数学奥林匹克初中训练题77

初中数学奥林匹克竞赛题及答案奥数题一一、选择题（每题 1 分，共 10 分）1．如果 a，b 都代表有理数，并且a＋b=0 ，那么 ( ) A．a，b 都是 0B．a，b 之一是 0C．a，b 互为相反数D． a，b 互为倒数答案： C解析：令 a=2 ， b= － 2，满足 2+( － 2)=0 ，由此 a、b 互为相反数。

2．下面的说法中正确的是( )A．单项式与单项式的和是单项式B．单项式与单项式的和是多项式C．多项式与多项式的和是多项式D．整式与整式的和是整式答案： D3都是单项式．两个单项式33A。

两个单项式解析： x2， x x ， x2之和为 x +x 2是多项式，排除x2， 2x2之和为3x2是单项式，排除 B。

两个多项式x3+x2 与 x3－x2之和为2x3 是个单项式，排除 C，因此选 D。

3．下面说法中不正确的是( )A.有最小的自然数B．没有最小的正有理数Word资料C．没有最大的负整数D．没有最大的非负数答案： C解析：最大的负整数是-1 ，故 C 错误。

4．如果 a，b 代表有理数，并且a＋b 的值大于 a－ b 的值，那么( ) A．a，b 同号B．a，b 异号C．a＞0D． b＞ 0答案： D5．大于－π并且不是自然数的整数有( )A．2 个B．3 个C．4 个D．无数个答案： C解析：在数轴上容易看出：在－π右边0的左边（包括0 在）的整数只有－3，－ 2，－1 ，0 共 4 个．选 C。

6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；丁．负数的立方不一定大于它本身。

Word资料这四种说法中，不正确的说法的个数是( )A．0 个B．1 个C．2 个D． 3 个答案： B解析：负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故 C 错误。

7．a 代表有理数，那么， a 和－ a 的大小关系是( )A．a 大于－ aB．a 小于－ aC．a 大于－ a 或 a 小于－ aD． a 不一定大于－ a答案： D解析：令 a=0 ，马上可以排除A、 B、 C，应选 D。

