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激光雷达方程推导1. 引言激光雷达（Lidar）是一种通过测量激光脉冲的传播时间和反射强度来获取目标物体位置和形状信息的主动光学遥感技术。
在自动驾驶、环境感知、地质勘探等领域有着广泛的应用。
激光雷达方程是描述激光雷达测距原理的数学模型，本文将对激光雷达方程进行推导。
2. 激光雷达工作原理激光雷达发射器发出一个短脉冲的激光束，该束经过大气层并与目标物体相互作用后被接收器接收。
通过测量激光脉冲从发射到接收所需的时间以及反射回来时的强度，可以确定目标物体与激光雷达之间的距离和位置。
3. 推导过程为了推导激光雷达方程，我们需要考虑以下几个因素：•激光束在空气中传播时会发生衰减；•目标物体会反射一部分入射到其表面的激光束；•接收器只能接收到反射激光束的一部分。
3.1 衰减因素激光束在空气中传播时会发生衰减，主要有两个原因：吸收和散射。
我们可以用以下公式表示激光束的衰减：I=I0e−αd其中，I是接收到的激光强度，I0是初始激光强度，α是吸收系数，d是激光传播距离。
3.2 反射因素目标物体会反射一部分入射到其表面的激光束。
我们可以用以下公式表示反射激光强度：I r=ρI其中，I r是反射激光强度，ρ是反射系数。
3.3 接收因素接收器只能接收到反射激光束的一部分。
我们可以用以下公式表示接收到的激光强度：I recv=A⋅I r其中，A是接收器探测效率。
3.4 测距原理根据测距原理，我们可以得到以下公式：d=c⋅t 2其中，d是目标物体与激光雷达之间的距离，c是光速，t是激光脉冲从发射到接收所需的时间。
3.5 激光雷达方程推导将上述公式整合起来，我们可以得到激光雷达方程：I recv=A⋅ρI0e−αd将测距公式代入上式中，可以得到：I recv=A⋅ρI0e−αct 24. 总结本文对激光雷达方程进行了推导。
通过考虑衰减因素、反射因素和接收因素，并结合测距原理，我们得到了描述激光雷达测距原理的数学模型。
这个模型可以帮助我们理解激光雷达的工作原理，并为相关应用提供基础支持。
Klett 反演算法大气激光雷达接收到的距离R 处大气后向散射回波信号功率P (R )可以由激光雷达方程确定：()()()2102r C P A R T R P R R β=………………………………（A.1）式中：C 1——激光雷达校正常数，与几何因子、透过率、系统效率、距离分辨率等参数有关； P 0——发射的激光脉冲的功率； A r ——接收望远镜的有效接收面积； β(R ) ——距离R 处大气后向散射系数； T (R ) ——大气透过率。
大气透过率与大气消光系数α有关，可表示为：()()()exp RT R r dr α=-⎰………………………………（A.2）将公式（A.2）代入激光雷达方程中，经过变形可得：()()()()2100exp 2Rr R R R C P A R r dr βα=-⎰……………………（A.3）公式（A.3）两边取自然对数后求导后可得：()()()()12dS R d R R dR R dRβαβ=-………………………（A.4）式中：S (R )——距离平方校正信号P (R )R 2取自然对数。
在Klett 反演算法中，首先假设大气消光系数α与后向散射系数β之间存在如下关系：2C k βα=…………………………………………（A.5）式中： C 2——常数；k ——与激光探测波长和气溶胶性质有关，范围一般在0.67~1之间。
将公式（A.5）代入到公式（A.4）中，可得：()()()()=2dS R d R k R dR R dRααα-…………………………（A.6） 对公式（A.6）求解，可得大气消光系数。
()()()()()()()()()()1exp =2exp m m R m mR S R S R kR R S r S R k dr k αα--⎛⎫+- ⎪⎝⎭⎰………………（A.6）式中：R m——参考距离，一般选探测区域的最远距离。
附 录 B （资料性附录） Fernald 反演算法在Fernald 反演方法中将大气看作两部分：大气分子与气溶胶。
