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离散数学第二章谓词逻辑

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离散数学2_谓词逻辑

离散数学2_谓词逻辑

• 在一个谓词公式中，如果某个客体变元既 以约束变元形式出现，又以自由变元形式 出现，就容易产生混淆。为了避免此现象 发生，可以对客体变元更改名称。 如 x(F(x,y)→yP(y))∧Q(z) • 约束变元的改名规则： (1).对约束变元可以更改名称，改名的范围 是：量词后的指导变元以及该量词的辖域 内此客体变元出现的各处同时换名。 (2).改名后用的客体变元名称，不能与该量 词的辖域内的其它变元名称相同。
z的辖域
y的辖域
x的辖域
一般地， • 如果量词后边只是一个原子谓词公式时， 该量词的辖域就是此原子谓词公式。 • 如果量词后边是括号，则此括号所表示 的区域就是该量词的辖域。 • 如果多个量词紧挨着出现，则后边的量 词及其辖域就是前边量词的辖域。
2-2.5 自由变元与约束变元
• 在谓词公式中的客体变元可以分成两种， 一种是受到量词约束的，一种是不受量词 约束的。请看下面公式： • x(F(x,y)→yP(y))∧Q(z) Ｆ(x,y)中的x在x的辖域内，受到x的 约束，而其中的y不受x的约束。 P(y)中的y在y的辖域内，受y的约束。 Q(z)中的z不受量词约束。
第二章 谓词逻辑
问题的提出：(即命题逻辑的局限性)
在第一章, 一个原子命题只用一个字母表示， 而不再对命题中的句子成分细分。这样有一些逻 辑问题无法解决。请看下面的例子。 例1.令Ｐ：小张是大学生。 Ｑ：小李是大学生。 从符号Ｐ、Ｑ中不能归纳出他们都是大学生的共 性。我们希望从所使用的符号那里带给我们更多 的信息，比如可以看出他们的共性。这种想法在 第一章是无法实现的。
2-1.5 量词
• 例如：有些人是大学生。 所有事物都是发展变化的。 “有些”,“所有的”,就是对客体量化的词。 • 定义：在命题中表示对客体数量化的词，称之 为量词。 • 定义了两种量词： (1).存在量词：记作，表示“有些”、“一 些”、 “某些”、“至少一个”等。 (2).全称量词：记作，表示“每个”、“任 何 一个”、“一切”、“所有的”、“凡是”、

离散数学---谓词逻辑推理

离散数学---谓词逻辑推理

得到(3)不能使用存在量词消除规则 由(2)得到 不能使用存在量词消除规则， 得到 不能使用存在量词消除规则， 因为(2)中含有除 以外的自由变元z。 中含有除y以外的自由变元 因为 中含有除 以外的自由变元 。
推理举例1 推理举例
每一个大学生不是文科生就是理科生； 每一个大学生不是文科生就是理科生；有的大学生是优 西 等生；小张不是文科生但他是优等生。因此， 等生；小张不是文科生但他是优等生。因此，如果小张是 华 大 大学生，他就是理科生。 大学生，他就是理科生。
∃y (P(x)→Q(y)) // 存在量词引入规则 →
一阶逻辑中特有的推理规则( 一阶逻辑中特有的推理规则(续)
西 华 大 学
[4]. 存在量词消除规则（EI规则） 存在量词消除规则（ 规则 规则） ∃x A(x) ⇒ A(c) 成立的条件是： 成立的条件是： (1). c是特定的个体常项，是使得 是特定的个体常项， 是特定的个体常项 是使得A(c)为 为 真的个体常项， 不能在前面的公式序列中出 真的个体常项 ， c不能在前面的公式序列中出 现； (2). c不在 不在A(x)中出现； 中出现； 不在 中出现 (3). A(x)中自由出现的个体变元只有 ； 中自由出现的个体变元只有x； 中自由出现的个体变元只有
举例： 举例：存在量词消除规则
西 华 大 学
指出下列推导中的错误，并加以改正： 指出下列推导中的错误，并加以改正： A (1). ∃x P(x) // 前提 (2). P(c) // 存在量词消除规则 (3). ∃x Q(x) // 前提 (4). Q(c) // 存在量词消除规则 A解 ： 第二次使用存在量词消除规则时 ， 所指定的特 解 第二次使用存在量词消除规则时， 定个体应该在证明序列以前的公式中不出现， 定个体应该在证明序列以前的公式中不出现，正确的推 理是： 理是： (1). ∃x P(x) // 前提 (2). P(c) // 存在量词消除规则 (3). ∃x Q(x) // 前提 (4). Q(d) // 存在量词消除规则

