2020高考数学二轮复习 考前数学思想领航 四 转化与化归思想讲学案 理

四、转变与化归思想转变与化归思想，就是在研究和解决相关数学识题时采纳某种手段将问题经过变换使之转变，从而获得解决的一种方法．一般老是将复杂的问题经过变换转变为简单的问题，将难解的问题经过变换转变为简单求解的问题，将未解决的问题经过变换转变为已解决的问题 .方法一 一般与特别的转变问题模型解法一般和特别之间的转变法是在解题的过程中将某些一般问题进行特别化办理或是将某些特殊问题进行一般化办理的方法． 此方法多用于选择题和填空题的解答．破解此类题的重点点：①确定转变对象，一般将要解决的问题作为转变对象．②找寻转变元素，由一般问题转变为特别问题时，找寻“特别元素”；由特别问题转变为一般问题时，找寻“一般元素” ．③转变为新问题，依据转变对象与“特别元素”或“一般元素”的关系，将其转变为新的需要解决的问题．④得出结论，求解新问题，依据所得结论求解原问题，得出结论． 典例 1 已知函数 f(x)＝ (a － 3)x － ax 3 在 [ －1,1] 上的最小值为－ 3，则实数 a 的取值范围是()A ． (－∞，－ 1]B ． [12 ，＋∞ )3C ． [－ 1,12] D. － 2， 12分析当 a ＝ 0 时，函数 f(x)＝－ 3x ， x ∈ [ － 1,1] ，明显知足条件，故清除选项 A ，B ；3 3 39x ，当 a ＝－ 时，函数 f(x)＝ x －222f ′ (x)＝ 9x 2－ 9＝9( x 2－ 1)，2 2 2 当－ 1≤ x ≤1 时， f ′ (x) ≤0， 因此 f( x)在 [－ 1,1] 上单一递减，因此 f( x)min ＝ f(1)＝ 3－ 9＝－ 3，知足条件，2 2故清除 C.综上，应选 D.答案D思想升华 常用的“特别元素”有特别数值、特别数列、特别函数、特别图形、特别角、特别地点等． 关于选择题， 在题设条件都建立的状况下，用特别值探究正确选项，即经过对特殊状况的研究来判断一般规律；关于填空题，当结论独一或题设条件中供给的信息示意答案是一个定值时，能够用特别值取代变化的不定量．x－ y＋ 2≥ 0，追踪操练1若x，y知足拘束条件y＋ 2≥ 0，x＋ y＋ 2≤ 0，则y＋1的取值范围为 () x－1A.－1，1 3 51B. －3，1C.－∞，－1∪1，＋∞35D.－∞，－1∪[1 ，＋∞ ) 3答案B分析可行域为如下图的暗影部分，设z＝y＋1，因为点 (－ 2，－ 1)在可行域内，因此 z x－ 1－ 1＋1－2＋ 1＝－2－1＝ 0，清除 C， D；又点 A(0，－ 2)在可行域内，因此z＝0－ 1＝ 1，清除 A.方法二数与形的转变问题模型解法数与形的转变包括由数到形和由形到数两个方面．由数到形就是把问题的数目信息变换为图形信息，由形到数就是把图形信息进行代数化办理，用数目关系刻画事物的实质特点，从而得解．破解此类题的重点点：①数形转变，确定需要等价转变的数目关系(分析式 )与图形关系．②转变求解，经过降维等方式合理转变，使问题简单化并进行剖析与求解．③回归纳论，回归原命题，得出正确结论．典例 2某工件的三视图如下图，现将该工件经过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件的资料利用率为(资料利用率＝新工件的体积/原工件的体积 )()A. 88B.π9π 272433C. 2－ 1D.8 2－1π π分析由三视图知该几何体是一个底面半径为 r ＝ 1，母线长为 l ＝ 3 的圆锥， 则圆锥的高为 h ＝ l 2－ r 2＝ 32－ 12＝ 2 2.由题意知加工成的体积最大的正方体ABCD — A 1B 1C 1D 1 的一个底面 A 1B 1C 1D 1 在圆锥的底面上，过平面AA 1 C 1C 的轴截面如下图，设正方体的棱长为x ，2则有 2 x＝ h － x ， r h即 x ＝2 2－ x ，解得 x ＝2 2，22 23则原工件的资料利用率为V正方体＝ x3＝ 8，应选 A.V 圆锥 1πr 2h 9π3答案A思想升华 数与形转变问题， 特别是空间转变问题， 常常在解决空间几何体问题的过程中将某些空间几何体问题进行特别化办理， 转变为平面几何问题来办理， 降低维度， 简化求解过程，降低难度．追踪操练 2已知直线 l ： y ＝kx ＋ 1(k ≠ 0)与椭圆 3x 2 ＋y 2 ＝a 订交于 A ， B 两个不一样的点，记直线 l 与 y 轴的交点为 C.10，务实数 a 的值；(1) 若 k ＝ 1，且 |AB|＝ 2→ → AOB 面积的最大值及此时椭圆的方程． (2) 若 AC ＝ 2CB ， O 为坐标原点，求△ 解设 A(x 1， y 1)， B(x 2， y 2)． y ＝ x ＋ 1，(1)由3x2＋ y 2＝a ，得 4x 2＋ 2x ＋ 1－ a ＝ 0，则 x 1 ＋x 2＝－ 1， x 1x 2＝1－ a，24 从而 |AB|＝ 2|x 1－ x 2|＝ 2· x 1＋ x 2 2－ 4x 1x 2＝2· a － 43＝ 210，解得 a ＝ 2.y ＝ kx ＋ 1，(2)由3x2 ＋y 2 ＝a ，得(3 ＋ k 2)x 2＋ 2kx ＋ 1－ a ＝ 0，则 x 1 ＋x 2＝－2k1－ a2， x 1x 2＝3＋ k 2.3＋ k 易知 → → ，C(0,1)，由 AC ＝ 2CB得( －x 1 ，1－ y 1)＝2(x 2，y 2－1) ，解得 x 1＝－ 2x 2，2k因此 x 1＋ x 2＝－ x 2＝－2，2k则 x 2＝3＋ k 2.△AOB 的面积 S AOB ＝ 12|OC| ·|x － x△＝3|x 2|＝ 3|k| 2＝ 3 ≤3＝ 3，23＋k 3 ＋|k| 23 2|k|当且仅当 k 2＝ 3 时取等号，此时 x ＝ 2k 2， 23＋k2x 1x 2＝－ 2x 22 ＝－ 2× 4k 2 2＝－2，3＋ k 3又 x 1 x 2＝ 1－ a 2＝ 1－ a ，则 1－ a＝－2，解得 a ＝ 5.3＋ k 6 63因此△ AOB 面积的最大值为 3 2 ，此时椭圆的方程为 3x 2＋ y 2＝5.方法三 形体地点关系的转变问题模型解法形体地点关系的转变法是针对几何问题采纳的一种特别转变方法． 主要合用于波及平行、 垂直的证明， 如常有线面平行、 垂直的推理与证明实质就是充足利用线面地点关系中的判断定理、性质定理实现地点关系的转变．破解此类题的重点点：①剖析特点，一般要剖析形体特点，依据形体特点确定需要转变的对象．②地点转变，将不规则几何体经过切割、挖补、延展等方式转变为便于察看、计算的常有几何体．因为新的几何体是转变而来，一般需要对新的几何体的地点关系、数据状况进行必需剖析，正确理解新的几何体的特点．③得出结论，在新的几何构造中解决目标问题．典例 3 如图，已知三棱锥 P— ABC，PA＝BC＝ 2 34，PB ＝AC＝10，PC＝AB＝2 41，则三棱锥 P— ABC 的体积为 __________ ．分析因为三棱锥三组对边两两相等，则可将三棱锥放在一个特定的长方体中 (如下图 )．把三棱锥 P— ABC 补成一个长方体AEBG— FPDC ，易知三棱锥P— ABC 的各棱分别是长方体的面对角线．不如令 PE＝ x， EB＝ y，EA ＝z，22x ＋ y ＝ 100，22由已知有x ＋ z ＝ 136，22y ＋ z ＝ 164，解得 x＝ 6，y＝ 8， z＝ 10，从而知三棱锥P—ABC 的体积为V 三棱锥P—ABC＝V 长方体AEBG—FPDC－V 三棱锥P—AEB－ V 三棱锥C—ABG－ V 三棱锥B—PDC－ V 三棱锥A—FPC1＝V 长方体AEBG－FPDC－ 4V 三棱锥P—AEB＝ 6× 8× 10－ 4× × 6× 8× 10＝ 160.答案160思想升华形体地点关系的转变常将空间问题平面化、不规则几何体特别化，使问题易于解决．同时也要注意方法的选用，不然会跳入自己设的“圈套”中．追踪操练 3 如图，在棱长为 5 的正方体 ABCD —A1B1C1D1中， EF 是棱 AB上的一条线段，且 EF＝ 2，点 Q 是 A1D 1的中点，点 P 是棱 C1D 1上的动点，则四周体PQEF 的体积 ()A．是变量且有最大值B．是变量且有最小值C．是变量且有最大值和最小值D．是常数答案D分析点 Q 到棱 AB 的距离为常数，因此△ EFQ 的面积为定值．由 C1D1∥EF ，可得棱 C1D 1∥平面 EFQ，因此点P 到平面 EFQ 的距离是常数，于是可得四周体PQEF 的体积为常数．。

