投点在E中的概率是（）A. B. C. D.参考答案：B8. 某校100名学生的数学测试成绩分布直方图如图所示，分数不低于即为优秀，如果优秀的人数为20人，则的估计值是（）A．130 B．140 C ．134D．137高考资源网w。

信阳高中2019届高三第一次大考试题文科数学一．选择题1.已知集合{}{}20,21xA x x xB x=-<=<,则A．{}0A B x x=<I，B．A B R=U C．{}1A B x x=>U。

D．A B=∅I2．已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为（2，－1），（0，－1），则12zz＝A．1＋2i B．1－2i C．－2＋i D．－2－i3．某中学有高中生3000人，初中生2000人，男、女生所占的比例如下图所示．为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取女生21人，则从初中生中抽取的男生人数是A．12 B．15 C．20 D．214.己知函数()()log1201ay x a a=-+>≠且恒过定点A．若直线2mx ny+=过点A，其中,m n是正实数，则12m n+的最小值是A．32+B．322+C．92D．55.已知抛物线的焦点为,其准线与双曲线相交于两点,若为直角三角形,其中为直角顶点,则A. B. C. D.6．已知nS是等差数列{na}的前n项和，则“nS＜nna对n≥2恒成立”是“数列{na}为递增数列”的A．充分必要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件7．若x，y满足约束条件20,20,2,x yx yx+-≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩则3z x y=-的最大值为A. 2B. 6-C. 10-D.不存在8.将函数()()2sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向右平移4πω个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在(,)64ππ-上为增函数，则ω的最大值为A.6B.4C.3D.29．函数()sin()2f x x x π=+的导函数在[,]ππ-上的图象大致是A . B. C. D.10.我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -，其中AC BC ⊥，若11==AB AA ，当“阳马”即四棱锥11B A ACC -体积最大时，“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -的表面积为A. 12+B.13+C.2232+ D. 33+10.11. 双曲线E ：22221x y ab-=的半焦距为c ，12,F F E 分别为的左右焦点.若E 上存在一点P ，使得2122c PF PF =-u u u r u u u u rg ，则E 离心率的取值范围是A.(1,3]B.[3,)+∞C.(1,2]D.[2,)+∞12.定义在R 上的奇函数)(x f ，当0≥x 时，12,[0,1)()1|3|,[1,).x x f x x x ⎧-∈=⎨--∈+∞⎩，则关于x 的函数()()(01)F x f x a a =-<<的所有零点之和为A. 21a- B. 12a-- C. 2log (1)a -+ D. 2log (1)a -二．填空题13. 已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝4，则OA →·OB →＝________．14. 已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =225a ，2a =1，则1a = .15.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ． 16.下面有四个命题：①在等比数列{}n a 中，首项10a >是等比数列{}n a 为递增数列的必要条件.②已知lg 2a =，则aaa a a a <<. ③将2tan()6y x π=+的图象向右平移6π个单位，再将所得图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的12，可得到tan y x =的图象.④设03a <<，则函数3()(01)f x x ax x =-<<有最小值无最大值. 其中正确命题的序号为___________.(填入所有正确的命题序号) 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知223sin 2a A bc =，1cos cos 6B C =.（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若3a =，求ABC △的面积和周长.18.（本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，且底面ABCD 为边长为2的菱形，60BAD ο∠=，2PD =（Ⅰ）证明：面PAC ⊥面PDB ；（Ⅱ）在图中作出点D 在平面PBC 内的正投影M （说明作法及其理由），并求四面体PBDM 的体积.19.（本小题满分12分）如图是某小区2017年1月至2018年1月当月在售二手房均价（单位：万元/平方米）的散点图.（图中月份代码1—13分别对应2017年1月—2018年1月） 由散点图选择y a b x =+和ln y c d x =+两个模型进行拟合，经过数据处理得到两个回归方程分别为$0.93690.0285y x =+和$0.95540.0306ln y x =+，并得到以下一些统计量的值：244正视图4侧视图4俯视图当 月在售二 手 房 均 价 y$0.93690.0285y x =+$0.95540.0306ln y x =+残差平方和$1321()iii y y =-∑ 0.0005910.000164总偏差平方和1321()ii yy =-∑0.006050（Ⅰ）请利用相关指数2R 判断哪个模型的拟合效果更好；（Ⅱ）某位购房者拟于2018年6月份购买这个小区(70160)m m ≤≤平方米的二手房（欲 购房为其家庭首套房）.若购房时该小区所有住房的房产证均已满2年但未满5年，请你利用（1）中拟合效果更好的模型估算该购房者应支付的购房金额.（购房金额=房款+税费；房屋均价精确到0.001万元/平方米）附注：根据有关规定，二手房交易需要缴纳若干项税费，税费是按房屋的计税价格进行征收.（计税价格=房款），征收方式见下表：契税（买方缴纳） 首套面积90平方米以内（含90平方米）为1%；首套面积90平方米以上且144平方米以内（含144平方米）为1.5%；面积144平方米以上或非首套为3%增值税（卖方缴纳） 房产证未满2年或满2年且面积在144平方米以上（不含144平方米）为5.6%；其他情况免征 个人所得税（卖方缴纳） 首套面积144平方米以内（含144平方米）为1%；面积144平方米以上或非首套均为1.5%；房产证满5年且是家庭唯一住房的免征参考数据：ln 20.69≈，ln3 1.10≈，ln17 2.83≈，ln19 2.94≈，2 1.41≈，3 1.73≈，17 4.12≈，19 4.36≈. 参考公式：相关指数$22121()1()niii nii y y R y y ==-=--∑∑.20.（本小题满分12分）已知直线:1l x =-，()1,0F ，P 是l 上的动点，过点P 作l 的垂线1l ，线段PF 的中垂线交1l 于点M ，M 的轨迹为C . （Ⅰ）求轨迹C 的方程；（Ⅱ）过F 且与坐标轴不垂直的直线交曲线C 于,A B 两点，若以线段AB 为直径的圆 与直线3430x y ++=相切，求直线AB 的方程.21.（本小题满分12分）已知函数ln ()m xf x x+=，m R ∈，1x >. （Ⅰ）讨论()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()f x mx <恒成立，求m 的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 作答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线221:2C x y -=，曲线2C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）在极坐标系中，射线．．6πθ=与曲线1C ，2C 分别交于A ，B 两点（异于极点O ），定点(3,0)M ，求MAB ∆的面积23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设函数1()|2|||f x x a x a=-++，（实数0a >） （Ⅰ）当1a =，求不等式()3f x >的解集； （Ⅱ）求证：()2f x ≥.文数答案一．选择题1---6DAABDA 7---12BDDCDC 二．填空题 13.16； 14.22； 15.16； 16；（3），（4） 17. （本小题满分12分）（1）由正弦定理以及223sin 2a A bc =得22sin 3sin sin sin 2A ABC =，………………2分又因为()0,A π∈，所以sinA 0>，所以可得2sin sin 3B C =……………………3分 ()()1cos cos cos cos sin sin 2A B C B C B C π-=+=-=-……………………5分所以1cos 2A =，且()0,A π∈，得3A π= …………………………6分（2）将3A π=和3a =代入223sin 2a A bc =得8bc =，所以1sin 232ABC S bc A ∆==…8分由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即2217b c +=…………………………10分()222233b c b c bc +=++=，所以ABC △的周长为333+……………………12分18. （1）因为PD ⊥平面ABCD ，AC ABCD ⊂面，所以PD AC ⊥……1分 在菱形ABCD 中，AC BD ⊥，且PD BD D =I ， 所以AC PBD ⊥面…………………………………………3分 又因为AC PAC ⊂面，所以面PAC ⊥面PDB …………4分 (2)取BC 的中点E ，连接,DE PE ，易得BDC ∆是等边三角形， 所以BC DE ⊥，又因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD BC ⊥， 又PD DE D =I ，所以BC PDE ⊥面……………………6分 在面PDE 中，过D 作DM PE ⊥于M ，则DM BC ⊥， 又BC PE E =I ，所以DM PBC ⊥面，即M 是点D 在平面PBC 内的正投影………………………………8分 经计算得3DE =，在Rt PDE ∆中，2PD =，437PE =+=2322177DM ⨯==，1247477PM =-= 11147221431332D PBM PBM V S DM -∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=………………12分19.（1）设模型$0.93690.0285y x =+和$0.95540.0306ln y x =+的相关指数分别为21R 和22R ，则22110.0005910.0001641,10.006050.00605R R =-=-，2212R R <，………………3分 所以模型$0.95540.0306ln y x =+拟合的效果好.