机动车颗粒物的激光雷达监测张春光;张玉钧;韩道文;刘文清;陈臻懿【摘要】为了用激光雷达遥测机动车排放颗粒物的浓度分布,从理论上分析了颗粒物后向散射系数和质量浓度之间的关系;利用激光雷达测量的后向散射系数以及黑碳仪测量的黑碳气溶胶质量浓度数据,采用最小二乘法对颗粒物后向散射系数与浓度以及后向散射系数与车流量之间进行了相关性分析.结果表明,激光雷达测量的后向散射系数能够很好地反演机动车颗粒物质量浓度,它们之间存在正比关系.激光雷达探测的气溶胶颗粒物浓度和车流量具有很好的一致性,可以用来研究机动车排放颗粒物的水平分布和扩散特性;这对于机动车的管理以及大气污染控制具有重要意义.【期刊名称】《激光技术》【年(卷),期】2009(033)002【总页数】4页(P130-133)【关键词】激光技术;激光雷达;最小二乘法;后向散射系数;气溶胶质量浓度;车流量【作者】张春光;张玉钧;韩道文;刘文清;陈臻懿【作者单位】中国科学院,安徽光学精密机械研究所,环境光学与技术重点实验室,合肥,230031;中国科学院,安徽光学精密机械研究所,环境光学与技术重点实验室,合肥,230031;中国科学院,安徽光学精密机械研究所,环境光学与技术重点实验室,合肥,230031;中国科学院,安徽光学精密机械研究所,环境光学与技术重点实验室,合肥,230031;中国科学院,安徽光学精密机械研究所,环境光学与技术重点实验室,合肥,230031【正文语种】中文【中图分类】X831引言大气气溶胶是指液体或固体微粒均匀散布在气体中形成的相对稳定的悬浮体系，其粒径范围一般为0.001μm～100μm。
大气气溶胶是观测城市对流层空气质量的天然载体[1]，是衡量大气环境质量的一个重要指标。
悬浮在大气中的气溶胶粒子还会直接影响到地-气系统的能量收支[2],进而影响气候变化,而且会污染人类的生存环境,进而直接危害人体健康。
因此，探测城市大气中污染源的时间、空间分布特征[3-4]，以及风速风向、温度、湿度和湍流场的规律，更深入地了解气溶胶的扩散、沉降、稀释等大气物理、化学过程具有重要的意义。
雷达方程公式雷达是一个常用的电子设备，它能够使用无线电波来探测周围环境中的物体。
雷达技术在军事、航空、天气预报等领域有着广泛的应用。
雷达的核心是雷达方程公式，它是雷达技术的基础，本文将详细介绍雷达方程公式的含义、推导过程和应用。
一、雷达方程公式的含义雷达方程公式是描述雷达探测能力的数学公式，它可以计算雷达的最大探测距离、最小探测目标尺寸等参数。
雷达方程公式的一般形式为：P_r=frac{P_tG_tG_rlambda^2sigma}{(4pi)^3R^4L} 其中，P_r是接收功率，P_t是发射功率，G_t是发射天线增益，G_r是接收天线增益，λ是雷达的工作波长，σ是目标的雷达截面积，R是雷达与目标之间的距离，L是系统的损耗因子。
从公式中可以看出，雷达方程公式包含了雷达探测能力的各种因素，如发射功率、天线增益、波长、目标雷达截面积、距离和系统的损耗因子。
这些因素综合影响着雷达的探测能力。
因此，通过雷达方程公式的计算，可以评估雷达的探测性能，对雷达的设计和使用具有重要意义。
二、雷达方程公式的推导过程雷达方程公式是基于电磁学原理推导出来的。
雷达是通过发射电磁波并接收反射回来的信号来探测目标的，因此，雷达方程公式的推导需要考虑电磁波在空间中的传播和反射。
首先，考虑雷达发射天线向外发射电磁波的情况。
发射天线的功率可以表示为：P_t=frac{E^2}{2Z_0}其中，E是电场强度，Z_0是自由空间的特征阻抗。
根据电磁波的传播原理，电场强度与距离的平方成反比，即：E=frac{E_0}{R}其中，E_0是发射天线上的电场强度，R是雷达与目标之间的距离。
将上式代入发射功率公式中，得到：P_t=frac{E_0^2}{2Z_0R^2}接下来，考虑雷达接收天线接收到的信号功率。
根据电磁波的反射原理，当电磁波照射到目标表面时，会发生反射，反射回来的信号功率可以表示为：P_r=frac{E_r^2}{2Z_0}其中，E_r是接收天线上的电场强度。
雷达原理笔记之雷达方程推导参数符号雷达发射机的发射功率为P t 目标距离R目标的雷达截面积发射天线增益G t 接收天线增益G r 天线的有效接受面积A e 电磁波波长接收机最小可检测功率S imin 雷达原理笔记之雷达方程的推导H1雷达作用距离跟雷达方程的各个参数关系紧密。
雷达作用距离的改善往往需要利用雷达方程的各项影响参数进行改善。
1，基本方程H2参数列表：公式推导：首先假设，发射天线为无方向性天线，即各向同性。
