高中数学人教B版选修2-1学案：3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示

3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示1．理解平面的法向量的概念， 会求平面的法向量．(重点) 2．会用平面的法向量证明平面与平面平行、垂直．(重点)3．理解并会应用三垂线定理及其逆定理，证明有关垂直问题．(难点)[基础·初探]教材整理1 平面的法向量与向量表示 阅读教材P 102～P 103“例1”，完成下列问题． 1．平面的法向量已知平面α，如果向量n 的基线与平面α垂直，则向量n 叫做平面α的法向量或说向量n 与平面α正交．2．平面的向量表示设A 是空间任一点，n 为空间内任一非零向量，适合条件AM →·n ＝0的点M 的集合构成的图形是过空间内一点A 并且与n 垂直的平面．这个式子称为一个平面的向量表示式．3．两平面平行、垂直的判定设n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则 (1)α∥β或α与β重合⇔n 1∥n 2； (2)α⊥β⇔n 1⊥n 2⇔n 1·n 2＝0.1．若直线l 的方向向量a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2,0，－4)，则( )A ．l ∥αB ．l ⊥αC．l⊂αD．l与α斜交【解析】∵n＝(－2,0，－4)＝－2(1,0,2)＝－2a，∴n∥a，∴l⊥α.【答案】 B2．若平面α，β的法向量分别为a＝(2，－1,0)，b＝(－1，－2,0)，则α与β的位置关系是()A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．无法确定【解析】∵a·b＝－2＋2＋0＝0，∴a⊥b，∴α⊥β.【答案】 B教材整理2三垂线定理及其逆定理阅读教材P104第5行～P105第2行内容，完成下列问题．1．正射影已知平面α和一点A，过点A作α的垂线l与α相交于点A′，则A′就是点A在平面α内的正射影，简称射影．2．三垂线定理如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射线垂直，则它也和这条斜线垂直．3．三垂线定理的逆定理如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在平面内的射影垂直．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a是平面α的一条斜线，直线b垂直于a在α内的射影，则a⊥b.()(2)若a是平面α的斜线，平面β内的直线b垂直于a在平面α内的射影，则a⊥b.()(3)若a是平面α的斜线，直线b⊂α，且b垂直于a在另一个平面β内的射影，则a⊥b.()(4)若a是平面α的斜线，b∥α，直线b垂直于a在平面α内的射影，则a ⊥b.()【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问2：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问3：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________[小组合作型]1111BB 1，DD 1的中点，求证：(1)FC 1∥平面ADE ； (2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .【精彩点拨】 建立空间直角坐标系，利用平面的法向量求解．【自主解答】 (1)建立如图所示空间直角坐标系Dxyz ，则有D (0,0,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,2)，E (2,2,1)，F (0,0,1)，B 1(2,2,2)，所以FC 1→＝(0,2,1)，DA →＝(2,0,0)，AE →＝(0,2,1)．设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量，则n 1⊥DA →，n 1⊥AE →， 即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA →＝2x 1＝0，n 1·AE →＝2y 1＋z 1＝0，得⎩⎨⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1. 令z 1＝2，则y 1＝－1， 所以n 1＝(0，－1,2)． 因为FC 1→·n 1＝－2＋2＝0， 所以FC 1→⊥n 1. 又因为FC 1⊄平面ADE ， 所以FC 1∥平面ADE .(2)∵C 1B 1→＝(2,0,0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的法向量．由n 2⊥FC 1→，n 2⊥C 1B 1→，得⎩⎪⎨⎪⎧n 2·FC 1→＝2y 2＋z 2＝0，n 2·C 1B 1→＝2x 2＝0，得⎩⎨⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2. 令z 2＝2，得y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1,2)， 因为n 1＝n 2，所以平面ADE ∥平面B 1C 1F.用向量方法证明空间平行关系的方法[再练一题]1．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H ，M ，N 分别是正方体六个表面的中心，证明：平面EFG ∥平面HMN .【证明】 如图所示，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2，则E (1,1,0)，F (1,0,1)，G (2,1,1)，H (1,1,2)，M (1,2,1)，N (0,1,1)．∴EF→＝(0，－1,1)，EG→＝(1,0,1)， HM→＝(0,1，－1)， HN→＝(－1,0，－1)． 设m ＝(x 1，y 1，z 1)，n ＝(x 2，y 2，z 2)分别是平面EFG 和HMN 的法向量， 由⎩⎪⎨⎪⎧m ·EF →＝0，m ·EG →＝0，得⎩⎨⎧－y 1＋z 1＝0，x 1＋z 1＝0，令x 1＝1，得m ＝(1，－1，－1)．由⎩⎪⎨⎪⎧n ·HM →＝0，n ·HN →＝0，得⎩⎨⎧y 2－z 2＝0，－x 2－z 2＝0.令x 2＝1，得n ＝(1，－1，－1)．于是有m ＝n ，即m ∥n ，故平面EFG ∥平面HMN .1111F 分别是B 1B ，DC 的中点，求证：AE ⊥平面A 1D 1F .图3-2-14【精彩点拨】 建立空间直角坐标系，得到有关向量的坐标，求出平面A 1D 1F 的法向量，然后证明AE→与法向量共线．【自主解答】如图所示，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，A 1(1,0,1)，D 1(0,0,1)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12， A 1D 1→＝(－1,0,0)，D 1F →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，－1. 