江苏高二文科复习学案+练习24_三次函数

2. 卜图中,有一个是函数 f(x) 1x 3 3 2 ax (a 2 1)x 1 (a€ R, a 卡眄导函数f (x)的图 象，则f ( 1)=f (x)的图象过原点且它的导函数g f (x)的图象是如图所示的一条直线，则y f (x)图象 的顶点在第4.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数开区间(a,b)内极小值点有 个.5 .求函数f (x) x 4 2x 2 3的最值27.数形结合在导数中的应用-、课前准备: 【自主梳理】数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，也就是对题目中的条 件和结论既分析其代数含义又挖掘其几何背景，在代数与几何的结合上寻找解题思路。

最常用 的是以形助数的解题方法，其实质就是对图形性质的研究，使要解决的数的问题转化为形的讨 论，实现“由一种代数形式转化为几何形式”的数学化归。

【自我检测】y x 8 ,则 f(5)=函数y f (x)的图像在点p的切线方程是2 .x x 上两点A , B 的横坐标分别是-1,1在抛物线的弧 AB 上求一点C ，使ABC 得面积最大。

变式：曲线y ln (2x1)上的点到直线2x y 3 0的最短距离是x【例2】已知函数f(x) (x k)2e k ,求f(x)的单调区间。

、课堂活动:【例1】已知抛物线y【例3】已知a 0,函数.f (x) (x2 2ax)e x,设f (x)在［—1, 1］上是单调函数，求a的取值范围。

【例4】设a R,试分别确定关于的x的三次方程x3 3x2 a 0有一根、有两根、有三根时a的取值范围。

课堂小结1、数形结合，利用导数几何意义解题。

2、利用数形结合思想求函数的单调区间3、利用数形结合思想研究恒成立问题4、利用数形结合思想研究函数图像交点问题三、课后作业1.已知函数f(x) -X 3 -X 2 2bx c,当X (0,1)时取得极大值，当x (1,2)时取 3 2 得极小值，求点(a,b )对应的区域的面积以及 J 的取值范围. a 1x a 2a4.已知函数 f (x) In , g(x) -(a 0)，是否存在实数 m ，使得函数y g( ——)m 1x x 1 2的图像与y f (1 x )的图像恰好有四个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由。

三次函数的性质三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d（a≠0）在高中阶段学习导数后频繁出现，同时也是其他复杂函数的重要组成部分，因此有必要对其性质有所了解，才可以做到知己知彼，百战不殆．性质一单调性以a>0为例，如图1，记Δ=b2−3ac为三次函数图象的判别式，则图1 用判别式判断函数图象当Δ⩽0时，f(x)为R上的单调递增函数；当Δ>0时，f(x)会在中间一段单调递减，形成三个单调区间以及两个极值．性质一的证明f(x)的导函数为f′(x)=3ax3+2bx+c,其判别式为4(b2−3ac)，进而易得结论．例1 设直线l与曲线y=x3+x+1有三个不同的交点A,B,C，且|AB|=|BC|=5√，求直线l的方程．解由|AB|=|BC|可知B为三次函数的对称中心，由性质一可得B(0,1)，进而不难求得直线l的方程y=2x+1．性质二对称性如图2，f(x)的图象关于点P(−b3a,f(−b3a))对称（特别地，极值点以及极值点对应的图象上的点也关于P对称）．图2 图象的对称性反之，若三次函数的对称中心为(m,n)，则其解析式可以设为f(x)=α⋅(x−m)3+β⋅(x−m)+n,其中α≠0．性质二的证明由于f(x)=a(x+b3a)3+(c−b23a)(x+b3a)−bc3a+2b327a2+d,即f(x)=(x+b3a)3+(c−b23a)(x+b3a)+f(−b3a),于是性质二得证．例2 设函数f(x)=x(x−1)(x−a)，a>1．（1）求导数f′(x)，并证明f(x)有两个不同的极值点x1，x2；（2）若不等式f(x1)+f(x2)⩽0成立，求a的取值范围．