离散数学第二章

离散数学第二章

P (t1 , t2 , , tn ) 是原子公式。
32
§2.1.3 谓词逻辑公式（公式 ）
定义 谓词公式由下述各条规定组成： （1）原子公式是谓词公式。 （2）若A是谓词公式，则﹁ A也是谓词公式。 （3）若A和B是谓词公式，则A ∨ B，A ∧ B，A → B， 也是谓词公式。
22
2．存在量词
注意：１．在存在量词 的作用下，x不再起变量的作用， 存在量词也“约束”了x的变量作用。 注意：２．在存在量词作用下，命题中的特性谓词与命题 变元之间必须采用联结词合取，而不能用条件。 注意：3．命题的表示形式与个体域密切相关。 例：有些狗是聪明的。 若个体域为所有狗的集合，则该命题表示为：
这种“描述主语性质的谓语结构的抽象形式或描述主语所 涉及对象之间的关系的抽象形式”就是谓词。语句中的主 语称为个体。 在原子命题中引进谓词和个体的概念，这种以命题中的谓 词为基础的分析研究，称为谓词逻辑(或称谓词演算)。
7


§2.1.1 谓词与个体

在谓词逻辑中，将原子命题分解为谓词与个体两部分。
F (a1 , a2 , , an )
例如， T（a）：a是教师。 D（３，２）：３大于２。 C（武汉，北京，广州）：武汉位于北 京和 广州之间。 注意顺序
9
§2.1.1 谓词与个体
在一个谓词中，个体是可以变化的，如 “是大学生” 中个体是可以变化的，可以是“张华是大学生” 也可
以是“何勇是大学生” ，等等。
31
§2.1.3 谓词逻辑公式（公式 ）
定义( 项 ) (1)个体常量符是项；
(2)个体变量符是项；
(3)设f是n元函数符，
t1 , t2 , , tn 为项，则

离散数学第2章 谓词逻辑

离散数学第2章 谓词逻辑

上述符号P 上述符号P、Q、R、T表示的是命题，而符号C（上 表示的是命题，而符号C ）、F ）、B ）、S 李兰， 海）、F（甲，乙）、B（3，2，5）、S（李兰，高 则是命题所对应的谓词表示形式， 翔）则是命题所对应的谓词表示形式，它们都有确 切的真值。 切的真值。
8
a:上海；b:甲，c:乙；d:3，e:2，f:5；g:李兰， a:上海；b:甲 c:乙 d:3，e:2，f:5；g:李兰， 上海 李兰 h:高翔 则上述命题又可表示为： 高翔。 h:高翔。则上述命题又可表示为： P：C（上海） ： （上海） Q：F（甲，乙） ： （ R：B（3，2，5） R：B（3，2，5） T：S（李兰，高翔） ： （李兰，高翔） P：C（a） ： （ ） Q：F（b，c） ： （ ， ） R：B（d，e，f） R：B（d，e，f） T：S（g，h） ： （ ， ）
谓词的基本概念与表示 如有句子： 例 如有句子： 张红是一个中州大学的学生 是一个中州大学的学生； 张红是一个中州大学的学生； 王南是一个中州大学的学生； 王南是一个中州大学的学生； 是一个中州大学的学生 李华是一个中州大学的学生 是一个中州大学的学生。 李华是一个中州大学的学生。 则在命题中必须要用三个命题P 来表示。 则在命题中必须要用三个命题P，Q，R来表示。 但是，它们都具有一个共同的特征： 是一个大学生” 但是，它们都具有一个共同的特征：“是一个大学生” 因此，若将句子分解成： 因此，若将句子分解成： 主语＋谓语” “主语＋谓语” 表示“是一个大学生” 后紧跟“某某人” 用P表示“是一个大学生”，P后紧跟“某某人”。则 上述句子可写为：P(张红 张红) P(王南 王南) P(李华 李华) 上述句子可写为：P(张红)；P(王南)；P(李华)。一 般地， 般地， P(x)： 是一个大学生。 ： P(x)：x是一个大学生。 P：谓词 x：个体词 ： 4 P(x)：命题函数 ：

