有理插值函数的构造新方法_荆科

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克里金插值法克里金插值法又称空间局部插值法，是以变异函数理论和结构分析为基础,在有限区域内对区域化变量进行无偏最优估计的一种方法，是地统计学的主要内容之一,由南非矿产工程师D 。

Matheron 于1951年在寻找金矿时首次提出，法国著名统计学家G. Matheron 随后将该方法理论化、系统化,并命名为Kriging ，即克里金插值法.1 克里金插值法原理克里金插值法的适用范围为区域化变量存在空间相关性，即如果变异函数和结构分析的结果表明区域化变量存在空间相关性,则可以利用克里金插值法进行内插或外推。

其实质是利用区域化变量的原始数据和变异函数的结构特点，对未知样点进行线性无偏、最优估计，无偏是指偏差的数学期望为0，最优是指估计值与实际值之差的平方和最小［1］.因此，克里金插值法是根据未知样点有限领域内的若干已知样本点数据，在考虑了样本点的形状、大小和空间方位,与未知样点的相互空间关系，以及变异函数提供的结构信息之后，对未知样点进行的一种线性无偏最优估计。

假设研究区域a 上研究变量Z(x),在点x i ∈A （i=1，2，……,n ）处属性值为Z(x i )，则待插点x 0∈A 处的属性值Z （x 0）的克里金插值结果Z*（x 0）是已知采样点属性值Z （x i ）（i=1,2，……，n)的加权和，即：)()(10*i ni i x Z x Z ∑==λ (1） 式中i λ是待定权重系数。

参数优化的有理函数图像插值算法1. 引言1.1 研究背景和现状1.2 算法研究的目的和意义1.3 论文的结构2. 有理函数图像插值的基本原理2.1 有理函数的定义和性质2.2 图像插值的定义和方法2.3 有理函数图像插值的基本原理3. 参数优化的有理函数图像插值算法3.1 参数优化的思路和方法3.2 有理函数图像插值的参数优化策略3.3 基于参数优化的有理函数图像插值算法4. 算法实验及结果分析4.1 实验设计和数据集4.2 实验结果和分析4.3 算法的性能和优缺点5. 结论和展望5.1 论文的主要贡献和创新点5.2 存在的问题和改进方向5.3 未来研究的方向和展望注：加粗的为章节标题。

1. 引言1.1 研究背景和现状随着数字技术的发展和应用的普及，图像处理在图像识别、图像搜索、医学影像处理、多媒体等领域中得到了广泛应用。

在图像处理中，插值是一种常用的方法，可以增加图像的像素密度，使图像更加清晰、细腻和真实。

对于有理函数图像插值问题，目前研究比较多的是采用分式插值的方法。

但是，利用传统的分式插值方法需要大量的计算和存储，同时精度也有限。

因此，基于参数优化的有理函数图像插值算法成为了一种新的解决方案。

1.2 算法研究的目的和意义本论文的主要目的是研究一种参数优化的有理函数图像插值算法，以提高有理函数图像插值的精度和效率。

这种算法可以基于给定的一些节点来构建一个优化的有理函数证明。

因此，在计算和存储方面都可以减少消耗，同时具有较高的精度。

该算法可以广泛应用于图像处理领域，如数字图形学、图像识别等，有着重要的意义。

1.3 论文的结构本论文一共包括五个章节，具体结构如下：第一章：引言本章主要介绍论文的研究背景、现状、研究目的和意义，以及论文的结构。

第二章：有理函数图像插值的基本原理本章主要介绍有理函数的定义和性质，图像插值的定义和方法，有理函数图像插值的基本原理，为后续的算法研究奠定基础。

第三章：参数优化的有理函数图像插值算法本章主要介绍参数优化的思路和方法，有理函数图像插值的参数优化策略，以及基于参数优化的有理函数图像插值算法，详细讲解算法的实现和原理。

