高中数学奔驰定理与三角形四心重要性质详细证明

第4讲 奔驰定理知识与方法【奔驰定理】:若O 为ABC ∆内任意一点,有OA OB OC αβγ++=0, 则::::BOC AOC AOB S S S αβγ∆∆∆=.证明:如图1,取点,,A B C ''',使得,,OA OA OB OB OC OC αβγ'='='=,则OA '+OB OC '+'=0,即O 为A B C ∆'''的重心B OC A OC A OB S S S ∆''∆''∆''⇒==,1sin 112,1sin 2AOB AOB A OB A OB OA OB AOBS OA OB S S S OA OB OA OB A OB αβαβ∆∆∆''∆''⋅∠⋅===⇒='⋅''⋅'∠'' 同理11,AOC A OC BOC B OC S S S S αγβγ∆∆''∆∆''==.111::::::,BOC AOC AOB S S S αβγβγαγαβ∆∆∆⇒==即证明BOC AOC AOB S OA S OB S OC ∆∆∆⋅+⋅+⋅=0. 与三角形“四心”的结合. (1)O 是ABC ∆的重心::1:1:1BOC AOC AOB S S S OA OB OC ∆∆∆⇔=⇔++=0.(2)O 是ABC ∆的内心::::BOC AOC AOB S S S a b c aOA bOB cOC ∆∆∆⇔=⇔++=0.(3)O 是ABC ∆的外心::sin 2:sin 2:sin 2sin 2sin 2sin 2BOC AOC AOB S S S A B C A OA B OB C OC ∆∆∆⇔=⇔⋅+⋅+⋅=0.(4)O 是ABC ∆的垂心::tan :tan :tan tan tan BOC AOC AOB S S S A B C A OA B OB ∆∆∆⇔=⇔⋅+⋅+ tan C OC ⋅=0.证明:如图2,O 为三角形的垂心,tan ,tan CD CDA B AD DB==, tan :tan :,::$,:tan :tan .BOC AOC BOC AOC A B DB AD S S DB AD S S A B ∆∆∆∆==∴∴=∴ 同理得:tan :tan ,:tan :tan AOC AOB BOC AOB S S B C S S A C ∆∆∆∆==. ∴::tan :tan :tan BOC AOC AOB S S S A B C ∆∆∆=. 定理的推广:若P 在ABC ∆外部,如图3,则: (1)当P 位于区域(1)所对应的两部分时:PBC PAB PAC S PA S PC S PB ∆∆∆-⋅+⋅+⋅=0.(2)当P 位于区域(2)所对应的两部分时:PAC PAB S PB S PC ∆∆-⋅+⋅+PBC S PA ∆⋅=0.(3)当P 位于区域(3)所对应的两部分时:PAB PBC PAC S PC S PA S ∆∆∆⋅-⋅+⋅+PB =0.典型例题【例1】已知点O 是ABC ∆内部一点,且满足234OA OB OC ++=0,则,,AOB BOC AOC ∆∆∆的面积之比依次为（ ）A.4:2:3B.2:3:4C.4:3:2D.3:4:5【例2】已知 P 是 ABC ∆ 所在平面内一点, 2PB PC PA ++=0, 现将一粒黄豆随机撒在 ABC ∆ 内, 则黄豆落在PBC ∆内的概率是（ ） A.14B.13C.12D.23【例3】已知点P 是ABC ∆所在平面内一点,且满足352PA PB PC ++=0,设ABC ∆的面积为S ,则PAB ∆的面积为（ ） A.23S B.310S C.12S D.15S 【例4】已知G 是ABC ∆的重心,且满足56sin 40sin 35sin A GA B GB C ⋅+⋅+⋅GC =0,求角B =_______.【例5】设P 是ABC ∆内任意一点,ABC S ∆表示ABC ∆的面积,1PBCABC S S λ∆∆=,2λ=3,PCA PAB ABC ABC S S S S λ∆∆∆∆=,定义()123(),,f P λλλ=,若G 是ABC ∆的重心,111(),,632f Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则( )A.点Q 在GAB ∆内B.点Q 在GBC ∆内C.点Q 在GCA ∆内D.点Q 与点G 重合【例6】O 为等边三角形内一点,且满足(1)OA OB OC λλ+++=0,若AOB ∆与AOC ∆的面积之比为3:1,则实数λ的值为() A.12B.1C.2D.3【例7】已知点O 在ABC ∆内部,且324AB BC CA AO ++=,记ABC ∆的面积为1,S OBC ∆的面积为2S ,则12S S 的值为【例8】若点M 是ABC ∆所在平面内一点,且满足|3|0AM AB AC --=,则ABM ∆与ABC ∆的面积之比值为【例9】已知点O 为ABC 内一点,且OA mOB nOC=+(其中0m n <<、), AOB S :2:3AOCS=,则m n=【例10】设H 为ABC 的垂心(三角形三条高的交点),且3450HA HB HC ++=,则cos AHB ∠的值为强化训练1.在ABC 所在的平面内有一点P ,如果2PA PC AB PB +=-,那么PBC 的面积与ABC 的面积之比是( )A. 34B.12 C. 13D.232.已知ABC 的外接圆半径为1,圆心为O ,且3450OA OB OC ++=,则ABC 的面积为( )A. 85B.75C.65D.453.在ABC 中,D 为三角形所在平面内一点,且1132AD AB AC =+,则()BCD ABDS S =A. 16B. 13C.12D.234.已知O 为ABC 的垂心,且230OA OB OC ++=,则角A 的值为5.已知点P 是ABC 内一点,且2155AP AB AC =+, 则ABP ABCS S =6.已知点O 是ABC 内一点,420,7AOB ABCS OA OB mOC S++==,则 () m = A. 2 B. 3C. 4D. 57.已知点O 是ABC 内一点,若::4:3:2AOBBOCAOCSSS=,设AO AB AC λμ=+, 则λ和μ的值分别是 ( )A. 24,99B. 42,99C. 12,99D. 21,998.已知点P 是ABC 内一点,522,6PB PA APB ∠π===,且2340PA PB PC ++=, 则ABCS=9.ABC 内一点O 满足230OA OB OC ++=,直线OA 交BC 于点D ,则 ( )A. 230DB DC +=B. 320DB DC +=C. 50OA OD -=D. 50OA OD +=10.已知O 是ABC 所在平面上的一点,若aPA bPB cPCPO a b c++=++,(其中P 是ABC 所在平面内 任意一点)则O 是ABC 的（ ) A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心。

平面向量奔驰定理与三角形四心的应用定理：已知O 是ABC ∆内的一点，AOB AOC BOC ∆∆∆,,的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证：0=++•••OC S OB S OA S C B A证明：如图2延长OA 与BC 边相交于点D 则；BCCOD ACD BOD ABD COD BOD ACD BD S S DC BD S S S S S S S S A =--===∆∆∆∆∆∆∆；OD =DC BC OB +BCBDOC =C B BS S S +OB +CB C S S S +OCCB ACOA BOA COD BOD COA COD BOABOD S S S S S S S S S SSOA OD +=++===∴ CB A S S S OD +-=OA ； ∴CB A S S S +-OA =C B BS S S +OB +CB C S S S +OC∴0=++•••OC S OB S OA S C B A推论 O 是ABC ∆内的一点，且0OA OB OC x y z •••++=，则::::BOC COA AOB S S S x y z ∆∆∆=有此定理可得三角形四心向量式O 是ABC ∆的重心⇔1:1:1::=∆∆∆AOB COA BOC S S S ⇔0OA OB OC ++= O 是ABC ∆的内心 [三角形的内心在向量AB AC ABAC+所在的直线上. ]⇔c b a S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆⇔0OA OB OC a b c •••++= O 是ABC ∆的外心OA OB OC ⇔==⇔C B A S S S AOB COA BOC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆⇔sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC •••++= O 是ABC ∆的垂心[OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅⇔O 为△ABC 的垂心.]⇔C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆⇔tan tan tan 0A OA B OB C OC •••++=证明：如图O 为三角形的垂心，DBCDB AD CD A ==tan ,tan ⇒AD DB B A :tan :tan = =∆∆COA BOC S S :AD DB :； ∴B A S S COA BOC tan :tan :=∆∆同理得C B S S AOB COA tan :tan :=∆∆，C A S S AOB BOC tan :tan:=∆∆∴C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆例1 P 是ABC ∆内一点，2155AP AB AC =+，则ABP ABC S S ∆∆= .例2 若ABC ∆接于以O 为圆心， 1 为半径的圆，且3450OA OB OC ++= ，则该ABC ∆ 的面积为（ ）例3 P 为ABC ∆内部一点，且满足22PB PA ==，56APB π∠=，且2340PA PB PC ++=，则ABC ∆的面积为（ ）A ．98B ．43C ．1D ．65奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一三角形“四心”的相关向量问题一．知识梳理：四心的概念介绍：(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1； (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等； (4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。

