推荐-运筹学讲义——影子价格 精品

说明，在当前的情况下， 钢材是有剩余的，煤炭 和设备才是企业的瓶颈。
再增加一台时设备，利润会增加 6/7
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对偶问题的经济解释－影子价格
影子价格的经济意义
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2）根据对偶理论的互补松弛性定理: 生产过程中如果某种资源未得到充分利用时，该种资源 的子价格为零；又当资源的影子价格不为零时，表明该种 资源在生产中已耗费完毕。
若第i 种资源的单位市场价格为mi ，则有当yi* > mi 时，企业愿意 购进这种资源，单位纯利为yi*－mi ，则有利可图；如果yi* < mi ， 则企业有偿转让这种资源，可获单位纯利mi－yi * ，否则，企业 无利可图，甚至亏损。 结论：若yi* > mi 则购进资源i，可获单位纯利yi*－mi 若yi* < mi则转让资源i ，可获单位纯利mi－yi
对偶性质
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性质2 弱对偶原理(弱对偶性)：设 X 0 和 Y 0分别是问题(P)和 (D)的可行解，则必有 n m max Z=C X 0 0 CX Y b 即： c j x j yi bi s.t. AX≤b j 1 i 1
推论1: 原问题任一可行解的目标函数值是其对偶 问题目标函数值的下届；反之，对偶问题任意可 行解的目标函数值是其原问题目标函数值的上界。 推论2: 在一对对偶问题（P）和（D）中，若其中 一个问题可行但目标函数无界，则另一个问题无 可行解。这也是对偶问题的无界性。
对偶问题的经济解释－影子价格
3）影子价格是一种机会成本
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影子价格是在资源最优利用条件下对单位资源的估价， 这种估价不是资源实际的市场价格。因此，从另一个角度说， 它是一种机会成本。
若第i 种资源的单位市场价格为mi ，则有当yi* > mi 时，企业愿意 购进这种资源，单位纯利为yi*－mi ，则有利可图；如果yi* < mi ， 则企业有偿转让这种资源，可获单位纯利mi－yi * ，否则，企业 无利可图，甚至亏损。 结论：若yi* > mi 则购进资源i，可获单位纯利yi*－mi 若yi* < mi则转让资源i ，可获单位纯利mi－yi

-1 4/3 -1/3 2 -1/3 1/3 -1 -5/3 -1/3
4 B19b1331
13319b1334b1b1/33
9/4≤b1 ≤9
灵 敏 度 分 析
例2－7 线性规划
右端常数b发生改变
cj
233
0
0
XB
xj x1 x2 x3
x4
x5
CB
b
0 x4
2
111
1
0
0 x5
9
147
0
1
2 x1 -1/3 1 0 -1 4/3 -1/3
格 举
y1 y2 2
s
.t
.
y1 y1
4 7
y2 y2
3 3
材料的影子价格为1/3。
如果目前市场上材料的价 格低于1/3，则企业可以 购进材料来扩大生产，反
例
y 1 0 , y 2 0 之可以卖掉部分材料。
如果有客户以高于5/3
的价格购买工时，则可以
出售一些工时，反之则反
和市场价格的比较
市场价格
影子价格
影 商品的价值的货币 资源最优利用时的边际
子 表现
价值
价 随着市场的供求情 随着经济结构的变化而
格
况和有关方针，政 变化，同一资源在不同 策的变化而变化。 的经济结构中影子价格
的
不同。
特 它的制定含定价者 它的形成完全由经济结
点 的主观因素
构的客观条件确定。
它的制定是个比较 它的计算是比较容易的。
灵 敏 度 分 析
例2－7 线性规划
价值系数CB发生改变
cj
C21 3 3
0
XB
xj x1 x2 x3

经济分析:
1.哪些资源是稀缺资源?程度如何?
稀缺资源是原材料和设备 剩余资源是劳动力和电
2.企业应怎样合理利用资源?部门之间资源如何调整?
增加稀缺资源的投入,减少剩余资源; 资源由影子价格低的部门调向较高的部门
2013-6-17
运筹学课件
3.如果企业改进工艺使原材料的消耗减少10%,计算 对总利润的影响.
资源占用者赋予资源的一个内部价格,与资源的市场 价格无直接关系.
影子价格可以计算出经济活动的成本
2013-6-17 运筹学课件
例: 某家企业生产A,B,C三种产品,需要使用的原材料,劳动 力,设备使用时数,电是有限的,各种产品对每种资源的单位 消耗系数aij及产品的单位利润Cj见下表.
A 原材料(吨) 劳动力(人) 1 1 B 2 1 C 4 2 资源限制b 100 88
Y*=(0.4,0,1.2,0) Y*(aij)=(0.4,0,1.2,0)* (4,1,2,1)T=4 能投产. 即产品成本为4万
Λ=5-4=1>0
2013-6-17
运筹学课件
X1+ X2+ 2X3 ≤88
s.t
Y2
3X1+ X2+ 2X3 ≤180 Y3 2X1+ 2X2+ X3 ≤213 Y4 xj≥0, j=1,2,3
(D)
Min z=100Y1+88Y2+180Y3+213Y4 Y1+ Y2+ 3Y3 + 2Y4≥4 2Y1+ Y2+ Y3 + 2Y4≥2
s.t
4Y1+ 2Y2+ 2Y3 + Y4≥3
影子价格的经济意义

灵敏度分析--影子价格
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1. 甲乙两种资源中哪种资源的拥有量是制约利润进一步提 高的因素?
最优解为: x 1 5 ,x 2 0 ,x 3 3 ,x 4 0 ,x 5 0
解: (方法一) 由最终表格知,对偶问题的最优解为
y1
1 5
,
y2
3 5
.
又对偶问题最优解的经济学意义-----资源的影子价格得:
由于标准形的最优值为-27, 故此时对应的最大利润为27千元.
在此基础上,进一步考虑如下问题:
1. 甲乙两种资源中哪种资源的拥有量是制约利润进一步提 高的因素?
2. 若在市场上能按比正常价格贵0.5(千元)的单价买到资源 甲和乙, 问为了进一步提高净利润是否应该买?
3. 若欲通过提高售价提高产品B的单位利润,问B的单位利 润要提高多少(千元),才能仍在追求最大利润的目标下考虑 产品B的生产?
3. 若欲通过提高售价提高产品B的单位利润,问B的 单位利润要提高多少(千元),才能仍在追求最大利润 的目标下考虑产品B的生产?
灵敏度分析--影子价格
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对偶最优解的经济解释—影子价格
由强对偶定理可知，如果原问题有最优解 X ,
那么对偶问题也有最优解 Y(y1 ,y2 ,
,y) m
而且他们的目标函数值相等,即有:
灵敏度分析--影子价格
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例1、某工厂用甲,乙两种资源生产A,B,C三产品。 已知生产单位产品所需要的资源量,所获利润以及 每种资源的最大供给均列于表。试问如何安排生产 计划，即A,B,C三种产品各生产多少吨，可使该厂 所获得利润达到最大。
原料 AB
甲
63
乙
34
利润 3 1
(千元/吨)