1＋cos A cos C5 1＋cos A cos C 53 2 1＋cos A cos C 5 5 (3)如图所示，在平行四边形 ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为 P ，且 AP ＝3，则AP ·AC ＝________.B C b c b c第 4 讲 转化与化归思想思想方法·简明概述转化与化归的原则常见的转化与化归的方法1.直接转化法2.换元法3.数形结合法1.熟悉化原则2.简单化原则3.直观化原则4.正难则反原则4.构造法5.坐标法6.类比法7.特殊化方法8.等价问题法 9.加强命题法 10.补集法转化与化归思想就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学思想方法热点探究·考向调研调研一 特殊与一般的转化【例 1】 (1)[2018·唐山三模]已知函数 f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 有两个极值点 x 1，x 2，且 x 1<x 2，若 x 1＋2x 0＝3x 2，函数 g (x )＝f (x )－f (x 0)，则 g (x )( )A ．恰有一个零点C ．恰有三个零点B ．恰有两个零点D ．至多两个零点解析：由题知只要 f (x )有两个极值点，且 x 1<x 2，x 1＋2x 0＝3x 2，则结果是一样的，所以 不妨令 b ＝0，a ＝－3，则 f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，x 1＝0，x 2＝2，且 x 0＝3，∴g (x )＝x 3－3x 2＝x 2(x －3)，显然 g (x )恰有两个零点，故选 B.答案：Bcos A ＋cos C (2)在△ABC 中，角 A ，， 所对的边分别为 a ，，，若 a ，， 成等差数列，则＝________.4 cos A ＋cos C 4解析：方法一：取特殊值 a ＝3，b ＝4，c ＝5，则 cos A ＝ ，cos C ＝0， ＝ .π 1 cos A ＋cos C 4方法二：取特殊角 A ＝B ＝C ＝ ，cos A ＝cos C ＝ ， ＝ .4答案：→ →解析：把平行四边形 ABCD 看成正方形，则点 P 为对角线的交点，AC ＝6，则AP ·AC ＝18.A. 0， 2⎥ ⎛1⎤ B. 0， ⎥ C. －∞， 2⎥ ⎛1⎤3⎦D. －∞， ⎥∴ay ＝x ln y －x ln x －x ，ay ＝x ln －x ，∴a ＝ ln － ，即 a ＝－ ln － . 令 t ＝ ，则 t >0，a ＝－t ln t －t .当 t ∈ 0， 2⎪时，f ′(t )>0，f (t )单调递增； 当t ∈ 2，＋∞⎪时，f ′(t )<0，f (t )单调递减． ∴[f (t )]max ＝f2⎪＝ 2，∴a ≤2，故选 C.e ⎝e ⎭ e 3→ →答案：18方法点睛化一般为特殊的作用(1)常用的特例有特殊值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．(2)对于选择题，当题设在普通条件下都成立时，对特殊值进行探求，可快捷得到答案．(3)对于填空题，当填空题的结论唯一或题设条件提供的信息暗示答案是一个定值时，可把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案．调研二 函数、方程、不等式之间的转化【例 2】 (1)[2019·安徽合肥质检三]若存在两个正实数 x ，y ，使得等式 x (1＋ln x )＝x ln y －ay 成立，则实数 a 的取值范围是()⎛1⎤ ⎝e⎦⎛ 1 ⎤⎝ e ⎦⎝ e ⎦⎝解析：∵x >0，y >0，x (1＋ln x )＝x ln y －ay ，y xx y xx x x y x yy y yx y令f (t )＝－t ln t －t (t >0)，1则 f ′(t )＝－(ln t ＋2)．令 f ′(t )＝0，得 t ＝e 2.⎛1 ⎫ ⎝ e ⎭ ⎛ 1 ⎫ ⎝e ⎭⎛ 1 ⎫ 11答案：C(2)在等差数列{a n }中，a 2，a 2 018 是函数 f (x )＝x 3－6x 2＋4x －1 的两个不同的极值点，则的值为( )A ．－31 B．－因为 h ′(x )＝ －1≤0，因为 h (3)＝ln3－2＝ln · ⎪>ln ＝－1，h (4)＝ln4－3＝ln · 2⎪<ln＝－1，且函C ．3D.1 3解析：f ′(x )＝3x 2－12x ＋4，因为 a 2，a 2 018 是函数 f (x )＝x 3－6x 2＋4x －1 的两个不同 的极值点，所以 a 2，a 2 018 是方程 3x 2－12x ＋4＝0 的两个不等实数根，所以 a 2＋a 2 018＝4.又因为数列{a n }为等差数列，所以 a 2＋a 2 018＝2a 1 010，即 a 1 010＝2，从而，故选 B.答案：B(3)已知函数 f (x )＝3e |x|.若存在实数 t ∈[－1，＋∞)，使得对任意的 x ∈[1，m ]，m ∈Z且 m >1，都有 f (x ＋t )≤3e x ，则 m 的最大值为________．解析：因为当 t ∈[－1，＋∞)且 x ∈[1，m ]时，x ＋t ≥0，所以 f (x ＋t )≤3e x ⇔e x ＋t ≤e x ⇔x ＋t ≤1＋ln x .所以原命题等价转化为：存在实数 t ∈[－1，＋∞)，使得不等式 t ≤1＋ln x －x 对任意x ∈[1，m ]恒成立．令 h (x )＝1＋ln x －x (x ≥1)．1x所以函数 h (x )在[1，＋∞)上为减函数，又因为 x ∈[1，m ]，所以 h (x )min ＝h (m )＝1＋ln m －m .所以要使得对任意 x ∈[1，m ]，t 值恒存在，只需 1＋ln m －m ≥－1.⎛1 3⎫ 1 ⎛1 4 ⎫ 1 ⎝e e ⎭ e ⎝e e ⎭ e数 h (x )在[1，＋∞)上为减函数，所以满足条件的最大整数 m 的值为 3.