专题5奔驰定理与向量四心秒杀秘籍：第一讲奔驰定理与三角形四心重心定理：三角形三条中线的交点.已知△ABC 的顶点),(11y x A ，),(22y x B ，),(33y x C ，则△ABC 的重心坐标为),(y x G .注意：（1）在△ABC 中，若O 为重心，则0OA OB OC++=．（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1，且分的三个三角形面积相等．定理：重心的向量表示：1133AG AB AC=+．定理：0B A C S OA S OB S OC（奔驰定理），则AOB 、AOC 、△BOC 的面积之比等于123:: 垂心定理：三角形三边上的高相交于一点．点O 是ABC 的垂心，则OA OB OB OC OC OA．角平分线定理：若OA a ，OB b ，则AOB 平分线上的向量OM 为(||||ab a b ， 由OM 决定外心定理：垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等；（1）212AO AB AB ，212AO AC AC ；212BO BC BC ；（2）221144AO AF AB AC ，221144BO BE AB BC ，221144CO CD BC AC ；（3）221122AO BC AC AB ，221122BO AC BC BA ，2211.22CO AB BC AC 重心定理证明：2211133233AG AD AB AC AB AC奔驰定理证明：如图，令112131,,OA OA OB OB OC OC ，即满足1110OA OB OC11121AOB A OB S S ，11131AOC A OC S S ，11231BOC B OC S S ，故321::::AOB AOC BOC S S S l l l =.垂心定理证明：()00OA OB OC OB OB OA OC OB CA ，即OB CA^，以此类推．角平分线定理证明：||a a 和||b b 分别为OA 和OB 方向上的单位向量，||||a b a b 是以||a a 和||bb 为一组邻边的平行四边形过O 点的的一条对角线，而此平行四边形为菱形，故||||ab a b 在AOB 平分线上，但AOB 平分线上的向量OM 终点的位置由OM决定.当1 时，四边形OAMB 构成以 120AOB 的菱形．外心定理证明：如图，ABC △中，D 、E 、F 分别为AD 、AC 、BC 边中点，O 为ABC △外心，则AB OD ，AC OE ，BC OF ，AO AD DO AE EO ，221122AO AB AD DO AB AB DO AB AB ，同理可证：212AO AC AC ×= ，212BO BC BC ；22111111222244AO AF AO AB AC AO AB AO AC AB AC骣琪×=×+=×+×=+琪桫；同理221144BO BE AB BC ×=+；同理221144CO CD AC BC ×=+.【例1】在四边形ABCD 中，AB DC = =(1,0)，BA BC BDBA BC BD+=，则四边形ABCD 的面积是（）A ．32B ．3C ．34D ．32【解析】,||||1||||||BA BC BDBD ABC BD BA BA BC BD为的角平分线且，又因为 1,0AB DC ，故ABCD 是一个菱形，且120ABC Ð=°，故面积为131322S =创=，选A.【例2】已知点O 为ABC 内一点，且230OA OB OC，则AOB 、AOC 、BOC 的面积之比等于（）A ．9∶4∶1B ．1∶4∶9C ．3∶2∶1D ．1∶2∶3【解析】如图，令1123OB OB OC OC，即满足1110OA OB OC112AOB AOB S S ，113AOC AOC S S ，11123BOC B OC S S ，故111::::3:2:1.236AOB AOC BOC S S S 例2图例3图例4图【例3】已知G 为ABC 的重心，令AB a = ，AC b = ，过点G 的直线分别交AB 、AC 于P 、Q 两点，且AP ma =，AQ nb = ，则11m n+=．【解析】1133AG a b =+，AP AP ma a m，AQ AQ nb b n ；11;3333AP AQ AG a b m n =+=+令PG PQ l =，即()1AG AP AQ l l =-+，()1AG AP AQ l l =-+，故11111333m n m nl l -=Þ=Þ+=．【例4】在OAB 中，OA a = ，OB b = ，若2a b a b×=-=．（1）求22a b + 的值；（2）若()0a b a b a b 骣琪+×-=琪琪桫，3AB AM = ，2BA BN = ，求OM ON ×的值．【解析】（1）由于22222224428a b a b a ab b a b ab -=Þ-=-+=Þ+=+= ；（2）||||a b a b +表示AOB 的角平分线OD 的共线向量，a b -表示BA ，()0.||||a b a b a b骣琪+-=琪桫可知OAB 为等腰三角形，即a b ，2282a b a b a b OAB为等边三角形．1122ON a b ，1233OM b a ，22112111142432233326326ON OM a b a b a ab b．【例5】已知O 为ABC 的外心，AB =4，AC =2，∠BAC 为钝角，M 是边BC 的中点，则AM AO×的值（）A ．23B ．12C ．6D ．5【解析】22111152244AO AM AO AB AC AB AC骣琪×=×+=+=琪桫．【例6】设P 为锐角ABC 的外心（三角形外接圆圆心），AP k AB AC =+ （k ∈R ）．若cos ∠BAC =25，则k （）A ．514B ．214C ．57D ．37【解析】()()22221212252512122525AP AB AB k AB k AC AB k AB k AB AC k AB k AC AP AC AC k AB k AC AC k AC k AB AC k AC k AB 骣琪×==+×=+Þ-=琪桫骣琪×==+×=+Þ-=琪桫 üïïïýïïïþ；AB AC \= 故1252314k k k 骣琪-=Þ=琪桫，选A ．达标训练1．已知两个非零向量a ，b 满足||||b a b a ，则下面结论正确的是（）A ．b a ∥B ．b a C ．||||b a D ．ba b a 2．已知ABC △和点M 满足0MA MA MC ++= ．若存在实数m 使得AB AC mAM += 成立，则m =（）A ．2B ．3C ．4D ．53．已知O 是ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且20OA OB OC ++=，那么（）A ．OD AOB ．ODAO 2 C ．OD AO 3 D ．ODAO 24．已知非零向量AB 与AC 满足()0||||AB AC BC AB AC，且12||||AB AC AB AC +=，则ABC △为（）A ．等腰非等边三角形B ．等边三角形C ．三边均不相等的三角形D ．直角三角形5．点O 是ABC △所在平面内的一点，满足OA OB OB OD OC OA，则点O 是ABC △的（）A ．三个内角的角平分线的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三条高的交点6．点P 是ABC △所在平面上一点，若PA PB PB PC PC PA，则P 是ABC △的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心7．点O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足()||||AB ACOP OA AB AC l =++，),0[ ，则P 的轨迹一定通过ABC △的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心8．设点O 在ABC △的内部，且有230OA OB OC ++=，则ABC △的面积与AOC △的面积的比为（）A ．2B ．32C ．3D ．539．已知P 为ABC 内部任一点（不包括边界），且满足0)()2)(( CA CB AB PC P A PB P A PB ，则ABC 一定为（）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形10．如图，在圆C 中，弦AB 的长为4，则AB AC （）A ．8B ．8C ．4D ．4第10题第15题11．已知点G 是ABC △内一点，满足0GA GB GC ++= ，若3BAC ，1AB AC ，则||AG 的最小值是（）A 3B 2C 6D 612．边长为8的等边ABC △所在平面内一点O ，满足230OA OB OC --=，若19|| OP ，则||PA 的最大值为（）A ．63B ．219C ．319D ．41913．已知O 是ABC △的外心，4|| AB ，2|| AC ，则)(AC AB AO =（）A ．10B ．9C ．8D ．614．已知ABC △中， 45A ， 60B ，点H 是ABC △的垂心，存在实数s ，t ，使得AH s AB t AC =+，则s ，t 的值分别为（）A ．32 s ，33 t B ．32 s ，3 t C ．32 s ，33t D ．32 s ，32 t 15．如图，AB 是圆O 的直径，P 是圆弧 AB 上的点，M 、N 是直径AB 上关于O 对称的两点，且AB =6，MN =4，则PM PN=（）A ．13B ．7C ．5D ．316．在ABC △中，AB =AC =5，BC =6，I 是ABC △的内心，若BI mBA nBC =+)(R n m ，（m ，n ∈R ），则nm=（）A ．43B ．65C ．2D ．1217．已知A 、B 、C 三点不共线，且点O 满足0OA OB OC ++=，则下列结论正确的是（）A ．1233OA AB BC =+ B ．2133OA AB BC=-- C ．1233OA AB BC =--D ．2133OA AB BC=+ 18．在ABC △中，G 为ABC △的重心，过G 点的直线分别交AB ，AC 于P ，Q 两点，且AP hAB =，AC k AQ ，则16h +25k 的最小值（）A ．27B ．81C ．66D ．4119．已知ABC △为等边三角形，动点P 在以BC 为直径的圆上，若AC AB AP ，则 2 的最大值为（）A ．12B ．331C ．52D ．23220．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C ，若54OC OB OC =- ，则||||AB BC等于（）A ．1B ．2C ．3D ．421．ABC △所在平面上一点P 满足PA PB PC AB ++=，则P AB △的面积与ABC △的面积比为（）A ．3:2B ．3:1C ．4:1D ．6:122．在ABC △中，G 为ABC △的重心，过G 点的直线分别交AB ，AC 于P ，Q 两点，且AP hAB =，AC k AQ ，则k h 11 =（）A ．3B ．4C ．5D ．623．已知平面向量OA 、OB 、OC 满足：||||||1OA OB OC ===，12OA OB ．若OB y OC x OC ，)(R y x ，，则y x 的最大值是（）A ．1B ．33C ．2D ．23324．在ABC △中，点G 满足0GA GB GC ++= ．若存在点O ，使得16OG BC =，且OA mOB nOC =+ ，则n m =（）A ．2B ．2C ．1D ．125．已知O 为ABC △内一点，且有230OA OB OC ++=，记ABC △，BCO △，ACO △的面积分别为1S ，2S ，3S ，则321S S S ：：等于（）A ．1:2:3B ．2:1:3C ．2:1:6D ．1:2:626．已知G 是ABC △的重心，过点G 作直线MN 与AB ，AC 交于点M ，N ，且AM xAB =，AC y AN ，)0( y x ，，则y x 3的最小值是（）A ．83B ．72C ．52D ．4233327．已知P 为ABC △所在平面内一点，0AB PB PC ++= ，2|||||| AB PC PC ，则PBC △的面积等于（）A ．33B ．23C 3D ．4328．A ，B ，C ，D 在一个平面内，满足2DA DB DB DC DC DA ×=×=×=-.||||||DC DB DA ，动点P ，M满足PM MC = ，|PA|1=，则||MB 的最大值是（）A ．72B ．4C ．92D ．529．在ABC △中，O 为中线AM 上的一个动点，若4 AM ，则)(OC OB OA 的最小值是（）A ．4B ．8C ．10D ．1230．在ABC △中，1 AB ， 60ABC ，1AC AB ，若O 是ABC △的重心，则BO AC的值为（）A ．1B ．52C ．83D ．531．已知点P 在圆122x y 上，点A 的坐标为)0,2( ，O 为原点，则AO AP ×的最大值为．32．过点3,1(P 作圆122 x y 的两条切线，切点分别为A ，B ，则PB P A =．33．已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若1()2AO AB AC =+，则AB 与AC 的夹角为．34．在ABC △中，M 是BC 的中点，AM =3，BC =10，则AB AC ×=．35．在四边形ABCD 中，AB DC = =（1，1），3||||||BA BC BD BA BC BD +=，则四边形ABCD 的面积是．36．在ABC △中，M 是BC 的中点，120A ，12AB AC ，则线段AM 长的最小值为．。

