衍射理论基础

第三章衍射理论基础

衍射是波动在传播途中遇到障碍物后所发生的偏离“直线传播”的现象。“光的衍射”也可以叫作“光的绕射”，就是光可以“绕过”障碍物而在某种程度上传播到障碍物后面的阴影区。对于声波和无线电波来说，由于它们的波长较长，在日常生活中可以很明显地感觉到它们的衍射现象；而光的衍射现象，由于光的波长较短，只有光通过很小的孔或狭缝时才能明显地观察到。

光的衍射现象，按光源、衍射孔（或屏障）和观察衍射的场三者之间的距离的大小，通常分为两种类型：一种叫菲涅耳（Fresnel）衍射，这是光源和衍射场或二者之一到衍射孔的距离都比较小的情况；另一种叫夫琅和费（Fraunhofer）衍射，这是光源与衍射场都在离衍射物无限远处的情况。

§3-1 惠更斯-菲涅耳原理

惠更斯（Huggens）原理是描述波的传播过程的一个原理。如图所示，设波源S在某一时刻的波阵面为Σ，Σ面上每一点都是一个次波源，发出球面波。次波源在随后的某一时刻的包络面形成一个新的波阵面Σ’。波面的法线方向就是波的传播方向。这就是惠更斯原理。

只根据惠更斯原理是不能确定衍射花样的分布的。菲涅尔在研究了光的干涉现象以后，考虑到次波来自同一光源，应该相干，因而波阵面Σ’上每一点的光振动应该是在光源和该点间任意一个波面上发出的次波叠加的结果。这样用干涉理论补充的惠更斯原理叫作惠更斯-菲涅耳原理。据此我们可以建立一个单色波在传播过程中两个任意面上光振动分布之间的关系。

我们现在来考察一个单色点光源M对于任意一点P的作用，如图所示。

根据惠更斯-菲涅尔原理，光源M 对P 点的作用可以看成M 与P 之间的任一个波面Σ上各点所发出的次波在P 点叠加的结果。如果我们不考虑时间因子t j e ω，单色点光源M 在波面Σ上任一点Q 产生的光振动的复振幅可以表示为a 0e jkr /R （其中a 0是离点光源M 单位距离处的振幅，R 是波面Σ的半径）。在波面Q 点取微元波面ds ，则ds 面元的次波源发出的次波在P 点产生的复振幅可以表示为

ds r

e R e a K P dU jkr

jkR ⋅=0)()(θ

式中r =QP ，K (θ)为倾斜因子，表示次波的振幅随元波面法线和QP 的夹角θ而变(θ称衍射角)。按照菲涅尔的假设，当θ=0时，K 有最大值；随着θ的增大，K 迅速减小，当θ≥π/2时，K =0。也就是说元波面法线和QP 的夹角大于等于90°时，元波面对P 点的振动没有贡献。此时Σ波面有效部分在P 点产生的光振动的复振幅为

ds r e K R

e a P U jkr

jkR

⎰⎰∑=

)()(0θ

这就是惠更斯-菲涅耳原理的数学表达式。利用这一表达式原则上可以计算任意形状开孔或屏障的衍射问题。但是上述积分在一般情况下计算起来很复杂，只有在某些简单的情况下才能精确求解。

对于平面波，衍射屏处各点的复振幅都相同，记此振幅为A ，则

ds r

e K A P U jkr

⎰⎰∑=)()(θ

若观察屏离衍射屏很远，则θ≈0，K (θ)≈常数，所以对于平面波衍射又可近似为

ds r

e A P U jkr

⎰⎰∑=)(

§3-2 基尔霍夫衍射公式

利用惠更斯-菲涅耳衍射公式对一些简单形状的开孔的衍射现象进行计算，虽然算出的衍射光强分布与实际的结果符合的很好，但是菲涅耳衍射理论本身是不严格的。例如它勉强引入倾斜因子K (θ)，缺乏理论根据。菲涅耳原理的缺陷，可以由基尔霍夫(Kirchhoff)的衍射理论来弥补。 一、 基尔霍夫积分定理

基尔霍夫衍射公式是用下面的方法推导的。因为光波是电磁波，其必然满足波动方程

012222

=∂-∇t

u

c u

通过对波动方程分离时间变量t ，可以得到关于空间位置变量函数U (P )满足的亥姆霍兹(Helmhotz)方程

0)(22=+∇U k

而自由空间单色光的复振幅也只是空间位置变量的函数，所以亥姆霍兹方程的解U 一定就是自由空间单色光的复振幅。可以用格林定理求解亥姆霍兹方程。格林定理说的是：两个空间位置函数U (P )和G (P )，如果它们的一阶导数和二阶偏导数在一个封闭面S 内部和封闭面S 上各点是单值连续的，则有

⎰⎰⎰⎰⎰∂∂-∂∂=∇-∇V

S

dS n

G

U n U G dV G U U G )()(2

2 式中

n

∂∂

表示在S 面上各点沿外法线方向的方向导数。这个定理给出了把空间位置函数)(22G U U G ∇-∇的体积分变为面积分的关系。如果我们适当选取一个辅助函数G (P )（格

林函数），就可以用格林定理解决上面的边界值问题。

基尔霍夫选择的格林函数G (P )是以考察点P 为中心的单位振幅的球面波的复振幅

函数，即r

e P G jkr =)(。

其中r 表示空间任意点到P 点的距离。由于r=0是G (P )的奇点，因此要正确应用格林定理，必须使P 点不包含在体积V 内。为此我们作一个以P 为中心，ε为半径的小球面S ε，这样格林定理在由S 和S ε包围的体积内成立，于是

⎰⎰⎰⎰⎰

+∂∂-∂∂=∇-∇V

S S dS n

G

U n U G

dV G U U G ε

)()(2

2

由于U (P )和G (P )都满足亥姆霍兹方程，所以

⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+-=∇-∇V

V

dV G Uk

U Gk dV G U U G 0)()(2

222

从而

0)(=∂∂-∂∂⎰⎰

+ε

S S dS n

G

U n U G

即

⎰⎰⎰⎰∂∂-∂∂-=∂∂-∂∂S

S dS n G

U n U G dS n G U n U G

)()(ε

对于S ε，外法线方向指向球心，它与P 点到S ε面上的矢径方向正好相反，所以

r

e jk r r e r r G n G jkr jkr )1()(-=∂∂-=∂∂-=∂∂ 在S ε面上各点，r =ε，所以

ε

εε

jk e jk n G )1(-=∂∂ 对于U (P )，因其自身和其偏导数在P 点连续，所以ε→0时U 和n

U

∂∂即是它们在P 点的值，对于确定的P 点，它们都是有限常量，这样 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∂∂-∂∂-=-=Ω

--∂∂=Ω--∂∂=--∂∂=∂∂-∂∂Ω

→Ω→→→S

jk jk P P

jk jk P P

jk S jk P P

jk S dS n

G

U n U G

P U d jke e U n

U e d e jk U n U e dS e jk U n U e dS n G

U n U G )()(4)](|[lim ])

1

(|[lim ])

1(|[lim )(lim 0

2000πεεεε

ε

εε

εεεεε

εε

εεεε

εεε

ε