二元有理插值函数的构造新方法
二元有理插值函数是一种插值函数，它可以用来拟合两个点之间的函数。

它的构造方法是，在两个点之间构造一个函数，使得该函数在两个点处取得指定的值，并且在两个点之间的
曲线是平滑的。

这种插值函数的优点是，它可以用来拟合任意两个点之间的函数，而且拟
合的曲线是平滑的，不会出现锯齿状的现象。

二元有理插值函数的构造新方法可以用来拟合任意两个点之间的函数，从而解决复杂的函
数拟合问题。

例如，在机器学习中，可以使用二元有理插值函数来拟合复杂的函数，从而
解决复杂的机器学习问题。

此外，二元有理插值函数还可以用来拟合多维函数，从而解决
多维函数拟合问题。

此外，二元有理插值函数的构造新方法还可以用来解决复杂的数值计算问题。

例如，在数值积分中，可以使用二元有理插值函数来拟合复杂的函数，从而解决复杂的数值积分问题。

此外，二元有理插值函数还可以用来拟合多维函数，从而解决多维数值计算问题。

总之，二元有理插值函数的构造新方法可以用来解决复杂的函数拟合、机器学习、数值积分和多维数值计算等问题，从而提高计算效率，提高计算精度。

因此，二元有理插值函数
的构造新方法可以说是一种非常有用的技术，它可以为计算机科学和工程技术的发展做出
重要贡献。

向量值有理插值的一种算法
李慷慨
【期刊名称】《科学与财富》
【年(卷),期】2012(000)007
【摘要】关于有理插值的算法已有很多,受A Study of the Existence of Vector Valued Rational Interpolation和Reliable Rational Interpolationde的启发,本文运用分段有理插值的思想给出了满足所有插值条件的向量值有理函数的构造方法,所给出的方法具有可操作性,可以上机编程,易于实现,具有较好的灵活性.
【总页数】1页(P47)
【作者】李慷慨
【作者单位】安徽省蚌埠第五中学安徽蚌埠233000
【正文语种】中文
【相关文献】
1.二元向量值有理插值的一种递推算法
2.向量值有理插值函数的递推算法
3.三元向量值混合有理插值及其算法
4.二元对角向量值有理插值的算法
5.向量值有理插值的逐步降阶算法
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构造给定极点的有理插值新方法张玉武【期刊名称】《《安庆师范学院学报（自然科学版）》》【年(卷),期】2019(025)003【总页数】4页(P7-9,15)【关键词】计算数学; 极点; 有理函数; 插值【作者】张玉武【作者单位】六安职业技术学院基础部安徽六安237158【正文语种】中文【中图分类】O24插值法是一种古老的数学方法，基本做法是通过给定已知点的信息，构造一函数，估算其他点处的函数值，常用的插值方法有多项式插值、有理函数插值等。

常用的多项式插值方法有Lagrange插值、New ton插值、Herm ite插值等，它具有结构简单便于构造、插值函数存在且唯一的特点[1]。

对于插值节点较少时效果较好，当等距插值节点增多时，会出现激烈的震荡，产生Runge现象。

有理函数插值常用的有Thiele型连分式插值、重心有理插值等，它比多项式插值要复杂得多，主要表现在有理函数插值未必一定有解、难以避免极点的存在和控制极点位置等。

本文基于多项式插值，给出构造给定极点的有理插值新方法，数值例子表明新方法具有较好的逼近效果。

1 有理函数插值设是被插值函数的个节点，记设所谓有理函数插值就是通过构造有理分式函数满足构造有理插值函数需要通过（1）、（2）式求解线性方程组，计算量较大。

基于逆差商的Thiele型连分式插值是构造有理插值函数常用方法[2]，通过构造如下形式的连分式函数为f(x)在节点处的l阶逆差商，其中，使得成立。

Thiele型连分式插值，不需要求解线性方程组也可以实现有理插值函数的求解，而且具有表达式简单、计算方便的优点，然而，它无法避免极点的出现，也无法控制极点的位置。

