届高考数学一轮总复习5.1数列的概念与简单表示法练习【含答案】

第六章
第一节 数列的概念与简单表示法
课标
1.了解数列的概念和表示方法(表格、图象、通项公式、递推公式).
解读
2.了解数列是一种特殊的函数.
强基础 增分策略
知识梳理
1.数列的有关概念
概念
含义
数列的项
按照 确定的顺序 排列的一列数
数列中的 每一个数
数列的通项
数列{an}的第n项an
数列
通项公式
前n项和
如果数列{an}的递推公式满足an+1-an=f(n)的形式,且f(n)可求和,那么就可
以运用累加法an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…+(a2-a1)+a1,求出数列
{an}的通项公式.
对点训练
1
3 数列{an}中,a1=0,an+1-an= + +1,且
√ √
an=9,则 n=
.
答案 100
1
解析∵an+1-an= + +1
√ √
= √ + 1 − √,
∴an=an-an-1+an-1-an-2+…+a2-a1+a1=√ − -1 + -1 − -2+…+√2 −
√1+0=√-1.∵an=9,即√-1=9,解得 n=100.
考向2.累乘法
-1
· ··
…·
2 3 4
+1
1
1
1
1
1
∴S30=1- + − +…+ −
2
2
3
30

数列的概念与简单表示法考向1由数列的前几项归纳数列的通项公式1．(2016·太原模拟)数列1,3,6,10，…的一个通项公式是( ) A ．a n ＝n 2－(n －1) B ．a n ＝n 2－1 C ．a n ＝n n ＋12D ．a n ＝n n －12【解析】 观察数列1,3,6,10，…可以发现1＝1， 3＝1＋2， 6＝1＋2＋3， 10＝1＋2＋3＋4，…第n 项为1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n n ＋12.∴a n ＝n n ＋12.【答案】 C2．数列{a n }的前4项是32，1，710，917，则这个数列的一个通项公式是a n ＝________.【解析】 数列可以看作32，55，710，917，…，分母可以看作12＋1,22＋1,32＋1,42＋1， 第n 项分母为n 2＋1，分子可以看作2×1＋1,2×2＋1,2×3＋1,2×4＋1， 第n 项分子为2n ＋1，故a n ＝2n ＋1n 2＋1.【答案】2n ＋1n 2＋1由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略1．常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．2．具体策略：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项的符号特征和绝对值特征；(5)化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；(6)对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k ＋1，k ∈N *处理．考向2由a n 与S n 的关系求通项(1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式a n ＝________.(2)已知下面数列{a n }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式： ①S n ＝2n 2－3n ；②S n ＝3n＋b .【解析】 (1)由S n ＝23a n ＋13得，当n ≥2时，S n －1＝23a n －1＋13，两式相减，整理得a n ＝－2a n －1，又n ＝1时，S 1＝a 1＝23a 1＋13，∴a 1＝1，∴{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，故a n ＝(－2)n －1.【答案】 (－2)n －1(2)①a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5， 由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5. ②a 1＝S 1＝3＋b ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1.当b ＝－1时，a 1适合此等式． 当b ≠－1时，a 1不适合此等式． ∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝{ 3＋b ，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.已知S n 求a n 的三个步骤1．当n ＝1时，a 1＝S 1. 2．当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.3．对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则a n 应写成分段函数的形式，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.[变式训练]1．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( ) A ．15 B ．16 C ．49D ．64【解析】 a 8＝S 8－S 7＝82－72＝15. 【答案】 A2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( ) A ．