2004年试题

2004年高考语文试题与答案（天津卷）2004年普通高等学校招生全国统一考试语文（天津卷）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷两部分，共150分，考试用时150分钟。

第I卷1至6页，第II卷7至12页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第I卷（选择题共42分）注意事项：1. 答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。

2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答在试卷上的无效。

一.（18分，每小题3分）1. 下列词语中加点的字的读音完全相同的一组是A. 真谛．取缔．孝悌．瓜熟蒂．落有的．放矢B. 包庇．奴婢．媲．美筚．路蓝缕刚愎．自用C. 驿．站后裔．臆．断神采奕．奕自怨自艾．D. 嗜．好对峙．吞噬．恃．才傲物舐．犊情深2. 下列词语中没有错别字的一组是A. 抱负威慑流芳百世源远流长B. 寒暄署名曲意逢迎各行其事C. 偏袒蒙昧重蹈覆辙积腋成裘D. 学藉暴躁浮想联翩山清水秀3. 依次填入下列各句横线处的词语，最恰当的一组是①古往今来，总有一些勇敢者在钱塘潮涌之际，与潮搏击，出人的活力和勇气。

②“五一”黄金周期间，十多万游客来到杨柳青这里的民俗艺术。

③目前对于地球磁场的变化和倒转提出了不少理论或模型，基本上都处在假设和推测的阶段，并没有一个十分成熟的理论。

A. 展示观赏即使/也B. 展现参观即使/也C. 展现观赏尽管/但D. 展示参观尽管/但4. 下列各句中加点的熟语使用不恰当的一句是A. 我始终没来得及按照总编的要求修改这个剧本，几年来我一直耿耿于．．．怀．，深感有负他的嘱托。

B. 虽然交通事故的发生率已经每况愈下．．．．，但我们仍不能有丝毫大意。

C. 在现代社会生活中，电视和电脑这一对时代的宠儿，对我们来说几乎是不．可或缺．．．的。

D. 这些风言风语总不会是从天上掉下来的，“无风不起浪．．．．．”嘛。

2004年普通高等学校招生福建卷理工类数学试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数10)11(ii +-的值是（ ） A ．－1 B ．1 C ．－32 D ．32 2．tan15°+cot15°的值是（ ）A ．2B ．2+3C ．4D ．3343．命题p ：若a 、b ∈R ，则|a |+|b|>1是|a +b|>1的充分而不必要条件；命题q ：函数y=2|1|--x 的定义域是（－∞，－1]∪[3，+∞).则（ ）A ．“p 或q ”为假B ．“p 且q ”为真C ．p 真q 假D ．p 假q 真4．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是真正三角形，则这个椭圆的离心率是 （ ）A ．3332 B ．32C ．22D ．235．已知m 、n 是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题：①若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n ；②若m ∥α，m ∥β，则α∥β；③若α∩β=n ，m ∥n ，则m ∥α且m ∥β；④若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β.其中真命题的个数是 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．36．某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为 （ ）A ．2426C A B ．242621C A C ．2426A AD ．262A7．已知函数y=log 2x 的反函数是y=f —1(x )，则函数y= f —1(1－x )的图象是（ ）8．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b ) ⊥a ，(b －2a ) ⊥b ，则a 与b 的夹角是 （ ）A ．6πB ．3πC ．32πD ．65π9．若(1-2x )9展开式的第3项为288，则)111(lim 2n n xx x +++∞→ 的值是 （ ）A ．2B ．1C ．21D ．5210．如图，A 、B 、C 是表面积为48π的球面上三点，AB=2，BC=4，∠ABC=60°，O 为球心，则直线OA 与截面ABC 所成的角是（ ） A ．arcsin 63 B ．arccos 63 C ．arcsin 33 D ．arccos 3311．定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x +2)，当x ∈[3，5]时，f(x)=2－|x －4|，则（ ）A ．f (sin6π)<f (cos 6π) B ．f (sin1)>f (cos1) C ．f (cos 32π)<f (sin 32π) D ．f (cos2)>f (sin2) 12．如图，B 地在A 地的正东方向4 km 处，C 地在B 地的北偏东30°方向2 km 处，河流的没岸PQ （曲线）上任意一点到A 的距离比到B 的距离远2 km.现要在曲线PQ 上 选一处M 建一座码头，向B 、C 两地转运货物.经测算，从M 到B 、M 到C 修建公路的费用分别是a 万元/km 、2a 万元/km ，那么修建这两条公路的总费用最低是（ ） A ．(27－2)a 万元 B ．5a 万元C ．(27+1) a 万元D ．(23+3) a 万元第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置. 13．直线x +2y=0被曲线x 2+y 2－6x －2y －15=0所截得的弦长等于 .14．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-+=ax x x f 11)()0()0(=≠x x 在x =0处连续，则实数a 的值为 . 