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数学物理方法习题习题一1．把下列复数分别用代数、三角式和指数式表示出来： （1）i -; (2).11ii-+;(3). 1; (4). 1ie+;(5).1cos sin i αα-+; (6) 3()z z x iy =+2、下列式子在复平面上各具有怎样的几何意义？并作图表示出来. (1) ||2z =; (2) ||3z ≤;(3)1Re 2z ≥; (4) ||||z a z b -=- (a b 、皆为复实数）; (5) ||Re 1z z +≤; (6) 1||11z z -≤+; (7) 1Re 2z=; (8) 1Im 2z <<;(9) 0arg4z i z i π-<<+; (10) |2||2|5z z ++-=. 3、计算下列各式：（1 （2）ii ；（3 （4（5a b （、皆为实常数）； （6）21)(1)nn i i ++-（； （7）cos cos 2cos3cos n ϕϕϕϕ+++⋅⋅⋅+（ϕ为实数）习题二1、设,z x iy =+试证：|sin |z =和|s |co z =2、计算下列各式:（1）sin()a ib +和s()co a ib +（其中a b 、为实数，用三角函数和双曲函数表出结果）； （2）22;ch z sh z - （3）(1);Ln - 一1 一（4）cos ix 和sin ix （x 为实数）； （5）chix 和shix （x 为实数）； （6）sin ||iaz ib z e -（a b 、为实常数）。
3、解方程：（1）sin 2z =； （2） 2.tgz =习题三1、 若一实函数在区域G 内解析，试证该实函数必为实数。
2、 试讨论下列函数的可导性和解析性，并在可导区域求其导数： （1）212;z z ω=-- （2）1zω=（3）Im Re ;z z z ω=- （4）||.w z =3、设函数3222()()f z my mx y i x lxy =+++是全平面上的解析函数，试确定m n l 、、的值。
目录一．实际现象的描述3二．问题的求解4（一）求弦振动泛定方程4（二）解弦振动方程 (6)Ⅰ.达朗贝尔法求“无限和半无限的”弦振动函数 (6)Ⅱ.分离变量法求两端固定弦振动方程 (7)三．各种情形下的弦振动求解与图像 (9)四．总结21一·实际现象的描述演奏者在演奏弦乐器（如二胡、提琴）时，用弓在弦上来回拉动，并通过另一只手指在按不同弦的不同地位的协调作用，奏出各种不同的美妙的音乐。
演奏者所用的乐器不同，奏出音乐的悦耳度也就不同。
演奏者虽然用弓所接触的只是弦的很小一段，似乎应该只引起这个小段的振动，而事实上，振动总是传播到整根弦。
这振动是怎样传播的呢？如何利用数学方法来求解这种物理问题？如何通过直观的方程来说明不同乐器演奏出的音乐效果不同的原因？可否利用matlab来将这种振动直观表示出来？通过对于弦振动方程的学习，与对matlab的初步了解，我对于不同定解问题下弦振动方程的求解做了初级小结。
也尝试利用matlab 直观表述不同定解条件下的弦振动动态图像。
二·问题的求解（一）求弦振动泛定方程在求解时，我们不妨认为弦是柔软的，就是说在放松的条件下，把弦完成任意的形状，它都保持静止。
由于弦乐器所用的弦往往是很轻的，它的重量只有力的几万分之一。
跟拉力相比，弦的重量完全可以略去，这样，真实的弦就抽象为“没有重量”的弦。
把没有重量的弦绷紧，它在不振动时是一根直线，就取这直线作为x轴。
把弦上各点的横向位移记作u。
这样，横向位移u是x和t的函数，记作u（x，t）。
要求解弦振动，首先应找出u所遵从的方程。
把弦细分为许多极小的小段，拿区间(x,x+dx)上的小段B为代表加以研究。
B既然没有重量而且是柔软的，它就只受到邻段A和C的拉力和。
弦的每小段都没有纵向（即x方向）的运动，所以作用于B的纵向合力应为零。
弦的横向加速度记作。
按照，小段B的纵向和横向运动分别为式中时弦的线密度，即单位长度的质量。
《数学物理方法》第一章作业参考解答1. 利用复变函数导数的定义式，推导极坐标系下复变函数),(),()(ϕρϕρiv u z f +=的C-R 条件为∂∂−=∂∂∂∂=∂∂ϕρρϕρρu v vu 11 证：由于复变函数)(z f 可导，即沿任何路径，任何方式使0→∆z 时，z z f z z f ∆−∆+)()(的极限都存在且相等，因此，我们可以选择两条特殊路径，（1）沿径向，0→∆=∆ϕρi e z.ϕϕρρϕρρϕρρϕρϕρϕρρϕρρϕρϕρρi i e v i u e iv u iv u z f f −→∆∂∂+∂∂=∆−−∆++∆+=∆−∆+),(),(),(),(),(),(),(),(lim（2）沿半径为ρ的圆周，()()ϕρρρρϕϕϕϕϕ∆≈−=∆=∆∆+i i i i e i e e e zϕϕϕϕϕρϕϕρϕϕρϕρϕρϕρϕϕρϕϕρρϕρϕρϕϕρϕϕρϕρϕϕρi i i i e u i v ie iv u iv u e e iv u iv u zf f −∆→∆∂∂−∂∂=∆−−∆++∆+=−−−∆++∆+=∆−∆+1),(),(),(),(),(),()1(),(),(),(),(),(),(lim以上两式应相等，因而，ϕρρ∂∂=∂∂vu 1 ϕρρ∂∂−=∂∂u v 1 2. 已知一平面静电场的等势线族是双曲线族C xy =,求电场线族，并求此电场的复势（约定复势的实部为电势）。
