初一数学方程（组）的应用练习1、用如课本图4-10中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如课本图4-11的竖式和横式两种无盖纸盒．现在仓库里有1000张正方形纸板和2000张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完?解：由上图可知，做第一种无盖纸盒需要4块长方形，1个正方形；做第二种纸盒需要3个长方形，2个正方形；可以设做第一种纸盒x 个，第二种纸盒y 个，则有方程组①左右两边同时乘以4，可得4x+8y=4000，上下相减，可得5y=2000，y=400，则x=200解得：x=200，y=4002.某车间每天能生产甲种零件120个，或乙种零件100个，甲、乙两种零件分别取3个、2个才能配成一套，现要在30天内生产最多的成套产品，问怎样安排生产甲、乙两种零件的天数？解：设安排生产甲、乙两种零件分别x 、y 天，则解得：x=16，y=13又因为x ，y 为整数，所以x=17，y=133、某厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺栓25个或螺母20个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套？ 解：设每天分别安排x ，y 名工人生产螺栓，螺母解得：x=34，y=85解：设成本价分别为x ，y 元解：设制作两种工艺品分别为.甲说：设七年级、八年级人数分别为方案三：设粗加工、精加工分别为解：A 村运往C 地x 吨，B 村运往C 地y 吨16、某文化用品商店计划同时购进一批A 、B 两种型号的计算器，若购进A 型计算器10只和B 型计算器8只，共需要资金880元；若购进A 型计算器2只和B 型计算器5只，共需要资金380元．(1) 求A 、B 两种型号的计算器每只进价各是多少元？(2) 该经销商计划购进这两种型号的计算器,根据市场行情，销售一只A 型计算器可获利10元，销售一只B 型计算器可获利15元．该经销商希望销售完这两种型号的计算器，所获利润为60元．则该经销商有哪几种进货方案？解：设A 、B 两种计算器的进价分别为x ，y 元（1）解得x=40，y=60（2）设进A 、B 计算器分别为z 、w 件，则 10z+15w=60，显然z 、w 必须为整数，因此 z=0,w=4;z=1,w 为非整数 z=2，w 为非整数 z=3，w=2z=4，w 为非整数 z=5，w 为非整数 z=6，w=0,所有有三种方案其实本题还可以进一步分析，由于15在60以内的整数倍只能是0、15、30、45、60，因此就要求（60-10z ）/15必须为15、30、45或60，显然60-10z 的结果只可能为60、50、40、30、20、10、0，而只有60、30、0满足条件，在这三种情况下z 分别为0、3、6，w 则分别为4、2、0。
完整版)初一数学列方程解应用题归类含答案一、等积变形问题常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形状变化，但体积不变。
①圆柱体的体积公式为V=底面积×高=S·h=πrh②长方体的体积为V=长×宽×高=abc1.一段铁丝围成长方形，发现长比宽多2cm；围成正方形时，边长刚好为4cm。
求所围成的长方形的长和宽各是多少？解：设长方形的长为x，宽为x-2，则有x+x-2+4=4x，解得x=6，所以长方形的长为6cm，宽为4cm。
2.用一个底面半径为40mm，高为120mm的圆柱形玻璃杯向一个底面半径为100mm的大圆柱形玻璃杯中倒水，倒了满满10杯水后，大玻璃杯的液面离杯口还有10mm，大玻璃杯的高度是多少？解：由于10杯水的体积为10×40×40×π×120=π mm³，而大玻璃杯的底面积为100×100×π=π mm²，所以大玻璃杯的高度为π/π-10=22mm。
3.一个长方形养鸡场的长边靠墙，墙长14米，其他三边用竹篱笆围成。
现有长为35米的竹篱笆，小王打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多5米；小赵也打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多2米。
