高2020届高2017级高考调研第一轮复习理科数学课件作业课时训练39

专题层级快练(三十九)1.(2019·海南三亚一模)在数列1,2,7,10,13,…中,219是这个数列的第( )项.( ) A.16 B.24 C.26D.28【参考答案】：C【试题解析】：设题中数列{a n },则a 1＝1＝1,a 2＝2＝4,a 3＝7,a 4＝10,a 5＝13,…,所以a n ＝3n －2.令3n －2＝219＝76,解得n ＝26.故选C. 2.已知数列{a n }满足a 1＝0,a n ＋1＝a n ＋2n,则a 2 017等于( ) A.2 017×2 018 B.2 016×2 017 C.2 015×2 016 D.2 017×2 017【参考答案】：B【试题解析】：累加法易知选B.3.已知数列{x n }满足x 1＝1,x 2＝23,且1x n －1＋1x n ＋1＝2x n (n ≥2),则x n 等于( )A.(23)n －1 B.(23)n C.n ＋12D.2n ＋1【参考答案】：D【试题解析】：由关系式易知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为首项为1x 1＝1,d ＝12的等差数列,1x n ＝n ＋12,所以x n ＝2n ＋1.4.已知数列{a n }中a 1＝1,a n ＝12a n －1＋1(n ≥2),则a n ＝( )A.2－(12)n －1B.(12)n －1－2 C.2－2n －1D.2n －1【参考答案】：A【试题解析】：设a n ＋c ＝12(a n －1＋c),易得c ＝－2,所以a n －2＝(a 1－2)(12)n －1＝－(12)n －1,所以选A.5.若数列{a n }的前n 项和为S n ＝32a n －3,则这个数列的通项公式a n ＝( )A.2(n 2＋n ＋1)B.2·3nC.3·2nD.3n ＋1【参考答案】：B【试题解析】：a n ＝S n －S n －1,可知选B.6.(2019·云南玉溪一中月考)已知正项数列{a n }中,a 1＝1,a 2＝2,2a n 2＝a n ＋12＋a n －12(n ≥2),则a 6的值为( ) A.2 2 B.4 C.8D.16【参考答案】：B【试题解析】：因为正项数列{a n }中,a 1＝1,a 2＝2,2a n 2＝a n ＋12＋a n －12(n ≥2),所以a n 2－a n －12＝a n ＋12－a n 2(n ≥2),所以数列{a n 2}是以1为首项,a 22－a 12＝3为公差的等差数列,所以a n 2＝1＋3(n －1)＝3n －2,所以a 62＝16.又因为a n >0,所以a 6＝4,故选B.7.(2019·湖南衡阳一中段考)已知数列{a n },若a 1＝2,a n ＋1＋a n ＝2n －1,则a 2 016＝( ) A.2 011 B.2 012 C.2 013 D.2 014 【参考答案】：C【试题解析】：因为a 1＝2,故a 2＋a 1＝1,即a 2＝－1.又因为a n ＋1＋a n ＝2n －1,a n ＋a n －1＝2n －3,故a n ＋1－a n －1＝2,所以a 4－a 2＝2,a 6－a 4＝2,a 8－a 6＝2,…,a 2 016－a 2 014＝2,将以上1 007个等式两边相加可得a 2 016－a 2＝2×1 007＝2 014,所以a 2 016＝2 014－1＝2 013,故选C. 8.(2019·衡水调研)运行如图的程序框图,则输出的结果是( )A.2 019B.2 018C.12 019D.12 018【参考答案】：D【试题解析】：如果把第n 个a 值记作a n ,第1次运行后得到a 2＝a 1a 1＋1,第2次运行后得到a 3＝a 2a 2＋1,…,第n 次运行后得到a n ＋1＝a n a n ＋1,则这个程序框图的功能是计算数列{a n }的第2 018项.将a n ＋1＝a n a n ＋1变形为1a n ＋1＝1a n ＋1,故数列{1a n }是首项为1,公差为1的等差数列,故1a n ＝n ,即a n ＝1n ,所以输出结果是12 018.故选D.9.在数列{a n }中,a 1＝3,a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1）,则通项公式a n ＝________.【参考答案】：4－1n【试题解析】：原递推式可化为a n ＋1＝a n ＋1n －1n ＋1,则a 2＝a 1＋11－12,a 3＝a 2＋12－13,a 4＝a 3＋13－14,…,a n ＝a n －1＋1n －1－1n.逐项相加,得a n ＝a 1＋1－1n .又a 1＝3,故a n ＝4－1n .10.已知数列{a n }满足a 1＝1,且a n ＋1＝a n3a n ＋1(n ∈N *),则数列{a n }的通项公式为________. 【参考答案】：a n ＝13n －2【试题解析】：由已知,可得当n ≥1时,a n ＋1＝a n3a n ＋1. 两边取倒数,得1a n ＋1＝3a n ＋1a n ＝1a n ＋3.即1a n ＋1－1a n ＝3,所以{1a n }是一个首项为1a 1＝1,公差为3的等差数列.则其通项公式为1a n ＝1a 1＋(n －1)×d ＝1＋(n －1)×3＝3n －2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝13n －2. 11.在数列{a n }中,a 1＝1,当n ≥2时,有a n ＝3a n －1＋2,则a n ＝________. 【参考答案】：2·3n －1－1【试题解析】：设a n ＋t ＝3(a n －1＋t),则a n ＝3a n －1＋2t.∴t ＝1,于是a n ＋1＝3(a n －1＋1).∴{a n ＋1}是以a 1＋1＝2为首项,以3为公比的等比数列. ∴a n ＝2·3n －1－1.12.