九年级数学上册反比例函数知识点总结及反比例函数练习题

第十三讲 反比例函数第一部分 知识梳理一、反比例函数的解析式1．反比例函数的概念一般地，函数xky =（k 是常数，k ≠0）叫做反比例函数。

反比例函数的解析式也可以写成1-=kx y 的形式。

自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。

2．反比例函数解析式的确定 由于在反比例函数xky =中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式。

二、反比例函数的图像及性质1．反比例函数的图象反比例函数的图象是双曲线，有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。

由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

2．反比例函数的性质3．反比例函数中反比例系数的几何意义①过双曲线x ky =(k ≠0) 上任意一点作x 轴、y 轴的垂线段，所得矩形(如图)面积为k 。

②过双曲线xky =(k ≠0) 上任意一点作任一坐标轴的垂线段，连接该点和原点，所得三角形（如图）的面积为2k ．③双曲线xky =(k ≠0) 同一支上任意两点1P 、2P 与原点组成的 三角形（如图）的面积=直角梯形1221P P Q Q 的面积．第二部分 例题与解题思路方法归纳【例题1】 已知函数()521-+=m x m y 是反比例函数，且图象在第二、四象限内，则m 的值是（ ）A ．2B ．﹣2C ．±2D ．21-〖难度分级〗A 类〖试题来源〗2010年凉山州中考数学试题 〖选题意图〗对于反比例函数)0(≠=k xk y 。

由于11-=x x ，所以反比例函数也可以写成1-=x y （k 是常数，k ≠0）的形式，有时也以xy=k （k 是常数，k ≠0）的形式出现。

（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k ＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．本题需要理解好反比例函数定义中的系数和指数，同时需要掌握反比例函数的性质，这样才能防止漏解或多解。

〖解题思路〗根据反比例函数的定义m 2﹣5=﹣1，又图象在第二、四象限，所以m+1＜0，两式联立方程组求解即可．〖参考答案〗解：∵函数()521-+=m xm y 是反比例函数，且图象在第二、四象限内，yxOQC B AP∴⎩⎨⎧+-=-01152＜m m ，解得m =±2且m ＜﹣1，∴m =﹣2．故选B ．【课堂训练题】1．（2000•甘肃）已知y=y 1+y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x ﹣2成反比例，且当x =1时，y =﹣1；当x=3时，y=5．求y 与x 的函数关系式． 〖难度分级〗A 类〖参考答案〗解：设y 1=k 1x （k 1≠0），y 2=错误!未找到引用源。

∴y=k 1x+错误!未找到引用源。

∵当x=1时，y=﹣1；当x=3时，y=5， ∴⎩⎨⎧=+-=-5312121k k k k ，∴⎩⎨⎧==2121k k 。

∴22-+=x x y 。

2．定义：已知反比例函数x k y 1=与xky 2=，如果存在函数x k k y 21=（k 1k 2＞0）则称函数xk k y 21=为这两个函数的中和函数。

（1）试写出一对函数，使得它的中和函数为xy 2=，并且其中一个函数满足：当x ＜0时，y 随x 的增大而增大。

（2）函数x y 3-=和x y 12-=的中和函数xk y =的图象和函数y =2x 的图象相交于两点，试求当xky =的函数值大于y=2x 的函数值时x 的取值范围。

〖难度分级〗B 类〖参考答案〗解：（1）∵试写出一对函数，使得它的中和函数为错误!未找到引用源。

， 并且其中一个函数满足：当x ＜0时，y 随x 的增大而增大．∴答案不唯一，如错误!未找到引用源。

与错误!未找到引用源。

等； y=x3- （2）∵错误!未找到引用源。

和错误!未找到引用源。

的中和函数错误!未找到引用源。

，联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧==xy x y 26，解之得两个函数图象的交点坐标为（3，32）（3-，32-），结合图象得到当xky =的函数值大于y=2x 的函数值时x 的取值范围是3-＜x 或30＜＜x ． 【例题2】如图所示是反比例函数xn y 42-=的图象的一支，根据图象回答下列问题： （1）图象的另一支在哪个象限？常数n 的取值范围是什么？ （2）若函数图象经过点（3，1），求n 的值；（3）在这个函数图象的某一支上任取点A （a 1，b 1）和点B （a 2，b 2），如果a 1＜a 2，试比较b 1和b 2的大小．〖难度分级〗B 类〖试题来源〗2010年肇庆市中考数学试题〖选题意图〗本题主要考查反比例函数图象的性质和待定系数法求函数解析式的方法，需要熟练掌握．〖解题思路〗（1）根据反比例函数图象的性质，这一支位于第一象限，另一支一定位于第三象限；（2）把点的坐标代入反比例函数求出n 值，即可求出函数解析式；（3）根据反比例函数图象的性质，当k ＞0时，在每个象限内，函数值y 随x 增大而减小。

〖参考答案〗解：（1）图象的另一支在第三象限．由图象可知，2n ﹣4＞0，解得：n ＞2 （2）将点（3，1）代入x n y 42-=得：3421-=n ，解得：n=错误!未找到引用源。

