面对高考《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》同课异构的教学启示

“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”的“同课异构”之思考宁夏育才中学孔德学区 马海荣2009年4月11日，宁夏育才中学邀请上海闵行区专家在宁夏育才中学开展“聚焦课堂”活动.此次所选课题为普通高中课程标准实验教科书人教A 版必修④第三章“三角恒等变换”中的“3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式”.上海的杨家政专家和我校的三位教师对本节课进行了“同课异构”。

本文笔者也是此次做课者之一，通过此次活动，对课堂教学有了些思考与感悟，写出来与大家交流、讨论。

1 教学过程设计介绍专家的教学环节设计：环节一，复习引入.复习第一章中学过的六组诱导公式.tan )2tan(,cos )2cos(,sin )2sin(ααπααπααπ=+=+=+k k k .t a n )t a n (,c o s )c o s (,s i n )s i n (ααπααπααπ=+-=+=+ .t a n )t a n (,c o s )c o s (,s i n )s i n (αααααα-=-=--=- 其中Z k ∈ .tan )tan(,cos )cos(,sin )sin(ααπααπααπ-=--=-=- .c o t )2t a n (,s i n )2c o s (,c o s )2s i n (ααπααπααπ=-=-=- .c o t )2t a n (,s i n )2c o s (,c o s )2s i n (ααπααπααπ-=+-=+=+ 和上节课学过的两角差的余弦公式βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-，并着重强调了第三组、第五组诱导公式、两角差的余弦公式.环节二，提出问题，推导公式)()()(,,βαβαβα±±+T S C问题1：可否用α和β的三角函数表示βα+的余弦呢？问题2：已知可用α和β的三角函数表示βα±的余弦，可否用于表示βα+及βα-的正弦呢？已知的和差角余弦公式是否有助于正弦公式的推导呢？（对于问题1教师引导学生用β-替换β推导公式)(βα+C ，对于问题2先回顾了诱导公式三及公式五，然后两人一组，一人推导)(βα+S ，一人推导)(βα-S ，然后再相互交换推导）问题3：如何用α和β的正切值表示βα+及βα-的正切呢？（师生共同解决） 环节三，强调公式特征.环节四，例题、习题讲解例1已知αα,54sin -=是第四象限角，求)4tan(),4cos(),4sin(πααπαπ-+-的值. 思考：由以上可以看到)4cos()4sin(απαπ+=-.那么对任意的角α都成立吗？会用几种方法证明？变式：（1）已知,1027)4sin(=-απ且απ-4是第二象限角，求αsin 的值 （2）若2,0,135)cos(,53cos πβαβαα<<-=+=，求βcos . 例2 利用和（差）角公式计算下列各式的值. （1）42sin 72cos 42cos 72sin -； （2） 70sin 20sin 70cos 20cos -； （3）15tan 115tan 1-+ 变式：（1） 18sin 48cos 42cos 72sin +；（2）)3cos()12cos()6cos()125cos(απαππαπα--+++； （3）化简)6sin(23)6cos(21παπα+++； （4）将ααcos sin b a +化简成一个三角函数形式.（推导完公式后，由于时间关系，只解决了例题1及例题1中的变式（1））环节五，课堂小结与作业.小结时给出了6个公式的逻辑联系框图..宁夏育才中三位教师教学环节设计（用A 、B 、C 分别代表三位教师）教师A 的环节设计：环节一，设置问题，引发思考，引入新课教师和同学们简单回顾了第一章中学过的诱导公式及同角三角函数的基本关系1cos sin 22=+αα，αααcos sin tan =，复习了两角差的余弦公式，给出思考题?75cos = ?15sin = ?75sin = 能否由公式)(βα-C 出发，推导出两角和与差的正弦、余弦公式，解决上述问题？