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9.1.2不等式的性质【回顾引入】对于某些简单的不等式，我们可以直接得出它们的解集，例如不等式x+3＞6的解集是x＞3,不等式2x ＜8的解集是x＜4.但是对于比较复杂的不等式，例如5x+1 6−2＞x−54,直接得出解集就比较困难.因此，还要讨论怎样解不等式.与解方程需要依据等式的性质一样，解不等式需要依据不等式的性质.回想一下，等式有哪些性质？分别用文字语言和符号语言表示出来.等式有上述性质，那不等式是否也应该同样具备类似的性质呢？（3）形如a≥b或a≤b的式子，也具有不等式的三个性质，即：若a≥b,则a±c≥b±c,ac≥bc或ac ≥bc(其中c＞0),ac≤bc或ac ≤abc(其中c＜0).（4）用数轴表示不等式的解集时，实心圆点和空心圆圈有什么区别？不等式的解集中含“≥”“≤”时在数轴上如何表示？答：实心圆点表示取值范围内包含这个数，而空心圆圈则表示不包含这个数.不等式的解集中含“≥”“≤”时在数轴上的表示如下：（5）用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集：①［教材P117例1（3）］23x＞50；②［教材P117例1（4）］-4x＞3；③-3x +2≤8；④x 4≤x 4-17.解：①根据不等式的性质2，不等式两边乘32，不等号的方向不变，所以32×23x ＞32×50，x ＞75.解集在数轴上的表示如图①所示.②根据不等式的性质3，不等式两边除以-4，不等号的方向改变，所以−4x −4-＜3−4，x ＜-34.解集在数轴上的表示如图②所示.③根据不等式的性质1，不等式两边减2，不等号的方向不变，所以-3x+2-2≤8-2，-3x ≤6.根据不等式的性质3，不等式两边除以-3，不等号的方向改变，所以−3x −3-3≥6−3，x ≥-2.解集在数轴上的表示如图③所示.④根据不等式的性质1，不等式两边减x6，不等号的方向不变，所以x 4-x 6≤x 6-17-x 6，x 12≤-17.根据不等式的性质2，不等式两边乘12，不等号的方向不变，所以12×x12≤12×(−17)，x ≤-127.解集在数轴上的表示如图④所示. 【对应训练】1~2.教材P119练习第1~2题.探究点3利用不等式的性质解决实际问题（教材P119例2）如图，某长方体形状的容器长5cm，宽3cm，高10cm.容器内原有水的高度为3cm，现准备向它继续注水.用V(单位：cm3)表示新注入水的体积.（1）新注入水的体积V与原有水的体积的和（2）与容器的容积有什么关系？答：新注入水的体积V与原有水的体积的和不能超过容器的容积.（2）新注入水的体积V可以是负数吗？不能.（3）你能写出V的取值范围吗？答：由（1）知V＋3×5×3≤3×5×10，即V≤105.由（2）知V≥0，所以V的取值范围是V≥0并且V≤105.（4）试将V的取值范围在数轴上表示出来.你认为在数轴上表示需要注意什么？在数轴上表示V的取值范围如图所示.需要注意：这是一个包含两端点的区间（闭区间）.【教学建【对应训练】用炸药爆破时，如果导火索燃烧的速度是0.8cm/s,人跑开的速度是4m/s,为了让点导火索的战士在爆破时能够跑到100m以外(不含100m)的安全区域，这个导火索的长度应大于多少厘米?请将解集在数轴上表示出来.解：设导火索的长度是xcm.根据题意，得x0.8×4＞100,解得.在数轴上表示x的取值范围如图所示. 议】此类实际问题容易引起学生关注，激发他们参与学习的热情.教学中让学生体会到生活中蕴含着数学知识，反过来数学知识又帮助我们解决生活中的许多实际问题，从而感受到知识的应用价值.活动三：重点突破，提升探例若不等式2x＜4的解都能使关于x的不等式3x＜a+5成立，求a的取值范围.【教学建议】一些简单的实际问题吗？【知识结构】【作业布置】1.教材P120习题9.1第4~9题.2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.不等式的其他性质：（1）若a＞b，则b＜a；（2）若a＞b，b＞c，则a＞c；（3）若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d.例1实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，则下列式子中正确的是（C）A.-a-c＞-b-cB.ac＞bcC.