答案：3方法点睛函数、方程与不等式相互转化的应用(1)函数与方程、不等式联系密切，解决方程、不等式的问题需要函数帮助．(2)解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围．调研三 正难则反的转化【例 3】 (1)[2019·太原模拟]由命题“存在 x 0∈R，使－m ≤0”是假命题，得⎛m ⎫ (2)若对于任意 t ∈[1,2]，函数 g (x )＝x 3＋ ＋2⎪x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函即 m ＋4≥ －3x ，所以 m ＋4≥ －3t 恒成立，则 m ＋4≥－1，即 m ＋4≤ －3x ，则 m ＋4≤ －9，即 m ≤－ .⎛ 37 ⎫所以函数 g (x )在区间(t,3)上总不为单调函数的 m 的取值范围为 － ，－5⎪.⎛ 37 ⎫⎝ 3 ⎭m 的取值范围是(－∞，a )，则实数 a 的取值是()A ．(－∞，1)C ．1解析：命题“存在 x 0∈R，使B ．(－∞，2)D ．2－m ≤0”是假命题，可知它的否定形式“任意 x ∈R ，使 e |x －1|－m >0”是真命题，可得 m 的取值范围是(－∞，1)，而(－∞，a )与(－∞，1)为同一区间，故 a ＝1，故选 C.答案：C⎝2 ⎭数，则实数 m 的取值范围是________．解析：g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若 g (x )在区间(t,3)上总为单调函数，则①g ′(x )≥0 在(t,3)上恒成立，或②g ′(x )≤0 在(t,3)上恒成立(正反转化)，由①得 3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，2x当 x ∈(t,3)时恒成立，2t即 m ≥－5；由②得 3x 2＋(m ＋4)x －2≤0，2x当 x ∈(t,3)时恒成立，23373⎝ 3 ⎭答案： － ，－5⎪(3)若二次函数 f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1 在区间[－1,1]内至少存在一个值 c ，使得 f (c )>0，则实数 p 的取值范围为________．⎧⎪f (－1)≤0，⎩ ⎪⎩p≤－3或p≥3 ⇒ p ≤－3 或 p ≥ ，取补集为－3<p < ，即为满足条件的 p 的取值范2⎛3⎫ 故实数 p 的取值范围为 －3， ⎪.⎛3⎫ 答案： －3， ⎪当 x ∈(0,2]时，原不等式可化为 a ≤，x x 当 x ∈[－2,0)时，可得 a ≥ ，令 f (x )＝ ＝x ＋ ，解 析 ： 如 果 在 区 间 [ － 1,1] 内 没 有 值 使 得 f (c )>0 ， 则 ⎨⎪f (1)≤0⇒⎧⎪p≤－1或p≥1，⎨23 32 2围．⎝2⎭⎝2⎭方法点睛正与反的转化要点正与反的转化，体现“正难则反”的原则，先从反面求解，再取反面答案的补集即可．一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单．因此，间接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命题情形的问题中．调研四 主与次的相互转化【例 4】 (1)若不等式 x 2－ax ＋1≥0 对一切 x ∈[－2,2]恒成立，则 a 的取值范围为()A ．(－∞，－2]C ．(0,2]B ．[－2,2]D ．[2，＋∞)解析：因为 x ∈[－2,2]，当 x ＝0 时，原式为 02－a ·0＋1≥0 恒成立，此时 a ∈R；x 2＋1xx 2＋1 2x而 ≥ ＝2，当且仅当 x ＝1 时等号成立，所以 a 的取值范围是(－∞，2]；x 2＋1xx 2＋1 1x x由函数的单调性可知，f (x )max ＝f (－1)＝－2， 所以 a ∈[－2，＋∞)．综上可知，a 的取值范围是[－2,2]，故选 B.⎧⎪f (－2)>0，⎧⎪(log 2x )2－4log 2x ＋3>0， 即 0<x < 或 x >8，⎛ 1⎫故 x 的取值范围是 0， ⎪∪(8，＋∞)．⎛ 1⎫⎝ 2⎭⎩ ⎪ ⎪ 解得－ <x <1.⎛ 2 ⎫ 故当 x ∈ － ，1⎪时，对满足－1≤a ≤1 的一切 a 的值，都有 g (x )<0.⎛ 2 ⎫⎝ 3 ⎭答案：B(2)设 y ＝(log 2x )2＋(t －2)log 2x －t ＋1，若 t ∈[－2,2]时恒取正值，则 x 的取值范围是________．解析：设 y ＝f (t )＝(log 2x －1)t ＋(log 2x )2－2log 2x ＋1， 则 f (t )是一次函数，当 t ∈[－2,2]时，f (t )>0 恒成立，则⎨⎪⎩f (2)>0，即⎨⎪(log 2x )2－1>0，解得 log 2x <－1 或 log 2x >3.12⎝ 2⎭答案： 0， ⎪∪(8，＋∞)(3)已知函数 f (x )＝x 3＋3ax －1，g (x )＝f ′(x )－ax －5，其中 f ′(x )是 f (x )的导函数．对满足－1≤a ≤1 的一切 a 的值，都有 g (x )<0，则实数 x 的取值范围为________．解析：由题意，知 g (x )＝3x 2－ax ＋3a －5.令 φ(a )＝(3－x )a ＋3x 2－5(－1≤a ≤1)．(主次转化)对－1≤a ≤1，恒有 g (x )<0，即 φ(a )<0，⎧φ(1)<0， 所以⎨⎪⎩φ(－1)<0，⎧3x 2－x －2<0， 即⎨⎪⎩3x 2＋x －8<0，23⎝ 3 ⎭答案： － ，1⎪方法点睛主与次的转化要点在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的变量(或参数)，将其看作是“主元”，而把其他变元看作是常量，从而达到减少变元简化运算的目的．通常给出哪个“元”的取值范围就将哪个“元”视为“主元”．。