15．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9.他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响.有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1； ③他至少击中目标1次的概率是1-0.14.其中正确结论的序号是 （写出所有正 确结论的序号）.16．如图1，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起， 做成一个无盖的正六棱柱容器.当这个正六棱柱容器的底面边长为 时，其容积最大. 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）设函数f(x)=a ·b ，其中向量a=(2cos x ，1)，b =(cos x ， 3sin2x )，x ∈R.（Ⅰ）若f(x)=1－3且x ∈[－3π，3π]，求x ；（Ⅱ）若函数y=2sin2x 的图象按向量c=(m ，n)(|m|<2π)平移后得到函数y=f(x)的图象，求实数m 、n 的值.18．（本小题满分12分）甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.（Ⅰ）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望； （Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率. 19．（本小题满分12分）在三棱锥S —ABC 中，△ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ， SA=SC=23，M 、N 分别为AB 、SB 的中点. （Ⅰ）证明：AC ⊥SB ；（Ⅱ）求二面角N —CM —B 的大小； （Ⅲ）求点B 到平面CMN 的距离. 20．（本小题满分12分）某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n 年（今年为第一年）的利润为500(1+n21)万元（n 为正整数）. （Ⅰ）设从今年起的前n 年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A n 万元，进行技术改造后的累计纯利润为B n 万元（须扣除技术改造资金），求A n 、B n 的表达式；（Ⅱ）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？ 21．（本小题满分14分） 已知f(x)=222+-x ax (x ∈R)在区间[－1，1]上是增函数.（Ⅰ）求实数a 的值组成的集合A ； （Ⅱ）设关于x 的方程f(x)=x1的两个非零实根为x 1、x 2.试问：是否存在实数m ，使得不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由.22．（本小题满分12分）如图，P 是抛物线C ：y=21x 2上一点，直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q. （Ⅰ）若直线l 与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的轨迹方程； （Ⅱ）若直线l 不过原点且与x 轴交于点S ，与y 轴交于点T ，试求||||||||SQ ST SP ST 的取值范围.2004年普通高等学校招生福建卷理工类数学试题参考答案一、1.A 2.C 3.D 4.A 5.B 6.C 7.C 8.B 9.A 10.D 11.D 12.B二、13．45 14.1/2 15.1，3 16.2/3 三、17. 本小题主要考查平面向量的概念和计算，三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技能，考查运算能力.满分12分.解：（Ⅰ）依题设，f(x)=2cos 2x +3sin2x =1+2sin(2x +6π). 由1+2sin(2x +6π)=1－3，得sin(2 x +6π)=－23.∵-3π≤x ≤3π，∴-2π≤2x +6π≤65π，∴2x +6π=-3π，即x =-4π.（Ⅱ）函数y=2sin2x 的图象按向量c=(m ，n)平移后得到函数y=2sin2(x －m)+n 的图象，即函数y=f(x)的图象. 由（Ⅰ）得 f(x)=2sin2(x +12π)+1. ∵|m|<2π，∴m=-12π，n=1.18.本小题主要考查概率统计的基础知识，运用数学知识解决问题的能力.满分12分.ξ的概率分布如下：E ξ=0×301+1×103+2×21+3×61=59. （Ⅱ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则P(A)=310361426C C C C +=1202060+=32， P(B)=310381228C C C C +=1205656+=1514. 因为事件A 、B 相互独立，方法一：∴甲、乙两人考试均不合格的概率为 P(B A ⋅)=P(A )P(B )=1－32)(1－1514)=451. ∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 P=1－P(B A ⋅)=1－451=4544. 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4544. 方法二：∴甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为P=P(A ·B )+P(A ·B)+P(A ·B)=P(A)P(B )+P(A )P(B)+P(A)P(B) =32×151+31×1514+32×1514=4544.答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4544. 19.