； （3）∵2n ﹣4＞0，∴在这个函数图象的任一支上，y 随x 增大而减小， ∴当a 1＜a 2时，b 1＞b 2． 【课堂训练题】 1．如图是反比例函数xm y 5-=的图象的一支． （1）求m 的取值范围，并在图中画出另一支的图象；（2）若m=﹣1，P （a ，3）是双曲线上点，PH ⊥y 轴于H ，将线段OP 向右平移3PH 的长度至O′P′，此时P 的对应点P′恰好在另一条双曲线xky =的图象上，则平移中线段OP 扫过的面积为 ，k= ．（直接填写答案）〖难度分级〗B 类〖参考答案〗解：（1）由反比例函数的图象可知m ﹣5＜0，即m ＜5． （2）∵m=﹣1，∴反比例函数x m y 5-=的解析式为xy 6-=， 把P （a ，3）代入上式得a=﹣2．向右平移3PH ，可得P′坐标为（4，3），第一象限内抛物线解析式为xy 12=． S ▱oo'p ′p =S ▭A′PP′A =2×3+4×3=18．则平移中线段OP 扫过的面积为18，k=12．2．（2006•临沂）我们学过二次函数的图象的平移，如：将二次函数23y x =的图象向左平移2个单位，再向下平移4个单位，所图象的函数表达式是23(2)4y x =+-。

类比二次函数的图象的平移，我们对反比例函数的图象作类似的变换：（1）将y=错误!未找到引用源。

的图象向右平移1个单位，所得图象的函数表达式为 ，再向上平移1个单位，所得图象的函数表达式为 ；（2）函数y=错误!未找到引用源。

的图象可由y=错误!未找到引用源。

的图象向 平移 个单位得到；y=错误!未找到引用源。

的图象可由哪个反比例函数的图象经过怎样的变换得到；（3）一般地，函数y=错误!未找到引用源。

（ab≠0，且a≠b ）的图象可由哪个反比例函数的图象经过怎样的变换得到？ 〖难度分级〗B 类〖参考答案〗解：（1）可设新反比例函数的解析式为y=错误!未找到引用源。

，可从原反比例函数找一点（1，1），向右平移1个单位得（2，1），代入解析式可得：a=﹣1．故所得图象的函数表达式为错误!未找到引用源。

；再向上平移1个单位，所得图象的函数表达式为错误!未找到引用源。

．（2）先把函数化为标准反比例的形式y=错误!未找到引用源。

+1，然后即可根据反比例函数图象平移的性质解答：y=错误!未找到引用源。

可转化为错误!未找到引用源。

．故函数y=错误!未找到引用源。

的图象可由y=错误!未找到引用源。

的图象向上移1个单位得到；y=错误!未找到引用源。

的图象可由反比例函数错误!未找到引用源。

的图象先向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到．（3）函数错误!未找到引用源。

（ab≠0，且a≠b ）可转化为错误!未找到引用源。

．当a ＞0时，错误!未找到引用源。

的图象可由反比例函数错误!未找到引用源。

的图象向左平移a 个单位，再向上平移1个单位得到；当a ＜0时，错误!未找到引用源。

的图象可由反比例函数错误!未找到引用源。

的图象向右平移﹣a 个单位，再向上平移1个单位得到． 【例题3】在反比例函数xky =的图象的每一条曲线上，y 都随x 的增大而减小． （1）求k 的取值范围；（2）在曲线上取一点A ，分别向x 轴、y 轴作垂线段，垂足分别为B 、C ，坐标原点为O ，若四边形ABOC 面积为6，求k 的值． 〖难度分级〗B 类〖试题来源〗2009年湖南省湘西自治州中考数学试题 〖选题意图〗 主要考查了反比例函数xky =中k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k 的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 的关系即S=错误!未找到引用源。

|k|．〖解题思路〗（1）直接根据反比例函数的性质求解即可，k＞0；（2）直接根据k的几何意义可知：过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，所以|k|=6，而k＞0，则k=6．〖参考答案〗解：（1）∵y的值随x的增大而减小，∴k＞0．（2）由于点A在双曲线上，则S=|k|=6，而k＞0，所以k=6．【课堂训练题】1．（2009•莆田）如图，在x轴的正半轴上依次截取OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5，过点A1、A2、A3、A4、A5分别作x轴的垂线与反比例函数y=错误!未找到引用源。

（x≠0）的图象相交于点P1、P2、P3、P4、P5，得直角三角形OP1A1、A1P2A2、A2P3A3、A3P4A4、A4P5A5，并设其面积分别为S1、S2、S3、S4、S5，则S5的值为．〖难度分级〗B类〖参考答案〗解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，S=错误!未找到引用源。

|k|．所以S1=1，S2=错误!未找到引用源。

S1=错误!未找到引用源。

，S3=错误!未找到引用源。

S1=错误!未找到引用源。

，S4=错误!未找到引用源。

S1=错误!未找到引用源。

，S5=错误!未找到引用源。

S1=错误!未找到引用源。

．2．如图，已知A、C两点在双曲线上，点C的横坐标比点A的横坐标多2，AB⊥x轴，CD⊥x 轴，CE⊥AB，垂足分别是B、D、E．（1）当A的横坐标是1时，求△AEC的面积S1；（2）当A的横坐标是n时，求△AEC的面积S n；（3）当A的横坐标分别是1，2，…，10时，△AEC的面积相应的是S1，S2，…，S10，求S1+S2+…+S10的值．〖难度分级〗B类〖参考答案〗解：（1）∵点A 的坐标为（1，1）， ∴反比例函数的比例系数k 为1×1=1；∵A 的横坐标是1，点C 的横坐标比点A 的横坐标多2，∴点A 的纵坐标为1，点C 的横坐标为3，纵坐标为错误!未找到引用源。