…………………………4分（2）由（1）知模型$0.95540.0306ln y x =+拟合的效果好，利用该模型预测可得，这个小区在2018年6月份的在售二手房均价为$()0.95540.0306ln180.95540.0306ln 22ln3 1.044y =+=++≈万平方米……6分设该购房者应支付的购房金额为h 万元，因为税费中买方只需缴纳契税，所以 ①当7090m ≤≤时，契税为计税价格的1%，故()1.0441%1 1.05444h m m =⨯⨯+=；……………………………………8分 ②当90144m <≤时，契税为计税价格的1.5%，故()1.044 1.5%1 1.05966h m m =⨯⨯+=；…………………………………10分③当144160m <≤时，契税为计税价格的3% 故()1.0443%1 1.07532h m m =⨯⨯+=；所以 1.05444,70901.05966,901441.07532,144160m m h m m m m ≤≤⎧⎪=<≤⎨⎪<≤⎩……………………………………12分20.（1）依题意可得MF MP =,即M 到定点F 的距离等于M 到定直线l 的距离，所以M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，方程为24y x =……………………5分 （2）依题意设直线AB 的方程为()1y k x =-，0k ≠与24y x =联立，并整理得()2222240k x k x k -++=………………6分12242x x k +=+，121x x =…………………………………………7分 由抛物线的定义知1224114AB x x k=+++=+，…………………………8分 线段AB 的中点1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭即2221,k k ⎛⎫+⎪⎝⎭………………………………9分 因为以线段AB 为直径的圆与直线3430x y ++=相切，所以2222314312252k k AB k⎛⎫⨯++⨯+ ⎪⎝⎭==+……………………………………10分解得1k =，…………………………………………………………………………11分 所以直线AB 的方程为1y x =-……………………………………………………12分 21.解：（1）()21ln 'm xf x x --=，1x >………………………………1分当10m -≤时，即1m ≥时，1ln 0m x --≤在[1,)+∞上恒成立，所以()f x 的单调减区间是[1,)+∞，无单调增区间。

2020年河南省信阳市示范性普通中学高一数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 直线x+2y﹣3＝0与直线2x+ay﹣1＝0垂直，则a的值为（）A. ﹣1B. 4C. 1D. ﹣4参考答案：A【分析】由两直线垂直的条件，列出方程即可求解，得到答案．【详解】由题意，直线与直线垂直，则满足，解得，故选：A．【点睛】本题主要考查了两直线位置关系的应用，其中解答中熟记两直线垂直的条件是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2. 函数的图象必经过点（）A．（0，1） B. ( 2, 0 ) C. ( 2, 1 ) D. ( 2, 2 )参考答案：D3. 如图所示，半径为3的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是，则阴影部分的面积是A． B． C．D．参考答案：D4. 函数 ()的大致图象是参考答案：C5. 已知函数y=，若f（a）=10，则a的值是A．3或–3 B．–3或5 C．–3D．3或–3或5参考答案：B6. （5分）函数y=f（x）与y=g（x）的图象如图，则函数y=f（x）?g（x）的图象可能是（）A．B．C．D．参考答案：A考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：观察函数y=f（x）的图象得出函数在x=0无意义，故函数y=f（x）?g（x）在x=0无意义，可排除CD；令x再取很小的正数，从图象可得f（x）＜0，g（x）＞0，可得A适合而B不适合，可得答案．解答：∵函数y=f（x）在x=0无意义，∴函数y=f（x）?g（x）在x=0无意义，∴排除CD；当x是很小的正数时，从图象可得f（x）＜0，g（x）＞0，∴f（x）?g（x）＜0，故A适合而B不适合，故选：A．点评：本题主要考查函数的图象的应用，解题的关键是：要从所给的函数图象得出函数成立的信息，属于基础题．7. 判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（）A．，；B．，；C．，；D．,参考答案：C8. 知函数，，则是（）A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为的偶函数D．最小正周期为的偶函数参考答案：C略9. 有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体可能是一个( )．A．棱台B．棱锥C．棱柱D．正八面体参考答案：D略10. 定义符号函数，设，若，则f(x)的最大值为（）A．3 B．1 C．D．参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数f（x）=3cos（x﹣）的最小正周期为．参考答案：4【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】根据题意，分析易得函数f（x）=3cos（x﹣）中ω=，由其周期公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）=3cos（x﹣），其中ω=，其最小正周期T==4；故答案为：4．12. 已知是第四象限角，且，则______，．参考答案：13. 下列几个命题：①函数与表示的是同一个函数；②若函数的定义域为，则函数的定义域为；③若函数的值域是，则函数的值域为；④若函数是偶函数，则函数的减区间为；⑤函数既不是奇函数，也不是偶函数．其中正确的命题有▲个．参考答案：114. 已知函数，若，则__________．参考答案：2017∵函数，，∴，∴．15. 在△ABC中，，，. 若，，且，则的值为______________.参考答案：,则.【考点】向量的数量积【名师点睛】根据平面向量的基本定理，利用表示平面向量的一组基地可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，计算数量积，选取基地很重要，本题的已知模和夹角，选作基地易于计算数量积.16. 设α：x＞m，β：1≤x＜3，若α是β的必要条件，则实数m的取值范围是．参考答案：（﹣∞，1）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系求出m的范围即可．【解答】解：α：x＞m，β：1≤x＜3，若α是β的必要条件，则m＜1，故答案为：（﹣∞，1）．17. 若关于x的不等式－x＋2x>ax的解集为{x|0<x<2}，则实数a的值为______。

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分.考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（共60分） 选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

已知集合（ ） A. B. C. D.(1,2) 等差数列，若当首项 是一个定值，则下列选项中为定值的是（ ） A. B. C. D. 3.将函数的图象向左平移个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ） A．y=sin(x) B． y=sin(x) C．y=sin(2x) D.y=sin(2x) 4.如图阴影部分的面积为（ ） A. B.1C.eD.2 已知△ABC的面积为（ ）A.30°B.60°C.90°D.150° 已知条件( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 已知公差不为零的等差数列成等比数列，则其前10项和S10为（ ）A.90B.100C.110D.120 已知函数处的切线l与直线平行，若数列（ ） A. B. C. D. 9.设y＝f (x)在[0，＋∞)上有定义，对于给定的实数K，定义函数给出函数f (x)＝2－x－x2，若对于任意x∈［0，＋∞)，恒有，则 （ ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最小值为2A、8B、C、D、 若函数函数，则函数内零点的个数为（ ）A.12 B.14 C.13 D.8 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题纸中横线上。

13.设函数 . 14.在△ABC中，a,b,c是角A，B，C的对边，若a,b,c成等比数列，A=60°，则的 值是 . 函数的单调减区间是 . 16.给出下列四个命题： ①如果命题“?p”与命题“p或q”都是真命题，那么命题q一定是真命题； ②命题“若=0，则?=0”的否命题是：“若≠0，则?≠0”； ③“”是“θ=30o”的充分不必要条件； ④存在x0∈（1，2），使得成立；其中正确命题的序号为 . 三、解答题：本大题共6小题，满分70分。

2020届河南省信阳市普通高中高三上学期第一次教学质量检测数学（理）试题一、单选题1．已知全集U 为实数集R ，集合3{|0}1x M x x +=<-，{|||1}N x x =…，则如图阴影部分表示的集合是（ ）A ．(1,1)-B ．(3,1)-C ．(,3)(1,)-∞--+∞UD ．(3,1)--【答案】D【解析】解不等式求得集合M 、N ，根据Venn 图阴影表示集合（∁u N ）∩M ，再进行集合运算． 【详解】 ∵31x x +-＜0⇒﹣3＜x ＜1∴M ＝（﹣3，1）， ∵|x |≤1⇒﹣1≤x ≤1，∴N ＝[﹣1，1]， ∵阴影部分表示集合（∁u N ）∩M ， ∴阴影部分表示的集合是（﹣3，﹣1）． 故选D ． 【点睛】本题考查V enn 图表达集合的关系及集合运算． 2．若01x y <<<，则（ ） A ．3y x <3 B ．log 3log 3x y >C ．44log log x y >D ．1144x y⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B【解析】根据指数函数或对数函数的单调性分析可得. 【详解】对于A ,因为x y <且函数3x y =为递增函数,所以33x y <,故A 不正确;对于B ,因为01x y <<<,且函数3log y x =为递增函数,所以33log log 0x y <<,所以3311log log x y>,即log 3log 3x y >,故B 正确; 对于C ,因为01x y <<<,且函数4log y x =为递增函数,所以44log log x y <,故C 不正确;对于D ,因为01x y <<<,且函数1()4x y =为递减函数,所以11()()44x y>,故D 不正确.故选B . 【点睛】本题考查了利用指数函数或对数函数的单调性比较大小,属于基础题.3．函数()12cos 12x x f x x ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭的图象大致为()A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】函数f （x ）=（1212xx-+）cosx ，当x=2π时，是函数的一个零点，属于排除A ，B ，当x ∈（0，1）时，cosx ＞0，1212x x -+＜0，函数f （x ）=（1212xx-+）cosx ＜0，函数的图象在x 轴下方． 排除D ． 故答案为C 。