如果约定复势的虚部为电势，则复势又是什么？解：0)(2=∇xy xy y x u =∴),(由C-R 条件可得C x x b x y u x b x v x b y y x v y x u y v +−=⇒−=∂∂−=′=∂∂+=⇒=∂∂=∂∂2221)()()(21),(C y x y x v +−−=)(21),(22电场线族为：（或者：由 +−=+−=∂∂+∂∂=222121),(y x d ydy xdx dy y v dx x v y x dv ，得C y x y x v +−−=)(21),(22）iC z i i C y x xy +−=+−−+=2222)(21w 复势为：若虚部为电势，则xy y x v =),(同理由C-R 条件可得Cx x A x y v x A x u x A y y x u y x v y u +=⇒=∂∂=′=∂∂+−=⇒−=∂∂−=∂∂2221)()()(21),(C y x y x u +−=)(21),(22C z ixy C y x +=++−=22221)(21w 复势为：3．讨论复变函数||)(xy iy x z f =+=在0=z 的可导性？（提示：选择沿X 轴、Y 轴和Y=aX 直线讨论）解：考虑当函数沿y=ax 趋近z=0时2)(ax z f = )1()1(||||lim )()(lim00+±=+∆−∆+=∆−∆+→∆→∆ia aia x x a x x a z z f z z f x z 可见上式是和a 有关的，不是恒定值所以该函数在z=0处不可导4.判断函数()()111)(2−++=−+=z z z z z z f 的支点，选定一个单值分支)(0z f ，计算)(0x f ？计算)(0i f −的值？ 解：可能的支点为∞−=,1,1,0z 。
数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。
证明：令Re z u iv =+。
Re z x =，,0u x v ∴==。
1ux∂=∂，0v y ∂=∂，u v x y ∂∂≠∂∂。
于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。
2、试证()2f z z=仅在原点有导数。
证明：令()f z u iv =+。
()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。
2,2u u x y x y ∂∂= =∂∂。
v vx y∂∂ ==0 ∂∂。
所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。
而,,u u v vx y x y∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。
()0000x x y y u v v u f i i x x y y ====⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫'=+=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。
或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。
22***0*00limlim lim()0z z z z z z zzz z z z z z z z z=∆→∆→∆→+∆+∆+∆∆==+−−→∆∆∆。
【当0,i z z re θ≠∆=，*2i z e z θ-∆=∆与趋向有关，则上式中**1z zz z∆∆==∆∆】3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪=+⎨⎪⎩，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。