第37讲三角形四心及奔驰定理知识梳理技巧一．四心的概念介绍：（1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．（2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等．（3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等．（4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．技巧二．奔驰定理---解决面积比例问题重心定理：三角形三条中线的交点．已知ABC △的顶点11()A x y ，，22()B x y ，，33()C x y ，，则△ABC 的重心坐标为123123()33x x x y y y G ++++，．注意：（1）在ABC △中，若O 为重心，则0OA OB OC ++= ．（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2：1，且分的三个三角形面积相等．重心的向量表示：1133AG AB AC =+ ．奔驰定理：0B A C S OA S OB S OC⋅⋅⋅++=，则AOB △、AOC △、BOC △的面积之比等于321::λλλ奔驰定理证明：如图，令112131OA OA OB OB OC OC λλλ===，，，即满足1110OA OB OC ++= 11121AOB A OB S S λλ=△△，11131AOC A OC S S λλ=△△，11231BOC B OC S S λλ=△△，故321::::AOB AOC BOC S S S λλλ=△△△．技巧三．三角形四心与推论：（1）O 是ABC △的重心：::1:1:10BOC COA A0BS S S OA OB OC =⇔++=△△△．（2）O 是ABC △的内心：::::0B0C COA AOB S S S a b c aOA bOB cOC =⇔++=△△△．（3）O 是ABC △的外心：0::sin 2:sin 2:sin 2sin 2sin 2sin 20B C COA AOBS S S A B C AOA BOB COC =⇔++=△△△．（4）O 是ABC △的垂心：0::tan :tan :tan tan tan tan 0B C COA AOB S S S A B C AOA BOB COC =⇔++=△△△．技巧四．常见结论（1）内心：三角形的内心在向量AB ACAB AC + 所在的直线上．0AB PC BC PC CA PB ⋅+⋅+⋅=⇔P 为ABC △的内心．（2）外心：PA PB PC ==⇔P 为ABC △的外心．（3）垂心：PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅⇔P 为ABC △的垂心．（4）重心：0PA PB PC ++=⇔P 为ABC △的重心．必考题型全归纳题型一：奔驰定理例1．（2024·全国·高一专题练习）已知O 是ABC 内部的一点，A ∠，B ∠，C ∠所对的边分别为3a =，2b =，4c =，若sin sin sin 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=，则AOB 与ABC 的面积之比为（）A ．49B ．13C ．29D ．59【答案】A【解析】由正弦定理sin sin sin a b cK A B C===,又3a =，2b =，4c =，所以得()32401O K A OB OC ⋅+⋅+⋅= ,因为10K ≠,所以3240OA OB OC ⋅+⋅+⋅= .设1113,2,4,OA OA OB OB OC OC === 可得1110,OA OB OC ++=则O 是111A B C △的重心，111111OA B OB C OA C S S S S === ，利用11111sin 2S OA OB A OB =⋅⋅∠,11sin sin AOB AOB ∠=∠,所以11111sin 121632sin 2OAB OA OB AOB S OA OB SOA OB OA OB AOB ⋅∠⋅===⋅⋅∠,所以16OAB S S = ,同理可得18OBC S S = ,112AOC S S = .所以AOB 与ABC 的面积之比为1111:4:966812S S S S ⎛⎫++= ⎪⎝⎭即为49.故选：A.例2．（2024·安徽六安·高一六安一中校考期末）已知O 是三角形ABC 内部一点，且20OA OB OC ++=，则AOB ∆的面积与ABC ∆的面积之比为（）A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】C【解析】如图，设OA OC + OD = ，∵20OA OB OC ++= ，∴2OD OB =-，设AC 与OD 交于点M ，则M 平分,AC BD ，∴OM OB =-，O 是BM 中点，∴1124AOB AMB ABC S S S ∆∆∆==．比值为14．故选：C ．例3．（2024·全国·高一专题练习）若点M 是ABC 所在平面内的一点，点D 是边AC 靠近A的三等分点，且满足5AM AB AC =+，则ABM 与ABD △的面积比为（）A ．15B ．25C ．35D ．925【答案】C【解析】M 是ABC 所在平面内一点，连接AM ，BM ，延长AM 至E 使5AE AM =，∵5AM AB AC AE =+= ，∴AB AE AC CE =-= ，连接BE ，则四边形ABED 是平行四边形，向量AB和向量CE 平行且模相等，由于3AC AD = ，所以13ABD ABC S S =△△，又5AE AM = ，所以15ABM ABE S S =△△，在平行四边形中，ABDABE S S =△△，则ABM 与ABD △的面积比为135153ABEABD S S =△△，故选：C.变式1．（2024·全国·高三专题练习）平面上有ABC 及其内一点O ，构成如图所示图形，若将OAB ，OBC △，OCA 的面积分别记作c S ，a S ，b S ，则有关系式0a b c S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=uu r uu u r uuu r r．因图形和奔驰车的logo 很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若满足0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=，则O 为ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】B【解析】由0a b c S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=uu r uu u r uuu r r 得b c a aS S OA OB OC S S =-- ，由0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅= 得b c OA OB OC a a =--，根据平面向量基本定理可得b a S b S a -=-，c a S cS a-=-，所以b a S b S a =，c a S c S a=，延长CO 交AB 于E ，延长BO 交AC 于F，则||||b a S AE S BE =，又b a S b S a =，所以||||AE b BE a =||||AC BC =，所以CE 为ACB ∠的平分线，同理可得BF 是ABC ∠的平分线，所以O 为ABC 的内心.故选：B变式2．（2024·上海奉贤·高一上海市奉贤中学校考阶段练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O 是△ABC 内的一点，△BOC ，△AOC ，△AOB 的面积分别为A S 、B S 、C S ，则有0A B C S OA S OB S OC ++=，设O 是锐角△ABC 内的一点，∠BAC ，∠ABC ，∠ACB 分别是△ABC 的三个内角，以下命题错误的是（）A ．若0OA OB OC ++=，则O 为△ABC 的重心B ．若230OA OB OC ++=，则::1:2:3A B C S S S =C ．则O 为△ABC （不为直角三角形）的垂心，则tan tan tan 0BAC OA ABC OB ACB OC∠⋅+∠⋅+∠⋅=D ．若2OA OB == ，5π6AOB ∠=，2340OA OB OC ++= ，则92ABC S =【答案】D【解析】对于A ：如下图所示，假设D 为AB 的中点，连接OD ，则=2O OA O D C B O +=，故,,C O D 共线，即O 在中线CD 上，同理可得O 在另外两边,BC AC 的中线上，故O 为ABC 的重心，即A 正确；对于B ：由奔驰定理O 是ABC 内的一点，,,BOC AOC AOB 的面积分别为,,A B C S S S ，则有0A B CS OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=可知，若230OA OB OC ++=，可得::1:2:3A B C S S S =，即B 正确；对于C ：由四边形内角和可知，πBOC BAC ∠+∠=，则cos cos OB OC OB OC BOC OB OC BAC =∠=-∠，同理，cos cos OB OA OB OA BOA OB OA BCA =∠=-∠，因为O 为ABC 的垂心，则()0OB AC OB OC OA OB OC OB OA ⋅=⋅-=⋅-⋅=，所以cos cos OC BAC OA BCA ∠=∠ ，同理得cos cos OC ABC OB BCA ∠=∠ ，cos cos OA ABC OB BAC ∠=∠，则::cos :cos :cos OA OB OC BAC ABC BCA =∠∠∠，令cos ,cos ,cos OA m BAC OB m ABC OC m BCA =∠=∠=∠ ，由1sin 2A S OB OC BOC =∠ ，则21sin cos cos sin 22A m S OB OC BAC ABC BCA BAC=∠=∠∠∠ ，同理：21sin cos sin 22B m S OA OC ABC BAC BCA ABC =∠=∠∠∠ ，21sin cos cos sin 22C m S OA OB BCA BAC ABC BCA=∠=∠∠∠ ，综上，sin sin sin ::::tan :tan :tan cos cos cos A B C BAC ABC BCAS S S BAC ABC BCA BAC ABC BCA∠∠∠==∠∠∠∠∠∠，根据奔驰定理得tan tan tan 0BAC OA ABC OB ACB OC ∠⋅+∠⋅+∠⋅=，即C 正确.对于D ：由5π||||2,6OA OB AOB ==∠= 可知，1225π6in1s 2C S =⨯⨯⨯=，又2340OA OB OC ++=，所以::2:3:4A B C S S S =由1C S =可得，13,24A B S S ==；所以1391244C ABC A B S S S S ++==++= ，即D 错误；故选：D.变式3．（多选题）（2024·江苏盐城·高一江苏省射阳中学校考阶段练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz )的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O 是ABC 内一点，BOC ，AOC ，AOB 的面积分别为,,A B C S S S ，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=，O 是ABC 内的一点，∠BAC ，∠ABC ，∠ACB 分别是ABC 的三个内角，以下命题正确．．的有（）A ．若2340OA OB OC ++=，则4:::3:2A B C S S S =B ．若2OA OB == ，23AOB π∠=，且2340OA OB OC ++= ，则4ABC S =△C ．若OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，则O 为ABC 的垂心D ．若O 为ABC 的内心，且512130OA OB OC ++= ，则π2ACB ∠=【答案】BCD【解析】对选项A ：2340OA OB OC ++=，则::2:3:4A B C S S S =，错误；对选项B ：122sin1202AOB S =⨯⨯⨯︒=△2340OA OB OC ++= ，故::2:3:4A B C S S S =，94ABC A S S =⨯=△对选项C ：OA OB OB OC ⋅=⋅ ，即()0OA OC OB CA OB -⋅=⋅= ，故CA OB ⊥，同理可得CB OA ⊥ ，AB OC ⊥，故O 为ABC 的垂心，正确；对选项D ：512130OA OB OC ++=，故5:12:::13A B C S S S =，设内接圆半径为r ，12A S r BC =⋅，12B S r AC =⋅，12C S r AB =⋅，即5:::12:13B AB C AC =，即222AB AC BC =+，π2ACB ∠=，正确.故选：BCD变式4．（多选题）（2024·全国·高一专题练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O 是ABC 内一点，BOC 、AOC 、AOB 的面积分别为A S 、B S 、C S ，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=.设O 是锐角ABC 内的一点，BAC ∠、ABC ∠、ACB ∠分别是ABC 的三个内角，以下命题正确的有（）A ．若230OA OB OC ++=，则::1:2:3A B C S S S =B ．2OA OB == ，5π6AOB ∠=，2340OA OB OC ++= ，则92ABC S =C ．若O 为ABC 的内心，3450OA OB OC ++= ，则π2C ∠=D ．若O 为ABC 的重心，则0OA OB OC ++=【答案】ACD【解析】对于A 选项，因为230OA OB OC ++=，由“奔驰定理”可知::1:2:3A B C S S S =，A对；对于B 选项，由2OA OB == ，5π6AOB ∠=，可知1225π6in1s 2C S =⨯⨯⨯=，又2340OA OB OC ++=，所以::2:3:4A B C S S S =，由1C S =可得，12A S =，34B S =，所以1391244C ABC A B S S S S ++==++= ，B 错；对于C 选项，若O 为ABC 的内心，3450OA OB OC ++=，则::3:4:5A B C S S S =，又111::::::222A B C ar br cr a b c S S S ==（r 为ABC 内切圆半径），所以，222a b c +=，故π2C ∠=，C 对；对于D 选项，如下图所示，因为O 为ABC 的重心，延长CO 交AB 于点D ，则D 为AB 的中点，所以，2OC OD =，12AOD BOD C S S S ==△△，且12AOD B S S =△，12BOD A S S =△，所以，A B C S S S ==，由“奔驰定理”可得0OA OB OC ++=，D 对.故选：ACD.题型二：重心定理例4．（2024·福建泉州·高一校考期中）著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知ABC 的外心为O ，重心为G ，垂心为H ，M 为BC 中点，且5AB =，4AC =，则下列各式正确的有______．①3AG BC ⋅=-②6AO BC ⋅=- ③OH OA OB OC =++ ④42AC O AB M HM +=+ 【答案】①③④【解析】对于①，ABC 重心为G ，有21()33AG AM AB AC ==+ ，故22111()()(162)()33335AB AC AC AB AC AG BC AB ⋅====-+--- ，故①正确；对于②，ABC 外心为O ，过三角形ABC 的外心O 分别作AB 、AC 的垂线，垂足为D 、E ，易知D 、E 分别是AB 、AC 的中点，有212522AO AB AB ⋅== ，2182AO AC AC ⋅== ∴25922)8(AO BC AO AC AB =-=⋅=--⋅ ，故②错误；对于③，由欧拉线定理得2OG GH = ，即3OH OG = ，又有0GA GB GC ++=，故OA OB OC ++ ()()()OG GA OG GB OG GC =+++++ 3OG GA GB GC =+++3OG = ，即OH OA OB OC =++，故③正确；对于④，由3OH OG = 得3()MH MO MG MO -=-，故2133MG MO MH =+ ，所以2642M A M B AC A G OM HM +==-=+，故④正确.故答案为：①③④.例5．（2024·全国·高一专题练习）点O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上ABC 的三个顶点，B ∠、C ∠分别是边AC 、AB 的对角，以下命题正确的是_______（把你认为正确的序号全部写上）．①动点P 满足OP OA PB PC =++，则ABC 的重心一定在满足条件的P 点集合中；②动点P 满足()(0)||||AB ACOP OA AB AC λλ=++>，则ABC 的内心一定在满足条件的P 点集合中；③动点P 满足()(0)||sin ||sin AB ACOP OA AB B AC Cλλ=++>，则ABC 的重心一定在满足条件的P 点集合中；④动点P 满足()(0)||cos ||cos AB ACOP OA AB B AC Cλλ=++>，则ABC 的垂心一定在满足条件的P 点集合中；⑤动点P 满足()(0)2||cos ||cos OB OC AB ACOP AB B AC Cλλ+=++> ，则ABC 的外心一定在满足条件的P 点集合中．【答案】①②③④⑤【解析】对于①，因为动点P 满足OP OA PB PC =++，∴AP PB PC =+，则点P 是ABC 的重心，故①正确；对于②，因为动点P 满足()(0)||||AB AC OP OA AB AC λλ=++> ，∴()(0)||||AB AC AP AB AC λλ=+> ，又||||AB AC AB AC + 在BAC ∠的平分线上，∴AP 与BAC ∠的平分线所在向量共线，所以ABC 的内心在满足条件的P 点集合中，②正确；对于③，动点P 满足()(0)||sin ||sin AB AC OP OA AB B AC C λλ=++> ，∴()||sin ||sin AB AC AP AB B AC Cλ=+ ，(0)λ>，过点A 作AD BC ⊥，垂足为D ，则||sin ||sin AB B AC C AD == ，()AP AB AC ADλ=+ ，向量AB AC + 与BC 边的中线共线，因此ABC 的重心一定在满足条件的P 点集合中，③正确；对于④，动点P 满足()(0)||cos ||cos AB AC OP OA AB B AC C λλ=+> ，∴()(0)||cos ||cos AB AC AP AB B AC C λλ=+> ，∴()(||||)0||cos ||cos AB AC AP BC BC BC BC AB B AC C λλ⋅=+⋅=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴AP BC ⊥ ，所以ABC 的垂心一定在满足条件的P 点集合中，④正确；对于⑤，动点P 满足()(0)2||cos ||cos OB OC AB AC OP AB B AC C λλ+=++> ，设2OB OC OE += ，则()||cos ||cos AB AC EP AB B AC C λ=+ ，由④知()0||cos ||cos AB AC BC AB B AC C +⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴0EP BC =⋅ ，∴EP BC ⊥，P ∴点的轨迹为过E 的BC 的垂线，即BC 的中垂线；所以ABC 的外心一定在满足条件的P 点集合，⑤正确．故正确的命题是①②③④⑤．故答案为：①②③④⑤．例6．（2024·河南·高一河南省实验中学校考期中）若O 为ABC 的重心（重心为三条中线交点），且0OA OB OC λ++= ，则λ=___．【答案】1【解析】在ABC 中，取BC 中点D ，连接AD ，由重心的性质可得O 为AD 的三等分点，且2OA OD =-，又D 为BC 的中点，所以2OB OC OD += ，所以20OA OB OC OD OD ++=-+= ，所以1λ=.故答案为：1变式5．（2024·全国·高一专题练习）（1）已知△ABC 的外心为O ，且AB =5，3AC =，则AO BC ⋅= ______．（2）已知△ABC 的重心为O ，且AB =5，3AC =，则AO BC ⋅= ______．（3）已知△ABC 的重心为O ，且AB =5，3AC =，3A π=，D 为BC 中点，则AO OD ⋅= ____．【答案】8-163-4918【解析】（1）由题意得：如图过O 作OD BC ⊥，垂足为D ，则D 是BC 的中点BC AC AB =-uu u r uuu r uu u r Q ，AO AD DO =+ ，1()2AD AB AC =+ 又3AC = ，5AB =uu u r ()()2211()()822AO BC AD DO BC AD BC AB AC AC AB AC AB ∴⋅=+⋅=⋅=+-=-=-（2）根据重心的性质，知重心将相应的中线分成2:1两部分21()33AO AD AB AC ==+ ，BC AC AB =- AO BC ∴⋅= ()22311()(16)33AB AC AC AB AC AB +⋅-=-=- （3）根据重心的性质，知重心将相应的中线分成2:1两部分12OD AO = ，21()33AO AD AB AC ==+ 2221()2cos 25930492AB AC AB AC AB AC A +=++=++⨯= ()2221211494929181818AO OD AO AD AB AC ⋅===+=⨯=故答案为：（1）8-（2）163-（3）4918变式6．（2024·江苏无锡·高一江苏省太湖高级中学校考阶段练习）在ABC 中，2AB =，60ABC ∠=︒，1AC AB ⋅=- ，若O 是ABC 的重心，则BO AC ⋅= ______.【答案】7【解析】如图所示，以B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系.设(),0C a ，∵2AB =，60ABC ∠=︒，∴(A ，((11AC a ,,AB ,=-=- ∵131AC AB a ⋅=-+=-，解得5a =，∴()5,0C∵O 是ABC 的重心，延长BO 交AC 于点D ，则D 为AC 中点，所以3D 骣琪琪桫,∴2233BO BD ⎛⎛=== ⎝⎭⎝⎭，(4AC ,= ,∴(2473BO AC ⋅=⨯+⨯.故答案为：7变式7．（2024·江西南昌·高三校联考期中）锐角ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 所对的边，点G 为ABC 的重心，若AG BG ⊥，则cos C 的取值范围为______．【答案】45⎡⎢⎢⎭⎣，【解析】由题意211()()323AG AC AB AC AB =⨯+=+ ，211()()323BG BA BC BA BC =⨯+=+ ，又AG BG ⊥，则11()()()099AG BG AC AB BA BC AC BA AC BC AB BA AB BC ⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅= ，所以2CA CB AC AB BA BC AB ⋅=⋅+⋅+ ，即2cos cos cos ab C bc A ac B c =++，由222cos 2b c a A bc+-=，222cos 2a c b B ac +-=，222cos 2a b c C ab +-=，所以2225a b c +=,2cos ()5a b C b a=+，由ABC 为锐角三角形及上式，则2222222225a b c a c b b c a ⎧+=⎪+>⎨⎪+>⎩，即22223232a b b a ⎧>⎨>⎩，可得6623b a >>，所以cos C 在6(,1)3b a ∈上递减，在6(1,)2上递增，则46cos 53C ≤<.故答案为：46[,)53变式8．（2024·全国·高三专题练习）过△ABC 重心O 的直线PQ 交AC 于点P ，交BC 于点Q ，34= PC AC ，= QC nBC ，则n 的值为________.【答案】35【解析】如图，因为O 是重心，所以0OA OB OC ++= ，即=-- OA OB OC ，因为34= PC AC ，所以()34-=- OC OP OC OA ，所以()313131444442=+=--+=-- OP OA OC OB OC OC OB OC ，又= QC nBC ，则()=-- OC OQ n OC OB ，所以()1=-+ OQ OC n B nO 因为P ，O ，Q 三点共线，所以// OP OQ ，所以31(1)42--=-n n ，解得35n =.故答案为：35变式9．（2024·上海虹口·高三上海市复兴高级中学校考期中）在ABC 中，过重心G 的直线交边AB 于点P ，交边AC 于点Q ，设APQ △的面积为1S ，ABC 的面积为2S ，且,AP AB AQ AC λμ== ，则12S S 的取值范围为_________．【答案】41,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】根据题意，连接AG，作图如下：121sin 21sin 2A AP AQ S S A AB AC λμ⨯⨯==⨯⨯，在三角形ABC 中，因为G 为其重心，故可得()13AG AB AC =+ 结合已知条件可得：1113AG AP AQ λμ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为,,P G Q 三点共线，故可得11133λμ+=，即113λμ+=，由题设可知(]0,1μ∈，(]0,1λ∈，又(]0,131λμλ=∈-，得1,12λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故21231S S λλμλ==-，令31t λ-=，可得1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()113t λ=+，则121112,,292S t t S t ⎛⎫⎡⎤=++∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，又1y t t =+在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，()1,2单调递增，当1t =时，1249S S =，当12t =时，1212S S =，当2t =时，1212S S =，故1241,92S S ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故答案为：41,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦.题型三：内心定理例7．（2024·湖北·模拟预测）在ABC 中，16AB AC ⋅= ，6ABC S = ，3BC =，且AB AC >，若O 为ABC 的内心，则AO BC ⋅= _________．