【数学】吉林省吉林市普通中学2020届高三第三次调研测试(文)

【关键字】调研吉林省吉林市普通高中2017届高三数学下学期第三次调研测试试题文第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设全集，集合.则A．B．C． D．2．若复数，其中为虚数单位，则复数的虚部是A．B．C． D．3．“直线与圆相交”是“”的A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件4．函数满足的值为A. B. C. 或 D. 或5．已知，向量与的夹角为，则A．B．C． 1 D． 26．已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则A．B．C．D．7．已知函数的最大值为，最小值为．两个对称轴间最短距离为，直线是其图象的一条对称轴，则符合条件的解析式为A． B．C．D．8．阅读右侧程序框图，运行相应程序，则输出的值为A．3B．4C．5D．69．在中，分别是角的对边，若，则的面积为A．B．C． 1 D．10．若正实数满足，则的最小值为 A ． 3B ． 4C ．D ．11．如图，网格上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体 的体积为 A ． B ． C ．D ．12．函数的定义域为，对给定的正数，若存在闭区间，使得函数 满足：①在内是单调函数；②在上的值域为， 则称区间为的级“理想区间”．下列结论错误的是 A ．函数（）存在级“理想区间” B ．函数不存在级“理想区间” C ．函数存在级“理想区间” D ．函数不存在级“理想区间”第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分。

13．设满足不等式组，则的最小值为 . 14．设，则 .15．《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数 列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现。

书中有这样一个问题，大意为：某女 子善于织布，后一天比前一天织得快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布 尺，半个月（按15天计算）总共织布81尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的 答案为 .16．函数()y f x =图像上不同两点1122(,),(,)M x y N x y 处的切线的斜率分别是,M N k k ， 规定||(,)||M N k k M N MN ϕ-=(||MN 为线段MN 的长度)叫做曲线()y f x =在点M与点N 之间的“弯曲度”.设曲线3()2f x x =+上不同两点1122(,),(,)M x y N x y ，且121x x =，则(,)M N ϕ的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题,共70分。

2020年吉林省示范高中高考数学三模试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若集合A ={x|x =5−2n,n ∈N}，B ={x|x >1}，则A ∩B =( )A. ⌀B. {3}C. {3,5}D. {1,3，5} 2. 复数z 1=3+i ，z 2=−1−i ，则z 1−z 2等于( )A. 2B. 2+2iC. 4+2iD. 4−2i3. 若双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的实轴长为4，离心率为√3，则其虚轴长为( )A. 8√2B. 4√2C. 2√2D. 4√634. 已知函数f(x)={log 2x −1(x >0)f(2−x)(x ≤0)，则f(0)=( )A. −1B. 0C. 1D. 35. 由变量x 与y 相对应的一组数据(3,y 1)，(5,y 2)，(7,y 3)，(12,y 4)，(13,y 5)得到的线性回归方程为y ̂=12x +20，则∑y i 5i=1=( ) A. 25B. 125C. 120D. 24 6. 4名同学甲、乙、丙、丁按任意次序站成一排，甲或乙站在边上的概率为( )A. 12B. 56C. 23D. 167. 已知函数f(x)=2 1+x 2−11+x 2，则使得f(2x)>f(x −3)成立的x 的取值范围是( )A. (−∞,−3)B. (1,+∞)C. (−3,−1)D. (−∞,−3)∪(1,+∞)8. 函数f(x)=x −√2sinx 在区间[0,π]上的最大、最小值分别为( )A. π，0B. π2−√2 ,0C. π ,π4−1D. 0 , π4−19. 阅读如图所示的程序框图，则输出的S =( )A. 3B. 15C. 21D. 3510. 在ΔABC 中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若sinA:sinB =2:3，则a:b =( )A. 3:2B. 4:9C. 9:4D. 2:311. 已知F 1，F 2是椭圆x 216+y 212=1的左、右焦点，直线l 过点F 2与椭圆交于A 、B 两点，且|AB|=7，则△ABF 1的周长为( )A. 10B. 12C. 16D. 312. 如图，平面四边形ABCD 中，E ，F 是AD ，BD 中点，AB =AD =CD =2，BD =2√2，∠BDC =90°，将△ABD 沿对角线BD 折起至△A′BD ，使平面A′BD ⊥平面BCD ，则四面体A′BCD 中，下列结论不正确的是( )A. EF//平面A′BCB. 异面直线CD 与A′B 所成的角为90°C. 异面直线EF 与A′C 所成的角为60°D. 直线A′C 与平面BCD 所成的角为30°二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−4)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,−3)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5−m,−(3+m))，若A 、B 、C 三点共线，则实数m 的值为______ ．14. 若α=20∘，β=25∘，则(1+tanα)(1+tanβ)=________．15. 《九章算术》卷五——商功中提出如下问题：“今有委菽依垣，下周三丈，高七尺，问积几何⋅”意思是：“今靠墙壁堆放大豆，大豆下周长为3丈，高7尺，问这堆大豆的体积为多少⋅”己知大豆靠墙时堆放的形状可大致认为是半圆锥形，则基于上述事实，可以求得这堆大豆的体积为______________立方尺．注：1丈=10尺，取π=316. 已知函数f(x)=x(e x −1e x )，则使f(x)>f(2x −1)成立的x 的取值范围为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 某市某年一个月中30天对空气质量指数的监测数据如下：61 76 70 56 81 91 55 91 75 81 88 67 101 103 57 91 77 86 81 83 82 82 64 79 86 85 75 71 49 45 (Ⅰ)完成下面的频率分布表；(Ⅱ)完成下面的频率分布直方图，并写出频率分布直方图中a 的值；(Ⅲ)在本月空气质量指数大于等于91的这些天中随机选取两天，求这两天中至少有一天空气质量指数在区间[101,111)内的概率．分组频数频率[41,51)22 30[51,61)33 30[61,71)44 30[71,81)66 30[81,91) [91,101)[101,111)22 3018.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=3，S6=21．(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n=a n+2n，求数列{b n}的前n项和T n．19.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，M为线段CC1上的一点，且AC=1，BC=CC1=2．(Ⅰ)求证：AC⊥B1M；(Ⅱ)若N为AB的中点，若CN//平面AB1M，求三棱锥M−ACB1的体积．20.已知抛物线C:x2=2y，过点(−2,4)且斜率为k的直线l与抛物线C相交于M，N两点．(1)若k=2，求|MN|的值;(2)记直线l1:x−y=0与直线l2:x+y−4=0的交点为A，求K AM·K AN的值．21.已知函数f(x)=xe x+x2+ax+b，曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为4x−2y−3=0．(1)求a,b的值；(2)证明：f(x)>lnx．22.已知圆C：ρ=2cosθ，直线l：ρcosθ−ρsinθ=4，求过点C且与直线l垂直的直线的极坐标方程．23.已知函数f(x)=|x−a|+|x−1|−3(a≠0)的一个零点为2．(Ⅰ)求不等式f(x)≤2的解集；(Ⅱ)若直线y=kx−2与函数f(x)的图象有公共点，求k的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】本题考查交集的求法，是基础题．分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|x=5−2n,n∈N}，={5,3，1，−1，−3……}，B={x|x>1}，∴A∩B={3,5}．故选：C．2.答案：C解析：【分析】本题考查复数的减法运算，属于基础题．【解答】解：因为复数z1=3+i，z2=−1−i，则z1−z2=4+2i．故选C．3.答案：B解析：【分析】根据题意，由双曲线的实轴长可得a的值，进而由离心率公式可得c的值，计算可得b的值，由双曲线的虚轴长为2b，即可得答案．本题考查双曲线的几何性质，注意双曲线的实轴长为2a．【解答】解：根据题意，若双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的实轴长为4，即2a=4，则a=2，又由双曲线的离心率e=√3，则有e =ca =√3，则c =√3a =2√3， 则b =√c 2−a 2=2√2， 则该双曲线的虚轴长2b =4√2； 故选：B ．4.答案：B解析： 【分析】本题考查分段函数求值，为基础题． 将自变量代入相应解析式求值，可得结果． 【解答】解：f (0)=f (2−0)=f (2)=log 22−1=0． 故选B ．5.答案：C解析： 【分析】利用已知求得x ，将样本中心点(x,y)代入线性回归方程y ̂=12x +20求得y ，再由y =15∑y i 5i=1即可求得∑y i 5i=1的值．本题考查线性回归方程的应用，考查线性回归方程必过样本中心点(x,y)，考查计算能力，属于基础题． 【解答】 解：由x =3+5+7+12+135=8，∵线性回归方程必过样本中心点(x,y)， ∴y =12x +20，解得y =24，即y =15∑y i 5i=1=24， ∴∑y i 5i=1=120， 故选C ．6.答案：B解析：解：甲、乙、丙、丁四人并排站成一排一共有A 44=24种甲和乙站在中间的情况有A 22⋅A 22=4种∴甲或乙站在边上的情况有20种甲或乙站在边上的概率为2024=56，故选：B．先求出甲、乙、丙、丁四人并排站成一排的事件种数，然后求出甲和乙站在中间的情况，从而求出甲或乙站在边上的情况，最后利用古典概型的概率公式进行求解即可．本题求的是概率实际上本题考查的是排列问题，把排列问题包含在实际问题中，解题的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题，解出结果以后再还原为实际问题．7.答案：D解析：解：函数f(x)=2 1+x2−11+x，有f(−x)=f(x)，f(x)为偶函数，当x>0时，可得y=2 1+x2递增，y=−11+x2递增．则f(x)在(0,+∞)递增，且有f(|x|)=f(x)，则f(2x)>f(x−3)即为f(|2x|)>f(|x−3|)，即|2x|>|x−3|，则|2x|2>|x−3|2，即为(x+3)(3x−3)>0，解得x>1或x<−3．故选：D．判断函数f(x)为偶函数，讨论x>0时，f(x)为增函数，再由偶函数的性质：f(|x|)=f(x)，以及单调性，可得|2x|>|x−3|，解不等式即可得到所求解集．本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：解不等式，注意运用复合函数的单调性和偶函数的性质，考查运算能力，属于中档题．8.答案：C解析：解：函数f(x)=x−√2sinx，∴f′(x)=1−√2cosx；令f′(x)=0，解得cosx=√22，又x∈[0,π]，∴x=π4；∴x∈[0,π4)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；x∈(π4,π]时，f′(x)>0，f(x)单调递增；∴f(x)min=f(π4)=π4−√2sinπ4=π4−1，f(0)=0，f(π)=π；∴函数f(x)在区间[0,π]上的最大、最小值分别为π和π4−1．故选C．对函数f(x)求导数，利用导数判断f(x)的单调性，并求f(x)在区间[0,π]上的最大、最小值．本题考查了利用导数求函数在闭区间上的最值问题，是中档题．9.答案：A解析：解：第一次循环得到的结果为T=1，S=1，i=2，不满足i≥3，执行“否”；第二次循环得到的结果为T=3，S=3，i=3，满足i≥3，执行“是”，输出S=3．故选：A．模拟程序框图的运行过程，判断循环的结果是否满足判断框中的条件，直到满足判断框中的条件执行输出结果即可．本题考查了循环结构，解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环得到结果，从中找规律．10.答案：D解析：【分析】本题考查正弦定理，属于基础题目．直接利用正弦定理得出即可．【解答】解：∵sinA:sinB=2:3，∴由正弦定理可得a:b=sinA:sinB=2:3．故选D．11.答案：C解析：【分析】本题考查椭圆的定义．椭圆的简单性质的应用，考查计算能力，属于基础题．利用椭圆的定义可得：|AF1|+|AF2|=2a，|BF1|+|BF2|=2a，并且|AF2|+|BF2|=|AB|，进而得到答案．【解答】解：椭圆x216+y212=1，可得a=4，根据题意结合椭圆的定义可得：|AF1|+|AF2|=2a=8，并且|BF1|+|BF2|=2a=8，又因为|AF2|+|BF2|=|AB|，所以△ABF1的周长为：|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=16．故选：C．12.答案：C解析：【分析】本题考查异面直线所成角的求法，线面角的求法和线面平行的判断，考查转化思想和运算能力，属于中档题．运用线面平行的判定定理可判断A；由面面垂直的性质定理，结合异面直线所成角可判断B；由异面直线所成角和勾股定理的逆定理可判断C；由线面角的求法，可判断D．【解答】解：A：因为E，F分别为A′D和BD两边中点，所以EF//A′B，即EF//平面A′BC，EF⊄平面A′BC，A正确；B：因为平面A′BD⊥平面BCD，交线为BD，且CD⊥BD，所以CD⊥平面A′BD，A′B⊂平面A′BD，即CD⊥A′B，故B正确；C：取CD边中点M，连接EM，FM，则EM//A′C，所以∠FEM为异面直线EF与A′C所成角，又EF=1，EM=12A′C=√2，FM=12BC=√3，即∠FEM=90°，故C错误；D：连接A′F，可得A′F⊥BD，由面面垂直的性质定理可得A′F⊥平面BCD，连接CF，可得∠A′CF为A′C与平面BCD所成角，由sin∠A′CF=A′FA′C =√22√2=12，则直线A′C与平面BCD所成的角为30°，故D正确．故选：C．13.答案：12解析：m =12；解：∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−4)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,−3)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5−m,−(3+m))，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1)，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−m,1−m)， ∵A 、B 、C 三点共线，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //AC⃗⃗⃗⃗⃗ ∴3(1−m)=2−m解得m =12故答案为：12．利用三点共线，通过坐标运算求出m 的值．本题考查三点共线，向量的坐标运算，考查计算能力． 14.答案：2解析：【分析】本题主要考查两角和的正切公式，属于容易题．根据两角和的正切公式即可求解．【解答】解：因为α=20°，β=25°，所以tan (α+β)=tan45°=1，所以(1+tanα)(1+tanβ)=1+tanα+tanβ+tanαtanβ=1+tan (α+β)(1−tanαtanβ)+tanαtanβ=1+1−tanαtanβ+tanαtanβ=2．故答案为2．15.答案：350解析：【分析】本题考查圆锥的体积，属于基础题．熟练掌握圆锥的体积公式是解题的关键．【解答】解：由下周长(半圆周长)为30尺，得πR =30，R =30π，∴所求体积立方尺．故答案为350．16.答案：(13,1)解析：解：根据题意，f(x)=x(e x−1e x)，则f(−x)=(−x)(e−x−e x)=x(e x−e−x)=f(x)，为偶函数；又由f′(x)=(e x−e−x)+x(e x+e−x)，当x≥0时，f′(x)>0，则函数f(x)在[0,+∞)上为增函数，则f(x)>f(2x−1)⇔f(|x|)>f(|2x−1|)⇒|x|>|2x−1|，即x2>4x2−4x+1，解可得：13<x<1，即x的取值范围为(13,1)；故答案为：(13,1)根据题意，分析可得函数f(x)为偶函数与，利用导数与函数单调性的关系，分析可得函数f(x)在[0,+∞)上为增函数，进而可以将f(x)>f(2x−1)转化为|x|>|2x−1|，即x2>4x2−4x+1，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用，涉及函数的导数与单调性的判断方法，属于综合题．17.答案：解：(Ⅰ)如下图所示．…(4分)(Ⅱ)如下图所示．…(6分)由己知，空气质量指数在区间[71,81)的频率为630，所以a=0.02.…(8分)分组频数频率………[81,91)1010 30[91,101)33 30………(Ⅲ)设A表示事件“在本月空气质量指数大于等于91的这些天中随机选取两天，这两天中至少有一天空气质量指数在区间[101,111)内”，由己知，质量指数在区间[91,101)内的有3天，记这三天分别为a ，b ，c ，质量指数在区间[101,111)内的有2天，记这两天分别为d ，e ，则选取的所有可能结果为：(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,e)，(b,c)，(b,d)，(b,e)，(c,d)，(c,e)，(d,e)．基本事件数为10.…(10分)事件“至少有一天空气质量指数在区间[101,111)内”的可能结果为：(a,d)，(a,e)，(b,d)，(b,e)，(c,d)，(c,e)，(d,e)．基本事件数为7，…(12分)所以P(A)=710.…(13分)解析：(I)先将数据从小到大排序，然后进行分组，找出频数，求出频率，立出表格即可． (II)先建立直角坐标系，按频率分布表求出频率/组距，得到纵坐标，画出直方图即可；利用空气质量指数在区间[71,81)的频率，即可求出a 值．(III)样本中空气质量质量指数在区间[91,101)内的有3天，记这三天分别为a ，b ，c ，质量指数在区间[101,111)内的有2天，记这两天分别为d ，e ，列举出基本事件及符合条件的事件，根据概率公式求出相应的概率即可．本题考查频数，频率及频率分布直方图，考查运用统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和运用意识．在频率分布表中，频数的和等于样本容量，频率的和等于1，每一小组的频率等于这一组的频数除以样本容量．频率分布直方图中，小矩形的高等于每一组的频率/组距，它们与频数成正比，小矩形的面积等于这一组的频率等等．18.答案：解：(1)设公差为d ，由已知可得：{a 1+2d =36a 1+6×52d =21，解得a 1=1，d =1． ∴a n =1+(n −1)=n ．(2)b n =a n +2n =n +2n ．∴数列{b n }的前n 项和T n =(1+2+⋯+n)+(2+22+⋯+2n )=n(n +1)2+2(2n −1)2−1=n 2+n 2+2n+1−2．解析：(1)设公差为d ，由已知可得：{a 1+2d =36a 1+6×52d =21，解得a 1，d.即可得出． (2)b n =a n +2n =n +2n .利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.答案：(Ⅰ)证明：在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∵AC⊥CC1，AC⊥BC，CC1∩BC=C．∴AC⊥平面BB1C1C，∵B1M⊂平面BB1C1C，∴AC⊥B1M；(Ⅱ)解：当M为CC1中点时，CN//平面AB1M.理由如下：∵CM=12CC1，CM//BB1，CM=12BB1，取AB1中点E，连接NE，ME，∵N、E分别为AB、AB1中点，∴NE//BB1，NE=12BB1，∴CM//NE，CM=NE，则四边形CMEN为平行四边形，∴CN//ME，又CN⊄平面AMB1，ME⊂平面AMB1，∴CN//平面AMB1，∵S△B1MC =12CM·BC=1，∴V M−ACB1=V A−CMB1=13S△B1MC·AC=13．解析：本题考查空间中直线与直线的位置关系，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．(Ⅰ)由直三棱柱ABC−A1B1C1，可得AC⊥CC1，AC⊥BC，则AC⊥平面BB1C1C，从而得到AC⊥B1M；(Ⅱ)证明当M为CC1中点时，CN//平面AB1M，然后利用等积法求三棱锥M−ACB1的体积．20.答案：解：(1)依题意，直线l：y=2x+8，联立抛物线C：x2=2y，可得x2−4x−16=0，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则x1+x2=4，x1x2=−16，故|MN|=√1+k2|x1−x2|=√1+k2⋅√(x1+x2)2−4x1x2=√1+4⋅√16+4×16=20；(2)联立{x −y =0x +y −4=0，解得x =y =2，故A (2,2)， 设直线l 的方程为：y −4=k(x +2)，联立抛物线C ：x 2=2y ，可得x 2−2kx −4k −8=0，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，可得x 1+x 2=2k ，x 1x 2=−4k −8，则k AM =y 1−2x 1−2=k(x 1+2)+2x 1−2，k AN =y 2−2x 2−2=k(x 2+2)+2x 2−2，k AM ⋅k AN =[k(x 1+2)+2][k(x 2+2)+2](x 1−2)(x 2−2)=k 2[x 1x 2+2(x 1+x 2)+4]+2k(x 1+x 2+4)+4x 1x 2−2(x 1+x 2)+4=k 2(−4k−8+4k+4)+2k(2k+4)+4−4k−8−4k+4=−1．解析：(1)求得直线l 的方程，联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，计算可得所求值：(2)求得交点A(2,2)，设直线l 的方程为：y −4=k(x +2)，联立抛物线C ：x 2=2y ，运用韦达定理和斜率公式，化简整理即可得到所求值．本题考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式、直线的斜率公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题．21.答案：(1)解：f ′(x)=(x +1)e x +2x +a 依题意有{f ′(0)=1+a =2f(0)=b =−32解得a =1,b =−32.(2)证明：由(Ⅰ)知，f(x)=xe x +x 2+x −32．设， 依题意只需证明ℎ(x)>32 .ℎ′(x)=(x +1)e x +2x +1−1x =(x +1)(e x +2−1x )(x >0) 设g(x)=e x +2−1x ，g ′(x)=e x +1x 2>0，所以g(x)在上单调递增． 又g(14)=e 14+2−4<0,g(13)=e 13+2−3>0，所以 使得g(x 0)=e x 0+2−1x 0=0， 当x ∈(0,x 0) 时g(x)<0，当时g(x)>0，所以当x ∈(0,x 0) 时ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减；当时ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增．，且e x 0+2−1x 0=0，所以， 设，φ′(x)=2x −1−1x =(2x+1)(x−1)x ,x ∈(14,13)， 当x ∈(14,13)时,φ′(x )<0 ，故φ(x)单调递减，所以所以ℎ(x)>32证毕．解析：本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值、证明不等式等，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．(1)求出导数f′(x)，根据题意有{f ′(0)=1+a =2f(0)=b =−32，解出即可； (2)证明：由(Ⅰ)知，f(x)=xe x +x 2+x −32.设，依题意只需证明ℎ(x)>32 . 利用导数求证ℎ(x)min >32即可． 22.答案：解：由题意可得圆C 的直角坐标方程是x 2+y 2−2x =0，化为标准方程可得(x −1)2+y 2=1，圆心C(1,0)，直线l 的直角坐标方程为x −y −4=0，∴过C 与l 垂直的直线方程为y −0=−(x −1)化简可得x +y −1=0．化为极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ−1=0，即ρcos(θ−π4)=√22．解析：本题考查曲线的极坐标方程，属基础题．由题意可得圆和直线的直角坐标方程，可得直线的直角坐标方程，化为极坐标方程即可． 23.答案：解：(Ⅰ)∵函数f(x)=|x −a|+|x −1|−3(a ≠0)的一个零点为2，∴f(2)=|2−a|+1−3=0，由a ≠0，得a =4，∴f(x)=|x −4|+|x −1|−3，由f(x)≤2，得{x ≤12−2x ≤2或{1<x <40≤2或{x ≥42x −8≤2, 解得0≤x ≤5，故不等式f(x)≤2的解集为[0,5]．(Ⅱ)f(x)=|x−4|+|x−1|−3={2−2x,x≤1 0,1<x<4 2x−8,x≥4,作出函数f(x)的图象，如图所示，直线y=kx−2过定点C(0,−2)，当此直线经过点B(4,0)时，k=12；当此直线与直线AD平行时，k=−2．故由图可知，k∈(−∞,−2)∪[12,+∞)．解析：本题考查了解绝对值不等式问题，考查数形结合思想，转化思想，是一道中档题．(Ⅰ)先得出a的值，通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；(Ⅱ)求出f(x)的分段函数的性质，结合函数的图象求出k的范围即可．。