2n －1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1D.12n －1【解析】 由a n ＋1＝S n ＋1－S n ，得12S n ＝S n ＋1－S n ，即S n ＋1＝32S n (n ≥1)，又S 1＝a 1＝1，所以数列{S n }是首项为1，公比为32的等比数列，所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1，故选B.【答案】 B考向3由数列的递推公式求通项公式1. 根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式：(1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ；(2)a 1＝1，a n ＋1＝2na n ； (3)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2.【解】 (1)∵a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ，∴a n －a n －1＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n －1＝ln nn －1(n ≥2)， ∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝lnnn －1＋ln n －1n －2＋…＋ln 32＋ln 2＋2 ＝2＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫n n －1·n －1n －2·…·32·2＝2＋ln n (n ≥2)．又a 1＝2适合上式，故a n ＝2＋ln n (n ∈N *)． (2)∵a n ＋1＝2na n ， ∴a n a n －1＝2n －1(n ≥2)， ∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1 ＝2n －1·2n －2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n －1)＝2n n －12.又a 1＝1适合上式，故a n ＝2n n －12.(3)∵a n ＋1＝3a n ＋2， ∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，又a 1＝1，∴a 1＋1＝2，故数列{a n ＋1}是首项为2，公比为3的等比数列， ∴a n ＋1＝2·3n －1，因此a n ＝2·3n －1－1.典型的递推数列及处理方法递推式方法 示例a n ＋1＝ a n ＋f (n ) 叠加法a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n a n ＋1a n＝f (n ) 叠乘法 a 1＝1，a n ＋1a n ＝2na n ＋1＝pa n ＋q(p ≠0,1，q ≠0)化为等 比数列 a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1a n ＋1＝pa n ＋q · p n ＋1(p ≠0,1，q ≠0)化为等 差数列a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋3n ＋1其中n ＋1n n ＋1n n ＋1n －λ，与a n ＋1＝pa n ＋q 比较知只要λ＝qp －1即可．(2)a n ＋1＝pa n ＋q ·p n ＋1(p ≠0,1，q ≠0)的求解方法是两端同时除以pn ＋1，即得a n ＋1p n ＋1－a np n ＝q ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n p n 为等差数列． [变式训练]根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式： (1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3n ＋2； (2)a 1＝1，a n ＝n －1na n －1(n ≥2)； (3)a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1.【解】 (1)∵a n ＋1－a n ＝3n ＋2，∴a n －a n －1＝3n －1(n ≥2)， ∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n 3n ＋12(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝12×(3×1＋1)＝2适合上式，∴a n ＝32n 2＋n2.(2)∵a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，∴a n a n －1＝n －1n(n ≥2)， ∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝n －1n ·n －2n －1·…·12·1＝1n， 当n ＝1时适合上式，故a n ＝1n. (3)∵a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，又a 1＝1，∴a 1＋1＝2.∴数列{a n ＋1}是首项为2，公比为2的等比数列．∴a n ＋1＝2·2n －1，∴a n ＝2n－1.。