那么空间中任何一点的电磁波功率密度为：然后加上天线增益系数G t ：空间中，被目标截获并产生二次辐射的电磁波功率：被目标二次辐射到空间的电磁波功率密度：目标二次辐射的电磁波功率，被雷达接收天线截获得到的功率：雷达接收机能检测的回波信号最小功率为S min ，因此应满足的不等式：解不等式得到：进而，最大作用距离R max ：参数符号玻尔兹曼常数k 接收机噪声带宽B n /B s 环境温度（噪声温度）T 0接收机噪声系数F 0检测因子(未相参积累)D 0信号处理增益G sp 损耗衰减因子L 相参积累脉冲个数N脉冲宽度脉冲雷达发射期间的平均功率P t 信号积累有效总时宽T s 对于脉冲体制雷达，常用收发共用天线，则G t =R r ,可得R max 的其他两种形式：2，雷达方程的其他形式H22.1考虑相参积累增益H3将S imin =kT 0B n F 0D 0代入雷达基本方程，得到：s信号处理后：D 0=D 0/G sp ,信号处理后：2.2考虑各种损耗H32.3用信号能量表示的形式H3根据,得到：,式14可化简为：,最终得到能量形式的R max表达式：2.4脉冲体制雷达的雷达方程H33，雷达方程对设计的指导意义H2根据不同情况下对应的雷达方程的具体形式，可以对雷达的设计提供指导性的方案。
1. 提高接收机灵敏度2. 降低损耗3. 增大信号能量4. 降低噪声系数5. 提高天线增益6. …………。
Klett 反演算法大气激光雷达接收到的距离R 处大气后向散射回波信号功率P (R )可以由激光雷达方程确定：()()()2102r C P A R T R P R R β=………………………………（A.1）式中：C 1——激光雷达校正常数，与几何因子、透过率、系统效率、距离分辨率等参数有关； P 0——发射的激光脉冲的功率； A r ——接收望远镜的有效接收面积； β(R ) ——距离R 处大气后向散射系数； T (R ) ——大气透过率。
大气透过率与大气消光系数α有关，可表示为：()()()exp RT R r dr α=-⎰………………………………（A.2）将公式（A.2）代入激光雷达方程中，经过变形可得：()()()()2100exp 2Rr R R R C P A R r dr βα=-⎰……………………（A.3）公式（A.3）两边取自然对数后求导后可得：()()()()12dS R d R R dR R dRβαβ=-………………………（A.4）式中：S (R )——距离平方校正信号P (R )R 2取自然对数。
在Klett 反演算法中，首先假设大气消光系数α与后向散射系数β之间存在如下关系：2C k βα=…………………………………………（A.5）式中： C 2——常数；k ——与激光探测波长和气溶胶性质有关，范围一般在0.67~1之间。
将公式（A.5）代入到公式（A.4）中，可得：()()()()=2dS R d R k R dR R dRααα-…………………………（A.6） 对公式（A.6）求解，可得大气消光系数。
()()()()()()()()()()1exp =2exp m m R m mR S R S R kR R S r S R k dr k αα--⎛⎫+- ⎪⎝⎭⎰………………（A.6）式中：R m——参考距离，一般选探测区域的最远距离。
附 录 B （资料性附录） Fernald 反演算法在Fernald 反演方法中将大气看作两部分：大气分子与气溶胶。
SLAM（Simultaneous Localization and Mapping）即同时定位与地图构建，它是指在未知环境中，通过移动机器人进行感知和运动控制，实现机器人自身位置的估计和地图的构建。
SLAM问题可以用一组运动方程和观测方程来描述。
下面是常见的基于激光雷达的2D SLAM的运动方程和观测方程：
1. 运动方程：
- 里程计运动模型：通常使用简化的运动模型（如平移运动模型或增量式旋转运动模型），将机器人的运动表示为里程计度量值。
具体形式如下：
x_t = x_{t-1} + delta_x
y_t = y_{t-1} + delta_y
theta_t = theta_{t-1} + delta_theta
2. 观测方程：
- 激光雷达观测模型：通过激光雷达测量环境中的障碍物，可以获得一系列距离和角度观测值。
观测模型将这些观测值映射到机器人坐标系或世界坐标系中，以获得障碍物在地图中的位置信息。
具体形式如下：
z_t = h(x_t) + epsilon
在上述方程中，x_t、y_t和theta_t分别表示机器人在时间t的位置和姿态（方向），delta_x、delta_y和delta_theta表示机器人的增量运动，z_t表示激光雷达的观测值，
h(x_t)表示观测模型将机器人位置映射到地图坐标系中的函数，epsilon表示观测误差。
需要注意的是，SLAM问题是一个非线性的问题，通常需要使用滤波器（如扩展卡尔曼滤波器或粒子滤波器）来进行状态估计和地图构建。
在实际应用中，还可能根据具体情况引入其他传感器数据和环境模型，以提高定位和地图构建的精度与鲁棒性。