本小题主要考查直线与直线，直线与平面，二面角，点到平面的距离等基础知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力.满分12分.解法一：（Ⅰ）取AC 中点D ，连结SD 、DB. ∵SA=SC ，AB=BC ， ∴AC ⊥SD 且AC ⊥BD ，∴AC ⊥平面SDB ，又SB ⊂平面SDB ， ∴AC ⊥SB.（Ⅱ）∵AC ⊥平面SDB ，AC ⊂平面ABC ， ∴平面SDB ⊥平面ABC.过N 作NE ⊥BD 于E ，NE ⊥平面ABC ， 过E 作EF ⊥CM 于F ，连结NF ， 则NF ⊥CM.∴∠NFE 为二面角N －CM －B 的平面角.∵平面SAC ⊥平面ABC ，SD ⊥AC ，∴SD ⊥平面ABC. 又∵NE ⊥平面ABC ，∴NE ∥SD.∵SN=NB ，∴NE=21SD=2122AD SA -=21412-=2，且ED=EB.在正△ABC 中，由平几知识可求得EF=41MB=21， 在Rt △NEF 中，tan ∠NFE=EFEN=22， ∴二面角N —CM —B 的大小是arctan22.（Ⅲ）在Rt △NEF 中，NF=22EN EF +=23， ∴S △CMN =21CM ·NF=233，S △CMB =21BM ·CM=23. 设点B 到平面CMN 的距离为h ， ∵V B-CMN =V N-CMB ，NE ⊥平面CMB ，∴31S △CMN ·h=31S △CMB ·NE ，∴h=CMNCMB S NE S ⋅=324.即点B 到平面CMN 的距离为324.解法二：（Ⅰ）取AC 中点O ，连结OS 、OB.∵SA=SC ，AB=BC ， ∴AC ⊥SO 且AC ⊥BO.∵平面SAC ⊥平面ABC ，平面SAC ∩平面 ABC=AC ∴SO ⊥面ABC ，∴SO ⊥BO.如图所示建立空间直角坐标系O －x yz.则A （2，0，0），B （0，23，0），C （－2，0，0）， S （0，0，22），M(1，3，0)，N(0，3，2). ∴=（－4，0，0），=（0，23，22）， ∵·=（－4，0，0）·（0，23，22）=0， ∴AC ⊥SB.（Ⅱ）由（Ⅰ）得=（3，3，0），=（－1，0，2）.设n=（x ，y ，z ）为平面CMN 的一个法向量，·n=3x +3y=0，z=1，则x =2，y=-6，·n=－x +2z=0，6，1)，0，22)为平面ABC 的一个法向量， ∴cos(n ，OS ||||OS n ⋅=31.∴二面角N －CM －B 的大小为arccos 31. （Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）得MB =（－1，3，0），n=（2，－6，1）为平面CMN 的一个法向量，∴点B 到平面CMN 的距离d=|||·|n n =324.20.本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式的等基础知识，考查运用数学知识解决实际问题的能力.满分12分. 解：（Ⅰ）依题设，A n =(500－20)+(500－40)+…+(500－20n)=490n －10n 2；B n =500[(1+21)+(1+221)+…+(1+n 21)]－600=500n －n 2500－100. （Ⅱ）B n －A n =(500n －n 2500－100) －(490n －10n 2)=10n 2+10n －n 2500－100=10[n(n+1) － n 250－10].因为函数y=x (x +1) － n 250－10在（0，+∞）上为增函数，当1≤n ≤3时，n(n+1) － n 250－10≤12－850－10<0；当n ≥4时，n(n+1) － n 250－10≥20－1650－10>0.∴仅当n ≥4时，B n >A n .答：至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润.21.本小题主要考查函数的单调性，导数的应用和不等式等有关知识，考查数形结合及分类讨论思想和灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分.解：（Ⅰ）f ＇(x)=222)2(224+-+x x ax = 222)2()2(2+---x ax x ， ∵f(x)在[－1，1]上是增函数，∴f ＇(x)≥0对x ∈[－1，1]恒成立，即x 2－ax －2≤0对x ∈[－1，1]恒成立. ① 设ϕ(x )=x 2－ax －2， 方法一： ① ⇔ ⎩⎨⎧≤-+=-≤--=021)1(021)1(a a ϕϕ⇔－1≤a ≤1，∵对x ∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a =1时，f ＇(-1)=0以及当a =－1时，f ＇(1)=0 ∴A={a |－1≤a ≤1}. 方法二：①⇔⎪⎩⎪⎨⎧≤-+=-≥021)1(02a a ϕ或⎪⎩⎪⎨⎧≤--=<021)1(02a a ϕ⇔ 0≤a ≤1 或 －1≤a ≤0 ⇔ －1≤a ≤1.∵对x ∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a =1时，f ＇(－1)=0以及当a =-1时，f ＇(1)=0 ∴A={a |－1≤a ≤1}. （Ⅱ）由222+-x a x =x1，得x 2－ax －2=0， ∵△=a 2+8>0 ∴x 1，x 2是方程x 2－ax －2=0的两非零实根，x 1+x 2=a ，x 1x 2=－2， 从而|x 1－x 2|=212214)(x x x x -+=82+a .∵－1≤a ≤1，∴|x 1-x 2|=82+a ≤3.要使不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立， 当且仅当m 2+tm+1≥3对任意t ∈[－1，1]恒成立， 即m 2+tm －2≥0对任意t ∈[－1，1]恒成立. ② 设g(t)=m 2+tm －2=mt+(m 2－2)， 方法一：② ⇔ g(－1)=m 2－m －2≥0，g(1)=m 2+m －2≥0， ⇔m ≥2或m ≤－2.