对于给定极点的有理插值，朱功勤等[3]、张澜等[4]基于Thiele型连分式插值分别给出了给定极点的有理函数插值的构造方法。

Schneider等给出了重心有理插值方法[5]，其公式为其中称为插值权，若ui≠0，可以使得成立。

Schneide等指出，如果插值函数在上没有极点，那么。

求解两点边值问题的有理插值galerkin法Galerkin法，也称作分子法，是一种用于求解两点边值问题的有理插值方法。

Galerkin法可以用来解决插值方法，拟合数据的关系，和求得自变量的取值（如拟合函数的极值）。

在本文中，将会介绍Galerkin 法如何在求解两点边值问题中发挥重要作用，并说明什么情况下Galerkin法更为有效。

一、什么是两点边值问题两点边值问题（Boundary Value Problem）是指一类特定的非线性问题，通常用来描述在一个定义域内满足现实条件下数学模型的求解/拟合过程。

大致可以分为初值问题和边值问题两类，前者是解决带有初始函数的初值问题的拟合（如求解ODE），而边值问题指的是描述定义域内间断函数满足边界条件的不等式系统（如求解PDE）。

二、Galerkin法的基本原理基于Galerkin法的变分原理，首先需要对两点边值问题的求解模型进行一定的定义和代数处理。

具体步骤如下：（1）首先根据问题及定义域内数学模型，确定一系列未知函数作为待求解变量；（2）构造一个能够捕获定义域及边界条件的函数类；（3）对函数空间进行 Galerkin正交展开，用有理函数作为基函数，通过矩阵运算把边值问题转换为矩阵有关的二次模型（要求基函数的数量大于待求解的未知函数的数量）。

（4）根据所构造出的二次模型，求解出未知函数及边界条件。

三、Galerkin法与常规插值法对比Galerkin法以有理函数作为基函数构建二次模型，从而更好地捕获定义域内的特征，更有效地描述二维数据的格式关系；而常规插值法，虽然也能够解决边值问题，但是很难实现高维数据的有效拟合，无论是精准度还是效率都很难达到Galerkin法的标准。

四、总结Galerkin法是用于求解两点边值问题的有理插值方法，它在变分原理的基础上，构造一个基于有理函数的函数空间，从而捕获边界条件及局部变化信息，更有效地拟合二维数据，并有助于求解未知函数及其边界条件。

克里金插值法是一种估计未知点值的方法，其基础是空间自相关理论。

克里金插值的迭代过程可以描述如下：
1.初始估计：首先，对未知点的值进行初始估计，这通常是一个简单的插值方法，
如最近邻插值或线性插值。

2.计算变异函数：然后，根据已知点的数据和初始估计的未知点值，计算变异函
数。

变异函数描述了空间中两点之间的方差变化。

3.更新估计：使用变异函数和已知点的数据，对未知点的值进行更新。

这个过程
通常涉及到权重计算，其中权重根据空间距离和方差变化来决定。

4.迭代：重复步骤2和3，直到未知点的值收敛或达到预设的迭代次数。

5.结果：最终得到的未知点值就是克里金插值的结果。

这个过程是迭代进行的，每次迭代都会根据上一次的结果和已知点的数据来更新未知点的估计值。

由于这个过程涉及到权重计算和迭代更新，所以它被称为克里金插值的迭代过程。

请注意，具体实现可能因软件和编程语言的不同而有所差异。

克里金插值法克里金插值法又称空间局部插值法，是以变异函数理论和结构分析为基础，在有限区域内对区域化变量进行无偏最优估计的一种方法，是地统计学的主要内容之一，由南非矿产工程师D. Matheron 于1951年在寻找金矿时首次提出，法国著名统计学家G. Matheron 随后将该方法理论化、系统化，并命名为Kriging ，即克里金插值法。

1 克里金插值法原理克里金插值法的适用范围为区域化变量存在空间相关性，即如果变异函数和结构分析的结果表明区域化变量存在空间相关性，则可以利用克里金插值法进行内插或外推。

其实质是利用区域化变量的原始数据和变异函数的结构特点，对未知样点进行线性无偏、最优估计，无偏是指偏差的数学期望为0，最优是指估计值与实际值之差的平方和最小[1]。