|a-b|=a-bD.a＜-b＜-c解析：由图知：a＞b，那么-a＜-b，-a-c＜-b-c，故A选项错误，不符合题意；由图知：a＞b，c＜0，那么ac＜bc，故B选项错误，不符合题意；由图知：a＞b，那么a-b＞0，|a-b|=a-b，故C选项正确，符合题意；由图知：|a|＞|b|，|a|＞|c|，a＞0，c＜b＜0，那么a＞-c＞-b，故D选项错误，不符合题意.故选C.例2根据等式和不等式的性质，我们可以得到比较两数大小的方法：(1)①如果a-b＜0，那么a＜b；②如果a-b=0，那么a=b；③如果a-b ＞0，那么a＞b.(2)（1）中这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”，请运用这种方法尝试解决下面的问题：①比较4+3a2-2b+b2与3a2-2b+1的大小；②若2a+2b-1＞3a+b，比较a，b的大小.解：（2）①因为4+3a2-2b+b2-(3a2-2b+1)=b2+3＞0，所以4+3a2-2b+b2＞3a2-2b+1.②因为2a+2b-1＞3a+b，所以2a+2b-3a-b＞1，即b-a＞1.因为1＞0，所以b-a＞0.所以a＜b.例3用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C 的含量及购买这两种原料的价格如下表：（1）现配制9kg这种饮料，要求至少含有4000单位的维生素C，试写出所需甲种原料的质量x（单位：kg）应满足的不等式；（2）在（1）的条件下，如果还要求甲、乙两种原料的费用不超过70元，试写出x（单位：kg）应满足的另一个不等式.解：（1）由题意，得500x+80（9-x）≥4000.（2）由题意，得16x+4（9-x）≤70.。
9.1.2 不等式的性质知能演练提升能力提升1.下列不等式变形正确的是()A.由a>b,得ac>bcB.由a>b,得-2a<-2bC.由a>b,得-a>-bD.由a>b,得a-2<b-22.若8x+1<-2x,则下列各式正确的是()A.10x+1>0B.10x+1<0C.8x-1>2xD.10x>-13.若m>n,则下列不等式不一定成立的是()A.m+2>n+2B.2m>2nC.D.m2>n24.设“”“”“”表示三种不同的物体.现用天平称两次,情况如图所示,则、、这三种物体质量从大到小的顺序排列正确的是()A.、、B.、、C.、、D.、、,则()5.已知关于x的不等式(m-2)x>1的解集为x<-A.m<2B.m>2C.m>3D.m<36.实数a,b,c在数轴上对应的点如图所示,则下列式子中正确的是()A.a-c>b-cB.a+c<b+cC.ac>bcD.7.按下列要求写出能成立的不等式:(1)m>n,两边都乘15,得;(2)-x≤-3,两边都乘-,得;(3)x- ≥-7,两边都加上5,得.★8.用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块,随着铁钉的深入,铁钉所受的阻力也越来越大.当未进入木块的钉子长度足够时,每次钉入木块的钉子长度是前一次的.已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块(木块足够厚),且第一次敲击后铁钉进入木块的长度是2 cm,若铁钉总长度为a cm,求a的取值范围.9.利用不等式的性质,将下列不等式化成“x>a”或“x<a”的形式:(1)x+5>-2;(2)4x>36;(3)-x>3;(4)x+<0.10.利用不等式的性质解下列不等式,并在数轴上表示解集:(1)x≤ 0;(2)5-4x<-3;(3)3x≤ x-6.11.(1)已知a<0,-1<b<0,试比较a,ab,ab2的大小;(2)若x-b=y+b,试比较x,y的大小.创新应用★12.阅读下列材料:试判断a2-3a+7与-3a+2的大小.分析:要判断两个数的大小,我们往往使用作差法,即若a-b>0,则a>b;若a-b<0,则a<b;若a-b=0,则a=b.解:因为(a2-3a+7)-(-3a+2)=a2-3a+7+3a-2=a2+5,a2≥0,所以a2+5>0.所以a2-3a+7>-3a+2.阅读后,应用这种方法比较-与-的大小.答案：能力提升1.B2.B因为8x+1<-2x,两边同时加上2x,所以8x+1+2x<0,所以10x+1<0,故选B.3.D4.B5.A根据不等式的性质3,两边同除以一个负数,不等号的方向改变,故选A.6.B因为a<b<0<c,所以a-c<b-c,a+c<b+c,故选项A是错的,选项B是对的;选项C应该是ac<bc,错用了不等式的性质2;选项D 是错用了不等式的性质3.7.(1)35m>12n (2)x≥(3)x≥-28.