2020届吉林市高三第三调文科数学试题一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分。

1. 已知集合{-1,0,1,2}A,{|10}Bx x ，则A BI A. {2}B.{1,0} C.{0,1}D.{1,0,1}2. 已知复数z 满足i z11，则z =A. i1122B.i1122C.i1122D.i11223. 已知向量(,3),(3,3)ax br r，若a b rr，则xA. 3B.3C.1D.14. 双曲线x y C ab2222:1的一条渐近线方程为30x y，则双曲线的离心率为A. 3B. 2C.5D.35. 已知m n ,为两条不重合直线，,为两个不重合平面，下列条件中，的充分条件是A.m ∥n mn,, B.m ∥n mn,,C m n m ,∥n ,∥ D.mn m ,n,6. 等差数列n a {}的前n 项和为n S ，若534a a , 1560S ,则20a A. 4B.6 C.10D.127. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 103B.3C.83D.738. 已知函数()cos(2)(||)2f x x的一条对称轴为3x ，则函数()f x 的对称轴不可能为A.6xB.56xC. 43xD.6x9.已知数列n a {}为各项均为正数的等比数列，若a a a 76826，且a a 5936，则a a a 768111A.1318B.1318或1936C. 139D.13610. 已知b ab ca 0.2121()2,log 0.2,，则a b c ,,的大小关系是A.a b cB.c a bC. ac b D.b c a11. 赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约公元222年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，又称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的，如图（1）），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图（2）所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小正三角形组成的一个大正三角形，设AC C A ,若在大正三角形中随机取一点，则此点取自小正三角2221正视图俯视图侧视图形的概率为A.33B.13 C.77D.1712. 设点P 为椭圆22:12516xyC 上一点，1F 、2F 分别是椭圆C 的左、右焦点，且12PF F 的重心为点G ，如果12||:||2:3PF PF ，那么1GPF 的面积为A. 423B.22C.823D.32二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13. 若点P 在角56的终边上，且||2OP （点O 为坐标原点），则点P 的坐标为.14. 为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据1122334455(,),(,),(,),(,),(,),x y x y x y x y x y 根据收集到的数据可知60y ，由最小二乘法求得回归直线方程为0.648yx，则12345x x x x x .15. 已知两圆相交于两点(,3),(1,1)A a B ，若两圆圆心都在直线x y b 0上，则a b 的值是.16. 已知函数2ln ,1()13,122x xf x xx，若实数12,x x 满足12x x ，12()()4f x f x ,则12x x 的取值范围为. 三、解答题：共70分。