高考数学二轮复习专题9 思想方法专题第四讲化归与转变思想理第四讲化归与转变思想解决数学识题时，常碰到一些直接求解较为困难的问题，经过察看、剖析、类比、联想等思想过程，选择运用适合的数学方法进行变换，将原问题转变为一个新问题( 相对来说，是自己较熟习的问题) ，经过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转变的思想方法”．化归与转变思想的本质是揭露联系，实现转变．除极简单的数学识题外，每个数学识题的解决都是经过转变为已知的问题实现的．从这个意义上讲，解决数学识题就是从未知向已知转变的过程．化归与转变思想是解决数学识题的根本思想，解题的过程本质上就是一步步转变的过程．数学中的转变俯拾皆是，如未知向已知转变，复杂问题向简单问题转变，新知识向旧知识的转变，命题之间的转变，数与形的转变，空间向平面的转变，高维向低维的转化，多元向一元的转变，高次向低次的转变，超越式向代数式的转变，函数与方程的转变等，都是转变思想的表现．转变有等价转变和非等价转变之分．等价转变前后是充要条件，因此尽可能使转变拥有等价性；在不得已的状况下，进行不等价转变，应附带限制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必需的考证．判断下边结论能否正确( 请在括号中打“√”或“×”) ．1(1) 函数y＝x＋的最小值是 2.( ×)x2a＋b(2)ab ≤建立的条件是ab>0.( ×)2(3) 函数f(x) ＝cos x ＋4cos x，x∈0，π2的最小值等于 4.( ×)(4) 目标函数z＝ax＋by(b ≠0) 中，z 的几何意义是直线ax＋by－z＝0 在y 轴上的截距．( ×)1．若动直线x＝a 与函数f(x) ＝sin x 和g(x) ＝cos x 的图象分别交于M，N两点，则|MN| 的最大值为( B)A．1 B. 2 C. 3 D．2π分析：|MN| ＝|sin x －cos x| ＝ 2 sin x－4，最大值为 2.2．以下图所示的韦恩图中，A，B 是非空会合，定义会合A#B为暗影部分表示的会合．若x，y∈R，A＝{x|y ＝2x－x2}，B＝{y|y ＝3x(x ＞0)} ，则A#B为( D)A．{x|0 ＜x＜2} B ．{x|1 ＜x≤2}C．{x|0 ≤x≤1 或x≥2} D．{x|0 ≤x≤1 或x＞2}分析：A＝{ x|y ＝2x－x }2 ＝{x|2x －x2≥0} ＝{x|0 ≤x≤2} ，B＝{y|y ＝3x(x ＞0)} ＝{y|y ＞1} ，则A∪B＝{x|x ≥0} ，A∩B＝{x|1 ＜x≤2} ．依据新运算，得A#B＝?A∪B(A∩B)＝{x|0 ≤x≤1或x＞2} ．3．定义一种运算a? b＝a，a≤b，b，a＞b，令f(x) ＝(cos52x＋sin x) ?，且x∈0，4π2，则函数f x－π2的最大值是( A)A. 54B ．1C ．－1D ．－54分析：设y＝cos2x＋sin x ＝－sin2x＋sin x ＝－sin 2x＋sin x ＋1＝－sin x －1252＋，4π∵x∈0，2 ，∴0≤sin x ≤1，∴1≤y≤54，即1≤cos2x ＋sin x ≤2x＋sin x ≤5 . 4依据新定义的运算可知f(x) ＝cos 2x＋sin x ，x∈0，π2，∴f x－π2＝－sinx－π2－12254＋＝－cosx＋1225＋，x∈4π，π.2 π∴函数 f x－2 的最大值是54.4．若f(x) ＝－12x2＋bln(x ＋2) 在( －1，＋∞) 上是减函数，则 b 的取值范围是( C) 2＋bln(x ＋2) 在( －1，＋∞) 上是减函数，则 b 的取值范围是( C)A．[ －1，＋∞) B．( －1，＋∞) C．( －∞，－1] D．( －∞，－1)分析：∵f(x) ＝－1 b x2＋bln(x ＋2) 在( －1，＋∞) 上是减函数，∴ f ′(x) ＝－x＋2＋bln(x ＋2) 在( －1，＋∞) 上是减函数，∴ f ′(x) ＝－x＋＜2 x＋2 0 在( －1，＋∞) 上恒建立，即b＜x(x ＋2) 在( －1，＋∞) 上恒建立．设g(x) ＝x(x ＋2) ＝(x＋1) 2 －1 在( －1，＋∞) 上单一递加，∴g(x) ＞－1，∴当b≤－1 时，b＜x(x ＋2) 在( －1，＋∞) 上恒建立，即f(x) ＝－122x ＋bln(x ＋2) 在( －1，＋∞) 上是减函数．一、选择题1．若会合M是函数y＝lg x 的定义域，N是函数y＝1－x的定义域，则M∩N等于( A) A．(0 ，1] B．(0 ，＋∞)C．? D ．[1 ，＋∞)2．在复平面内，复数11－i＋i 3 对应的点位于( D)A．第一象限 B ．第二象限C．第三象限 D ．第四象限3．以下命题正确的选项是( C)2A．? x0∈R，x0＋2x0＋3＝ 03 2B．? x∈N，x ＞xC．x＞1 是x2＞1 的充足不用要条件2＞ b2D．若a＞b，则a4．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图) ，要测算A，B两点的距离，丈量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝50 m，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°，就能够计算出A，B两点的距离为( A)A．50 2 m B ．50 3 mC．25 2 m D. 25 22m15．已知等比数列{a n} 中，各项都是正数，且a1，a3，2a2 成等差数列，则2 a8＋a9a6＋a7等于( C)A．1＋ 2 B ．1－ 2C．3＋2 2 D ．3－2 2二、填空题6．已知函数f(x) ＝2x，等差数列{ax，等差数列{ax} 的公差为 2. 若f(a 2 ＋a4＋a6＋a8＋a10)＝4，则log 2[f(a 1)f(a 2)f(a 3) ⋯f(a 10)] ＝－6．分析：由f(x) ＝2x 和f(ax 和f(a2＋a4 ＋a6 ＋a8 ＋a10) ＝4 知a2 ＋a4 ＋a6 ＋a8 ＋a10＝2 ，log 2[f(a 1)f(a 2)f(a 3) ⋯f(a 10)] ＝log 2f(a 1) ＋log 2f(a 2) ＋⋯＋log 2f(a 10) ＝a1 ＋a2＋a3＋⋯＋a10＝2(a2＋a4＋a6＋a8＋a10) －5×2＝－6.7．已知f(3 x ) ＝4xlog23＋233，则f(2) ＋f(4) ＋f(8) ＋⋯＋f(2 8) 的值等于2_008．分析：∵f(3 x) ＝4xlog 23＋233＝4log 23x＋233，x＋233，∴f(t) ＝4log 2t ＋233，则f(2) ＋f(4) ＋f(8) ＋⋯＋f(2 22＋233) ＋(4log 24＋233) ＋(4log 28＋233)8) ＝(4log8) ＝(4log8＋⋯＋(4log 22 ＋233) ＝4(1 ＋2＋3＋⋯＋8) ＋8×233＝2 008.8．若数列{a n} 知足1－a n－11＝d(n∈Na n*，d 为常数) ，则称数列{a n }为调解数列．已知数列1x n为调解数列，且x1＋x2＋⋯＋x20＝200，则x5＋x16＝20．分析：依据调解数列的定义知：数列{a n} 为调解数列，则1－a n－11＝d(n ∈N*，d为常数) ，*，d 为常数) ，a n也就是数列1a n为等差数列．此刻数列1x n为调解数列，则数列{x n} 为等差数列，那么由x1＋x2＋⋯＋x20＝200，得x1＋x2＋⋯＋x20＝10(x 5＋x16) ＝200，x5＋x16＝20.9．如图，有一圆柱形的张口容器( 下表面密封) ，其轴截面是边长为 2 的正方形，P 是BC中点，现有一只蚂蚁位于外壁 A 处，内壁P 处有一米粒，则这只蚂蚁获得米粒所需经过的最短行程为π2＋9．分析：把圆柱侧面睁开，并把里面也睁开，如下图，则这只蚂蚁获得米粒所需经过的最短行程为睁开图中的线段AP，则AB＝π，BP＝3，AP＝π2＋9.三、解答题10．已知函数f(x) ＝x2e－x.(1) 求f(x) 的极小值和极大值；(2) 当曲线y＝f(x) 的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上截距的取值范围．分析：(1)f(x) 的定义域为( －∞，＋∞) ，f ′(x) ＝－e－x x(x －2) ．①当x∈( －∞，0) 或x∈(2 ，＋∞) 时， f ′(x) ＜0；当x∈(0 ，2) 时，f ′(x) ＞0.因此f(x) 在( －∞，0) ，(2 ，＋∞) 上单一递减，在(0 ，2) 上单一递加．故当x＝0 时，f(x) 获得极小值，极小值为f(0) ＝0；当x＝2 时，f(x) 获得极大值，极大值为f(2) ＝4e－2.(2) 设切点为(t ，f(t)) ，则l 的方程为y＝f ′(t)(x －t) ＋f(t) ．因此l 在x 轴上的截距为m(t) ＝t －f （t ）t＝t ＋＝t －2＋f ′（t ）t －22＋3.t －2由已知和①得t ∈( －∞，0) ∪(2 ，＋∞) ．令h(x) ＝x＋2x(x ≠0) ，则当x∈(0 ，＋∞) 时，h(x) 的取值范围为[2 2，＋∞) ；当x∈( －∞，－2) 时，h(x) 的取值范围是( －∞，－3) ．因此当t ∈( －∞，0) ∪(2 ，＋∞) 时，m(t) 的取值范围是( －∞，0) ∪[2 2＋3，＋∞) ．综上，l 在x 轴上的截距的取值范围是( －∞，0) ∪[2 2＋3，＋∞) ．。