第1讲 数列的概念与简单表示法, )1．数列的定义、分类与通项公式 (1)数列的定义①数列：按照一定顺序排列的一列数． ②数列的项：数列中的每一个数．(2)数列的分类如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．2．数列的递推公式如果已知数列{a n }的首项(或前几项)，且任一项a n 与它的前一项a n －1(n ≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式．1．辨明两个易误点(1)数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关．(2)易混项与项数两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．2．数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在正整数集N *或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．3．a n 与S n 的关系a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n－S n －1，n ≥2.1.教材习题改编数列－1，12，－13，14，－15，…的一个通项公式为( )A ．a n ＝±1nB ．a n ＝(－1)n·1nC ．a n ＝(－1)n ＋11nD ．a n ＝1nB2.教材习题改编在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋（－1）na n －1(n ≥2)，则a 5＝( )A ．32B ．53C ．85D ．23D a 1＝1，a 2＝1＋1a 1＝2，a 3＝1－1a 2＝12，a 4＝1＋1a 3＝3，a 5＝1－1a 4＝23.3.教材习题改编下列图形的点数构成数列{a n }，则a 8等于( )A ．17B ．22C ．25D ．28B 法一：由题图知，a 1＝1，a 2＝4，a 3＝7，从第2个图开始，每一图的点数比它的上一图多3，则有a 8＝a 7＋3＝a 6＋3＋3＝a 5＋3＋3＋3＝a 4＋3＋3＋3＋3＝a 3＋3＋3＋3＋3＋3＝7＋5×3＝22.法二：由a 1＝1，a 2＝4，a 3＝7，…，知{a n }的一个通项公式为a n ＝3n －2，所以a 8＝3×8－2＝22，故选B.4.教材习题改编已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a 2n －1－1(n >1)，则a 2 017＝__________，|a n＋a n ＋1|＝__________(n >1)．由a 1＝1，a n ＝a 2n －1－1，得a 2＝a 21－1＝12－1＝0，a 3＝a 22－1＝02－1＝－1， a 4＝a 23－1＝(－1)2－1＝0，a 5＝a 24－1＝02－1＝－1，由此可猜想当n >1时，n 为奇数时a n ＝－1，n 为偶数时a n ＝0，所以a 2 017＝－1，|a n ＋a n ＋1|＝1.－1 15．若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式a n ＝________．由S n ＝23a n ＋13，得当n ≥2时，S n －1＝23a n －1＋13，两式相减，得a n ＝23a n －23a n －1，所以当n ≥2时，a n ＝－2a n －1. 又n ＝1时，S 1＝a 1＝23a 1＋13，a 1＝1，所以a n ＝(－2)n －1.(－2)n －1由a n 与S n 的关系求通项公式a n (高频考点)a n 与S n 关系的应用是高考的常考内容，且多出现在选择题或填空题中，有时也出现在解答题的已知条件中，属容易题．高考对a n 与S n 关系的考查主要有以下两个命题角度： (1)利用a n 与S n 的关系求通项公式a n ； (2)利用a n 与S n 的关系求S n .(1)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( ) A ．2n －1B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1D ．12n －1 (2)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n－3，则数列{a n }的通项公式为________． 【解析】 (1)由已知S n ＝2a n ＋1，得S n ＝2(S n ＋1－S n )，即2S n ＋1＝3S n ，S n ＋1S n ＝32，而S 1＝a 1＝1，所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n－3)－(2n －1－3)＝2n －2n －1＝2n －1，a 1不适合此等式．所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －1，n ≥2.【答案】 (1)B (2)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －1，n ≥2已知S n 求a n 的三个步骤(1)先利用a 1＝S 1求出a 1.(2)用n －1(n ≥2)替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式．(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写．角度一 利用a n 与S n 的关系求通项公式a n1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2－2n ＋2，则数列{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝2n －3B ．a n ＝2n ＋3C ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －3，n ≥2D ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n ＋3，n ≥2C 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －3，由于n ＝1时a 1的值不适合n ≥2的解析式，故通项公式为C.