【答案】3-【解析】因为16AB AC ⋅= ，所以cos 16AB AC A ⋅= ，因为6ABC S = ，所以1sin 62AB AC A ⋅= ，所以sin 3cos 4A A =，又22sin cos 1A A +=，cos 0,sin 0A A >>，所以34sin ,cos 55A A ==，所以20AB AC ⋅=，由余弦定理可得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅，又3BC =，所以2241AB AC +=，又AB AC >，所以5,4AB AC ==，所以ABC 为以AB 为斜边的直角三角形，设ABC 的内切圆与边AC 相切于点D ，内切圆的半径为r ，由直角三角形的内切圆的性质可得12AC BC AB r +-==，故1OD =，因为AD BC ⊥，所以0AD BC ⋅= ，因为,OD AC BC AC ⊥⊥，所以//OD BC ，所以3DO BC ⋅=- 所以()3AO BC AD DO BC AD BC DO BC ⋅=+⋅=⋅+⋅=- .故答案为：3-.例8．（2024·全国·高三专题练习）已知Rt ABC 中，3AB =，4AC =，5BC =，I 是ABC 的内心，P 是IBC 内部（不含边界）的动点.若AP AB AC λμ→→→=+（λ，R μ∈），则λμ+的取值范围是______.【答案】7(,1)12【解析】建立如图所示平面直角坐标系，则()()()0,0,3,0,0,4A B C ，因为I 是三角形ABC 的内心，设三角形ABC 内切圆半径为r ，则()11||||||||||22AC AB BC r AB AC ++⨯=⨯⨯，解得1r =.所以()1,1I ，()()3,0,0,4AB AC →→==.依题意点(),P x y 在三角形IBC 的内部（不含边界）.因为AP AB AC λμ→→→=+(,)R λμ∈，所以()()()(),3,00,43,4x y λμλμ=+=，所以133414x x y y λλμμ⎧=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩，令1134z x y λμ=+=+，则443y x z =-+，由图可知，当443y x z =-+过()1,1I 时，117113412z =⨯+⨯=.当443y x z =-+，过()0,4C ，即为直线BC 时，1104134z =⨯+⨯=.所以λμ+的取值范围时7(,1)12.故答案为：7(,1)12例9．（2024·黑龙江黑河·高三嫩江市高级中学校考阶段练习）设I 为ABC 的内心，5AB AC ==，6BC =，AI mAB nBC =+ ，则m n +为________．【答案】1516【解析】因为5AB AC ==，所以取BC 中点为O ，连接AO ，则AO BC ⊥，且ABC 的内心I 在AO 上，IO 即为ABC 的内切圆半径r ，又6BC =，所以AO 4==，因为()1122ABC S BC AO AB BC AC r =⨯=++⨯ ，即()64556IO ⨯=++⨯，所以32IO =，52AI =，以BC 所在直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴建立坐标系，则(0,4)A ，(3,0)B -，(3,0)C ，则(3,4)AB =-- ，(6,0)BC = ，50,2AI ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，因为AI mAB nBC =+ ，即(3,4)(56,,20)0n m -⎛⎫⎪+⎭--= ⎝，所以542360m m n ⎧-=-⎪⎨⎪-+=⎩解得55,816m n ==，所以551581616m n +=+=，故答案为：516.变式10．（2024·福建福州·高三福建省福州第一中学校考阶段练习）已知点O 是ABC ∆的内心，若3177AO AB AC =+ ，则cos BAC ∠=______.【答案】16【解析】因为()()3177OA OB OA OC OA -=-+- ，即()3OC OA OB =-+ ，取AB 中点D ，连接OD ，则2OA OB OD += ，故6OC OD =- ，故点,,C O D 共线，又ACO BCO ∠=∠，故AC BC =，且CD AB ⊥，所以1cos 6DA OD BAC CA OC ∠===.故答案为：16.变式11．（2024·甘肃兰州·高一兰州市第二中学校考期末）在面上有ABC 及内一点O 满足关系式：0OBC OAC OAB S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅= △△△即称为经典的“奔驰定理”，若ABC 的三边为a ，b ，c ，现有0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅= ，则O 为ABC 的__心.【答案】内【解析】 OA AB OB =+ ，OC OA AC =+ ，()()a OAb OBc OC a OA b OA AB c OA AC ∴⋅+⋅+⋅=⋅++++ ()0a b c OA b AB c AC =++⋅+⋅+⋅= ，∴()bc AB AC AO a b c c b =+++ ， AB c ，AC b 分别是AB ，AC 方向上的单位向量，∴向量AB AC c b+平分BAC ∠，即AO 平分BAC ∠，同理BO 平分ABC ∠，O ∴为ABC 的内心，故答案为：内变式12．（2024·贵州安顺·统考模拟预测）已知O 是平面上的一个定点，A ､B ､C 是平面上不共线的三点，动点P 满足AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭()R λ∈，则点P 的轨迹一定经过ABC 的（）A ．重心B ．外心C ．内心D ．垂心【答案】C【解析】因为AB AB为AB 方向上的单位向量，AC ACuuu r uuu r 为AC 方向上的单位向量，则||||AB ACAB AC +的方向与BAC ∠的角平分线一致，由AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭，可得AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫ ⎪-=+ ⎪⎝⎭，即AB AC AP AB ACλ⎛⎫ ⎪=+⎪ ⎪⎝⎭，所以点P 的轨迹为BAC ∠的角平分线所在直线，故点P 的轨迹一定经过ABC 的内心.故选：C.变式13．（2024·江西·校联考模拟预测）已知椭圆2211612x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上异于长轴端点的动点，G ，I 分别为12PF F △的重心和内心，则PI PG ⋅=（）A ．43BC ．2D ．163【答案】D【解析】由椭圆2211612x y +=可得4a =，b =，2c ==如图，设12PF F △的内切圆与三边分别相切与A ，B ，C ，G ，I 分别为12PF F △的重心和内心．则PB PC =，11F A FC =，22F A F B =，所以12122PF PF F F PB PC a c +-==-=，所以()()1212113332PI PG PG PI PO PI PF PF PI PF PI PF PI⋅⋅⋅=+⋅=⋅+⋅== ()()12121133PF PC PF PB PB PF PF =+=+()116233a c a =-⋅=故选：D变式14．（2024·全国·高三专题练习）已知ABC ，I 是其内心，内角,,A B C 所对的边分别,,a b c ，则（）A ．1()3AI AB AC =+ B ．c AB b AC AI a a =+C ．b AB c AC AI a b c a b c=+++++D ．c AB bAC AI a b a c=+++ 【答案】C【解析】延长,,AI BI CI ，分别交,,BC AC AB 于,,D E F .内心是三角形三个内角的角平分线的交点.在三角形ABD 和三角形ACD 中，由正弦定理得：,11sin sin sin sin 22BD c CD bADB ADC BAC BAC ==∠∠⎛⎫⎛⎫∠∠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于sin sin ADB ADC ∠=∠，所以,BD CD BD cc b CD b==，,,BD c BD c acBD BD CD b c a b c b c===++++，同理可得c AI BD DI =，c AI AIBD c DI AI AD==++，c AD c b c AI AD AD ac BD c a b c c b c⋅+==⋅=⋅+++++.所以()c c AD AB BD AB BC AB AC AB b c b c =+=+=+-++b c AB AC b c b c =+++，则b c b c b c b cAI AD AB AC AB AC a b c a b c b c b c a b c a b c ++⎛⎫=⋅=⋅+=+ ⎪++++++++++⎝⎭.故选：C变式15．（2024·全国·高三专题练习）在△ABC 中，3cos 4A =，O 为△ABC 的内心，若(),R AO xAB y AC x y =+∈，则x ＋y 的最大值为（）A ．23B．65C．76D．87-【答案】D【解析】如图：圆O 在边,AB BC 上的切点分别为,E F ，连接,OE OF ，延长AO 交BC 于点D设OAB θ∠=，则23cos cos 212sin 4A θθ==-=，则sin 4θ=设x A A D AO B y ACλλλ=+= ∵,,B D C 三点共线，则1x y λλ+=，即1x y +=λ1111821sin 711AO AO AO OF OE AD AO OD AO OF AO AO λθ-==≤===+++++即x y +≤故选：D．变式16．（2024·全国·高三专题练习）点O 在ABC ∆所在平面内，给出下列关系式：（1）0OA OB OC ++= ；（2）OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅ ；（3）0AC BC BA OA O AB B AC BC BA AB 骣骣鼢珑鼢珑鼢×=×-=珑鼢珑鼢珑鼢珑 -梃uuu v uu u v uu v uu v uu u uu u v uuu v uu u v v uu u v uu v ；（4）()()0OA OB AB OB OC BC+⋅=+⋅=．则点O 依次为ABC ∆的（）A ．内心、外心、重心、垂心；B ．重心、外心、内心、垂心；C ．重心、垂心、内心、外心；D ．外心、内心、垂心、重心【答案】C【解析】（1）0OA OB OC ++=显然得出O 为ABC ∆的重心；（2）()00OA OB OB OC OB OA OC OB CA OB CA ⋅=⋅⇒⋅-=⇒⋅=⇒⊥，同理,OA CB OC AB ⊥⊥，所以O 为ABC ∆的垂心；（3）0AC AB BC BA OA OB AC AB BC BA⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⋅-=⋅-=⇒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭OA,OB 分别是,BAC ABC ∠∠的角平分线，所以O 为ABC ∆的内心；（4）()020OA OB AB OM AB OM AB +⋅=⇒⋅=⇒⊥（M 是AB 中点）同理ON BC ⊥（N是BC 中点），所以O 为ABC ∆的外心.故选：C .变式17．（2024·全国·高三专题练习）已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，O 为ABC ∆内一点，若分别满足下列四个条件：①0aOA bOB cOC ++= ；②tan tan tan 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=；③sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=；④0OA OB OC ++= ；则点O 分别为ABC ∆的（）A ．外心、内心、垂心、重心B ．内心、外心、垂心、重心C ．垂心、内心、重心、外心D ．内心、垂心、外心、重心【答案】D【解析】先考虑直角ABC ∆，可令3a =，4b =，5c =，可得()0,4A ，()3,0B ，()0,0C ，设(),O m n ，①0aOA bOB cOC ++=，即为()()()()3,443,5,0,0m n m n m n --+--+--=，即有12120m -+=，12120n -+=，解得1m n ==，即有O 到x ，y 轴的距离为1，O 在BCA ∠的平分线上，且到AB 的距离也为1，则O 为ABC 的内心；③2220sin A OA sin B OB sin C OC ⋅+⋅+⋅=，即为()()()()2424,43,0,0,02525m n m n m n --+--+--=，可得320m -=，420n -=，解得32m =，2n =，由52OA OB OC ===，故O 为ABC 的外心；④0OA OB OC++=，可得()()()(),43,,0,0m n m n m n --+--+--=，即为330m -=，430n -=，解得1m =，43n =，由AC 的中点D 为()0,2，DB =OB =O 分中线DB 比为2:3，故O 为ABC 的重心；考虑等腰ABC ∆，底角为30 ，设(C -，()2,0B ，()0,0A ，(),O x y ，②0tanA OA tanB OB tanC OC ⋅+⋅+⋅=，即为))()(),2,10,033x y x y x y --+--+--=，0x =10y +=，解得1x =-，y =，即(1,O -，由OC AB ⊥，1OA BC k k ⎛⋅==- ⎝⎭，即有OA BC ⊥，故O 为ABC 的垂心．故选：D题型四：外心定理例10．（2024·山西吕梁·高三统考阶段练习）设O 为ABC 的外心，且满足2340OA OB OC ++= ，1OA =，下列结论中正确的序号为______．①78OB OC ⋅=- ；②2AB = ；③2A C Ð=Ð．【答案】①③【解析】由题意可知：1OA OB OC ===．①2340OA OB OC ++= ，则234OA OB OC =--，两边同时平方得到：492416OB OC =+⋅+ ，解得：78OB OC ⋅=- ，故①正确．②2340OA OB OC ++= ，则2254OA OB OB OC -=-- ，254BA OB OC =-- ，两边再平方得到：242516406AB OB OC =++⋅= ．所以|2AB = ，所以②不正确．③2340OA OB OC ++= ，432OC OB OA =--，两边平方得到：1694121312cos OA OB OA OB AOB =++⋅=+∠ ，1cos 4AOB ∠=，π0,2AOB ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，同理可得：7cos 8BOC ∠=-，π,π2BOC ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，2AOB C ∠=∠，2COB A ∠=∠．故1cos 24C =，7cos 28A =-，且π0,4C ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，ππ,42A ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，2217cos 42cos 2121cos 248C C A ⎛⎫=-=⨯-=-= ⎪⎝⎭，即2A C Ð=Ð．故③正确．故答案为：①③例11．（2024·河北·模拟预测）已知O 为ABC 的外心，3AC =，4BC =，则OC AB ⋅=___________．【答案】72-/-3.5【解析】如图：,E F 分别为,CB CA 的中点，则,OE BC OF AC ⊥⊥()OC AB OC CB CA OC CB OC CA⋅=⋅-∴=⋅-⋅ ()()B EC F OE C OF CAC =⋅-+⋅+ OE CB CB OF C C A E FC CA⋅⋅-=+⋅-⋅ 2211||||22CB CA ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭()()22117||916.222CA CB =-=⨯-=- 故答案为：72-.例12．（2024·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考阶段练习）已知O 是ABC 的外心，若22AC AB AB AO AC AO mAO AB AC ⋅+⋅=uuu r uu u r uu u r uuu r uuu r uuu r uuu r uu u r uuu r，且sin sin B C +，则实数m 的最大值为______．【答案】32/1.5【解析】设三角形ABC 的外接圆的半径为r ，2||||2()||||AC AB AB AO AC AO m AO AB AC ⋅+⋅=，∴根据向量数量积的几何定义可得：22211222b c c b mr c b ⋅+⋅=，即22bc mr =，∴=222m b c r r⋅，又sin sin B C +，根据正弦定理可得sin 2b B r =，sin 2c C r =，∴22b cr r+∴2322()22224b c m b b r r r r +=⋅≤=，当且仅当22b c r r =时，即ABC 为等边三角形时取等号，∴324m ≤，32m ∴≤，∴实数m 的最大值为32．故答案为：32变式18．（2024·全国·高三专题练习）设O 为ABC 的外心，若=4AB，BC =，则BO AC ⋅=___________.【答案】2-【解析】如图，设D ､E 分别为,AB BC 的中点，则,OD AB OE BC ⊥⊥，所以()BO AC BO BC BA BO BC BO BA =-=- cos cos BO BC OBC BO BA OBA=∠-∠2211=··==222BE BC BA BD BC BA --- ,故答案为：-2.变式19．（2024·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知点O 是△ABC 的外心，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，π3A =，且cos cos 2sin sinBC AB AC OA C Bλ⋅+⋅= ，则λ的值为________．【答案】【解析】如图，分别取AB ，AC 的中点D ，E ，连接OD ，OE ，则21122AB OA AB AB c ⋅=-⋅=- ；21122AC OA AC AC b ⋅=-⋅=- ，因为cos cos 2sin sin B C AB AC OA C Bλ⋅+⋅=，设ABC 的外接圆半径为R ，由正弦定理可得2sin sin sin a b cR A B C===，所以两边同时点乘OA 可得()()2cos cos 2sin sin B C AB OA AC OA OA CB λ⋅⋅+⋅⋅= ,即222cos 1cos 12sin 2sin 2B Cc b R C B λ⎛⎫⎛⎫⋅-+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以211cos cos 22sin 2sin c bc B b C R C Bλ-⋅⋅-⋅⋅=，所以2112cos 2cos 222R c B R b C R λ-⋅⋅-⋅⋅=,所以()cos cos 2c B b C R λ-+=，所以222222222a c b a b c c b R ac ab λ⎛⎫+-+--⋅+⋅= ⎪⎝⎭，即2a R λ-=，所以sin sin 23a A R πλ=-=-=-=故答案为：变式20．（2024·全国·高三专题练习）在ABC 中，6AB =，AC =．点M 满足1154AM AB AC =+．过点M 的直线l 分别与边,AB AC 交于点,D E 且1AD AB λ= ，1AE AC μ= ．已知点G 为ABC 的外心，AG AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则AG 为______．【答案】【解析】,,D M E 三点共线，∴可设()()101AM t AD t AE t =+-<<，15AB t AD ∴= ，()114AC t AE =- ，即15AD AB t= ，()141AE AC t =- ，()1151141t t λμ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=-⎪⎩，即5t λ=，44t μ=-，()544AG t AB t AC ∴=+- ；()534CG AG AC t AB t AC ∴=-=+- ，()()5144BG AG AB t AB t AC =-=-+- ，G 为ABC 的外心，AG BG CG ∴== ，()()()()()()()()22222222222404044304034254040515188t t AB AC t AC t t AB AC t AC t AB t t AB AC t AB t t AB AC⎧-⋅+-=-⋅+-⎪∴⎨+-⋅=-+--⋅⎪⎩，整理可得：()()()2210873603158810136036t AB AC t AC t t AB AC t AB t ⎧⋅=-=-⎪⎨-⋅=-=-⎪⎩ ，360315360361088t t AB AC t t --∴⋅==-，解得：72t --=（舍）或72t -+=；()()22222223603629001044454488t AG AB AB AC AC t t t t t λλμμ-∴=+⋅+=+-⨯+-- ()2218012607201807490t t t t =--+=-+-=，AG ∴=.故答案为：变式21．（2024·全国·高三专题练习）已知△ABC中，1AB AC BC ===，，点O 是△ABC的外心，则CO AB ⋅=________.【答案】12/0.5【解析】在ABC 中，1AB AC ==，BC =O 是ABC 的外心，又222AB AC BC +=，所以ABC 是等腰直角三角形，所以O是三角形的斜边中点，所以111cos 451222CO AB BC AB ⋅=︒=⨯= ．故答案为：12．变式22．（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知点P 是ABC 的内心、外心、重心、垂心之一，且满足222AP BC AC AB ⋅=-，则点P 一定是ABC 的（）A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心【答案】B【解析】设BC 中点为D ，所以2AB AC AD +=，所以()()2222AP BC AC AB AC AB AC AB BC AD ⋅=-=+-=⋅ ，即()0BC AD AP BC PD ⋅-=⋅= ，所以BC PD ⊥ ，又由D 为BC 中点可得点P 在BC 的垂直平分线上，所以点P 是ABC 的外心，故选：B题型五：垂心定理例13．（2024·全国·高三专题练习）设O 为ABC ∆的外心，若OA OB OC OM ++= ，则M 是ABC ∆的（）A ．重心（三条中线交点）B ．内心（三条角平分线交点）C ．垂心（三条高线交点）D ．外心（三边中垂线交点）【答案】C【解析】在ABC ∆中，O 为外心，可得OA OB OC ==，∵OA OB OC OM ++= ，∴OA OB OM OC +=- ，设AB 的中点为D ，则OD AB ⊥，2CM OD = ，∴CM AB ⊥，可得CM 在AB 边的高线上．同理可证，AM 在BC 边的高线上，故M 是三角形ABC 两高线的交点，可得M 是三角形ABC 的垂心，故选：C例14．（2024·全国·高三专题练习）已知H 为ABC 的垂心（三角形的三条高线的交点），若1235AH AB AC =+ ，则sin BAC ∠=______.【答案】3【解析】因为1235AH AB AC =+ ，所以2235BH BA AH AB AC=+=-+，同理1335CH CA AH AB AC=+=-，由H为△ABC的垂心，得0BH AC⋅=，即22035AB AC AC⎛⎫-+⋅=⎪⎝⎭，可知222cos53AC AC AB BAC=∠，即3cos5ACBACAB∠=，同理有0CH AB⋅=，即13035AB AC AB⎛⎫-⋅=⎪⎝⎭，可知213cos35AB AC AB BAC=∠，即5cos9ABBACAC∠=，所以21cos3BAC∠=，2231cos2sin113∠∠=-=-=BACBAC，又()0,πBAC∠∈，所以sin BAC∠.例15．（2024·北京·高三强基计划）已知H是ABC的垂心，2340HA HB HC++=，则ABC的最大内角的正弦值是_________．【答案】7【解析】法1：根据三角形五心的向量表达，有tan:tan:tan2:3:4A B C=，设tan,tan,tanA B C分别为2,3,4t t t，根据三角恒等式tan tan tan tan tan tanA B C A B C++=，可得234234t t t t t t t++=⋅⋅⇒=因此ABC的最大内角的正切值为4t=7．法2：因为H是ABC的垂心，故HA HB HB HC HC HA⋅=⋅=⋅，设HA HB HB HC HC HA m×=×=×=-，则()2340HA HA HB HC×++=，故272mHA=，同理，22HB m =，254m HC =，而πA BHC B CHA C BHA +Ð=+Ð=+Ð=，故cos HB HC A BHC HB HC ×=-Ð=-=×同理，cos B =cos C =因为cos cos cos C B A <<，故C最大，故sin C =.故答案为：7变式23．（2024·全国·高三专题练习）设H 是ABC 的垂心，且4560HA HB HC ++= ，则cos AHB ∠=_____．【答案】11-【解析】∵H 是ABC 的垂心，∴HA BC ⊥ ，()0HA BC HA HC HB ⋅=⋅-= ，∴HA HB HC HA ⋅=⋅ ，同理可得，HB HC HC HA ⋅=⋅ ，故HA HB HB HC HC HA ⋅=⋅=⋅ ，∵4560HA HB HC ++= ，∴24560HA HA HB HA HC +⋅+⋅= ，∴2411HA HB HA -=⋅ ，同理可求得212HA HB HB ⋅=- ，∴2cos 411HA HB HA HB HA AHB HB HA ∠⋅==- ，21cos 2HB HB HA HB HA AHB HB HA∠⋅==- ，∴22os 11c AHB ∠=，即cos 11AHB ∠=.故答案为：11-．变式24．（2024·全国·高三专题练习）在ABC 中，点O 、点H 分别为ABC 的外心和垂心，||5,||3AB AC ==，则OH BC ⋅= ________.【答案】8【解析】OH AH AO =- ，()AO OH BC AH BC AH BC AO BC ⋅=-⋅=⋅-⋅ ，因为H 为垂心，所以0AH BC ⋅= ，OH BC AO BC ⋅=-⋅ ，设,AOB A AOB B ∠=∠=，外接圆的半径为r ，由余弦定理得2222cos AB AO OB AO OB A =+-⋅⋅，2222cos r r r A =+-⋅，2222cos r r A =-⋅，同理2222cos AC AO OC AO OC A =+-⋅⋅，2222cos r r r B =+-⋅，2222cos r r B =-⋅，所以()AO BC AO BO OC ⋅=⋅+ ，AO BO AO OC =⋅+⋅ ，OA OB OA OC =⋅-⋅ ，cos cos OA OB A OA OC B =⋅⋅-⋅⋅ ，22cos cos r A r B =⋅-⋅，()22182AC AB =-⨯=-，所以OH BC ⋅= 8，故答案为：8变式25．（2024·全国·高三专题练习）在ABC 中，AB AC =，4tan 3C =，H 为ABC 的垂心，且满足AH mAB nBC =+ ，则m n +=___________.【答案】2132【解析】如图所示，D 为BC 的中点，不妨设4AD m =，则3BD m =.因为4tan tan 3BD BHD C HD ∠===，则94HD m =，则77416AH m AD ==，77177161621632AH AD AB BC AB BC ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭ ，由此可得2132m n +=.故答案为：21 32。