因此，克里金插值法是根据未知样点有限领域内的若干已知样本点数据，在考虑了样本点的形状、大小和空间方位，与未知样点的相互空间关系，以及变异函数提供的结构信息之后，对未知样点进行的一种线性无偏最优估计。

假设研究区域a 上研究变量Z （x ），在点x i ∈A （i=1，2，……，n ）处属性值为Z （x i ），则待插点x 0∈A 处的属性值Z （x 0）的克里金插值结果Z*（x 0）是已知采样点属性值Z （x i ）（i=1，2，……，n ）的加权和，即：)()(10*i ni i x Z x Z ∑==λ （1） 式中i λ是待定权重系数。

其中Z(x i )之间存在一定的相关关系，这种相关性除与距离有关外，还与其相对方向变化有关，克里金插值方法将研究的对象称“区域化变量”针对克里金方法无偏、最小方差条件可得到无偏条件可得待定权系数i λ (i=1，2，……，n)满足关系式：11=∑=n i i λ（2）以无偏为前提，kriging 方差为最小可得到求解待定权系数i λ的方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋯⋯==+∑∑==1)n ,2,1)(,(),(101n i i j j i n i i j x x C x x C λμλ， （3） 式中，C （x i ，x j ）是Z(x i )和Z(x j )的协方差函数。