环节二，公式推导)()(,βαβα±+S C （教师A 将这节课划分为两课时，第一课时推导两角和与差的正弦、余弦公式，第二课时推导两角和与差的正切公式）环节三，分析公式特点及结构，让学生画出公式的逻辑联系框图环节四，公式的应用随堂练习1 利用正弦、余弦的和（差）角公式，求下列各式的值.（1） 75cos ； （2） 75sin ； （3） 15sin .例1 已知αα,53sin -=是第四象限角，求)4cos(),4sin(απαπ+-的值. 思考：（1）由例1的解答可以看到，在本题条件下有)4cos()4sin(απαπ+=-.那么对任意的角α，此等式成立吗？若成立，如何证明？（2）若例1中去掉“α是第四象限角”，对例1的结果和求解过程会有什么影响？ 例2 利用正弦、余弦的和（差）角公式计算下列各式的值.（1） 42sin 72cos 42cos 72sin -； （2） 70sin 20sin 70cos 20cos -. 变式训练化简：（1）ββαββαsin )cos(cos )sin(-+-；（2）x x sin 23cos 21-. （随堂练习1学生很轻松的给于了解答，例1师生分析后，由教师板演在黑板上，起到了示范作用，并在解答过程中点出了式子)sin (cos 22)4sin(αααπ-=-和)sin (cos 22)4cos(αααπ-=+，为后续学习作了伏笔.例2及变式训练由学生解决，但变式训练的第（2）小题没有在课堂上给学生给出）环节五，课堂小结与作业（小节中强调了三个方面：①公式的逻辑联系框图；②对公式的认识；③例1的作用，即解题过程中要注重思维的有序性和表述的条理性.） 教师B 的环节设计：环节一，引入.1.上节课，我们学习了两角差的余弦公式)(βα-C ，这个公式是两个角差的余弦值与两个角的正弦值、余弦值之间的关系，请同学们默写该公式.2. 学习了两角差的余弦公式，那么自然就想到两角和的余弦以及两角和与差的正弦、正切公式.（板书课题）环节二，新课讲解，推导公式)()()(,,βαβαβα±±+T S C ，并在每个公式得出后给出例题及练习.例1 不查表计算75cos 的值.练习 不查表求 70sin 20sin 70cos 20cos -的值.例2 不查表计算 （1） 105sin ； （2） 42sin 72cos 42cos 72sin -练习 求值： 40cos 70sin 50cos 20sin - 例3 不查表求（1）105tan ；（2）15tan 115tan 1-+. 练习 求值： 28tan 17tan 28tan 17tan ++（前两个例题及练习学生解答的较好，两角和与差的正切公式推导出来后，时间已不多，师生对例3的处理有点仓促，尤其是例3的第（2）小题，例3中的练习没有解决掉.）环节三，课堂小结与作业（给出了公式的逻辑联系框图）.教师C 的环节设计：环节一，引入. 若),2,0(,135cos ),2,0(,53sin πββπαα∈=∈=求)cos(),cos(βαβα+-的值.环节二，推导公式)()()(,,βαβαβα±±+T S C .，并给出公式的逻辑联系框图.环节三，例题及练习.跟踪练习：=+)cos()1(ϕθ ；=-)sin()2(B A ；)3( 42sin 72cos 42cos 72sin -= .例1 已知αα,53sin -=是第四象限角，求)4tan(),4cos(),4sin(πααπαπ-+-的值. 变式引申：由上题解答过程可以看到 )4cos()4sin(απαπ+=-，那么对任意的角α，此等式成立吗？若成立，你会用几种方法证明？环节四，课堂小结及作业.（小结内容：①在公式的探索过程中应用了什么样的数学思想？②对公式的对称美与简洁美你有何体会？③学会思考问题时思维的有序性和表述的条理性）2 对课本意图的研究《普通高中数学课程标准》（实验）和《数学必修④教师教学用书》对本节课给出的参考课时是1课时，以探究形式呈现本节知识，主要任务是探究两角和的余弦公式、两角和与差的正弦、正切公式，并设置了两道例题.解读课本，本节课一是以学生为主推导公式，二是发展和培养学生的逻辑推理能力和运算能力。