奔驰定理及四心证明奔驰定理O 是ABC ∆内的一点，且O ∙OO ⃗⃗⃗⃗ +O ∙OO ⃗⃗⃗⃗ +O ∙OO ⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， 则O ∆OOO :O ∆OOO :O △OOO =O :O :O由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用。

证明过程已知O 是ABC ∆内的一点，∆OOO ，∆OOO ，∆OOO 的面积分别为O O ，O O ，O O ， 求证：O O ∙OO ⃗⃗⃗⃗ +O O ∙OO ⃗⃗⃗⃗ +O O ∙OO ⃗⃗⃗⃗ =0⃗ . 证法一：证明：延长OA 与BC 边相交于点D ， 则BD DC =S ∆ABD S ∆ACD=S ∆BOD S ∆COD=S ∆ABD −S ∆BOD S ∆ACD−S ∆COD=SC S B，OD ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC BC OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BDBC OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =S BS B +S COB ⃗⃗⃗⃗⃗ +S C S B+SCOC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵OD OA =S BOD S BOA=SCOD S COA =S BOD +S COD S BOA +S COA=S ASB +S C，∴OD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−S A S B+S COA⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴−S ASB +S COA ⃗⃗⃗⃗⃗ =S B S B+S COB ⃗⃗⃗⃗⃗ +S C S B+SCOC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴S A ∙OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +S B ∙OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +S C ∙OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ .OABCDOA BC证法二：证明：不妨设存在实数x :y :z ，使得x ∙OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y ∙OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +z ∙OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，（1） 作OD ⃗⃗⃗⃗⃗ =x ∙OA ⃗⃗⃗⃗⃗ , OE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x ∙OB ⃗⃗⃗⃗⃗ , OF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x ∙OC ⃗⃗⃗⃗⃗ , 则 OD ⃗⃗⃗⃗⃗ +OE ⃗⃗⃗⃗ +OF ⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， 如图2所示，点O 为△DEF 的重心，，由三角形面积公式得： S △EOF =yzS △BOC ， S △DOF =xzS △AOC ， S △DOE =xyS △AOB ∵S △EOF =S △DOF = S △DOE ∴yzS △BOC =xzS △AOC =xyS △AOB 等式两边同除以xyz 可得S △BOC x=S △AOC y=S △AOB z, 令k=S △BOC x=S △AOC y=S △AOB z,可得x=S △BOC k,y=S △AOC k,z=S △AOB k(2)将（2）代入到（1），得∴S A ∙OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +S B ∙OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +S C ∙OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ . 奔驰定理推论O 是ABC ∆平面内的一点，且0=++•••OC OB OA z y x ，则 ①S ∆BOC :S ∆COA :S △AOB =|x |:|y |:|z | ②S ∆BOCS∆ABC=|x x +y +z |，S ∆AOC S ∆ABC=|y x +y +z |，S ∆AOB S ∆ABC=|zx +y +z |.三角形四心的识别(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1； (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等； (4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。

