1、3三角形的高_图文.ppt

6.
如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90° ， AD⊥BC 于 D，点 E 是 AC 的中点，ED 的延长线交 AB 的延长线于 F. AB DF 求证：AC＝AF.
证明：∵E 是 Rt△ADC 斜边 AC 上的中点， ∴AE＝EC＝ED. ∴∠EDC＝∠C＝∠BDF. 又∵AD⊥BC 且∠BAC＝90° ， ∴∠BAD＝∠C. ∴∠BAD＝∠BDF. 又∠F＝∠F，∴△DBF∽△ADF， DB DF ∴AD＝ AF. AB DB 又在 Rt△ABD 与 Rt△CBA 中，AC＝AD， AB DF ∴AC＝ AF.
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证明：在正方形 ABCD 中， AD ∵Q 是 CD 的中点，∴QD＝2. BP BC ∵PC＝3，∴PC ＝4. CQ 又 BC＝2CQ，∴ CP ＝2. 在△ADQ 和△QCP 中， AD QC ， QD＝ PC ，∠C＝∠D＝90° ∴△ADQ∽△QCP.
[例 2]
如图，D 为△ABC 的边 AB 上一点，
证明：(1)∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD. 又∵点 F 在 BA 的延长线上， ∴∠DCF＝∠F，∠D＝∠FAE. ∴△CDE∽△FAE. (2)∵E 是 AD 的中点，∴AE＝DE. CD DE 由△CDE∽△FAE，得 FA ＝AE. ∴CD＝FA. ∴AB＝CD＝AF.∴BF＝2CD. 又∵BC＝2CD，∴BC＝BF.∴∠F＝∠BCF.
解：∵AB∥CD， ∴△EDH∽△EAG，
△CHM∽△AGM，
△FBG∽△FCH. ∵AD∥BC， ∴△AEM∽△CFM， △AEG∽△BFG，
△EDH∽△FCH.
∴图中相似的三角形有： △AEM∽△CFM，△CHM∽△AGM， △EDH∽△EAG∽△FBG∽△FCH.

想一想:
已知△ABC ≌△ A′B′ C′,找出其中相等的边与角：
A
A′
B
AB =A′B′ ∠A =∠A′
C B′
BC =B′C′ ∠B =∠B′
C′
AC =A′C′
∠C =∠C′
思考：满足这六个条件可以保证△ABC≌△A′B′C′吗？
• 学习目标： 1．通过三角形的稳定性，体验三角形全等的 “边边边”条件. 2．会运用“边边边”定理判定两个三角形的 全等.
∴△AEB ≌ △ADC (SSS).
2.已知AC=FE，BC=DE，点A，D，B，F在一条直线上，
AD=FB（如图），要用“边边边”证明△ABC ≌△ FDE，
除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条件？
怎样才能得到这个条件？ 【解析】要证明△ABC ≌△FDE，还 应该有AB=FD这个条件. ∵DB是AB与DF的公共部分，且 AD=FB, ∴AD+DB=BF+DB，即AB=FD.
判定两个三角形全等：
三边对应相等的两个三角形全等．简写为
“边边边”或“SSS”.
课后练习
A
1.如图，AB=AC，AE=AD，BD=CE，
求证：△AEB ≌ △ ADC.
B ED C
【证明】在△∵BADEB=和CE△，A∴DBCD中-，ED=CE-ED，即BE=CD.
AB=AC，
AE=AD，
BE=CD，
解：作图如图所示：
作法：（1）以点O为圆心，任 意长为半径画弧，分别交OA， OB于点D，E； （2）以点C为圆心，OD长为半 径画弧，交OB于点F； （3）以点F为圆心，DE长为半 径画弧，与第2步中所画的弧相 交于点P ； （4）过C，P两点作直线，直线 CP即为要求作的直线.