2020年吉林省长春市高考数学三模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B. C. D.2.已知向量，满足，，且，则A. B. C. 5 D. 43.已知复数z满足，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4.某中学从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩满分100分的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的众数是83，乙班学生成绩的平均数是86，则的值为A. 7B. 8C. 9D. 105.等比数列中，、是函数的两个零点，则等于A. B. 3 C. D. 46.函数的图象大致为A. B.C. D.7.设a，b是两条直线，，是两个平面，则的一个充分条件是A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，8.已知直线与函数，其中的相邻两交点间的距离为，则函数的单调递增区间为A. B.C. D.9.已知函数是定义在R上的奇函数，在上是增函数，且，则使得成立的x的取值范围是A. B.C. D.10.若函数有且只有一个零点，则a的取值范围是A. B. ，C. D.11.已知双曲线与椭圆有相同焦点，，离心率为若双曲线的左支上有一点M到右焦点的距离为12，N为线段的中点，O为坐标原点，则等于A. 4B. 3C. 2D.12.众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”整个图形是一个圆形．其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题：在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是当时，直线与白色部分有公共点；黑色阴影部分包括黑白交界处中一点，则的最大值为2；设点，点Q在此太极图上，使得，b的范围是．其中所有正确结论的序号是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知，，则______ ．14.已知长方形ABCD中，，，现将长方形ABCD沿着对角线BD折起，使平面平面BCD，则折后几何图形的外接球表面积为______．15.若，是函数的两个极值点，则______；______．16.已知数列的各项均为正数，其前n项和为，满足，设，为数列的前n项和，则______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.笔、墨、纸、砚是中国独有的文书工具，即“文房四宝”笔、墨、纸、砚之名，起源于南北朝时期，其中的“纸”指的是宣纸，宣纸“始于唐代，产于泾县”，而唐代泾县隶属于宣州府管辖，故因地而得名“宣纸”，宣纸按质量等级，可分为正牌和副牌优等品和合格品，某公司年产宣纸10000刀，公司按照某种质量标准值x给宣纸确定质量等级，如表所示：x，，质量等级正牌副牌废品公司在所生产的宣纸中随机抽取了一刀张进行检验，得到频率分布直方图如图所示，已知每张正牌纸的利润是10元，副牌纸的利润是5元，废品亏损10元．Ⅰ按正牌、副牌、废品进行分层抽样，从这一刀张纸中抽出一个容量为5的样本，再从这个样本中随机抽出两张，求其中无废品的概率；Ⅱ试估计该公司生产宣纸的年利润单位：万元．18.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．Ⅰ求tan B；Ⅱ若，的面积为6，求BC．19.四棱锥中，，，，，平面ABCD，E在棱PB上．Ⅰ求证：；Ⅱ若，求证：平面AEC．20.已知O为坐标原点，抛物线E的方程为，其焦点为F，过点的直线1与抛物线相交于P、Q两点且为以O为直角顶点的直角三角形．Ⅰ求E的方程；Ⅱ设点N为曲线E上的任意一点，证明：以FN为直径的圆与x轴相切．21.已知函数，，若曲线与曲线都过点且在点P处有相同的切线l．Ⅰ求切线l的方程；Ⅱ若关于x的不等式对任意恒成立，求实数k的取值范围．22.以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线1的参数方程为为参数．Ⅰ求曲线C的参数方程与直线l的普通方程；Ⅱ设点P为曲线C上的动点，点M和点N为直线l上的点，且满足为等边三角形，求边长的取值范围．23.已知函数，，．Ⅰ当时，有，求实数m的取值范围．Ⅱ若不等式的解集为，正数a，b满足，求的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：，，．故选：B．可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法、区间的定义，对数函数的单调性，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：C解析：解：根据题意，，，且，则有，解可得，即，则，故；故选：C．根据题意，由向量垂直与数量积的关系可得，解可得y的值，即可得的坐标，进而计算可得向量的坐标，由向量模的计算公式计算可得答案．本题考查向量数量积的坐标计算，涉及向量模的计算和向量垂直与数量积的关系，属于基础题．3.答案：B解析：解：由，得，则，复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限．故选：B．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算化简，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．4.答案：B解析：解：由茎叶图可知，茎为8时，甲班学生成绩对应数据只能是83，，85，因为甲班学生成绩众数是83，所以83出现的次数最多，可知．由茎叶图可知乙班学生的总分为，又乙班学生的平均分是86，总分又等于所以，解得，可得．故选：B．对甲组数据进行分析，得出x的值，利用平均数求出y的值，解答即可．本题主要考查统计中的众数与平均数的概念．解题时分别对甲组数据和乙组数据进行分析，分别得出x，y的值，进而得到的值．5.答案：B解析：解：、是函数的两个零点，、是方程的两个根，，由等比数列的性质可得：．故选：B．利用根与系数的关系求得，再由等比数列的性质得答案．本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．6.答案：B解析：解：函数的定义域为，，即函数为偶函数，其图象关于y轴对称，可排除CD；又，可排除A；故选：B．先判断函数的奇偶性，可排除选项CD，再由，可排除选项A，进而得出正确选项．本题考查利用函数性质确定函数图象，考查数形结合思想，属于基础题．7.答案：C解析：解：A、B、D的反例如图．故选：C．根据题意分别画出错误选项的反例图形即可．本题考查线面间的位置关系，同时考查充分条件的含义及空间想象能力．属于基础题．8.答案：B解析：解：与函数，其中的相邻两交点间的距离为，函数的周期，即，得，则，由，，得，，即函数的单调递增区间为，，故选：B．根据最值点之间的关系求出周期和，结合三角函数的单调性进行求解即可．本题主要考查三角函数单调性的应用，根据最值性求出函数的周期和，以及利用三角函数的单调性是解决本题的关键．难度不大．9.答案：D解析：解：函数是定义在R上的奇函数，在上是增函数，函数是在上是增函数，又，，由，得或，或．的取值范围是．故选：D．由奇函数的图象关于原点对称及在为增函数，可得函数是在上是增函数，结合，转化为不等式组求解．本题考查函数的单调性与奇偶性的应用，考查数学转化思想方法，是中档题．10.答案：B解析：解：当时，因为，所以有一个零点，所以要使函数有且只有一个零点，则当时，函数没有零点即可，当时，，，，所以或，即或，故选：B．当时，因为，所以有一个零点，所以要使函数有且只有一个零点，则当时，函数没有零点即可，即恒为负或恒为正，进而求出a的取值范围即可．本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系，是中档题．11.答案：B解析：解：如图，为线段的中点，，双曲线的离心率为，，椭圆与双曲线的焦点相同，，则，即，．故选：B．由题意画出图形，利用三角形的中位线定理可得，再由已知椭圆方程及双曲线的离心率求解a，则答案可求．本题考查椭圆与双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．12.答案：A解析：解：对于，将y轴右侧黑色阴影部分补到左侧，即可知黑色阴影区域占圆的面积的一半，根据几何概型的计算公式，所以在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是，正确；对于，直线，圆的方程为，联立可得，，，但是两根之和为负，两根之积为正，所以两根都为负，即说明直线与白色部分没有公共点，错误；对于，设l：，由线性规划知识可知，当直线l与圆相切时，z最大，由解得舍去，错误；对于，要使得，即需要过点P的切线所成角大于等于90度，所以，即，于是，解得．故选：A．根据“太极图”和各选项对应知识，即可判断真假．本题主要考查图象的应用，考查学生识图用图以及运用相关知识的能力，涉及几何概型的计算公式，直线与圆的位置关系，以及线性规划知识的应用，属于较难题．13.答案：解析：解：，，，，则，故答案为：由的值及的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出与的值，代入原式计算即可．此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．14.答案：解析：解：长方形ABCD中，，，可得，，作于E，可得，所以，，因为平面平面BCD，面ABD，平面平面，所以面BCD，由直角三角形BCD可得其外接圆的圆心为斜边BD的中点，且外接圆的半径，过作垂直于底面BCD，所以，所以，取三棱锥外接球的球心O，设外接球的半径为R，作于F，则四边形为矩形，，，则，在中，即；在中：，即；由可得，，即外接球的球心为，所以外接球的表面积，故答案为：．由长方形中，，可得BD，BC，及A到BD的距离AE，由面平面BCD 可得面BCD，求出底面外接圆的圆心及外接圆的半径，再由椭圆求出外接球的半径，进而求出外接球的表面积．本题考查三棱锥的棱长与外接球的半径之间的关系，及球的表面积公式，属于中档题．15.答案：2解析：解：函数，，，令得：，，是方程的两个根，，，，故答案为：2，．先求出导函数，由题意可得，是方程的两个根，利用韦达定理可得，，代入即可求出．本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及韦达定理的应用，是中档题．16.答案：880解析：解：，当时，，解得或舍去，当时，，，得：，整理得：，数列的各项均为正数，，即，数列是首项为2，公差为2的等差数列，，，，故答案为：880．利用公式可得数列是首项为2，公差为2的等差数列，所以，所以，进而，再利用并项求和法即可算出结果．本题主要考查了数列的递推式，以及并项求和法求数列的前n项和，是中档题．17.答案：解：Ⅰ按正牌、副牌、废品进行分层抽样，从这一刀张约中抽出一个容量为5的样本，设抽出的2张正牌为A，B，2张副牌为a，b，1张废品为t，从中任取两张，基本事件有：AB，Aa，Ab，At，Ba，Bb，Bt，ab，at，bt，共10种，其中无废品包含的基本事件有：AB，Aa，Ab，Ba，Bb，ab，共6种，其中无废品的概率．Ⅱ由频率分布直方图得：一刀张宣纸有正牌宣纸张，有副牌宣纸张，有废品张，该公司一刀宣纸的利润为元，估计该公司生产宣纸的年利润为：400万元．解析：Ⅰ按正牌、副牌、废品进行分层抽样，从这一刀张约中抽出一个容量为5的样本，设抽出的2张正牌为A，B，2张副牌为a，b，1张废品为t，从中任取两张，基利用列举法能求出其中无废品的概率．Ⅱ由频率分布直方图得一刀张宣纸有正牌宣纸40张，有副牌宣纸40张，有废品20张，由此能估计该公司生产宣纸的年利润．本题考查概率、利润的求法，考查考查频率分布直方图、古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.答案：解：，利用正弦定理可得：，又，化为：，．，，可得，．．，可得：．又，可得．，解得．解析：由，利用正弦定理可得：，又，化简即可得出．由，，可得，，由正弦定理：，可得：又，可得即可得出a．本题考查了正弦定理、和差公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.答案：证明：Ⅰ过A作于F，，，，四边形ABCF为正方形，则，，得，又底面ABCD，平面ABCD，，又PA，平面PAD，，平面PAD，又平面PAD，；Ⅱ设E到平面ABCD的距离为h，则，得．又，则PB：：：1．，，，连接DB交AC于O，连接OE，∽，：：1，得DB：：1，：：OB，则．又平面AEC，平面AEC，平面AEC．解析：Ⅰ过A作于F，推导出，，从而平面PAD，由此能求出；Ⅱ设E到平面ABCD的距离为h，由已知体积列式求得h，可得PB：：：1，连接DB交AC于O，连接OE，再由三角形相似证得DB：：1，可得PB：：OB，得到，再由直线与平面平行的判定可得平面AEC．本题考查直线与平面平行、垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．20.答案：解：Ⅰ由题意可得直线l的斜率存在，设直线l的方程为：，设，，联立直线l与抛物线的方程，整理可得：，所以，所以，因为是以O为直角顶点的直角三角形，所以，即，所以，解得，所以抛物线的方程为：；Ⅱ证明：由Ⅰ得，准线方程为：，设，则NF的中点M的纵坐标，即以NF为直径的圆的圆心M到x轴的距离为，而由抛物线的性质可得，即以NF为直径的圆的半径为，所以可得圆心M到x轴的距离恰好等于圆的半径，所以可证得以FN为直径的圆与x轴相切．解析：Ⅰ由题意设直线l的方程，与抛物线联立求出两根之积，由是以O为直角顶点的直角三角形，所以，可得p的值，进而求出抛物线的方程；Ⅱ由Ⅰ可得F的坐标和准线方程，设N的坐标，可得NF的中点M，即圆心的坐标，求出M 的纵坐标到x轴的距离，再求NF的半径，可得M的纵坐标恰好等于半径，可证得结论．本题考查直角三角形与向量的关系，及直线与抛物线的综合，属于中档题．21.答案：解：Ⅰ，，由已知可得，即，解得，，，切线的斜率，切线l的方程为，即，Ⅱ由Ⅰ可得，，设，即，对任意恒成立，从而，，当时，，在上单调递减，又，显然不恒成立，当时，，解得，，当时，即时，，单调递增，又，显然不恒成立，当时，即时，，单调递增，，即恒成立，当时，即时，当时，，单调递减，当时，，单调递增，，解得，，综上所述得．解析：Ⅰ根据导数的几何意义即可求出切线方程；Ⅱ构造函数，利用导数求出函数的最小值，使得最小值大于等于0，需要分类讨论．此题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程，函数恒成立问题，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和最值是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．22.答案：解：Ⅰ曲线C的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为，转换为参数方程为为参数，．直线1的参数方程为为参数转换为直角坐标方程为．Ⅱ设，，所以点P到直线l的距离，由于，所以，所以，故等边三角形的边长的取值范围：．解析：Ⅰ直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．Ⅱ利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．23.答案：解：由题意得：在上恒成立，恒成立，即又，即令，若，则解集为，不合题意；若，则有，即又解集为，，解得当且仅当，即时，等号成立，此时，时的最小值为7解析：利用绝对值三角不等式性质利用绝对值不等式解法求出m，带入得到a，b等式，转化为只含有a的式子后利用基本不等式可以求解．本题考查绝对值三角不等式，以及基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题。