高考数学专题复习转化与化归思想教案第一章：转化与化归思想概述1.1 转化与化归思想的定义与意义引导学生理解转化与化归思想的含义，认识到它在数学解题中的重要性。

举例说明转化与化归在解决数学问题中的应用。

1.2 转化与化归的方法与技巧介绍常用的转化与化归方法，如代数化、几何化、图像化等。

通过具体例题，引导学生掌握这些方法在解题中的应用。

第二章：代数问题的转化与化归2.1 代数方程的转化与化归讲解如何将代数方程转化为更容易解决的形式，如一次方程、二次方程等。

引导学生运用转化与化归思想解决实际问题。

2.2 不等式的转化与化归介绍如何将不等式转化为标准形式，以及如何利用转化与化归思想解决不等式问题。

通过例题，让学生学会应用这些方法解决实际问题。

第三章：几何问题的转化与化归3.1 几何图形的转化与化归讲解如何将几何图形转化为标准形式，如三角形、四边形等。

引导学生运用转化与化归思想解决几何问题。

3.2 几何关系的转化与化归介绍如何将几何关系转化为更简单的形式，如相似、全等、平行等。

通过例题，让学生学会应用这些方法解决几何问题。

第四章：函数问题的转化与化归4.1 函数方程的转化与化归讲解如何将函数方程转化为更容易解决的形式，如线性函数、二次函数等。

引导学生运用转化与化归思想解决函数问题。

4.2 函数图像的转化与化归介绍如何将函数图像转化为更容易分析的形式，如直线、曲线等。

通过例题，让学生学会应用这些方法解决函数问题。

第五章：应用题的转化与化归5.1 实际问题的转化与化归引导学生将实际问题转化为数学问题，并运用转化与化归思想解决。

通过例题，让学生学会应用转化与化归思想解决实际问题。

5.2 数学竞赛题的转化与化归讲解如何将数学竞赛题转化为标准形式，并运用转化与化归思想解决。

通过例题，让学生学会应用这些方法解决数学竞赛题。

第六章：数列问题的转化与化归6.1 数列求和的转化与化归讲解如何将数列求和问题转化为等差数列、等比数列等简单形式。

教课资料范本2020版新高考复习理科数学教教案：转变与化归思想含答案编辑： __________________时间： __________________4讲转变与化归思想思想方法·简洁概括转变与化归的原则常有的转变与化归的方法1.直接转变法2.换元法1.熟习化原则 3.数形联合法2.简单化原则 4.结构法 5.坐标法 6.类比法3.直观化原则7.特别化方法4.正难则反原则8.等价问题法9.增强命题法10.补集法转变与化归思想就是在研究和解决相关数学识题时 .采纳某种手段将问题经过变换使之转变 .从而使问题获得解决的一种数学思想方法热门研究·考向调研调研一特别与一般的转变【例 1】(1)[20xx 唐·山三模 ] 已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx有两个极值点 x1.x2.且x1 <x2.若x1＋2x0＝3x2.函数 g(x)＝f(x)－f(x0).则g(x)()A ．恰有一个零点B．恰有两个零点C．恰有三个零点D．至多两个零点分析：由题知只需 f(x)有两个极值点 .且 x1<x2.x1＋2x0＝3x2.则结果是同样的 .所以不如令 b＝0.a＝－ 3.则 f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2).x1＝0.x2＝2.且 x0＝3.∴g(x)＝x3－3x2＝x2(x－3).明显 g(x)恰有两个零点 .应选 B.答案： B(2)在△ABC中.角所对的边分别为 a.b.c.若成等差数列 .则cosA＋cosC＝________.1＋cosAcosC4分析： 方法一：取特别值 a ＝3.b ＝4.c ＝5.则 cosA ＝5.cosC ＝cosA ＋cosC 40.＝.1＋cosAcosC 5π1 cosA ＋cosC方法二：取特别角 A ＝B ＝ C ＝ 3 .cosA ＝cosC ＝2.1＋cosAcosC ＝4 5.4答案： 5(3)如下图 .在平行四边形 ABCD 中.AP ⊥→ →＝________.BD.垂足为 P.且AP ＝ 3.则AP ·AC分析： 把平行四边形 ABCD 当作正方形 .则点 P 为对角线的交点 ＝则→→＝.AC 6. AP ·AC 18.答案： 18方法点睛化一般为特别的作用(1)常用的特例有特别值、特别数列、特别函数、特别图形、特殊角、特别地点等．(2)关于选择题 .当题设在一般条件下都建即刻 .对特别值进行探求.可快捷获得答案．(3)关于填空题 .当填空题的结论独一或题设条件供给的信息示意答案是一个定值时 .可把题中变化的量用特别值取代 .即可获得答案．调研二 函数、方程、不等式之间的转变【例 2】(1)[20xx 安·徽合肥质检三 ]若存在两个正实数 x.y.使得等式 x(1＋ln x)＝xlny －ay 建立 .则实数 a 的取值范围是()1111C. －∞，D. －∞，e23分析：∵x>0.y>0.x(1＋ln x)＝xlny－ay.y∴ay＝xlny－xlnx－x.ay＝xln x－x.x y x x x x∴a＝y ln x－y.即 a＝－y ln y－y.x令 t＝y.则 t>0.a＝－ tlnt－t.令 f(t)＝－ tlnt－t(t>0).1则 f′(t)＝－ (lnt＋2)．令 f′(t)＝0.得 t＝e2.1当 t∈ 0，e2时.f′(t)>0.f(t)单一递加；1当 t∈e2，＋∞ 时 .f′(t)<0.f(t)单一递减．111∴[f(t)] max＝f e2＝e2.∴a≤e2.应选 C.答案： C(2)在等差数列 { a n} 中.a2.a23－6x2＋4x－1的两个不一样的极值点.则018是函数f(x)＝x的值为()1A．－3B．－31C． 3 D.3分析： f′(x)＝3x2－12x＋4.由于 a2.a2 018是函数 f(x)＝x3－6x2＋4x－1 的两个不一样的极值点 .所以 a2.a2 018是方程 3x2－12x＋4＝0 的两个不等实数根 .所以 a2＋a2 018＝4.又由于数列 { a n} 为等差数列 .所以 a2＋a2 018＝2a1 010.