所以，存在实数m ，使不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立，其取值范围是{m|m ≥2，或m ≤－2}. 方法二：当m=0时，②显然不成立； 当m ≠0时，②⇔ m>0，g(－1)=m 2－m －2≥0 或 m<0，g(1)=m 2+m －2≥0 ⇔ m ≥2或m ≤－2.所以，存在实数m ，使不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[-1，1]恒成立，其取值范围是{m|m ≥2，或m ≤－2}.22. 本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分. 解：（Ⅰ）设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，M(x 0，y 0)，依题意x 1≠0，y 1>0，y 2>0.由y=21x 2， ① 得y ＇=x .∴过点P 的切线的斜率k 切= x 1，∴直线l 的斜率k l =－切k 1=-11x ， ∴直线l 的方程为y －21x 12=－11x (x －x 1)，方法一：联立①②消去y ，得x 2+12x x －x 12－2=0. ∵M 是PQ 的中点 ∴ x 0=221x x +=-11x ，y 0=21x 12－11x (x 0－x 1) 消去x 1，得y 0=x 02+221x +1(x 0≠0)，∴PQ 中点M 的轨迹方程为y=x 2+221x +1(x ≠0).方法二：由y 1=21x 12，y 2=21x 22，x 0=221x x +，得y 1－y 2=21x 12－21x 22=21(x 1+x 2)(x 1－x 2)=x 0(x 1－x 2)，则x 0=2121x x y y --=k l =-11x ，∴x 1=－01x ，将上式代入②并整理，得 y 0=x 02+221x +1(x 0≠0)，∴PQ 中点M 的轨迹方程为y=x 2+221x +1(x ≠0).（Ⅱ）设直线l :y=k x +b ，依题意k ≠0，b ≠0，则T(0，b). 分别过P 、Q 作PP ＇⊥x 轴，QQ ＇⊥y 轴，垂足分别为P ＇、Q ＇，则=+||||||||SQ ST SP ST ||||||||||||||||21y b y b Q Q OT P P OT +='+'.由 y=21x 2， y=kx+b 消去x ，得y 2－2(k 2+b)y+b 2=0. ③ 则y 1+y 2=2(k 2+b)，y 1y 2=b 2.方法一： ∴=+||||||||SQ ST SP ST |b|(2111y y +)≥2|b|211y y =2|b|21b=2. ∵y 1、y 2可取一切不相等的正数， ∴||||||||SQ ST SP ST +的取值范围是（2，+∞）. 方法二：∴||||||||SQ ST SP ST +=|b|2121y y y y +=|b|22)(2b b k +.当b>0时，||||||||SQ ST SP ST +=b 22)(2bb k +=b b k )(22+=b k 22+2>2； 当b<0时，||||||||SQ ST SP ST +=－b 22)(2b b k +=b b k -+)(22.又由方程③有两个相异实根，得△=4(k 2+b)2-4b 2=4k 2(k 2+2b)>0，于是k 2+2b>0，即k 2>－2b. 所以||||||||SQ ST SP ST +>bb b -+-)2(2=2. ∵当b>0时，bk 22可取一切正数，∴||||||||SQ ST SP ST +的取值范围是（2，+∞）.方法三：由P 、Q 、T 三点共线得k TQ =K TP ， 即22x b y -=11x by -.则x 1y 2－b x 1=x 2y 1－b x 2，即b(x 2－x 1)=(x 2y 1－x 1y 2).于是b=122212122121x x x x x x -⋅-⋅=－21x 1x 2.∴||||||||SQ ST SP ST +=||||||||21y b y b +=1|21|21x x -+1|21|21x x -=||12x x +||21x x ≥2. ∵||12x x 可取一切不等于1的正数， ∴||||||||SQ ST SP ST +的取值范围是（2，+∞）.2 2。

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——培根2004年普通高等学校招生全国统一考试数学（江苏卷）第I 卷（选择题共60分）一、选择题(5分×12=60分)1．设集合P={1，2，3，4}，Q={R x x x ∈≤,2}，则P ∩Q 等于（ ） A ．{1，2} B ． {3，4}C ． {1}D ． {-2，-1，0，1，2}2．函数y=2cos 2x+1(x ∈R )的最小正周期为 （ ）A ．2πB ．πC ．π2D ．π43．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 （ ）A ．140种B ．120种C ．35种D ．34种4．一平面截一球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的体积是 （ ）A ．33π100cmB ． 33π208cmC ． 33π500cmD ． 33π3416cm 5．若双曲线18222=-by x 的一条准线与抛物线x y 82=的准线重合，则双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．22 C ． 4D ．24 6．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用右侧的条形图表示. 根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为 （ ）A ．0.6小时B ．0.9小时C ．1.0小时D ．1.5小时7．4)2(x x +的展开式中x 3的系数是（ ） A ．6 B ．12 C ．24 D ．488．若函数)1,0)((log ≠>+=a a b x y a 的图象过两点(-1，0)和(0，1)，则 （ ）A ．