函数的定义域与值域的常用方法
（一）求函数的解析式
1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量建立联系的一座桥梁，其一般形
式是y＝f（x），不能把它写成f（x，y）＝0；
2、求函数解析式一般要写出定义域，但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时，可以不标出定
义域；一般地，我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形；
3、求函数解析式的一般方法有：
（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。
（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；
（3）换元法：若给出了复合函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式时可以令t＝g（x），以换元法
解之；
（4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x 代换－x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f（x）的表达式；
（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列
出等式，解出y 的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。
（二）求函数定义域
1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；
2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的
范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；
3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；
4、对复合函数y＝f［g（x）］的定义域的求解，应先由y＝f（u）求出u 的范围，即g（x）的范围，再从中
解出x 的范围I1；再由g（x）求出y＝g（x）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域；
5、分段函数的定义域是各个区间的并集；
6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在
叙述结论时分别说明；
7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作
为该函数的定义域；
（三）求函数的值域
1、函数的值域即为函数值的集合，一般由定义域和对应法则确定，常用集合或区间来表示；
2、在函数f：A→B 中，集合B 未必就是该函数的值域，若记该函数的值域为C，则C 是B 的子集；若C＝B，
那么该函数作为映射我们称为“满射”；
3、分段函数的值域是各个区间上值域的并集；
4、对含参数的函数的值域，求解时须对参数进行分类讨论；叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述；
5、若对自变量进行分类讨论求值域，应对分类后所求的值域求并集；
⎨ 6、求函数值域的方法十分丰富，应注意总结；
（四）求函数的最值
1、设函数 y ＝f （x ）定义域为 A ，则当 x ∈A 时总有 f （x ）≤f （x o ）＝M ，则称当 x ＝x o 时 f （x ）取最大值 M ； 当 x ∈A 时总有 f （x ）≥f （x 1）＝N ，则称当 x ＝x 1 时 f （x ）取最小值 N ；
2、求函数的最值问题可以化归为求函数的值域问题；
3、闭区间的连续函数必有最值。
【典型例题】
考点一：求函数解析式
1、直接法：由题给条件可以直接寻找或构造变量之间的联系。
例 1. 已知函数 y ＝f （x ）满足 xy ＜0，4x 2－9y 2＝36，求该函数解析式。
解：由 4x 2－9y 2＝36 可解得：
⎧-⎪ y = ± = ⎪ , x > 3 3 3 ⎪ 2 ⎩
⎪ 3 , x < -3 。
说明：这是一个分段函数，必须分区间写解析式，不可以写成 y = ± 3
的形式。
2、待定系数法：由题给条件可以明确函数的类型，从而可以设出该类型的函数的一般式，然后再求出各个参变量的值。
例 2. 已知在一定条件下，某段河流的水流量 y 与该段河流的平均深度 x 成反比，又测得该段河流某段平均水深为 2m 时，水流量为 340m 3/s ，试求该段河流水流量与平均深度的函数关系式。
解：设 y = k x ，代入 x ，y 的值可求得反比例系数 k ＝780m 3/s ，故所求函数关系式为 y = 780 , x > 0 x 。
3、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。 f ( x +1) = x 2 + x +1
例 3. 已知
x x 2 ，试求 f (x ) 。
解：设 t =
x +1 x = x ，则 1 t -1 ，代入条件式可得： f (t ) = t 2 - t +1 ，t≠1。故得： f (x ) = x 2 - x +1, x ≠ 1 。 说明：要注意转换后变量范围的变化，必须确保等价变形。
4、构造方程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出另一个方程，联
x 2 +1 (
3 - x )2 +1 立求解。
例 4. （1）已知
f (x ) + 1 2 f ( ) x
= 3x 2 + 4x + 5 ，试求
f (x ) ； （2）已知 f (x ) + 2 f (-x ) = 3x 2 + 4x + 5 ，试求 f (x ) ； 1
1 1 1 f ⎛ 1 ⎫
f ( ) + 2 f (x ) = 3 + 4 + 5 x ⎪ 解：（1）由条件式，以 x 代 x ，则得 x x x ，与条件式联立，消去 ⎝ ⎭ ，则得： f ( x ) = 2 + 8 x 2 3x - x 2 - 4x + 5 3 3 。
（2）由条件式，以－x 代 x 则得：
f (-x ) + 2 f (x ) = 3x 2 - 4x + 5 ，与条件式联立，消去 f (-x ) ，则得： f ( x ) = x 2 - 4x + 5 3 。
说明：本题虽然没有给出定义域，但由于变形过程一直保持等价关系，故所求函数的定义域由解析式确定， 不需要另外给出。
5、实际问题中的函数解析式：这是高考的一个热点题型，一般难度不大，所涉及知识点也不多，关键是合理设置变量，建立等量关系。
例 5. 动点 P 从边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 B 出发，顺次经过 C 、D 再到 A 停止。设 x 表示 P 行驶的路程，y 表示 PA 的长，求 y 关于 x 的函数。
解：由题意知：当 x ∈［0，1］时：y ＝x ；
当 x ∈（1，2）时：
y = ； y = 当 x ∈（2，3）时：
；
故综上所述，有 ⎧x , ⎪ 2
x ∈[0,1] y = ⎨ ⎪
x +1, 2 x ∈(1, 2] ⎩⎪ (3 - x )
+1, x ∈(2, 3]
考点二：求函数定义域
2