证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()33222222,=00x y x y u x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨+⎪⎩， 33222222(,)=00x y x y v x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨+⎪⎩。
2. 试解方程：()0,044>=+a a z44424400000,0,1,2,3,,,,i k iiz a a e z aek aez i i ππππωωωωω+=-=====--若令则1．计算：（1）iii i 524321-+-+ （2）y =（3）求复数2⎝⎭的实部u 和虚部v 、模r 与幅角θ(1) 原式=()()()123425310810529162525255i i i i i i +⋅+-⋅+-++=+=-+--（2） 332()102052(0,1,2,3,4)k i e k ππ+==原式(3)2223221cos sin cos sin ,3333212u v 1,2k ,k 0,1,2,23i i i e r ππππππθπ⎛⎫==+=+==-+ ⎪⎝⎭⎝⎭=-===+=±±原式所以：，3．试证下列函数在z 平面上解析,并分别求其导数.(1)()()y i y y ie y y y x e x x sin cos sin cos ++-3.()()()()()()()()cos sin ,cos sin ,cos sin cos ,sin sin cos ,cos sin sin sin ,cos sin cos ,,,x x x x x x x x u e x y y y v e y y x y ue x y y y e y x ue x y y y y y ve y y x y e y y x ve y y y x y yu v u v x y y x u v z f z u iv z u f z =-=+∂=-+∂∂=---∂∂=++∂∂=-+∂∂∂∂∂==-∂∂∂∂=+∂'=∂证明：所以：。
由于在平面上可微所以在平面上解析。
()()()cos sin cos cos sin sin .x x x x vi e x y y y e y i e y y x y e y x x∂+=-++++∂由下列条件求解析函数()iv u z f += (),1,22i i f xy y x u +-=+-=解：()()()()()()()222222222212,2,212,2,,,2112,22111,0,1,1,,221112.222u v x y v xy y x x y v u v y x y x x x x x c x y x f z x y xy i xy y x c f i i x y c c f z x y xy i xy x y ϕϕϕϕ∂∂==+∴=++∂∂∂∂∂''=+=-=-+∴=-=-+∂∂∂⎛⎫=-+++-+ ⎪⎝⎭=-+==+==⎛⎫=-++-++ ⎪⎝⎭而即所以由知带入上式，则则解析函数2. ()21,3,,.ii i i i i e ++试求()()(((()()()2(2)Ln 144(2)4ln32Ln32ln32ln1222Ln 21cos ln sin ,0,1,2,3cos(ln 3)sin(ln 3),0,1,2,i i k k i ii i k i i k i i k i k i k i ii ii eeeei k e e e e i k i eeeππππππππππππ⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪-+++⎝⎭⎝⎭-++-+-⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+====+=±±====+=±±=== 解：()222,0,1,2,cos1sin1.k i i k e e e e i π⎛⎫ ⎪⎝⎭+=±±=⋅=+3. 计算 2,:122c dzc z z z =++⎰()2222220110,1,1,11,220,022z z z z i z i z c z z z c z z ++=++=+==-+=≤++≠=++解：时，而在内，故在内解析，故原式 1.计算221(1),21c z z dz c z z -+=-⎰： ()2221(2),21cz z dz c z z -+=-⎰：（1）212(21)=4 z i z z i ππ==-+解：原式 （2）2112(21)=2(41)6z z i z z i z i πππ=='=-+-=解：原式. 计算2sin()114,(1):1,(2):1,(3): 2.122c z dz c z c z c z z π+=-==-⎰其中1sin (1)sin 442.112c z z z z i i z z πππ=-⎡⎤-⎢⎥===⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦⎰解：(1)原式1sin (1)sin 442.11c z z z z i i z z πππ=⎡⎤+⎢⎥===⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦⎰(2)原式 12(3):2,1,11,.c z z z c c ===-以分别以为中心，为半径，做圆1222sinsin44.11c c z zdz dz i i i z z ππ=+=+=--⎰⎰原式 3、将下列函数按()1-z 的幂级数展开，并指明收敛范围。
