导数与构造函数证明不等式的技巧导数与构造函数是数学中非常重要的两个概念，它们可以帮助我们证明不等式，优化函数等问题。
接下来将分别介绍导数与构造函数在证明不等式时的技巧。
一、导数在证明不等式中的应用导数是函数的重要特征之一，它可以表示函数在某个点的变化率。
在证明不等式时，我们可以使用导数的性质来帮助我们证明某个不等式是否成立。
1. 利用导数判断函数在某个区间的单调性假设函数f(x)在区间[a,b]上具有一阶导数，则f(x)在区间[a,b]上为单调递增的条件是：f'(x)>0，而在区间[a,b]上为单调递减的条件则是：f'(x)<0。
如果我们需要证明某个不等式在某个区间上成立，可以通过证明函数的导数在该区间上的符号，从而得出原函数在该区间上的单调性，从而得出结论。
例如：证明当x>0时，e^x>x+1证明：考虑函数f(x)=e^x-x-1如果x>0，则f'(x)>0，因此函数f(x)在(0,∞)上单调递增。
又f(0)=e^0-0-1=0，因此当x>0时，f(x)>f(0)=0即e^x-x-1>0，即e^x>x+1。
2. 利用导数求函数的极值导数可以帮助我们求出函数的极值，例如函数的最大值和最小值。
如果我们需要证明某个不等式的最大值或最小值，可以通过推导函数的导数，找出函数的极值，从而得出结论。
f'(x)=2x-2/x^3，因此f(x)在x=1处取得极小值。
又因为当x>0时，x^2+1/x^2≥2 |x=1，因此当x>0时，x^2+1/x^2≥2。
3. 利用导数证明柯西-施瓦茨不等式柯西-施瓦茨不等式是数学中的重要不等式之一，它可以用来计算向量的点积的上界。
柯西-施瓦茨不等式的表述为：对于任意两个n维实向量a和b，有|a·b|≤|a|·|b|其中a·b为向量a和b的点积，|a|和|b|为向量a和b的模。
导数中证明不等式技巧——构造、切线放缩、二元变量、凹凸反转,唯手熟尔!导数中的不等式证明导数中的不等式证明是高考中的一个经典考点。
由于不等式证明的灵活性和多样性，该考点备受命题者的青睐。
本文将从五个方面系统地介绍一些常规的不等式证明手段。
命题角度1：构造函数典例1】（赣州市2018届高三摸底考试）已知函数$f(x)=1-\ln x+\frac{e}{x}$，$g(x)=x-\frac{e}{x}$，若曲线$y=f(x)$与曲线$y=g(x)$的一个公共点是$A(1,1)$，且在点$A$处的切线互相垂直。
求$a,b$的值，并证明当$x\geq1$时，$f(x)+g(x)\geq\frac{2}{x}$。
解析】（1）$a=b=-1$；2）$g(x)=-\frac{e}{2\ln x}+\frac{x}{2}-\frac{e}{2x}$，$f(x)+g(x)\geq\frac{2}{x}$ $\Leftrightarrow 1-\frac{1}{x}+\frac{e}{x}-\frac{e}{2\ln x}+\frac{x}{2}-\frac{e}{2x}\geq\frac{2}{x}$ $\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{ e}{2\ln x}-\frac{x}{2}+\frac{e}{2x}\leq1$。
令$h(x)=f(x)+g(x)-\frac{2}{x}$，则$h(x)=1-\frac{1}{x}+\frac{e}{x}-\ln x-\frac{e}{2\ln x}+\frac{x}{2}-\frac{e}{2x}$，$h'(x)=-\frac{1}{x^2}+\frac{e}{x^2}-\frac{1}{x}-\frac{e}{2x^2}+\frac{1}{2}-\frac{e}{2x^2}$，$h''(x)=\frac{2}{x^3}-\frac{3e}{x^3}+\frac{2e}{x^3}$。
函数与导数中的不等式证明之“构造函数法”新课标下，对数学的基本知识，思想方法，解题技巧的考察仍是高考的重要内容。
在我们的函数解答题中，通常会涉及到用导数研究函数的性质，以及导数与不等式，方程，数列的交汇问题。
这部分题目能够很好的反映学生的分析问题，解决问题的能力，巧妙构造函数，结合函数的单调性是解决这类题目的一种重要方法。
标签：函数导数；构造思想；不等式下面借助于教学过程中的几个例子，通过构造函数的方法来解决这类不等式的证明问题。