设平面A 1D 1F 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则n ·A 1D 1→＝0，n ·D 1F →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＝0，12y －z ＝0，解得x ＝0，y ＝2z .令z ＝1，则n ＝(0,2,1)． 又AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，∴n ＝2AE →. ∴n ∥AE →，即AE ⊥平面A 1D 1F .1．坐标法证明线面垂直有两种思路 方法一：(1)建立空间直角坐标系； (2)将直线的方向向量用坐标表示；(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量； (4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0. 方法二：(1)建立空间直角坐标系； (2)将直线的方向向量用坐标表示； (3)求出平面的法向量；(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行．2．使用坐标法证明时，如果平面的法向量很明显，可以用方法二，否则常常选用方法一解决．[再练一题]2．如图3-2-15，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，点P 为DD 1的中点，求证：直线PB 1⊥平面P AC .图3-2-15【证明】 依题设，以D 为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz ，则C (1,0,0)，P (0,0,1)，A (0,1,0)，B 1(1,1,2)，于是CA →＝(－1,1,0)，CP →＝(－1,0,1)，PB 1→＝(1,1,1)， ∴CA →·PB 1→＝(－1,1,0)·(1,1,1)＝0， CP →·PB 1→＝(－1,0,1)·(1,1,1)＝0， 故CP →⊥PB 1→，CA →⊥PB 1→，即PB 1⊥CP ，PB 1⊥CA ， 又CP ∩CA ＝C ，且CP ⊂平面P AC ，CA ⊂平面P AC . 故直线PB 1⊥平面P AC .111111图3-2-16【自主解答】 在正方体中，AA 1⊥平面ABCD ，所以AC 是A 1C 在平面ABCD 内的射影，又AC ⊥BD ，所以BD ⊥A 1C .同理D 1C 是A 1C 在平面CDD 1C 1内的射影． 所以C 1D ⊥A 1C .又C 1D ∩BD ＝D ， 所以A 1C ⊥平面BDC 1.1．三垂线定理及其逆定理主要用于证明空间两条直线的垂直问题．对于同一平面内的两直线垂直问题也可用“平移法”，将其转化为空间两直线的垂直问题，用三垂线定理证明．2．当图形比较复杂时，要认真观察图形，证题的思维过程是“一定二找三证”，即“一定”是定平面和平面内的直线，“二找”是找平面的垂线、斜线和斜线在平面内的射影，“三证”是证直线垂直于射影或斜线．[再练一题]3．正三棱锥P-ABC中，求证：BC⊥P A.【证明】如图，在正三棱锥P-ABC中，P在底面ABC内的射影O为正三角形ABC的中心，连接AO，则AO是P A在底面ABC内的射影，且BC⊥AO，所以BC⊥P A.[探究共研型]探究1【提示】只需求出两个平面的法向量，再看它们的法向量的数量积是否为0即可．探究2在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E，F分别是AC，AD的中点，求证：平面BEF⊥平面ABC.【提示】建系如图，取A (0,0，a )，则易得B (0,0,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，32a ，0，D (0，3a,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，34a ，a 2，F ⎝⎛⎭⎪⎫0，32a ，a 2.∵∠BCD ＝90°，∴CD ⊥BC .又AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥CD .又AB ∩BC ＝B ，∴CD ⊥平面ABC ，∴CD→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，32a ，0为平面ABC 的一个法向量． 设平面BEF 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 由n ·EF→＝0，即(x ，y ，z )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－34a ，34a ，0＝0，有x ＝y . 由n ·BF→＝0，即(x ，y ，z )·⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32a ，a 2＝0， 有32ay ＋a2z ＝0⇒z ＝－3y . 取y ＝1，得n ＝(1,1，－3)．∵n ·CD→＝(1,1，－3)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，32a ，0＝0， ∴n ⊥CD→，∴平面BEF ⊥平面ABC .如图3-2-17所示，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB ＝BC＝2，BB 1＝1，E 为BB 1的中点，证明：平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .图3-2-17【精彩点拨】 要证明两个平面垂直，由两个平面垂直的条件，可证明这两个平面的法向量垂直，转化为求两个平面的法向量n 1，n 2，证明n 1·n 2＝0.【自主解答】由题意得AB ，BC ，B 1B 两两垂直．以B 为原点，BA ，BC ，BB 1分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．A (2,0,0)，A 1(2,0,1)，C (0,2,0)，C 1(0,2,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12， 则AA 1→＝(0,0,1)，AC →＝(－2,2,0)，AC 1→＝(－2,2,1)，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，0，12.设平面AA 1C 1C 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)． 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AA 1→＝0，n 1·AC →＝0⇒⎩⎨⎧z 1＝0，－2x 1＋2y 1＝0.令x 1＝1，得y 1＝1.∴n 1＝(1,1,0)．设平面AEC 1的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)． 