离散数学第2章 谓词逻辑

离散数学第2章 谓词逻辑
命题“凡人要死。”符号化为：(x)F (x) ⑵ 令G(x)：x是研究生。 命题“有的人是研究生。”符号化为：(x)G(x)
在命题函数前加上量词(x)和(x)分别叫做个体变元x 被全称量化和存在量化。一般地说，命题函数不是命题， 如果对命题函数中所有命题变元进行全称量化或存在量化， 该函数就变成了命题。这一结论在例2.3中得到验证。
为假。 ⑵ 如果5大于3，则2大于6。 解：设G(x,y)： x大于y a：5，b：3，c：2，d：6 该命题符号化为：G(a,b)→G(c,d) G(a,b)表示5大于3，它是真命题。G(c,d)表示2大于6，
ห้องสมุดไป่ตู้这是个假命题。所以G(a,b)→G(c,d)为假。
(3) 2 是无理数, 而 3 是有理数 解 ：设F(x): x是无理数, G(x): x是有理数 符号化为 F( 2) G( 3) 真值为 0 (4) 如果2>3，则3<4 解：设 F(x,y): x>y, G(x,y): x<y, 符号化为 F(2,3)G(3,4) 真值为1
谓词：刻划个体性质或个体之间相互关系的模式叫做谓词。谓 词常用大写英文字母表示，叫做谓词标识符。
例如可以用F，G，H表示上面三个命题中谓词： F：„是优秀共产党员。 G：„比„高。 H：„坐在„和„的中间。
第2章 谓词逻辑
一元谓词：与一个个体相关联的谓词。如上例中的F。 二元谓词：与两个个体相关联的谓词。如上例中的G。 三元谓词：与三个个体相关联的谓词。如上例中的H。
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第2章 谓词逻辑
课外作业
• 教材P59-60页: 练习题（需要做在练习本上） （1） （2） a)、c) 、d)、e)、 f)、i)、k)、l)
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离散数学第二章谓词逻辑

离散数学第二章谓词逻辑
一般来说，当多个量词同时出现时， 它们的顺序不能随意调换。
*
第二章 谓 词 逻 辑 命题函数与量词
当个体域为有限集合时，如D={a1, a2 …, an}，对任意谓词A(x)，有 xA(x)A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an ) xA(x)A(a1)∨A(a2)∨…∨A(an )
特性谓词常作合取项，如x(M(x)∧ G(x))。
第二章 谓 词 逻 辑
命题函数与量词
*
第二章 谓 词 逻 辑 2.2 命题函数与量词
例如：在实数域上用H(x,y)表示x+y=5，则命题“对于任意的x，都存在y使得x+y=5”可符号化为：xyH(x,y)，其真值为1。若调换量词顺序后为： yxH(x,y) , 其真值为0。
*
第二章 谓 词 逻 辑 2.2 命题函数与量词
*
令S(x): x吸烟。则符号化为：
（x）(M(x)∧S(x))
令D(x): x登上过木星。则符号化为：
令Q(x):x是清华大学的学生。H(x):x是高
第二章 谓 词 逻 辑 2.2 命题函数与量词
*
小结:本节介绍了n元谓词、命题函数、全称量词和存在量词等概念。重点掌握全称量词和存在量词及量化命题的符号化。
添加标题
x(M(x) F(x)).
添加标题
第二章 谓 词 逻 辑
添加标题
命题函数与量词
*
当个体域为全体学生的集合时：
01
令P(x): x要参加考试。则（2）符号化为
02
xP(x).
03
当个体域为全总个体域时：
04
令S(x): x是学生。则（2）符号化为
05
x(S(x) P(x)).