你认为谁的设计符合实际？按照他的设计，鸡场的面积是多少？解：设鸡场的长为x，宽为y，则有x+y=35，x-14=y+5或x-14=y+2，解得x=24，y=11或x=21，y=14.所以小王的设计符合实际，鸡场的面积为24×11=264平方米。
4.将一个装满水的内部长、宽、高分别为300毫米，300毫米和80毫米的长方体铁盒中的水，倒入一个内径为200毫米的圆柱形水桶中，正好倒满，求圆柱形水桶的高（精确到0.1毫米，π≈3.14）。
解：长方体铁盒中的水的体积为300×300×80=xxxxxxxmm³，而圆柱形水桶的体积为π×100×100×h=πh，所以h=xxxxxxx/(π)=229.18mm。
第七讲列方程（组）解应用题趣题引路】两辆汽车从同一地点同时出发，沿同一方向同速直线前进，每车最多能带24桶汽油，每桶汽油可以使一辆车前进60 km，两车都必须返回出发地点，但可以不同时返回，两车均可以借对方的油，为了使一辆车尽可能地远离出发点，另一辆车应该在离出发点___________k m的地方返回．解析要使甲车尽量走远，应使两车分别时甲车装满24桶汽油，而乙车留下供两车返回时所用的油．设从开始出发到分别，甲、乙车各用了x桶油，则乙车应留下2x桶油，并借给甲车x油，使甲车装满24桶油，依据题意，列方程x＋x＋2x＝24.解得x＝6.60×6＝360（km）.所以，乙车应在离出发点360 km处返回．点评解应用题关健在于挖掘题目中隐含的等量关系，用来列代数式或建立方程.知识延伸】例1甲、乙两人分别从A、B两地同时相向匀速前进，第一次相遇在距A点700m处，然后继续前进，甲到B地，乙到A地后都立即返回，第二次相遇在距B点400m处，求A、B两地间的距离是多少米？解析设A、B两地间的距离是x m，第一次相遇甲走了700 m，第一次相遇后到第二次相遇甲走了（x －700）＋400＝(x－300) m，因为甲、乙两人速度不变，甲、乙两人第一次相遇共走了x m，第一次相遇后到第二次相遇两人共走了2x m，所用时间是第一次相遇所用时间的2倍，所以早甲第一相遇后到第二次相遇所走路程应为第一次相遇所走路程的2倍，即x－300＝2×700.解得x＝1700 m.所以，A、B两地间的路程是1700 m．点评弄清以下问题是解题的关键：（1）甲、乙两人从开始到相遇所用时间有什这关系？（2）所走路程之和是多少？（3）第一次相遇后到第二次相遇，甲、乙两人所走路程之和是多少？(4)所用时间是第一次相遇时间的几倍？例2有甲、乙两种酒精溶液，甲种溶液的浓度为95%，乙种溶液的浓度为80%，要想得到浓度为85%的溶液270 g，应从甲、乙两种酒精溶液中各取多少克？解析设95%的酒精取x g，80%的酒精取y g则有27095%80%27085%x yx y+=⎧⎨+=⨯⎩，解得90180xy=⎧⎨=⎩，即95%的酒精取90 g，80%的酒精取180 g.另解：已知x＋y＝270，只需求出x：y即可快速求出x、y．一般要求出x：y,需要有一个关于x、y的齐次方程.②式中有常数项，只要想法消掉常数项即可.把270用x+y代入，则有95%x+80%y=85%（x+y）.整理得，85%80%95%85% xy-=-观察发现，x与y的比只与三种溶液的浓度有关.为了方便记忆，我们建立如下模型：95% 85% －80% x……（95%的溶液质量）则有85%80%95%85% xy-=-.80% 95% －85% y……（80%的溶液质量）一般的，浓度为a%的溶液xkg，浓度为b%的溶液ykg，配制成浓度为c%的溶液，其中a%>c%>b%，则可建立以下模型：a% c% －b% xc%.b% a % －c % y点评:实际上不光浓度问题存在这样一种隐含的规律，只要是隐含c=ab型基本等量关系的问题都具有此规律.例3某人以4km/h的速度步行由甲地到乙地，然后又以6km/h的速度从乙地返回甲地，那么，此人往返一次的平均速度是km/h.解析速度相当于溶液的浓度，时间相当于溶液的质量。
第二十一讲应用题趣题引路】2003年“信利杯”数学竞赛有一道有趣的应用型问题：某人租用一辆汽车由A城前往B城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间（单位：h）如图21-1所示若汽车行驶的平均速度为SOkm/h,而汽车每行驶lkm需要的平均费用为1. 2元试指岀此人从A城岀发到B城的最短路线（要有推理过程），并求出所需费用最少为多少元？解：从A城岀发到达B城的路线分成如下两类：（1）从A城岀发到达B城，经过0城.因为从A城到0城所需要最短时间为26h,从0城到B城所需最短时间为22h.所以，此类路线所需最短时间为26+22二48 （h）.（2）从A城岀发到达B城，不经过0城。