则⎩⎪⎨⎪⎧ n 2·AC 1→＝0，n 2·AE →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋2y 2＋z 2＝0，－2x 2＋12z 2＝0， 令z 2＝4，得x 2＝1，y 2＝－1.∴n 2＝(1，－1,4)． ∵n 1·n 2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0. ∴n 1⊥n 2，∴平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .1．利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直．2．向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法“公式化”，降低了思维难度．[再练一题]4．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为CC 1的中点，证明：平面B 1ED ⊥平面B 1BD .【证明】 以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，B 1(1,1,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，DB 1→＝(1,1,1)，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，设平面B 1DE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则x ＋y ＋z ＝0且y ＋12z ＝0，令z ＝－2，则y ＝1，x ＝1，∴n 1＝(1,1，－2)．同理求得平面B 1BD 的法向量为n 2＝(1，－1,0)，由n 1·n 2＝0，知n 1⊥n 2，∴平面B 1DE ⊥平面B 1BD .[构建·体系]1．已知AB→＝(2,2,1)，AC →＝(4,5,3)，则平面ABC 的一个单位法向量为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，－23，－23 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23，－23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23，23 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，23【解析】 设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎨⎧2x ＋2y ＋z ＝0，4x ＋5y ＋3z ＝0，取x ＝1，则y ＝－2，z ＝2.所以n ＝(1，－2,2)．由于|n |＝3，所以平面ABC 的一个单位法向量可以是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23，－23. 【答案】 B2．已知直线l 的方向向量是a ＝(3,2,1)，平面α的法向量是u ＝(－1,2，－1)，则l 与α的位置关系是( )A ．l ⊥αB ．l ∥αC ．l 与α相交但不垂直D ．l ∥α或l ⊂α【解析】 因为a ·u ＝－3＋4－1＝0，所以a ⊥u .所以l ∥α或l ⊂α. 【答案】 D3．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD→＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)． 对于结论： ①AP ⊥AB ； ②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量； ④AP→∥BD →. 其中正确的是________．(填序号)【解析】 由于AP →·AB →＝－1×2＋2×(－1)＋(－1)×(－4)＝0，AP →·AD →＝(－1)×4＋2×2＋(－1)×0＝0，所以①②③正确．【答案】 ①②③4．如图3-2-18，已知PO ⊥平面ABC ，且O 为△ABC 的垂心，则AB 与PC 的关系是________.【导学号：15460075】图3-2-18【解析】 ∵O 为△ABC 的垂心， ∴CO ⊥AB .又∵OC 为PC 在平面ABC 内的射影， ∴由三垂线定理知AB ⊥PC . 【答案】 垂直5．在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD 垂直于底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 于点F .求证：(1)P A ∥平面EDB ； (2)PB ⊥平面EFD .【证明】 建立如图所示的空间直角坐标系．D 是坐标原点，设DC ＝a . (1)连接AC 交BD 于G ，连接EG ，依题意得D (0,0,0)，A (a,0,0)，P (0,0，a )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2.因为底面ABCD 是正方形，所以G 是此正方形的中心， 故点G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，0，所以EG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，－a 2.又P A →＝(a,0，－a )，所以P A →＝2EG →，这表明P A ∥EG .而EG ⊂平面EDB ，且P A ⊄平面EDB ， 所以P A ∥平面EDB .(2)依题意得B (a ，a,0)，PB→＝(a ，a ，－a )，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2， 所以PB →·DE →＝0＋a 22－a 22＝0，所以PB →⊥DE →，即PB ⊥DE .又已知EF ⊥PB ，且EF ∩DE ＝E ， 所以PB ⊥平面EFD .我还有这些不足：(1)________________________________________________________ (2)________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)________________________________________________________ (2)________________________________________________________学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知平面α的法向量为a ＝(1,2，－2)，平面β的法向量为b ＝(－2，－4，k )，若α⊥β，则k ＝( )A ．4B ．－4C ．5D ．－5【解析】 ∵α⊥β，∴a ⊥b ，∴a ·b ＝－2－8－2k ＝0. ∴k ＝－5. 【答案】 D2．已知平面α的一个法向量是(2，－1,1)，α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是( )A ．(4,2，－2)B ．(2,0,4)C ．(2，－1，－5)D ．