角度二 利用a n 与S n 的关系求S n2．(2015·高考全国卷Ⅱ)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n＝________．因为 a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝S n S n ＋1， 所以 S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1.因为 S n ≠0，所以 1S n －1S n ＋1＝1，即1S n ＋1－1S n＝－1.又1S 1＝－1，所以 {1S n}是首项为－1，公差为－1的等差数列．所以 1S n ＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，所以 S n ＝－1n.－1n由数列的递推关系求通项公式分别求出满足下列条件的数列的通项公式． (1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋(2n －1)(n ∈N *)； (2)a 1＝1，a n ＝nn －1a n －1(n ≥2，n ∈N *)．【解】 (1)a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋…＋(a n －a n －1)＝0＋1＋3＋…＋(2n －5)＋(2n －3)＝(n －1)2，所以数列的通项公式为a n ＝(n －1)2. (2)当n ≥2，n ∈N *时，a n ＝a 1×a 2a 1×a 3a 2×…×a na n －1＝1×21×32×…×n －2n －3×n －1n －2×nn －1＝n ，当n ＝1时，也符合上式， 所以该数列的通项公式为a n ＝n .1．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1），求a n .a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝⎝⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －2－1n －1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋2＝3－1n . 2．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2na n ，求a n . 由于a n ＋1a n＝2n， 故a 2a 1＝21，a 3a 2＝22，…，a n a n －1＝2n －1， 将这n －1个等式叠乘，得a n a 1＝21＋2＋…＋(n －1)＝2n （n －1）2，故a n ＝2n （n －1）2.数列的性质已知数列{a n }的前n 项和为S n ，常数λ>0，且λa 1a n ＝S 1＋S n 对一切正整数n 都成立．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设a 1>0，λ＝100.当n 为何值时，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 1a n 的前n 项和最大？【解】 (1)取n ＝1，得λa 21＝2S 1＝2a 1，a 1(λa 1－2)＝0. 若a 1＝0，则S n ＝0，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝0－0＝0， 所以a n ＝0.若a 1≠0，则a 1＝2λ，当n ≥2时，2a n ＝2λ＋S n ，2a n －1＝2λ＋S n －1，两式相减得2a n －2a n －1＝a n ， 所以a n ＝2a n －1(n ≥2)，从而数列{a n }是等比数列， 所以a n ＝a 1·2n －1＝2λ·2n －1＝2nλ. 综上，当a 1＝0时，a n ＝0； 当a 1≠0时，a n ＝2nλ.(2)当a 1>0且λ＝100时， 令b n ＝lg 1a n，由(1)知b n ＝lg 1002n ＝2－n lg 2.所以数列{b n }是单调递减的等差数列(公差为－lg 2)．b 1>b 2>…>b 6＝lg10026＝lg10064>lg 1＝0， 当n ≥7时，b n ≤b 7＝lg 10027＝lg 100128<lg 1＝0，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 1a n 的前6项的和最大．(1)判断数列单调性的两种方法①作差比较法：a n ＋1－a n >0⇔数列{a n }是单调递增数列；a n ＋1－a n <0⇔数列{a n }是单调递减数列；a n ＋1－a n ＝0⇔数列{a n }是常数列．②作商比较法： 〈1〉当a n >0时，a n ＋1a n >1⇔数列{a n }是单调递增数列；a n ＋1a n<1⇔数列{a n }是单调递减数列；a n ＋1a n＝1⇔数列{a n }是常数列． 〈2〉当a n <0时，a n ＋1a n >1⇔数列{a n }是单调递减数列；a n ＋1a n<1⇔数列{a n }是单调递增数列；a n ＋1a n＝1⇔数列{a n }是常数列． (2)求数列最大项或最小项的方法①可以利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1(n ≥2)找到数列的最大项；②利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≥a n ，a n ≤a n ＋1(n ≥2)找到数列的最小项．1．设a n ＝－3n 2＋15n －18，则数列{a n }中的最大项的值是( ) A ．163B ．133C ．4D ．