二阶切触有理插值算子的构造方法马锦锦【摘要】通过引入二阶插值算子,给出了一种较为简便的构造切触有理插值的新方法和一个新型的切触有理插值公式.如果用该方法所得到的插值函数次数较高,还可以通过引入多个参数的方法,对所构造的有理插值函数进行降次.该方法比常用的连分式方法更为简便易行,具有较高的实用价值.【期刊名称】《重庆文理学院学报（社会科学版）》【年(卷),期】2016(035)002【总页数】4页(P37-39,50)【关键词】二阶插值算子;切触有理插值;降次;参数;连分式【作者】马锦锦【作者单位】安徽建筑大学数理学院,安徽合肥230601【正文语种】中文【中图分类】O174.42已有的切触有理插值研究方法大多是基于连分式的方法[1-3].这些方法运算量较大，并且运算也会受到特定条件的限制，不便于实际操作.因此，本文引入二阶插值算子，给出一种较为简便的构造切触有理插值的新方法.首先讨论切触有理插值问题.定义1 切触有理插值[4]设x0<x1<x2<…<xm，寻求有理分式函数,使得切触有理插值理论与应用是有理逼近领域的核心构成部分，是计算数学中最引人关注的课题.切触有理插值是对一般有理插值的推广 [4]，类似多项式插值中的Hermite插值 [5].尽管切触有理插值比一般有理插值形式复杂，但应用性更强，在量子力学、量子场论、原子和分子物理、控制论和数值分析等领域都有非常广泛的应用.传统方法构造的切触有理插值比一般有理插值形式复杂，在应用过程中带来很多不便，比如结构繁琐、计算量大.为了克服这些缺点，本节利用多项式插值来构造插值基函数，引入一种新型的二阶插值算子，用于构造切触有理插值函数.如果所构造的切触有理插值次数较高，我们可以通过引入参数的方法，将所构造的切触有理插值函数的分子分母同时降低次数.由于本节所构造的切触有理插值可以通过多次降次来化简，给出形式较为简洁的低次切触有理插值，因而在实际应用中可以大大地减少计算量.步骤1：给出用于构造插值基函数的多项式插值.构造多项式插值如下：对于给定的x0<x1<…<xm，记以上所构造的多项式插值wk(x)满足1)2)这种多项式插值的特性有助于插值基函数的构造.步骤2：构造插值基函数其中以上所构造的插值基函数αk(x)满足1)2)通过这种方法给出的插值基函数形式简洁，规律性强，便于构造切触有理插值.步骤3：引入二阶插值算子，构造切触有理插值函数.给定x0<x1<…<xm，xk(k=0,1,2,…,m)对应的函数值为f(xk)，一阶导数值f′(xk)，二阶导数值f″(xk).给出二阶插值算子为则(6)式满足用以上构造的二阶插值算子，给出插值公式如下：(8)式即为利用二阶插值算子所构造的插值公式.经过验证(8)式中所构造的切触有理插值函数结构简单，且应用无条件制约.而传统的连分式方法计算必须先假定计算中每一步的可行性，如分母是零的情况不会出现，而实际计算前根本无法判定.本节给出的新型切触有理插值构造法很好地避免了连分式方法的这一缺点.例1 给出节点以及相应的函数值、导数值如下：试求有理分式函数，使之满足插值条件.解由 (6) 式可求二阶插值算子由(1)、(2)、(3)式知通过 (7) 式可求出经过验证(10)式中的切触有理插值函数R(x)是我们通过引入二阶插值算子得到的有理插值函数.从上述实例中可以看出，本文给出的切触有理插值构造方法思路简单、清晰，构造的切触有理插值函数形式较为简洁，且其应用并不像连分式方法一样的约束条件，因此应用范围广，具有较高的应用价值.我们也可以对所构造的切触有理插值函数进行降阶，给出普遍适用的降阶方法.用这种降阶方法可以灵活地引入参数，降低所构造的切触有理插值函数分子分母的次数，也可以通过该降阶方法，连续多次对插值函数进行降阶，得到次数符合应用需求的切触有理插值函数.步骤4：引入参数，给出降低切触有理插值函数分子分母次数的一般方法.给定节点x0<x1<…<xm以及相应的Pk(x) (k=0,1,2,…,m).引入参数β0,β1，…，βm，给出插值公式如下：满足插值条件R(l)(xs)=f(l)(xs)，l=0,1,2.例2 对例1中用二阶插值算子构造的有理分式函数R(x)进行降次.解由(11)式知令2β0+3β1+β2=0，将有理分式进行降次，则β0=-2,β1=1,β2=1.故得上式中，分子次数为5次、分母次数为2次，而(10)式中所构造的原始插值函数的分子次数为6次、分母次数为4次，通过该方法实现了降次.可以通过多次降阶的途径得到满足应用需求的切触有理插值函数.由于该方法可以灵活地降低切触有理插值函数的次数，故其应用范围很广.我们可以将本文所构造的切触有理插值用于模糊控制和估计复杂系统的可靠性中，利用切触有理插值新方法建立新型插值控制算法.这种算法下的控制器具有设计简单、不需要选择具体隶属函数、不需要过多的专家经验等好处，可以得到很好的控制效果，在实际生产中有更大的灵活性和更高的应用价值.(12)式中降阶所得有理分式比(10)式中原始切触有理插值函数的分子分母次数明显降低.这充分说明了上述通过引入参数实现对有理函数分子、分母进行降次的方法是十分有效和实用的，而且操作方便，计算量不大.本文通过引入二阶插值算子，给出的构造切触有理插值函数方法比常用的连分式方法更为简便易行，给出的插值公式也较为实用.我们也可以将这种思想方法继续推广，给出高阶的插值算子，用于解决更为复杂的切触有理插值问题.本文所给出的切触有理插值构造的新方法由于结构简洁，降阶规律性强，需要的计算量较小，因此在模糊控制论[6]、图像压缩与重建、有理曲线和曲面生成以及复杂系统性能评估等领域都有较高的应用价值[7].【相关文献】[1]王仁宏，朱功勤. 有理函数逼近及其应用[M].北京：科学出版社，2004.[2]MAINAR E，PENA P M. A basis of C-Bezier splines with optimal properties[J].Computer Aided Geometric Design，2012，19(4):291-295.[3]WANG G Z，CHEN Q Y，ZHOU M H. NUATB-spline curves[J].Computer Aided Geometric Design，2004，21 (2):193-205.[4]朱功勤,马锦锦.构造切触有理插值的一种方法[J].合肥工业大学学报(自然科学版)，2006，29(10) :1320-1326.[5]陈之兵. Salzer定理的二元向量形式[J]. 数学研究评论，2003，23(2):233-236.[6]史健，黄丽，李中夫.模糊控制与插值[J].四川大学学报(自然科学版)，2009，12(5):646-650.[7]杨文光，赵海良. 基于样条插值的模糊控制算法[J]. 模糊系统与控制，2009，23(3):152-157.。