a =2,b=2B ．a = 2 ,b=2C ．a =2,b=1D ．a = 2 ,b= 2 9．将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是（ ） A ．5216 B ．25216 C ．31216 D ．9121610．函数13)(3+-=x x x f 在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是（ ） A ．1，-1 B ．1，-17 C ．3，-17 D ．9，-1911．设k>1，f(x)=k(x-1)(x ∈R ) . 在平面直角坐标系xOy 中，函数y=f(x)的图象与x 轴交于A点，它的反函数y=f -1(x)的图象与y 轴交于B 点，并且这两个函数的图象交于P 点. 已知四边形OAPB 的面积是3，则k 等于（ ） A ．3 B ．32 C ．43 D ．6512．设函数)(1)(R x x x x f ∈+-=，区间M=[a ，b](a<b)，集合N={M x x f y y ∈=),(}，则使M=N 成立的实数对(a ，b)有 （ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数多个第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题(4分×4=16分)13．二次函数y=ax 2+bx+c(x ∈R )的部分对应值如下表：则不等式ax 2+bx+c>0的解集是_______________________.14．以点(1，2)为圆心，与直线4x+3y-35=0相切的圆的方程是________________.15．设数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =2)13(1-n a (对于所有n ≥1)，且a 4=54，则a 1的数值是_______________________.16．平面向量a ，b 中，已知a =(4，-3)，b =1，且a ·b =5，则向量b =__________.三、解答题(12分×5+14分=74分)17．已知0<α<2π，tan 2α+cot 2α=25，求sin(3πα-)的值.18．在棱长为4的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 是正方形A 1B 1C 1D 1的中心，点P 在棱CC 1上，且CC 1=4CP.(Ⅰ)求直线AP 与平面BCC 1B 1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；(Ⅱ)设O 点在平面D 1AP 上的射影是H ，求证：D 1H ⊥AP ；(Ⅲ)求点P 到平面ABD 1的距离.19．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100﹪和50﹪，可能的最大亏损率分别为30﹪和10﹪. 投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？20．设无穷等差数列{a n }的前n 项和为S n .(Ⅰ)若首项=1a 32，公差1=d ，求满足2)(2k k S S =的正整数k ； (Ⅱ)求所有的无穷等差数列{a n }，使得对于一切正整数k 都有2)(2k k S S=成立.21．已知椭圆的中心在原点，离心率为12，一个焦点是F （-m,0）(m 是大于0的常数). (Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设Q 是椭圆上的一点，且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M. =，求直线· B 1 P A C D A 1 C 1D 1 B O H ·l 的斜率.22．已知函数))((R x x f ∈满足下列条件：对任意的实数x 1，x 2都有)]()()[()(λ2121221x f x f x x x x --≤- 和2121)()(x x x f x f -≤-，其中λ是大于0的常数.设实数a 0，a ，b 满足 0)(0=a f 和)(λa f a b -=(Ⅰ)证明1λ≤，并且不存在00a b ≠，使得0)(0=b f ；(Ⅱ)证明20220))(λ1()(a a a b --≤-；(Ⅲ)证明222)]()[λ1()]([a f b f -≤.参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.1．A 2．B 3．D 4．C 5．A 6．B 7．C 8．A 9．D 10．C11．B 12．A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分.13．),3()2,(+∞--∞14．25)2()1(22=-+-y x 15．2 16．)53,54(- 三、解答题17．本小题主要考查三角函数的基本公式和三角函数的恒等变换等基本知识，以及推理能力和运算能力.满分12分.解：由已知54sin ,25sin 22cot 2tan===+αααα得. .53s i n 1c o s ,202=-=∴<<ααπα 从而 3s i n c o s 3c o s s i n )3s i n (παπαπα⋅-⋅=- )334(10123532154-=⨯-⨯=. 18．本小题主要考查线面关系和正方体性质等基本知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分12分.解法一：（I ）连结BP. ∵AB ⊥平面BCC 1B 1， ∴AP 与平面BCC 1B 1所成的角就是∠APB,∵CC 1=4CP,CC 1=4，∴CP=I.在Rt △PBC 中，∠PCB 为直角，BC=4，CP=1，故BP=17.在Rt △APB 中，∠ABP 为直角，tan ∠APB=,17174=BP AB ∴∠APB=.17174arctan 19．