0D a n ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522＋34，由二次函数性质，得当n ＝2或n ＝3时，a n 取最大值，最大值为a 2＝a 3＝0.故选D.2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（3－a ）x －3（x ≤7），a x －6（x >7），数列{a n }满足a n ＝f (n )，n ∈N *，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫94，3B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，3 C ．(1，3)D ．(2，3)D 因为数列{a n }是递增数列，又a n ＝f (n )(n ∈N *)． 所以⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，f （8）>f （7）⇒2<a <3.3．数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，a 8＝2，则a 1＝________．因为a n ＋1＝11－a n， 所以a n ＋1＝11－a n ＝11－11－a n －1＝1－a n －11－a n －1－1＝1－a n －1－a n －1＝1－1a n －1＝1－111－a n －2＝1－(1－a n －2)＝a n －2， 所以周期T ＝(n ＋1)－(n －2)＝3. 所以a 8＝a 3×2＋2＝a 2＝2. 而a 2＝11－a 1，所以a 1＝12. 12, )——数列问题中的函数思想已知{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N *，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是________．【解析】 法一：(定义法)因为{a n }是递增数列，所以对任意的n ∈N *，都有a n ＋1＞a n ，即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)＞n 2＋λn ，整理，得2n ＋1＋λ＞0，即λ＞－(2n ＋1)．(*)因为n ≥1，所以－(2n ＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ＞－3.法二：(函数法)设f (n )＝a n ＝n 2＋λn ，其图象的对称轴为直线n ＝－λ2，要使数列{a n }为递增数列，只需使定义在正整数集上的函数f (n )为增函数，故只需满足f (1)＜f (2)，即λ＞－3.【答案】 (－3，＋∞)已知数列的单调性求参数的取值范围，一般有两种方法：(1)利用数列的单调性构建不等式，然后将其转化为不等式的恒成立问题进行解决，也可通过分离参数将其转化为最值问题处理；(2)利用数列与函数之间的特殊关系，将数列的单调性转化为相应函数的单调性，利用函数的性质求解参数的取值范围，但要注意数列通项中n 的取值范围．一给定函数y ＝f (x )的图象在下列各图中，并且对任意a 1∈(0，1)，由关系式a n ＋1＝f (a n )得到的数列{a n }满足a n ＋1>a n (n ∈N *)，则该函数的图象是( )A 由a n ＋1＝f (a n )，a n ＋1>a n 知f (a n )>a n ， 可以知道x ∈(0，1)时f (x )>x ， 即f (x )的图象在y ＝x 图象的上方， 由选项中所给的图象可以看出，A 符合条件．, )1．已知n ∈N *，给出四个表达式：①a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n 为奇数，1，n 为偶数，②a n ＝1＋（－1）n2，③a n ＝1＋cos n π2，④a n ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin n π2.其中能作为数列：0，1，0，1，0，1，0，1，…的通项公式的是( ) A ．①②③ B ．①②④ C ．②③④D ．①③④A 检验知①②③都是所给数列的通项公式． 2．已知数列{a n }的通项公式a n ＝1n （n ＋2）(n ∈N *)，则1120是这个数列的( )A ．第8项B ．第9项C ．第10项D ．第12项C 由题意知1120＝1n （n ＋2），n ∈N *，解得n ＝10，即1120是这个数列的第10项．3．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1a n ＝2n(n ∈N *)，则a 10＝( ) A ．64 B ．32 C ．16D ．8B 因为a n ＋1a n ＝2n，所以a n ＋2a n ＋1＝2n ＋1，两式相除得a n ＋2a n＝2.又a 1a 2＝2，a 1＝1，所以a 2＝2.法一：a 10a 8·a 8a 6·a 6a 4·a 4a 2＝24，即a 10＝25＝32. 法二：数列{a 2n }是首项为2，公比为2的等比数列， 所以a 10＝2×24＝32.4．数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝( )A ．6116B ．259C ．2516D ．3115A 法一：令n ＝2，3，4，5分别求出a 3＝94，a 5＝2516，所以a 3＋a 5＝6116.法二：当n ≥2时，a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2.当n ≥3时，a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2.