在数列{a n }中,a 1＝2,a n ＝2a n －1＋2n ＋1(n ≥2),则a n ＝________.【参考答案】：(2n －1)·2n【试题解析】：∵a 1＝2,a n ＝2a n －1＋2n ＋1(n ≥2),∴a n 2n ＝a n －12n －1＋2.令b n ＝a n2n ,则b n －b n －1＝2(n ≥2),b 1＝1. ∴b n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1,则a n ＝(2n －1)·2n .13.已知数列{a n }的首项a 1＝12,其前n 项和S n ＝n 2a n (n ≥1),则数列{a n }的通项公式为________.【参考答案】：a n ＝1n （n ＋1）【试题解析】： ∵a 1＝12,S n ＝n 2a n ,①∴S n －1＝(n －1)2a n －1.②①－②,得a n ＝S n －S n －1＝n 2a n －(n －1)2a n －1, 即a n ＝n 2a n －(n －1)2a n －1,亦即a n a n －1＝n －1n ＋1(n ≥2).∴a n a 1＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1＝n －1n ＋1·n －2n ·n －3n －1·…·24·13＝2n （n ＋1）. ∴a n ＝1n （n ＋1）.14.(2019·太原二模)已知数列{a n }满足a 1＝1,a n －a n ＋1＝2a n a n ＋1n （n ＋1）(n ∈N *),则a n ＝________.【参考答案】：n3n －2【试题解析】：由a n －a n ＋1＝2a n a n ＋1n （n ＋1）,得1a n ＋1－1a n ＝2n （n ＋1）＝2×(1n －1n ＋1),则由累加法得1a n －1a 1＝2(1－1n ),又因为a 1＝1,所以1a n ＝2(1－1n )＋1＝3n －2n ,所以a n ＝n3n －2. 15.(2019·河北唐山一中模拟)已知首项为7的数列{a n }满足∑ni ＝2a i 2i －1＝3n ＋1(n ∈N *),则数列{a n }的通项公式为________.【参考答案】：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧7（n ＝1），6n （n ≥2）【试题解析】：当n ≥2时,∑n －1i ＝2 a i 2i －1＝3n ,又∑ni ＝2 a i 2i －1＝3n ＋1,两式相减,得a n 2n－1＝2×3n,所以a n ＝6n.由于a 1＝7不符合a n ＝6n,所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧7（n ＝1），6n （n ≥2）.16.(2016·课标全国Ⅲ)已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1,a n 2－(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0. (1)求a 2,a 3； (2)求{a n }的通项公式.【参考答案】：(1)a 2＝12,a 3＝14 (2)a n ＝(12)n －1【试题解析】：(1)根据题意,a n 2－(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0, 当n ＝1时,有a 12－(2a 2－1)a 1－2a 2＝0, 而a 1＝1,则有1－(2a 2－1)－2a 2＝0,解得a 2＝12,当n ＝2时,有a 22－(2a 3－1)a 2－2a 3＝0,又由a 2＝12,解得a 3＝14,故a 2＝12,a 3＝14.(2)根据题意,a n 2－(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0,变形可得(a n －2a n ＋1)(a n ＋1)＝0, 即有a n ＝2a n ＋1或a n ＝－1,又由数列{a n }各项都为正数,则有a n ＝2a n ＋1, 故数列{a n }是首项为a 1＝1,公比为12的等比数列,则a n ＝1×(12)n －1＝(12)n －1,故a n ＝(12)n －1.17.数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n ＝n(n ＋1)(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足：a n ＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n3n ＋1,求数列{b n }的通项公式. 【参考答案】：(1)a n ＝2n (2)b n ＝2(3n ＋1)【试题解析】：(1)当n ＝1时,a 1＝S 1＝2,当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝n(n ＋1)－(n －1)n ＝2n ,知a 1＝2满足该式,∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n. (2)∵a n ＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n3n ＋1(n ≥1),① ∴a n ＋1＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n3n ＋1＋b n ＋13n ＋1＋1.② ②－①,得b n ＋13n ＋1＋1＝a n ＋1－a n ＝2,b n ＋1＝2(3n ＋1＋1).故b n ＝2(3n ＋1)(n ∈N *).。