图像处理课件05频域变换.ppt

◦ 在图像领域就是将图像亮度（灰度值）作为正弦变量。 ◦ 如下图的正弦模式可在单傅里叶中由三个分量编码：频
率f、幅值A、相位γ 这三个value可以描述正弦图像中的 所有信息。
（1）频率（frequency）
◦ 频率在空间域上表现为亮度的变化快慢 ◦ 例如：左图的频率比右图的frequency低
（2）幅值（magnitude）
幅值、相位和能量分别为：
幅值：
1
F (u) R 2 (u) I 2 (u) 2
相位：
(u) arctan(I (u) / R(u))
能量：
E(u) R 2 (u) I 2 (u）
离散函数的傅里叶变换也可推广到二维的情形，其二维离 散傅里叶变换定义为:
: F (u,v)
1
vy) / N
N x0 y0
u 0,1,2,N 1 v 0,1,2,N 1。
二维离散傅里叶的反变换定义为：
1 :
f (x, y)
1
N 1 N 1
F (u, v)e j2 (uxvn) / N
N u0 v0
u、v是频率变量
x 0,1,2,N 1 y 0,1,2,N 1。
-2
-4
-6
-8
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
函数的时域表示
正弦波的时域叠加示意图
频域：
频域也称为频率域，是描述信号的频率结构及频率与 该频率信号幅度的关系。自变量是频率,即横轴是频率,纵 轴是该频率信号的幅度 。
波形的时域表示
波形的幅频表示
正弦波的时域叠加示意图
(a)幅频特性
里叶变换及反变换：
：Ff (x, y) F(u,v) f (x, y)exp j2 (uxvy) dxdy -1：F 1 f (u,v) f (x, y) F(u,v)exp j2 (uxvy) dudv
式中u 、v 是表示频率的变量，与一维的意义类似。
函数f (x)的一维离散傅里叶变换定义如下：
点；(2)具有有限个极值点；(3)绝对可积，则f (x)定义的傅 里叶变换公式为
：F (u) f (x)e j2uxdx
其中 j 2 1 ，u 是表示频率的变量。
由于欧拉公式将复数、指数函数与三角函数联系起来：
e j cos j sin
傅里叶变换定义可以写成：
F (u) f (x)[cos(2ux) j sin(2ux)]dx
（a）
（b）
图（a）在大小为 512 × 512黑色背景上叠加一个
尺寸为 20 × 40的白色矩形的图像，
（b）应用了频率谱，变换后显示的中心傅里叶谱
（a）原始图像
（b）离散傅里叶频谱
二维图像及其离散傅里叶频谱的显示
快速傅里叶变换(FFT)并不是一种新的变换，它是离散傅 里叶变换(DFT)的一种算法。
N 1
:
F (u)
1 N
f (x)e j2ux / N
x0
u 0,1,2,N 1。
F(u)一维的离散傅里叶反变换为：
1 :
f (x)
1
N 1
F (u)e j2ux / N
N u0
傅里叶变换F(u)复数形式：
F(u)的实部为R(u)，虚部为I (u) F(u) R(u) jI(u)
◦ sin函数的幅值用于描述对比度，或者说是图像中最明和 最暗的峰值之间的差
（3）相位表示相对于原始波形，这个波形偏移量
由二维离散傅里叶变换得到图像傅里叶中心谱
例 一个简单二维函数的中心谱 在大小为 512 × 512黑色背景上叠加一个尺寸为 20
× 40的白色矩形的图像；（b）应用了频率谱，用对数 变换后显示的中心傅里叶谱。
1
F (u) R 2 (u) I 2 (u) 2
相位： (u) arctan(I (u) / R(u))
能量： E(u) R 2 (u) I 2 (u）
一维的傅里叶反变换定义为：
-1：f (x) F (u)e j2uxdu
傅里叶变换可以很容易推广到二维的情形。 设f (x, y)函数是连续可积的，且F(u, v)则存在如下的二维傅
将F(u) 用复数形式表示为
其中：
F(u) R(u) jI(u)
R(u) f (t) cos(2ut)dt
I (u) f (t)sin(2ut)dt
=
任何函数周期函数都可以表示为不同频率的正弦及余弦函数的
线性表达 – Fourier基数
幅值、相位和能量分别为：
幅值：
连续傅里叶变换是把一组函数映射为另一组函数的线性算子 ，即傅里叶变换把一个函数分解为组成该函数的连续频率谱 。
傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（ 正弦或余弦）和的形式或者它们的积分的线性组合。
傅里叶变换在数学中的定义是： 如果函数满足下面的狄里赫莱条件：(1)具有有限个间断
这种方法消除(DFT)中重复工作，所以在运算中大大节省
了工作量，达到了快速的目的。
对于一个有限长序列 { f (x )}(0 ≤ x ≤ N − 1)，它的傅里 叶变换由下式表示:
（b）相频特性
波形的频域表示
1807年，傅里叶提出了傅里叶级数的概念，即任一周期信号可分解为 复正弦信号的叠加。
1822年，傅里叶又提出了傅里叶变换。傅里叶变换是一种常用的正交 变换，它的理论完善，应用程序多。
在数字图像应用领域，傅里叶变换起着非常重要的作用，用它可完成 图像分析、图像增强及图像压缩等工作。
二维函数离散傅里叶的谱、能量和相位谱为: 傅里叶频谱：
F(u, v) R2 (u, v) I 2 (u, v）
能量： E(u, v) R2 (u, v) I 2 (u, v）
相位:
(u, v) arctan I (u, v)
R(u, v)
傅里叶用于图像处理：
◦ 任何信号（如图像信号）都可以表示成一系列正弦信号 的叠加；
第五讲：频域变换
1.频域与频域变换 2.连续傅里叶变换 3.离散傅里叶变换 4.快速傅里叶变换 5.傅里叶变换的性质 6.用傅里叶变换进行图像处理 7.其他离散变换
时域与频域 ◦ 时域
时域又称为时间域，是描述信号 在不同时刻取值的函 数。自变量是时间,即横轴是时间,纵轴是信号的变化。
8
6
4
2
0