河南省信阳高级中学2023-2024学年高三上期11月一模数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中项是符合题目要求的．1．若集合{}250,{ln(7)}A x x xB x y x=-≤==-∣∣,则()U A B=ð（）A．(0,7]B．(0,5)C．(7,)+∞D．(5,)+∞2．已知,a b是单位向量，若(3)a a b⊥+,则a在b上的投影向量为（）A．13aB．13a-C．13bD．13b-3．设x∈R,则“124x<”是“220x x+->”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知tan24πα⎛⎫+=-⎪⎝⎭,则tan2α=（）A．B．C D5．函数()f x的图象如图所示，则()f x的解析式可能为（）A．()252x xe ex--+B．25sin1xx+C．()252x xe ex-++D．25cos1xx+6．尼知的数211()sin sin(0),222xf x x xωωω=+->∈R，若()f x在区间(,2)ππ内没有零点，则ω的取值范围是（）A．10,8⎛⎤⎥⎝⎦B．1150,,848⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦C．150,,148⎛⎤⎡⎫⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D．50,8⎛⎤⎥⎝⎦7．在四棱雉P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，,90,2,AB CD ABC AB BC ∠=︒==∥．若,PA PD PC PB ==,且三棱雉P ABC -的外接球的表面积为20π，则当四棱雉P ABCD -的体积最大值时，CD 长为（ ）AB ．2CD 8．已知 1.2 2.124ln 2,22,25a b c =+=+=则（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．a c b<<二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．己知复数12,z z ，下列命题正确的是（ ）A ．2111z z z =B ．若12z z =,则12z z =C ．1212z z z z =D ．1212z z z z +=+10．己知等比数列{}n a 的公比为(0)q q >,前n 项积为n T ,若768T T T >>,则（ ）A ．01q <<B ．1q >C ．13141T T >>D ．14151T T >>11．如图，直角梯形ABCDABCL 中，1,,2,2AB CD AB BC BC CD AB E ⊥===∥为AB 中点，以DE 为折痕把ADE △折起，使点A 到达点P 的位置，且PC =．则下列说法正确的有（）A ．CD ⊥平面EDPB ．四棱雉P EBCD -外接球的体积为B ．二面角P CD B --的大小为4πD ．PC 与平面EDP 12．定义在[)0,+∞的函数()f x 满足()()6f x f x +=,且|ln(2)|(02)(),[0,3]sin (23)x x f x x xx π-≤<⎧=∀∈⎨≤<⎩都有(6)()0f x f x -+=，若方程()()f x a a =∈R 的解构成单调递增数列{}n x ,则下列说法中正确的是（ ）A ．(2023)0f ≠B ．若数列{}n x 为等差数列，则公差为6C ．若()121223x x x x +=+,则0ln 2a <<D ．若11ln 2a -<<，则()2323116ni i i x x n n--=+=+∑三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知等差数列{}n a 满足12462,a a a a =+=,则公差d =__________．14．己知函数2()sin 2xf x a x x =++-（0a >,且1a ≠），曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与直线2290x y -+=平行，则a =__________．15．米斗是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行的必备的用具，为使坚固耐用，米斗多用上好的木料制成．米斗有着吉祥的寓意是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化韵味如今也成为了一种颇具意趣的藏品，如图的米斗可以看作一个正四棱台，已知该米斗的倲棱长为10，两个底边长分别为8和6，则该米斗的外接球的表面积是__________．16．己知函数()2sin x xf x e ex -=--,不等式()2(2ln )0x f a x e f x x -++≤对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，则a 的最大值为__________．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤．17．（10分）己知函数2()(1),f x x a x a a R =-++∈,（1）求关于x 的不等式()0f x <的解集；（2）若()20f x x +≥在区间(1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围18．（2分）已知函数()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的图象相邻两条对称轴间的距离为2π，函数()f x 的最大值为2，且__________．请从以下3个条件中任选一个，补充在上面横线上，①6f x π⎛⎫-⎪⎝⎭为奇函数；②当0x =时()f x =；③12x π=是函数()f x 的一条对称轴并解答下列问题：（1）求函数()f x 的解析式；（2）在ABC △中，a b c 、、分别是角,,A B C 的对边，若()3,f A c ABC ==△的面积ABC S =△求a 的值．19．（12分）己知数列{}n a 中，()*110,2n n a a a n n N +==+∈（1）令11n n n b a a +=-+,求证：数列{}n b 是等比数列；（2）令3nn na c =,当n c 取得最大值时，求n 的值．20．（12分）如图，在梯形ABCD 中，2,2,5,3AB CD AB CD ABC π==∠=∥．（1）若AC =，求梯形ABCD 面积；（2）若AC BD ⊥,求tan ABD ∠．21．（12分）如图，五面体P ABCD -中，CD ⊥平面PAD ，ABCD 为直角梯形，2BCD π∠=，1,2PD BC CD AD AP PD ===⊥．（1）若E 为AP 的中点，求证：BE ∥平面PCD （2）求P AB C --的余弦值．22．（12分）（1）证明：当01x <<时，2sin x x x x -<<;（2）已知函数()2()cos ln 1f x ax x =--,若0x =为()f x 的极大值点，求a 的取值范围．河南省信阳高级中学2023-2024学年高三上期11月一模数学答案一、选择题：题号123456789101112答案CDACDCDDACACABCABD8．因为()()2212210.220.10.10.10.122222222212222120b c ⋅⋅⎡⎤-=+-=+⋅-⋅=-⋅+=->⎢⎥⎣⎦，所以b c >；令1()1ln (1),()10f x x x x f x x'=-->=->,所以()f x 在(1,)+∞上单调递增，因为0.221>，所以()0.22(1)f f >,即0.20.221ln 20-->,所以()1.20.20.20.20.22224ln 22222ln 2221ln 205b a -=+--=⋅--=-->．所以b a >；同理0.121>，所以()0.12(1)f f >,即0.10.121ln 20-->,也即0.10.112ln 20-+<,所以()2.10.120.10.10.124ln 2244ln 22241ln 2205a c -=+-=+-⋅=+-<,所以a c <．综上，a c b <<,故选：D ．11．解：对于A,E 为AB 中点，,BE CD BE CD ∴=∥,∴四边形EBCD 为平行四边形，又AB BC ⊥,∴四边形EBCD 为矩形，CD DE ∴⊥；PD AD 2CD ==== ，222,PC PD CD PC CD PD =∴+=∴⊥,又,,PD DE D PD DE =⊂ 平面EDP ,CD ∴⊥平面EDP ,A 正确；对于B,,,BC DE AB BC AE DE ⊥∴⊥ ∥,即,PE DE CD ⊥⊥ 平面,EDP PE ⊂平面EDP ,CD PE ∴⊥,又,,CD DE D CD DE =⊂ 平面,EBCD PE ∴⊥平面EBCD ；∵矩形EBCD 的外接圆半径12r ==P EBCD -的外接球半径R ===，∴四棱锥P EBCD -外接球的体积343V R π==，B 正确；对于C,CD ⊥ 平面,EDP PD ⊂平面EDP ，PD CD ∴⊥；又DE CD ⊥,∴二面角P CD B --的平面角为PDE ∠,,2,4PE DE PE DE PDE π⊥==∴∠= ，∴二面角P CD B --的大小为4π,C 正确；对于D,CD ⊥ 平面,EDP CPD ∴∠即为直线PC 与平面EDP 所成角，,CD PD PD ⊥=2,tanCDCD CPDPD=∴∠===即直线直线PC与平面EDP，D错误．故选：ABC．12．解：[0,3]x∀∈都有(6)()0f x f x-+=,()f x∴关于(3,0)对称，令3x=,则(3)(3)0f f+=,即(3)0f=．∵在[0,)+∞的函数()f x满足(6)(),()f x f x f x+=∴的周期为6，作出函数()f x在[0,6)内的图象如图：A．(2023)(63371)(1)0f f f=⨯+==,故A正确．B．由图象可知：若数列{}n x为等差数列，则(,1)(1,)a∈-∞-+∞,此时()y f x=与y a=在[0,6)内有且仅有一个交点，(6)(),()f x f x f x+=∴周期是6，即16n nx x+-=,即数列{}n x的公差为6，故B正确，C．若()121223x x x x+=+,即()()12221x x--=,可得()())()1212ln22ln(2ln20x x x x--=-+-=⎡⎤⎣⎦,则()()12ln2ln2x x-=-,即()y f x=与y a=在[0,2)内有且仅有2个交点，结合图象可得0ln2a<≤，故C错误；D．若11ln ln22a-<<=-,则()y f x=与y a=在[0,6)内有且仅有3个交点，且127,(6)()x x f x f x+=+=,则()()()()()31323231313132316612i i i i i i i ix x x x x x x x++---------=+-+--=⎡⎤⎣⎦,∴数列{}3231i ix x---是以7为首项，公差12d=的等差数列，可得3231712(1)125i ix x n n---=+-=-,()n232311n(712n5)n(12n12)622i iix x n n--=+++∴+===+∑,故D正确．故选：ABD．二、填空题：13．214．e15．200π16．116．解：因为()()2sin()2sin ()xx x x f x e e x e e x f x -----=---=-+=-,所以()f x 为R 上的奇函数，又()2cos 2cos 22cos x x f x e e x x x C -'=+-≥-=-≥，所以()f x 在(,)-∞+∞上单调递增．