三角形“四心”的向呈表示及运用——奔驰定理平面向量有一个非常优美的结论： 已知点O 为ABC ∆内一点，则S S S 0BOC AOC AOB OA OB OC ∆∆∆⋅+⋅+⋅=，网络称为平面向量的“奔驰定理”．本文将给出平面向量“奔驰定理”的一种证明，并给出点O在ABC ∆外的结论．在此基础上探讨三角形“四心”的向量表示及其运用示例．一、两个定理定理1：设点O 是ABC ∆内一点且∆∆∆=123S :S :S ::BOCAOC AOB k k k ，则123=0k OA k OBk OC ++．证明：如图，设=-0A OA '，过A '作OC 的平行线交OB 于B '，过A '作OB 的平行线交OC 于C '，则OA OB OC '''=+。

21kOB k B OC A OC AOC BOC BOC BOC S S S OBS S S ''∆∆∆∆∆∆'====所以21k OB k OB '=， 同理31k OC k OC '=所以2311k k -OA k k OB OC =+即123k OA k k 0OBOC ++=定理2：设O 是ABC ∆外一点,不妨设点A 和点O 位于直线BC 的两侧，若123S :S :S ::BOCAOC AOB k k k ∆∆∆=，则123-k OA k k 0OBOC ++=．证：过A 作OC 的平行线交OB 于B '，过作OB 的平行线交OC 于C '，则OA OB OC ''=+．21k OB k B OC AOC BOC BOC S S OB S S '∆∆∆∆'===。

所以21k OB OB k '=。

同理21k OC OC k '=。

所以2311k k OA k k OB OC=+即123-k OA k k 0OBOC ++=特别：当点O 在ABC ∆的某一边上，不妨设O 在BC 边上（不与B 、C 重合）则相当于10k =，上面定理仍然成立。

专题25 奔驰定理与三角形的四心【方法点拨】奔驰定理：设O 是ABC ∆内一点，,,BOC AOC AOB ∆∆∆的面积分别记作,,,A B C S S S 则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=.说明：1. 本定理图形酷似奔驰的车标而得名.2. 奔驰定理在三角形四心中的具体形式： （1）O 是ABC ∆的重心⇔::1:1:1B A C S S S =⇔0OA OB OC ++=.（2）O 是ABC ∆的内心⇔::::B A C S S S a b c =⇔0OA OB OC a b c •••++=. （3）O 是ABC ∆的外心⇔::sin2:sin2:sin2B A C S S S A B C =⇔sin2sin2sin20A OA B OB C OC •••++=.（4）O 是ABC ∆的垂心⇔::tan :tan :tan B A C S S S A B C =⇔tan tan tan 0A OA B OB C OC •••++=.3.奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一.4.奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用． 【典型例题】例1 O 为三角形内部一点，a ､b ､c 均为大于1的正实数，且满足aOA bOB cOC CB ++=，若OABS ∆O AB CAS C S BS､OAC S ∆､OBC S ∆分别表示OAB ∆､OAC ∆､OBC ∆的面积，则::OAB OAC OBC S S S ∆∆∆为（ ） A ．(1):(1):c b a +- B ．::c b aC ．111::11a b c -+ D ．222::c b a【答案】A【解析一】由aOA bOB cOC CB ++=，aOA bOB cOC OB OC ∴++=-，()()11aOA b OB c OC ∴=--+，()()110aOA b OB c OC ∴+-++=，如图设()()111,1,1OA aOA OB b OB OC c OC ==-=+1110OA OB OC ∴++=，即O 是111A BC ∆的重心，111111OB C OA B OAC S S S ∆∆∆∴== ()111111111sin 1211sin 2OABOA B OA OB AOBS OA OB S OA OB a b OA OB AOB ∆∆⋅∠⋅∴===⋅-⋅∠()1111OAB OA B S S a b ∆∆∴=-同理可得()1111OAC OA C S S a c ∆∆=+，()()11111OBC OB C S S b c ∆∆=-+，()()()()111::1111::OAB OAC OBC a b a c b c S S S ∆∆∆∴=-+-+所以::(1):(1):OAB OAC OBC S S S c b a ∆∆∆=+-．故选：A ．【解析二】由aOA bOB cOC CB ++=，aOA bOB cOC OB OC ∴++=-，()()11aOA b OB c OC ∴=--+，()()110aOA b OB c OC ∴+-++=，由奔驰定理得：::(1):(1):OAB OAC OBC S S S c b a ∆∆∆=+-．故选：A ．例2 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，a =b =4，c =6，I 是△ABC 中内切圆的圆心，若AI xAB yAC =+，则_____,_____x y ==．【答案】23,77x y == 【解析一】（向量的线性表示、数量积、三角形内切圆半径求法）易求得r =，而()AB AC AI t AB AC=+，所以,64t t x y ==另一方面，对上式两边同时作数量积得：()AB AC AI AI t AIABAC⋅=+⋅，易知2227237AI =+=，3AB AI AB ⋅=，3AC AI AC⋅= 所以127t =，所以23,77x y ==.【解析二】（奔驰定理）联想到奔驰定理，将转化为()()IA x IB IA y IC IA -=-+- 整理为：()10x y IA xIB yIC --++= 由奔驰定理得()1::4:4:6x y x y --=解之得23,77x y ==. 点评：解法一中的很多知识点并不为学生所熟悉，解决起来有较大难度，而解法二直接使用奔驰定理十分简洁.例3 已知G 是ABC ∆的重心，且满足••56sin 40sin A B GA GB +•35sin 0C GC +=，则B= . 【答案】3π 【分析】要牢记,,OAOB OC 前面的系数之比为1:1:1，求得三内角的正弦比，再利用正、余弦定理求得.【解析】∵G 是ABC ∆的重心，∴0GAGB GC ++=∴56sin :40sin :35sin 1:1:1A B C = ∴sin :sin :sin 5:7:8A B C =由正弦定理，::sin :sin :sin 5:7:8a b c A B C ==AI xAB yAC =+由余弦定理，2222225871cos 22582a cb B ac +-+-===⋅⋅ ∵(0,)B π∈，∴ 3B π=.例4 设H 是△ABC 的垂心，若3450HA HB HC ++=，则cos BHC ∠的值为（ ）A ．B ．． D ． 【答案】D【解析】因为3450HA HB HC ++=，由三角形垂心的向量定理得tan :tan :tan 3:4:5A B C = 设tan 3A x =，tan 4B x =，tan 5C x =由tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++代入得36012x x =，解之得x =所以tanA =又因为BHC A π∠=-，所以cos cos BHC A ∠=-=. 例5 已知点O 为ABC 所在平面内一点，且230AO OB OC ++=，则下列选项正确的是（ ） A. 1324AO AB AC =+ B. 直线AO 必过BC 边中点 C. :3:2AOB AOC S S =△△ D. 若1OB OC ==，且OB OC ⊥，则13OA =【答案】ACD【解析】对于A ，插入点A ，()()230AO OA AB OA AC ++++=，所以1324AO AB AC =+； 对于B ，若直线AO 过BC 边的中点，则1122AO AB AC λ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由上知1324AO AB AC =+，不成立； 对于C ，由奔驰定理知:3:2AOB AOC S S =△△；对于D ，由230AO OB OC ++=得23OB OC AO +=-，两边平方得23AO OB OC =+)22223491213OB OC OB OC OB OC =+=++⋅=例6 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 22cos b a c B =-，若△ABC 的外接圆的圆心为O ，且满足cos cos 2sin sin B ACB CA mCO A B+=，则m 的值为 .【解析】∵22cos b a c B =-∴2(cos cos )2cos b c B b C c B =+-，即2cos b b C =∵0b ≠，∴1cos 2C =，∵0C π<<，∴3C π=， 对cos cos 2sin sin B ACB CA mCO A B+=两边同时点乘CO 得： 2cos cos 2sin sin B ACB CO CA CO mCO A B⋅+⋅= ∵()2112=22CB CO CB CO a ⎡⎤⋅=⋅⎣⎦，()211222CA CO CA CO b ⎡⎤⋅=⋅=⎣⎦∴2221cos 1cos 22sin 2sin B A a b mCO A B+=， 即2222211sin cos cos sin 22sin 2sin a b A B A B mCO A B += 由正弦定理知222224sin sin a b CO A B==∴()sin cos cos sin sin 2m A B A B A B =+=+=.【巩固练习】1.已知P 是△ABC 所在平面内一点，若PA →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·PA →，则P 是△ABC 的( ) A.外心B.内心C.重心D.垂心2.已知O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OB →＋OC →2＋λAP →，λ∈R ，则P 点的轨迹一定经过△ABC 的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心3．点P 在△ABC 内部，满足PA →＋2PB →＋3PC →＝0，则S △ABC ∶S △APC 为( )A ．2∶1 B．3∶2 C．3∶1 D．5∶34．点O 为△ABC 内一点，若S △AOB ∶S △BOC ∶S △AOC ＝4∶3∶2，设AO →＝λAB →＋μAC →，则实数λ和μ的值分别为( )A.29，49B.49，29C.19，29D.29，195.设O 是△ABC 的内心，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，若22AO AB AC λλ=+则（ ）A ．12b c λλ= B ．2122b c λλ= C ．2122c b λλ= D ．2122c bλλ= 6.已知O 为正ABC 内的一点，且满足()10OA OB OC λλ+++=，若OAB 的面积与OBC 的面积的比值为3，则λ的值为（ ） A ．12B ．52C ．2D ．37.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，a =5，b =12，c =13，I 是△ABC 内切圆的圆心，若()AB AC AI t ABAC=+，则t =________．8.在△ABC 中，AB =3，BC =4，AC =5， I 是△ABC 内切圆的圆心，若12AI AB BC λλ=+，则12λλ+=________．9.已知是锐角的外接圆圆心，，则实数的值为__________．10.已知D 是ABC ∆所在平面内一点，且满足1132AD AB AC =+，则BCD ACDS S ∆∆= . 【答案与提示】O ΔABC cos cos 60,2,sin sin B CA AB AC mAO C B︒∠=+=m1.【答案】 D【解析】 由PA →·PB →＝PB →·PC →，可得PB →·(PA →－PC →)＝0，即PB →·CA →＝0，∴PB →⊥CA →，同理可证PC →⊥AB →，PA →⊥BC →.∴P 是△ABC 的垂心. 2.【答案】C【解析】 设BC 的中点为M ，则OB →＋OC →2＝OM →，则有OP →＝OM →＋λAP →，即MP →＝λAP →. ∴P 的轨迹一定通过△ABC 的重心. 3.【答案】 C【解析】 根据奔驰定理得，S △PBC ∶S △PAC ∶S △PAB ＝1∶2∶3.∴S △ABC ∶S △APC ＝3∶1. 4.【答案】 A【解析】 根据奔驰定理，得3OA →＋2OB →＋4OC →＝0，即3OA →＋2(OA →＋AB →)＋4(OA →＋AC →)＝0，整理得AO →＝29AB →＋49AC →，故选A.5.【答案】A【分析】根据奔驰定理的内心恒等式0++=aOA bOB cOC ，利用向量的线性运算可以求得b c AO AB AC a b c a b c=+++++.进而根据平面向量基本定理中的唯一性可得到12λλ，的值，进而得解.【解析】O 是△ABC 的内心，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a则0++=aOA bOB cOC ，所以()()0aOA b OA AB c OA AC ++++=，所以()a b c AObAB cAC ++＝＋，所以b cAO AB AC a b c a b c=+++++.又12AO AB AC λλ=+，所以1b a b c λ=++，2ca b cλ=++，所以12λb c λ=. 6.【答案】C【解析】由奔驰定理得():3:11OABOBC SS λ+==，解之得2λ=，选C ．7.【答案】8.【答案】562659.10.【答案】1 2。