解因为第一次敲击后铁钉进入木块的长度是2cm,所以第二次敲击后铁钉又进入木块的长度是1cm.因为敲击3次后全部进入木块(木块足够厚),所以第三次敲击后铁钉又进入木块的长度最多是0.5cm.所以铁钉总长度的范围是2+1+0<a≤ +1+0.5,即3<a≤ .5.9.解(1)利用不等式的性质1,两边都减5,得x>-7;(2)利用不等式的性质2,两边都除以4,得x>9;(3)利用不等式的性质3,两边都乘-4,得x<-12;(4)利用不等式的性质1,两边都减,得x<-.10.解(1)根据不等式的性质2,不等式两边乘,不等号的方向不变,得x≤×30,x≤ 0.不等式的解集在数轴上表示如图所示.(2)根据不等式的性质1,不等式两边减5,得5-4x-5<-3-5,-4x<-8.根据不等式的性质3,不等式两边除以-4,得x>2.不等式的解集在数轴上表示如图所示.(3)根据不等式的性质1,不等式两边减5x,得3x-5x≤ x-6-5x,-2x≤-6.根据不等式的性质3,不等式两边除以-2,得x≥ .不等式的解集在数轴上表示如图所示.。
K12教育资源学习用资料 第九章 9.1.2不等式的性质知识点1:不等式的性质1 不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变.即如果a>b,那么a ±c>b ±c.知识点2:不等式的性质2不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.即如果a>b,c>0,那么ac>bc.知识点3:不等式的性质3不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.即如果a>b ,c<0,那么ac<bc.考点1:用不等式的性质解决实际问题【例1】 如图所示,a 、b 、c 分别表示苹果、梨、桃子的质量.同类水果质量相等,则下列关系正确的是( )A.a>c>bB.b>a>cC.a>b>cD.c>a>b答案:C点拨：由图可知3b<2a,可知b<a;由图可知2c=b,推出c<b,从而得出a ,b,c 的大小关系为:a>b>c.考点2:应用不等式的基本性质求字母的取值范围【例2】 若关于x 的不等式(1-a)x>2可化为x<,试确定a 的取值范围.解:∵不等式(1-a)x>2可化为x<.根据不等式的性质可知:1-a<0,∴a>1.∴a的取值范围为a>1.点拨：把不等式x>2化为x<时,就是把不等式两边同时除以了1-a,我们发现不等号方向发生了变化,说明这个不等式两边同时除以了一个负数,由此我们可以列出不等式1-a<0,进而求出a的范围.考点3:将不等式化成x>a或x<a的形式【例3】根据不等式的性质,把下列各不等式化成x>a或x<a的形式.(1)10<12-x;(2)6x+4<2x;(3)2x+5>5x-4;(4)4-3x<4x-3;(5)+1>4;(6)-+1>.解:(1)不等式两边都减去12得-x>-2,由不等式的性质3,得x<2.(2)对不等式两边同时减去2x+4得4x<-4,由不等式的性质2,得x<-1.(3)对2x+5>5x-4两边同时减去2x,得3x-4<5,再由不等式的性质1,不等式两边同时加上4,得3x<9,即x<3.(4)4-3x<4x-3,得7x>7(由不等式的性质1,两边同时加上3x+3),再由不等式的性质2,两边同除以7,得x>1.(5)由+1>4,两边同时减去1,得>3,两边同乘3,得x>9.(6)对-+1>两边同时乘6,得-4x+6>3x-3,再对不等式两边同时加上4x+3,得7x<9,故x<.点拨：根据不等式的性质,我们可以对不等式进行等价变形,把不等式化成x>a或x<a的形式. K12教育资源学习用资料。
不等式的性质(第1课时)
(30分钟50分)
一、选择题(每小题4分，共12分)
1.把不等式x+2≤0的解集在数轴上表示出来，则正确的是( )
【解题指南】解决本题的两个关键：
1.利用不等式的性质，确定不等式的解集.
2.在数轴上表示不等式的解集.
【解析】选D.不等式x+2≤0的两边都减去2，不等号的方向不变，所以x≤-2.
表示在数轴上为：.
2.如果(a-1)x<a-1的解集是x>1，那么a须满足的条件是 ( )
A.a≠0
B.a≠1
C.a>1
D.a<1
【解析】选D.由于原不等号的方向发生了变化，根据不等式的性质，不等号的两边都除以了一个负数，即a-1<0，所以a<1.
【变式训练】如果关于x的不等式(a+1)x>a+1的解集为x<1，那么a的取值范围是( )
A.a>0
B.a<0
C.a>-1
D.a<-1
【解析】选D.因为不等式两边除以(a+1)时，不等号改变了方向.所以a+1<0，所以a<-1.