两式相除得a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n n －12，所以a 3＝94，a 5＝2516，所以a 3＋a 5＝6116.5．在各项均为正数的数列{a n }中，对任意m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ·a n .若a 6＝64，则a 9等于( )A ．256B ．510C ．512D ．1 024C 在各项均为正数的数列{a n }中，对任意m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ·a n .所以a 6＝a 3·a 3＝64，a 3＝8.所以a 9＝a 6·a 3＝64×8＝512.6．在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝7，a n ＋2等于a n a n ＋1(n ∈N *)的个位数，则a 2 017＝( ) A ．8 B ．6 C ．4D ．2D 由题意得：a 3＝4，a 4＝8，a 5＝2，a 6＝6，a 7＝2，a 8＝2，a 9＝4，a 10＝8；所以数列中的项从第3项开始呈周期性出现，周期为6，故a 2 017＝a 335×6＋7＝a 7＝2.7．(2017·杭州模拟)数列{a n}定义如下：a 1＝1，当n ≥2时，a n＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋a n 2，n 为偶数，1a n －1，n 为奇数，若a n ＝14，则n 的值为________．因为a 1＝1，所以a 2＝1＋a 1＝2，a 3＝1a 2＝12，a 4＝1＋a 2＝3，a 5＝1a 4＝13，a 6＝1＋a 3＝32，a 7＝1a 6＝23，a 8＝1＋a 4＝4，a 9＝1a 8＝14，所以n ＝9.98．下列关于星星的图案构成一个数列，则该数列的一个通项公式是________．从题图中可观察星星的构成规律，n ＝1时，有1个，n ＝2时，有3个；n ＝3时，有6个；n ＝4时，有10个；…，所以a n ＝1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n （n ＋1）2.a n ＝n （n ＋1）29．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝2S 2n 2S n －1(n ≥2)，其中S n 为{a n }的前n 项和，则S 2 016＝________．当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2S 2n2S n －1，整理得1S n －1S n －1＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是公差为2的等差数列，又1S 1＝1a 1＝1，所以1S n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，S n ＝12n －1，所以S 2 016＝12×2 016－1＝14 031.14 03110．(2017·长春模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，{S n ＋na n }为常数列，则a n ＝________．由题意知，S n ＋na n ＝2，当n ≥2时，(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1，从而a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝13·24·…·n －1n ＋1，有a n ＝2n （n ＋1）， 当n ＝1时上式成立，所以a n ＝2n （n ＋1）.2n （n ＋1）11．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋1－2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n ＋a n ＋1，求数列{b n }的通项公式． (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝22－2＝2； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2－(2n －2)＝2n ＋1－2n ＝2n.因为a 1也适合此等式， 所以a n ＝2n(n ∈N *)． (2)因为b n ＝a n ＋a n ＋1， 且a n ＝2n，a n ＋1＝2n ＋1，所以b n ＝2n＋2n ＋1＝3·2n.12．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n(n ∈N *)，则该数列的前 2 017项的乘积a 1·a 2·a 3·…·a 2 017＝________．因为a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n (n ∈N *)，所以a 2＝1＋a 11－a 1＝1＋21－2＝－3，a 3＝1＋a 21－a 2＝1－31＋3＝－12， a 4＝1＋a 31－a 3＝1－121＋12＝13，a 5＝1＋a 41－a 4＝1＋131－13＝2＝a 1.所以数列{a n }的周期T ＝5－1＝4. 而a 2 017＝a 504×4＋1＝a 1＝2.a 1a 2a 3a 4＝2×(－3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×13＝1，所以a 1·a 2·a 3·…·a 2 016·a 2 017＝1504·a 2 017＝2. 213．已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．