基于分离变量法的波导中的电磁波研究1 空间当中的电磁波在迅变情况下，电磁场以波动形式存在，电磁场的基本方程是麦克斯韦方程组，对于在0==J σ情况下的迅变场，麦克斯韦方程组为]4[⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=⋅∇=⋅∇∂∂=⨯∇∂∂-=⨯∇00B D t D H t B E (1)为了便于求解，通常将（1）式化为⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=∂∂-∇=∂∂-∇010122222222t BcB t E c E (2) 必须指出的是，（2）式中第一式E 的三个分量X E ，y E ，z E 虽然是三个独立方程，但是其解却是相互关联的，因为（1）式到（2）式麦克斯韦方程变为二阶的麦克斯韦方程，故解的范围变大了。
为了使波动方程（2）的解是原方程（2）的解，必须是波动方程的解满足条件 0=⋅∇E 。
求解方程（1），即为求解⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∂∂-=⨯∇=⋅∇=∂∂-∇t BE E t Ec E 0012222(3)(3)式在给定的边界条件下，可以求得定解. 对于定态电磁波，场量可以表示为t i e z y x E E ω-=),,( (4)考虑(4)式，(3)式可表示如下：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⨯∇-==⋅∇=+∇E iB E E k E ω0022(5)设电磁波为时谐波，并考虑到关系H B μ=，由（5）式可得到z y x ,,三个分量的6个标量方程：x y xH i E yE ωμγ-=+∂∂ (6) y x zH i E xE ωμγ-=-∂∂-(7) z xy H i yE xE ωμ-=∂∂-∂∂ (8) x y zE i H yH ωεγ=+∂∂ (9) y x zE i H xH ωεγ=-∂∂-(10) z xy E i yH xH ωε=∂∂-∂∂ (11) 以上6个方程经过简单运算，可以将横向场分量y x y x H H E E ,,,用两个纵向场分量z z H E ,来表示，即：)(12yE i x H k H zz cx ∂∂-∂∂-=ωεγ(12) )(12x E i y H k H zz cy ∂∂+∂∂-=ωεγ (13) )(12y H i x E k E z z cx ∂∂+∂∂-=ωμγ (14) )(12x H i y E k E z z cy ∂∂-∂∂-=ωμγ (15) 式中222k k c +=γεμω=kTM 波的纵向场分量与横向场分量关系[]1为：yE k i H zc x ∂∂=2ωε (12*) x E k i H zcy ∂∂-=2ωε (13*) xE k E zcx ∂∂-=2γ (14*)y E k E zcy ∂∂-=2γ (15*)TE 波的纵向场分量与横向场分量关系为[]1：xH k H zcx ∂∂-=2γ (12+)yH k H zc y ∂∂-=2γ （13+）yH k i E zc x ∂∂-=2ωμ （14+） x H k i E zcy ∂∂=2ωμ （15+） 2 波导内的电磁场 2.1波导的几个假设这里所讨论的波导,有以下假设:波导的横截面沿z 方向是均匀的,即波导内的电场与磁场只与坐标y x ,有关,与z 无关;构成波导壁的导体是理想导体,即∞=σ;波导内的介质各向同性,并且0=σ;波导内的电磁场为时谐场,角频率为ω。