激光雷达原理------读书笔记99121-佃邓洪川一•概念:雷达"(Radio Detection and Range,Radar)是一种利用电磁波探测目标位置的电子设备.电磁波其功能包括搜索目标和发现目标；测量其距离，速度，角位置等运动参数；测量目标反射率，散射截面和形状等特征参数。
传统的雷达是微波和毫米波波段的电磁波为载波的雷达。
激光雷达以激光作为载波.可以用振幅、频率、相位和振幅来搭载信息，作为信息载体。
激光雷达利用激光光波来完成上述任务。
可以采用非相干的能量接收方式，这主要是一脉冲计数为基础的测距雷达。
还可以采用相干接收方式接收信号，通过后置信号处理实现探测。
激光雷达和微波雷达并无本质区别，在原理框图上也十分类似，见下图微波雷达显示控制激光雷达激光雷达由发射，接收和后置信号处理三部分和使此三部分协调工作的机构组成。
激光光速发散角小，能量集中，探测灵敏度和分辨率高。
多普勒频移大，可以探测从低速到高速的目标。
天线和系统的尺寸可以作得很小。
利用不同分子对特定波长得激光吸收、散射或荧光特性，可以探测不同的物质成分，这是激光雷达独有的特性。
目前，激光雷达的种类很多，但是按照现代的激光雷达的概念，常分为以下几种：(1)按激光波段分，有紫外激光雷达、可见激光雷达和红外激光雷达。
(2)按激光介质分，有气体激光雷达、固体激光雷达、半导体激光雷达和二极管激光泵浦固体激光雷达等。
(3)按激光发射波形分，有脉冲激光雷达、连续波激光雷达和混合型激光雷达等。
（4）按显示方式分，有模拟或数字显示激光雷达和成像激光雷达。
（5）按运载平台分，有地基固定式激光雷达、车载激光雷达、机载激光雷达、船载激光雷达、星载激光雷达、弹载激光雷达和手持式激光雷达等。
（6）按功能分，有激光测距雷达、激光测速雷达、激光测角雷达和跟踪雷达、激光成像雷达，激光目标指示器和生物激光雷达等。
（7）按用途分，有激光测距仪、靶场激光雷达、火控激光雷达、跟踪识别激光雷达、多功能战术激光雷达、侦毒激光雷达、导航激光雷达、气象激光雷达、侦毒和大气监测激光雷达等。
雷达方程及其推导过程雷达方程是雷达工程中的重要概念，用来描述雷达系统中的回波信号强度与目标之间的关系。
通过雷达方程，可以计算出目标的反射截面积、目标与雷达之间的距离以及目标的速度等重要信息。
雷达方程的推导过程首先从麦克斯韦方程组出发，利用电磁波的传播特性和目标的散射特性，最终得到雷达方程。
下面我们来逐步推导雷达方程。
根据电磁波的传播特性，可以得到电磁波在自由空间中的传播方程：∇²E - με∂²E/∂t² = 0其中，E表示电场强度，μ和ε分别表示自由空间的磁导率和电容率。
这个方程描述了电磁波在自由空间中的传播行为。
接下来，考虑雷达系统中的目标，假设目标是一个小球体，其直径远小于入射波的波长。
目标的散射特性可以用散射截面积σ描述，σ表示目标对电磁波的散射能力。
当电磁波照射到目标上时，一部分能量将被目标散射，形成回波信号。
假设入射波的电场强度为Ei，目标产生的散射场为Es，回波场为Er。
根据叠加原理，总场强可以表示为：E = Ei + Es + Er其中，入射场和散射场可以看作是波源，它们的传播方程可以写为：∇²Ei - με∂²Ei/∂t² = 0∇²Es - με∂²Es/∂t² = 0而回波场是由目标散射场产生的，可以表示为：Er = αEs其中，α为雷达截面积的比例因子。
将上述三个场强代入电磁波的传播方程中，可以得到：∇²E - με∂²E/∂t² = 0将总场强E展开，可以得到：∇²(Ei + Es + Er) - με∂²(Ei + Es + Er)/∂t² = 0进一步展开并整理，可以得到：∇²Es - με∂²Es/∂t² - αμε∂²Es/∂t² = -(∇²Ei + με∂²Ei/∂t²)根据散射场的传播方程，可以得到：∇²Es - με∂²Es/∂t² - αμε∂²Es/∂t² = 0将上述方程进一步化简，可以得到：(1 + α)∇²Es - (1 + α)με∂²Es/∂t² = 0继续化简，可以得到雷达方程：∇²Es - με∂²Es/∂t² = 0其中，Es表示目标产生的散射场，也就是回波场。
1.3.3激光雷达的基本原理激光雷达最基本的工作原理与普通雷达类似，即由发射系统发送一个信号，与目标作 用产生的返回信号被接收系统收集并处理，以获得所需信息。
不同的是激光雷达的发射信 号为激光束，与普通无线电雷达发送的毫米波相比，波长要短得多。
无线电雷达由于波长 长，无法探测小型或微粒型目标，而用于激光雷达系统的激光波长一般在微米量级，因而 能用于探测极细小的微粒和分子。
