一类具有时滞和Gompertz增长率的捕食系统的全局稳定性

ｓ ｔ ａ ｂｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ ｆ ｅ ａ ｓ ｉ ｂ ｌ ｅ ｅ ｑ ｕｉ ｌ ｉ ｂｒ ｉ ａ ａ ｎｄ ｔ ｈｅ ｅ ｘ ｉ ｓ ｔ ｅ ｎｃ ｅ ｏ ｆ Ｈ ｏ ｐｆ ｂｉ ｆ ｕｒ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎｓ ａ ｒ ｅ ｅ ｓ ｔ ａｂ ｌ ｉ ｓ ｈｅ ｄ ． Ｂｙ ｕｓ ｉ ｎ ｇ ｓ ｕ ｉ ｔ ａ ｂｌ ｅ Ｌｙ ａ ｐ ｕｎ ｏｖ ｆ ｕｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎａ ｌ ａ ｎ ｄ Ｌａ Ｓ ａ ｌ ｌ ｅ ’ Ｓ ｉ ｎｖ ａ ｒ ｉ ａ ｎｃ ｅ ｐ ｒ ｉ ｎｃ ｉ ｐ ｌ ｅ， ｗｅ ｇ ｉ ｖ ｅ ａ ｓ ｕｆ ｆ ｉ ｃ ｉ ｅ ｎ ｔ ｃ ｏ ｎｄ ｉ ｔ ｉ ｏｎ ｆ ｏｒ ｔ ｈ ｅ ｇ ｌ ｏ ｂａ ｌ ａ ｓ ｙｍｐｔ ｏｔ ｉ ｃ ｓ ｔ ａ ｂｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ ｔ ｈｅ ｐ ｏｓ ｉ ｔ ｉ ｖ ｅ ｅ ｑ ｕｉ ｌ ｉ ｂ ｒ ｉ ｕｍ ． Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ： ｔ ｉ ｍｅ ｄ ｅ ｌ ａ ｙ； ｆ ｕ ｎｃ ｔ ｉ ｏ ｎａ ｌ ｒ ｅ ｓ ｐｏ ｎｓ ｅ； Ｇｏｍｐｅ ｒ ｔ ｚ ｇｒ ｏ ｗｔ ｈ ｒ ａ ｔ ｅ； ｇｌ ｏ ｂａ ｌ ｓ ｔ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ
一
类 具 有 时滞 和 Ｇ ｏ ｍｐ ｅ ｒ ｔ ｚ 增 长 率 的 捕食系统 的全局稳定性
李 梁 晨 ，徐瑞
（ 军 械 工 程 学 院 基 础 部 ，河 北 石 家 庄 ０ ５ ０ ０ ０ ３ ）
摘 要 ：研 究 一 类具 有 时滞 和 Ｇ ｏ ｐ ｍｅ ｒ ｔ ｚ 增 长率 的捕 食 系统 ． 通 过 分 析 相 应 特 征 方 程 根 的分 布 ， 讨 论 可 行 平 衡 点 的 局
Ｇｌ ｏ ｂ ａ ｌ Ｓ ｔ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ ａ Ｐｒ ｅ ｄ ａ ｔ ｏ ｒ — Ｐｒ ｅ ｙ Ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ ｗｉ ｔ ｈ
Ｔｉ ｍｅ Ｄｅ ｌ ａ ｙ ａ ｎ ｄ Ｇｏ ｍ ｐｅ ｒ ｔ ｚ Ｇｒ ｏ ｗｔ ｈ Ｒａ ｔ ｅ
ＬＩ Ｌｉ ａ ｎ ｇ — ｃ ｈｅ ｎ， ＸＵ Ｒｕ ｉ （ Ｂ ａ ｓ ｉ ｃ Ｃ ｏ ｕ ｒ ｓ ｅ ｓ Ｄｅ ｐ ａ ｒ ｔ ｍｅ ｎ ｔ ， Ｏｒ ｄ ｎ ａ ｎ ｃ ｅ Ｅｎ ｇ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ Ｃｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ ， Ｓ ｈ ｉ ｊ ｉ ａ ｚ ｈ ｕ ａ ｎ ｇ ０ ５ ０ ０ ０ ３ ， Ｃｈ ｉ ｎ ａ ）
了 Ｇｏ ｍｐ ｅ ｒ ｔ ｚ 增长率 模 型
ｄ ｘ（ ｔ ）
一 ｚ
） ｌ ｎ
ｎ ， ’
ｌ （ 一 ） 一 等 Ｔ
一 ２ ㈩， （ ） ，