离散数学第二章

怎么符号化？ 怎么符号化？
5
3 量词的有关概念
1. 全称量词： “所有的”，“任何一个”，“每 全称量词： 所有的” 任何一个” 一个” 凡是” 一切” 一个”，“凡是”，“一切”表示个体域中每一 表示，称为全称量词。 用符号“ 个，用符号“∀”表示，称为全称量词。
如，所有的人都要呼吸。 所有的人都要呼吸。
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常用一阶逻辑中的基本等值式
1. 有限个体域 有限个体域D={a1, a2, … ,an }中消去量词 中消去量词 等值式: 等值式
1) ∀xA( x) ⇔ A(a1 ) ∧ A(a2 ) ∧⋯∧ A(an );
2) ∃xA( x ) ⇔ A(a1 ) ∨ A(a2 ) ∨ ⋯ ∨ A(an ).
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指导变项（ 指导变项（元）等概念
在合式公式∀ 和 在合式公式∀xA和∃xA中，称x是指导变元，称A为相应量词 中 是指导变元， 为相应量词 作用域或辖域。 的作用域或辖域。 在辖域中x的出现称为 在公式 中的约束出现 在辖域中 的出现称为x在公式 中的约束出现； 的出现称为 在公式A中的约束出现； 公式A中不是约束出现的其它变元称为该变元的自由出现. 中不是约束出现的其它变元称为该变元的自由出现 公式 中不是约束出现的其它变元称为该变元的自由出现 例1 指出下列公式中的指导变项、量词的辖域、个体变项的 指出下列公式中的指导变项、量词的辖域、 自由出现和约束出现. 自由出现和约束出现 1) 2) ∀xF(x,y)→∃x(G(x) ∧¬ ∀zP(x,z)) → ∀x ∃ y(A(x,y)→∃z(B(x) ∧P(x,z))) →
永假式 如果 在任何解释下均为假 称A为矛盾 如果A在任何解释下均为假 解释下均为假,称 为 或称永假式 式(或称永假式 ； 或称永假式)； 如果存在一个解释使A为真 则称A为 为真,则称 可满足式 如果存在一个解释使 为真 则称 为 可满足式； 可满足式；

离散数学-第二章-谓词逻辑-变元的约束

例 I(x):表示x是整数,N(x):表示x是自然数， 假设个体域E是自然数集合，公式I(x)与N(x)在E上是 等价的。 而公式N(x)→I(x) 与N(x)∨I(x)就是与个体域无 关的等价的公式，即 N(x)→I(x)N(x)∨I(x)。
河南工业大学离散数学课程组
四、谓词公式的蕴含式定义
约束 变元
自由
（1）(x)(y)(P(x, y)∨Q(y, z))∧(x)R(x,y)
变元
指导 变元
(x)的 (y)的 指导 (x)的 辖域 辖域 变元 辖域
P(x, y)、Q(y, z)中的x, y为约束变元，z为自由变元， R(x,y)中的x为约束变元，但y为自由变元。
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例(x)(A(x)∨B(x,y))∨C(x)∨ D(x,w) 换名： (y)(A(y)∨B(y,y))∨C(x)∨ D(x,w) 错
(w)(A(w)∨B(w，y))∨C(x)∨ D(x,w) 对 (z)(A(z)∨B(z,y))∨C(x)∨ D(x,w) 对
代入： (x)(A(x)∨B(x，y))∨C(y)∨ D(y,w) 错 (x)(A(x)∨B(x，y))∨C(w)∨ D(w,w) 错 (x)(A(x)∨B(x，y))∨C(u)∨ D(x,w) 错 (x)(A(x)∨B(x，y))∨C(u)∨ D(u,w) 对
(x)G(x) =
1, 0,
x D,G(x) = 1 x0 D,G(x0 ) = 0
(x)G(x) =
1, 0,
x0 D,G(x0 ) = 1 x D,G(x) = 0
河南工业大学离散数学课程组
例
对以下公式赋值后求真值。
(x)(P(x)→Q(f(x),a)) (x)(P(x)∧Q(x,a))

离散数学第2章 谓词逻辑

例4：某些人对某些食物过敏。 设F(x,y)：x对y过敏。 M(x)：x是人。 G(y)：y是食物。 (x) (y) (M(x) ∧ G(y) ∧ F(x,y))
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§3 谓词公式与翻译
例5：凡是实数不是大于0，就是等于0或者小于0。 设R(x)：x是实数。 P(x,0)：x大于0。 Q(x,0)：x等于0。 S(x,0)：x小于0。 (x) (R(x) → ( P(x,0) Q(x,0) S(x,0) ) )
例：所有的人都是会死的。
设M(x)：x是人。S(x)：x是会死的。
个体域约定为{人类}：(x) (S(x))
全总个体域：
(x) ( M(x) → S(x) )
例：有一些人是不怕死的。
设M(x)：x是人。F(x)：x是不怕死的。
个体域约定为{人类}：(x) (F(x))
全总个体域：
(x) ( M(x) ∧ F(x) )
定义：在反映判断的句子中，用以刻划客体的性质或 关系的即是谓词。
5
§1 谓词的概念与表示法
客体，是指可以独立存在的事物，它可以是具体 的，也可以是抽象的，如张明，计算机，精神等。
表示特定的个体，称为客体常元，以a，b，c… 或带下标的ai，bi，ci…表示；
表示不确定的个体，称为客体变元，以x，y， z…或xi，yi，zi…表示。
4. 谓词中通常只写客体变元，因此不是命题，仅当 所有客体变元做出具体指定时，谓词才成为命题， 才有真值。
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第二章 谓词逻辑
§1 谓词的概念与表示法 §2 命题函数与量词 §3 谓词公式与翻译 §4 变元的约束 §5 谓词演算的等价式与蕴含式 §6 前束范式 §7 谓词演算的推理理论
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§2 命题函数与量词