因为()2(2ln )0x f a x e f x x -++≤对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，所以()2(2ln )x f x x f x e a +≤-对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，所以22ln xx x x e a +≤-对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，即22ln 2ln (2ln )(2ln )(2ln )xx x x x a x e x x ee x x e x x +≤-+=⋅-+=-+对任意的(0,)x ∈+∞恒成立．令()x h x e x =-,所以()1x h x e '=-,所以当0x >时，()()0,h x h x '>在()0,+∞上为增函数；当0x <时，()()0,h x h x '<在(),0-∞上为减函数．所以0min ()(0)01h x h e ==-=,设()2ln g x x x =+,显然()g x 为(0,)+∞上的增函数，因为11112ln 20,(1)10g g e e e e ⎛⎫=+=-+<=> ⎪⎝⎭，所以存在01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0002ln 0g x x x =+=,所以2ln min (2ln )1x xe x x +⎡⎤-+=⎣⎦,此时2ln 0x x +=,所以1a ≤，即a 的最大值为1．故答案为：1．三、解答题17．解：（1）由()0f x <得()()10x a x --<,令()()10x a x --=,得12,1x a x ==,当1a >时，原不等式的解集为()1,a ；当1a =时，原不等式的解集为∅；当1a <时，原不等式的解集为(,1)a ．（5分）（2）由()20f x x +≥即20x ax x a -++≥在(1,)+∞上恒成立，得21x x a x +≤-令1(0)t x t =->，则22(1)1233,31x x t t t a x t t++++==++≥+∴≤+-．故实数a 的取值范围是(,3]-∞+ 10分18．解：（1）由题意得2,22T A π==，∴最小正周期T π=，则22Tπω==，()2sin(2)f x x ϕ∴=+．若选①，6f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数，则06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2sin 03πφ⎛⎫∴-+= ⎪⎝⎭，即sin 03πφ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，02πφ<<，即336πππφ<+<，03πφ∴+=，即3πφ=，()2sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭．若选②，当0x =时()2sin f x φ=∴=，即sin φ=，0,,()2sin 2233f x x πππφφ⎛⎫<<∴=∴=+ ⎪⎝⎭ ．若选③，12x π=是函数()f x 的一条对称轴，2()122k x Z ππφπ∴⨯+=+∈，即()3k x Z πφπ=+∈，0,,()2sin 2233f x x πππφφ⎛⎫<<∴=∴=+ ⎪⎝⎭ ． 6分（2）()2sin 23f A A π⎛⎫=∴+= ⎪⎝⎭ sin 23A π⎛⎫+=⎪⎝⎭，(0,)A π∈ 即722,,233333A A πππππ⎛⎫⎛⎫+∈∴+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即6A π=，又3,c ABC = △的面积1sin 2ABC S bc A =∴=△得b =，在ABC △中，由余弦定理得2222cos 4892321a b c bc A =+-=+-⨯=，解得a =12分19．（1）证明：由题意，当1n =时，21212011a a =+=⨯+=,则12111012b a a =-+=-+=,又1211n n n b a a +++=-+ ()()()1112121222212n n n n n n n a n a n a a a a b +++=++-++=-+=-+=，∴数列{}n b 是以2为首项，2为公比的等比数列．5分（2）解：由（1）可知，1222n n n b -=⨯=,则112n n n a a +-+=，即121112132121,0,21,21,,21n n n n n n a a a a a a a a a -+--=-∴=-=--=--=- ,各项相加，可得()()()1210212121n n a -=+-+-++- ()12122222(1)12112nn n n n n --=+++--=-+=--- ,∵当1n =时，10a =也满足上式，*21,n n a n n ∴=--∈N ，2133n n n n n a n c --∴==,则111112(1)12233n n n n n n n c +++++-+---==，11112221212333n n nn n n n n n n n c c ++++----+-∴-=-=, 9分令()212nf n n =+-,则1(1)232n f n n ++=+-,()1(1)()23221222n n n f n f n n n +∴+-=+--+-=-,∵当1n =时，122220n-=-=，此时(1)(2)f f =,当2n ≥时，220n -<，此时(1)()f n f n +<,(1)(2)(3)(4)f f f f ∴=>>> ，(1)(2)10,(3)10f f f ==>=-< ，∴当1n =或2时，()0f n >,当3n ≥时，()0f n <,即当1n =或2时，111()0,3n n n n n f n c c c c +++-=>>，当3n ≥时，111()0,3n n n n n f n c c c c +++-=<<，12345c c c c c ∴<<>>> ∴当3n =时，数列{}n c 取得最大值，故3n =．12分20．解：（1）设BC x =，在ABC △中，由余弦定理可得21284222x x ⎛⎫=+-⋅⋅-⎪⎝⎭，整理可得：22240x x +-=,解得4x =,所以4BC =，则1242ABC S =⨯⨯=△，因为52ABCD =，所以52ABC ACD S S ==△△，所以ABC ACD ABCD S S S =+=△△梯形5分（2）设ABD α∠=,则2,,,236BDC BAC DBC BCA πππαααα∠=∠=-∠=-∠=-，在ABC △中，由正弦定理可得2sin sin 62BCππαα=⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，在B D C △中，由正弦定理可得52sin sin 3BC απα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，两式相除可得22sin sin 35sin sin 62πααππαα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12sin 2sin cos αααα⎫⋅+=，所以可得227sin cos 0αααα--=,即2tan7tan 0αα--=,解得tan α=或tan α=又因为,62ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以tan α=，即tan ABD ∠=． 12分21．（1）证明：取PD 的中点F ,连接,EF CF ,,E F 分别是,PA PD 的中点，EF AD ∴∥且12EF AD =；1,,2BC AD BC AD EF BC =∴ ∥∥且EF BC =；BE CF ∴∥．又BE ⊄平面,PCD CF ⊂平面,PCD BE ∴∥平面PCD ；5分（2）解：方法一、以P为坐标原点，,PD PA所在直线分别为x轴和y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设1BC=,则1(0,0,0),(1,0,0),(1,0,1),2P A D C B⎛⎫⎪⎪⎝⎭，1,,(1,2PA AB AD⎛⎫===⎪⎪⎝⎭．设平面PAB的一个法向量为(,,)n x y z=,则12n PAn AB x y z⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取2x=,得(2,0,1)n=-．同理可求平面ABD的一个法向量为π=．cos,||||n mnn mπ⋅<>===⋅．平面ABD和平面ABC为同一个平面，∴二面角P ABC-方法二、以D为坐标原点，,DA DC所在直线分别为x轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设1BC=,则1,(2,0,0)2P A⎛⎫⎪⎪⎝⎭，(0,0,0),(0,0,1),(1,0,1)D C B，3,,(1,0,1)2PA AB⎛⎫==-⎪⎪⎝⎭，设平面PAB 的一个法向量为(,,)n x y z =,则3020n PA x y n AB x z ⎧⋅=-=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩，取y =，得n = ．易知平面ABC 的一个法向量为(0,1,0)π=．cos ,||||n m n n m π⋅∴<>===⋅ ∴二面角P AB C --22．（12分）（1）证明：当01x <<时，2sin x x x x -<<；（2）已知函数()2()cos ln 1f x ax x =--,若0x =为()f x 的极大值点，求a 的取值范围．（1）证明：设2()sin ,(0,1)g x x x x x =--∈，则()12cos ,()2sin 0g x x x g x x '''=--∴=-+<，()g x '∴在(0,1)上单调递减，()(0)0,()g x g g x ''∴<=∴在(0,1)上单调递减，()(0)0g x g ∴<=,即2sin 0,(0,1)x x x x --<∈，2sin ,(0,1)x x x x ∴-<∈,设()sin ,(0,1)h x x x x =-∈,则()1cos 0,()h x x h x '=->∴在(0,1)上单调递增，()(0)0,(0,1)h x h x ∴>=∈,即sin 0,(0,1),sin ,(0,1)x x x x x x ->∈∴<∈,综合可得：当01x <<时，2sin x x x x -<<；（2）解：()22222222()sin ,()cos 11x x f x a ax f x a ax x x +''=-+∴=-+-- ，且2(0)0,(0)2f f a '''==-+,①若2(0)20f a ''=->,即a <<时，易知存在10t >，使得()10,x t ∈时，()0f x ''>，()f x '∴在()10,t 上单调递增，()(0)0f x f ''∴>=，()f x ∴在()10,t 上单调递增，这显然与0x =为函数的极大值点相矛盾，故舍去；②若2(0)20f a ''=-<,即a <或a >时，存在20t >，使得()22,x t t ∈-时，()0f x ''<，()f x '∴在()22,t t -上单调递减，又(0)0f '=，∴当20t x -<<时，()0,()f x f x '>单调递增；当20x t <<时，()0,()f x f x '<单调递减，满足0x =为()f x 的极大值点，符合题意；③若2(0)20f a ''=-=,即a =时，()f x 为偶函数，∴只考虑a =的情况，此时22()),(0,1)1x f x x x '=+∈-时，21()22101f x x x x ⎛⎫'>-+=-> ⎪-⎝⎭，()f x ∴在(0,1)上单调递增，与显然与0x =为函数的极大值点相矛盾，故舍去，综合可得：a 的取值范围为(,)-∞+∞ ．。