吉林省实验中学2020届高三第三次模拟考试数学学科（文科）试卷第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．设集合A ={}2560x x x -+>，B ={}10x x -<，则A ∩B = （ ）A ．(-∞，1)B ．(-2，1)C ．(-3，-1)D ．(3，+∞) 2．己知i 为虚数单位，12zi i=-，则复数z 的模为 （ ）ABC ．3D ．5 3．为了得到函数的图像，只需把函数的图像 （ ）A ．向左平移个长度单位B ．向右平移个长度单位C ．向左平移个长度单位D ．向右平移个长度单位4．①“p ∧q ”为真是“p ∨q ”为真的充分不必要条件； ②“p ∧q ”为假是“p ∨q ”为假的充分不必要条件； ③“p ∨q ”为真是“¬p ”为假的必要不充分条件；④“¬p ”为真是“p ∧q ”为假的必要不充分条件．以上结论中，正确的是 （ ） A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．②④5．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是 （ ） A ．16 B ．14 C ．13 D ．126．已知向量， 若 ，则的最小值为（ ）A ．12B ．C ．15D ．sin(2)3y x π=-sin(2)6y x π=+4π4π2π2π7．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递减，则 （ ）A ． 233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ B ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．23332122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭8．函数2()ln 8x f x x =- 图象大致为 （ ）A. B.C. D.9．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线3y x =上， 则sin(2)3πθ+=（ ）A ．B ．C ． D10．从[]2,3-中任取一个实数a ，则a 的值使函数()sin f x x a x =+在R 上单调递增的概率为 （ ） A ．45B ．35C ．25D ．1511．已知点()2,0A ，抛物线2:4C x y =的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|F M|：|MN |= （ ） A ．B ．1:2C ．1:D ．1:312．已知曲线 ln x y ae x x =+在点 处的切线方程为 ，则 （ ） A ． B ．C ．D ．第Ⅱ卷二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．） 13．函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为___________．14．在中，内角的对边分别是，若1sin sin sin 2b B a A a C -=，且的面积为，则___________．15．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA AC =，SB BC =，三棱锥S ABC -的体积为9，则球O 的表面积为___________．16．将正整数排成如表，则在表中第45行第83个数是___________．12345678910111213141516⋯ABC ∆C B A ,,c b a ,,ABC ∆B a sin 2=B cos三、解答题：（本大题共6小题，其中17~21小题为必考题，每小题12分；第22~23为选考题，考生根据要求做答，每题10分） 17．已知函数()21cos sin cos 64f x x x x π⎛⎫=⋅+-+ ⎪⎝⎭，x ∈R . （1）求()f x 的最小正周期； （2）判断函数()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性.18．商场为提高服务质量，随机调查了100名男顾客和100名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11B BCC 是正方形，,M N 分别是11A B ，AC 的中点，AB ⊥平面BCM .（1）求证：平面11B BCC ⊥平面11A ABB ； （2）求证：1A N P 平面BCM ；（3）若三棱柱111ABC A B C -的体积为10，求三棱锥11C BB M -的体积.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，短轴长为4.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 过点（2,0）且与椭圆C 相交于不同的两点A 、B ，直线6x =与x 轴交于点D ,E 是直线6x =上异于D 的任意一点，当0AE DE ⋅=时，直线BE 是否恒过x 轴上的定点？若过，求出定点坐标，若不过，请说明理由.21．已知函数()ln 2,f x x ax a R =-∈. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若不等式2()f x x ax <-在1x >时恒成立，求a 的取值范围．选做题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，按所做的第一题计分．22．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为132x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρθ=．（1）写出直线l 的直角坐标方程和⊙C 的直角坐标方程；（2）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．23．已知函数|2|||)(-++=x a x x f ． （1）当3a =-时，求不等式()3f x …的解集；（2）若()|4|f x x -…的解集包含]2,1[，求a 的取值范围．吉林省实验中学2020届高三第三次模拟考试数学（文科）参考答案一．选择题： A B B B D D C CA C C D 二. 填空题： 13. -4 14 . 3415. 36π 16. 2019 三．解答题： 17. 解：（1）由题意，函数()211cos cos cos 24f x x x x x ⎫=⋅+-+⎪⎪⎝⎭211cos cos 24x x x =⋅-+()1121cos 244x x =-++112cos sin 24426x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， ∴()f x 的最小正周期22T ππ==. （2）由（1）得()1sin 226f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 因为,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，则2,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以22,633x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 当22,632x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦时，即,46x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，()f x 单调递减， 当2,623x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦时，即,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 单调递增. 18. 解： （1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为400.850=，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8．女顾客中对该商场服务满意的比率为300.650=，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6．（2）()22200804060202009.524 3.8411406010010021K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯．故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异. 19. 解：（1）∵AB ⊥平面BCM ，BC ⊂平面BCM ，∴AB BC ⊥，在正方形11B BCC 中，1BB BC ⊥， ∵1AB BB B ?，∴BC ⊥平面11A ABB .∵BC ⊂平面11B BCC ， ∴平面11B BCC ⊥平面11A ABB .（2）设BC 中点为Q ，连接,NQ MQ ， ∵,N Q 分别是,AC BC 的中点， ∴NQ AB P ，且12NQ AB =. 又点M 是11A B 的中点，∴11112A M AB =. ∵11//AB A B ，且11AB A B =， ∴1//NQ A M ，且1NQ A M =， ∴四边形1A MQN 是平行四边形， ∴1//A N MQ .∵MQ Ì平面BCM ，1A N ⊄平面BCM ， ∴1//A N 平面BCM .（3）连接1A B ，则11111111033B A BC ABC A B C V V --==， ∵M 为11A B 的中点，∴三棱锥11C BB M -的体积11111111523C BB M B B C M B A B C V V V ---===. 20. 解：（1）由题意得2222c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩,解得2a b ==，所以椭圆C 的标准方程为221124x y +=（2）直线BE 恒过x 轴上的定点(4,0) 证明如下：因为0AE DE ⋅=.所以AE DE ⊥，因为直线l 过点(2,0) ①当直线l 的斜率不存在时，则直线l 的方程为2x =，不妨设2,,2,,33A B ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭则6,3E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭此时，直线BE的方程为4)3y x =-，所以直线BE 过定点(4,0)； ②直线l 的斜率存在且不为零时，设直线l 的方程为2(0)x my m =+≠，()()1122,,,A x y B x y ，所以()16,E y .直线2112:(6)6y y BE y y x x --=--，令0y =，得()122166y x x y y --=--即1212166y x y x y y -+=+-，又222x my =+所以()12121266y my y x y y -++=+-,即证()121212664y my y y y -+++=- 即证()()121220*y y my y +-=联立2211242x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,消x 得()223480m y my ++-=， 因为点(2,0)在C 内，所以直线l 与C 恒有两个交点，由韦达定理得，12122248,33my y y y m m +=-=-++代入（*）中得()121222882033m my y my y m m -+-=--=++ 所以直线BE 过定点(4,0)，综上所述，直线BE 恒过x 轴上的定点(4,0). 21. 解： （1）()1122,(0)ax f x a x x x-'=-=>， ①若0a ≤，()0f x '>，()f x 在()0,+∞上单调递增； ②若0a >,当102x a <<时，()0f x '>，当12x a>时，()0f x '<， 所以10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数()f x 的单调递增区间，1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是函数()f x 的单调减区间，综上所述，当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为()0,+?；当0a >时，()f x 的单调递增区间为10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）由题意可知，不等式可转化为()2ln 210x ax a x +-+<在1x >时恒成立，令()()2ln 211g x x ax a x x =+-+>，， ()()()()()222112111221ax a x ax x g x ax a x x x-++-'-=+-+==， ①若0a ≤，则()0g x '<，()g x 在()1,+?上单调递减，所以()()11g x g a <=--，不等式恒成立等价于10a --≤，即10a -≤≤； ②若102a <<，则112a >，当112x a <<时，()0g x '<，当12x a>时，()0g x '>， 所以()g x 在112a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，()g x 在1+2a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，上单调递增， 所以()1,2g x g a ⎡⎫⎛⎫∈+∞⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，不符合题意； ③若12a ≥，当1x >时，()0g x '>，()g x 在()1,+?上单调递增，所以()()()1g x g ∈+∞，，不符合题意； 综上所述，10a -≤≤22. 解：（1）由， 从而有．（2）设，2,sin ρθρθ==得(2222+,+3x y x y =-=所以1(32P +又则故当t =0时，|PC |取最小值，此时P 点的直角坐标为(3,0).23．解：（1）当3a =-时，()3323f x x x ⇔-+-厖2323x x x ⎧⇔⎨-+-⎩……或23323x x x <<⎧⇔⎨-+-⎩…或3323x x x ⎧⇔⎨-+-⎩…… 1x ⇔…或4x …．（2）原命题()4f x x ⇔-…在[1,2]上恒成立24x a x x ⇔++--…在[1,2]上恒成立22x ax ⇔---剟在[1,2]上恒成立 30a⇔-剟．|PC |==。

吉林市普通中学2017—2020学年度高中毕业班第三次调研测试理科数学一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。

1. 若集合{|0}B x x =≥，且A B A =，则集合A 可以是A ．{1,2}B ．{|1}x x ≤C ．{1,0,1}-D ．R2． 已知复数1z i =+（i 为虚数单位）给出下列命题：①||2z =；②1z i =-；③z 的虚部为i . 其中正确命题的个数是A.0 B. 1 C. 2 D. 33． 若1sin ,3α=且2παπ<<，则sin2α= A ． 229-B ． 429-C ．429D ．2294. 已知等差数列{}n a 的公差不为0，11a =，且248,,a a a 成等比数列，设{}n a 的前n 项和为n S ，则n S =A. (1)2n n +B. 2(1)2n +C. 212n +D. (3)4n n +5． 若1()n x x-的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含2x 项的系数是A ． 462-B ． 462C ． 792D ． 792-6． 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 A. 12018 B. 12019 C.20172018D.201820197． 10|1|x dx -=⎰A ． 12B ． 1C ．2D ． 38． 一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是 (0,0,0),(1,0,1),(0,1,1)1,(,1,0)2, 绘制该四面体三视图时,按照如图所示的方向画正视图,则得到左视图可以为 A. B.C.D.开始结束k = 1 , S = 0k = k + 1k < 2018?输出SS = S +k (k +1)1是否xyz正视图方向O9． 设曲线()cos (*)f x m x m R =∈上任一点(,)x y 处切线斜率为()g x ，则函数2()y x g x =的部分图象可以为A. B. C. D.10．平行四边形ABCD 中，2,1,1,AB AD AB AD ===- 点M 在边CD 上，则MA MB 的最大值为A. 2B. 221-C.5 D. 31-11．等比数列{}n a 的首项为32，公比为12-，前n 项和为n S ，则当*n N ∈时，1n nS S -的最大值与最小值的比值为A.125-B. 107-C.109D.12512．已知函数13,1()22ln ,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩（ln x 是以e 为底的自然对数， 2.71828e =），若存在实数,()m n m n <，满足()()f m f n =，则n m -的取值范围为A. 2(0,3)e + B. 2(4,1]e -C. 2[52ln 2,1]e --D. [52ln2,4)-二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分。