即 a1 010＝2.从而.应选 B.答案： B(3)已知函数 f(x)＝3e|x|.若存在实数 t∈[－1.＋∞ ).使得对随意的 x ∈[1.m].m∈Z 且m>1.都有 f(x＋t)≤3ex.则m的最大值为 ________．分析：由于当 t∈[－1.＋∞)且 x∈[1.m]时.x＋t≥0.所以 f(x＋t)≤3ex? e x＋t≤ ex? x＋ t≤1＋lnx.所以原命题等价转变为：存在实数 t∈[－1.＋∞).使得不等式t≤1＋lnx－x 对随意 x∈[1.m]恒建立．令 h(x)＝1＋lnx－x(x≥1)．1由于 h′(x)＝x－1≤0.所以函数 h(x)在[1.＋∞)上为减函数 .又由于 x∈[1.m].所以 h(x)min＝h(m)＝1＋lnm－ m.所以要使得对随意x∈[1.m].t 值恒存在 .只需 1＋lnm－m≥－1.1 31 1 4由于 h(3)＝ln3－2＝ln e·e >ln e＝－ 1.h(4)＝ln4－3＝ln e·e2 1<ln e＝－ 1.且函数 h(x)在[1.＋∞)上为减函数 .所以知足条件的最大整数 m 的值为 3.答案： 3方法点睛函数、方程与不等式互相转变的应用(1)函数与方程、不等式联系亲密.解决方程、不等式的问题需要函数帮助．(2)解决函数的问题需要方程、不等式的帮助.所以借助函数与方程、不等式进行转变与化归能够将问题化繁为简 .一般可将不等关系转变为最值 (值域 )问题 .从而求出参变量的范围．调研三正难则反的转变【例 3】(1)[20xx 太·原模拟 ]由命题“存在 x0∈R.使－m≤0”是假命题 .得 m的取值范围是 (－∞ .a).则实数 a的取值是 ()A ．(－∞ .1)B．(－∞ .2)C． 1D．2分析：命题“存在 x0∈R.使－m≤0”是假命题.可知它的否认形式“随意 x∈R.使 e|x－1|－m>0”是真命题 .可得 m 的取值范围是(－∞.1).而 (－∞.a)与(－∞.1)为同一区间 .故 a＝1.应选 C.答案： Cm(2)若关于随意 t∈[1,2].函数 g(x)＝x3＋2＋2x2－2x在区间 (t,3)上总不为单一函数 .则实数 m的取值范围是 ________．分析： g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2.若 g(x)在区间 (t,3)上总为单一函数 .则① g′(x)≥0 在(t,3)上恒建立 .或② g′(x)≤0 在(t,3)上恒建立 (正反转变 ).由①得 3x2＋(m＋ 4)x－2≥0.2即 m＋4≥x－3x.当 x∈(t,3)时恒建立 .2所以 m＋4≥t－3t 恒建立 .则 m＋4≥－1.即 m≥－5；由②得 3x2＋(m＋ 4)x－2≤0.2即 m＋4≤x－3x.当 x∈(t,3)时恒建立 .2则 m＋4≤3－9.37即 m≤－3 .所以函数 g(x)在区间 (t,3)上总不为单一函数的m 的取值范围为37－3，－5 .37答案：－3，－5(3)若二次函数 f(x)＝4x2－2(p－2)x－ 2p2－p＋1在区间 [ －1,1]内起码存在一个值 c.使得 f(c)>0.则实数 p的取值范围为 ________．分析：假如在区间 [－ 1,1]内没有值使得 f(c)>0.则1f－1≤ ，p≤－2或p≥1，3f 1 ≤0?3? p≤－3 或 p≥2.取补集p≤－ 3或p≥23为－ 3<p<2.即为知足条件的p 的取值范围．故实数 p 的取值范围为3答案：－ 3，2方法点睛3－3，2 .正与反的转变重点正与反的转变 .表现“正难则反”的原则 .先从反面求解 .再取反面答案的补集即可．一般地 .题目若出现多种建立的情况 .则不建立的情况相对极少 .从反面考虑较简单．所以 .间接法多用于含有“至多”“ 起码”及否认性命题情况的问题中．调研四主与次的互相转变【例 4】(1)若不等式 x2－ax＋1≥0 对全部 x∈[ －2,2]恒建立 .则 a 的取值范围为 ()A ．(－∞.－2]B．[－2,2]C． (0,2]D．[2.＋∞)分析：由于 x∈[－2,2].当x＝0 时.原式为02－a·0＋1≥0 恒建立 .此时a∈R；x2＋1当 x∈(0,2]时 .原不等式可化为a≤.xx2＋12x而x≥x＝2.当且仅当 x＝1 时等号建立 .所以 a 的取值范围是 (－∞.2]；x2＋1当 x∈[ －2,0)时.可得 a≥.xx2＋11令 f(x)＝x＝x＋x.由函数的单一性可知 .f(x)max＝f(－1)＝－2.所以 a∈[ －2.＋∞)．综上可知 .a 的取值范围是 [ －2,2].应选 B.答案： B(2)设y＝(log2x)2＋(t－2)log2x－t＋1.若t∈[ －2,2]时恒取正当 .则x的取值范围是 ________．分析：设 y＝f(t)＝(log2x－1)t＋(log2x)2－2log2x＋1.则 f(t)是一次函数 .f －2 >0，当 t∈[ －2,2]时.f(t)>0 恒建立 .则即f 2 >0，log2x 2－4log2x＋3>0，log2x 2－1>0，解得 log2x<－1 或 log2x>3.1即 0<x<2或 x>8.1故 x 的取值范围是0，2∪(8.＋∞)．1答案： 0，2∪(8.＋∞ )(3)已知函数 f(x)＝x3＋3ax－1.g(x)＝f′(x)－ ax－5.此中 f′(x)是f(x)的导函数．对知足－ 1≤a≤1的全部 a的值 .都有 g(x)<0.则实数 x的取值范围为 ________．分析：由题意 .知 g(x)＝3x2－ax＋3a－5.令φ(a)＝(3－x)a＋3x2－5(－1≤a≤1)．(主次转变 )对－ 1≤a≤1.恒有 g(x)<0.即φ(a)<0.φ 1 <0，3x2－x－2<0，所以φ －1 <0，即3x2＋x－8<0，2解得－3<x<1.2故当 x∈ －3，1 时.对知足－ 1≤a≤1 的全部 a 的值 .都有g(x)<0.2答案：－3，1方法点睛主与次的转变重点在办理多变元的数学识题时 .我们能够选用此中的变量(或参数).将其看作是“主元”.而把其余变元看作是常量 .从而达到减少变元简化运算的目的．往常给出哪个“元”的取值范围就将哪个“元”视为“主元”．。