（1）解f(x)的导函数f′(x)=(x−1)(x−a)+x(x−a)+x(x−1)=3x2−2(a+2)x+a,而f′(0)f′(1)f′(a)=a>0,=1−a<0,=a(a−1)>0,于是f′(x)有两个变号零点，从而f(x)有两个不同的极值点．（2）解根据性质二，三次函数的对称中心(a+13,f(a+13))是两个极值点对应的函数图象上的点的中点．于是f(x1)+f(x2)=2f(a+13)⩽0,即2⋅a+13⋅a−23⋅−2a+13⩽0,结合a>1，可得a的取值范围是[2,+∞)．注本题为2004年高考重庆卷理科数学第20题．性质三切割线性质如图3，设P是f(x)上任意一点（非对称中心），过P作函数f(x)图象的一条割线AB与一条切线PT（P点不为切点），A、B、T均在f(x)的图象上，则T点的横坐标平分A、B点的横坐标．图3 切割线性质推论1设P是f(x)上任意一点（非对称中心），过P作函数f(x)图象的两条切线PM、PN，切点分别为M、P，如图．则M点的横坐标平分P、N点的横坐标，如图4．图4 切割线性质推论一推论2设f(x)的极大值为M，方程f(x)=M的两根为x1、x2（x1<x2），则区间[x1,x2]被−b3a和极小值点三等分．图5 切割线性质推论二性质三的证明设f(x)=ax3+bx2+cx+d（a≠0），直线PT:y=k0x+m0，直线PAB:y=kx+m，则分别将直线PT与直线PAB的方程与三次函数的解析式联立，得ax3+bx2+(c−k0)x+d−m0=0,ax3+bx2+(c−k)x+d−m=0,于是根据三次方程的韦达定理可得2x T+x P=x A+x B+x P,即x T=x A+x B2,于是命题得证．推论1和推论2的证明留给读者．例3 如图6，记三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的图象为C，若对于任意非零实数x1，曲线C与其在点P1(x1,f(x1))处的切线交于另一点P2(x2,f(x2))，曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3(x3,f(x3))，线段P1P2、P2P3与曲线C所围成的封闭图形的面积分别记为S1、S2．求证：S1S2是定值．图6解由性质二，任意三次函数f(x)都可以通过平移变化变成g(x)=px3+qx,然后可以作伸缩变换变成h(x)=x3+rx,而无论平移还是伸缩，题中的S1S2均保持不变，因此只需要证明命题对三次函数h(x)=x3+rx成立即可．根据题意，联立函数h(x)=x3+rx与函数h(x)在P1处的切线方程得(x−x1)2⋅(x−x2)=0,于是2x1+x2=0,即x2=−2x1.又由性质三的推论1，可得2x1=x2+x3,即x3=4x1.于是，线段P1P2与曲线C所围成的封闭图形的面积S1=∣∣∣∫x2x1(x−x1)2⋅(x−x2)d x∣∣∣=∣∣∣∫−2x1x1(x3−3x21x+2x31)d x∣∣∣=∣∣∣(14x4−32x21x2+2x31x)∣∣∣−2x1x1∣∣∣=274x41,类似的，线段P2P3与曲线C所围成图形的面积S2=274x42,于是所求的面积之比为S1S2=(x1x2)4=116.注此题即2010年高考福建卷理科数学第20题第（2）小问（第（1）小问要求证明该结论对f(x)=x3−x成立）．性质四切线条数如图7，过f(x)的对称中心作切线l，则坐标平面被切线l和函数f(x)的图象分割为四个区域，有以下结论：图7 切线条数①过区域I、III 内的点作y=f(x)的切线，有且仅有三条；②过区域II、IV 内的点以及对称中心作y=f(x)的切线，有且仅有一条；③过切线l或函数f(x)图象（除去对称中心）上的点作y=f(x)的切线，有且仅有两条．性质四的证明由性质二，不妨设f(x)=x3+mx，坐标平面内一点P(a,b)．三次函数图象上x=t处的切线方程为y=(3t2+m)(x−t)+t3+mt,即y=(3t2+m)x−3t3,切线过点P(a,b)，即b=−3t3+3at2+ma.而三次函数对称中心处的切线方程为y=mx,于是考虑直线y=b−ma与函数y=−3t3+3at2的图象公共点个数．当a=0时，无论b取何值，均为1个公共点；当a>0时，b−ma>0时为1个公共点，b−ma=0时为2个公共点，b−ma<0时为3个公共点；当a<0时，b−ma>0时为3个公共点，b−ma=0时为2个公共点，b−ma<0时为1个公共点．