数学物理方法第三版答案【篇一：数学物理方法试卷答案】xt>一、选择题（每题4分，共20分） 1．柯西问题指的是（ b ） a．微分方程和边界条件. b. 微分方程和初始条件. c．微分方程和初始边界条件. d. 以上都不正确. 2．定解问题的适定性指定解问题的解具有（ d）a．存在性和唯一性. b. 唯一性和稳定性. c. 存在性和稳定性. d. 存在性、唯一性和稳定性.??2u?0,?3．牛曼内问题 ??u 有解的必要条件是（ c）??n?f??a．f?0.b．u??0.c．?fds?0. d．?uds?0.???x(x)??x(x)?0,0?x?l4．用分离变量法求解偏微分方程中，特征值问题??x(0)?x(l)?0的解是（ b ）n?n??n???n??x ).b．( ?x ). a．( ??,cos?,sinllll????(2n?1)?(2n?1)??(2n?1)???(2n?1)??x ).d．( ?x ). c．( ??,cos?,sin2l2l2l2l????22225．指出下列微分方程哪个是双曲型的（ d ）a．uxx?4uxy?5uyy?ux?2uy?0. b．uxx?4uxy?4uyy?0.c．x2uxx?2xyuxy?y2uyy?xyux?y2uy?0. d．uxx?3uxy?2uyy?0.二、填空题（每题4分，共20分）??2u?2u?2?2?0, 0?x??, t?0?t?x??1．求定解问题?ux?0?2sint, ux????2sint, t?0的解是(2sintcosx).??ut?0?0, utt?0?2cosx, 0?x????2．对于如下的二阶线性偏微分方程a(x,y)uxx?2b(x,y)uxy?c(x,y)uyy?dux?euy?fu?0其特征方程为( a(x,y)(dy)2?2b(x,y)dxdy?c(x,y)(dx)2?0). 3．二阶常微分方程y(x)?或0).4．二维拉普拉斯方程的基本解为（ ln1（）.r1 ），三维拉普拉斯方程的基本解为r113y(x)?(?2)y(x)?0的任一特解y?（ jx44x1(x) 3225．已知j1(x)?222sinx, j1(x)?cosx，利用bessel函数递推公式求??x?x23j3(x)?（221221dsinx(sinx?cosx)??x()()）. ?xx?xdxx三、（15分）用分离变量法求解如下定解问题2??2u2?u??t2?a?x2?0, 0?x?l, t?0??u??u?0, ?0, t?0 ??xx?l??xx?0?u?x, utt?0?0, 0?x?l.?t?0?解：第一步：分离变量(4分) 设u(x,t)?x(x)t(t)，代入方程可得x(x)t(x)x(x)t(t)?ax(x)t(t)??2x(x)at(x)2此式中，左端是关于x的函数，右端是关于t的函数。
目录一．实际现象的描述 3二．问题的求解4（一）求弦振动泛定方程 4（二）解弦振动方程 (6)Ⅰ.达朗贝尔法求“无限和半无限的”弦振动函数 (6)Ⅱ.分离变量法求两端固定弦振动方程 (7)三．各种情形下的弦振动求解及图像 (9)四．总结21一·实际现象的描述演奏者在演奏弦乐器（如二胡、提琴）时，用弓在弦上来回拉动，并通过另一只手指在按不同弦的不同地位的协调作用，奏出各种不同的美妙的音乐。
演奏者所用的乐器不同，奏出音乐的悦耳度也就不同。
演奏者虽然用弓所接触的只是弦的很小一段，似乎应该只引起这个小段的振动，而事实上，振动总是传播到整根弦。
这振动是怎样传播的呢？如何利用数学方法来求解这种物理问题？如何通过直观的方程来说明不同乐器演奏出的音乐效果不同的原因？可否利用matlab来将这种振动直观表示出来？通过对于弦振动方程的学习，及对matlab的初步了解，我对于不同定解问题下弦振动方程的求解做了初级小结。
也尝试利用matlab 直观表述不同定解条件下的弦振动动态图像。
二·问题的求解（一）求弦振动泛定方程在求解时，我们不妨认为弦是柔软的，就是说在放松的条件下，把弦完成任意的形状，它都保持静止。
由于弦乐器所用的弦往往是很轻的，它的重量只有力的几万分之一。
跟拉力相比，弦的重量完全可以略去，这样，真实的弦就抽象为“没有重量”的弦。
把没有重量的弦绷紧，它在不振动时是一根直线，就取这直线作为x轴。
把弦上各点的横向位移记作u。
这样，横向位移u是x和t的函数，记作u（x，t）。
要求解弦振动，首先应找出u所遵从的方程。
把弦细分为许多极小的小段，拿区间(x,x+dx)上的小段B为代表加以研究。
B既然没有重量而且是柔软的，它就只受到邻段A和C的拉力和。
弦的每小段都没有纵向（即x方向）的运动，所以作用于B的纵向合力应为零。
弦的横向加速度记作。
按照，小段B的纵向和横向运动分别为式中时弦的线密度，即单位长度的质量。
数学物理方法习题集第一章 复数与复变函数习题1，计算：（1），1)(1i ---。
（2），iii i 524321-+-+。
（3），5(1)(2)(3)i i i ---。
（4），4(1)i -。
（5），bi a +。
2，求下列复数的实部u 与虚部v ，模r 与幅角θ：（1），ii i i 524321----。
（2），1(2n+, 4,3,2=n 。
（3），i +1。
（4），3)i -。
（5），231i -。
3，设211i z +=，i z -=32，试用三角形表示21z z 及21z z 。