3.如果a，b，c是△ABC的三条边，则下列不等式中正确的是( )
A.(a+b+c)(a-b-c)>0
B.(a+b+c)(a-b-c)<0
C.(a+b+c)(a-b-c)=0
D.(a+b+c)(a-b-c)≥0
【解析】选B.由于三角形的两边之和大于第三边，所以a-b-c<0，又因为a+b+c>0.所以(a+b+c)(a-b-c)<0.
二、填空题(每小题4分，共12分)
4.下列判断中，正确的序号为________.
①若-a>b>0，则ab<0；②若ab>0，则a>0，b>0；③若a>b，c≠0，则ac>bc；④若a>b，c≠0则ac2>bc2；
⑤若a>b，c≠0则-a-c<-b-c.
【解析】∵-a>b>0，∴a<0，b>0，∴ab<0，①正确；
∵ab>0，∴a>0，b>0或a<0，b<0，②错误；
∵a>b，c≠0，∴c>0时，ac>bc；c<0时，ac<bc；
③错误；
∵a>b，c≠0，∴c2>0，∴ac2>bc2，④正确；
∵a>b，c≠0，∴-a<-b，
∴-a-c<-b-c，⑤正确.
综上，可得判断中，正确的序号为①④⑤.
答案：①④⑤
5.代数式3y2-5的最小值是________.
【解析】由于y2≥0，不等式的两边都乘以3后，3y2≥0，不等式的两边都减去5得，3y2-5≥-5，
故3y2-5的最小值是-5.
答案：-5
6.式子a2x>x(a2+1)成立，则x满足的条件是________.
【解析】a2<a2+1，两边都乘以x，a2x>x(a2+1)，x<0.
答案：x<0
三、解答题(共26分)
7.(8分)利用不等式的性质解下列不等式：
(1)2x-2<0.(2)3x-9<6x.(3)x-2>x-5.
【解题指南】根据不等式的性质，把含未知数的项放到不等式的左边，常数项放到不等式的右边，然后把系数化为1.
【解析】(1)根据不等式的性质1，两边都加上2得2x<2.根据不等式的性质2，两边除以2得x<1.
(2)根据不等式的性质1，两边都加上9-6x得-3x<9.根据不等式的性质3，两边都除以-3得x>-3.
(3)根据不等式的性质1，两边都加上2-x得-x>-3.根据不等式的性质3，两边都除以-1得x<3.
8.(10分)根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：若a-b>0，则a>b；若a-b=0，则a=b；若a-b<0，则a<b.反之也成立.这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”.请运用这种方法尝试解决下面的问题：
(1)比较4+3a2-2b+b2与3a2-2b+1的大小.
(2)若2a+2b-1>3a+b，求a，b的大小关系(直接写出答案).
【解析】(1)4+3a2-2b+b2-(3a2-2b+1)
=b2+3>0，
∴4+3a2-2b+b2>3a2-2b+1.
(2)两边都减(3a+b)，得-a+b-1>0，
即b-a>1，∴a<b.
【知识归纳】不等式性质与等式性质的异同
(1)相同点：
无论是等式还是不等式，都可以在它的两边加(或减)同一个数或同一个等式.
(2)不同点：
对于等式来说，在等式的两边乘(或除以)同一个正数(或同一个负数)，等式仍然成立，但是对于不等式来说，却不大一样.在不等式的两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变，而在不等式的两边乘(或除以)同一个负数，不等号要改变方向.
【培优训练】
9.(8分)(2017·唐河期中)【提出问题】已知x-y=2，且x>1，y<0，试确定x+y的取值范围.
【分析问题】先根据已知条件用一个量如y表示另一个量如x，然后根据题中已知量x的取值范围，构建另一量y的不等式，从而确定该量y的取值范围，同法再确定另一未知量x的取值范围，最后利用不等式性质即可获解.
【解决问题】解：∵x-y=2，∴x=y+2.
又∵x>1，∴y+2>1，∴y>-1.
又∵y<0，∴-1<y<0，…①
同理得1<x<2…②
由①+②得-1+1<y+x<0+2.
∴x+y的取值范围是0<x+y<2.
【尝试应用】已知x-y=-3，且x<-1，y>1，求x+y的取值范围.
【解析】∵x-y=-3，
∴x=y-3.
又∵x<-1，
∴y-3<-1，
∴y<2.
又∵y>1，
∴1<y<2，…①
同理得-2<x<-1…②
由①+②得1-2<y+x<2-1.
∴x+y的取值范围是-1<x+y<1.。