(1)由S 2＝43a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3.由S 3＝53a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6.(2)由题设知a 1＝1. 当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n ＝n ＋1n －1a n －1. 于是a 1＝1， a 2＝31a 1， a 3＝42a 2，…a n －1＝nn －2a n －2，a n ＝n ＋1n －1a n －1.将以上n 个等式两端分别相乘， 整理得a n ＝n （n ＋1）2.显然，当n ＝1时也满足上式． 综上可知，{a n }的通项公式a n ＝n （n ＋1）2.14．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋4.(1)若k ＝－5，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值； (2)若对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，求实数k 的取值范围． (1)由n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4. 因为n ∈N *，所以n ＝2，3，所以数列中有两项是负数，即为a 2，a 3.因为a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522－94，由二次函数性质，得当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2. (2)由a n ＋1>a n 知该数列是一个递增数列，又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，可以看作是关于n 的二次函数，考虑到n ∈N *，所以－k 2<32，即得k >－3.所以实数k 的取值范围为(－3，＋∞)．。

课时作业1．在数列{a n }中，a n ＝n 2－9n －100，则最小的项是( ) A ．第4项 B ．第5项C ．第6项D ．第4项或第5项【解析】　∵a n ＝(n －92)2－814－100，∴n ＝4或5时，a n 最小．【答案】　D2．数列{a n }：1，－58，715，－924，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝(－1)n ＋12n －1n 2＋n (n ∈N ＋)B ．a n ＝(－1)n －12n ＋1n 3＋3n (n ∈N ＋)C ．a n ＝(－1)n ＋12n －1n 2＋2n (n ∈N ＋)D ．a n ＝(－1)n －12n ＋1n 2＋2n(n ∈N ＋)【解析】　观察数列{a n }各项，可写成：31×3，－52×4，73×5，－94×6，故选D ．【答案】　D3．(2022·福建福州质检)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1(n ∈N *)，则a 2 019＝( )A ．1B ．0C ．2 019D ．－2 019【解析】　∵a 1＝1，∴a 2＝(a 1－1)2＝0，a 3＝(a 2－1)2＝1，a 4＝(a 3－1)2＝0，…，可知数列{a n }是以2为周期的数列，∴a 2 019＝a 1＝1．【答案】　A4．(2022·大庆二模)已知数列{a n }满足：a n ＝{（3－a ）n －3，n ≤7a n －6，n >7(n ∈N *)，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A ．(94，3)B ．[94，3)C ．(1，3)D ．(2，3)【解析】　根据题意，a n＝f(n)＝{（3－a）n－3，n≤7a n－6，n>7，n∈N*，要使{a n}是递增数列，必有{3－a>0a>1（3－a）×7－3<a8－6，据此有：{a<3a>1a>2或a<－9，综上可得2<a<3．【答案】　D5．(2022·黄冈模拟)已知数列{a n}的前n项和为S n＝n2－2n＋2，则数列{a n}的通项公式为( )A．a n＝2n－3 B．a n＝2n＋3C．a n＝{1，n＝12n－3，n≥2D．a n＝{1，n＝12n＋3，n≥2【解析】　当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2n－3，由于a1的值不适合上式，故选C．【答案】　C6．(多选)(2022·常州期末)已知数列{a n}中，a1＝2，a n＋1＝1＋a n1－a n，使a n＝－12的n可以是( )A．2 019 B．2 021C．2 022 D．2 023【解析】　由题意可知，a1＝2，a2＝－3，a3＝－12，a4＝13，a5＝2，a6＝－3，a7＝－12，a8＝13，可得数列{a n}的周期为4，所以a2 019＝a3＝－12，a2 021＝a1＝2，a2 022＝a2＝－3，a2 023＝a3＝－12，所以使a n＝－12的n可以是2 019，2 023，故答案选AD．【答案】　AD7．(2022·石家庄二模)在数列{a n}中，已知a1＝2，a2＝7，a n＋2等于a n a n＋1(n∈N*)的个位数，则a2 015＝( )A．8 B．6C．4 D．2【解析】　由题意得a3＝4，a4＝8，a5＝2，a6＝6，a7＝2，a8＝2，a9＝4，a10＝8．所以数列中的项从第3项开始呈周期性出现，周期为6，故a2 015＝a335×6＋5＝a5＝2．【答案】　D8．(多选)已知数列{a n}满足a1＝－12，a n＋1＝11－a n，则下列各数是{a n}的项的有( )A．－2 B．2 3C．32D．