(4，－2,2)【解析】 ∵α∥β，∴β的法向量与α的法向量平行，又∵(4，－2,2)＝2(2，－1,1)，故应选D.【答案】 D3．已知AB→＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为( )A.337，－157，4 B ．407，－157，4 C.407，－2,4D ．4，407，－15【解析】 ∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，即3＋5－2z ＝0，得z ＝4， 又BP ⊥平面ABC ，∴BP →⊥AB →，BP →⊥BC →， 则⎩⎨⎧(x －1)＋5y ＋6＝0，3(x －1)＋y －12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝407，y ＝－157.【答案】 B4．已知平面α内有一个点A (2，－1,2)，α的一个法向量为n ＝(3,1,2)，则下列点P 中，在平面α内的是( )A ．(1，－1,1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，3，32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－3，32 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，3，－32【解析】 对于B ，AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，4，－12， 则n ·AP→＝(3,1,2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，4，－12＝0， ∴n ⊥AP→，则点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，3，32在平面α内． 【答案】 B5．设A 是空间一定点，n 为空间内任一非零向量，满足条件AM →·n ＝0的点M 构成的图形是( )A ．圆B ．直线C ．平面D ．线段【解析】 M 构成的图形经过点A ，且是以n 为法向量的平面． 【答案】 C 二、填空题6．已知直线l 与平面α垂直，直线l 的一个方向向量u ＝(1，－3，z )，向量v ＝(3，－2,1)与平面α平行，则z ＝________.【解析】 由题意知u ⊥v ，∴u ·v ＝3＋6＋z ＝0，∴z ＝－9. 【答案】 －97．已知a ＝(x,2，－4)，b ＝(－1，y,3)，c ＝(1，－2，z )，且a ，b ，c 两两垂直，则(x ，y ，z )＝________.【解析】由题意，知⎩⎨⎧－x ＋2y －12＝0，x －4－4z ＝0，－1－2y ＋3z ＝0.解得x ＝－64，y ＝－26，z ＝－17. 【答案】 (－64，－26，－17)8．若A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2，198，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－1，58，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，1，58是平面α内的三点，设平面α的法向量a ＝(x ，y ，z )，则x ∶y ∶z ＝________.【导学号：15460076】【解析】 因为AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－3，－74，AC→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－1，－74， 又因为a ·AB →＝0，a ·AC →＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －74z ＝0，－2x －y －74z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23y ，z ＝－43y .所以x ∶y ∶z ＝23y ∶y ∶⎝ ⎛⎭⎪⎫－43y ＝2∶3∶(－4)．【答案】 2∶3∶(－4) 三、解答题9.如图3-2-19，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 是线段EF 的中点．求证：AM ⊥平面BDF .图3-2-19【证明】 以C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2，2，0)，B (0，2，0)，D (2，0,0)，F (2，2，1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1.所以AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1，DF →＝(0, 2，1)，BD→＝(2，－2，0)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面BDF 的法向量， 则n ⊥BD→，n ⊥DF →，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →＝2x －2y ＝0，n ·DF →＝2y ＋z ＝0⇒⎩⎨⎧x ＝y ，z ＝－2y ，取y ＝1，得x ＝1，z ＝－ 2. 则n ＝(1,1，－2)． 因为AM→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1. 所以n ＝－ 2 AM →，得n 与AM →共线．所以AM ⊥平面BDF .10．底面ABCD 是正方形，AS ⊥平面ABCD ，且AS ＝AB ，E 是SC 的中点．求证：平面BDE ⊥平面ABCD .【证明】法一 设AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝AS ＝1，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则B (1,0,0)，D (0,1,0)，A (0,0,0)，S (0,0,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，12.连接AC ，设AC 与BD 相交于点O ，连接OE ，则点O 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0.因为AS →＝(0,0,1)，OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12， 所以OE→＝12AS →.所以OE ∥AS .又因为AS ⊥平面ABCD ， 所以OE ⊥平面ABCD . 又因为OE ⊂平面BDE ， 所以平面BDE ⊥平面ABCD .法二 设平面BDE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 因为BD →＝(－1,1,0)，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，12，所以⎩⎪⎨⎪⎧n 1⊥BD→，n 1⊥BE →，即⎩⎨⎧n 1·BD →＝－x ＋y ＝0，n 1·BE →＝－12x ＋12y ＋12z ＝0，令x ＝1，可得平面BDE 的一个法向量为n 1＝(1,1,0)． 