离散数学 谓词逻辑

中原子谓词公式，简称原子公式。 下面，由原子公式出发，给出Lp中的合式 谓词公式的归纳定义。
定义2.2.3 合式谓词公式当且仅当由下列规 则形成的符号串 ① 原子公式是合式谓词公式； ② 若A是合式谓词公式，则(A)是合式谓 词公式； ③ 若A，B是合式谓词公式，则(A∧B)， (A∨B)，(A→B)和(AB)都是合式谓词公式； ④ 若A是合式谓词公式，x是个体变元，则 (x)A、(x)A都是合式谓词公式； ⑤ 仅有有限项次使用①、②、③和④形成 的才是合式谓词公式。
当n=1时，称一元谓词；当n=2时，称为二 元谓词，…。特别地，当n=0，称为零元谓词。
零元谓词是命题，这样命题与谓词就得到了统
一。
n元谓词不是命题，只有其中的个体变元用 特定个体或个体常元替代时，才能成为一个命 题。但个体变元在哪些论域取特定的值，对命 题的真值极有影响。
例如，令S(x)：x是大学生。若x的论域为 某大学的计算机系中的全体同学，则S(x)是真 的；若x的论域是某中学的全体学生，则S(x)是 假的；若x的论域是某剧场中的观众，且观众中 有大学生也有非大学生的其它观众，则S(x)是 真值是不确定的。
④ 有的自然数是素数。
解 令S(x)：x是大学生，L(x)：x热爱祖国，
N(x)：x是自然数，R(x)：x是实数，I(x)：x有
远大理想，P(x)：x是素数。
则例中各命题分别表示为：
①(x)(S(x)L(x))
③(x)(S(x)I(x))
②(x)(N(x)R(x))
④(x)(N(x)P(x))
③找出恰当量词。应注意全称量词(x)后 跟条件式，存在量词(x)后跟合取式。 ④用恰当的联结词把给定命题表示出来。
例2.2.2 将命题“没有最大的自然数”符号 化。 解 命题中“没有最大的”显然是对所有的 自然数而言，所以可理解为“对所有的x，如果 x 是自然数，则一定还有比 x 大的自然数”，再 具体点，即“对所有的 x 如果 x 是自然数，则一 定存在 y ， y 也是自然数，并且 y 比 x 大”。令 N(x):x 是自然数， G(x,y):x 大于 y ，则原命题表 示为：(x)(N(x)(y)(N(y)G(y,x)))。
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35
第二章 谓 词 逻 辑
2.2 命题函数与量词
小结:本节介绍了n元谓词、命题函数、全 称量词和存在量词等概念。重点掌握全 称量词和存在量词及量化命题的符号化。
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第二章 谓 词 逻 辑
2.3 谓词公式与翻译
2.3谓词公式与翻译
n元谓词A(x1，x2...xn) 称为谓词演算的原子公式。 定义：谓词演算的合式公式，可由下述各条组成: （1）原子公式是合式公式。 （2）若A 是合式公式，则(A)也是合式公式。 （3）若A，B是合式公式，则(A ∧ B)，(A ∨ B)，(A
的学生，则x R（x）为假。)
29
第二章 谓 词 逻 辑
2.2 命题函数与量词
（3）约定以后如不指定个体域，默认为全总 个体域。对每个个体变元的变化范围,用 特性谓词加以限制。
30
第二章 谓 词 逻 辑
2.2 命题函数与量词
特性谓词：限定个体变元变化范围的谓词。 一般而言，对全称量词，特性谓词常作蕴含 的前件，如x(M(x) F(x))；对存在量词， 特性谓词常作合取项，如x(M(x)∧ G(x))。
第二章 谓 词 逻 辑
命题逻辑的局限性： 在命题逻辑中，命题是命题演算的基本单位，不
再对原子命题进行分解，因而无法研究命题的内部结 构、成分及命题之间的内在联系，甚至无法处理一些 简单而又常见的推理过程。
1
第二章 谓 词 逻 辑
例如，下列推理： 所有的人都是要死的。 苏格拉底是人。 苏格拉底是要死的。 众所周知，这是真命题。但在命题逻辑中,如果
32
第二章 谓 词 逻 辑
2.2 命题函数与量词
(5) 当个体域为有限集合时，如D={a1, a2 …, an}，对
任意谓词A(x)，有
xA(x)A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an ) xA(x)A(a1)∨A(a2)∨…∨A(an )
33
第二章 谓 词 逻 辑
2.2 命题函数与量词