2020年高考数学三模试卷（文科）一、选择题（共12小题）1．已知集合A＝{x|x2≤1}，B＝{x|lgx≤1}，则A∩B＝（）A．[0，1]B．（0，1]C．（0，1）D．[﹣1，10]2．已知向量，满足（2，1），（1，y），且⊥，则|2|＝（）A．B．C．5D．43．已知复数z满足（1+i）2•z＝1﹣i，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．某中学从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的众数是83，乙班学生成绩的平均数是86，则x+y的值为（）A．7B．8C．9D．105．等比数列{a n}中，a5、a7是函数f（x）＝x2﹣4x+3的两个零点，则a3•a9等于（）A．﹣3B．3C．﹣4D．46．函数f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．7．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是（）A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β8．已知直线y＝﹣2与函数，（其中w＞0）的相邻两交点间的距离为π，则函数f（x）的单调递增区间为（）A．B．C．D．9．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，在（0，+∞）上是增函数，且f（﹣4）＝0，则使得xf（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣4，4）B．（﹣4，0）∪（0，4）C．（0，4）∪（4，+∞）D．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）10．若函数有且只有一个零点，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪[0，+∞）C．[﹣1，0）D．[0，+∞）11．已知双曲线1（a＞0，b＞0）与椭圆1有相同焦点F1，F2，离心率为．若双曲线的左支上有一点M到右焦点F2的距离为12，N为线段MF2的中点，O 为坐标原点，则|NO|等于（）A．4B．3C．2D．12．众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”．整个图形是一个圆形．其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题：①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是②当时，直线y＝ax+2a与白色部分有公共点；③黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点（x，y），则x+y的最大值为2；④设点P（﹣2，b），点Q在此太极图上，使得∠OPQ＝45°，b的范围是[﹣2，2]．其中所有正确结论的序号是（）A．①④B．①③C．②④D．①②二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知tanα＝3，π＜α，则cosα﹣sinα＝．14．已知长方形ABCD中，AB＝1，∠ABD＝60°，现将长方形ABCD沿着对角线BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，则折后几何图形的外接球表面积为．15．若x1，x2是函数f（x）＝x2﹣7x+4lnx的两个极值点，则x1x2＝；f（x1）+f（x2）＝．16．已知数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，满足4S n＝a n2+2a n（n∈N*），设b n ＝（﹣1）n•a n a n+1，T n为数列{b n}的前n项和，则T20＝．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．笔、墨、纸、砚是中国独有的文书工具，即“文房四宝”．笔、墨、纸、砚之名，起源于南北朝时期，其中的“纸”指的是宣纸，宣纸“始于唐代，产于泾县”，而唐代泾县隶属于宣州府管辖，故因地而得名“宣纸”，宣纸按质量等级，可分为正牌和副牌（优等品和合格品），某公司年产宣纸10000刀，公司按照某种质量标准值x给宣纸确定质量等级，如表所示：x（48，52]（44，48]∪（52，56]（0，44]∪（56，100]质量等级正牌副牌废品公司在所生产的宣纸中随机抽取了一刀（100张）进行检验，得到频率分布直方图如图所示，已知每张正牌纸的利润是10元，副牌纸的利润是5元，废品亏损10元．（Ⅰ）按正牌、副牌、废品进行分层抽样，从这一刀（100张）纸中抽出一个容量为5的样本，再从这个样本中随机抽出两张，求其中无废品的概率；（Ⅱ）试估计该公司生产宣纸的年利润（单位：万元）．18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2a＝2b cos C+c sin B．（Ⅰ）求tan B；（Ⅱ）若C，△ABC的面积为6，求BC．19．四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝BC＝1，PA＝CD＝2，PA⊥平面ABCD，E在棱PB上．（Ⅰ）求证：AC⊥PD；（Ⅱ）若V P﹣ACE，求证：PD∥平面AEC．20．已知O为坐标原点，抛物线E的方程为x2＝2py（p＞0），其焦点为F，过点M（0，4）的直线1与抛物线相交于P、Q两点且△OPQ为以O为直角顶点的直角三角形．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设点N为曲线E上的任意一点，证明：以FN为直径的圆与x轴相切．21．已知函数f（x）＝axe x，g（x）＝x2+2x+b，若曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）都过点P（1，c）．且在点P处有相同的切线l．（Ⅰ）求切线l的方程；（Ⅱ）若关于x的不等式k[ef（x）]≥g（x）对任意x∈[﹣1，+∞）恒成立，求实数k的取值范围．（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.[选修4-4坐标系与参数方程]22．以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2（θ∈[0，]），直线1的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）求曲线C的参数方程与直线l的普通方程；（Ⅱ）设点P为曲线C上的动点，点M和点N为直线l上的点，且满足△PMN为等边三角形，求△PMN边长的取值范围．[选修4-5不等式选讲]23．已知函数f（x）＝m﹣|x﹣2|，m∈R，g（x）＝|x+3|．（Ⅰ）当x∈R时，有f（x）≤g（x），求实数m的取值范围．（Ⅱ）若不等式f（x）≥0的解集为[1，3]，正数a，b满足ab﹣2a﹣b＝3m﹣1，求a+b 的最小值．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|x2≤1}，B＝{x|lgx≤1}，则A∩B＝（）A．[0，1]B．（0，1]C．（0，1）D．[﹣1，10]【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．解：A＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{x|0＜x≤10}，∴A∩B＝（0，1]．故选：B．【点评】本题考查了描述法、区间的定义，对数函数的单调性，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2．已知向量，满足（2，1），（1，y），且⊥，则|2|＝（）A．B．C．5D．4【分析】根据题意，由向量垂直与数量积的关系可得•2+y＝0，解可得y的值，即可得的坐标，进而计算可得向量（2）的坐标，由向量模的计算公式计算可得答案．解：根据题意，（2，1），（1，y），且⊥，则有•2+y＝0，解可得y＝﹣2，即（1，﹣2），则2（4，﹣3），故|2|5；故选：C．【点评】本题考查向量数量积的坐标计算，涉及向量模的计算和向量垂直与数量积的关系，属于基础题．3．已知复数z满足（1+i）2•z＝1﹣i，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出的坐标得答案．解：由（1+i）2•z＝1﹣i，得z，则，∴复数在复平面内对应的点的坐标为（，），位于第二象限．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算化简，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．4．某中学从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的众数是83，乙班学生成绩的平均数是86，则x+y的值为（）A．7B．8C．9D．10【分析】对甲组数据进行分析，得出x的值，利用平均数求出y的值，解答即可．解：由茎叶图可知，茎为8时，甲班学生成绩对应数据只能是83，80+x，85，因为甲班学生成绩众数是83，所以83出现的次数最多，可知x＝3．由茎叶图可知乙班学生的总分为76+81+82+80+y+91+91+96＝597+y，又乙班学生的平均分是86，总分又等于86×7＝602．所以597+y＝602，解得y＝5，可得x+y＝8．故选：B．【点评】本题主要考查统计中的众数与平均数的概念．解题时分别对甲组数据和乙组数据进行分析，分别得出x，y的值，进而得到x+y的值．5．等比数列{a n}中，a5、a7是函数f（x）＝x2﹣4x+3的两个零点，则a3•a9等于（）A．﹣3B．3C．﹣4D．4【分析】利用根与系数的关系求得a5•a7＝3，再由等比数列的性质得答案．解：∵a5、a7是函数f（x）＝x2﹣4x+3的两个零点，∴a5、a7是方程x2﹣4x+3＝0的两个根，∴a5•a7＝3，由等比数列的性质可得：a3•a9＝a5•a7＝3．故选：B．【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．6．函数f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】先判断函数f（x）的奇偶性，可排除选项CD，再由f（1）＜0，可排除选项A，进而得出正确选项．解：函数的定义域为{x|x≠0}，，即函数f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，可排除CD；又，可排除A；故选：B．【点评】本题考查利用函数性质确定函数图象，考查数形结合思想，属于基础题．7．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是（）A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β【分析】根据题意分别画出错误选项的反例图形即可．解：A、B、D的反例如图．故选：C．【点评】本题考查线面垂直、平行的性质及面面垂直、平行的性质，同时考查充分条件的含义及空间想象能力．8．已知直线y＝﹣2与函数，（其中w＞0）的相邻两交点间的距离为π，则函数f（x）的单调递增区间为（）A．B．C．D．【分析】根据最值点之间的关系求出周期和ω，结合三角函数的单调性进行求解即可．解：∵y＝﹣2与函数，（其中w＞0）的相邻两交点间的距离为π，∴函数的周期T＝2，即2，得ω＝2，则f（x）＝2sin（2x），由2kπ2x2kπ，k∈Z，得kπx≤kπ，k∈Z，即函数的单调递增区间为[kπ，kπ]，k∈Z，故选：B．【点评】本题主要考查三角函数单调性的应用，根据最值性求出函数的周期和ω，以及利用三角函数的单调性是解决本题的关键．难度不大．9．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，在（0，+∞）上是增函数，且f（﹣4）＝0，则使得xf（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣4，4）B．（﹣4，0）∪（0，4）C．（0，4）∪（4，+∞）D．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）【分析】由奇函数的图象关于原点对称及f（x）在（0，+∞）为增函数，可得函数f（x）是在（﹣∞，0）上是增函数，结合f（﹣4）＝f（4）＝0，转化为不等式组求解．解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，在（0，+∞）上是增函数，∴函数f（x）是在（﹣∞，0）上是增函数，又f（﹣4）＝0，∴f（4）＝0，由xf（x）＞0，得或，∴x＞4或x＜﹣4．∴x的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）．故选：D．【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性的应用，考查数学转化思想方法，是中档题．10．若函数有且只有一个零点，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪[0，+∞）C．[﹣1，0）D．[0，+∞）【分析】当x＞0时，因为log21＝0，所以有一个零点，所以要使函数f（x）有且只有一个零点，则当x≤0时，函数f（x）没有零点即可，即恒为负或恒为正，进而求出a的取值范围即可．解：当x＞0时，因为log21＝0，所以有一个零点，所以要使函数有且只有一个零点，则当x≤0时，函数f（x）没有零点即可，当x≤0时，0＜2x≤1，∴﹣1≤﹣2x＜0，∴﹣1﹣a≤﹣2x﹣a＜﹣a，所以﹣a≤0或﹣1﹣a＞0，即a≥0或a＜﹣1，故选：B．【点评】本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系，是中档题．11．已知双曲线1（a＞0，b＞0）与椭圆1有相同焦点F1，F2，离心率为．若双曲线的左支上有一点M到右焦点F2的距离为12，N为线段MF2的中点，O 为坐标原点，则|NO|等于（）A．4B．3C．2D．【分析】由题意画出图形，利用三角形的中位线定理可得|NO||MF1|＝6﹣a，再由已知椭圆方程及双曲线的离心率求解a，则答案可求．解：如图，∵N为线段MF2的中点，∴|NO||MF1|（|MF2|﹣2a）＝6﹣a，∵双曲线1（a＞0，b＞0）的离心率为e，∴，∵椭圆1与双曲线1的焦点相同，∴c4，则a＝3，即6﹣a＝3，∴|NO|＝3．故选：B．【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．12．众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”．整个图形是一个圆形．其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题：①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是②当时，直线y＝ax+2a与白色部分有公共点；③黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点（x，y），则x+y的最大值为2；④设点P（﹣2，b），点Q在此太极图上，使得∠OPQ＝45°，b的范围是[﹣2，2]．其中所有正确结论的序号是（）A．①④B．①③C．②④D．①②【分析】根据“太极图”和各选项对应知识，即可判断真假．解：对于①，将y轴右侧黑色阴影部分补到左侧，即可知黑色阴影区域占圆的面积的一半，根据几何概型的计算公式，所以在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是，正确；对于②，直线y＝ax+2a x﹣3，圆的方程为x2+y2＝4，联立可得，13x2+36x+20＝0，△＝362﹣4×13×20＞0，但是两根之和为负，两根之积为正，所以两根都为负，即说明直线y＝ax+2a与白色部分没有公共点，错误；对于③，设l：z＝x+y，由线性规划知识可知，当直线l与圆x2+（y﹣1）2＝1相切时，z 最大，由解得z（z＝1舍去），错误；对于④，要使得∠OPQ＝45°，即需要过点P的切线所成角大于等于90度，所以，即OP≤2，于是22+b2≤8，解得﹣2≤b≤2．故选：A．