4.转化与化归思想转化与化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.应用1 直接转化【典例1】(1)(2019·沈阳质量检测(一))抛物线y 2＝6x 上一点M (x 1，y 1)到其焦点的距离为92，则点M 到坐标原点的距离为________．(2)(2019·福州模拟)函数f (x )＝cos 2x ＋a (sin x －cos x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，则实数a 的取值范围是________．(1)3 3 (2)[2，＋∞) [(1)由y 2＝6x ，知p ＝3，由焦半径公式得x 1＋p 2＝92，即x 1＝3，代入得y 21＝18，则|MO |＝x 21＋y 21＝33(O 为坐标原点)，故填3 3.(2)因为f (x )＝cos 2x ＋a (sin x －cos x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，所以f ′(x )＝－2sin 2x ＋a (cos x ＋sin x )≥0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上恒成立，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos x ＋sinx ＞0，a ≥2sin 2x sin x ＋cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上恒成立．令g (x )＝2sin 2x sin x ＋cos x ＝4sin x cos x sin x ＋cos x ，令t ＝sin x ＋cos x ，则4sin x cos x ＝2(t 2－1)，又t ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以t ∈[]1，2，故函数h (t )＝2t 2－2t ＝2t －2t ，函数h (t )在t ∈[1，2]时单调递增，所以当t ＝2时，h (t )取到最大值，h (t )max ＝2，故g (x )max ＝2，所以a ≥ 2.所以实数a 的取值范围为[2，＋∞)．]【对点训练1】(1)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝( ) A.79 B.23 C ．－23D ．－79(2)(2019·安庆二模)将⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x －43展开后，常数项是________． (1)D (2)－160 [(1)∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝13，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝13，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α－1＝－79，故选D.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x －43＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 6，展开后的通项是C k 6(x )6－k ·⎝⎛⎭⎪⎫－2x k ＝(－2)k C k 6·(x )6－2k.令6－2k ＝0，得k ＝3.所以常数项是C 36(－2)3＝－160.]应用2 等价转化【典例2】(1)已知正数x ，y 满足4y －2yx＝1，则x ＋2y 的最小值为________．(2)函数y ＝cos 2x －sin x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值为________．(1)2 (2)1 [(1)由4y －2yx＝1，得x ＋2y ＝4xy ，即14y ＋12x＝1，所以x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫14y ＋12x ＝1＋x 4y ＋y x ≥1＋2x 4y ·y x ＝2，当且仅当x 4y ＝yx，即x ＝2y 时等号成立． 所以x ＋2y 的最小值为2.(2)y ＝cos 2x －sin x ＝－sin 2x －sin x ＋1. 令t ＝sin x ，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，22， ∴y ＝－t 2－t ＋1，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，22. ∵函数y ＝－t 2－t ＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，22上单调递减， ∴t ＝0时，y max ＝1.]【对点训练2】 (2019·武汉模拟)如图，在棱长为1的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M 为CD 中点，则四面体A ­BC 1M 的体积( )A.12 B.14 C.16D.112C [在棱长为1的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，∵M 为CD 中点，∴S △ABM ＝12×1×1＝12，∴VA ­BC 1M ＝VC 1­ABM ＝13×12×1＝16.故选C.]应用3 正与反的相互转化【典例3】(1)掷一枚均匀的硬币10次，则出现正面的次数多于反面次数的概率为________．(2)若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m2＋2x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是________．(1)193512 (2)－373＜m ＜－5 [(1)出现正面次数与出现反面次数相等的概率为C 510210＝2521 024＝63256.利用对称性，即出现正面的次数多于出现反面次数的概率与出现反面的次数多于出现正面次数的概率是相等的，所以出现正面的次数多于出现反面次数的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－63256÷2＝193512. (2)由题意得g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t,3)上总为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t,3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t,3)上恒成立．由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x －3x 在x ∈(t,3)上恒成立，∴m ＋4≥2t－3t 恒成立，则m ＋4≥－1，即m ≥－5；由②得m ＋4≤2x－3x 在x ∈(t,3)上恒成立，则m ＋4≤23－9，则m ≤－373.∴函数g (x )在区间(t,3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－373＜m ＜－5.]【对点训练3】(1)由命题“存在x 0∈R ，使e |x 0－1|－m ≤0”是假命题，得m 的取值范围是(－∞，a )，则实数a 的值是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，2)C ．1D ．2(2)若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一个值c ，使得f (c )＞0，则实数p 的取值范围是________．