2020届高三入学调研考试卷文 科 数 学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}5,2,1{=M ，}2|{≤=x x N ，故M N 等于( )A ．}1{B ．}5{C ．{1,2}D ．{2,5}2．若复数(1)(2)z i i =+-，则复数z 的虚部是( ) A ．1B ．1-C ．3D ．3-3．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动， 则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为( ) A ．12B ．16C ．112 D ．134．如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明．图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影）设直角三角形有一内角为30︒，若向弦图内随机抛掷500 1.732)，则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为( )A ．134B ．67C ．182D ．1085．已知(0,)x π∈，则()cos2sin f x x x =+的值域为( )A ．9(0,]8B ．[0,1)C ．(0,1)D ．9[0,]86．已知正项等比数列{}n a 满足：28516a a a =，3520a a +=，则4=S ( )A ．16B ．16-C ．15D ．15-7．设x 、y 满约束条件20170x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则24z x y =-的最小值是( )A ．22-B ．13-C ．10-D ．20-8．函数cos y x x =+的大致图象是( )A ．B ．C ．D ．9．执行如图所示的程序框图，若输入10n =，则输出的S 的值是( )A ．910B ．1011C ．1112D ．92210．已知椭圆221112211:1(0)x y C a b a b +=>>和双曲线222222222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，若椭圆的离心率1e =x 轴．则双曲线其中一条渐近线的斜率为( ) A．BCD11．已知函数()ln ()f x x ax a R =-∈的图象与直线10x y -+=相切，则实数a 的值为( )A ．11e-B ．1e -C ．211e- D ．21e -12．已知定义域为R 的函数()f x 是偶函数，且对任意1x ，2(0,)x ∈+∞，1212()()0f x f x x x ->-．设3()2a f =，3(log 7)b f =，3(0.8)c f =-，则( )A ．b a c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．a c b <<二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知(1,1)=a ，(2,)m =b ，()⊥-a a b ，则||=b ．14．已知数列{}n a 的前n 项和公式为221n S n n =-+，则数列{}n a 的通项公式为 ． 15．已知抛物线28y x =的焦点F ，过F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，则||4||FA FB +的最小值是 ．16．《九章算术》卷第五《商功》中，有“假令刍童，上广一尺，袤二尺，下广三尺，袤四尺，高一尺”，意思是：“假设一个刍童，上底面宽1尺，长2尺：下底面宽3尺，长4尺，高1尺（如图，刍童为上下底面为相互平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的几何体）”．若该几何体所有顶点在一球体的表面上，则该球体的表面积为 ．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）某学校为培养学生的兴趣爱好，提高学生的综合素养，在高一年级开设各种形式的校本课程供学生选择（如书法讲座、诗歌鉴赏、奥赛讲座等）．现统计了某班50名学生一周用在兴趣爱好方面的学习时间（单位：h ）的数据，按照[0,2)，[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10]分成五组，得到了如下的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中m 的值；（2）求该班学生一周用在兴趣爱好方面的平均学习时间．18．（12分）如图，在四边形ABCD 中，23B π∠=，AB =，ABC S ∆． （1）求ACB ∠的大小； （2）若,4BC CD ADC π⊥∠=，求AD 的长．19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面ABCD ⊥平面PAD ，AD BC ∥，12AB BC AP AD ===，90APD BAD ∠=∠=︒． （1）证明：PD PB ⊥；（2）设点M 在线段PC 上，且13PM PC =，若M B C ∆，求四棱锥P ABCD-的体积．20．（12分）已知函数21()1x ax x f x e +-=+． （1）求()f x 的单调区间；（2）当0x ≥时，0()1f x ≤≤，求a 的取值范围．21．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点与上、下顶点构成直角三角形，以椭圆C 的长轴长为直径的圆与直线20x y +-=相切． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设过椭圆右焦点且不平行于x 轴的动直线与椭圆C 相交于A 、B 两点，探究在x 轴上是否存在定点E ，使得EA EB ⋅为定值？若存在，试求出定值和点E 的坐标；若不存在，请说明理由．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos (42sin x y ααα=+⎧⎨=+⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=．（1）把1C 的参数方程化为极坐标方程；（2）求1C 与2C 交点的极坐标(0,02)ρθπ≥≤<．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()||||(0f x x a x b a =-++>，0)b >． （1）当1a b ==时，解不等式()2f x x >+； （2）若()f x 的值域为[2,)+∞，求11111a b +≥++． 2020届高三入学调研考试卷文 科 数 学答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C【解析】集合{1,2,5}M =，{|2}N x x =≤，则{1,2}M N =．2．【答案】B【解析】(1)(2)3z i i i =+-=--，则复数z 的虚部是1-． 3．【答案】D【解析】现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，基本事件总数6n =，乙、丙两人恰好参加同一项活动包含的基本事件个数2m =，∴乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率2163m p n ===．4．【答案】B【解析】设大正方形的边长为1，则小直角三角形的边长为12，12，小正方形的面积21)12S ==-则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为12500(1500(10.866)5000.1345006711-⨯=⨯≈-⨯=⨯=⨯． 5．【答案】D【解析】由2()cos2sin 12sin sin f x x x x x =+=-+， 设sin x t =，(0,)x π∈，(0,1]t ∴∈，219()2()48g t t ∴=--+，9()[0,]8g t ∴∈，即()cos2sin f x x x =+的值域为9[0,]8．6．【答案】C【解析】由等比数列的性质得2528516a a a a ==．所以516a =， 又因为3520a a +=，所以34a =，所以11a =，2q =，414(1)=151a q S q-=-． 7．【答案】A【解析】由x 、y 满约束条件20170x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩作出可行域如图，联立170x x y =⎧⎨+-=⎩，解得(1,6)A ，化目标函数24z x y =-为124z y x =-，由图可得，当直线124zy x =-过点(1,6)A 时， 直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值为22-． 8．【答案】A【解析】由于()cos f x x x =+，()cos f x x x ∴-=-+， ()()f x f x ∴-≠，且()()f x f x -≠-，故此函数是非奇非偶函数，排除B ，C ； 又当2x π=时，()cos 2222f ππππ=+=，即()f x 的图象与直线y x =的交点中有一个点的横坐标为2π，排除D ． 9．【答案】B【解析】模拟程序的运行，可得程序的功能是利用循环结构计算并输出变量11112231011S =++⋯+⨯⨯⨯的值， 可得11111111110(1)()()11223101122310111111S =++⋯+=-+-+⋯+-=-=⨯⨯⨯．10．【答案】D【解析】设椭圆的半焦距为1c ，双曲线的半焦距为2c ，双曲线的一条渐近线与椭圆的交点2111,()b c a ，所以双曲线的渐近线的斜率为2221111111111b a c k e a c a c e -===-= 11．【答案】C【解析】由()ln f x x ax =-，()a R ∈得1()f x a x'=-， 设切点横坐标为0x ，依题意得011a x -=，并且000ln 1x ax x -=+， 解得211a e =-，则实数a 的值为211e -． 12．【答案】B【解析】根据题意，()f x 满足对任意1x ，2(0,)x ∈+∞，1212()()0f x f x x x ->-，则函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，又由()f x 是偶函数，则33(0.8)(0.8)c f f =-=，又由3333330.81=log 3log log 722<<=<，则c a b <<．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】2【解析】(1,1)m -=--a b ；()⊥-a a b ，∴()110m ⋅-=-+-=a a b ，0m ∴=；∴(2,0)=b ；∴||2=b ．14．【答案】21432n n a n n n +=⎧=⎨-≥∈⎩N 且【解析】由221n S n n =-+可知，当1n =时，112112a S ==-+=．当2n ≥且n +∈N 时，22121[2(1)(1)1]43n n n a S S n n n n n -=-=-+----+=-， 则数列{}n a 的通项公式为21432n n a n n n +=⎧=⎨-≥∈⎩N 且．15．