第一章 绪论
1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。
解：近似值*x 的相对误差为*
****
r e x x
e x x δ-=
=
= 而ln x 的误差为()1
ln *ln *ln **
e x x x e x =-≈
进而有(ln *)x εδ≈
2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。 解：设()n
f x x =，则函数的条件数为'()
|
|()
p xf x C f x = 又1
'()n f x nx
-=, 1
||n p x nx C n n
-⋅∴== 又
((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅
且(*)r e x 为2
((*))0.02n r x n ε∴≈
3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指
出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *
456.430x =,*57 1.0.x =⨯
解：*
1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =⨯是二位有效数字。
4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x .
其中****
1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。 解：
*4
1*
3
2*
13*
3
4*
1
51()1021()1021()1021()1021()102
x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯
***
124***1244333
(1)()()()()
1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯ ***
123*********123231132143
(2)()
()()()
111
1.10210.031100.031385.610 1.1021385.610222
0.215
x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈
**
24****
24422
*4
33
5
(3)(/)
()()
11
0.0311056.430102256.43056.430
10x x x x x x x
εεε---+≈
⨯⨯+⨯⨯=
⨯=
5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为343
V R π=
则何种函数的条件数为
2
3'4343
p R V R R C V R ππ===
(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=
又
(*)1r V ε=%1
故度量半径R 时允许的相对误差限为εr (V ∗)=1
3
∗1%=
1
300
6．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -= （n=1,2,…）
计算到100Y 27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差？
解：1n n Y Y -=-
10099Y Y ∴=
9998Y Y =
9897Y Y =……
10Y Y =
依次代入后，有1000100Y Y =-
即1000Y Y =
27.982≈, 100027.982Y Y ∴=-
*
310001()()(27.982)102
Y Y εεε-∴=+=⨯
100Y ∴的误差限为31
102
-⨯。
7．求方程25610x x -+=的两个根，使它至少具有427.982=）。 解：25610x x -+=，
故方程的根应为1,228x =
故 1282827.98255.982x =≈+=
1x ∴具有5位有效数字
211
280.0178632827.98255.982
x =-=
≈
=≈+
2x 具有5位有效数字
8．当N 充分大时，怎样求1
2
1
1N N
dx x ++⎰
？ 解
1
2
1
arctan(1)arctan 1N N
dx N N x
+=+-+⎰
设arctan(1),arctan N N αβ=+=。 则tan 1,tan .N N αβ=+=
1
22
11arctan(tan())
tan tan arctan
1tan tan 1arctan
1(1)1
arctan 1
N N dx x N N
N N
N N αβ
αβαβ
αβ++=-=--=++-=++=++⎰ 9．正方形的边长大约为了100cm ，应怎样测量才能使其面积误差不超过21cm ？ 解：正方形的面积函数为2
()A x x =
(*)2*(*)A A x εε∴=.
当*100x =时，若(*)1A ε≤, 则21
(*)102
x ε-≤
⨯ 故测量中边长误差限不超过0.005cm 时，才能使其面积误差不超过21cm 10．设2
12S gt =
，假定g 是准确的，而对t 的测量有0.1±秒的误差，证明当t 增加时S 的绝对误差增加，而相对误差却减少。 解：
2
1,02
S gt t =
> 2
(*)(*)S gt t εε∴= 当*t 增加时，*S 的绝对误差增加