克里金插值公式推导克里金插值（Kriging Interpolation）是一种空间插值方法，它是由法国数学家达卡斯特罗（Georges Matheron）在1951年提出的。

克里金插值在地质学、环境科学、地理信息系统等领域有广泛的应用。

克里金插值的基本思想是通过已知离散点的观测值，推断和估计未知位置处的值。

它的特点是能够提供具有空间连续性的插值结果，并且能够提供对预测值的误差估计。

克里金插值的推导基于统计学中的协方差函数和高斯过程。

假设我们有 n 个观测点（x1, y1, z1）、（x2, y2, z2）、..、（xn, yn, zn），其中 (xi, yi) 为观测点的坐标，zi 为观测值。

我们需要推断和估计未知位置 (x0, y0) 处的值 z0。

首先，我们需要定义一个协方差函数 C(h)，其中 h 为两个点之间的距离。

协方差函数用来描述两个点之间的相关性，通常采用指数型（Exponential）、高斯型（Gaussian）或球型（Spherical）等函数形式。

接下来，我们可以利用协方差函数构建协方差矩阵 K。

协方差矩阵是一个对称正定矩阵，其元素 kij 表示点 i 和点 j 之间的协方差。

然后，我们需要定义一个权重函数W(x0,y0)，其中(x0,y0)是未知位置的坐标。

权重函数的作用是为未知位置处的值z0分配权重，权重与样本点之间的距离以及协方差函数的取值相关。

权重函数的形式可以根据具体问题的需求进行选择，常见的有逆距离权重法（Inverse Distance Weighting）和克里金权重法（Kriging Weighting）。