例6：在谓词逻辑中将下列命题符号化。 （1）所有的人都长头发。 （2）有的人吸烟。 （3）没有人登上过木星。 （4）清华大学的学生未必都是高素质的。 解：令 M(x): x是人。（特性谓词） （1） 令F(x): x长头发。则符号化为：
4
第二章 谓 词 逻 辑
2.1 谓词的概念与表示
2.1 谓词的概念与表示
在谓词逻辑中，可将原子命题划分为个体和谓 词两部分。 个体：可以独立存在的具体事物的或抽象的概念。 例如，电子计算机、李明、玫瑰花、黑板、实数、
中国、思想、唯物主义等，客体也可称之为 主语。 谓词：用来刻划个体的性质或个体之间的相互关系 的词。
当个体域为全总个体域时： 令S(x): x是学生。则（2）符号化为
x(S(x) P(x)).
23
第二章 谓 词 逻 辑
2.2 命题函数与量词
(3) 当个体域为全体整数的集合时： 令P(x): x是正的。N(x): x是负的。则（3）符号
化为 x(P(x)∨N(x)) .
当个体域为全总个体域时： 令I(x): x是整数。则（3）符号化为
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第二章 谓 词 逻 辑
2.2 命题函数与量词
例4：在谓词逻辑中将下列命题符号化. （1）一些数是有理数。 （2）有些人活百岁以上。
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第二章 谓 词 逻 辑
2.2 命题函数与量词
解: (1)令Q(x): x是有理数。则（1）符号化为ｘQ(x)。 （2）当个体域为人类集合时：
令G(x): x活百岁以上。则（2）符号化为xG(x)。
同理，个体变元x,y具有关系L，记作L(x,y)；个体 变元x,y,z具有关系A，记作A(x,y,z)。
H(x)、L(x,y) 、A(x,y,z)本身并不是一个命题。只有 用特定的个体取代个体变元x,y,z后，它们才成为命题。 我们称H(x)、L(x,y) 、A(x,y,z)为命题函数。
13
第二章 谓 词 逻 辑
当个体域为全总个体域时： 令M(x): x是人。则（2）符号化为
x(M(x) ∧ G(x))
27
第二章 谓 词 逻 辑
2.2 命题函数与量词
有时需要同时使用多个量词。 例5：命题“对任意的x,存在y, 使得x+y=5”,
取个体域为实数集合，则该命题符号化为 x y H(x,y).
其中H(x,y): x+y=5. 这是个真命题.
（x）(M(x) F(x))
34
第二章 谓 词 逻 辑
2.2 命题函数与量词
（2） 令S(x): x吸烟。则符号化为： （x）(M(x)∧S(x))
（3） 令D(x): x登上过木星。则符号化为： （x）(M(x)∧D(x))
（4）令Q(x):x是清华大学的学生。H(x):x是高 素质的。则符号化为： （x）(Q(x) H(x))
注意：命题函数中，个体变元在哪些范围内取特定 的值，对命题的真值极有影响。
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第二章 谓 词 逻 辑
2.2 命题函数与量词
例如：H(x,y)∧H(y ,z)H(x,z)
若H(x,y)解释为: x大于y，当x,y,z都在实数中
取值时，则这个式子表示“若x大于y 且y 大于 z，则x大于z” 。这是一个永真式。
第二章 谓 词 逻 辑
2.2 命题函数与量词
在命题函数中，个体变元的取值范围称为 个体域，又称之为论域。个体域可以是有 限事物的集合，也可以是无限事物的集合。
全总个体域：宇宙间一切事物组成的个体 域称为全总个体域。
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第二章 谓 词 逻 辑
2.2 命题函数与量词
2.2.2 量词
量词：全称量词()和存在量词()
用P，Q，R表示以上三个命题，则上述推理过程为： （P∧Q）R。借助命题演算的推理理论不能证明其 为重言式。
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第二章 谓 词 逻 辑
原因：命题逻辑不能将命题之间的内在联系和数量 关系反映出来。 解决办法：将命题进行分解。
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第二章 谓 词 逻 辑