本小题主要考查简单线性规划的基本知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力.满分12分.解：设投资人分别用x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目.由题意知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,8.11.03.0,10y x y x y x目标函数z =x +0.5y.上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即可行域. 作直线05.0:0=+y x l ，并作平行于直线0l 的一组直线,,5.0R z z y x ∈=+与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M 点，且 与直线05.0=+y x 的距离最大，这里M 点是直线10=+y x和8.11.03.0=+y x 的交点.解方程组⎩⎨⎧=+=+,8.11.03.0,10y x y x 得x =4，y=6 此时765.041=⨯+⨯=z （万元）.07> ∴当x =4，y=6时z 取得最大值.答：投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大.20．本小题主要考查数列的基本知识，以及运用数学知识分析和解决问题的能力.满分12分.解：（I ）当1,231==d a 时，n n n n n d n n na S n +=-+=-+=21212)1(232)1( 由22242)21(21,)(2k k k k S S k k +=+=得， 即 0)141(3=-k k 又4,0=≠k k 所以.（II ）设数列{a n }的公差为d ，则在2)(2n n S S =中分别取k=1,2,得 ⎪⎩⎪⎨⎧⨯+=⨯+=⎪⎩⎪⎨⎧==211211224211)2122(2344,,)()(d a d a a a S S S S 即由（1）得 .1011==a a 或 当,60)2(,01===d d a 或得代入时若21)(,0,0,0,0k k n n S S S a d a =====从而则成立 若知由则216,324)(,18),1(6,6,02331===-===n n S S S n a d a,)(239S s ≠故所得数列不符合题意. 当20,)2(64)2(,121==+=+=d d d d a 或解得得代入时 若;)(,,1,0,1212成立从而则k k n n S S n S a d a =====若成立从而则221)(,)12(31,12,2,1n n n S S n n S n a d a ==-+++=-=== .综上，共有3个满足条件的无穷等差数列：①{a n } : a n =0，即0，0，0，…；②{a n } : a n =1，即1，1，1，…；③{a n } : a n =2n －1，即1，3，5，…，21．本小题主要考查直线、椭圆和向量等基本知识，以及推理能力和运算能力.满分12分.解：（I ）设所求椭圆方程是).0(12222>>=+b a by a x 由已知，得 ,21,==a c m c 所以m b m a 3,2==. （1） （2）故所求的椭圆方程是1342222=+m y m x（II ）设Q （Q Q y x ,），直线),0(),(:km M m x k y l 则点+= 当),,0(),0,(,2km M m F -=由于由定比分点坐标公式，得 ,62.139494,)3,32(.31210,32212022222±==+-=++=-=+-=k mm k m m km m Q km km y m m x Q Q 解得所以在椭圆上又点 km km y m m x Q Q -=-=-=--⨯-+=-=21,221)()2(0,2时当. 于是.0,134422222==+k m m k m m 解得 故直线l 的斜率是0，62±. 22．本小题主要考查函数、不等式等基本知识，以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分14分.证明：（I ）任取则由,,,2121x x R x x ≠⊂ )]()()[()(2121221x f x f x x x x --≤-λ和|||)()(|2121x x x f x f -≤- ② 可知 22121212121221|||)()(|||)]()()[()(x x x f x f x x x f x f x x x x -≤-⋅-≤--≤-λ，从而 1≤λ. 假设有则由使得,0)(,000=≠b f a b ①式知 .0)]()()[()(00000200矛盾=--≤-<b f a f b a b a λ∴不存在.0)(,000=≠b f a b 使得 （II ）由)(a f a b λ-= ③可知 220202020)]([)()(2)()]([)(a f a f a a a a a f a a a b λλλ+---=--=- ④ 由和0)(0=a f ①式，得20000)()]()()[()()(a a a f a f a a a f a a -≥--=-λ ⑤由0)(0=a f 和②式知，20202)()]()([)]([a a a f a f a f -≤-= ⑥ 由⑤、⑥代入④式，得 2022022020)()(2)()(a a a a a a a b -+---≤-λλ202))(1(a a --=λ （III ）由③式可知22)]()()([)]([a f a f b f b f +-= 22)]([)]()()[(2)]()([a f a f b f a f a f b f +-+-= 22)]([)]()([2)(a f a f b f ab a b +--⋅--≤λ （用②式）222)]([)]()()[(2)]([a f a f b f a b a f +---=λλ 2222)]([)(2)([a f a b a f +-⋅⋅-≤λλλ （用①式）2222222)]()[1()]([)]([2)]([a f a f a f a f λλλ-=+-=。