因为AS ⊥平面ABCD ，所以平面ABCD 的一个法向量为n 2＝AS →＝(0,0,1)． 因为n 1·n 2＝0，所以平面BDE ⊥平面ABCD .[能力提升]1．如图3-2-20，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，以D 为原点建立空间直角坐标系，E 为BB 1的中点，F 为A 1D 1的中点，则下列向量中，能作为平面AEF 的法向量的是( )图3-2-20A ．(1，－2,4)B ．(－4,1，－2)C ．(2，－2,1)D ．(1,2，－2)【解析】 设平面AEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则A (1,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，1. 故AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，1.所以⎩⎪⎨⎪⎧AE →·n ＝0，AF →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＋12z ＝0，－12x ＋z ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12z ，x ＝2z .当z ＝－2时，n ＝(－4,1，－2)，故选B. 【答案】 B2．如图3-2-21，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1＝1，D 是棱CC 1的中点，P 是AD 的延长线与A 1C 1的延长线的交点．若点Q 在线段B 1P 上，则下列结论正确的是( )图3-2-21A ．当点Q 为线段B 1P 的中点时，DQ ⊥平面A 1BD B ．当点Q 为线段B 1P 的三等分点时，DQ ⊥平面A 1BDC ．在线段B 1P 的延长线上，存在一点Q ，使得DQ ⊥平面A 1BD D ．不存在DQ 与平面A 1BD 垂直【解析】 以A 1为原点，A 1B 1，A 1C 1，A 1A 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则由已知得A 1(0,0,0)，B 1(1,0,0)，C 1(0,1,0)，B (1,0,1)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，P (0,2,0)，A 1B →＝(1,0,1)，A 1D →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，B 1P →＝(－1,2,0)，DB 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－1，－12.设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·A 1B →＝x ＋z ＝0，n ·A 1D →＝y ＋12z ＝0，取z ＝－2，则x ＝2，y ＝1，所以平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(2,1，－2)．假设DQ ⊥平面A 1BD ，且B 1Q →＝λB 1P →＝λ(－1,2,0)＝(－λ，2λ，0)，则DQ →＝DB 1→＋B 1Q →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－λ，－1＋2λ，－12，因为DQ →也是平面A 1BD 的法向量，所以n ＝(2,1，－2)与DQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－λ，－1＋2λ，－12共线，于是有1－λ2＝－1＋2λ1＝－12－2＝14成立，但此方程关于λ无解．故不存在DQ 与平面A 1BD 垂直，故选D.【答案】 D3.如图3-2-22，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为1的正方形，PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝1，若E ，F 分别为PB ，AD 中点，则直线EF 与平面PBC 的位置关系________．图3-2-22【解析】 以D 为原点，DA ，DC ，DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，12，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，∴EF→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，－12，平面PBC 的一个法向量n ＝(0,1,1)，∵EF→＝－12n ，∴EF →∥n ，∴EF ⊥平面PBC . 【答案】 垂直4．如图3-2-23，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，且AD ∥BC ，∠ABC ＝∠P AD ＝90°，侧面P AD ⊥底面ABCD .若P A ＝AB ＝BC ＝12AD .图3-2-23(1)求证：CD ⊥平面P AC ；(2)侧棱P A 上是否存在点E ，使得BE ∥平面PCD ？若存在，指出点E 的位置并证明，若不存在，请说明理由．【解】 因为∠P AD ＝90°，所以P A ⊥AD .又因为侧面P AD ⊥底面ABCD ，且侧面P AD ∩底面ABCD ＝AD ，所以P A ⊥底面ABCD .又因为∠BAD ＝90°，所以AB ，AD ，AP 两两垂直．分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设AD ＝2，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，P (0,0,1)． (1)AP→＝(0,0,1)，AC →＝(1,1,0)，CD →＝(－1,1,0)，可得AP →·CD →＝0，AC →·CD →＝0，所以AP ⊥CD ，AC ⊥CD . 又因为AP ∩AC ＝A ，所以CD ⊥平面P AC .(2)设侧棱P A 的中点是E ，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，12.设平面PCD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD →＝0，n ·PD →＝0，因为CD→＝(－1,1,0)，PD →＝(0,2，－1)，所以⎩⎨⎧－x ＋y ＝0，2y －z ＝0，取x ＝1，则y ＝1，z ＝2，所以平面PCD的一个法向量为n ＝(1,1,2)．所以n ·BE →＝(1,1,2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，12＝0，所以n ⊥BE →. 因为BE ⊄平面PCD ，所以BE ∥平面PCD . 综上所述，当E 为P A 的中点时，BE ∥平面PCD .。