综上，性质四得证．在高考中，对结论①的考察最为常见，例如2007年高考全国II卷理科数学第22题（压轴题）就是证明性质四的结论①：已知函数f(x)=x3−x．（1）求曲线y=f(x)在点M(t,f(t))处的切线方程；（2）设a>0，如果过点(a,b)可作曲线y=f(x)的三条切线，证明：−a<b<f(a)．例4设函数f(x)=13x3−a2x2+bx+c，其中a>0．曲线y=f(x)在点P(0,f(0))处的切线方程为y=1．（1）确定b,c的值；（2）设曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))及(x2,f(x2))处的切线都过点(0,2)．证明：当x1≠x2时，f′(x1)≠f′(x2)；（3）若过点(0,2)可作曲线y=f(x)的三条不同切线，求a的取值范围．解（1）f(x)的导函数为f′(x)=x2−ax+b,于是该函数在x=0处的切线方程为y=bx+c,因此b=0,c=1.（2）函数f(x)在x=t处的切线方程为y=(t2−at)(x−t)+13t3−a2t2+1,当切线过点(0,2)时可得23t3−a2t2+1=0,于是x1,x2是该方程的两个不等实根．考虑f′(x1)−f′(x2)=(x21−ax1)−(x22−ax2)=(x1−x2)⋅(x1+x2−a),而⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪23x31−a2x21+1=0,23x32−a2x22+1=0,两式相减并约去x1−x2，得x21+x1x2+x22=34a2,而x21+x1x2+x22=(x1+x2)2−x1x2>(x1+x2)2−14(x1+x2)2=34(x1+x2)2,于是x1+x2≠a,进而可得f′(x1)≠f′(x2).（3）函数f(x)的对称中心为(a2,−a312+1)，于是在对称中心处的切线方程为y=−a24(x−a2)−a312+1,根据性质四的结论①，可得1<2<−a324+1,解得a>23√3,即a的取值范围是(23√3,+∞)．注此题为2010年高考湖北卷文科数学第21题（压轴题）．练习题练习1、已知函数f(x)=13x3+ax2+bx，且f′(−1)=0．（1）试用含a的代数式表示b；（2）求f(x)的单调区间；（3）令a=−1，设函数f(x)在x1,x2（x1<x2）处取得极值，记点M(x1,f(x1))，N(x2,f(x2))，证明：线段MN与曲线f(x)存在异于M、N的公共点．练习2、已知f(x)=x3+bx2+cx+d在(−∞,0)上是增函数，在(0,2)上是减函数，且方程f(x)=0有三个根，它们分别为从小到大依次为α、2、β．求|α−β|的取值范围．练习3、如图8，记原点为点P1(x1,y1)，由点P1向三次函数y=x3−3ax2+bx（a≠0）的图象（记为曲线C）引切线，切于不同于点P1的点P2(x2,y2)，再由点P2引此曲线C的切线，切于不同于点P2的点P3(x3,y3)．如此继续作下去，得到点列{P n(x n,y n)}．试回答下列问题：图8（1）求数列{x n}的递推公式与初始值；（2）求lim n→+∞x n，并指出点列{P n}的极限位置在何处？练习4、已知f(x)=x3−x，过点(x0,y0)作f(x)图象的切线，如果可以作出三条切线，当x0∈(0,1)时，求点(x0,y0)所在的区域面积．练习5、已知函数f(x)=2x3−3x．（1）求f(x)在区间[−2,1]上的最大值；（2）若过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切，求t的取值范围；（3）问过点A(−1,2)，B(2,10)，C(0,2)分别存在几条直线与曲线y=f(x)相切？（只需写出结论）练习6、已知函数f(x)=13x3+ax2+bx，且f′(−1)=0．（1）试用含a的代数式表示b，并求f(x)的单调区间；（2）令a=−1．设函数f(x)在x1,x2（x1<x2）处取值极值，记点M(x1,f(x1))，N(x2,f(x2))，P(m,f(m))，x1<m⩽x2．