3【解析】　∵数列{a n}满足a1＝－12，a n＋1＝11－a n，∴a2＝11－(－12)＝23，a3＝11－a2＝3，a4＝11－a3＝－12＝a1，∴数列{a n}是周期为3的数列，且前3项为－12，23，3，故选BD．【答案】　BD9．(多选)下列四个命题中，正确的有( )A．数列{n＋1n}的第k项为1＋1kB．已知数列{a n}的通项公式为a n＝n2－n－50，n∈N*，则－8是该数列的第7项C．数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为a n＝2n－1D．数列{a n}的通项公式为a n＝nn＋1，n∈N*，则数列{a n}是递增数列【解析】　对于A，数列{n＋1n}的第k项为1＋1k，A正确；对于B，令n2－n－50＝－8，得n＝7或n＝－6(舍去)，B正确；对于C，将3，5，9，17，33，…的各项减去1，得2，4，8，16，32，…，设该数列为{b n}，则其通项公式为b n＝2n(n∈N*)，因此数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为a n＝b n＋1＝2n＋1(n∈N*)，C错误；对于D，a n＝nn＋1＝1－1n＋1，则a n＋1－a n＝1n＋1－1n＋2＝1（n＋1）（n＋2）>0，因此数列{a n}是递增数列，D正确．故选ABD．【答案】　ABD10．(2022·太原二模)已知数列{a n}满足a1＝1，a n－a n＋1＝na n a n＋1(n∈N*)，则a n＝________．【解析】　由已知得1a n＋1－1a n＝n，∴1a n－1a n－1＝n－1，1a n－1－1a n－2＝n－2，…，1a2－1a1＝1，∴1a n －1a1＝n （n －1）2，∴1an ＝n 2－n ＋22，∴a n ＝2n 2－n ＋2．【答案】　2n 2－n ＋211．在数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝________．【解析】　由题意知a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2，∴a n ＝(nn －1)2(n ≥2)，∴a 3＋a 5＝(32)2＋(54)2＝6116． 【答案】　611612．数列{a n }满足12a 1＋122a 2＋…＋12n a n ＝2n ＋5，n ∈N *，则a n ＝________．【解析】　在12a 1＋122a 2＋…＋12n a n ＝2n ＋5中，用n －1代换n 得12a 1＋122a 2＋…＋12n －1a n －1＝2(n －1)＋5 (n ≥2)，两式相减得12n a n ＝2，a n ＝2n ＋1，又12a 1＝7，即a 1＝14，故a n＝{14，n ＝1，2n ＋1，n ≥2.【答案】　{14，n ＝1，2n ＋1，n ≥213．根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式． (1)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2； (2)a 1＝1，a n ＋1＝(n ＋1)a n ； (3)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln (1＋1n)．【解】　(1)∵a n ＋1＝3a n ＋2， ∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝3，∴数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3，又a 1＋1＝2， ∴a n ＋1＝2·3n －1，∴a n ＝2·3n －1－1．(2)∵a n ＋1＝(n ＋1)a n ，∴a n ＋1an ＝n ＋1．∴a nan －1＝n ，a n －1a n －2＝n －1，…a 3a 2＝3，a 2a1＝2，a 1＝1． 累乘可得，a n ＝n ×(n －1)×(n －2)×…×3×2×1＝n! 故a n ＝n!(3)∵a n ＋1＝a n ＋ln (1＋1n )，∴a n ＋1－a n ＝ln (1＋1n )＝ln n ＋1n．∴a n －a n －1＝ln nn －1，a n －1－a n －2＝ln n －1n －2，…a 2－a 1＝ln 21，∴a n －a 1＝ln n n －1＋ln n －1n －2＋…＋ln 21＝ln n ．又a 1＝2，∴a n ＝ln n ＋2．14．设数列{a n }的前n 项和为S n ．已知a 1＝a (a ∈R 且a ≠3)，a n ＋1＝S n ＋3n ，n ∈N *． (1)设b n ＝S n －3n ，求数列{b n }的通项公式； (2)若a n ＋1≥a n ，n ∈N *，求a 的取值范围． 【解】　(1)依题意，S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n ， 即S n ＋1＝2S n ＋3n ，由此得S n ＋1－3n ＋1＝2(S n －3n )， 又S 1－31＝a －3(a ≠3)，故数列{S n －3n }是首项为a －3，公比为2的等比数列， 因此，所求通项公式为b n ＝S n －3n ＝(a －3)2n －1，n ∈N *． (2)由(1)知S n ＝3n ＋(a －3)2n －1，n ∈N *， 于是，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋(a －3)2n －1－3n －1－(a －3)2n －2＝2×3n －1＋(a －3)2n －2， a n ＋1－a n ＝4×3n －1＋(a －3)2n －2 ＝2n －2[12·(32)n －2＋a －3]，当n≥2时，a n＋1≥a n 12·(32)n－2＋a－3≥0 a≥－9．又a2＝a1＋3＞a1．综上，所求a的取值范围是[－9，3)∪(3，＋∞)．。