平面的法向量与平面的向量表示
【学习目标】
．理解直线的方向向量与平面的法向量。

．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行关系。

．能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直关系。

【预习案】、平面的法向量：
已知平面，如果与垂直，则向量叫做平面的法向量或者说向量与平面.记作.
、正摄影：
已知平面和一点，过点作的与相交于点，则就是点在平面内的正摄影。

、斜线在平面内的摄影：如果一条直线和平面，但，那么直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做，斜线上的一点与斜足之间的线段叫做。

、三垂线定理：如果与垂直，则它也和这条斜线垂直。

、三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和垂直，则它也和垂直。

【预习检测】．直三棱柱－中，∠＝°，∠＝°，＝，，是的中点，则(是，不是)平面的一个法向量．
．下列命题中正确的是( )
．若是平面的一个法向量，则和平面内任意一条直线的方向向量垂直
．若和平面内两条直线的方向向量垂直，则是平面的法向量
．若既是平面的法向量，又是平面的法向量，则∥
．若∥，则它们所有共同的法向量在一条直线上
【课中案】
求平面法向量的方法（规律方法）
例如图所示，已知点，求平面的一个法向量。

变式练习：
.已知平面经过三点（，，），（，，）（，，），试求平面的一个法向量. .已知（，，），（，，）求平面的单位法向量
例.利用法向量证明平行问题。

20XX—20XX学年度第二学期高二教案主备人：使用人：时间：20XX年XX月XX 日．如图3-2-21，在三棱柱图3-2-21A．当点Q为线段B1P 的中点时，DQ⊥平面A BD1.已知O(0,0,0),M(5,-1,2),A(4,2,-1),A.(-1,3,-3)B.(9,1,1)C.(1,-3,3)D.(-9,-1,-1)2.设l1的方向向量为a=(1,3,7),l2的方向向量为b=(3,x,3y),若l1∥l2,则x,y的值分别是()A.9,21B.9,7C.3,21D. 3,73.已知直线l1的方向向量a=(2,4,x),直线l2的方向向量b=(2,y,2),若|a|=6,且a⊥b,则x+y的值是()A.-3或1B.3或-1C.-3D.14.已知直线l的方向向量为v=(1,0,2),平面α的法向量为u=(-4, 5,2),则l与α的关系是()A.l⊥αB.l∥αC.l⊂αD.l∥α或l⊂α★5.已知平面α过点A(1,-1,2),其法向量n=(2,-1,2),则下列点在α内的是() A.(2,3,3) B.(3,-3,4)C.(-1,1,0)D.(-2,0,1)6.已知A,B,P三点共线,对空间任一点O7.已知直线l的方向向量v=(2,-1,3),且过A(0,y,3)和B(-1,2,z)两点,则y=,z=.8.Rt△ABC的斜边BC在平面α内,顶点A在平面α外,则△ABC的两条直角边在平面α内的射影与斜边所成的图形可能是.9.已知在正方体ABCD-A'B'C'D'中,点M,N分别是棱BB'与对角线A'C的中点,求证:MN⊥BB',MN⊥A'C.★10.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AB和BC的中点,试在棱B1B上找一点M,使得D1M⊥平面EFB1.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

3.2.2平面的法向量与平面的向量表示教学设计研究空间几何问题时，为便于学生更加直观性地理解并掌握相关知识点，时常要借助图形，既数形结合。

本节为更好的导出法向量这一概念及相关应用，我把相关问题放在一空间长方体内来研究。

探究点一平面的法向量及平面的向量表示问题1请同学们回顾必修2所学线面垂直相关知识:线面垂直的定义，性质等。

（接下来，在直线上去有向线段记为其方向向量，引出法向量的定义。

）1．平面的法向量已知平面α，如果________________________________，则向量n叫做平面α的法向量或说向量n与平面α正交．问题2 平面的法向量有何作用？是否唯一?又具有哪些性质？由此我们引入有关法向量的两个性质。

问题3 回顾必修2所学，如何判定线面垂直？（由线面垂直导入向量与平面垂直，经过层层推导得到平面的向量表示）2．平面的向量表示设A是空间任一点，n为空间内任一非零向量，适合条件_____________的点M的集合构成的图形是过空间内一点A并且与n垂直的平面．这个式子称为一个平面的向量表示式．（注意：在学习的过程中要学会将复杂的文字描述转化为易理解的数学符号语言。

）巩固练习：完成以下微体验：1．若直线l的方向向量a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则()A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α斜交2．已知直线l的方向向量是a＝(3,2,1)，平面α的法向量是u＝(－1,2，－1)，则l与α的位置关系是()A．l⊥αB．l∥α C．l与α相交但不垂直D．l∥α或l⊂α(以上问题为学生口答并说明理由，教师给予点评与评价。

)问题4怎样求一个平面的法向量？接下来通过一个例题来说明例1 已知正方体AC1的棱长为1，求平面CB1D1的一个法向量．跟踪1已知平面α经过三点A1 (1,0,1)，B(1,1，0)，D(0，0，0)，试求平面α的一个法向量．（注意：教师在黑板上板书例一，接着由学生板书跟踪1，之后教师给予点评等。

一、教学目标1.理解平面上的法向量与向量的概念以及它们在几何问题中的意义；2.掌握计算平面的法向量及向量表示的方法；3.了解平面的相关性质，并能够通过计算法向量和向量表示解决相关问题；4.培养学生的抽象思维能力和解决问题的能力。