请仔细观察曲线f(x)在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势，并解答以下问题：①若对任意的m∈(t,x2]，线段MP与曲线f(x)有异于P、Q的公共点，试确定t 的最小值；②若存在点Q(n,f(n))，x1⩽n<m，使得线段PQ与曲线f(x)有异于P、Q的公共点，请直接写出m的取值范围（不必写出求解过程）．练习题的参考答案练习1、（1）f(x)的导函数为f′(x)=x2+2ax+b,于是所求的代数表达式为b=2a−1.（2）在（1）的基础上，有f′(x)=(x+1)⋅(x+2a−1),于是当a<1时，函数f(x)的单调递增区间是(−∞,−1)和(1−2a,+∞)，单调递减区间为(−1,1−2a)；当a=1时，函数f(x)的单调递增区间是R；当a>1时，函数f(x)的单调递增区间是(−∞1−2a)和(−1,+∞)，单调递减区间是(1−2a,−1)．（3）此时f(x)=13x3−x2−3x,而f′(x)=x2−2x−3,于是M(−1,53)，N(3,−9)．根据性质二，该公共点为三次函数f(x)图象的对称中心(1,−113)．注本题为2009年高考福建卷文科数学第21题（压轴题）．练习2、根据题意，x=0为f(x)的导函数f′(x)=3x2+2bx+c的零点，于是c=0．又f(2)=0，于是8+4b+d=0,即d=−4b−8,从而f(x)=x3+bx2−(8+4b)=(x−2)⋅[x2+(b+2)x+2b+4],因此(α−β)2=(α+β)2−4α⋅β=(2−b)2−16.另一方面，由f(x)在(0,2)上是减函数得f′(2)⩽0，即12+4b⩽0,于是可得b的取值范围是b<−3.从而|α−β|的取值范围是[3,+∞)．练习3、（1）根据已知，联立P1出发的切线方程与曲线C的方程，得(x−x1)(x−x2)2=0,又x1=0，切线方程只能改变左边三次式的一次项和常数项，于是可得x2=32a.进而由性质三的推论1可得∀n⩾3∧n∈N∗,2x n=x n−1+x n−2.于是数列{x n}的递推公式与初始值为x n=x n−1+x n−22,n⩾3∧n∈N∗,x1=0,x2=32a.（2）由数列的递推公式不难得到通项∀n∈N∗,x n=a⋅[1−(−12)n−1],于是lim n→+∞x n=a.因此点列{P n}的极限位置为(a,−2a3+ab)，也就是三次函数的对称中心．练习4、函数f(x)在对称中心(0,0)处的切线方程为y=−x,于是根据性质四的结论①，我们可得所求区域面积为∫10[x3−x−(−x)]d x=∫10x3d x=14.练习5、（1）f(x)的导函数f′(x)=6x2−3,于是可得f(x)在区间[−2,1]上的最大值为max{f(−2√2),f(1)}=2√.（2）函数f(x)在对称中心(0,0)处的切线方程为y=−3x,根据性质四的结论①，可得−3<t<f(1),即−3<t<−1,于是t的取值范围是(−3,−1)．（3）根据性质四，可得过A(−1,2)存在3条直线与曲线y=f(x)相切；过B(2,10)存在2条直线与曲线y=f(x)相切；过C(0,2)存在1条直线与曲线y=f(x)相切．注本题为2014年高考北京卷文科数学第20题（压轴题）．练习6、（1）b=2a−1；当a>1时，函数f(x)的单调递增区间为(−∞,1−2a)和(−1,+∞)，单调递减区间为(1−2a,−1)；当a=1时，函数f(x)的单调递增区间为R；当a<1时，函数f(x)的单调递增区间为(−∞,−1)和(1−2a,+∞)，单调递减区间为(−1,1−2a)．（2）①t的最小值为2，证明从略；②m的取值范围为(1,3]．注本题为2009年高考福建卷理科数学第21题（压轴题）．。