初中数学奥林匹克考试试题本文将提供一些经典的初中数学奥林匹克考试试题，旨在帮助学生提升数学解题能力和思维能力。

以下是一些题目供大家练习：1. 在平面直角坐标系中，点A(-2, 4)和B(3, 1)在坐标轴上的垂直平分线所交的点为C，求AC的长度。

2. 若x能被3整除，且由x的各位数字组成的3位数能被27整除，求满足条件的最小正整数x。

3. 甲、乙两车，相向而行，甲车的速度是乙车速度的4倍，甲车行驶8小时后，与乙车相距960公里，求甲车和乙车的速度分别是多少。

4. 求4/7与21/50的和的最简分数形式。

5. 若a、b、c均为正整数，且满足方程式：1/a + 1/b + 1/c = 1/2求满足条件的最小正整数解。

6. 在等腰三角形ABC中，AC=BC，角ACB的角度为120°，D是AB的中点，连接AD和BD，求角ACD的度数。

7. 若x和y是正整数，满足x^3 + x^2y + xy^2 + y^3 = (x + y)^3，求x与y的和。

8. 若正整数m、n均满足m/n = 12.3456789...，求m与n的最大公约数。

9. 设a、b、c为正整数，满足a+b+c=99，且a^2 + b^2 + c^2 =3(abc)，求a、b、c的值。

10. 在等腰梯形ABCD中，AB//CD，AB+CD=15，AC=10，BD=12，求AB的长度。

以上是一些初中数学奥林匹克考试的典型题目，希望能对大家的数学学习有所帮助。

通过练习，可以提高解题能力和思维能力，培养逻辑思维和分析问题的能力。

希望大家能够积极参与数学竞赛，挑战自我，不断进步！。

数学奥林匹克初中训练题第一试一、选择题（每小题７分，共４２分）１．１００人共有１０００元人民币，其中任意１０个人的钱不超过１９０元．那么，一个人最多能有（）元．（Ａ）１０８（Ｂ）１０９（Ｃ）１１８（Ｄ）１１９２．已知ｙ＝｜ｘ－２｜－｜ｘ｜＋｜ｘ＋２｜，且－１≤ｘ≤２．则ｙ的最大值与最小值之差是（）．（Ａ）４（Ｂ）３（Ｃ）２（Ｄ）１３．在△ABC的ＢＣ边上有一点Ｄ，∠ＡＤＢ为锐角，Ｐ、Ｑ各是△ＡＢＤ、△ＡＣＤ之外心，且四边形ＡＰＤＱ与△ＡＢＣ等积．则∠ＡＤＢ＝（）．（Ａ）６０° （Ｂ）７５° （Ｃ）３０° （Ｄ）４５°４．甲、乙两车同时由Ａ地去Ｂ地．甲把路程分为三等分，分别用ｖ１、ｖ２、ｖ３（ｖ１＞ｖ２＞ｖ３）的速度前进；乙把所需时间分为三等分，分别用ｖ１、ｖ２、ｖ３的速度前进．则（）．（Ａ）甲先到达（Ｂ）乙先到达（Ｃ）甲、乙同时到达（Ｄ）谁先到达与ｖ１、ｖ２、ｖ３有关图１５．设ｘ２－ｐｘ＋ｑ＝０的二实根为α、β，而以α２、β２为根的二次方程仍是ｘ２－ｐｘ＋ｑ＝０．则数对（ｐ，ｑ）的个数是（）．（Ａ）２（Ｂ）３（Ｃ）４（Ｄ）０６．如图１，ＡＢ、ＣＤ、ＰＱ是⊙Ｏ的三条弦,ＡＢ⊥ＰＱ，ＣＤ⊥ＰＱ,Ｍ、Ｎ是垂足。