【点评】本题主要考查图象的应用，考查学生识图用图以及运用相关知识的能力，涉及几何概型的计算公式，直线与圆的位置关系，以及线性规划知识的应用，属于较难题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知tanα＝3，π＜α，则cosα﹣sinα＝．【分析】由tanα的值及α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα与sinα的值，代入原式计算即可．解：∵tanα＝3，π＜α，∴cosα，sinα，则cosα﹣sinα，故答案为：【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．14．已知长方形ABCD中，AB＝1，∠ABD＝60°，现将长方形ABCD沿着对角线BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，则折后几何图形的外接球表面积为4π．【分析】由长方形中AB＝1，∠ABD＝60°，可得BD，BC，及A到BD的距离AE，由面ABD⊥平面BCD可得AE⊥面BCD，求出底面外接圆的圆心及外接圆的半径，再由椭圆求出外接球的半径，进而求出外接球的表面积．解：长方形ABCD中，AB＝1，∠ABD＝60°，可得BD＝2，AD，作AE⊥BD于E，可得AE•BD＝AB•AD，所以AE，BE，因为平面ABD⊥平面BCD，AE⊆面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以AE⊥面BCD，由直角三角形BCD可得其外接圆的圆心为斜边BD的中点O1，且外接圆的半径r1，过O1作OO1垂直于底面BCD，所以EO1＝O1B﹣BE＝1，所以OO1∥AE，取三棱锥外接球的球心O，设外接球的半径为R，作OF⊥AE于F，则四边形EFOO1为矩形，O1E＝OF，EF＝OO1，则OA＝OC＝OB＝OD＝R，在△AFO中，OA2＝AF2+OF2＝（AE﹣EF）2+EO12即R2＝（OO1）2；①在△BOO1中：OB2＝OO12+EO12，即R2＝OO12；②由①②可得R2＝1，OO1＝0，即外接球的球心为O1，所以外接球的表面积S＝4πR2＝4π，故答案为：4π．【点评】本题考查三棱锥的棱长与外接球的半径之间的关系，及球的表面积公式，属于中档题．15．若x1，x2是函数f（x）＝x2﹣7x+4lnx的两个极值点，则x1x2＝2；f（x1）+f（x2）＝4ln2．【分析】先求出导函数f'（x），由题意可得x1，x2是方程2x2﹣7x+4＝0 的两个根，利用韦达定理可得，x1x2＝2，代入f（x1）+f（x2）即可求出f（x1）+f（x2）＝4ln2．解：∵函数f（x）＝x2﹣7x+4lnx，x∈（0，+∞），∴f'（x）＝2x﹣7，令f'（x）＝0得：2x2﹣7x+4＝0，∴x1，x2是方程2x2﹣7x+4＝0 的两个根，∴，x1x2＝2，∴f（x1）+f（x2）7（x1+x2）+4ln（x1x2）4ln2，故答案为：2，4ln2．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及韦达定理的应用，是中档题．16．已知数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，满足4S n＝a n2+2a n（n∈N*），设b n ＝（﹣1）n•a n a n+1，T n为数列{b n}的前n项和，则T20＝880．【分析】利用公式a n＝S n﹣S n﹣1可得数列{a n}是首项为2，公差为2的等差数列，所以a n＝2n，所以b n＝（﹣1）n•a n a n+1＝4×（﹣1）n n（n+1），进而T20＝4×[﹣2+6﹣12+20﹣30+42﹣……﹣380+420]，再利用并项求和法即可算出结果．解：∵4S n＝a n2+2a n（n∈N*），当n＝1时，，解得a1＝2或0（舍去），当n≥2时，4S n＝a n2+2a n①，4S n﹣1＝a n﹣12+2a n﹣1②，①﹣②得：，整理得：（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）＝0，∵数列{a n}的各项均为正数，∴a n﹣a n﹣1﹣2＝0，即a n﹣a n﹣1＝2，∴数列{a n}是首项为2，公差为2的等差数列，∴a n＝2+2（n﹣1）＝2n，∴b n＝（﹣1）n•a n a n+1＝4×（﹣1）n n（n+1），∴T20＝4×[﹣2+6﹣12+20﹣30+42﹣……﹣380+420]＝4×[（﹣2+6）+（﹣12+20）+（﹣30+42）+……+（﹣380+420）]＝4×（4+8+12+……+40）＝4880，故答案为：880．【点评】本题主要考查了数列的递推式，以及并项求和法求数列的前n项和，是中档题．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．笔、墨、纸、砚是中国独有的文书工具，即“文房四宝”．笔、墨、纸、砚之名，起源于南北朝时期，其中的“纸”指的是宣纸，宣纸“始于唐代，产于泾县”，而唐代泾县隶属于宣州府管辖，故因地而得名“宣纸”，宣纸按质量等级，可分为正牌和副牌（优等品和合格品），某公司年产宣纸10000刀，公司按照某种质量标准值x给宣纸确定质量等级，如表所示：x（48，52]（44，48]∪（52，56]（0，44]∪（56，100]质量等级正牌副牌废品公司在所生产的宣纸中随机抽取了一刀（100张）进行检验，得到频率分布直方图如图所示，已知每张正牌纸的利润是10元，副牌纸的利润是5元，废品亏损10元．（Ⅰ）按正牌、副牌、废品进行分层抽样，从这一刀（100张）纸中抽出一个容量为5的样本，再从这个样本中随机抽出两张，求其中无废品的概率；（Ⅱ）试估计该公司生产宣纸的年利润（单位：万元）．【分析】（Ⅰ）按正牌、副牌、废品进行分层抽样，从这一刀（100张）约中抽出一个容量为5的样本，设抽出的2张正牌为A，B，2张副牌为a，b，1张废品为t，从中任取两张，基利用列举法能求出其中无废品的概率．（Ⅱ）由频率分布直方图得一刀（100张）宣纸有正牌宣纸40张，有副牌宣纸40张，有废品20张，由此能估计该公司生产宣纸的年利润．解：（Ⅰ）按正牌、副牌、废品进行分层抽样，从这一刀（100张）约中抽出一个容量为5的样本，设抽出的2张正牌为A，B，2张副牌为a，b，1张废品为t，从中任取两张，基本事件有：AB，Aa，Ab，At，Ba，Bb，Bt，ab，at，bt，共10种，其中无废品包含的基本事件有：AB，Aa，Ab，Ba，Bb，ab，共6种，∴其中无废品的概率p．（Ⅱ）由频率分布直方图得：一刀（100张）宣纸有正牌宣纸100×0.1×4＝40张，有副牌宣纸100×0.05×4×2＝40张，有废品100×0.025×4×2＝20张，∴该公司一刀宣纸的利润为40×10+40×5+20×（﹣10）＝400元，∴估计该公司生产宣纸的年利润为：400万元．【点评】本题考查概率、利润的求法，考查考查频率分布直方图、古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2a＝2b cos C+c sin B．（Ⅰ）求tan B；（Ⅱ）若C，△ABC的面积为6，求BC．【分析】（I）由2a＝2b cos C+c sin B，利用正弦定理可得：2sin A＝2sin B cos C+sin C sin B，又sin A＝sin（B+C）＝sin B cos C+cos B sin C，化简即可得出．（II）由tan B＝2，B∈（0，π），可得sin B，cos B．sin A＝sin（B+C），由正弦定理：，可得：a．又ab sin6，可得b．即可得出a．解：（I）∵2a＝2b cos C+c sin B，利用正弦定理可得：2sin A＝2sin B cos C+sin C sin B，又sin A ＝sin（B+C）＝sin B cos C+cos B sin C，化为：2cos B＝sin B≠0，∴tan B＝2．（II）∵tan B＝2，B∈（0，π），可得sin B，cos B．∴sin A＝sin（B+C）＝sin B cos C+cos B sin C．∴，可得：a．又ab sin6，可得b．∴a，解得a＝3．【点评】本题考查了正弦定理、和差公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝BC＝1，PA＝CD＝2，PA⊥平面ABCD，E在棱PB上．（Ⅰ）求证：AC⊥PD；（Ⅱ）若V P﹣ACE，求证：PD∥平面AEC．【分析】（Ⅰ）过A作AF⊥DC于F，推导出AC⊥DA，AC⊥PA，从而AC⊥平面PAD，由此能求出AC⊥PD；（Ⅱ）设E到平面ABCD的距离为h，由已知体积列式求得h，可得PB：EB＝PA：h ＝3：1，连接DB交AC于O，连接OE，再由三角形相似证得DB：OB＝3：1，可得PB：EB＝DB：OB，得到PD∥OE，再由直线与平面平行的判定可得PD∥平面AEC．【解答】证明：（Ⅰ）过A作AF⊥DC于F，∵AB∥CD，AB⊥BC，AB＝BC＝1，∴四边形ABCF为正方形，则CF＝DF＝AF＝1，∴∠DAC＝90°，得AC⊥DA，又PA⊥底面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PA，又PA，AD⊂平面PAD，PA∩AD＝A，∴AC⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，∴AC⊥PD；（Ⅱ）设E到平面ABCD的距离为h，则V P﹣ACE，得h．又PA＝2，则PB：EB＝PA：h＝3：1．∵BC＝1，CD＝2，∴DB，连接DB交AC于O，连接OE，∵△AOB∽△COD，∴DO：OB＝2：1，得DB：OB＝3：1，∴PB：EB＝DB：OB，则PD∥OE．又OE⊂平面AEC，PD⊄平面AEC，∴PD∥平面AEC．【点评】本题考查直线与平面平行、垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．20．已知O为坐标原点，抛物线E的方程为x2＝2py（p＞0），其焦点为F，过点M（0，4）的直线1与抛物线相交于P、Q两点且△OPQ为以O为直角顶点的直角三角形．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设点N为曲线E上的任意一点，证明：以FN为直径的圆与x轴相切．【分析】（Ⅰ）由题意设直线l的方程，与抛物线联立求出两根之积，由△OPQ是以O 为直角顶点的直角三角形，所以0，可得p的值，进而求出抛物线的方程；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得F的坐标和准线方程，设N的坐标，可得NF的中点M，即圆心的坐标，求出M的纵坐标到x轴的距离，再求NF的半径，可得M的纵坐标恰好等于半径，可证得结论．解：（Ⅰ）由题意可得直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y＝kx+4，设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线l与抛物线的方程，整理可得：x2﹣8kpx﹣8p＝0，所以x1x2＝﹣8p，所以y1y216，因为△OPQ是以O为直角顶点的直角三角形，所以0，即x1x2+y1y2＝0，所以﹣8p+16＝0，解得p＝2，所以抛物线的方程为：x2＝4y；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得F（0，1），准线方程为：y＝﹣1，设N（m，n），则NF的中点M的纵坐标，即以NF为直径的圆的圆心M到x轴的距离为，而由抛物线的性质可得|NF|＝n+1，即以NF为直径的圆的半径为，所以可得圆心M到x轴的距离恰好等于圆的半径，所以可证得以FN为直径的圆与x轴相切．【点评】本题考查直角三角形与向量的关系，及直线与抛物线的综合，属于中档题．21．已知函数f（x）＝axe x，g（x）＝x2+2x+b，若曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）都过点P（1，c）．且在点P处有相同的切线l．（Ⅰ）求切线l的方程；（Ⅱ）若关于x的不等式k[ef（x）]≥g（x）对任意x∈[﹣1，+∞）恒成立，求实数k的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义即可求出切线方程；（Ⅱ）构造函数h（x）＝2kxe x﹣（x2+2x﹣1），利用导数求出函数的最小值，使得最小值大于等于0，需要分类讨论．解：（Ⅰ）∵f′（x）＝ae x（x+1），g′（x）＝2x+2，由已知可得，即，解得a，b＝﹣1，c＝2，∴切线的斜率g′（1）＝4，∴切线l的方程为y﹣2＝4（x﹣1），即4x﹣y﹣2＝0，（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）＝2xe x﹣1，g（x）＝x2+2x﹣1，设h（x）＝k[ef（x）]﹣g（x）＝2kxe x﹣（x2+2x﹣1），即h（x）≥0，对任意x∈[﹣1，+∞）恒成立，从而h（x）min≥0，∴h′（x）＝2k（x+1）e x﹣2（x+1）＝2（x+1）（ke x﹣1），①当k≤0时，h′（x）≤0，h（x）在[﹣1，+∞）上单调递减，又h（1）＝2ke﹣2＜0，显然h（x）≥0不恒成立，②当k＞0时，h′（x）＝0，解得x1＝﹣1，x2＝﹣lnk，（i）当﹣lnk＜﹣1时，即k＞e时，h′（x）≥0，h（x）单调递增，又h（x）min＝h（﹣1）20，显然h（x）≥0不恒成立，（ii）当﹣lnk＝﹣1时，即k＝e时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，∴h（x）min＝h（﹣1）20，即h（x）≥0恒成立，（iii）当﹣lnk＞﹣1时，即0＜k＜0时，当x∈[﹣1，﹣lnk）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（﹣lnk，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，∴h（x）min＝h（﹣lnk）＝2﹣lnk﹣（ln2k﹣2lnk﹣1）＝1﹣ln2k≥0，解得k≤e，∴k＜e，综上所述得k≤e．【点评】此题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程，函数恒成立问题，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和最值是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．一、选择题22．以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2（θ∈[0，]），直线1的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）求曲线C的参数方程与直线l的普通方程；（Ⅱ）设点P为曲线C上的动点，点M和点N为直线l上的点，且满足△PMN为等边三角形，求△PMN边长的取值范围．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程为ρ2（θ∈[0，]），转换为直角坐标方程为（），转换为参数方程为（θ为参数，θ∈[0，]）．直线1的参数方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为x+2y﹣8＝0．（Ⅱ）设P（），θ∈[0，]，所以点P到直线l的距离d，由于θ∈[0，]，所以，所以，故等边三角形的边长的取值范围：．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．[选修4-5不等式选讲]23．已知函数f（x）＝m﹣|x﹣2|，m∈R，g（x）＝|x+3|．（Ⅰ）当x∈R时，有f（x）≤g（x），求实数m的取值范围．（Ⅱ）若不等式f（x）≥0的解集为[1，3]，正数a，b满足ab﹣2a﹣b＝3m﹣1，求a+b 的最小值．【分析】（1）利用绝对值三角不等式性质（2）利用绝对值不等式解法求出m，带入得到a，b等式，转化为只含有a的式子后利用基本不等式可以求解．解：（1）由题意得：∵f（x）≤g（x）在x∈R上恒成立，∴m≤|x+3|+|x﹣2|恒成立，即m≤（|x+3|+|x﹣2|）min又∵|x+3|+|x﹣2|≥|（x+3）﹣（x﹣2）|＝5∴m≤5，即m∈（﹣∞，5]（2）令f（x）≥0，∴m≥||若m≤0，则解集为∅，不合题意；若m＞0，则有﹣m≤x﹣2≤m，即x∈[2﹣m，2+m]又∵解集为x∈[1，3]，∴m＝1∴ab﹣2a﹣b＝2∴b∵，解得a＞1∴a+b＝a3∴a+b≥23＝7当且仅当a﹣1，即a＝3时，等号成立，此时b＝4∴a＝3，b＝4时a+b的最小值为7【点评】本题考查绝对值三角不等式，以及基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题。