学案4 函数及其表示方法，函数的定义域一、课前准备【自主梳理】1．函数的三要素： ， ， ．2．相同函数的判断方法：① ；② (两点必须同时具备)3．函数解析式的求法：①定义法(拼凑)：②______________；③______________；④赋值法．4．若{,,}A a b c =，{1,4}B =；问：A 到B 的映射有 个，B 到A 的映射有 个．5．函数定义域的求法： ①)()(x g x f y =，则 ；②*2()()n y f x n =∈N ，则 ； ③0)]([x f y =，则 ；④)(log )(x g y x f =，则 ．【自我检测】1． 已知函数()f x ax b =+，且(1)4f -=-，(2)5,(0)_________f f ==则．2． 设2:f x x →是集合A 到B (不含2)的映射，如果{}1,2A =，则________A B ⋂=．3． 函数24y x =-的定义域是 ．4． 函数21log (32)x y x -=-的定义域是 ．5．函数2223log (2)y x x x =--++的定义域是 ．6．已知()f x 是一次函数，且[()]41f f x x =-，则()f x 的解析式为 ．二、课堂活动：【例1】填空题：(1)若一次函数()f x 的定义域为[－3，2]，值域为[2，7]，那么()f x = ．(2)函数y =xx x --224的定义域为 ． (3)若()2110f x x x x ⎛⎫=++> ⎪⎝⎭，则()f x = ． (4)若函数()2443x f x mx mx -=++的定义域为R ，则实数m 的取值范围是________．【例2】(1)已知()12f x x x +=+，求()f x 的解析式； (2)已知()f x 为二次函数且()03f =，()() 242f x f x x +-=+，求()f x 的解析式．【例3】某上市股票在30天内每股的交易价格P (元)与时间t (天)组成有序数对(t ，P )，点(t ，P )落在图中的两条线段上．该股票在30天内(包括第30天)的日交易量Q (万股)与时间t (天)的部分数据如下表所示：(1)根据提供的图象，写出该种股票每股的交易价格P (元)与时间t (天)所满足的函数关系式；(2)根据表中数据确定日交易量Q (万股)与时间t (天)的函数关系式；(3)用y (万元)表示该股票日交易额，写出y 关于t 的函数关系式，并求出这30天中第几天日交易额最大，最大值为多少？课堂小结三、课后作业1．设函数()121f x x =，()12f x x -=，()23f x x =，则[]321((2007))f f f = ． 2．函数()()2|2|1log 1x f x x --=-的定义域为 ． 3．若()()23(6)log (6)f x x f x xx ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩，则()1f -的值为 ． 4．已知221111x x f x x--⎛⎫= ⎪++⎝⎭，则()f x 的解析式为 ． 5．函数()()23 lg 311x f x x x=++-的定义域是 ． 6．定义在R 上的函数f (x )满足()()()2()f x y f x f y xy x y +=++∈，R ，f (1) = 2，则f (-3) = ．7．已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出则f ［g (1)］的值为 ，满足f ［g (x )］＞g ［f (x )］的x 的值是 ．8．已知函数ϕ(x ) = f (x ) + g (x )，其中f (x )是x 的正比例函数，g (x )是x 的反比例函数，且1163ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭，ϕ(1) = 8，则ϕ(x ) = ．9．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋bx ＋c ， x ≤0，2， x >0.若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为________．。