若ＡＢ≤ＣＤ，则有（）．（Ａ）（Ｂ）Ｃ）（Ｄ）无法确定的大小二、填空题（每小题７分，共２８分）２．直角三角形的三边为ｐ、ｑ、ｒ，其中ｒ为斜边．． ３．对于满足０≤ｐ≤４的所有实数ｐ，使不等式ｘ２＋ｐｘ＞４ｘ＋ｐ－３成立的ｘ的取值范围是 ．4.则ＢＥ－ＰＢ的值为 ．第二试一、（满分２０分）教室里有４列课桌，每列前后有６张，每张课桌坐有２名同学．为了让同学之间有充分交流的机会，考虑到高矮和视力等因素，在前后位置不动的情况下，每一名同学最多能与同一行（４张课桌）的另外７名同学坐同桌（不重复）．请给出一个调动位置的方案，使得每人都与另外７名同学先后同桌．木棒的中点Ｐ也随之运动，已知Ａ端下滑到Ａ'时，ＡＡ'＝（ － ）ａ．求中点Ｐ随之运动到Ｐ'时经过的路线长．∠Ｃ、∠ＡＱＣ＝90°+ ∠Ｂ， 参考答案第一试一、１．（Ｂ）．设最多的人有ｘ元，其余的人分为１１组，每组９人，这人与每组９人合在一起不超过１９０元．因此， １９０×１１≥１ ０００－ｘ＋１１ｘ．得ｘ≤１０９．所以，一个人最多有１０９元，其余每人９元即符合题意．２．（Ｄ）．ｍｉｎ＝３． 如图４，设∠ＡＤＢ＝α,则∠ＡＰＢ＝2a ．由外心性质易知∠ＡＰＱ＝∠ＡＢＣ、∠ＡＱＰ＝∠ＡＣＢ△ＡＰＱ∽△ＡＢＣ．显然，△ＡＰＱ≌△ＤＰＱ ．于是，２α＝∠ＡＰＢ＝９０°． 故∠ＡＤＢ＝α＝４５°．４．（Ｂ）．如图５，乙用最快的速度行驶的路程比甲多；用速度ｖ２、ｖ３行驶的路程之和，以及用速度ｖ３行驶的路程都比甲少，所以，乙先到达．５．（Ｂ）．由题意， 且 于是有，ｑ２＝ｑ．得ｑ＝０或ｑ＝１．并有（α＋β）２＝α２＋β２＋２αβ，即ｐ２＝ｐ＋２ｑ． （１）当ｑ＝１时，ｐ＝２或ｐ＝－１；（２）当ｑ＝０时，ｐ＝０或ｐ＝１．但α２＋β２＝ｐ≥０，故ｐ＝－１（舍去）．所以，满足题意数对（ｐ，ｑ）可为（２，１），（０，０），（１，０），共３对． ⇒⎩⎨⎧==+q p αββα⎪⎩⎪⎨⎧==+qp a a ββ2222６．（Ａ）．如图６，设ＡＢ＝２ａ，ＣＤ＝２ｂ，显然ａ≤ｂ．[if gte mso 9]> <![endif]--> ＝＝１（ａ－ｘ）（ｂ ＝１（ａ－ｘ）（ｂ－ｘ）·２ｘ·（ｂ－ａ）≥０．二、１．－３．原式＝ａ(１/ｂ＋１/ｃ＋１/)ａ＋ｂ(１/ｃ＋１/ａ＋１/ｂ )＋ｃ(１/ａ＋１/ｂ＋１/ｃ)－３ ＝(１/ａ＋１/ｂ＋１/ｃ)（ａ＋ｂ＋ｃ）－３＝－３．２．４＋２２．)/(ｐ＋ｒ)＝ [if gte vml 1]> ＝>q/(p+r)= －１=>ｒ２－ｐ２＝ｑ２＝（ －１）２（ｐ＋ｒ）２ ）（ｒ＋ｐ）=> 2（ －１）ｒ＝２ （ －１）ｐ． ｐ． 故周长＝４＋２ ．３．ｘ＜－１或ｘ＞３．由ｘ2＋ｐｘ＞４ｘ＋ｐ－３ ｘ２＋（ｐ－４）ｘ－ｐ＋３＞０（ｘ＋ｐ－３）（ｘ－１）＞０.∴ｘ＞３－ｐ，ｘ＞１或ｘ＜３－ｐ，ｘ＜１．但０≤ｐ≤４，于是，－１≤３－ｐ≤３．故ｘ＜－１或ｘ＞３．４．１．令ＢＥ＝ｘ，ＰＢ＝ｙ，则由②，有ｘ－ｙ＝ｘｙ．③由①、③，有（ｘ－ｙ）２＋２（ｘ－ｙ）－３＝０，（ｘ－ｙ＋３）（ｘ－ｙ－１）＝０.显然，ｘ＞ｙ，ｘ－ｙ＋３＞０.所以，ｘ－ｙ－１＝０，ｘ－ｙ＝１．从而，ＢＥ－ＰＢ的值为１．第二试图７一、将８个人依次编号为１，２，…，８．如图７，“１～７”在圆周上均匀分布，“８”在圆心．两个号之间的连线表示同桌：（１，８），（２，７），（３，６），（４，５）．对于“８”来说，他可以与其他７个人依次同桌；由于（２，７），（３，６），（４，５）的连线是平行的，且与（１，８）的连线垂直，在“８”与其他号连线改变的时候，其他号之间相互连线的方向也作相应的改变（仍保持垂直），并且不会出现重复的方向，这样就可实现预想的目的．二、∵ＰＯ＝１２ＡＢ＝ａ为定值，Ｏ为定点，∴Ｐ到Ｐ'的路线是以Ｏ为圆心，ａ为半径的弧．ＯＰ'，易知ＯＰ＝ＰＡ＝ＯＰ'＝Ｐ'Ｂ'＝ａ．在Ｒｔ△ＡＢＯ中，ＯＡ＝ＡＢｓｉｎ ６０° /２＝ ａ，则ＯＡ'＝ＯＡ－ＡＡ'＝ ａ－（ － ）ａ＝ ａ．在Ｒｔ△Ａ'Ｂ'Ｏ中，Ａ'Ｂ'＝２ａ，则ＯＢ'＝= ａ．故∠Ａ'Ｂ'Ｏ＝４５°，∠Ｂ'ＯＰ'＝∠Ａ'Ｂ'Ｏ＝４５°． 但∠ＡＯＰ＝∠ＯＡＢ＝３０°，∴∠ＰＯＰ'＝９０°－３０°－４５°＝１５°．∴ＰＰ'弧长为１５°/３６０°·２πａ＝１/１２πａ．三、提供两种不同证法．图８证法１ 如 图８，作△ＡＢＣ的外接圆，射线ＡＱ交圆于Ｄ，连结ＤＢ、ＤＣ．∵∠ＡＱＢ ＝９０°＋１２∠ＡＣＢ，∴∠ＤＱＢ＝９０°－１２∠ＡＣＢ．但∠ＱＤＢ＝∠ＡＤＢ＝∠ＡＣＢ，由 ＤＱＢ可得∠ＤＢＱ＝９０°－１２∠ＡＣＢ．则∠ＤＱＢ＝∠ＤＢＱ =>ＤＢ＝ＤＱ．同样地可证得ＤＣ＝ＤＱ．故ＤＱ＝ＤＢ＝ＤＣ．由此立即可证明ＡＱ平分∠ＢＡＣ、ＢＱ平分∠ＡＢＣ（或ＣＱ平分∠ＡＣＢ）．故点Ｑ是 △ＡＢＣ的内心．图９证法２（反证法）假设Ｑ点不是△ＡＢＣ的内心，另取△ＡＢＣ的内心Ｑ'，显然Ｑ'与Ｑ互异．连结ＡＱ'、ＢＱ'．由三角形内心张角公式得∠ＡＱ'Ｂ＝９０°＋１/２∠ＡＣＢ．但∠ＡＱＢ＝９０°＋１/２∠ＡＣＢ，故∠ＡＱ'Ｂ＝∠ＡＱＢ =>Ａ、Ｑ'、Ｑ、Ｂ四点共圆．类似可得Ａ、Ｑ'、Ｑ、Ｃ四点共圆．由于Ａ、Ｑ'、Ｑ三点确定一个圆Ａ、Ｑ'、Ｑ、Ｂ、Ｃ五点共圆，即Ｑ'、Ｑ在 ＡＢＣ的外接圆上，换言之△ＡＢＣ的内心Ｑ'在 ＡＢＣ的外接圆上，这是不可能的．故Ｑ'与Ｑ必重合，即Ｑ点必是 ＡＢＣ的内心．。