4，若21=+Z z θcos ，证明21=+m m zz θm cos 。
5，求下列复数z 的主幅角z arg ：（1），iz 312+-=。
（2），6)z i =-。
6，用指数形式证明：（1），(1)2i i -+=+。
（2），i ii2125+=+。
（3），7(1)8(1)i i -+=-+。
（4），1011(12(1)--=-。
7，试解方程44(0)z a a +=>。
8，证明：（1），1212Re()Re()Re()z z z z +=+ ；一般1212Re()Re()Re()z z z z ≠。
（2），1212Im()Im()Im()z z z z +=+ ；一般1212Im()Im()Im()z z z z ≠。
（3），2121z z z z = ；一般2121z z z z +≠+。
9，证明：（1），2121z z z z +=±。
（2），2121z z z z ⋅=。
（3），1122(z zz z = （02≠z ）。
（4），121212122Re()2Re()z z z z z z z z +==。
（5），()z z ≤Re ，()z z ≤Im 。
（6），2121212z z z z z z ≤+。
（7），222121212()()z z z z z z -≤+≤+。
杨立-201122050231-第1次作业-4班习题2.1.2长为L ，均匀细杆，x=0端固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长b 静止后（在弹性限度内）突然放手，细杆作自由振动。
试写出振动方向的定解条件。
解：由于x=0端固定，可知0|0x u ==，又L 端为自由端，知|0x L u ==。
t=0时刻杆上点的位移0|t b u kx x L===，又t=0时刻的速度为0，即0|0t t u ==。
习题2.2.1一根半径为r ，密度为ρ，比热为c ，热传导系数为k 的均质园杆，如同界面上的温度相同，其侧面与温度为1u 的介质发生热交换，且热交换的系数为1k 。
试导出杆上温度u 满足的方程。
解：如图所示通过两截面而留下的热量=微元段升 温吸热+与侧面交换所留下的热量因为 11[(,)(,)(,)(,)]()2x x t kdt u x dx t s x dx t u x t s x t c sdxu dt k u u rdxdt ρπ++-=+- 其中，k 为进入截面的系数；s 为横截面；x u 为沿轴温度的法向导数；2πrdx 为侧面。
所以 221()t xx u a u b u u -=--，2k a cp =，212k b c r ρ= 习题2.3.3由静电场Gauss 定理 1s V E dS dV ρε⋅=⎰⎰⎰⎰⎰ ，求证：E ρε∇⋅=，并由此导出静电势u 所满足的Poisson 方程。
解：因为 s VE dS EdV ⋅=⎰⎰⎰⎰⎰且 1s VE dS dV ρε⋅=⎰⎰⎰⎰⎰ 比较可得 E ρε∇⋅=即 ()E ερ∇⋅=可令 E u =-∇ 代入上式可得2u u ρε∇=∆=-0 x x+dx L X习题2.4.2求下列方程的通解（2）230xx xy yy u u u +-=；（5）161630xx xy yy u u u ++=；解：（2）230xx xy yy u u u +-=此方程式双曲型的第二标准型，将其化成第一标准型特征方程2230dy dy dx dx ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得12dy dx=± 令3x y x yζη=-⎧⎨=+⎩ 可得111212220880a a a a ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦10b =；20b =；0c =；0f =可得标准型0u ζη=因此 (3)()u f x y g x y =-++。
目录0 引言 (2)1 格林函数法求解稳定场问题 (3)2 泊松方程的格林函数 (4)3 镜像法求格林函数. (5)4 格林函数的对称性 (11)5 求解泊松方程的第一类边值问题 (12)6 用正交函数组展开格林函数 (14)0引言格林函数, 又名源函数，或影响函数，是数学物理中的一个重要概念。
格林函数在电磁场理论中有着非常广泛的应用，如在求解静电场问题时，往往会涉及到求解感应电荷的问题，而一般来说感应电荷的量值是不易求得的，特别是对不规则形状的导体通过应用格林函数的倒易性来求解某些接地导体上感应电荷，能比较简便地解决这个问题。
本文就在格林函数求解稳定场问题方面加以讨论。