探究培优
如图②，过点 B 作 BD⊥AC，交 AC 的延长线于点 D，
则 AD＝ 23AB＝2 3，BD＝12AB＝2，∴CD＝ 5， ∴AC＝AD－CD＝2 3－ 5，
∴S△ABC＝12AC·BD＝2 3－ 5. 故△ABC 的面积为 2 3＋ 5或 2
3－ 5.
同学们下课啦
授课老师：xxx
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1. 你真让人感动，老师喜欢你的敢想、敢说、敢问和敢辩，希望你继续保持下去。 2. 这么难的题你能回答得很完整，真是了不起！你是我们班的小爱因斯坦。 3. 你预习的可真全面，自主学习的能力很强，课下把你的学习方法介绍给同学们，好不好？ 4. 哎呀. 通过你的发言，老师觉得你不仅认真听，而且积极动脑思考了，加油哇！ 四、提醒类
(1)AD 和 AB 的长； 解：∵D 是 BC 的中点，CD＝2，∴BD＝DC＝2，BC＝4. 在 Rt△ACB 中，tan B＝ACCB＝34，∴A4C＝34，∴AC＝3. 由勾股定理得 AD＝ AC2＋CD2＝ 32＋22＝ 13， AB＝ AC2＋BC2＝ 32＋42＝5.
夯实基础
(2)sin ∠BAD 的值． 解：过点 D 作 DE⊥AB 于 E，∴∠C＝∠DEB＝90°， 又∠B＝∠B，∴△DEB∽△ACB， ∴DACE＝DABB，∴D3E＝25，∴DE＝65， 6 ∴sin ∠BAD＝DADE＝ 513＝66513.
夯实基础
【点拨】在 Rt△ABD 中，∵sin B＝AADB＝13，AD＝1，∴AB＝3. ∵BD2＝AB2－AD2，∴BD＝ 32－12＝2 2. 在 Rt△ADC 中，∵∠C＝45°，∴CD＝AD＝1. ∴BC＝BD＋DC＝2 2＋1. ∴S△ABC＝12·BC·AD＝12×(2 2＋1)×1＝1＋22 2，故选 C.

解：设矩形 EFGH 为加工成的矩形零件，边 FG 在 BC 上，则点 E、H 分别在 AB、AC 上，△ABC 的高 AD 与边 EH 相交于点 P，设矩形的边 EH 的长为 x mm. AP EH 因为 EH∥BC，所以△AEH∽△ABC.所以 ＝ . AD BC 300－2x x 600 所以 ＝ ，解得 x＝ (mm)， 300 200 7 1 200 2x＝ (mm)． 7 600 答：加工成的矩形零件的边长分别为 mm 和 7
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[悟一法]
相似三角形的性质把相似三角形的高、对应中线、
对应角似三角形的性质可 得到线段的比例，线段的平方比或角相等，有时还可用 来计算三角形的面积、周长和边长．
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[通一类] 1．已知：△ABC与△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，
∠A＝∠A′，BC＝6，AC＝8，△A′B′C′的周长
为72.求△A′B′C′各边的长． 解：∵∠C＝∠C′＝90° ，∠A＝∠A′，
∴△ABC∽△A′B′C′. 在 Rt△ABC 中，AB＝ 62＋82＝10. ∴△ABC 的周长为 6＋8＋10＝24. A′B′ B′C′ A′C′ 72 ∴ ＝ ＝ ＝ ＝3. AB BC AC 24 又∵AB＝10，BC＝6，AC＝8， ∴A′B′＝30，B′C′＝18，A′C′＝24.
1 200 mm. 7
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[悟一法]
将实际问题转化为平面几何问题是解决此题的关键，
要注意相似三角形的性质在实际问题中的作用．
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[通一类]
2．如图，小明欲测量一座古塔的高度，
他站在该塔的影子上前后移动，直 到他本身影子的顶端正好与塔的影 子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m. (1)图中△ABC与△ADE是否相似？为什么？ (2)求古塔的高度．

BC ∠A
两个全等三角形的公共边一定为对应边。
2、如图2，已知△ABE≌△ACD，则∠ A 的对应角是 。 。 3、如图3，已知△ABC≌△ADE，则∠ 1 的对应角是 ∠ 2
两个全等三角形的公共角或对顶角一定为对应角。
4、如图4，已知△ABC≌△DEF，则BC、AC的对应边分别是 EF、DF 。
两个全等三角形的长边与长边，短边与短边分别是对 应边，大角与大角，小角与小角分别是对应角。
一个图形在位置发生变化后所得到的图形 与原图形有什么关系？
一个图形经过平移、旋转、翻折后得到的图形 一定与原图形全等
§13.1
A
全等三角形
D ） （
B
CE ） （
（ F ）
定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。
把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对 应顶点， 重合的边叫做对应边， 重合的角叫做对应角。 “全等”用符号“≌”表示，读作“全等于” 如上图：△ ABC全等于△DEF记作：△ ABC ≌ △DEF （注意：书写时应把对应顶点写在相对应的位置上）
A C′ C
1 E
2 D F
小 结
1、本节课主要研究的内容：
全等形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形. 定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 全 等 表示方法：△ABC≌△DEF(对应点要写在对应 三 的位置上). 角 形 性质：对应边相等，对应角相等. 会用全等三角形的性质解决简单的问题. 2、注意：两个全等三角形中，对应角所对的边是对 应边，对应边所对的角是对应角.
C
小试牛刀
D E
已知△ABD ≌ △EBC 且 AB=3cm,DE=2cm,求BC的长. 解：∵△ABD ≌ △EBC