吉林市普通中学2016—2017学年度高中毕业班第三次调研测试数学（文科）参考答案及评分标准1．选择题2．填空题13. 【答案】-6 14. 【答案】2 15. 【答案】 16. 【答案】3．解答题17．（Ⅰ）解：设数列的首项 ……1分因为等差数列的前和为，，成等比数列．所以1121115425422(3)(12)a d a d a d a a d ⨯⎧+++=⎪⎨⎪+=+⎩ ……3分 又公差所以 ……5分所以1(1)21n a a n d n =+-=+ ……6分 （Ⅱ）解：18.（Ⅰ）解：根据条件得列联表：……3分根据列联表所给的数据代入公式得到：2250(1032710)9.979 6.63520303713k ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯ ……5分 所以有的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关; ……6分（Ⅱ）解：按照分层抽样方法可知：[55,65）（岁）抽取：（人）；[25,35）（岁）抽取：（人） ……8分解：在上述抽取的6人中, 年龄在[55,65）（岁）有2人，年龄[25,35）（岁）有4人。

年龄在[55,65）（岁）记为；年龄在[25,35）（岁）记为， 则从6人中任取3名的所有情况为: 、、、、、、、、、、、、、、、、共20种情况， ……9分其中至少有一人年龄在[55,65）岁情况有：、、、、、、、、、、、、、、、，共16种情况。

……10分记至少有一人年龄在[55,65）岁为事件，则 ……11分∴至少有一人年龄在[55,65）岁之间的概率为。

……12分 19.（Ⅰ）证明：在梯形ABCD 内过C 点作交AD 于点， ……1分因为由底面四边形ABCD 是直角梯形，所以, ……2分又，易知，且,所以，所以 .……4分又根据题意知面ABCD ，从而，而，故 .……6分因为11CD AC AA CC ===，及已知可得是正方形，从而.因为，，且，所以面 .……8分（Ⅱ）解：因三棱锥与三棱锥是相同的，故只需求三棱锥的体积即可，……9分而,且由面ABCD可得，又因为,所以有平面，即CE为三棱锥的高. ……11分故.……12分20.（Ⅰ）解：，……1分又由题意有：，故. ……3分此时，，由或，……5分所以函数的单调减区间为和. ……6分（Ⅱ）解：，且定义域为，要函数无零点，即要在内无解，亦即要在内无解. ……7分构造函数. ……8分①当时，在内恒成立，所以函数在内单调递减，在内也单调递减. 又，所以在内无零点，在内也无零点，故满足条件；……9分②当时，⑴若，则函数在内单调递减，在内也单调递减，在内单调递增. 又，所以在内无零点；易知，而，故在内有一个零点，所以不满足条件；……10分⑵若，则函数在内单调递减，在内单调递增. 又，所以时，恒成立，故无零点，满足条件；……11分又易知，而，又易证当。