【答案】18【解析】抛物线28y x =的焦点(2,0)F ，设11)(,A x y ，22)(,B x y ，则1212||4||24(2)410FA FB x x x x +=+++=++， 当直线AB 斜率不存在时，||4||2421020FA FB +=+⨯+=， 当直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为(2)y k x =-(0)k ≠， 代入28y x =得2222(48)40k x k x k -++=，124x x ∴=，224||4||4101018FA FB x x ∴+=++≥=，当且仅当21x =时取等号． ∴||4||FA FB +的最小值是18． 16．【答案】π41【解析】由已知得球心在几何体的外部， 设球心天几何体下底面的距离为x ，则222225()(1)2R x x =+=++，解得2x =，2414R ∴=，∴该球体的表面积41S π=．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）0.1m =；（2）5.08．【解析】（1）由频率分布直方图得：0.0620.0820.2220.0621m ⨯+⨯+⨯++⨯=，解得0.1m =．（2）学生的平均学习时间为：10.1230.1650.470.290.12 5.08⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 18．【答案】（1）6π；（2【解析】（1）在ABC ∆中，1sin 2ABC S AB BC B ∆=⋅， ∴由题意可得：12sin 23BC π⨯=∴BC =AB BC ∴=， 又23B π∠=，6ACB π∴∠=．（2）BC CD ⊥，3ACD π∴∠=，由余弦定理可得：22222212cos2()932AC AB BC AB BC π=+-⋅⋅=+--=， 3AC ∴=，∴在ACD ∆中，由正弦定理可得：3sinsin 3sin sin 4AC ACD AD ADC ππ⨯⋅∠===∠．19．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】证明：（1）90BAD ∠=︒，BA AD ∴⊥， 平面ABCD ⊥平面PAD ，交线为AD ，BA ∴⊥平面PAD ，从而BA PD ⊥，90APD ∠=︒，AP PD ∴⊥，BA AP A ⋂=，PD ∴⊥平面PAB ， PB ⊂平面PAB ，PD PB ∴⊥．（2）设2AD m =，则AB BC AP m ===，PD =，由（1）知BA ⊥平面PAD ，BA AP ∴⊥，BP =， 取AD 中点F ，连结CF ，PF ，则CF BA ∥，CF m =， 且由（1）知BA ⊥平面PAD ，CF ∴⊥平面PAD ，CF PF ∴⊥，12PF AD m ==，PC ∴=， 13PM PC =，23CM CP ∴=，∴2221332MBC PBC S S BC ∆∆==⨯=，2，解得2m =， 在PAD ∆中，P 到AD的距离AP PD h AD ⋅==， P∴到平面ABCD 的距离H h ==∴四棱锥P ABCD -的体积111(24)2332P ABCD ABCD V S H -=⋅=⨯⨯+⨯=20．【答案】（1）见解析；（2）211[,]44e +--． 【解析】解：（1）(1)(2)()xax x f x e +-'=-，①当0a >时，1()(2)()x a x x af x e+-'=-， 令()0f x '=，解得：11x a=-，22x =，且12x x <，当1(,)(2,)x a∈-∞-⋃+∞时，()0f x '<，当1(,2)x a∈-时，()0f x '>，故()f x 在1(,2)a-单调递增，在1(,)a -∞-，(2,)+∞单调递减，②当0a =时，2()xx f x e -'=-， 故()f x 在(,2)-∞单调递增，在(2,)+∞单调递减，③当102a -<<时，令()0f x '=，解得：12x =，21x a =-且12x x <，故()f x 在(,2)-∞，1(,)a -+∞单调递增，在1(2,)a -单调递减，④当12a =-时，2(2)()02x x f x e -'=…，故()f x 在R 单调递增， ⑤当12a <-时，11x a=-，22x =且12x x <，故()f x 在1(,)a -∞-，(2,)+∞单调递增，在1(,2)a-单调递减．（2）由(0)0f =及（1）知： ①0a ≥时，241(2)11a f e +=+>，不合题意； ②102a -<<时，a 需满足条件：极大值()241211a f e +=+≤，解得14a ≤-， 极小值121()110a f e e a --=->->恒成立，当1x a >-时()1f x ≤恒成立得210ax x +-≤，2111()24a x ≤--，即14a ≤-，故1124a -<≤-；③12a =-时，()f x 在[0，)+∞递增，()(0)0f x f ≥=，2(1)1()112x x f x e -+=-+<， 故12a =-；④12a <-时，极大值11()11a f e a-=-<恒成立，极小值241(2)10a f e +=+≥，解得214e a +≥-， 当2x >时()1f x ≤恒成立得210ax x +-≤，2111()24a x ≤--，即14a ≤-，故21142e a +-≤<-， 综上，a 的范围是211[,]44e +--． 21．【答案】（1）2212x y +=；（2）见解析．【解析】（1）由题意知，222b c a b c a=⎧⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎩11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，则椭圆C 的方程为2212x y +=．（2）当直线的斜率存在时，设直线(1)y k x =-，联立2212(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(12)4220k x k x k +-+-=，2880Δk =+>，∴22412A B k x x k +=+，222212A B k x x k -=+，假设x 轴上存在定点00(,)E x ，使得EA EB ⋅为定值，∴20000(,)(,)()A A B B A B A B A B EA EB x x y x x y x x x x x x y y ⋅=-⋅-=-+++2200()(1)(1)A B A B A B x x x x x x k x x =-+++-- 222200(1)()()A B A B k x x x k x x x k =+-++++2220002(241)(2)12x x k x k -++-=+． 要使EA EB ⋅为定值，则EA EB ⋅的值与k 无关，∴220002412(2)x x x -+=-， 解得054x =，此时716EA EB ⋅=-为定值，定点为5(,0)4．当直线的斜率不存在时，(1,2A，(1,2B -，1(,42EA =，1(,42EB =-，117(4416EA EB ⋅=⨯=-也满足条件． 22．【答案】（1）24cos 8sin 160ρραρθ--+=；（2）)4π或(4,)2π．【解析】（1）曲线1C 的参数方程为22cos (42sin x y ααα=+⎧⎨=+⎩为参数），转换为直角坐标方程为：22(2)(4)4x y -+-=， 转换为极坐标方程为：24cos 8sin 160ρραρθ--+=． （2）曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=． 转换为直角坐标方程为：2240x y y +-=，所以：⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+-044)4()2(2222y y x y x ， 整理出公共弦的直线方程为：40x y +-=，故：⎩⎨⎧=-+=-+040422y x y y x ，解得⎩⎨⎧==22y x 或⎩⎨⎧==40y x ，转换为极坐标为)4π或(4,)2π．23．【答案】（1）{|2x x >或0}x <；（2）见解析． 【解析】（1）当1a b ==时，()|1||1|2f x x x x =-++>+，①当1x <-时，不等式可化为：22x x ->+，即23x <-，故1x <-，②当11x -≤≤时，不等式可化为：22x >+，即0x <，故10x -≤<， ③当1x >时，不等式可化为22x x >+，即2x >，故2x >， 综上，不等式的解集是{|2x x >或0}x <．（2）根据绝对值三角不等式可知()f x x a x b a b =-++≥+， ()f x 的值域是[2,)+∞，故2a b +=，114a b +++=， 故1111a b +++11111()411a b a b a b ++++++=+++111(2)411b a a b ++=++++， 当且仅当1111b a a b ++=++，即1a b ==时取等号时，由基本不等式可得11111a b +≥++．。

信阳市 2020 学年高三第一次教课质量检测数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务势必自己的姓名、准考据号等考生信息填写在答题卡上，并用2B铅笔将准考据号填涂在相应地点。

2 ．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案标号；非选择题答案使用0． 5 毫米的黑色墨水署名笔书写，字体工整、字迹清楚。

3．请依照题号在各题的答题地区（黑色线框）内作答，高出答题地区书写的答案无效。

4．保持卡面洁净，不折叠，不损坏。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12 个小题，每题 5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1．若会合A＝ {x ｜ 1≤ x≤5} ， B＝ {x ｜log2x＜ 2} ，则 A∪ B 等于A．（－ 1， 5] B．（ 0， 5]C．[1 ， 4）D．[ －1， 4）2．在△ ABC中，角 A，B， C 所对的边分别为a， b， c，若 a＝ 2 3 ，b＝2 2 ，A＝60°，则B 等于A．45°B．60°C． 75°D． 135°3．sin 2 11o－ cos2 11o等于sin 34 o cos34 oA ．－2B．－ 1C． 1D． 21 4．设 a＝25，b＝(6)16， c＝ln（此中π是圆周率），则72A ．c＜ a＜ b B．b＜ c＜ a C． a＜ c＜ b D． c＜b＜ a5．已知α，β均为锐角，且sin α＝43，cos （α＋β）＝－11 ，则等于714A．3B．4C．D．6126．若函数 f （ x）＝－4x3＋mx有三个不一样的单一区间，则实数m的取值范围是3A．[0 ，＋∞） B．（－∞， 0）C．（ 0，＋∞）D．（－∞， 0]7．已知(x ln x)a，则实数 a 等于＝ lnx ＋ 1，－＝1(ln x 1)dx2A ．2B．e C． 3D．e28．函数 f （ x）＝1x＋ ln ｜ x｜的图象大概为9．已知3x＋x3＝ 100， [x] 表示不超出 x 的最大整数，则 [x]等于A ．2B．3C． 4D． 510．若函数 y＝ Asin （ω x＋）（ A＞0，ω＞ 0，｜｜＜）在一个周期内的图象如图12所示， M， N分别是这段图象的最高点和最低点，且OM⊥ON（ O为坐标原点），则 A 等于A．7B．3 1212C．7D．3662x , x＜ t11．设 t ＞ 0，函数 f （ x）＝log≥的值域为 M，若 2M，则 t 的取值范围是1 x x t2A．（1，1） B．（1，1]C．[1，1）D．[1，1] 444412．已知函数 f （x）＝e x，g（ x）＝ln x＋1的图象分别与直线y＝ m交于 A， B 两点，则22｜AB｜的最小值为A．2B．2＋ ln2C．e2＋1D． 2e－ ln 322第Ⅱ卷二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．把答案填在答题卡的相应地点38（a＞ 0），则log213．若a4＝ a ＝______________．27314．已知函数 y＝f （ x）＋ x 是偶函数，且 f （ 2）＝ 1，则 f （－ 2）＝ _____________．15．若△ ABC的面积 S＝a2—(b－c)2，则sin A＝______________ ．1－ cos A16．设函数 y ＝ f （ x ）图象上不一样的两点 M （x 1，y 1）， N （ x 2，y 2）处的切线斜率分别是 k M ，k N ，那么规定（ M ，N ）＝k M － k N 叫做曲线 y ＝ f （x ）在点 M 与点 N 之间的“曲折度” ．设MN曲线 f （ x ）＝ x 3 ＋ 2 上不一样两点 M （ x 1，y 1），N （ x 2，y 2），且 x 1x 2＝ 1，则该曲线在点M 与点 N 之间的“曲折度”的取值范围是______________．三．解答题：本大题共6 小题，满分 70 分。