1 格林函数法求解稳定场问题从物理上看，一个数学物理方程表示一种特定的场和产生这种场的源之间关系：热力学方程.：()2222 ,ua u f r t t∂-∇=∂ 表示温度场u 与热源(),f r t 之间关系 泊松方程.：()20u f r ρε∇=-=-表示静电场u 与电荷分布()f r 之间的关系场可以由一个连续的体分布源、面分布源或线分布源产生，也可以由一个点源产生。
但是，最重要的是连续分布源所产生的场，可以由无限多个电源在同样空间所产生的场线性叠加得到。
例如，在有限体内连续分布电荷在无界区域中产生的电势： ()''04r dV r rρφπεΩ=-⎰这就是把连续分布电荷体产生的电势用点电荷产生的电势叠加表示。
或者说，知道了一个点源的场，就可以通过叠加的方法算出任意源的场。
所以，研究点源及其所产生场之间的关系十分重要。
这里就引入格林函数s 的概念。
格林函数：代表一个点源所产生的场。
普遍而准确地说，格林函数是一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产生的场。
所以，我们需要在特定的边值问题中来讨论 格林函数.下面，我们先给出格林函数s 的意义，再介绍如何在几个典型区域求出格林函数，并证明格林函数的对称性，最后用格林函数法求解泊松方程的边值问题。
实际上，只限于讨论泊松方程的第一类边值问题所对应的 格林函数s 。
2 泊松方程的格林函数静电场中常遇到的泊松方程的边值问题：()()()()()201 f s u r r u r u r r nρεαβϕ⎧∇=-⎪⎪⎨∂⎡⎤⎪+=⎢⎥⎪∂⎣⎦⎩ 这里讨论的是静电场()u r ， ()f r ρ代表自由电荷密度。
格林函数(),G r r '：位于'r 的单位正电荷在r 处所激发的满足齐次边界条件的电势。
三维格林函数定解问题为：① ()()()()2301,,0S G r r r r G r r G r n δεαβ⎧''∇=--⎪⎪⎨'∂⎡⎤⎪+=⎢⎥⎪∂⎣⎦⎩这里()3r r δ'-表述了单位正电荷的体密度。
注意：对于第二类齐次边界条件且对于有限的研究区域，这个定解问题无解。
这是因为，虽然方程说明V 内有单位正电荷存在，而边界条件(),0SG r r n'∂=∂ 说明点源产生的场在边界S 上电场的法向分量(),n G r r E n'∂=-∂处处为零，说明边界条件与方程不相容。
另外，可以对方程作积分()()21,VG r r dv r r dv δε''∇=--⎰⎰这时要包含r '点，用高斯定理得1SG ds n ε∂=-∂⎰这就矛盾了！！！ 这时引入广义格林函数② ()()()2301,,0S G r r r r C G r r nδε⎧''∇=--+⎪⎪⎨'∂⎪=⎪∂⎩其中C 为常数，还要增加一个条件，以保证解的唯一性。
求解上面方程组①或②，可得在给定区域V的泊松方程的各类边值问题的格林函数。
3 镜像法求格林函数用格林函数s 去求解数理方程的定解问题，首先要求出相同边界、同类边值问题的格林函数.3.1 镜像法的基本概念很多物理问题没有一个普遍奏效的解法，人们会发展许多方法，但往往每一种方法只能解决一部分问题。
人们熟知的一种办法是所谓“猜解”，即“尝试解”，这要有所谓的“唯一性定理”做保证。
唯一性定理：某些物理问题（如静电场边值问题）存在唯一解。
可以通过并不唯一的方法找到这个唯一解，这样就意味着解决物理方法上的多样性和灵活性。
静电镜像法是一种特殊的猜解方法，其基本思想：利用点电荷模拟边界面上的感应电荷或极化电荷。
可用于镜像法解决的问题包括：在点或线电荷与导体（或介质）共同存在的系统中，空间任一点的场是由点（或线）电荷与界面上感应（或极化）电荷共同产生的，而感应（或极化）电荷事先并不知道。
通过分析边界条件可以找到一个（或多个）像电荷来等效地代替导体面（或介质面）上的感应（或极化）电荷，从而把点（或线）电荷与界面上感应（或极化）电荷在待求区域产生场的求解问题转化为真实点电荷和虚像电荷在待求区域所产生场的简单叠加。
镜像法求边值问题的一般步骤为（以静电场为例）：1）列出定解问题：电势在待求区域所满足的微分方程和边界条件；2）根据边界条件分析镜像电荷的个数和位置；3）写出电势分布的形式表达式（尝试解）；4）把边界条件带入形式表达式以确定像电荷的量值和位置；5）把已求出的像电荷带入形式解以得到真实的电势分布；6）根据题意要求可由电势求场强、电荷分布及受力等问题。
静电镜像法分为：反射镜像法：平面镜法 球面镜法半透镜法：平面镜法球面镜法3．2 无界空间定解问题()()()2301,,0r G r r r r G r r δε→∞⎧''∇=--⎪⎨⎪'=⎩ 对应物理问题：单位正电荷1q =置于r '，求空间任一点(),,r x y z =处的电势(),?G r r '=库仑定律给出的解――无界区域的格林函数：()01,4G r r r r πε'='-=又叫基本解。