二、教学内容本课时主要包括以下内容：1.平面的法向量的概念和计算方法；2.平面的向量表示的概念和计算方法；3.平面的相关性质。

三、教学重点和难点本课时的教学重点是平面的法向量和向量表示的计算方法，教学难点是如何运用法向量和向量表示解决相关问题。

四、教学方法本课时采用讲授、示范和练习相结合的教学方法，通过多个例题和练习来帮助学生加深对知识的理解和掌握，同时也能培养学生的解决问题的能力。

五、教学过程1. 引入（10分钟）通过几个简单的问题引导学生思考：•给出一条直线和一个点，请问如何求出这个点到直线的距离？•给出一个平面的方程，请问如何求出这个平面的法向量？引导学生发现问题的本质是在求一个向量的垂直分量（即法向量），然后介绍本课时的主题。

2. 讲授和练习（35分钟）2.1 平面的法向量•定义法向量并介绍求法向量的方法；•做几个实际问题的例题。

2.2 平面的向量表示•定义向量表示并介绍求向量表示的方法；•做几个实际问题的例题。

2.3 平面相关性质•讲解平行和垂直的定义及相关性质。

•做几个实际问题的例题。

3. 总结（5分钟）概括本节课的重点和难点，以及反馈学生的情况。

为下一节课的教学做好铺垫。

六、教学评估考试方式：闭卷考试。

考试内容：1.平面的法向量的计算；2.平面的向量表示的计算；3.平面的相关性质。

考试标准：1.答案正确；2.运算符正确；3.计算过程清晰明了。

七、反思与改进教师应该要注重与学生互动，发散思维，探究问题本质，使得平面向量这些枯燥的数学知识变得鲜活有趣，启发学生爱上数学的同时，培养学生的抽象思维能力和解决问题的能力。

同时，本节课更应加强对学生的激励，使学生对学习产生浓厚的兴趣，从而更好地理解和掌握知识，提高学生的学习能力。

（二）自学检测1.正方体AC 1的棱长为1，求平面AD 1B 1的一个法向量。

2.已知.:,,PC AB AB D BC AC ABC PO ⊥=⊥的中点，求证为平面3.已知四棱锥ABCD P -的底面ABCD 是平行四边形，且PB BC AC PA ⊥⊥，如果底面, 求证：ABCD 是矩形。

4.已知四面体ABCD 的棱.,,BC AD BD AC CD AB ⊥⊥⊥求证：（三）合作探究探究一、已知点A （3，0，0），B （0，4，0），C （0，0，5），，如图所示，求平面ABC 的一个单位法向量。

练习、在空间直角坐标系内，设平面α经过点),,(000z y x P ，平面α的法向量为),,(C B A e =，),,(z y x M 为平面α内任意一点，求z y x ,,满足的关系式。

探究二、 已知：PA ⊥矩形ABCD ，M 、N 分别为AB 、PC 中点。

（1）求证：MN//平面PAD ；（2）求证：MN ⊥CD ；（3）若∠PDA ＝45°，求证MN ⊥平面PCD 。

（四）课堂检测：1、已知A （1，0，3），B （1，2，1），B （0，2，1），则平面ABC 的一个单位法向量为_________。

2、“直线l 垂直于a 内的无数条直线”是“l ⊥a ”的_________。

3、已知点A （1，1，1），平面α⊥，且点A 在平面α内，则点M （x ，y ，z ）在平面α内的条件为_________。

4、已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，如果(2,1,4)AB =-，(4,2,0)AD =，(1,2,1)AP =--（1）求证：AP 是平面ABCD 的法向量； （2）求平行四边形ABCD 的面积．5、棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，在棱DD 1上是否存在点P 使B 1D ⊥面PAC ？课堂小结本节课学了哪些重要内容？试着写下吧反思一下本节课，你收获到了什么啊本节课的数学思想有什么？。

人教版高中选修(B版)2-13.2.2 平面的法向量与平面的向量表示教学设计教学背景在高中数学的平面向量部分，平面的法向量与平面的向量表示是一个重要而基础的概念。