课标要求是能从两角差的余弦公式出发导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并了解他们的内在联系.课本第一道例题是运用和差角公式的基础题，主要目的是为了训练学生思维的有序性，培养他们良好的思维习惯，并注重解题过程中表述的准确性、简洁性.课本第二道例题体现了对公式全面理解上的要求，考查学生的逆向思维.3 教学实际的研究通过对我校高中教师与学生的调查，如果按照教参上1课时的要求上课，教师很难完成教学任务，学生对本节知识的理解也是夹生的，另外本节课也是学生初次使用恒等变换去推理、解答问题，他们分析问题的能力和逻辑推理的能力都有所欠缺，并且面对新问题如何运用已学知识和方法去解决存有困惑.因此，本节课计划2课时较为恰当.如何划分本节知识及开展教学，这次的“同课异构”展现了两种模式：一是有三位老师把五个公式)()()(,,βαβαβα±±+T S C 在本节课都推导出来；二是教师A 本节课只推导了公式)()(,βαβα±+S C ，把推导公式)(βα±T 安排在下一课时.（意图：基于学情分析，结合教材，把本节课中的两个难点分散在两节课中，分散解决.）4 课例教学反思4.1 教学对象研究的反思此次四节课的教学对象均为宁夏育才中学高一年级的学生，生源地为宁夏南部山区学生，学生整体基础较为薄弱.学生在必修④第一章学习了六组诱导公式，以及第三章第一节中的两角差的余弦公式，具备了一定的知识基础，但由于学生初次使用恒等变换去推理、解答问题，他们分析问题的能力和逻辑推理的能力都有所欠缺，并且面对新问题如何运用已学知识和方法去解决存有困惑.另外，从此次的4节课来看，学生的运算能力普遍较差，对三角函数中的任意角的理解还不够深刻，对数学中的换元法的思想也理解不够，在公式的推导过程中对以β-替换β显得有些茫然.在本节课中学生的困难点有两个：一是利用诱导公式五（或六）结合两角和（差）的余弦公式推导两角和（差）的正弦公式时如何有效的对角))(2(βαπ+-进行重新组合，另一个难点是两角和与差的正切公式的推导过程中的化简.这两个难点也在这节课中突出的表现了出来.4.2 新课引入的对比分析四节课的引入，上海的杨家政老师在引入新课上做的非常好、非常到位，关注了学生已有的知识，依据“最近发展区” 理论，回顾了旧知，激发了学生探究新知的兴趣；A 教师引入新课时对诱导公式只是提到，没有具体写出来，给学生的问题方向不够具体；B 教师的引入没有调动起学生旧有的知识； C 教师的引入中给的问题有一定的难度，对学生思维干扰较大..4.3 例题的选择与处理的反思从四位教师的教学设计中可以看到各自选择的例题.专家、教师A 和教师C 的第一道例题都采用了课本上的例3，其中专家改变了例题中的一个条件，教师A 由于本节课只设计了推导两角和与差的正弦、余弦公式，故去掉了例题中计算)4tan(πα-的值，教师C 全部采用了课本例题，而教师B 没有采用课本的例3.从例题实施情况看，专家对例1进行了讲解，并与课本例题对比，有效的加深了学生对该例题后的思考题的理解，由于课堂时间不够，后面的习题没有处理；教师A 对设计例1进行了详细的讲解，并板书在黑板上，且有意保留了运算过程中的)s i n (c o s 22)4s i n (αααπ-=-和)sin (cos 22)4cos(αααπ-=+，这是后续知识的一个伏笔，另外对例1后设计的思考题由学生进行了思考、回答.例2及其变式训练也由学生完成，但变式训练（2）教师在课堂上舍掉了；教师B 设计的例题在课堂上都进行了，但例3中第（2）题难度较大，处理的仓促；教师C 只设计了例1.教学除了研究教学内容、教参、课标以外，更应关注学生，因此选择例题时要充分考虑学生的实际情况.学生学完诱导公式已经间隔了较长一段时间，且刚刚学习了两角差的余弦公式，加上本节课推导出的公式，学生在认识公式的结构特点、功能和应用上都有些生涩，因此例题难度不应较大，容量也不应过多.4.4 课堂小结的反思四位教师的课堂小结都是在马上下课时进行的，一是时间紧，总结的不够细致；二是基本上都是教师总结的，学生参与的少.课堂小结应让学生独立自主的总结，进一步澄清概念、梳理知识，总结方法，教师是帮助者，对学生总结的不到之处加以补充，完善.课堂教学结束阶段的概括、总结，对教学内容或教学活动可以起到系统概括、提炼升华的作用，而且能拓宽教学内容，进一步激发学生的兴趣和求知欲.因此，我们要根据实际需要，鼓励学生做好课堂小结，教师要设计好课堂结束阶段的教学环节.此次的“同课异构”使我们看到了数学课堂的多样性，可“同课异构”中的“同”和“异”又是什么呢？显然，“同”是教学内容，是研究“教什么”的问题，是方向问题，“异”是教学方法，是研究“怎么教”的问题,是技巧问题。