图1-3激光雷达原理 Figl-3 Principle of lidar激光雷达的基本原理如图1-3所示，由激光器发出一束波长为λ0，宽度为t P 的脉冲,经准直扩束后垂直射入大气，光脉冲在通过大气时受到散射和衰减，其后向散射光被接收面积为Ar 的望远镜系统接收，高度z 处的后向散射信号功率可用雷达方程表示[36]：()()()()z T z zAr2t c z Y P z P 22p 0，，，λλβλ⋅⋅⋅⋅⋅⋅= （1.1） 式中，λ为接收到的散射信号的波长，P 0为发射的激光脉冲的峰值功率，Y(z)为发送 器与接收器光路的几何重叠系数，c 为光速，()z ，λβ为大气体积后向散射系数，()z T ，λ 为大气的透过率，由朗伯定律可知:()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰’’’，，z 0dz z -exp z T λαλ （1.2）式中，()z ，λα为大气的消光系数。
从理论上，()z ，λβ为大气数密度N (z)与散射截面Ωd d σ的乘积，即 ()()Ω⋅=d d z N σλβz ， (1.3) 如前所述，大气中与激光雷达脉冲相互作用产生的后向散射信号成分包括了大气气体分子和气溶胶粒子，由于分子尺寸小，所产生的散射光相对较弱，瑞利散射截面与激发波长的四次方成反比，大气气溶胶粒子对激光的散射光为米散射。
对某一激光雷达的特定波长，分子散射直接随着大气分子的浓度而发生变化，但气溶胶散射却很复杂，取决于粒径分布以及气溶胶粒子的折射率。
这些气溶胶粒子随地域、时间变化明显，所以无法对其准确估算与预测。
而分子散射却可以相对较准确地估计出，只要通过标准大气信息或观测点上空的大气温度、压力分布数据即可获得。
因此，实际大气体积后向散射系数和大气消光系数就包含了两个部分:分子散射部分和气溶胶散射部分，即:()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=z z z m a βββ (1.4) ()()()z m ααα+=z z a （1.5）下标a 表示气溶胶，m 表示大气分子。
接收信号如图1-4所示，在0-A 段，发射光束还没进入接收视场，接收不到后向散 射信号，探测到的信号强度为0。
在A-B 段，发射光束逐渐进入视场，发射器与接收器的 重叠系数逐渐增大，接收到的后向散射信号也逐渐增强，至B 点时，重叠系数Y(z)=1 接收到的信号最强。
此后尽管视场内继续充满发射光束，但由于光速在大气中传输时按-2z 规律发散，因此回波信号也将按此规律减小，如图中B-C 段，直至遇到气溶胶密集的介质。
在遇到气溶胶密集的介质时，回波信号增强，在某一距离点(图中D 点)处达到最大， 随后又会逐渐衰减至系统无法探测为止。
图1-4激光雷达接收的信号 Fig.l 一4Lidar received signal1.3. 4激光雷达方程的解激光雷达方程提供了激光回波信号与被探测物的光学性质之间的函数关系，因此可以 根据激光雷达探测到的回波信号，通过求解激光雷达方程，获得有关大气性质的信息。
但 从前面激光雷达方程可知，除了激光雷达系统的光电探测器接收到的大气回波信号功率， 以及激光器参数和系统常数以外，方程中还有四个未知量:分子和气溶胶粒子后向散射系数()z m β，()z a β以及它们的消光系数()z m α，()z a α。
由于分子散射较稳定，其散射系数()z m β和消光系数()z m α可以通过标准大气模型或观测点上空的大气温度、压力分布数据获得，因而雷达方程中就剩下气溶胶的两个系数()z a β和()z a α为未知。
为了求解这个方程，人们 想出许多办法，激光雷达方程的求解方法主要有:斜率法、Klett 法和Fernald 法。
a.斜率法在均匀的大气层中，整个后向散射系数()z β和消光系数()z α在该范围内是常数，在这 种情况下，()z α可以用简单的斜率法求得。
将雷达方程((l. 1)简化如下:()()()⎰⋅⋅⋅=-zdzz e z z C z P 02-2αβ (1.6)将P(z)乘以2z ，再取自然对数得:()()()()⎰-⋅=⋅=zdz z z C z z P z D 022ln ln αβ (1.7)对D(z)求导得:()()()()z dzz d z dz z dD αββ21-⋅= (1.8) 如果大气均匀，则()z β和()z α均为常数，()0=dzz d β, ()z α由下式给出:()()dzz dD z ⋅-=21α (1.9)即对曲线D(z)进行最小二乘法拟合，求出曲线的斜率即可求出均匀大气的消光系数。