B
40°
3
60° C
60°
R
3
E
D 40° 60°
F
1、先观察，猜一猜哪两个三 角形是全等三角形?
2、你认为需要测量各个三 角形中的哪些数据?
3、哪些条件决定了 △ABC ≌△FDE?
4、 △ABC 与△PQR有哪些 相等的条件？为什么它们不 全等？
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活动二：做一做
1、画线段AB=5cm ，再画 ∠BAP=45°，∠ABQ=60°， AP与BQ相交于点O。
M
P
A
C
A
C
O
B
N
O
B
若OA ∥ BC， OB∥AC，图中有相等的边和角 吗？为什么？
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问题2： OP是∠ MON的平分线.
（4）若AC ⊥ OP于点C交OM于A，交ON于点 B，则△ AOC ≌ △ BOC吗？为什么？
M A
P C
O
BN
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问题2：（5）若AB=AC，AD平分∠ BAC，则AD ⊥ BC吗？
A
解： △ ABC ≌ △ MNP。
∵ ∠ A= ∠ M， ∠ B= ∠ N 。
B
C
M
∠ C= 180 ° -∠ A - ∠ B，
∠ P= 180 ° -∠ M - ∠ N。 ∴ ∠ C= ∠ P 。
∵ BC=NP ， ∠ B= ∠ N 。
N
P
∴ △ ABC ≌ △ MNP。
两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 简写成“角角边”或“AAS”。
Q P
C
2、剪下所画的△ABC与同桌 进行比较。

解： ∵ ∠3是△ABC的一个外角
∴∠3= ∠1+∠2 （三角形的一个外角等于和 它不相邻的两个内角的和）
3 21
∵ ∠1=∠2
∴ ∠3= 2∠1
∴ ∠1= ∠2 = 1/2∠3=1/2×100
°
=50 °
3A
B2
1C
课堂达标
1. 三角形按角分类,可以分为锐角三角形, 直角三角形,钝角三角形
2.在 ABC 中, (1)若∠A=54°，∠B=27°，则∠C= 99° . (2)若∠B=∠C=30°，则∠A= 120°, ABC 为 钝角 三角形 (3)若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则∠A= 30°,∠B= 60°,∠C = 90°.
多边形 三角形 四边形 五边形 … n 边形
内角和
180° 360° 540°
…
180°( n－2 )
做一做
在一张薄纸上任意画一个 三角形，你能设法画出它的一 个内角的平分线吗? 你能通过折纸的方法得到它吗?
B 用圆规画最简便。
在一张纸上画出一个 一个三角形并剪下，将它的 一个角对折，使其两边重合。
∴∠ＢＡＦ＋∠ＣＢＤ＋∠ＡＣＥ ＝（∠２＋∠３＋∠１＋∠３＋∠１＋∠２） ＝２（∠１＋∠２＋∠３）
例4 已知：Ｄ是ＡＢ上一点，
Ｅ是ＡＣ上一点，ＢＥ、ＣＤ相交于点
Ｆ，∠Ａ＝６２º，∠ＡＣＤ＝３５º，
∠ＡＢＥ＝２０º．
求：（１）∠ＢＤＣ的度数； Ａ
（２）∠ＢＦＤ的度
数 解．：Байду номын сангаас１） ∵∠ＢＤＣ ＝∠Ａ＋∠ＡＣＤ
个外角．
A
E
D
F
B
C
三.三角形的分类
直角三角形
按角分

对应中线、角平分线和高，应包括一切“对应点”连接的线
段；同时也可推演到对应的内切圆、外接
CE⊥AB于E，BF⊥AC于F，若S△ABC ＝36 cm2，S△AEF＝4 cm2，求sin A的值． [思路点拨] 由题目条件证明△AEC∽△AFB，得
AE∶AF＝AC∶AB，由此推知△AEF∽△ACB，进而求
的边长．
解：设矩形 EFGH 为加工成的矩形零件，边 FG 在 BC 上， 则点 E、H 分别在 AB、AC 上，△ABC 的高 AD 与边 EH 相 交于点 P，设矩形的边 EH 的长为 x mm. 因为 EH∥BC，所以△AEH∽△ABC. AP EH 所以AD＝ BC . 300－2x x 所以 ＝ ， 300 200 600 解得 x＝ (mm)， 7 1 200 2x＝ (mm)． 7
出线段EC与AC的比值．
[解] ∵CE⊥AB 于 E，BF⊥AC 于 F， ∴∠AEC＝∠AFB＝90° . 又∵∠A＝∠A，∴△AEC∽△AFB. AE AC ∴AF＝AB. 又∵∠A＝∠A，∴△AEF∽△ACB. AE 2 S△AEF 4 ∴(AC) ＝ ＝ . S△ACB 36 AE 2 1 ∴AC＝ ＝ . 6 3 设 AE＝k， 则 AC＝3k， ∴EC＝2 2k. EC 2 2 ∴sin A＝AC＝ . 3
此题的解法很多，其关键是添加适当的
辅助线，构造相似三角形，利用相似三角形的知识解题．
[解] 如图，设小张与教学楼的距离至少应有x米，才
能看到水塔．
连接FD，由题意知，点A在FD上，过F作FG⊥CD于G，
交AB于H，则四边形FEBH，四边形BCGH都是矩形． ∵AB∥CD，∴△AFH∽△DFG. ∴AH∶DG＝FH∶FG. 即(20－1.6)∶(30－1.6)＝x∶(x＋30)，

F
(3) 这三条高之间有怎样的位置关系？
E
将你的结果与同伴进行交流.
B
锐角三角形的三条高是
O C
D
在三角形的内部还是外部?
锐角三角形的三条高交于同一点.
锐角三角形的三条高都在三角形的内部。
直角三角形的三条高
在纸上画出一个直角三角形。
(1) 画出直角三角形的三条高,
它们有怎样的位置关系？ 将你的结果与同伴进行交流.
•锐角三角形
•高在三角形内部的数量 •高之间是否相交
•高所在的直线是否相交
3 相交 相交
三条高所在直线的 交点的位置
三角形内部
•直角三角形
1 相交 相交
直角顶点
•钝角三角形
1 不相交
相交
三角形外部
三角形的三条高所在直线交于一点
巩固
1、下列画出△ABC的高AD，正确
的是( )
A
A
DC
A
A
B DC
B
B
4.如图2所示,D,E分别是△ABC的边AC,BC的中 点,则下列说法不正确的是( D )
A.DE是△BCD的中线 B.BD是△ABC的中线 C.AD=DC,BD=EC D.∠C的对边是DE
A
D
B
E
C
知识小结
今天我们学了什么呀？
1.三角形的高、中线、角平分线等有关概念 及它们的画法。
2. .三角形的高、中线、角平分线 几何表达及简单应用。
C
E
钝角三角形的三条高 所在直线交于一点
O
三角形的高的 几何语言表达
A
B
D
C
∵AD是△ ABC的高
∴∠ BDA = ∠ CDA =90° 或 CD⊥AB (三角形高的定义)

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2．相似三角形的判定定理
(1)判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角
形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个 三角形相似，简述为： 两角 对应相等，两三角形相似． (2)判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的 两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那 么这两个三角形相似，简述为： 两边 对应成比例且 夹角 相等，两三角形相似．
(2)△BCD∽△GBD.
[命题立意] 形的判定． 返回 本题考查平行关系的证明及相似三角
解：(1)因为D，E分别为AB，AC的 中点，所以DE∥BC.又已知CF∥AB，
故四边形BCFD是平行四边形，所以CF
＝BD＝AD.而CF∥AD，连结AF，所以 四边形ADCF是平行四边形，故CD＝AF. 因为CF∥AB，所以BC＝AF，故CD＝BC. (2)因为FG∥BC，故GB＝CF.
∴∠BAF＝∠AED，∠C＋∠D＝180°.
又∵∠C＝∠BFE，∠BFE＋∠BFA＝180°， ∴∠D＝∠AFB， ∴△ABF∽EAD. (2)∵AB∥CD，BE⊥CD，
∴∠ABE＝90°.
在Rt△AEB中，∠BAE＝30°，AB＝4，
返回
AB 4 8 ∴AE＝ ＝ ＝ 3. cos 30° 3 3 2 (3)∵△ABF∽△EAD， AB BF ∴ ＝ ， AE AD AB· AD 4×3 3 BF＝ ＝ ＝ 3. AE 8 2 3 3
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[例3]
[研一题] 如图，已知在△ABC中，
AB＝AC，AD是BC边上的中线，CF ∥BA，BF交AD于点P，交AC于点E.
求证：BP2＝PE· PF.
分析：本题考查相似三角形的判定及其应用，解答 本题需要注意AD是等腰△ABC底边上的高，所以PB＝ PC，从而将所求证的结论转化为PC2＝PE· PF.进而可以 证明△PCE∽△PFC来解决问题． 返回