这时从A城到达B城，必泄经过C, D, E城或F, G, H城，所需时间至少为49h.综上，从A城到达B城所需的最短时间为48h,所走的路线为A-F-O-E-B.所需的费用最少为80X 48X1.2=4608 （元）.在本讲中，将介绍各类应用题的解法与技巧。
知识拓展】当今数学已经渗人到整个社会的各个领域，因此，应用数学去观察、分析日常生活现象，去解决日常生活问题，成为各类数学竞赛的一个热点。
应用性问题能引导学生关心生活、关心社会，使学生充分体会到数学与自然和人类社会的密切联系，增强对数学的理解和应用数学的信心。
解答应用性问题，关键是要学会运用数学知识去观察、分析、概括所给的实际问题，揭示其数学本质，将其转化为数学模型.其求解程序如下：()在初中范国内常见的数学模型有：数式模型、方程模型.不等式模型、函数模型、平而几何模型、图 表模型等. 一、用数式模型解决应用题数与式是最基本的数学语言，由于它能够有效、简捷、准确地揭示数学的本质，富有通用性和启发性, 因而成为描述和表达数学问题的重要方法.例1： （2003年安微中考题）某风景区对5个旅游景点的门票价格进行了调整，据统讣，调价前后各 景点的游客人数基本不变，有关数据如下表所示：（1） 该风景区称调整前后这5个景点门票的平均收费不变，平均日总收入持平•问风景区是怎样计算 的？（2） 另一方而，游客认为调整收费后风景区的平均日总收入相对于调价前，实际上增加了约9.4%. 问游客是怎样计算的？（3） 你认为风景区和游客哪一个的说法较能反映整体实际？解析：抓住“平均价格”''平均日总收入”等关键词. 解：（1）风景区是这样计算的：调整前的平均价格：1（）- — -2<-25=16 （元）•调整后的平均价格：5 =16 （元）・所以调整前后的平均价格不变，平均日人数不变，故平均日总收入持平.（2）游客是这样计算的：原平均日总收入：10X1 + 10X 1 + 15X2+20X3 + 25X2=160 （千元）， 现平均日总收入：5X 1+5X1 + 15X2+25X3+ 30X2=175 （千元），（6）若数斡吉果不舲实际，则修正，改迹重适 数冷型实际情景抽象通过数学化求解数学问麵（4）结合实际（5）故平均日总收入增加了：门5-16（）“4% .160（3）游客的说法较能反映整体实际.二、用方程模型解应用题研究和解决生产实际和现实生活中有关问题常常要用到方程（组）的知识，它可以帮助人们从数量关 系和相等关系的角度去认识和理解现实世界.例2： （2003年重庆中考题）某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出这栋大楼 共有4道门，其中两道正门大小相同，两逍侧门大小也相同.安全检査中，对4道门进行了测试：当同时 开启一道正门和两道侧门时，2min 内可以通过560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4min 内 可以通过800名学生・（1） 求平均每分钟一道正门和一道侧门％可以通过多少名学生？（2） 检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率降低20%.安全检查规左：在紧急情况下全大 楼的学生应在5min内通过这4道门安全撤离•假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：建适的 这4道门是否符合安全规左？请说明理由.解析：列方程（组）的关键是找到题中等量关系：两种测试中通过的学生数量•设未知数时一般问什 么设什么•“符合安全规左”之义为最大通过量不小于学生总数.解：（1）设平均每分钟一道正门可以通过x 名学生，一道侧门可以通过y 名学生，由题意得:2(x + 2y) = 560, <4(x+y) = 800, （2）这栋楼最多有学生4X8X45=1440 （名）, 拥挤时5min4道门能通过：5X2 （120+80） （1-20%） =1600 （需人 因1600>1440>故建造的4道门符合安全规左.三. 用不等式模型解应用题现实世界中的不等关系是普遍存在的，许多问题有时并不需要研究它们之间的相等关系，只需要确左 某个量的变化范围，即可对所研究的问题有比较淸楚的认识.