2004年高考试题全国卷Ⅳ理科数学（必修+选修Ⅱ）第I 卷参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C k nP k (1－P)n －k一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．已知集合},2|{},2,1,0{M a a x x N M ∈===，则集合N M ⋂= （ ）A ．{0}B ．{0，1}C ．{1，2}D ．{0，2} 2．函数)(2R x e y x ∈=的反函数为（ ）A ．)0(ln 2>=x x yB ．)0)(2ln(>=x x yC ．)0(ln 21>=x x y D ．)0(2ln 21>=x x y 3．过点（－1，3）且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ）A ．012=-+y xB ．052=-+y xC ．052=-+y xD ．072=+-y x 4．)1)31(2ii +-=（ ）A ．i +3B ．i --3C ．i -3D ．i +-3 5．不等式03)2(<-+x x x 的解集为（ ）A ．}30,2|{<<-<x x x 或B ．}3,22|{><<-x x x 或C ．}0,2|{>-<x x x 或D ．}3,0|{<<x x x 或6．等差数列}{n a 中，78,24201918321=++-=++a a a a a a ，则此数列前20项和等于 （ ）A ．160B ．180C ．200D ．220 7．对于直线m 、n 和平面α，下面命题中的真命题是（ ）A ．如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线，那么α//n ；B ．如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线，那么α与n 相交C ．如果m n m ,//,αα⊂、n 共面，那么n m //；D ．如果m n m ,//,//αα、n 共面，那么n m //球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径， 球的体积公式V=334R π其中R 表示球的半径8．已知椭圆的中心在原点，离心率21=e ，且它的一个焦点与抛物线x y 42-=的焦点重合， 则此椭圆方程为（ ）A ．13422=+y x B ．16822=+y x C ．1222=+y x D ．1422=+y x 9．从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（ ）A ．210种B ．420种C ．630种D ．840种10．已知球的表面积为20π，球面上有A 、B 、C 三点.如果AB=AC=2，BC=32，则球心 到平面ABC 的距离为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．211．△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果a 、b 、c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为23，那么b = （ ）A ．231+ B ．31+C ．232+ D ．32+12．设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,21)1(f x f x f f +=+=则=)5(f （ ）A ．0B ．1C ．25 D ．5第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．8)1(xx -展开式中5x 的系数为 .14．向量a 、b 满足（a －b ）·（2a +b ）=－4，且|a |=2，|b |=4，则a 与b夹角的余弦值等于 .15．函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于 . 16．设y x ,满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤+,0,,1y x y y x 则y x z +=2的最大值是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）C已知α为第二象限角，且 sin α=,415求12cos 2sin )4sin(+++ααπα的值. 18．（本小题满分12分）求函数241)1ln()(x x x f -+=在[0，2]上的最大值和最小值. 19．（本小题满分12分） 某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题.竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分.假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响. （Ⅰ）求这名同学回答这三个问题的总得分ξ的概率分布和数学期望； （Ⅱ）求这名同学总得分不为负分（即ξ≥0）的概率. 20．（本小题满分12分）如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，AB=8，AD=43，侧面PAD 为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°.（Ⅰ）求四棱锥P —ABCD 的体积； （Ⅱ）证明PA ⊥BD. 21．（本小题满分12分）双曲线)0,1(12222>>=-b a by a x 的焦点距为2c ，直线l 过点（a ，0）和（0，b ），且点（1，0）到直线l 的距离与点（－1，0）到直线l 的距离之和.54c s ≥求双曲线的离心率e 的取值范围. 22．（本小题满分14分）已知函数0)(),sin (cos )(='+=-x f x x e x f x将满足的所有正数x 从小到大排成数列}.