例1.已知m∈R函数f（x）=mx--lnx，g（x）=+lnx（1）若y=f（x）-g（x）在[1，+∞）上为单调递增函数，求实数m的取值范围（2）证明：+++…+0）若斜率为k的直线与y=f’（x）曲线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，求证：x10），k==要证x11，lnt>0故考虑证lnt1）则g’（t）=1->0故g（t）在（1，∞）上是增函数所以当t>1时，g（t）=t-1-lnt>g（1）=0，即lnt0，（t>1）h（t）在（1，∞）上是增函数，∴当t>1时，h（t）=tlnt-（t-1）>h（1）=0，即t-10则f（x）在（0，1]上为单调递增函数，从而f（x）>f（0）=0即x>ln（1+x），（019时，不等式91时，令x=，则x>1，故f（）=+ln=-+ln>0∴ln>∴+++…+=+++…+>++++++…+>+（+）+（+++）+…（+…+）>++…+=+9>9故不等式成立。
例4.设函数f（x）=mlnx，h（x）=x-a（1）当m=2时，若函数k（x）=h（x）-f（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围；（2）证明：当n≥2，n∈N*时，loge2+loge3+loge4+…+logen>解析（1）函数k（x）=h（x）-f（x）在[1，3]上恰有两个不同零点等价于方程x-2lnx=a，在[1，3]上恰有两个相异实根令g（x）=x-2lnx，则g’（x）=1-，当x∈[1，2），g’（x）0故g（x）min=g（2）=2-2ln2，又g（1）=1，g（3）=3-2ln3，g（3）-g（1）=lng（3），由题意只需g（2）=>=-，（n≥2）∴loge2+loge3+loge4+…+logen=++…+>1-+-+…+（-）=1+--=即得证。
构造函数法证明不等式的八种方法一、移项法构造函数【例1】 已知函数x x x f -+=)1ln()(，求证：当1->x 时，恒有x x x ≤+≤+-)1ln(111分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数111)1ln()(-+++=x x x g ，从其导数入手即可证明。
【解】1111)(+-=-+='x x x x f ∴当01<<-x 时，0)(>'x f ，即)(x f 在)0,1(-∈x 上为增函数 当0>x 时，0)(<'x f ，即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(-，单调递减区间),0(+∞于是函数()f x 在),1(+∞-上的最大值为0)0()(max ==f x f ，因此，当1->x 时，0)0()(=≤f x f ，即0)1ln(≤-+x x ∴x x ≤+)1ln( （右面得证）， 现证左面，令111)1ln()(-+++=x x x g ， 22)1()1(111)(+=+-+='x x x x x g 则 当0)(,),0(;0)(,)0,1(>'+∞∈<'-∈x g x x g x 时当时 ，即)(x g 在)0,1(-∈x 上为减函数，在),0(+∞∈x 上为增函数，故函数)(x g 在),1(+∞-上的最小值为0)0()(min==g x g ， ∴当1->x 时，0)0()(=≥g x g ，即0111)1ln(≥-+++x x ∴111)1ln(+-≥+x x ，综上可知，当x x x x ≤+≤-+->)1ln(111,1有时 【警示启迪】如果()f a 是函数()f x 在区间上的最大（小）值，则有()f x ≤()f a （或()f x ≥()f a ），那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过0就可得证． 2、作差法构造函数证明【例2】已知函数.ln 21)(2x x x f += 求证：在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数332)(x x g =的图象的下方； 分析：函数)(x f 的图象在函数)(x g 的图象的下方)()(x g x f <⇔不等式问题， 即3232ln 21x x x <+，只需证明在区间),1(∞+上，恒有3232ln 21x x x <+成立，设)()()(x f x g x F -=，),1(+∞∈x ，考虑到061)1(>=F 要证不等式转化变为：当1>x时，)1()(F x F >，这只要证明： )(x g 在区间),1(+∞是增函数即可。