通过本节课的教学，让学生了解平面的法向量的概念及其应用，并提高学生对向量的理解与运用能力。

教学目标1.了解平面的法向量的概念，掌握求平面的法向量的方法；2.理解平面的向量表示的概念；3.学会用向量表示平面的方程；4.能够应用所学知识解决实际问题。

教学内容本节课的主要内容为平面的法向量与平面的向量表示。

具体包括以下内容：1.平面的法向量的概念；2.求平面的法向量的方法；3.平面的向量表示的概念；4.用向量表示平面的方程；5.应用题解析。

教学步骤第一步：导入教师进入教室后，先简单介绍一下本节课的内容，让学生有一个大致的了解。

第二步：概念解释1.平面的法向量：二维空间中，对于给定平面，其法向量是正好垂直于该平面的向量。

让学生理解这个概念。

2.求平面的法向量的方法：通过两个不共线的向量叉乘得到对应平面的法向量。

让学生通过实例演示理解这个方法。

3.平面的向量表示：一个平面上的所有向量可以用一个唯一的向量表示。

让学生了解这个概念并且和平面的法向量做出比较。

第三步：公式讲解1.向量叉乘：介绍向量叉乘的定义和求法，包括其运算规则和性质。

2.用向量叉乘求平面的法向量：演示如何通过两个不共线向量叉乘求平面法向量，并和学生一起进行练习。

第四步：例题演练1.给出一个平面方程，让学生用向量表示法表示该平面；2.给出一个由点构成的平面，让学生求出该平面的法向量。

第五步：拓展为了更好地让学生掌握本节课内容，教师提供一些拓展阅读材料，让学生自主阅读。

第六步：总结在课堂结束前，教师对本节课进行总结，强调重点和难点，提出本节课的思考题。

教学反思本节课的教学效果较为良好，学生对平面的法向量与平面的向量表示的概念有了更全面的了解，同时也会运用到实际的问题中。

在实际教学中，我们可以适当增加一些例题练习，提高学生的实际运用能力。

高中数学人教B版选修2－1第三章《3.2.2平面的法向量与平面的向量表示》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课
教案公开课教案
【省级名师教案】
1教学目标
1.知识与技能:理解平面法向量的概念,并会求平面的法向量，了解平面法向量的应用,并能用法向量论证相关的立体几何问题
2.过程与方法:通过线线垂直和线面垂直判定以及直线方向向量的引入得到平面法向量的概念,通过实例,掌握如何求平面的法向量。

通过图象可知,平面的法向量可以代表平面判断位置关系,利用两个平面的法向量判断平面的平行和垂直。

3.情感态度与价值观:经历概念的形成过程,解题的思维过程,体验数形结合的指导作用,体会向量处理几何问题的工具作用。

认识向量的科学价值、应用价值和文化价值,提高学习数学的兴趣,树立学好数学的信心。

2学情分析
学生在高一必修2中已经学习过线线、线面、面面的垂直关系判定。

时隔一年,在空间向量中再次提出,大部分学生对基础知识把握不是很牢固。

该班级学生数学基础比较偏弱,对知识的思考、灵活运用能力较差,但是有较强的上进心。

所以在教学中,偏重基础知识的掌握,补足他们的基础层次,通过向量的学习,减弱几何的逻辑性,减少学生处理几何问题的阻力,增强学生学习数学的兴趣和动力
3重点难点
1.重点:平面法向量概念及平面的法向量求法
2.难点:平面法向量的理解及灵活运用,用法向量论证平面的位置关系。

4教学过程
4.1第一学时
教学活动。

3.2.2 平面法向量与平面的向量表示一、学习目标1.理解平面法向量的概念，会求平面法向量.2.掌握平面法向量的简单应用.3.掌握三垂线定理及其逆定理，并会应用.二、知识梳理1.已知平面α，如果一个向量n 的基线与平面α ，则向量n 叫做平面α的法向量或者说向量n 与平面α正交.2.设A 是空间任一点，n 为空间任一非零向量，则适合条件·AM n =0的点M 构成的图形是过空间一点并且与一个向量垂直的 ， 称作一个平面的向量表示式。

3.设21n ，n ，分别是平面βα,的法向量。

平面α∥平面β或α与β重合⇔1n 2n平面α⊥平面β⇔ ⇔4.如果在 内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的垂直，则它也和这条 垂直，反之，如果和这个平面的一条 垂直，那么它也和这条斜线的 垂直。

三、重点难点1.重点：平面法向量的概念及应用，正射影的概念，三垂线定理及逆定理2.难点：平面法向量的理解及灵活应用，三垂线定理的证明思路应用四、典型例题例1.已知A(a,o,o)B(o,b,o)C(o,o,c)，求平面ABC 的一个法向量.例2.正方体1AC 棱长为1，求平面1ACB 的一个法向量.五．课堂练习1. 已知直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，且v ·u =0，则l 与α的关系是（ ）A ．l ⊥αB ．l ∥αC ．l ⊂αD ．l ∥α或l ⊂α2. 已知平面α过点A （1，-1，2）法向量有n =（2，-1，2）则下列点在α内的是（ ）A ．（2，3，3）B ．（3，-3，4）C ．（-1，1，0）D ．（-2，0，1）3. 在三棱锥P-ABC 中，PA ⊥BC ，PB ⊥AC ，点G 点P 在平面ABC 上的射影，则G 是△ABC 的（ ）A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心4. 已知平面α和β的法向量分别为1u =（-1，3，4）和2u =（x ，1，-2），若α⊥β，则x= .5．已知A （1，0，0），B （0，1，0），C （0，0，1），则平面ABC 的单位法向量坐标为 。