题目：抽屉原理及其应用
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学院：理学院
专业：应用数学
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开设课程：组合数学
抽屉原理及其应用
[摘 要]抽屉原理是数学中的重要原理,在解决数学问题时有非常重要的作用.各种形式的抽屉原理在高等数学和初等数学中经常被采用.本文着重从抽屉的构造方法阐述抽屉原理在高等数学和初等数学（竞赛题）中的应用,同时指出了它在应用领域中的不足之处.
[关键词]抽屉原理 高等数学 初等数学
一、 抽屉原理
原理Ⅰ 把多于n 个的元素按任一确定的方式分成n 个集合，则一定有一个集合中含有两个或两个以上的元素.
原理Ⅱ 把m 个元素任意放到n )(n m >个集合里，则至少有一个集合里至少有k 个元素，其中
原理Ⅲ 把无穷个元素按任一确定的方式分成有穷个集合，则至少有一个集合中仍含无穷个元素.
原理Ⅱ、Ⅲ是对原理Ⅰ的进一步深入阐述，把抽屉原理推入了更深更广的层次.并且我们很容易对其进行证明，可见它们都是非常简单的原理，可是，正是这样一些简单的原则，在初等数学乃至高等数学中，有着许多应用.巧妙地运用这些原则，可以很顺利地解决一些看上去相当复杂，甚至觉得简直无法下手的数学题目.
二、抽屉的构造途径
在利用抽屉原理解题时，首先要明确哪些是“球”，哪些是“抽屉”，而这两者通常不说明几种常见的抽屉构造法.
（一）利用等分区间构造抽屉
所谓等分区间简单的说即是：如果在长度为1的区间内有多于n 个的点，可考虑把区间n 等分成n 个子区间，这样由抽屉原理可知，一定有两点落在同一子区间，它们之间的 距离不大于n
1.这种构造法常用于处理一些不等式的证明. 例1 已知11个数1121,,,x x x ,全满足11,2,1,10 ＝
i x i ≤≤,证明必有两个j i x x ,(j i ≠)满足j i x x -10
1≤. 证明 如图1，将实数轴上介于0与1那段(连同端点)等分为10小段(这10个小段也 就是10个等分区间，即10个抽屉)，每一小段长为
101.由抽屉原理，11个点(数)中至少有1m n m n k m n m n ⎧⎪⎪=⎨⎡⎤⎪+⎢⎥⎪⎣⎦
⎩ , 当能整除时, , 当不能整除时.
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡1011+1=2个点落在同一条小线段上，这两点相应的数之差的绝对值101≤.
图1
（二）利用几何图形构造抽屉
在涉及到一个几何图形内有若干点时，常常是把图形巧妙地分割成适当的部分，然后用分割所得的小图形作抽屉.这种分割一般符合一个“分划”的定义，即抽屉间的元素既互不重复，也无遗漏；但有时根据解题需要，分割也可使得抽屉之间含有公共元素.
例2 如果直径为5的圆内有10个点，求证其中有某两点的距离小于2.
证明 先将圆分成八个全等的扇形，再在中间作一个直径d =1.8的圆(如图2)，这就把已知的圆分成了9个区域(抽屉).由抽屉原理，圆内的10个点(球)，必有两点落在同一区域内，只须证明每个区域中的两点的距离都小于2.显然，小圆内任两点间的距离小于2，又曲边扇形ABCD 中，AC = 45cos 222OC OA OC OA ⋅-+ =29.05.29.05.22
2⨯⨯-+ =88.3<2.
图2
（三）利用整数分组制构造抽屉
例3 对于1+m 个不同的自然数，若每一数都小于m 2,那么可以从中选取三个数，使其中两个数之和等于第三个数.
证明 把这1+m 个自然数按单调递增顺序排列：m a a a <<< 10，作0a a b i i -=，
0 1
i =m ,,2,1
,则m a b b b m m 2021<<<<<< ，考察m m b b b a a a ,,,,,,,2121 这m 2个小于m 2的自然数，显然有i i a b <(i =m ,,2,1 )，则必有j i b a ==0a a j -,即i a a +0=j a .
（四）利用奇偶性分类构造抽屉
例 4 平面上至少应给出几个格点(也称整点，即横坐标、纵坐标都是整数的点)，才能使得其中至少有两个点的连线的中点仍是一格点.
分析 设两个格点的坐标为(1x ,1y ),(2x ,2y ),则连线的中点坐标(221x x +,2
21y y +). 易见，为保证中点坐标为整数，当且仅当1x 与2x ,1y 与2y 同奇偶；因此，可按奇偶性将所有格点的坐标分类，共有(奇,奇)，(奇,偶)，(偶,奇)，(偶,偶)四种情况，把这四种情况看作抽屉，由抽屉原理，至少应给出5个格点，才能保证至少有两点属于同一类，从而才有两点连线的中点是格点(结果是显然的，证明从略).
（五）利用分组构造抽屉
利用这种构造法解题，确定分组的“对象”很关键.确定了“对象”之后，其个数相对于“球”的个数而言，又往往显得太多.只有把这些“对象”分成适当数量的组(即抽屉)后，才能应用抽屉原理.
例5 由小于100的27个不同的奇数组成的集合中，必有两个数，其和为102.
分析 小于100的奇数有99,,5,3,1 共50个数，现在要用它做成26个抽屉，而且至少有一抽屉不少于两个数，这两个数之和恰为102就解决了.
证明 将小于100的所有奇数分成26个组(抽屉)：
1A ={1},2A ={3,99},3A ={5,97},, k A ={2k -1,103-2k },, 25A ={49,53},26A ={51}.因为有27个奇数，⎥⎦⎤⎢
⎣⎡2627+1=2，所以由抽屉原 理，必有两个奇数落在同一抽屉，这两个数之和恰好等于102.
（六）利用状态制构造抽屉
例6 设有六点，任意三点不共线，四点不共面，如果把这六个点两两用直线联系起来，并把这些直线涂以红色或者蓝色.求证：不论如何涂色，总可以找到三点，做成以它们为顶点的三角形，而这三角形三边涂有相同的颜色.
证明 从六个点中任取一点1A ，将1A 与其余五点相连得到五条线段，线段如下所示： ,,,,,6151413121A A A A A A A A A A 这五条线段只有两种颜色即红色或者蓝色，由抽屉原理知，至少有三条涂有同一种颜色.(颜色为抽屉，线段为元素)，不妨设,,,413121A A A A A A 涂有红