3．3 上半空间定解问题()()()()23001,, 0;,0, ,0z r G r r r r z G r r G r r δε=→∞⎧''∇=-->⎪⎨⎪''==⎩1rr '(),G r r ''这里实际上可以给出满足第一类边界条件的 物理问题：在0z = 处，有一无限大接地金属板，在r '处有一单位正电荷q ，求金属板上方任一点r 处的电势分布(),?G r r '=镜像法的基本思想用在这里：当电荷q 置于导体板的上方时，由于静电感应，板上出现异号电荷，空间电场是由电荷q 及感应电荷共同激发的，即01G G G =+。
而且满足静电平衡条件时，电力线垂直于导体面。
格林等效层定理：带电导体面上的电荷分布在导体外产生的电势，可以用导体面内的一定的等效电荷分布来代替。
我们通过电场分布分析，引进像电荷――假想电荷――来代替感应电荷作用。
在这里，我们在电荷q 相对于0z =平面的镜像位置引进1q '=-，那么q '和q 激发电场与q 和真实感应电荷激发的电场相同。
这里q '要满足q '和q 共同在导体面上产生的电势为零。
这样引进的像电荷和原电荷一起产生的场，就是要求的由原电荷和感应电荷产生的场，这样我们只需要求出像电荷的位置和大小。
像电荷的正确引进要符合：① 像电荷用在求解区域之外引入，因为感生电荷在上半空间的场1G 处处满q '=1q =σrr 'r +r -足拉普拉斯方程 210G ∇=, 即在上半平面内是无源的。
② 像电荷的电量q '和位置要满足边界条件：()0,0r G r r ='= 和(),0r G r r →∞'=。
Then, 1q =和1q '=-激发的电势是待求的格林函数。
()00011,4414G r r r r πεπεπε+-'=-⎡⎤=金属板上的面电荷密度00?z G z σε=∂⎛⎫=-= ⎪∂⎝⎭ 应能证明：金属板上总电荷 1dS σ=-⎰这说明金属板上总感应电荷等于像电荷。
这是因为接地的导体平面相当于一面镜子，而1q '=-则是1q =的像，1q '=-称像电荷。
3．4 球外空间这里还是考虑第一类G.F.函数的求解问题。
定解问题()()()()023001,, ;,0, ,0r r r G r r r r r r G r r G r r δε=→∞⎧''∇=-->⎪⎨⎪''==⎩对应物理问题：接地金属球外r '处，有一单位正电荷1q =，求球外空间任一点r 处的电势(),?G r r '=首先引进像电荷q '，要不违反泊松方程，也就是让q '产生的电势1G 满足拉普拉斯方程., 210G ∇=, q '必须在求解区域之外一球内，考虑到对称性，q '还必须在r '上，放在r ''处。
为了保证球面电势为零，即()0,0r r G r r ='= 成立，q '为负电荷。
q '＝？，r ''＝？ 应由边界条件定。
考虑球面上一点0P ，由边界条件得：()01,04r r r r q q G r r r r r r πε==⎛⎫''=+= ⎪ ⎪'''--⎝⎭ 也就是00 q q r r r r '=-'''--要求0000 const r r r q r q r r r r '-'''⇒-===='''-注意，这里考虑了若有两个相似三角形'0OQ P OP Q ∆∆，必有'const PQ PQ=。
由此确定了像电荷的位置和电量200r r r r q qr ''=''=-'这样，q 和q '激发的电势就是 格林函数()01,4q q G r r r r r r πε⎛⎫''=+ ⎪ ⎪'''--⎝⎭用球坐标表示：场点： (),,r r θϕ=，q 电荷所在位置：(),,r r θϕ''''=，像电荷q '所在位置：()20,,,,r r r r θϕθϕ⎛⎫''''''''''== ⎪'⎝⎭，（这里,θθϕϕ''''''==） 2r r r '-=+（余弦定理）2r r r ''-=+= （余弦定理） 其中()()()()cos sin cos sin cos sin sin sin sin cos cos sin sin cos cos cos cos sin sin cos cos cos r r rr xx yy zz rr rr αθϕθϕθϕθϕθθθθϕϕθθαθθϕϕθθ'''''⋅==++''''''=++''''=-+'''⇒=-+（()cosϕϕ'-――加法公式）在考虑1q =，0r q q r'=-'， 我们得 ()01,4G r r πε⎛⎫⎪ ⎪'= ⎝场强： (),E G r r '=-∇ 球面上电荷分布： 00r r r φσε=∂⎛⎫=- ⎪∂⎝⎭ 球面上总电荷：1ds σ=-⎰由于球面上感应电荷在球外的场与像电荷－q '的场等效，所以电荷q 受感应电荷的力为 ()2014qq i F r r πε'=-'''-4 格林函数的对称性()(),,G r r G r r ''=重要物理意义：p '点的点源，在一定边界条件下，在p 产生的场等于：在p 置同样强度点源，在相同边界条件下在p '产生的场。