式 中： ｒ 为种 群 的 自然 增 长 率 ， ｒ Ｉ ｎ （ Ｋ／ ｚ（ ｔ ） ） 为种
群 相对 增长 率． 考 虑 到捕 食 者繁 衍 后 代需 要 一定 的时 １ ９， 本 文 引入 时滞 ｒ ， 得 到改进 后 的系统
在 文 献 ［ １ ］中 陈 兰 荪 和 井 竹 君 研 究 了
Ｒｏ ｓ ｅ ｎ ｚ ｗｅ ｉ ｇ — Ｍａ ｃ Ａｒ ｔ ｈ ｕ ｒ 系 统
一 一 一 ，
当被捕 食 者是 某 种 生长 周 期 较短 的动植 物 时 ，
其 增长率 更符 合对 数衰减 形式 ， 因此 文献 ［ ３ ］ 中使用
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ： Ｉ ｎ ｔ ｈ ｉ ｓ ｐａ ｐ ｅ ｒ ， ｗｅ ｉ ｎｔ ｒ ｏ ｄｕ ｃ ｅ Байду номын сангаас ａ ｐ ｒ ｅ ｄ ａ ｔ ｏ ｒ — ｐ ｒ ｅ ｙ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ ｗｉ ｔ ｈ ｔ ｉ ｍｅ ｄ ｅ ｌ ａ ｙ ａ ｎ ｄ Ｇｏｍ ｐｅ ｒ ｔ ｚ ｇ ｒ ｏ ｗｔ ｈ ｒ ａ ｔ ｅ ． Ｂｙ ａ ｎ ａ ｌ ｙ ｚ ｉ ｎｇ ｔ ｈｅ ｒ ｏ ｏ ｔ ｓ ｏ ｆ ｔ ｈｅ ａ ｓ ｓ ｏｃ ｉ ａ ｔ ｅ ｄ ｃ ｈａ ｒ ａ ｃ ｔ ｅ ｒ ｉ ｓ ｔ ｉ ｃ ｅ ｑｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ ，ｔ ｈ ｅ ｌ ｏ ｃ ａ ｌ
第２ ７ 卷 第 ２期
２ ０ １ ５年 ４月
军
械
工
程
学
院
学
报
Ｖ０ｌ ＿ ２ ７ Ｎｏ． ２
ＡＤ ｒ ． ２ ０１ ５
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｏｒ ｄ ｎ ａ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｎ ｇ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ Ｃｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ
ｄ ｏ ｉ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｉ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ ８ — ２ ９ ５ ６ ． ２ ０ １ ５ ． ０ ２ ． ０ １ ５
： ｒｌ Ｘ㈩ ・ ｎ 一 ，
式 中： ｚ（ ） 和 ． ｙ （ ｔ ） 分别 为被捕 食 者 和捕食 者 在 ｔ时 刻 的密度 ， ａ ， ａ ， ｒ ， ｒ 。和 Ｋ 均 为正 常数 ；ｒ 为 被 捕 食 者 种 群 的 自然 增 长 率 ， Ｋ 为环境 容纳量，
部稳定性 ， 得 到 系 统 出 现 Ｈｏ ｐ ｆ 分 支 的条 件 ． 通过构 造 Ｌ ｙ ａ ｐ ｕ ｎ ｏ ｖ泛 函 和 应 用 Ｌ ａ Ｓ ａ ｌ ｌ ｅ不 变 原 理 ， 给 出 正 平 衡 点 全 局
渐近 稳 定 的充 分 条 件 ． 关 键 词 ： 时滞 ；功 能 性 反 应 ； Ｇ ｏ ｍｐ ｅ ｒ ｔ ｚ 增 长 率 ；全 局 稳 定 性 中 图分 类 号 ：Ｏ１ ７ ５ ． １ 文 献 标 识 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：１ ０ ０ ８ — ２ ９ ５ ６（ ２ ０ １ ５ ）０ ２ — ０ ０ ７ ４ — ０ ５