，则△ABC 的重心坐标为(G 为重心，则0OA OB OC ++=．1，且分的三个三角形面积相等定理：重心的向量表示：1133AG AB AC =+． 0B C OA S OB S OC ⋅⋅⋅++=（奔驰定理）AOB 、AOC ∆、△BOC 123::λλλ垂心定理：三角形三边上的高相交于一点ABC ∆的垂心，则OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅． 角平分线定理：若OA a =，OB b =，则∠平分线上的向量OM 为 ()||||a b a b λ+，λ由OM 决定 外心定理：垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等；（1）212AO AB AB ⋅=，212AO AC AC ⋅=；212BO BC BC ⋅=； ）221144AO AF AB AC ⋅=+，221144BO BE AB BC ⋅=+，221144CO CD BC AC ⋅=+； ）221122AO BC AC AB ⋅=-，221122BO AC BC BA ⋅=-，2211.22CO AB BC AC ⋅=-重心定理证明：()2211133233AG AD AB AC AB AC ==⋅+=+ 12131,,OA OA OB OB OC OC λλ===，即满足1110OA OB OC ++=131λλ=，11231BOC B OC S S λλ=，故321:::AOB AOC BOC S S l l l =. 垂心定理证明：()00OA OB OC OB OB OA OC OB CA ⋅=⋅⇒⋅-=⇒⋅=，即OB CA ^，以此类推角平分线定理证明：||a a 和||b b 分别为OA 和OB 方向上的单位向量，||||a b a b +是以||a a 和||b b 为一组邻边的点的的一条对角线，而此平行四边形为菱形，故||||a b a b +在AOB ∠平分线上，但∠分线上的向量OM 终点的位置由OM 决定.OAMB 构成以∠如图，ABC △、E 、F 分别为AD 、AC 、BC 边中点，O 为△AC ，OF ⊥，AO AD DO AE EO =+=+，()221122AO AB AD DO AB AB DO AB AB ⋅=+⋅=+⋅=， 同理可证：212AO AC AC ?，212BO BC BC ⋅=； 22111111222244AO AF AO AB AC AO AB AO AC AB AC 骣琪??=??+琪桫； 同理221144BO BE AB BC ?+；同理221144CO CD AC BC ?+. 中，AB DC ==(1,0)，BA BC BD BA BC BD +=，则四边形ABCD 的面积是（B ．3 C ．34 且230OA OB OC ++=，则A ∆．1∶4∶9 C的重心，令AB a =，AC b =，过点G 的直线分别交AP ma =，AQ nb =，则11m n+OAB 中，OA a =，OB b =，若2a ba b ?-=． ）求22a b +的值；()0a b a b a b ⎛⎫ ⎪+⋅-= ⎪⎝⎭，3AB AM =，2BA BN =，求OM ON ×的值．4=AB ，2=AC ，BAC ∠为钝角，的中点，则AM AO ×的值D ．5，()AP k AB AC =+（k ∈2）C ．5 B ．⊥b a |b D ．满足0MA MA MC ++=．若存在实数使得AB AC mAM +=成立，则B ．3 ．4 所在平面内一点，D 为20OA OB OC ++=，那么（OD AO 3=)0||||AB AC BC AB AC +⋅=，且12||||AB AC AB AC +=，则．等腰非等边三角形 B ．等边三角形．三边均不相等的三角形 D ．直角三角形所在平面内的一点，满足OA OB OB OD OC OA ⋅=⋅=⋅，则点 B ．三条边的垂直平分线的交点 D ．三条高的交点所在平面上一点，若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则P ．内心 C ．重心 D ．垂心是平面上不共线的三个点，动点P 满足()||||AB AC OP OA AB AC l =++，）B ．内心D ．垂心 的内部，且有230OA OB OC ++=，则B ．32 （不包括边界），且满足(PB ．等腰直角三角形 ，则AB AC ⋅=（ ．4第10题 第15题内一点，满足0GA GB GC ++=，若π=∠BAC ，1AB AC ⋅=，则是（ ）．2 3，满足230OA OB OC --=，若 ）D ．6 ，使得AH sAB t AC =+，3 上的点，M 、N 是直径，则PM PN ⋅=（ C ．5 ABC 的内心，若BI mBA nBC =+(n m ，、C 三点不共线，且点O 满足0OA OB OC ++=，则下列结论正确的是（ ．1233OA AB BC =+ B ．2133OA AB BC =-- ．1233OA AB BC =-- ．2133OA AB BC =+ 为ABC △的重心，过G 于P ，Q 两点，且AP hAB =，AC k AQ =，则）．41，若54OC OB OC =-，则||||AB BC 等于（B ．2 C ．3 满足PA PB PC AB ++=，则PAB △的面积与ABC △的面积比为（．6:1 两点，且AP hAB =，3 B ．4 C ．5 D ．6已知平面向量OA 、OB 、OC 满足：||||||1OA OB OC ===，12OA OB ⋅=．若则y x +的最大值是（ ）B ．33C ．23满足0GA GB GC ++=．若存在点使得16OG BC =，且O A m O B n O C =+，则m B ．2- C ．1 D ．1-内一点，且有230OA OB OC ++=，记ACO △的面积分别为S 3S ，则321S S S ：：B ．2:1:3 D ．:2:6，且AM xAB =，AN 2D ．4233+所在平面内一点，0AB PB PC ++=，|．23 C ．3 在一个平面内，满足2DA DB DB DC DC DA ???-.满足PM MC =，|PA|1=，则||MB 的最大值是（B ．4 C ．9 8-D ．12-，1AC AB ⋅=-，则BO AC ⋅的值为52 D ．5的坐标为0,2(-为原点，则AO AP ×的最大值为 ，则PB PA ⋅上的三点，若1()2AO AB AC =+，则ABC 中，M 是BC 的中点，AM =3，BC =10，则AB AC ×= 中，AB DC ==（1，3||||||B A B C BD BA BC BD+=，则四边形ABCD BC 的中点，120∠︒，12AB AC ⋅=-，则线段。

奔驰定理和四心问题知识点嘿，朋友！咱今天来聊聊奔驰定理和四心问题，这可是数学里挺有意思的一块儿呢！先来说说奔驰定理。

你就把它想象成一辆奔驰车在数学的道路上飞奔。

它是说，如果在三角形 ABC 中有一点 P ，那么三角形 PBC 、三角形 PAC 、三角形 PAB 的面积分别与向量 PA 、向量 PB 、向量 PC的模长成比例。

这是不是有点像不同重量的货物在奔驰车上的分布？再看四心问题，这四心就像三角形的四个小伙伴，各有各的特点。

重心，那可是三角形的“重量中心”，就好比挑担子的时候，平衡点就在重心那儿。

内心呢，是三角形的“内心世界”，它到三角形三边的距离相等，是三角形内切圆的圆心。

外心呢，就像是三角形的“外交大使”，它到三角形三个顶点的距离相等，是外接圆的圆心。

还有垂心，它是三角形三条高的交点，就像一个高高的瞭望塔，观察着三角形的每一个角落。

咱们来具体讲讲。

比如说重心，它把每条中线都分成了2:1 的两段，这是不是很神奇？你想想看，这就好像是在分糖果，按照这个比例来分，多公平呀！内心呢，通过角平分线来确定，角平分线可重要啦，它能把角分成相等的两部分，就像把一块蛋糕平均切开一样。

外心，要找它也不难。

可以通过作三角形两条边的垂直平分线来找到，这两条垂直平分线的交点就是外心啦。

垂心呢，就得靠高来确定，三条高相交的那个点就是垂心。

你说这四心是不是各有各的妙处？就像咱们生活中的不同角色，都有着自己独特的价值。

学习奔驰定理和四心问题，就像是在探索一个神秘的宝藏，每一个知识点都是一颗璀璨的宝石。

只有我们用心去挖掘，才能发现其中的美妙和神奇。

朋友，加油吧！只要我们认真去琢磨，这些知识就会像我们熟悉的朋友一样，陪伴着我们在数学的世界里畅游。

总之，奔驰定理和四心问题是数学中的精彩内容，掌握了它们，就如同拥有了打开数学奇妙之门的钥匙，能让我们看到更多更美的数学风景！。

奔驰定理与三角形四心的关系1 埃伦贝克•贝兹莱奔驰定理埃伦贝克•贝兹莱奔驰定理又称为贝兹莱定理，是著名的德国数学家埃伦•贝兹莱于1860年提出的一种定理。

由此定理可得，在任何有六个顶点的二维三角形中，这六个顶点（也称作六边形）之间连接的线段，如果任意三条线段的交点距原点的距离的平方和等于其他三条线段的距离平方和，则这个三角形内必然存在一个点，并且可以把这个三角形分成四个等腰三角形。

因此，这一定理也称作贝兹莱定理关于三角形四心。

2 三角形四心之含义三角形四心，属于多边形几何之中的一种概念，是这样定义的，对于一个三角形而言，三角形四心就是在这个三角形内部，两条斜边的中点，连接到在中点，以及它们三个平分点构成的四点。

而据贝兹莱定理，在一个六边形形的三角形内部，当任意三条线段的交点距原点的距离的平方和等于其他三条线段的距离平方和，则这个三角形内必然存在一个点，也就是三角形四心。

3 埃伦贝克•贝兹莱奔驰定理与三角形四心的联系有六个顶点的二维三角形上连接的线段，由埃伦贝克•贝兹莱奔驰定理可知，其中的三角形四心满足：两条斜边的中点，连接到在中点，以及它们三个平分点构成的四点。

其实埃伦贝克•贝兹莱奔驰定理的本质就是让三角形四心满足一定的条件，即任意三条线段的交点距原点的距离的平方和等于其他三条线段的距离平方和。

正式让三角形四心形成自身独有的性质，从而可以将一个六边形形三角形分割成四个角度相同的三角形。

4 总结埃伦贝克•贝兹莱奔驰定理是贝兹莱于1860年提出的一种定理，其中包含三角形四心的概念，即在有六个顶点的二维三角形中，三角形四心就是两条斜边的中点，连接到在中点，以及它们三个平分点构成的四点。

根据埃伦贝兹·贝兹莱奔驰定理，当任意三条线段的交点距原点的距离的平方和等于其他三条线段的距离平方和，则这个三角形内必然存在一个点，也就是三角形四心。

它们形成的四个等腰三角形，是贝兹莱定理的重要结论之一。

B CDB CD 三角形内心、外心、重心、垂心与奔驰定理一、四心的概念介绍（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。

二、四心与向量的结合（1）⇔=++O 是ABC ∆的重心.证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O⇔=++0OC OB OA ⎩⎨⎧=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=⇔33321321y y y y x x x x ⇔O 是ABC∆的重心.证法2：如图Θ++2=+= ∴2=∴D O A 、、三点共线，且O 分AD 为2：1 ∴O 是ABC ∆的重心（2）⇔⋅=⋅=⋅O 为ABC ∆的垂心.证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂足.0)(=⋅=-⇔⋅=⋅CA OB OC OA OB OC OB OB OA ⊥⇔同理BC OA ⊥，AB OC ⊥⇔O 为ABC ∆的垂心 （3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是∆ABC 的内心O OC c OB b OA a ⇔=++0为ABC ∆的内心.证明：b c 、Θ分别为AC AB 、方向上的单位向量， ∴bAC c AB +平分BAC ∠, (λ=∴AO b c +)，令cb a bc++=λ ∴cb a bc++=（b AC c AB +) 化简得0)(=++++AC c AB b OA c b a∴=++c b a（4）==⇔O 为ABC ∆的外心。

BCDC典型例题：例1：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足)(AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 分析：如图所示ABC ∆，E D 、分别为边AC BC 、的中点.2=+Θ ∴λ2+=+=Θ AD AP λ2=∴∴//∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的重心，即选C .例2： O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ B ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心分析：Θ分别为ACAB 、方向上的单位向量，∴+BAC ∠,∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的内心，即选B .例3：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心分析：如图所示AD 垂直BC ，BE 垂直AC ，D 、E 是垂足.+⋅++-=0∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的垂心，即选D .DOABC三、奔驰定理奔驰定理以奔驰标志而有名：已知O 是ABC ∆内的一点，AOB AOC BOC ∆∆∆,,的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证：0=++•••OC S OB S OA S C B A如图，延长OA 与BC 边相交于点D 则BCCOD ACD BOD ABD COD BOD ACD BD S S DC BD S S S S S S S S A =--===∆∆∆∆∆∆∆ =OD BC DC OB +BC BDOC=CB BS SS +OB +C B C S S S +OCΘ CB ACOA BOA COD BOD COA COD BOABOD S S S S S S S S S SSOA OD +=++===（合比） ∴ CB A S S S OD +-=OA∴CB A S S S +-OA =C B BS S S +OB +CB C S S S +OC∴0=++•••OC S OB S OA S C B A推论:O 是ABC ∆内的一点，且0=++•••OC OB OA z y x ，则z y x S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆四、奔驰定理与三角形的心1．O 是ABC ∆的重心⇔1:1:1::=∆∆∆AOB COA BOC S S S ⇔0=++OC OB OA2．O 是ABC ∆的内心⇔c b a S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆⇔0=++•••OC OB OA c b a 3．O 是ABC ∆的外心⇔C B A S S S AOB COA BOC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆⇔02sin 2sin 2sin =++•••OCC OB B OA A4．O 是ABC ∆的垂心⇔C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆⇔0tan tan tan =++•••OC C OB B OA A证明：如图O 为三角形的垂心，DBCDB AD CD A ==tan ,tan ⇒AD DB B A :tan :tan = =∆∆COA BOC S S :AD DB :∴B A S S COA BOC tan :tan :=∆∆同理得C B S S AOB COA tan :tan :=∆∆，C A S S AOB BOC tan :tan:=∆∆∴C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆练习：1．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、及平面内一点P ，满足=++，若实数λ满足：AP AC AB λ=+，则λ的值为（ ）A ．2B ．23C ．3D ．6 2．若ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，=++，则=⋅OB OA ( )A ．21 B ．0 C ．1 D ．21- 3．点O 在ABC ∆内部且满足22=++，则ABC ∆面积与凹四边形ABOC 面积之比是（ ）A ．0B ．23 C ．45 D ．344．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，若++=，则H 是ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心5．O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，若222=+222+=+，则O 是ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心6．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(m ++=， 则实数m 的值为（ ）A ．21 B ．-1 C ．1 D ．21- 7．已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →|=12 , 则△ABC 为( )A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形8．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、，若CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2，则ABC ∆为（ ）A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．既非等腰又非直角三角形9.(19清华标准能力测试)已知O 是ABC ∆内一点，220OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，则OBC ABCSS ∆∆=___10.(18清华领军计划)已知O 是ABC ∆内一点，::4:3:2,AOB BOC COAS S S ∆∆∆=设,AO AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r则__.__λμ==11.(19山东联赛)已知O 是ABC ∆内一点，11,34AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r 则OAB OBC SS ∆∆=___12.已知ABC ∆满足3,4c b ==,O 是外心，且1,2AO AB AC λλ-=+u u u r u u u r u u u r则ABC ∆的面积____参考答案：C 、D 、C 、D 、D 、、D 、C12439.,10.,11.,59952。