逆距离权重法主要考虑了样本点与未知位置之间的距离，而克里金权重法则同时考虑了距离和协方差。

最后，我们可以利用权重函数和观测值计算未知位置处的值z0。

根据克里金插值的思想，插值结果是观测值的加权平均，权重由权重函数给出。

具体的计算公式如下：z0=∑(Wi*Zi)其中，Wi表示未知位置与观测点i之间的权重，Zi表示观测点i的观测值。

切触有理插值新方法经慧芹【摘要】针对传统连分式插值,计算复杂度高,计算过程中分母为零的不可预知性及插值函数不满足某些给定条件,应用不方便等问题,利用已知节点、函数值、导数值,构造两个多项式,分别作为有理插值函数的分子和分母,得出各阶导数条件下切触有理插值的新公式,并给出特殊情形的表达式.若添加适当的参数,可任意降低插值函数次数.该方法计算简洁,应用方便,插值函数的分母在节点处不为零且满足全部插值条件.数值例子验证了新方法的可行性、有效性和实用性.【期刊名称】《纯粹数学与应用数学》【年(卷),期】2018(034)001【总页数】11页(P15-25)【关键词】切触有理插值;新方法;公式【作者】经慧芹【作者单位】昆明理工大学成人教育学院,云南昆明 650051【正文语种】中文【中图分类】O241.31 引言有理插值就是根据已知的点和函数值构造一个有理函数代替未知函数,并使所构造的函数在已知点处的值等于预定的值.带导数条件的有理插值称为切触有理插值,切触有理插值应用广泛,可应用于现代力学的诸多领域,还应用于图像处理[1-3]、机械、建筑、航空航天、舰船、医学等领域的曲线或曲面造型[4-8].切触有理插值的传统方法是连分式,具体计算时需要把已知节点、函数值和导数值代入固定格式循环迭代,不仅计算量大,而且在计算过程中有时会出现分母为零或者插值函数不满足某些插值条件的情况.解决的方法是:把使得分母为零的节点调整至插值点列的最后,从头再来计算[9-10];在不满足插值条件之点处定义另一个插值函数[11],或者增加不满足条件的节点重数[12].这些方法虽然解决了一定的问题,但更增大了计算量,应用不便.近年来又相继出现了一些构造切触有理插值函数的方法,如用分段组合和牛顿插值多项式构造[13],用埃米特基函数构造[14],用Taylor算子构造[15].这些方法虽好,但计算复杂度高的问题仍未得到有效解决.本文给出了完全不同于以上各种方法的一类切触有理插值的新方法,该方法所构造的插值函数,其分母在已知节点处不为零,满足所有插值条件,计算简单,过程公式化,应用很方便.2 预备知识定义 2.1 若∂P(x)≤m,∂Q(x)≤h,则称有理函数的次数类型为[m|h]型,记其中∂表示多项式次数.定义 2.2 称形如的分式为连分式,记作定义 2.3 已知函数 f(x),S={xp|p=0,1,2,···}为一个点集,令称上述式子确定的ξ[x0,x1,···,xl]为函数 f(x)在点x0,x1,···,xl处的 l阶逆差商.定义 2.4 称连分式为逆差商-Thiele型连分式;称连分式为Salzer型切触有理插值连分式.定义 2.5 已知插值节点x0＜x1＜···＜xn及导数值所谓切触有理插值就是寻求一个有理分式函数使得其中定义 2.6 令显然记定义 2.7 令3 主要结论定理 3.1 已知插值节点x0＜x1＜···＜xn及相应的函数值fi,则有理分式函数满足插值条件R(xi)=fi(i=0,1,···,n).证明因为所以P(xi)=σi(xi)fi,Q(xi)=σi(xi),因此定理 3.2 已知插值节点x0＜x1＜···＜xn及相应的函数值fi,一阶导数值则有理分式满足插值条件证明由定义2.7知,根据公式(2),于是从而又因为故定理 3.3 已知插值节点x0＜x1＜···＜xn及相应的函数值fi,一阶导数值二阶导数值则有理分式函数满足插值条件证明由定义2.7知,根据公式(3),于是又因为故又故特例已知插值节点x0＜x1＜···＜xn及相应的函数值fi,二阶导数值则有理分式函数满足插值条件一般地，已知节点x0＜x1＜···＜xn及函数值fi,一阶导数值二阶导数值阶导数值则有理分式函数满足插值条件在(5)式中添加适当的参数ρi(i=0,1,···,n),可降低插值函数R(x)的次数,即4 数值算例例 4.1 已知数据求有理函数使得解法一 (用本文的新方法)根据公式(1),有理插值函数的分子P(x),分母Q(x)分别计算如下:于是,插值函数经过检验所得有理插值函数R(x)满足全部插值条件,即解法二 (用逆差商-Thiele型连分式算法)设所求有理函数为:其中计算q3时出现了分母为零,运算无法进行下去.例 4.2 已知函数f(x)=ex,插值节点x1=0,x2=1,求有理插值函数使得解法一（用本文的新方法）因为根据公式(2)，于是,插值函数经过检验所得有理插值函数R(x)满足全部插值条件,即解法二（用Salzer型切触有理插值连分式算法）设插值函数根据Salzer型连分式的系数算法,所以经过检验R(x)满足全部插值条件注4.1 ①在例 4.2中,虽然用 Salzer型连分式算法求出了插值函数R(x),但前提是必须已知被插函数 R(x).如果只知道几个离散数据点及导数值,则无法计算连分式的系数q1,0,q1,1,q2,0,q2,1,也就无法应用连分式插值.②本文的新方法无需知道被插函数,只要已知几个数据点就可以求插值函数.由此可见,本文的新方法,不需要任何附加条件,它比连分式应用范围更广,功能更强,使用更方便.③本文新方法比连分式算法简单.例 4.3 已知求有理函数使得解由于根据公式(2),由 (7)、(8)两式得经过检验所得插值函数R(x)满足全部插值条件,即注4.2 ①例三中因被插函数f(x)未知,所以用传统的Salzer型连分式算法,无法计算;②例三说明,本文的新方法比切触有理插值的传统Salzer型连分式算法适用面更广,只要知道了数据点及相应的导数值,用本文的新方法都能简单、顺利地进行运算. 下面引进参数ρi(i=0,1,2),将(9)式中分母Q(x)的次数降低.令有理插值函数为:则若要把Q(x)的次数降低2次,只要解方程组该方程组有非平凡解,取ρ0=1,ρ1=−3,ρ2=2为其解.此时并且由 (11)、(12)两式得经过检验,(13)式的插值函数R(x)仍然满足5 结束语切触有理插值的应用非常广泛,从工业产品的外形设计到现代医学的3D打印等都有所涉及.