例3： （2003年苏州中考题）我国东南沿海某地的风力资源丰富，一年内日平均的风速不小于3m/s 的 时间共约160天，其中日平均风速不小于6m/s 的时间占60天.为了充分利用“风能”这种“绿色资源”， 该地拟建一个小型风力发电场，决左选用A 、B 两种型号的风力发电机，根据产品说明，这两种风力发电 机在各种风速下的日发电量（即一天的发电量）如下表：根据上而的数据回答：（1）若这个发电场购x 台£型风力发电机，则预计这些A 型风力发电机一年的发电总疑至少为 ____________________ k W -h ；（2）已知A 型风力发电机每台0.3万元，B 型风力发电机每台0.2万元，该发电场拟购风力发电机共解得：2 120, y = 80.10台，希望购机的费用不超过2.6万元，而建成的风力发电场每年的发电量不少于102000kW・h,请你提供符合条件的购机方案.解：（1）（100X36+60X 150）A =12600.V：（2）设购A型发电机x台，则购B型发电机（10—x）台，解法一根据题意得：0.31+0.2（10-A）^2.6,12600.V + 7800（10 - *）2102000,解得5Wx£6.故可购A型发电机5台，B型发电机5台；或购A型发电机6台，B型发电机4台.解法二假设恰好将购机款用完，则0.3x+0.2 （10—x） =2.6,解得x=6,若x=6,则年发电量至少为：12600X6+7800 （10-6） = 106800> 102000,符合要求.故可购A型发电机6台，B型发电机4台.四、用函数知识解决的应用题函数类应用问题主要有以下两种类型：（1）从实际问题出发，引进数学符号，建立函数关系；（2）由提供的基本模型和初始条件去确定函数关系式.例4：（2003年扬州）杨嫂在再就业中心的扶持下，创办了“润杨”报刊零售点.对经营的某种晚报，杨嫂提供了如下信息：①买进每份0.20元，卖岀每份0.30元；②一个月内（以30天计），有20天每天可以卖出200份，其余10天每天只能卖出120份：③一个月内，每天从报社买进的报纸份数必须相同•当天卖不掉的报纸，以每份0.10元退回给报社：（1）填表：（2）设每天从报社买进该种晚报X份，120£xW200时，月利润为y元，试求出y与x的函数关系式, 并求月利润的最大值.解析：（1）填表：（2）由题意可知，一个月内的20天可获利润：20X［（0.3—0.2）x］=2x （元）；其余10 天可获利润:10［（0.3—0.2）X120—0.1 120）］ =240—x （元）：故y=x+240, （120WxW200）,当x=200时，月利润y的最大值为440元.点评：根据题意，正确列岀函数关系式，是解决问题的关键，这里特别要注意自变量x的取值范国. 另外，初三还会提及统计型应用题，几何型应用题.好题妙解】佳题新题品味()例1 （北京市东城区）某音乐厅五月初决左在暑假期间举办学生专场音乐会，入场券分为团体票和零售票，其中团体票占总票数的？，若提前购票，则给予不同程度的优惠•在五月份内，团体票每张12元，3共售岀团体票数的°,零售票每张16元，共售岀零售票数的一半：如果在六月份内，团体票按每张16元5出售，并计划在六月份内售出全部余票，那么零售票应按每张多少元左价才能使这两个月的票款收入持平？解析：设总票数为"张，六月份零售票应按每张X元泄价，则五月份团体票售出数为：3 2 2一x —a = —“ ♦5 3 5票款收入为:12x—r/=—6Z （兀）：5 5零售票售出数为：1 1 1—X—"=—“♦2 3 6票款收入为:（元）・6 3六月份团体票所剩票数为：2 2 4—x—“ = —a 95 3 15票款数收入为:\6x±a = —a（元）：15 15零售票所剩票数为：1 1 1票款数收入为：丄= （元）・6 6由题意，得24 8 64 1——"+ —" = —CI +—UX ,5 3 15 6解得：x=19.2.例2 （广州市）2003年2月27日《广州日报》报道：2002年底广州市自然保护区覆盖率（即自然保护区而积占全市而积的百分比）为4.65%,尚未达到国家A级标准.因此，市政府决左加快绿化建设，力争到2004年底自然保护区覆盖率达到8%以上.若要达到最低目标8%,则广州市自然保护区面积的年平均增长率应是多少？