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xy 1且 x y0，该命题真值为 0．
第二节 一阶逻辑合式公式及解释
内容： 合式公式，解释，逻辑有效式，矛盾式，可满足式。 重点： (1) 掌握合式公式的概念，
(2) 掌握量词的辖域，约束变项，自由变项的概念，
(3) 掌握逻辑有效式，矛盾式，可满足式的概念。
一般： (1) 换名规则，代替规则， (2) 解释的概念， (3) 代换实例。
若用 p, q, r 分别表示以上3个命题， 推理形式为 (pq)r ，不是重言式。
二、个体词，谓词，量词。 1、个体词，谓词 。 例如：陈景润是数学家．。 2 是无理数。 小王比小李高2厘米 。 (1) 个体词——简单命题中表示主体或客体的词 (由名词组成)。
个体常项 用 a,b, c 表示 个体词
三、命题符号化。 例1、在一阶逻辑中将下面命题符号化。
(1) 所有的有理数均可表成分数。 解：因无指定个体域，则以全总个体域为个体域。
Q ( x ) ：x 为有理数， F ( x ) ：x 可表成分数，
xQ(x)F(x)
(2) 有的有理数是整数。
解： Q ( x ) ：x 为有理数，Z ( x ) ：x 为整数，
h ( x ,y ) x y ,f a ,g ( x ,y ) a ( 2 x y 1 )
例3 设个体域为实数集，令 I(x) : x是整数． Q(x): x是有理数． A(x,y):xy1． B(x,y):xy0．
试用日常语言叙述下列命题，并指出其真值．
（1）xyA (x,y) （2）yxA (x,y) （3） x y(A (x,y) B (x,y)) （4） x y(A (x ,y) B (x ,y))
命题符号化的形式可能不一样， (2) 一般，除非有特别说明，
均以全总个体域为个体域，
(3) 在引入特性谓词后，使用全称量词用“ ”，
使用存在量词用“ ”，
(4) n 元谓词化为命题至少需要 n 个量词， (5) 当个体域为有限集时，
如D{a1,a2, an}，则 x A ( x ) A ( a 1 ) A ( a 2 ) A ( a n ) x A ( x ) A ( a 1 ) A ( a 2 ) A ( a n ) (6) 多个量词同时出现时， 不能随意颠倒顺序。
(6) 联结词符： ,,, ,
(7) 括号和逗号：( ，)， ， 。
2、元的递归定义。 (1) 个体常项和变项是元。
(2)若 (x1,x2, xn)是任意 n 元函数， t1,t2, ,tn 是元，则 (t1,t2, ,tn)是元。
(3) 只有有限次地使用(1)、(2)生成的符号串才是元。
例如：a , b , x , y , f ( x , y ) x y , g ( x , y ) 2 x y 1 ,
个体变项 用 x,y,z 表示
个体域(或称论域)——个体变项取值的范围。
(2) 谓词——刻画个体词的性质或
个体词之间关系的词。
谓词常项
谓词
都用F,G,H 表示
谓词变项
n 元谓词(用 F(x1,x2, ,xn)表示)
如F ( x , y )：x 比 y 高。
其中F ( x , y ) 是二元谓词，x , y 为个体词。
a ：小王，
b ：小明， F (a , b ) ：小王比小明高。
例如：李华是大学生，
小明是大学生。
F ( x ) ：x 是大学生，
一元谓词
a ：李华
个体常项
b ：小明
个体常项
F(a),F(b) 分别表示李华，小明是大学生，
它们是0元谓词。
2、量词——表示数量的词。
量词 全称量词
存在量词
使用量词时，应注意以下6点： (1) 在不同个体域中，
了解： (1) 闭式的概念， ( 判断合式公式的类型。
一、一阶逻辑中的合式公式。 1、字母表。
(1) 个体常项： a ,b ,c, .a i,b i,ci, ,i 1 (2) 个体变项： x,y,z, .xi,yi,zi, ,i 1 (3) 函数符号： f,g ,h , .fi,g i,h i, ,i 1 (4) 谓词符号： F ,G ,H , .F i,G i,H i, ,i 1 (5) 量词符号： ,
xF(x)H(x)
(3) 没有不犯错误的人。
解：M ( x ) ：x 是人，F ( x ) ：x 犯错误，
xM (x) F(x)
原命题即：“每个人都犯错误”。
又可符号化为：xM(x) F(x)
(4) 每列火车都比某些汽车快。 某些汽车比所有的火车慢。
解：F ( x ) ：x 是火车，G ( y ) ：y 是汽车， H ( x, y) ：x 比 y 快，
第一句为： x F ( x ) y G ( y ) H ( x ,y ) 或 x y F ( x ) G ( y ) H ( x ,y )
第二句为： y G ( y ) x F ( x ) H ( x ,y ) 或 y x G ( y ) F ( x ) H ( x ,y )
解 ： （ 1 ） 对 于 任 意 实 数 x， 存 在 着 实 数 y， 使
得 xy 1．该命题真值为1 ．
（2）存在着实数 y，使得对于任意实数 x ，都
有 xy 1．该命题真值为0．
（3）存在着实数x和 y,使得 xy 1且x y0．该
命题真值为1 ．
（4）对于任意实数 x，存在着实数 y，使得
第二章 谓词逻辑 第一节 谓词逻辑基本概念
内容： 个体词，谓词，量词，命题符号化。 重点： 1、掌握个体词，谓词，量词的有关概念，
2、掌握在一阶逻辑中的命题符号化。
一、谓词逻辑研究的内容。 例如：判断以下推理是否正确： 凡人都是要死的， 苏格拉底是人， 所以苏格拉底是要死的。
这是著名的“苏格拉底三段论”，
xQ(x)Z(x)
注：若本题指定的个体域为有理数集，
则(1)，(2)分别符号化为xF (x) 和 xZ (x) 。
例2、在一阶逻辑中将下列命题符号化。 (1) 凡偶数均能被2整除。
解：F ( x ) ：x 是偶数，G ( x ) ：x 能被2整除，
xF(x) G(x)
(2) 存在着偶素数。
解：F ( x ) ：x 是偶数，H ( x ) ：x 是素数，