2020届吉林省吉林市高三第三次调研测试（4月） 数学（文）试题一、单选题1．已知集合{-1,0,1,2}A =，{|10}B x x =-<，则A B =I （ ） A ．{2} B ．{1,0}-C ．{0,1}D ．{1,0,1}-【答案】B【解析】由集合交集的运算，可得解 【详解】由题意，集合{-1,0,1,2}A =，{|10}B x x =-< 由交集的定义，A B =I {1,0}- 故选：B 【点睛】本题考查了集合的交集运算，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题. 2．已知复数z 满足i z11=-，则z =（ ） A ．1122i - B ．1122i + C ．1122-+iD ．1122i --【答案】B【解析】由复数的除法运算，可得解 【详解】 由题意，111111(1)(1)222i i z i i i i ++====+--+ 故选：B 【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题3．已知向量(,3),a x b ==r r ，若a b ⊥r r，则x =（ ）A ．BC ．1-D ．1【答案】A【解析】由向量垂直的坐标表示，列出等式，即得解 【详解】由题意，向量(,3),a x b ==r r，若a b ⊥r r，则30a b x x ⋅=+=∴=r r故选：A 【点睛】本题考查了向量垂直的坐标表示，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题.4．双曲线2222:1x y C a b-=0y -=，则双曲线的离心率为（ ）A B ．2 C D ．3【答案】B【解析】由双曲线的方程，可判断双曲线的焦点在x 轴上，可得3ba=，再结合c e a ==【详解】由题意，双曲线的焦点在x 轴上， 故渐近线方程为：b y x a=± ，故3ba =又222c a b =+故2c e a a ====故选：B 【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程和离心率，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于基础题.5．已知,m n 为两条不重合直线，,αβ为两个不重合平面，下列条件中，αβ⊥的充分条件是（ ） A ．m ∥n m n ,,αβ⊂⊂ B ．m ∥n m n ,,αβ⊥⊥ C ．m n m ,⊥∥,n α∥β D ．m n m ,⊥n ,αβ⊥⊥【答案】D【解析】根据面面垂直的判定定理，对选项中的命题进行分析、判断正误即可. 【详解】对于A ，当//m n ，m α⊂，n β⊂时，则平面α与平面β可能相交，αβ⊥，//αβ，故不能作为αβ⊥的充分条件，故A 错误；对于B ，当//m n ，m α⊥，n β⊥时，则//αβ，故不能作为αβ⊥的充分条件，故B 错误；对于C ，当m n ⊥，//m α，//n β时，则平面α与平面β相交，αβ⊥，//αβ，故不能作为αβ⊥的充分条件，故C 错误；对于D ，当m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则一定能得到αβ⊥，故D 正确. 故选：D. 【点睛】本题考查了面面垂直的判断问题，属于基础题.6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若35154,60a a S +==，则20a = （ ） A ．4 B ．6C ．10D ．12【答案】C【解析】由题意35422a a a +==，1581560S a ==，84a =，所以204844()24(42)10a a a a =+-=+⨯-=，故选C ．点睛：解决等差数列的通项与前n 项和问题，基本方法是基本量法，即用首项1a 和公差d 表示出已知并求出，然后写出通项公式与前n 项和公式，另一种方法就是应用等差数列的性质解题，可以减少计算量，增加正确率，节约时间，这是高考中尤其重要有用，象本题应用了以下性质：数列{}n a 是等差数列，（1）正整数,,,m n p q ，m n p q +=+⇒m n p q a a a a +=+，p q =时也成立；（2）21(21)n n S n a -=-；（3）等差数列{}n a 中抽取一些项，如48124,,,,,k a a a a L L 仍是等差数列． 7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．103B ．3C ．83D ．73【答案】A【解析】根据题意，可得几何体，利用体积计算即可. 【详解】由题意，该几何体如图所示：该几何体的体积11110222222323V =⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=. 故选：A. 【点睛】本题考查了常见几何体的三视图和体积计算，属于基础题． 8．已知函数()cos(2)(||)2f x x πϕϕ=-<的一条对称轴为3x π=，则函数()f x 的对称轴不可能为（ ） A ．6x π=-B ．56x π= C ．43x π=D ．6x π=【答案】D【解析】由题意()f x 的周期为22T ππ==，由余弦型函数的性质，每隔半个周期有一个对称轴，分析即得解. 【详解】由题意()cos(2)(||)2f x x πϕϕ=-<的周期为22T ππ== 由余弦型函数的性质，每隔半个周期有一个对称轴， 故()f x 的对称轴为：,32k x k Z ππ=+∈ 当1,1,2k =-时，分别为A ，B ，C 选项，不存在k Z ∈使得6x π=故选：D 【点睛】本题考查了余弦型函数的周期和对称轴，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题.9．已知数列{}n a 为等比数列，若a a a 76826++=，且a a 5936⋅=，则a a a 768111++=（ ） A ．1318B ．1318或1936C ．139D ．136【答案】A【解析】根据等比数列的性质可得25968736a a a a a ⋅=⋅==，通分化简即可.【详解】由题意，数列{}n a 为等比数列，则25968736a a a a a ⋅=⋅==，又a a a 76826++=，即68726a a a +=-， 所以，()()76877786867678777683636261113636a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +⋅++⋅-⋅+⋅+⋅++===⋅⋅⋅⋅， ()277777777773626362636263626133636363618a a a a a a a a a a +⋅-+⋅-+⋅-⋅=====⋅⋅⋅⋅.故选：A. 【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了推理能力与运算能力，属于基础题.10．已知ba b c a 0.2121()2,log 0.2,===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a <<【答案】B【解析】利用函数12x y⎛⎫= ⎪⎝⎭与函数12logy x=互为反函数，可得01a b<<<，再利用对数运算性质比较a,c进而可得结论.【详解】依题意，函数12xy⎛⎫= ⎪⎝⎭与函数12logy x=关于直线y x=对称，则0.21210log0.22⎛⎫<<⎪⎝⎭，即01a b<<<，又0.211220.2log0.2log0.20.20.20.211110.22252bc a a⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=====<=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，c a b<<.故选：B.【点睛】本题主要考查对数、指数的大小比较，属于基础题.11．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约公元222年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，又称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的，如图（1）），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图（2）所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小正三角形组成的一个大正三角形，设AC C A'''=，若在大正三角形中随机取一点，则此点取自小正三角形的概率为（）A．3B．13C．7D．17【答案】D【解析】设AC C A x'''==，由余弦定理，可知：222''2''cos120oAB AA BA AA BA=+-，分别计算''',ABC A B CS S∆∆，由面积测度的几何概型，即得解【详解】设AC C A x '''==，因为ABC ∆由三个全等的三角形与中间的等边三角形构成 所以2'2,'3AA x AA B π=∠=由余弦定理，可知：222''2''cos120o AB AA BA AA BA =+- 代入可得：227AB x =由三角形的面积公式：2244ABCS AB ∆==同理2'''A B C S BD ∆==所以由面积测度的几何概型可得：在大正三角形中随机取一点，则此点取自小正三角形的概率'''17A B C ABC S P S ∆∆==故选：D 【点睛】本题考查了面积测度的几何概型，考查了学生数形结合，逻辑推理，数学运算能力，属于中档题.12．设点P 为椭圆22:12516x y C +=上一点，1F 、2F 分别是椭圆C 的左、右焦点，且12PF F ∆的重心为点G ，如果12||:||2:3PF PF =，那么1GPF ∆的面积为（ ）A．3B．C．3D．【答案】C【解析】由题设条件及椭圆的定义，可得12||4,||6PF PF ==，进而可得12PF F ∆为等腰三角形，计算12PF F S ∆，由重心和中点的定义，1112221332GPF OPF PF F S S S ==⨯V V V ，即得解 【详解】由于点P 为椭圆22:12516x y C +=上一点，1212||:||2:3,||||210Q PF PF PF PF a =+== 12||4,||6PF PF ∴==又12||2225166F F c ==-= 故12PF F ∆为等腰三角形，以1PF 为底的高为：26442h -= 故1211||822PF F S PF h ∆=⨯= 111222182332GPF OPF PF F S S S ==⨯=V V V 故选：C【点睛】本题考查了椭圆的定义和性质，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.二、填空题 13．若点P 在角56π的终边上，且||2OP =（点O 为坐标原点），则点P 的坐标为_______ . 【答案】()3,1-【解析】由任意角三角函数定义，即得解 【详解】设点P 的坐标为(,)x y 由三角函数定义，55||cos 3,||sin 166x OP y OP ππ==-== 故点P 的坐标为()3,1-故答案为：()【点睛】本题考查了任意角三角函数的定义，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题. 14．为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据1122334455(,),(,),(,),(,),(,),x y x y x y x y x y 根据收集到的数据可知60y =，由最小二乘法求得回归直线方程为ˆ0.648y x =+，则12345x x x x x ++++=__________ .【答案】100；【解析】由于线性回归直线方程过样本中心点，代入可得20x =，再由123455x x x x x x ++++=，即得解【详解】由于线性回归直线方程过样本中心点，设样本中心点为(,)x y 由题意60y =，故0.648y x =+ 代入计算可得：20x =故123455100x x x x x x ++++== 故答案为：100 【点睛】本题考查了线性回归直线方程过样本中心点的性质，考查了学生概念理解，数据处理，数学运算能力，属于基础题.15．已知两圆相交于两点(),3A a ,()1,1B -，若两圆圆心都在直线0x y b ++=上，则+a b 的值是________________ .【答案】1-【解析】根据题意，相交两圆的连心线垂直平分相交弦，可得AB 与直线0x y b ++=垂直，且AB 的中点在这条直线0x y b ++=上，列出方程解得即可得到结论. 【详解】由(),3A a ,()1,1B -，设AB 的中点为1,22a M -⎛⎫⎪⎝⎭， 根据题意，可得1202a b -++=,且3111AB k a -==+，解得，1a =,2b =-，故1a b +=-. 故答案为：1-. 【点睛】本题考查相交弦的性质，解题的关键在于利用相交弦的性质，即两圆的连心线垂直平分相交弦，属于基础题.16．已知函数2ln ,1()13,122x x f x x x +≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，若实数12,x x 满足12x x ≠，12()()4f x f x +=，则12x x +的取值范围为___________ . 【答案】[)32ln 2,-+∞【解析】画出()f x 的图像如图所示，可知()f x 为R 上的单调递增函数，又(1)2f =，可得121x x <<，故112213(),()2ln 22f x x f x x =+=+ ，结合12()()4f x f x +=，可得1212ln x x =-，有122212ln x x x x +=-+，构造()12ln ,1g x x x x =-+>，利用导数研究单调性，可得min ()(2)32ln 2g x g ==-，即得解 【详解】画出()f x 的图像如图所示，可知()f x 为R 上的单调递增函数， 由于(1)2f =，不妨设12x x <，可知121x x << 故112213(),()2ln 22f x x f x x =+=+ 1212132ln 412ln 22x x x x +++=∴=- 122212ln x x x x +=-+不妨设()12ln ,1g x x x x =-+>22'()1,1x g x x x x-=-=> 故()g x 在(1,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增， 故min ()(2)32ln 2g x g ==- 可得12x x +的最小值为32ln 2- 故答案为：[)32ln 2,-+∞ 【点睛】本题考查了导数在函数性质探究中的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算能力，属于较难题.三、解答题17．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且ABC ∆222)a c b +-. （1）求角B 的大小；（2）若2,4,a b ==求sin C ．【答案】（1）3B π=（2）8【解析】（1）结合余弦定理和面积公式，可得tan B =即得解；（2）由正弦定理，可得sin 4A =，结合[]sin sin ()C AB π=-+即得解 【详解】解：(1)222)a c b +-=1sin 2ac Bsin B =， tan B =()0,,3B B ππ∈∴=Q(2)由正弦定理得sin sin a b A B =即sin A =cos A B A <∴=Q 4=[]sin sin ()C A B π∴=-+sin()3A π=+14242=⨯+8=.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理和面积公式的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题.18．在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习.某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不足120分的占813，统计成绩后得到如下22⨯列联表：（1）请完成上面22⨯列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；（2）在上述样本中从分数不少于120分的学生中，按照分层抽样的方法，抽到线上学习时间不少于5小时和线上学习时间不足5小时的学生共5名，若在这5名学生中随机抽取2人，求至少1人每周线上学习时间不足5小时的概率. （下面的临界值表供参考）（参考公式22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 其中n a b c d =+++） 【答案】（1）见解析，有（2）710【解析】（1）利用题中数据补全列联表，利用2K 公式代入数据，结合临界值判断，即得解；（2）依题意，抽到线上学习时间不少于5小时的学生3人，计算所有基本事件数和满足条件的基本事件个数，由古典概型的计算公式，即得解 【详解】 解：（1）2245(1516104)7.29 6.63525201926K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯Q∴有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”（2）依题意，抽到线上学习时间不少于5小时的学生155325⨯=人，设为1A ，2A ，3A ，线上学习时间不足5小时的学生2人，设为1B ，2B 所有基本事件有：11(,)B A ，12(,)B A ，13(,)B A ，21(,)B A ，22(,)B A ，23(,)B A ，12(,)B B ，12(,)A A ，13(,)A A ，23(,)A A共10种至少1人每周线上学习时间不足5小时包括：11(,)B A ，12(,)B A ，13(,)B A ，21(,)B A ，22(,)B A ，23(,)B A ，12(,)B B 共7种故至少1人每周线上学习时间不足5小时的概率为710（或0.7） 【点睛】本题考查了统计和概率综合，考查了列联表的计算和应用和古典概型的概率计算，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算能力，属于中档题. 19．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，AB ∥CD ，AD AB CD DAB 1,602==∠=︒，点,E F 分别为CD AP ,的中点.（1）证明：PC ∥面BEF ；（2）若PA PD ⊥，且PA PD =，面PAD ⊥面ABCD ，求PC 与底面ABCD 所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）2222【解析】（1）先证明ABH ∆≌CEH ∆，可证明//FH PC ，即得证；（2）先证明PO ⊥面ABCD ，可得PCO ∠即为PC 与底面所成角，在ODC ∆中，由余弦定理可计算OC ，又22PC PO OC =+，即得解.【详解】（1）证明：连接AC 交BE 于H ，连接FH .,,AB CE HAB HCE =∠=∠Q BHA CHA ∠=∠ABH ∴∆≌CEH ∆//AH CH FH PC ∴=∴ FH ⊂Q 面,FBE PC ⊄面FBEPC ∴∥面FBE（2）取AD 中点O ，连PO ，OB ，OC .由PA PD =，PO AD ∴⊥. 又Q 面PAD ⊥面ABCD ，PO ∴⊥面ABCD ，PCO ∴∠即为PC 与底面所成角设2AD =，则1PO OD ==，4DC =.又由60DAB ∠=o ，120ODC ∴∠=o 在ODC ∆中，由余弦定理得2222cos OC OD DC OD DC ODC =+-∠g 21=PC∴=sin22PCO∴∠==即PC与底面ABCD所成角的正弦值为22【点睛】本题考查了空间向量和立体几何综合，考查了线面平行的证明和定义法求线面角，考查了学生空间想象，逻辑推理，数形运算能力，属于中档题.20．已知倾斜角为4π的直线经过抛物线2:2(0)C x py p=>的焦点F，与抛物线C相交于A、B两点，且||8AB=.（1）求抛物线C的方程；（2）求过点,A B且与抛物线C的准线相切的圆的方程.【答案】（1）24x y=（2）22(6)(11)144x y++-=或22(2)(3)16x y-+-=【解析】（1）设直线AB的方程为2py x=+与抛物线联立，结合12AB y y p=++，利用韦达定理可求解p，即得解；（2）利用韦达定理，可得AB的中点为(2,3)M，可求解AB的垂直平分线的方程，圆心为(,5)a a-，利用圆半径、弦长、弦心距的勾股关系，可求解a，可得圆方程. 【详解】解：（1）由题意设直线AB的方程为2py x=+，令11(,)A x y、22(,)B x y，联立222py xx py⎧=+⎪⎨⎪=⎩得22304py py-+=123y y p∴+=根据抛物线的定义得124AB y y p p=++=又8AB=，48,2p p∴==故所求抛物线方程为24x y=（2）由（1）知1236y y p+==，12124x x y y p+=+-=AB ∴的中点为(2,3)M ，AB 的垂直平分线方程为3(2)y x -=--即5y x =-+设过点,A B 的圆的圆心为(,5)a a -，Q 该圆与C 的准线1y =-相切，∴半径6r a =-圆心(,5)a a -到直线:1AB y x =+的距离为d =,8AB =2224(6)a ∴+=-，解得6a =-或2a =∴圆心的坐标(6,11)-为，半径为12，或圆心的坐标为(2,3)，半径为4圆的方程为22(6)(11)144x y ++-=或22(2)(3)16x y -+-=【点睛】本题考查了直线与抛物线综合，考查了弦长，直线和圆的位置关系等知识点，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于较难题.21．已知函数2()ln (1)1(,).f x x ax a b x b a b R =-+--++∈ （1）若0a =，试讨论()f x 的单调性；（2）若对1[,]x e e∀∈，()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）()f x 的单调增、减区间分别为10,1b ⎛⎫ ⎪+⎝⎭、1,1b ⎛⎫+∞ ⎪+⎝⎭（2）22(1)e a e -≥-【解析】（1）求导，分1b ≤-，1b >-讨论导函数的正负，得到函数单调性即可； （2）转化为max ()0f x ≤，求导分析函数的单调性，分0a ≥，0a <讨论函数最大值，即可得解 【详解】解：（1）依题意0x >，当0a =时，1()(1)f x b x'=-+ ①当1b ≤-时，()0f x '>恒成立，此时()f x 在定义域上单调递增； ②当1b >-时，若10,1x b ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭，()0f x '>；若1,1x b ⎛⎫∈+∞⎪+⎝⎭，()0f x '< 故此时()f x 的单调增、减区间分别为10,1b ⎛⎫ ⎪+⎝⎭、1,1b ⎛⎫+∞ ⎪+⎝⎭(2)由1()21f x ax a b x'=-+--，又(1)0f =， 故()f x 在1x =处取得极大值，从而()01f '=，即1210,a a b -+--==-b a 进而得1()221f x ax a x '=-+-=(21)(1)ax x x+-- 当0a ≥时，若1,1x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，()0f x '>则；若(]1,x e ∈，则()0f x '<.所以()=(1)0f x f =最大值故0a ≥符合题意当0a <时，依题意，有112()0a f e ⎧->⎪⎨⎪≤⎩即2122(1)a e a e ⎧>-⎪⎪⎨-⎪≥-⎪⎩，故此时220(1)e a e -≤<- 综上所求实数a 的范围为22(1)e a e -≥-【点睛】本题考查了函数与导数综合，考查了学生综合分析，转化划归，分类讨论，数学运算能力，属于较难题.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()26πρθ+=.（1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；（2）设,A B 为曲线1C 上位于第一，二象限的两个动点，且2AOB π∠=，射线,OA OB交曲线2C 分别于,D C ，求AOB ∆面积的最小值，并求此时四边形ABCD 的面积.【答案】（1）2213x y +=；40x -=（2）AOB V 面积的最小值为34；四边形的面积为294【解析】（1）将曲线1C 消去参数即可得到1C 的普通方程，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入曲线2C 的极坐标方程即可；（2）由（1）得曲线1C 的极坐标方程，设1,()A ρθ，2(,)2B πρθ+，3(,)D ρθ，4(,)2C πρθ+利用方程可得22121143ρρ+=，再利用基本不等式得22121221143ρρρρ≤+=，即可得121324AOB S ρρ∆=≥，根据题意知ABCD COD AOB S S S ∆∆=-，进而可得四边形ABCD 的面积.【详解】（1）由曲线1C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）消去参数得2213xy +=曲线2C 的极坐标方程为sin()26πρθ+=，即sin cos cos sin266ππρθρθ+=，所以，曲线2C的直角坐标方程40x -=. （2）依题意得1C 的极坐标方程为2222cos sin 13ρθρθ+=设1,()A ρθ，2(,)2B πρθ+，3(,)D ρθ，4(,)2C πρθ+则222211cos sin 13ρθρθ+=，222222sin cos 13ρθρθ+=，故22121143ρρ+=22121221143ρρρρ∴≤+=，当且仅当12ρρ=（即4πθ=）时取“=”， 故121324AOB S ρρ∆=≥，即AOB ∆面积的最小值为34. 此时34112222sin()cos()4646COD S ρρππππ∆==⋅++48cos 3π==， 故所求四边形的面积为329844ABCD COD AOB S S S ∆∆=-=-=. 【点睛】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 23．已知,,a b c 均为正实数，函数()2221114f x x x a b c =++-+的最小值为1.证明： （1）22249a b c ++≥；（2）111122ab bc ac++≤. 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）运用绝对值不等式的性质，注意等号成立的条件，即可求得最小值，再运用柯西不等式，即可得到最小值.（2）利用基本不等式即可得到结论，注意等号成立的条件. 【详解】（1）由题意,,0a b c >，则函数222111()4f x x x a b c =++-+222111()4x x a b c ≥+--+2221114a b c =++， 又函数()f x 的最小值为1，即2221114a b c++1=， 由柯西不等式得222(4)a b c ++2221114a b c ⎛⎫++⎪⎝⎭2(111)9≥++=，当且仅当2a b c ===“=”. 故22249a b c ++≥.（2）由题意，利用基本不等式可得22121a b ab +?，221114b c bc+≥，221114a c ac +≥，（以上三式当且仅当2a b c ===“=”）由（1）知，22211114a b c++=， 所以，将以上三式相加得211ab bc ac ++≤222111224a b c ⎛⎫++= ⎪⎝⎭即111122ab bc ac++≤. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算能力，属于中档题.。