因此,探究简单方便的插值方法显得尤为重要.本文方法是构造性的,计算复杂度低,实际应用方便,并且有效克服了传统连分式插值的缺陷,使任意阶导数的有理插值变得可行且容易,具有应用前景,创新点如下:(1)构造了各阶导数有理插值新公式,计算简单,无需附加条件;(2)插值函数的分母在节点处不等于零,运算始终能顺利进行,且满足全部插值条件;(3)添加参数可降低插值函数的次数.参考文献[1]Su Benyue,Sheng Min.Adaptive algorithm for image interpolation based on blending osculatory rational interpolants[J].Computer Engineering and Applications,2010,46(1):196-199.[2]Fan Qinglan,Zhang Yunfeng,Bao Fangxun.Rational function interpolation algorithm based on parameter optimization[J].Journal of Computer Aided Design Computer Graphics,2016,28(11):2034-2042.[3]Ning Yang,Zhang Yunfeng,Gao Shanshan.Adaptive weighted interpolation based on rational function over triangular domain[J].Journal of Graphics,2015,36(3):444-451.[4]Zhao Haiyang,Xu Minqiang,Wang Jindong.Local mean decomposition based on rational hermite interpolation and its application for fault diagnosis of reciprocating compressor[J].Journal of Mechanical Engineering,2015,51(1):83-89.[5]Wang Zhaoqing,Zhang Meiling,Jiang Jian.Nonlinear mems microbeam analysis by barycentric rational interpolation iteration collocation method[J].Journal of Solid Mechanics,2015,36(5):453-459.[6]Debbourgor.Accurate c2 rational interpolants intension[J].Aiamj.Numer.Anal.,1993,2:595-607.[7]Fang Kui,Deng Siqing,Tan Desong.Curves and surface of rational cubic interpolation spline[J].Computer Applications and Software,2011,28(7):22-24.[8]Zhao Huanxi.Rational interpolation skinning surface via continued fractions interpolation based on partial generalized functioninverse[J].Journal of System Simulation,2016,28(10):2497-2502.[9]Floater M S,Hormann K.Barycentric rational interpolation with no poles and high rates of approximation[J].NumerischeMathematik,2007,107(2):315-331.[10]Wang Renhong,Zhu Gongqin.Rational Function Approximation and its Application[M].Beijing:Science Press,2004:146-178.[11]Zhu Gongqin,Tan Jieqing,Wang Hongyan.Algorithms and properties of vector valued rational interpolants with prescribed poles[J].Higher School Journal of Computational Mathematics,2000(2):97-104.[12] Levrie P,Bultheel A.A note on thiele n-fractions numerical algorithms[J].Comput.Math.Appl.,2013,4:225-239.[13]Jing Ke,Kang Ning.Rational interpolation algorithm withheredity[J].Computer Engineering and Applications,2016,52(3):202-205. 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关于有理插值问题解的存在性的一个判别方法
李建华;程立新
【期刊名称】《石油天然气学报》
【年(卷),期】1989(000)004
【总页数】1页(P89)
【作者】李建华;程立新
【作者单位】不详;不详
【正文语种】中文
【中图分类】O174.42
【相关文献】
1.二元切触有理插值存在性的一种判别方法 [J], 陶有田;朱晓临;周金明
2.二元有理插值存在性的一个判别准则 [J], 王家正
3.判别有理插值函数存在性的一种新方法 [J], 荆科;王茂华
4.向量值切触有理插值存在性的判别方法 [J], 詹杨新
5.有理插值问题存在性的一个判别准则 [J], 盛中平;崔凯
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