2025年高考数学一轮复习-三次函数的图象与性质-专项训练基础巩固练1.在同一坐标系中作出三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)及其导函数的图象,下列一定不正确的序号是()①②③④A.①②B.①③C.③④D.①④2.三次函数f(x)=mx3-x在(-∞,+∞)上是减函数,则实数m的取值范围是()A.m<0B.m<1C.m≤0D.m≤13.三次函数f(x)=ax3-32x2+2x+1的图象在点(1,f(1))处的切线与x轴平行,则f(x)在区间(1,3)上的最小值是()A.83B.116C.113D.534.某工作组要在村外一湖岸边修建一段道路(如图中虚线处),要求该道路与两条直线道路平滑连接(注:两直线道路:y1=-2x,y2=3x-6分别与该曲线相切于点(0,0),(2,0)),已知该弯曲路段为三次函数图象的一部分,则该函数解析式为()A.f(x)=19x3-13x2-2xB.f(x)=14x3+12x2-2xC.f(x)=19x3+13x2-2xD.f(x)=-14x3+12x2-2x5.(多选题)已知函数f(x)=2x3-ax2+b,若f(x)在区间[0,1]上的最小值为-1,且最大值为1,则a的值可以是()A.0B.4C.332D.336.(多选题)已知函数f(x)=x3-x+1,则()A.f(x)有两个极值点B.f(x)有三个零点C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心D.直线y=2x是曲线y=f(x)的切线7.已知函数y=x3+3x2+x的图象C上存在一定点P满足:若过点P的直线l与曲线C交于不同于P的两点M(x1,y1),N(x2,y2),就恒有y1+y2的定值为y0,则y0的值为.8.已知函数f(x)=ax3-3x2+1-3 (a≠0).(1)若f(x)的图象在x=-1处的切线与直线y=-13x+1垂直,求实数a的值;(2)讨论函数y=f(x)的单调性;(3)若a=1时,过点M(2,m)(m≠-6)可作曲线y=f(x)的三条切线,求实数m的取值范围.综合提升练9.已知任意三次函数的图象必存在唯一的对称中心,若函数f(x)=x3+ax2+bx+c,且M(x0,f(x0))为曲线y=f(x)的对称中心,则必有g'(x0)=0(其中函数g(x)=f'(x)).若实数m,n满足 3+6 2+13 =10,3+6 2+13 =-30,则m+n=()A.-4B.-3C.-2D.-110.(多选题)定义:设f'(x)是f(x)的导函数,f″(x)是函数f'(x)的导数.若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”,且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数f(x)=ax3+bx2+53(ab≠0)图象的对称中心为(1,1),则下列说法正确的有()A.a=13,b=-1B.函数f(x)有三个零点C.过点3y=f(x)的图象相切D.若函数f(x)在区间(t-6,t)上有最大值,则0<t≤311.已知函数f(x)=13x3-|2ax+4|在[1,2]上单调递增,则实数a的取值范围为.12.设y=f″(x)是y=f'(x)的导函数.某同学经过探究发现,任意一个三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象都有对称中心(x0,f(x0)),其中x0满足f″(x0)=0.(1)函数g(x)=13x3-x2+3x+1的图象的对称中心为;(2)现已知当直线kx-y-k+1=0(k∈R)和h(x)=ax3+bx2+53的图象交于A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)(x1<x2<x3)三点时,h(x)的图象在点A,C处的切线总平行,则过点(b,a)可作条直线与函数h(x)的图象相切.创新应用练13.已知函数f(x)=-13x3+12ax2+2a2x+3(a∈R),f'(x)为函数f(x)的导函数.(1)若x=-1为函数f(x)的极值点,求实数a的值;(2)当f(x)的增区间内有且只有两个整数时,求实数a的取值范围;(3)当0<a≤12时,任意实数x1,x2∈[-1,2],都有f(x1)+f'(x2)-3≥M+7a-203恒成立,求实数M的最大值.参考答案1.C2.A3.D4.B5.AB6.AC7.28.解(1)易得f'(x)=3ax2-6x=3ax f'(-1)=3a+6=3,解得a=-1.(2)当a>0时,2 >0,由f'(x)>0解得x<0或x>2 ,由f'(x)<0解得0<x<2 ,所以f(x)在区间(-∞+∞上单调递增,在区间0.当a<0时,2 <0,由f'(x)>0解得2 <x<0,由f'(x)<0解得x<2 或x>0,所以f(x)0上单调递增,在区间+∞)上单调递减.