2020届高三入学调研考试卷理 科 数 学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|230}A x x x =+-≤，{|2}B x =<，则A B =（ ）A ．{|31}x x -≤≤B ．{|01}x x ≤≤C ．{|31}x x -≤<D ．{|10}x x -≤≤2．已知复数12z =+，则||z z +=（ ）A ．122- B ．122-- C ．322- D ．322+ 3．已知1sin 4x =，x 为第二象限角，则sin2x =（ ）A ．316-B ．8C ．8±D ．84．在等比数列{}n a 中，若2a ，9a 是方程260x x --=的两根，则56a a ⋅的值为（ ） A ．6B ．6-C ．1-D ．15．设函数2sin cos ()(,0)x x xf x a R a ax +=∈≠，若(2019)2f -=，(2019)f =（ ）A ．2B ．2-C ．2019D ．2019-6．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（ ）注：90后指1990年及以后出生，80后指19801989-年之间出生，80前指1979年及以前出生．A ．互联网行业从业人员中90后占一半以上B ．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C ．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D ．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多7．已知实数x ，y 满足不等式10320x y x y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最小值为（ ）A ．4-B ．5C ．4D ．无最小值8．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童．如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为（ ）A ．0031 B ．1043C ．27D ．189．已知向量(1,2)a =-，(1,)b m =，则“12m <”是,a b <>为钝角的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知A 为椭圆2229x y +=的左顶点，该椭圆与双曲线22221x y a b-=的渐近线在第一象限内的交点为B ，若直线AB 垂直于双曲线的另一条渐近线，则该双曲线的离心率为（ ）A B C ．2 D 11．如图，正方形的四个顶点(1,1)A --，(1,1)B -，(1,1)C ，(1,1)D -，及抛物线2(1)y x =-+和2(1)y x =-，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影部分区域的概率是（ ）A ．23B ．13C ．16D ．1212．不等式3ln 1x x e a x x --≥+对任意(1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围（ ） A ．(,1]e -∞- B ．2(,2]e -∞-C ．(,2]-∞-D ．(,3]-∞-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．设某总体是由编号为01，02，，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体编号为__________．1818079245441716580979838619第1行 6206765003105523640505266238第2行14．51(2)2x y -的展开式中23x y 的系数为__________．15．设()sin 22f x x x =+，将()f x 的图像向右平移(0)ϕϕ>个单位长度，得到()g x 的图像，若()g x 是偶函数，则ϕ的最小值为__________．16．某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有种 ．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，sin (2)b A a B =-． （1）求角B 的大小；（2）D 为边AB 上的一点，且满足2CD =，4AC =，锐角三角形ACD 求BC 的长．18．（12分）如图，在三棱锥P ABC -中，AC =，2AB BC =，D 为线段AB 上一点，且3AD DB =，PD ⊥平面ABC ，PA 与平面ABC 所成的角为45︒． （1）求证：平面PAB ⊥平面PCD ；（2）求二面角P AC D --的平面角的余弦值．19．（12分）某公司生产某种产品，一条流水线年产量为10000件，该生产线分为两段，流水线第一段生产的半成品的质量指标会影响第二段生产成品的等级，具体见下表：从第一道生产工序抽样调查了100件，得到频率分布直方图如图：若生产一件一等品、二等品、三等品的利润分别是100元、60元、100-元．（1）以各组的中间值估计为该组半成品的质量指标，估算流水线第一段生产的半成品质量指标的平均值；（2）将频率估计为概率，试估算一条流水线一年能为该公司创造的利润；（3）现在市面上有一种设备可以安装到流水线第一段，价格是20万元，使用寿命是1年，安装这种设备后，流水线第一段半成品的质量指标服从正态分布2(80,2)N ，且不影响产量．请你帮该公司作出决策，是否要购买该设备？说明理由．（参考数据：()0.6826P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9548P X μσμσ-<≤+=，(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为长为半径的圆与直线0x y -+=相切，过点(4,0)P 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）若原点O 在以线段AB 为直径的圆内，求直线l 的斜率k 的取值范围．21．（12分）设函数2()(,)xx ax bf x a R b R e ++=∈∈．（1）若1x =-是函数()f x 的一个极值点，试用a 表示b ，并求函数()f x 的减区间； （2）若1a =，1b =-，证明：当0x >时，1()(21)f x x e≤-请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为322x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的极坐标方程为ρθ=．（1）求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于A ，B 两点，若点P的坐标为，求||||PA PB +．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()|||31|f x x m x m =----． （1）若1m =，求不等式()1f x <的解集；（2）对任意的x R ∈，有()(2)f x f ≤，求实数m 的取值范围．2020届高三入学调研考试卷理 科 数 学答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】B【解析】{|31}A x x =-≤≤，{|04}B x x =≤<， 所以{|01}AB x x =≤≤．故选B ．2．【答案】C【解析】因为复数12z =+，所以复数z 的共轭复数122z =-，||1z ==，所以13||12222z z +=-+=-，故选C ． 3．【答案】B 【解析】因为1sin 4x =，x 为第二象限角，所以cos x ===，所以1sin 22sin cos 2(4x x x ==⨯⨯=，故选B ． 4．【答案】B【解析】因为2a 、9a 是方程260x x --=的两根， 所以根据韦达定理可知296a a ⋅=-，因为数列{}n a 是等比数列，所以5629a a a a ⋅=⋅，566a a ⋅=-，故选B ．5．【答案】B 【解析】因为2sin cos ()x x xf x ax +=，所以22sin()cos()sin cos ()()x x x x x xf x f x ax ax ---+-==-=-，因此函数()f x 为奇函数，又(2019)2f -=，所以(2019)(2019)2f f =--=-． 故选B ． 6．【答案】D【解析】A ．由互联网行业从业者年龄分布饼状图可知，90后占了56%，故A 选项结论正确； B ．由90后从事互联网行业岗位分布图可知，技术所占比例为39.65%，故B 选项结论正确； C ．由互联网行业从业者年龄分布饼状图可知，在互联网行业从业者中90后明显比80前多，故C 选项结论正确；D ．在互联网行业从业者中90后与80后的比例相差不大，故无法判断其技术岗位的人数是谁多，故D 选项结论不一定正确． 故选D ． 7．【答案】C【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即1122y x z =-+，其中z 取得最小值时， 其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最小，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最小值， 联立直线方程320x y x y +=⎧⎨-=⎩，可得点的坐标为(2,1)A ，据此可知目标函数的最小值为min 2224z x y =+=+=． 故选C ． 8．【答案】B【解析】由题意几何体原图为正四棱台，底面的边长分别为2和6，高为2，所以几何体体积1104(436233V =++⨯=． 故选B ． 9．【答案】B【解析】因为(1,2)a =-，(1,)b m =，所以12a b m ⋅=-+， 则cos ,||||5a b a b a b ⋅<>==⋅，若12m <，则cos ,0||||5a b a b a b ⋅<>==<⋅， 但当2m =-时，a ，b 反向，夹角为180︒； 所以由12m <不能推出,a b <>为钝角； 反之，若,a b <>为钝角，则cos ,0a b <><且2m ≠-，即12m <且2m ≠-， 能推出12m <； 因此，“12m <”是,a b <>为钝角的必要不充分条件．10．