2.1 谓词的概念与表示 2.2 命题函数与量词 2.3 谓词公式与翻译 2.4 变元的约束 2.5 谓词演算的等价式与蕴含式 2.6 前束范式 2.7 谓词演算的推理理论
2.1 谓词的概念与表示
注意: (1)单独一个谓词并不是命题，在谓词字母后填
上个体所得到的式子称之为谓词形式。 (2)在谓词形式中，若个体确定，则A(a1，a2，...，
an)就变成了命题。 (3)在多元谓词表达式中，个体字母出现的先后
次序与事先约定有关，一般不可以随意交换 位置。
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第二章 谓 词 逻 辑
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第二章 谓 词 逻 辑
2.2 命题函数与量词
(4) 一 般 来 说 ， 当 多 个 量 词 同 时 出 现 时 ，
它们的顺序不能随意调换。 例如：在实数域上用H(x,y)表示x+y=5，
则命题“对于任意的x，都存在y使得 x+y=5”可符号化为：xyH(x,y)，其真值 为1。若调换量词顺序后为： yxH(x,y) , 其真值为0。
如果H(x,y)解释为: “x是y的儿子”， 当x,y,z都 指人时，则这个式子表示“若x为y的儿子 且y 是z的儿子，则x是z的儿子” 。这是一个永假 式。
如果H(x,y)解释为: “x距y10米”，当x,y,z为平 面上的点，则这个式子表示“若x距y10米且y 距z10米，则x距z10米” 。这个命题的真值将 由x,y,z的具体位置而定，它可能是1，也可能 18
2.1 谓词的概念与表示
小结：本节将原子命题进行分解，分为个体 和谓词两部分。进而介绍了个体和谓词、一 元谓词和n元谓词的概念。重点掌握一元谓 词和n元谓词的概念。
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第二章 谓 词 逻 辑
2.2 命题函数与量词
2.2.1 命题函数 2.2.2 量词
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第二章 谓 词 逻 辑
2.2 命题函数与量词
在…与…之间” “…与…同岁”都是谓词。 6
第二章 谓 词 逻 辑
2.1 谓词的概念与表示
刻划一个个体性质的词称之为一元谓词，刻划 n个个体之间关系的词称之为n元谓词。
一般我们用大写英文字母表示谓词，用小写英 文字母表示个体名称。
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第二章 谓 词 逻 辑
2.1 谓词的概念与表示
例如，将上述谓词分别记作大写字母F、G、H、 R、S，则上述命题可表示为：
2.2 命题函数与量词
复合命题函数：由一个或几个简单命题函数以及逻 辑联结词组合而成的表达式。
例1：若x的学习好，则x的工作好。 设S(x):x学习好；W(x):x工作好 则有S(x) W(x)
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第二章 谓 词 逻 辑
2.2 命题函数与量词
例2：将下列命题用0元谓词符号化。 (1) 2是素数且是偶数。 (2) 如果2大于3，则2大于4。 (3) 如果张明比李民高，李民比赵亮高，则张明比赵
亮高。
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第二章 谓 词 逻 辑
2.2 命题函数与量词
解：(1) 设F(x): x是素数. G(x): x是偶数. 则命题符号化为： F(2)∧G(2)
(2) 设L(x,y) ：x大于y. 则命题符号化为： L(2,3) L(2,4)
(3) 设 H(x,y): x比y高. a:张明 b:李民 c：赵亮 则命题符号化为： H(a,b)∧H(b ,c)H(a,c)
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第二章 谓 词 逻 辑
2.1 谓词的概念与表示
例如在下面命题中： （1）张明是个劳动模范。 （2）李华是个劳动模范。 刻划个体的性质 （3）王红是个大学生。 （4）小李比小赵高2cm。 （5）点a在b与c之间。 刻划个体之间的相互关系 （6）阿杜与阿寺同岁。
“ 是 个 劳 动 模 范 ” 、 “ 是 个 大 学 生 ” 、 “ … 比 … 高 2cm” 、 “…