(3)因为点M(2,m)(m≠-6)不在曲线y=f(x)上,所以设切点坐标为(x0,y0),则y0=03-3 02-2.因为f'(x0)=302-6x0,所以切线的斜率为3 02-6x0,所以3 02-6x0= 03-3 02-2-0-2,即203-9 02+12x0+2+m=0.因为过点M(2,m)(m≠-6)可作曲线y=f(x)的三条切线,所以方程203-9 02+12x0+2+m=0有三个不同的实数解,即函数g(x)=2x3-9x2+12x+2+m有三个不同的零点.g'(x)=6x2-18x+12=6(x2-3x+2)=6(x-2)·(x-1).令g'(x)=0,解得x=1或x=2.x(-∞,1)1(1,2)2(2,+∞)g'(x)+0-0+g (x )↗极大值↘极小值↗所以(1)>0, (0,即7+ >0,6<0,解得-7<m<-6.故实数m 的取值范围为(-7,-6).9.A 10.ACD11 -32,12.(1)1(2)213.解(1)因为f (x )=-13x 3+12ax 2+2a 2x+3,所以f'(x )=-x 2+ax+2a 2,因为x=-1为函数f (x )的极值点,所以f'(-1)=-1-a+2a 2=0,解得a=-12或a=1.当a=1时,f (x )=-13x 3+12x 2+2x+3,则f'(x )=-x 2+x+2=(-x+2)(x+1),所以当-1<x<2时,f'(x )>0,函数f (x )单调递增;当x<-1或x>2时,f'(x )<0,函数f (x )单调递减,故函数在x=-1处取得极小值,符合题意.当a=-12时,f (x )=-13x 3-14x 2+12x+3,则f'(x )=-x 2-12x+12=(x+1)-x +所以当-1<x<12时,f'(x )>0,函数f (x )单调递增;当x<-1或x>12时,f'(x )<0,函数f (x )单调递减,故函数在x=-1处取得极小值,符合题意.综上,a=-12或a=1.(2)f'(x )=-x 2+ax+2a 2=-(x+a )·(x-2a ),因为f (x )的增区间内有且只有两个整数,所以有且只有两个整数满足不等式f'(x )>0,即有且只有两个整数满足不等式(x+a )(x-2a )<0,显然a ≠0.当a>0时,解得-a<x<2a ,即不等式的解集为x |-a < <2 ,所以1<2 2,-a ≥-1,解得12<a ≤1.当a<0时,解得2a<x<-a ,即不等式的解集为x |2a < <-a ,所以-2 2a <-1,-a 1,解得-1≤a<-12 综上,可得a ∈-1∪1(3)因为f (x 1)-3=-13x 13+12 x 12+2a 2x 1,令g (x )=-13x 3+12ax 2+2a 2x ,则g'(x )=-x 2+ax+2a 2=-(x+a )(x-2a ).令g'(x )=0,则x=-a 或x=2a ,因为0<a 12,所以-a ∈-12,0,2a ∈(0,1],所以当x ∈[-1,-a ]和x ∈(2a ,2]时,g'(x )<0,函数g (x )单调递减.当x ∈(-a ,2a )时,g'(x )>0,函数g (x )单调递增,所以函数g (x )的极小值为g (-a )=13a 3+12a 3-2a 3=-76a 3.又g (2)=-83+2a+4a 2,令h (a )=g (2)-g (-a )=76a 3+4a 2+2a-83,h'(a )=72a 2+8a+2>0在0<a 12上成立,所以当0<a 12时,函数h (a )单调递增,故h (a )max =h=-2548<0,所以g (2)<g (-a ),即当x ∈[-1,2]时,g (x )min =g (2)=-83+2a+4a 2.又f'(x 2)=-x 22+ax 2+2a 2=-x 2+9a 24,其对应函数图象的对称轴为直线x=a2<12,所以当x2=2时,f'(x2)min=f'(2)=-4+2a+2a2,所以f(x1)-3+f'(x2)≥6a2+4a-203,故有6a2+4a-2037a-203,所以6a2-3a≥M,0<a 12 因为6a2-3a=6a 38,0<a 12,所以6a2-3a=6a 38≥-38,所以M≤-38,即实数M的最大值为-38。