【答案】D【解析】因为直线AB 垂直于双曲线的另一条渐近线，所以直线AB 的方程为(3)ay x b=+， 联立(3)ay x b b y x a⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得交点2222233(,)a abB a b a b ----， 代入椭圆方程整理得224b a =，即有225c a = 11．【答案】B【解析】∵(1,1)A --，(1,1)B -，(1,1)C ，(1,1)D -， ∴正方形的ABCD 的面积224S =⨯=，根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积：122310012[1(1)]2()|3S x dx x x =--=-⎰1242[(1)0]2333=--=⨯=，则由几何槪型的概率公式可得质点落在图中阴影区域的概率是41343=．故选B ． 12．【答案】D【解析】题意即为3ln 1x a x x e x -≤--对(1,)x ∀∈+∞恒成立，即31ln x x e x a x ---≤对(1,)x ∀∈+∞恒成立，从而求31ln x x e x y x---=，(1,)x ∈+∞的最小值，而33ln 3ln 3ln 1x x x x x x e e e e x x ---==≥-+， 故313ln 113ln x x e x x x x x ---≥-+--=-，即313ln 3ln ln x x e x x x x----≥=-．当3ln 0x x -=时，等号成立，方程3ln 0x x -=在(1,)+∞内有根，故3min 1()3ln x x e x x---=-，所以3a ≤-，故选D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】19【解析】由题意，从随机数表第1行的第3列数字1开始，从左到右依次选取两个数字的结果为18，07，17，16，09，19，，故选出来的第6个个体编号为19． 14．【答案】20-【解析】由二项式定理可知，展开式的通项为5151()(2)2rrr r T C x y -+=-，要求解51(2)2x y -的展开式中含23x y 的项，则3r =，所求系数为32351()(2)202C -=-．15．【答案】512π【解析】()sin 22sin(2)3f x x x x π==+，将()f x 的图像向右平移(0)ϕϕ>个单位长度得到()2sin(22)3g x x πϕ=-+，因为函数()g x 是偶函数， 所以232k ππϕπ-+=+，122k ππϕ=-+，k ∈Z ，(0)ϕ>， 所以min512πϕ=，故答案为512π． 16．【答案】60【解析】每个城市投资1个项目有3343C A 种， 有一个城市投资2个有212423C C C 种， 投资方案共3321243423243660C A C C C +=+=种．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）6B π=；（2）BC =【解析】（1）因为sin (2)b A a B =-，所以sin sin sin (2)B A A B =，解得sin 2B B =，所以sin()13B π+=，因为(0,)B π∈，所以4(,)333B πππ+∈，32B ππ+=，解得6B π=．（2）因为锐角三角形ACD所以1sin 2AC CD ACD ⋅⋅∠=sin 4ACD ∠=，因为三角形ACD 为锐角三角形，所以1cos 4ACD ∠==， 在三角形ACD 中，由余弦定理可得：2222cos AD AC CD AC CD ACD =+-⋅⋅∠，所以4AD =，在三角形ACD 中，sin sin CD AD A ACD=∠，所以sin A =，在三角形ABC 中，sin sin BC ACA B=，解得BC =18．【答案】（1）见解析；（2【解析】（1）因为AC =，2AB BC =，所以2222)4AB BC BC =+=， 所以ABC ∆是直角三角形，AC BC ⊥；在Rt ABC ∆中，由AC =，30CAB ∠=︒，不妨设1BD =，由3AD BD =得，3AD =，2BC =，AC = 在ACD ∆中，由余弦定理得222222cos30323cos30CD AD AC AD AC =+-⋅︒=+-⨯⨯︒3=，故CD =所以222CD AD AC +=，所以CD AD ⊥；因为PD ⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，所以PD CD ⊥， 又PDAD D =，所以CD ⊥平面PAB ，又CD ⊂平面PCD ，所以平面PAB ⊥平面PCD ．（2）因为PD ⊥平面ABC ，所以PA 与平面ABC 所成的角为PAD ∠，即45PAD ∠=︒，可得PAD ∆为等腰直角三角形，PD AD =，由（1）得3PD AD ==，以D 为坐标原点，分别以DC ，DB ，DP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)D，C ，(0,3,0)A -，(0,0,3)P ． 则(0,0,3)DP =为平面ACD 的一个法向量． 设(,,)x y z =n 为平面PAC 的一个法向量， 因为(0,3,3)PA =--，(3,0,3)PC =-，则由00PC PA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，得30330z y z -=--=⎪⎩，令1z=，则x =1y =-，则1,1)=-n 为平面PAC 的一个法向量，故cos ,DP <>==n 故二面角P AC D --19．【答案】（1）80.2；（2）30万元；（3）见解析．【解析】（1）平均值为：720.1760.25800.3840.2880.1580.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． （2）由频率直方图，第一段生产半成品质量指标(74P x ≤或86)0.25x >=，(7478P x <≤或8286)0.45x <≤=， (7882)0.3P x <≤=，设生产一件产品的利润为X 元，则(100)0.20.250.40.450.60.30.41P X ==⨯+⨯+⨯=， (60)0.30.250.30.450.30.30.3P X ==⨯+⨯+⨯=， (100)0.50.250.30.450.10.30.29P X =-=⨯+⨯+⨯=，所以生产一件成品的平均利润是1000.41600.31000.2930⨯+⨯-⨯=元， 所以一条流水线一年能为该公司带来利润的估计值是30万元． （3）374μσ-=，78μσ-=，82μσ+=，386μσ+=， 设引入该设备后生产一件成品利润为Y 元，则(100)0.00260.20.31480.40.68260.60.536P Y ==⨯+⨯+⨯=， (60)0.00260.30.31480.30.68260.30.3P Y ==⨯+⨯+⨯=， (100)0.00260.50.31480.30.68260.10.164P Y =-=⨯+⨯+⨯=，所以引入该设备后生产一件成品平均利润为1000.536600.31000.16455.2EY =⨯+⨯-⨯=元，所以引入该设备后一条流水线一年能为该公司带来利润的估计值是55.2万元， 增加收入55.23020 5.2--=万元， 综上，应该引入该设备．20．【答案】（1）22143x y +=；（2）(k ∈．【解析】（1）由12c e a ==可得2243a b =，又b ==24a =，23b =．故椭圆的方程为22143x y +=．（2）由题意知直线l 方程为(4)y k x =-．联立22(4)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(43)3264120k x k x k +-+-=．由2222(32)4(43)(6412)0Δk k k =--+->，得214k <．① 设11(,)A x y ， 22(,)B x y ，则21223243k x x k +=+，2122641243k x x k -=+． ∴22212121212(4)(4)4()16y y k x k x k x x k x x k =-⋅-=-++．当原点O 在以线段AB 为直径的圆内时，∴22212121212(1)4()16OA OB x x y y k x x k x x k ⋅=+=+-++2222222264123287(1)416250434343k k k k k k k k -=+-⋅+=-<+++，②．由①②，解得k <<．∴当原点O 在以线段AB 为直径的圆内时，直线l 的斜率(k ∈． 21．【答案】（1）23b a =-，当4a <时，函数()f x 的减区间为(,1)-∞-，(3,)a -+∞， 当4a >时，函数()f x 的减区间为(,3)a -∞-，(1,)-+∞；（2）见解析．【解析】（1）由222(2)()(2)()x x x xx a e x ax b e x a x a bf x e e+-++-+-+-'==， 有(1)(12)0f a a b e '-=-+-+-=，得23b a =-．此时有22(2)(23)(2)3()x xx a x a a x a x a f x e e-+-+---+--+'== (1)[(3)][(1)][(3)]x xx x a x x a e e ++-----=-=-．由1x =-是函数()f x 的一个极值点，可知31a -≠-，得4a ≠．①当31a ->-，即4a <时，令()0f x '<，得3x a >-函数()f x 的减区间为(,1)-∞-，(3,)a -+∞．②当4a >时，函数()f x 的减区间为(,3)a -∞-，(1,)-+∞．（2）由题意有21()xx x f x e+-=，要证1()(21)(0)f x x x e ≤->， 只要证：2(21)(1)0(0)xx e e x x x --+-≥> 令2()(21)(1)(0)xg x x e e x x x =--+->有()(21)(21)(21)()xxg x x e e x x e e '=+-+=+-． 则函数()g x 的增区间为(1,)+∞，减区间为(0,1)， 则min ()(1)0g x g ==． 故不等式1()(21)f x x e≤-成立．22．【答案】（1）直线l 的普通方程为3y x =-++；圆C的直角坐标方程为22(5x y +-=；（2）【解析】（1）由直线l的参数方程32x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）得直线l的普通方程为3y x =-++由ρθ=，得220x y +-=， 即圆C的直角坐标方程为22(5x y +-=．（2）将直线l 的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得22(3))5+=，即240t -+=，由于2440Δ=-⨯>，故可设1t ，2t是上述方程的两个实根，所以12124t t t t ⎧+=⎪⎨=⎪⎩又直线l过点P ，故1212||||||||PA PB t t t t +=+=+= 23．【答案】（1）(,3)-∞；（2）1123m -≤≤． 【解析】（1）()|1||4|1f x x x =---<，所以11(4)1x x x <⎧⎨---<⎩或141(4)1x x x ≤≤⎧⎨---<⎩或4141x x x >⎧⎨--+<⎩．解之得不等式()1f x <的解集为(,3)-∞．（2）当31m m +>，12m >-时，由题得2必须在31m +的右边或者31m +重合， 所以231m ≥+；∴13m ≤，所以1123m -<≤；当31m m +=，12m =-时，不等式恒成立；当31m m +<，12m <-时，由题得2必须在31m +的左边或者与31m +重合，由题得231m ≤+，13m ≥，所以m 没有解． 综上，1123m -≤≤．。