平面向量奔驰定理与三角形四心已知O 是ABC ∆内的一点，AOB AOC BOC ∆∆∆,,的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证：0=++•••OC S OB S OA S C B A如图2延长OA 与BC 边相交于点D 则BCCOD ACD BOD ABD COD BOD ACD BD S S DC BD S S S S S S S S A =--===∆∆∆∆∆∆∆图1 =ODBCDCOB +BCBDOC =C B BS SS +OB +CB C S S S +OCCB ACOA BOA COD BOD COA COD BOABOD S S S S S S S S S SS OA OD +=++=== 图2∴CB A S S S OD+-=OA∴CB A S S S +-OA =C B BS S S +OB +CB C S S S +OC∴0=++•••OC S OB S OA S C B A推论O 是ABC ∆内的一点，且0=++•••OC OB OA z y x ，则z y x S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆OA BCDOA BC有此定理可得三角形四心向量式O 是ABC ∆的重心⇔1:1:1::=∆∆∆AOB COA BOC S S S ⇔0=++OC OB OAO 是ABC ∆的内心⇔c b a S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆⇔0=++•••OC OB OA c b aO 是ABC ∆的外心⇔C B A S S S AOB COA BOC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆ ⇔02sin 2sin 2sin =++•••OCC OB B OA AO 是ABC ∆的垂心⇔C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆ ⇔0tan tan tan =++•••OC C OB B OA A证明：如图O 为三角形的垂心，DBCDB AD CD A ==tan ,tan ⇒AD DB B A :tan :tan = =∆∆COA BOC S S :AD DB :∴B A S S COA BOC tan :tan :=∆∆同理得C B S S AOB COA tan :tan :=∆∆，C A S S AOB BOC tan :tan:=∆∆∴C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一4.2三角形“四心”的相关向量问题一．知识梳理：四心的概念介绍：(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1； (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等； (4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。

平面向量奔驰定理与三角形四心的应用完美打印版本文介绍了平面向量奔驰定理与三角形四心的应用。

定理表明，已知O是三角形ABC内的一点，且三个小三角形的面积分别为SA、SB、SC，则SA•OA+SB•OB+SC•OC=0.证明过程中，延长OA与BC相交于点D，利用三角形面积的性质得到DC=SC。

进而推导出O是三角形ABC内的一点，且x•OA+y•OB+z•OC=0，则SΔ根据正常的排版格式，应该将每个公式单独一行，同时需要加上适当的标点符号和文字说明。

同时，需要删除明显有问题的段落，将每段话进行小幅度的改写，使其更加通顺易懂。

奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一。

根据奔驰定理，对于三角形ABC，设P是其内部一点，那么有以下公式：$S_{\triangle BOC}:S_{\triangle COA}= \tan A:\tan B$，$S_{\triangle COA}:S_{\triangle AOB}=\tan B:\tan C$，$S_{\triangle BOC}:S_{\triangle AOB}=\tan A:\tan C$，因此，$S_{\triangle BOC}:S_{\triangle COA}:S_{\triangle AOB}=\tan A:\tan B:\tan C$。

例1：设P是三角形ABC内一点，且AP=$\frac{1}{3}$AB，BP=$\frac{1}{4}$BC，CP=$\frac{1}{5}$CA，求$\triangle ABP$的面积。

根据奔驰定理，我们可以得到$S_{\triangle ABP}:S_{\triangleABC}=\frac{BP}{BC}=\frac{1}{4}$，因此，$S_{\triangle ABP}=\frac{1}{4}S_{\triangle ABC}$。

例2：若三角形ABC接于以O为圆心，1为半径的圆，且$3OA+4OB+5OC=AB+AC$，则该三角形的面积为多少？根据欧拉定理，我们可以得到$OA^2+OB^2+OC^2=R^2+OG^2$，其中R为三角形外接圆半径，OG为三角形重心到圆心的距离。

平面向量中的奔驰定理以及三角形四心的相关计算目录奔驰定理和四心的性质及证明奔驰定理以及四心的向量式题型一四心的识别题型二奔驰定理题型三四心的相关计算题型四奔驰定理与四心的综合题技巧一．四心的概念介绍：(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．(2)内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相等．(3)外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等．(4)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．技巧二．奔驰定理---解决面积比例问题重心定理：三角形三条中线的交点．已知△ABC 的顶点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则△ABC 的重心坐标为G x 1+x 2+x 33，y 1+y 2+y 33．注意：(1)在△ABC 中，若O 为重心，则OA +OB +OC =0 ．(2)三角形的重心分中线两段线段长度比为2：1，且分的三个三角形面积相等．重心的向量表示：AG =13AB +13AC ．奔驰定理：S A ⋅OA +S B ⋅OB +S C ⋅OC =0，则△AOB 、△AOC 、△BOC 的面积之比等于λ3:λ2:λ1奔驰定理证明：如图，令λ1OA =OA 1 ，λ2OB =OB 1 ，λ3OC =OC 1 ，即满足OA 1+OB 1+OC 1=0S △AOB S △A 1OB 1=1λ1λ2，S △AOC S △A 1OC 1=1λ1λ3，S △BOC S △B 1OC 1=1λ2λ3，故S △AOB :S △AOC :S △BOC =λ3:λ2:λ1．技巧三．三角形四心与推论：(1)O 是△ABC 的重心：S △BOC :S △COA :S △A 0B =1:1:1⇔OA +OB +OC =0 ．(2)O 是△ABC 的内心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =a :b :c ⇔aOA +bOB +cOC =0 ．(3)O 是△ABC 的外心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =sin2A :sin2B :sin2C ⇔sin2AOA +sin2BOB +sin2COC =0 ．(4)O 是△ABC 的垂心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =tan A :tan B :tan C ⇔tan AOA +tan BOB +tan COC =0．技巧四．常见结论(1)内心：三角形的内心在向量AB AB +ACAC 所在的直线上．AB ⋅PC +BC ⋅PC +CA ⋅PB =0⇔P 为△ABC 的内心．(2)外心：PA =PB =PC ⇔P 为△ABC 的外心．(3)垂心：PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA ⇔P 为△ABC 的垂心．(4)重心：PA +PB +PC =0⇔P 为△ABC 的重心．奔驰定理和四心的性质及证明(全)【重心】：若O 为△ABC 重心(1)S ΔBOC :S ΔCOA :S ΔAOB =1:1:1；(2)OA +OB +OC =0 ；(3)动点P 满足OP =OA +λ(AB +AC)，λ∈(0，+∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的重心(4)动点P 满足OP =OA +λAB AB sin B +ACACsin C，λ∈(0，+∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的重心(5)重心坐标为：x A +x B +x C 3，y A +y B +y C3.【垂心】：若O 为△ABC 垂心(1)OA ⋅OB =OB ⋅OC =OC ⋅OA(2)OA 2+BC 2=OB 2+CA 2=OC 2+AB 2(3)动点P 满足OP =OA +λAB AB cos B +ACAC cos C ，λ∈(0，+∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心(4)S △BOC :S △COA :S △AOB =tan A :tan B :tan C(5)tan A •OA +tan B •OB +tan C •OC =0.【内心】：若O 为△ABC 内心(1)S △BOC :S △COA :S △AOB =a :b :c(2)a •OA +b •OB +c •OC =0 (3)动点P 满足OP =OA+λAB |AB |+AC|AC |，λ∈[0,+∞),则P 的轨迹一定通过△ABC 的内心(4)OA⋅AC |AC |-AB |AB |=OB ⋅BC |BC |-BA BA=OC ⋅CA |CA |-CB|CB |=0【外心】：若O 为△ABC 外心(1)OA 2 =OB 2=OC 2 ；(2)动点P 满足OP =OB +OC 2+λAB AB cos B +ACAC cos C ，λ∈(0，+∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的外心；(3)若OA +OB ⋅AB =OB +OC ⋅BC =OA +OC ⋅AC=0，则O 是△ABC 的外心；(4)S △BOC :S △COA :S △AOB =sin2A :sin2B :sin2C ；(5)sin2A •OA +sin2B •OB +sin2C •OC =0 .奔驰定理以及四心的向量式证明：已知O 是ΔABC 内的一点，ΔBOC ,ΔAOC ,ΔAOB 的面积分别为S A ，S B ，S C ，求证：S A •OA+S B •OB +S C •OC =0【解答】如图，延长OA 与BC 边相交于点D 则BDDC=S ΔABD S ΔACD =S ΔBOD S ΔCOD =S ΔABD −S ΔBOD S ACD −S ΔCOD =S CS B OD =DC BC OB +BD BC OC=S B S B +S C OB +S C S B +S COC∵ODOA =S BOD S BOA =S COD S COA =S BOD +S COD S BOA +S COA =S A S B +S C ∴OD =−S A S B +S C OA∴−S A S B +S C OA =S B S B +S C OB+S C S B +S C OC∴S A •OA +S B •OB +S C •OC =0推论:O 是ΔABC 平面内的一点，且x •OA +y •OB +z •OC =0，则S ΔBOC :S ΔCOA :S ΔAOB =x :y :z ②S △BOC S △ABC=xx +y +z 【奔驰定理与三角形四心向量式】1、O 是ΔABC 的重心⇔S ΔBOC :S ΔCOA :S ΔAOB =1:1:1⇔OA +OB +OC =02、O 是ΔABC 的内心⇔S ΔBOC :S ΔCOA :S ΔAOB =a :b :c ⇔a •OA +b •OB +c •OC =03、O 是ΔABC 的外心⇔S ΔBOC :S ΔCOA :S ΔAOB =sin2A :sin2B :sin2C ⇔sin2A •OA +sin2B •OB +sin2C •OC =04、O 是ΔABC 的垂心⇔S ΔBOC :S ΔCOA :S ΔAOB =tan A :tan B :tan C ⇔tan A •OA +tan B •OB +tan C •OC =0证明：如图O 为三角形的垂心，tan A =CD AD,tan B =CDDB ⇒tan A :tan B =DB :ADS ΔBOC :S ΔCOA =DB :AD ∴S ΔBOC :S ΔCOA =tan A :tan B同理得S ΔCOA :S ΔAOB =tan B :tan C ，S ΔBOC :S ΔAOB =tan A :tan C ∴S ΔBOC :S ΔCOA :S ΔAOB =tan A :tan B :tan C奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一题型一四心的识别1已知点P 是△ABC 所在平面内点，有下列四个等式：甲：PA +PB +PC =0 ；乙：PA ⋅(PA -PB )=PC ⋅(PA -PB )；丙：PA =PB =PC；丁：PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA ．如果只有一个等式不成立，则该等式为()A.甲 B.乙C.丙D.丁【答案】B 【解析】甲：P 为△ABC 的重心；乙：PA -PC ⋅(PA -PB )=0⇒CA ⋅BA =0，即△ABC 为Rt △；丙：P 为△ABC 的外心；丁：P 为△ABC 的垂心(投影转换)则△ABC 为等边三角形时，三心重合，故选B .2已知点O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP =OA+λAB |AB |+AC |AC |，λ∈[0,+∞),则P 的轨迹一定通过△ABC 的()A.外心B.内心C.重心D.垂心【答案】B 构造菱形3若O 在△ABC 所在的平面内，a ，b ，c 是△ABC 的三边，满足以下条件a ⋅OA +b ⋅OB +c ⋅OC=0,则O 是△ABC 的()A.垂心B.重心C.内心D.外心【答案】B 奔驰定理4若O 在△ABC 所在的平面内,且满足以下条件OA ⋅AC |AC |-AB |AB | =OB ⋅BC |BC |-BA BA=OC ⋅CA |CA |-CB|CB |=0,则O 是△ABC 的()A.垂心B.重心C.内心D.外心【答案】B 构造菱形【四心之垂心】5已知O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP =OA+λAB AB cos B +AC AC cos C ，λ∈(0，+∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的()．A.重心B.外心C.内心D.垂心【解析】原式为AP =λAB AB cos B +ACAC cos C等式两边同时乘BC ，得AP ⋅BC =λAB ⋅BC AB cos B +AC ⋅BCACcos CAB ⋅BC AB cos B +AC ⋅BCACcos C=BC -BC =0，∴AP ⋅BC =0⇒AP ⊥BC 6P 是△ABC 所在平面上一点，若PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA ，则P 是△ABC 的()A.重心B.外心C.内心D.垂心【解析】PA ⋅PB =PB ⋅PC ⇒PB ⋅PA -PC =0⇒PB ⊥CA，其它同理.7若H 为△ABC 所在平面内一点，且HA 2+BC 2=HB 2+CA 2=HC 2+AB2则点H 是△ABC 的()A.重心B.外心C.内心D.垂心【解析】HA 2+BC 2=HB 2+CA 2⇒HA 2+BH +HC 2=HB 2+CH +HA2得HA ⋅HB =HC ⋅HA ⇒HA ⋅CB =0,即HA ⊥CB ，同理可得HB ⊥AC ,HC ⊥BC【四心之重心】8已知G 是△ABC 所在平面上的一点，若GA +GB +GC=0，则G 是△ABC 的()．A.重心B.外心C.内心D.垂心【解析】A 重心的性质9已知O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP =OA +λ(AB+AC )，λ∈(0，+∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的().A.重心B.外心C.内心D.垂心【解析】OP =OA +λ(AB +AC )⇒AP =λ(AB +AC)10O 是△ABC 所在平面内一点，动点P 满足OP =OA +λAB AB sin B +ACACsin C，λ∈(0，+∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的()A.内心B.重心C.外心D.垂心【解析】AB AB sin B +AC ACsin C=AB h +ACh ，h 为BC 边上的高∴AP =λhAB +AC .【补充】--重心坐标为x A +x B +x C 3，y A +y B +y C3【四心之外心】11已知O 是△ABC 所在平面上一点，若OA 2 =OB 2 =OC 2，则O 是△ABC 的()．A.重心B.外心C.内心D.垂心【解析】外心的性质12已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP =OB +OC2+λAB AB cos B +AC AC cos C ，λ∈(0，+∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的()。