斜率法由于要求均匀大气作为条件，实际是很难做到的，因为()z β和()z α在某一高度 上通常并不是常数，因而这种方法很难达到很高的精度，但它适合于水平探测。
b. Klett 法为了精确求解雷达方程，必须知道()z β与()z α之间的关系。
Klett 提出，对于弹性散射， 假定两者之间满足如下关系:k B αβ⋅= (1.10)这里，B 和k 是与激光雷达波长和气溶胶的折射率以及粒径分布有关的系数。
根据经验值， k 的取值范围为:3.167.0≤≤k ，一般情况下，取k=1,将其代入((1.8)式，得:()()()()z dzz d z dz z dD ααα21-⋅= (1.11) 取远方某一边界值高度z c ，对应的边界值为()c z D , ()c z β, ()c z α Klett 求得了该方程的稳定解为:()()()()()⎰+=c c c z zdzz D z z D z D z 2αα (1.12)()()()()()⎰+=cc c z zdz z D B z z D z D z 2ββ (1.13)上两式中，由于分母中积分项的符号为正，随着积分数值的增加，边界值和噪声等 的影响会减少，因此方程的解很容易保持稳定。
这种解法的优点在于只要在边界值高度附近大气透过率()c z T 较小，对于较粗略估算出的()c z α也可反演出相对较精确的()z α。
一般情况下，()c z α必须以较精确的方法估算出，才能得到精确的()z α值，通常边界值的灵敏度会随大气的浑浊度和边界值的取值位置改变而变化很大。
c. Fernald 法当激光在大气中传输时，要受到大气分子和气溶胶粒子的共同作用，因而雷达方程中 的()z β和()z α实际应包括两部分，即分子散射部分和气溶胶散射部分。
Klett 法求解得出的是大气总的消光系数，由于米散射信号的强度与辐射波长的一(1 ~2)次方成比例，瑞利散射信号的强度与辐射波长的一4次方成比例，在波长较长或有云或气溶胶浓度较大的情况下，大气回波信号中米散射信号占据主要成分，而瑞利散射信号相对很弱，可以忽略，在这种只需考虑单一成分的情况下，使用Klett 法求解最有效。
然而，在波长较短，对流层中气溶胶浓度不大，或观测高层卷云和气溶胶时，瑞利散射信号的影响就不能忽略了。
Fernald 法在雷达方程中将分子散射和气溶胶散射分开来考虑，即:()()()z z z a m βββ+= (1.14) ()()()z z z a m ααα+= (1.15)下标a 表示气溶胶，m 表示大气分子，代入激光雷达方程:()()()()[]()()[]{}⎰+-⋅+⋅⋅⋅=⋅z a m a m p dz z z z z zA t c z Y P z P 02002exp 2ααββ (1.16)对于气溶胶引起的米散射，其消光系数与后向散射系数的比设为()()z zS a a βα=1;对于分子引起的瑞利散射，其消光系数与后向散射系数之比满足如下关系:()()S z z S m m 382πβα==(1.17) 代入雷达方程式((1. 16 )，并将方程两边同乘以2z ，得到:()()()()()()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⋅⋅⋅⋅⋅=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+⋅-⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⎰⎰⎰ZZm pz a m p dz z S S dz z S z A ct z Y P dz z S z S z A ct z Y P z P z 001210001200222exp 22exp 2ββββββ (1.18)()()()()()()()()dz dz z S d S A ct z Y P dz z S z A ct z Y P dz z S S z P z z p Z p Zm ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅⋅⋅⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅⋅⋅⋅⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅⋅⎰⎰⎰01100010001222exp 2122exp 22exp ββββ (1.19)将上式两边取积分，得:()()()()()()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅⋅⋅⋅=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅⋅⋅⋅=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅⋅-⎰⎰⎰⎰⎰12exp 202exp 22exp 20100010000''1221Z p Z p ZZ m dz z S A ct z Y P dz dzz dz z S d A ct z Y P dzdz z S S z P z S βββ (1.20)再将上式两边取对数，得：()()()()()()()()()dzz z S A ct z Y P dz z S A ct z Y P dz dz z S S z P z S A ct p Z p Z Z p ⎰⎰⎰⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅⋅=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅⋅=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅⋅-⋅⋅⋅⋅022ln 2exp ln 2ln 2exp 22z Y P ln 100010000''122100βββ(1.21)上式两边对Z 求导，得:()()()()()()()()⎰⎰⎰⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅⋅-⋅⋅⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-⋅⋅=z dz dz z S S z z P S A ct z Y P z S S z z P z Z m pZ02exp 22dz 2exp 0''1221000122βββ (1.22) 选取边界点高度c z ，假设已知c z 处的后向散射系数()c z β和消光系数()c z α，代入上式，并设()()2z z P z D *=，()()20c c c z z P z D *=，得到:()()()()()()()()()⎰⎰⎰⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-⋅=Z Z dzZ Z dz z S S z D S z z D dz z S S z D C C m c Zm ''12100122ex p 22ex p z ββββ (1.23)则气溶胶的后向散射系数为:()()()()()()()()()()⎰⎰⎰⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-⋅+-=Z Z dzZ Z dz z S S z D S z z D dz z S S z D z C C m c Zm m a ''12100122ex p 22ex p z βββββ (1.24)根据气溶胶消光系数与后向散射系数的关系，即可求出气溶胶消光系数:(1)边界点c z 以下高度的气溶胶消光系数为(后向积分): (1.25)()()()()()()()()()⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+⋅+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+⋅-=c z C m c m c a c C m m a z dz Z z dz z S S z D z S S z z D Z z dz z S S z D z S S z ''21210212112exp 212exp αααααα (2)边界点z c 以上高度的气溶胶消光系数为(前向积分): (1.26)()()()()()()()()()⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅-⋅+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅+⋅-=z c z c m c m c a c c m m a z dz z dz z S S z D z S S z z D z z dz z S S z D z S S z ''21210212112exp 212exp αααααα 若雷达信号中气溶胶信号可以忽略，上两式的边界值(分母第一项)则由瑞利散射信 号和大气密度决定。