{n x（Ⅰ）证明数列{}{n x f }为等比数列；（Ⅱ）记n S 是数列{}{n n x f x }的前n 项和，求.lim 21nS S S nn +++∞→2004年高考试题全国卷4理科数学（必修+选修Ⅱ）参考答案一、选择题1—12 D C A D A B C A B A B C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．28 14．21-15．4316．2三、解答题17．本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式以及三角函数式的恒等变形等 基础知识和基本技能.满分12分.解：αααααααπα2cos 2cos sin 2)cos (sin 2212cos 2sin )4sin(++=+++.)cos (sin cos 4)cos (sin 2ααααα++= 当α为第二象限角，且415sin =α时41cos ,0cos sin -=≠+ααα，所以12cos 2sin )4sin(+++ααπα=.2cos 42-=α18．本小题主要考查函数的导数计算，利用导数讨论函数的性质，判断函数的最大值、最小 值以及综合运算能力.满分12分. 解：,2111)(x x x f -+=' 令,02111=-+x x 化简为,022=-+x x 解得.1),(221=-=x x 舍去 当)(,0)(,10x f x f x >'<≤时单调增加； 当)(,0)(,21x f x f x <'≤<时单调减少. 所以412ln )1(-=f 为函数)(x f 的极大值. 又因为 ),2()1(,013ln )2(,0)0(f f f f >>-==所以 0)0(=f 为函数)(x f 在[0，2]上的最小值，412ln )1(-=f 为函数)(x f图2Cy图1在[0，2]上的最大值.19．本小题主要考查离散型随机变量的分布列、数学期望等概念，以及运用概率统计知识解 决实际问题的能力.满分12分. 解：（Ⅰ）ξ的可能值为－300，－100，100，300.P （ξ=－300）=0.23=0.008, P （ξ=－100）=3×0.22×0.8=0.096, P （ξ=100）=3×0.2×0.82=0.384, P （ξ=300）=0.83=0.512, 所以ξ的概率分布为根据ξ的概率分布，可得ξ的期望E ξ=（－300）×0.08+（－100）×0.096+100×0.384+300×0.512=180.（Ⅱ）这名同学总得分不为负分的概率为P （ξ≥0）=0.384+0.512=0.896.20．本小题主要考查棱锥的体积、二面角、异面直线所成的角等知识和空间想象能力、分析 问题能力.满分12分. 解：（Ⅰ）如图1，取AD 的中点E ，连结PE ，则PE ⊥AD.作PO ⊥平面在ABCD ，垂足为O ，连结OE. 根据三垂线定理的逆定理得OE ⊥AD ， 所以∠PEO 为侧面PAD 与底面所成的二面角的平面角， 由已知条件可知∠PEO=60°，PE=6， 所以PO=33，四棱锥P —ABCD 的体积 V P —ABCD =.963334831=⨯⨯⨯ （Ⅱ）解法一：如图1，以O 为原点建立空间直角坐标系.通过计算可得P （0，0，33），A （23，－3，0），B （23，5，0），D （－23，－3，0） 所以).0,8,34(),33,3,32(--=--= 因为,002424=++-=⋅BD PA 所以PA ⊥BD.解法二：如图2，连结AO ，延长AO 交BD 于点F.通过计算可得EO=3，AE=23知AD=43，AB=8，得.ABADAE EO = 所以 Rt △AEO ∽Rt △BAD. 得∠EAO=∠ABD.所以∠EAO+∠ADF=90° 所以 AF ⊥BD.因为 直线AF 为直线PA 在平面ABCD 内的身影，所以PA ⊥BD.21．本小题主要考查点到直线距离公式，双曲线的基本性质以及综合运算能力.满分12分. 解：直线l 的方程为1=+bya x ，即 .0=-+ab ay bx 由点到直线的距离公式，且1>a ，得到点（1，0）到直线l 的距离221)1(ba ab d +-=，同理得到点（－1，0）到直线l 的距离222)1(ba ab d ++=.222221cabb a ab d d s =+=+= 由,542,54c c ab c s ≥≥得 即 .25222c a c a ≥- 于是得 .025254,2152422≤+-≥-e e e e 即解不等式，得.5452≤≤e 由于,01>>e 所以e 的取值范围是.525≤≤e 22．本小题主要考查函数的导数，三角函数的性质，等差数列与等比数列的概念和性质，以及综合运用的能力.满分14分. （Ⅰ）证明：.sin 2)cos sin ()sin (cos )(x ex x e x x e x f xx x ----=+-++-='由,0)(='x f 得.0sin 2=--x ex解出n n x ,π=为整数，从而,3,2,1,==n n x n π .)1()(πn n n e x f --=.)()(1π-+-=e x f x f n n所以数列)}({n x f 是公比π--=eq 的等比数列，且首项.)(1q x f =（Ⅱ）解：)()()(2211n n n x f x x f x x f x S +++= ),21(1-+++=n nqq q π),11()21(),2(122n nnn n n n n nq qq q nq qq q qS S nq q q q qS ---=-+++=-+++=-πππ 而).11(1n nn nq qq q q S ----=πnS S S n+++ 21.)1()1()1(2)1()11()1(11)1()1()21()1()1()1()1(2232222222121222q q q q n q q qnq q q q n q q q q n q q q nq q q n q qq q n q q qn nnn n n n -+----=----------=+++--+++---=+--πππππππππ因为0lim .1||=<=∞→-n n q eq π，所以.)1()1(lim 2221+-=-=+++∞→ππππe e q q n S S S n n。