初中数学奥林匹克训练题（4）第一试一、填空题1、一个直角三角形的两条直角边长为b a ,满足不等式31634192622≤+-++-b b a a ，则这个直角三角形的斜边长为2、数812934756是一个包含1至9每个数字恰好一次的九位数，它具有如下性质：数字1至6在其中是从小到大排列的，但是数字1至7不是从小到大排列的．这样的九位数共有 ______________个．3、对每一个正整数k ，设ka k 1211 ++=，则 49493212500)99753(a a a a a -++++等于______________4、集合{}7,6,5,4,3,2,1=S 的五元子集共有21个，每个子集的数从小到大排好后，取出中间的数，则所有这些数之和是（ ）4、函数32)(2+-=x x x f ，若a x f -)(＜2恒成立的充分条件是21≤≤x ，则实数a 的取值范围是 ．5、在直角坐标平面上，正方形ABCD 的顶点A 、C 的坐标分别为（12，19）、（3，22），则顶点B 、D 的坐标分别为 ．（A 、B 、C 、D 依逆时针顺序排列）6、方程10033100=+y x 的正整数解),(y x 有 组．7、正整数集合k A 的最小元素为1，最大元素为2007，并且各元素可以从小到大排成一个公差为k 的等差数列，则并集1759A A 中的元素个数为8、若实数,x y 满足：1031031031031,125263536xy x y+=+=++++，则x y += .9、把一个长方体切割成k 个四面体，则k 的最小值是 .10、将各位数码不大于3的全体正整数m 按自小到大的顺序排成一个数列{}n a ，则2007a = ．二、解答题1、已知二次函数c bx ax x f ++=2)(和一次函数bx x g -=)(，其中c b a ,,满足c b a >>，0=++c b a ，),,(R c b a ∈．（1）求证：两函数的图像交于不同的两点A 、B ； （2）求线段AB 在x 轴上的射影11B A 的范围。