(1)C (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32 [(1)命题“存在x 0∈R ，使e |x 0－1|－m ≤0”是假命题，可知它的否定形式“任意x ∈R ，e|x －1|－m ＞0”是真命题，可得m 的取值范围是(－∞，1)，而(－∞，a )与(－∞，1)为同一区间，故a ＝1.(2)若在区间[－1,1]内不存在c 满足f (c )＞0， 且Δ＝36p 2≥0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧f －1≤0，f1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧p ≤－12或p ≥1，p ≤－3或p ≥32.解得p ≤－3或p ≥32，取补集为－3＜p ＜32，即为满足条件的P 的取值范围．所以满足题意的实数p 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32.]应用4 一般与特殊的转化【典例4】(1)在△ABC 中，三边长a ，b ，c 满足a ＋c ＝3b ，则tan A 2tan C2的值为( )A.15 B.14 C.12D.23(2)过抛物线y ＝ax 2(a ＞0)的焦点F ，作一直线交抛物线于P ，Q 两点．若线段PF 与FQ 的长度分别为p ，q ，则1p ＋1q等于( )A ．2a B.12aC ．4aD.4a(1)C (2)C [(1)令a ＝4，c ＝5，b ＝3，则符合题意(取满足条件的三边)． 则由C ＝90°，得tan C2＝1.由tan A ＝43，得2tanA21－tan 2A 2＝43，解得tan A 2＝12.所以tan A 2·tan C 2＝12×1＝12.(2)取直线PQ 平行于x 轴，易知PQ 的方程为：y ＝14a ，如图所示，则PF＝FQ ＝12a，∴1p ＋1q＝2a ＋2a ＝4a .故选C.]【对点训练4】(1)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →＝( )A ．20B ．15C ．9D ．6(2)如图，在三棱锥S ­ABC 中，E ，F ，G ，H 分别为SA ，AC ，BC ，SB 的中点，则截面EFGH 将该三棱锥分成的两部分的体积之比V ABGH E FV SCGH E F＝________. (1)C (2)1 [(1)(特例法)若四边形ABCD 为矩形，建系如图． 由BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，知M (6,3)，N (4,4)，所以AM →＝(6,3)，NM →＝(2，－1)，AM →·NM →＝6×2＋3×(－1)＝9.(2)(秒杀解法)由于图形不确定，而答案固定，故假设该三棱锥为正四面体，则所截得的两部分形状一样，体积相等，故答案为1.]应用5 常量与变量的转化【典例5】 已知函数f (x )＝x 3＋3ax －1，g (x )＝f ′(x )－ax －5，其中f ′(x )是f (x )的导函数．对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )＜0，则实数x 的取值范围为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1 [由题意，知g (x )＝3x 2－ax ＋3a －5，令φ(a )＝(3－x )a ＋3x 2－5，－1≤a ≤1. 对－1≤a ≤1，恒有g (x )＜0，即φ(a )＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧φ1＜0，φ－1＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－x －2＜0，3x 2＋x －8＜0，解得－23＜x ＜1.故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1时，对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )＜0.] 【对点训练5】(1)若不等式x 2－ax ＋1≥0对一切a ∈[－2,2]恒成立，则x 的取值范围为________．(2)设y ＝(log 2x )2＋(t －2)log 2x －t ＋1，若t 在[－2,2]上变化时，y 恒取正值，则x 的取值范围是________．(1)R (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(8，＋∞) [(1)∵x 2－ax ＋1≥0对一切a ∈[－2,2]恒成立，即a ·(－x )＋x 2＋1≥0对一切a ∈[－2,2]恒成立． 令f (a )＝a ·(－x )＋x 2＋1则⎩⎪⎨⎪⎧ f －2≥0，f2≥0即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋x 2＋1≥0，－2x ＋x 2＋1≥0.∴x ∈R .(2)设y ＝f (t )＝(log 2x －1)t ＋(log 2x )2－2log 2x ＋1，则f (t )是一次函数，当t ∈[－2,2]时，f (t )＞0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧f－2＞0，f2＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧log 2x 2－4log 2x ＋3＞0，log 2x2－1＞0，解得log 2x ＜－1或log 2x ＞3，即0＜x ＜12或x ＞8，故实数x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(8，＋∞)．] 应用6 形体位置关系的相互转化【典例6】 已知在三棱锥P ­ABC 中，PA ＝BC ＝234，PB ＝AC ＝10，PC ＝AB ＝241，则三棱锥P ­ABC 的体积为( )A ．40B ．80C ．160D ．240C [因为三棱锥P ­ABC 的三组对边两两相等，故可将此三棱锥放在一个特定的长方体中(如图所示)，把三棱锥P ­ABC 补成一个长方体AEBG ­FPDC .易知三棱锥P ­ABC 的各棱分别是此长方体的面对角线． 不妨令PE ＝x ，EB ＝y ，EA ＝z ，则由已知，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝100，x 2＋z 2＝136，y 2＋z 2＝164⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝8，z ＝10.从而知V P ­ABC ＝V AEBG ­FPDC －V P ­AEB －V C ­ABG －V B ­PDC －V A ­FPC ＝V AEBG ­FPDC －4V P ­AEB ＝6×8×10－4×13×12×6×8×10＝160.]【对点训练6】 如图，在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，底面为直角三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝CC 1＝2，P 是BC 1上一动点，则CP ＋PA 1的最小值是________．52[连接A1B，沿BC1将△CBC1展开，与△A1BC1在同一个平面内，如图，连接A1C，则A1C的长度就是所求的最小值．通过计算可得AB＝A1B1＝38，A1B＝40，A1C1＝6，BC1＝2，所以∠A1C1B＝90°，又∠BC1C＝45°，所以∠A1C1C＝135°.由余弦定理可求得A1C＝5 2.]。