（结果保留三位有效数字）解析：设广州市的总而积为1，广州市自然保护区而积年平均增长率为X,根据题意得：IX4.65%X （1+X）2=1X8%•••（l+x）2al.720・T x>0, ••• l+x>0.••• 1+x〜1.312,••• x=0.312.点评：增长率公式：第一年A ：年均增长率x,则第"年：P n =A （\ + x ）n-'.例3 （哈尔滨市）建网就等于建一个学校，哈市慧明中学为加强现代信息技术课教学，拟投资建一个 初级计算机机房和一个髙级计算机机房，每个计算机机房只配巻1台教师用机，若干台学生用机•英中初 级机房教师用机每台8000元，学生用机每台3500元；髙级机房教师用机每台11500元,学生用机每台7000 元•已知两机房购买计算机的总钱数相等，且每个机房购买计算机的总钱数不少于20万元也不超过21万 元，则该校拟建的初级机房、高级机房各应有多少台计算机？解折：本题中既有相等关系又有不等关系，用等式（不等式）表示全部题意是关键. 解：设该校拟建的初级机房有x 台计算机，髙级机房有y 台计算机，则有：0.8 + O.35（x-1） = 1」5 + 0.7（ >■-1）, < 20<0.8 + 0.35（x-l ）<21, 20W1.15 + 0.70，-1）W21.V x 为整数,:.兀=56, 57, 58.同理，y=28, 29.x = 56, x = 5&y = 2& [y = 29・中考真题欣赏例1 （安徽省）王大伯承包了 25亩上地，今年春季改种茄子和西红柿两种大棚蔬菜，用去了 44000 元，英中种茄子每亩用了 1700元，获纯利2400元；种西红柿每亩用了 1800元，获纯利2600元，问王大 伯一共获纯利多少元？解：设王大伯种了 x 亩茄子，y 亩西红柿，根据题意，得：x + y = 25,“ 1700x + 1800v = 44000・共获纯利：2400X 10+2600X 15=63000 （元）. 答：王大伯一共获纯利63000元.例2 （桂林市）某公司需在一月（31天）内完成新建办公楼的装修工程•如果由甲、乙两个工程队 合做，12天可完成：如果由甲、乙两队单独做，甲队比乙队少用10天完成.（1） 求甲、乙两工程队单独完成此项工程所需的天数.（2） 如果请甲工程队施工，公司每日需付费用2000元；如果请乙工程队施工，公司每日需付费用1400 元•在规泄时间内：A.请甲队单独完成此项工程：B.请乙队单独完成此项工程；C.请甲、乙两队合作完成 此项工程•以上方案哪一种花钱解得：2 10, y = 15.最少？解析：这是一道策略优选问题.工程问题中：工作量=工作效率X工时.解：（1）设乙工程队单独完成此项工程需x天，根据题意得：1 1 1—4 --------- =—.X X-10 12去分母，整理得x2-34x+120=0解得xj=4» X2=3O・经检验知，小=4, X2=30都是原方程的解，因为x=4不合题意，所以只取x=30.所以，甲工程队单独完成此项工程需用20天，乙队需30天.（2）各种方案所需的费用分别为：A・请甲队需2000X20=40000元；B. 请乙队需1400X30=42000 元；C. 请甲、乙两队合作需（2000+1400） X 12=40800元.所以单独请甲队完成此项工程花钱最少.竞赛样题展示例1 （全国联赛初赛题）一支科学考察队前往某条河流的上游去考察一个生态区，他们以每天17km 的速度出发，沿河岸向上游行进若干天后到达目的地，然后在生态区考察了若干天，完成任务后以每天25km的速度返回，在岀发后的第60天，考察队行进了24km后回到出发点，试问：科学考察队任生态区考察了多少天？解折：挖掘题目中隐藏条件是关键！解：设考察队到生态区去用了x天，返回用了y天，考察用了z天，则x+y+z=60・且17x-25y=-h K卩25y-17x=l. ①这里X、y是正整数，现设法求出①的一组合题意的解，然后计算岀z的值.为此，先求出①的一组特殊解（xo, y0）,（这里小，血可以是负整数）.用辗转相除法.25 = 1X17+8, 17=2X84-1,故1 = 17-2X8= 17-2X （25-17）= 3X17-2X25.与①的左端比较可知，X0= - 3,內=-2.下面再求出①的合题意的解.由不左方程的知识可知，①的一切整数解可表示为x= -3+25f, y= -2+17A••• x+y=42f—5, f 为整数.按题意0Vx+yV60,故仅当r=l 时才合题意，这时x+y=42 - 5=37,.・.z=60 — （x+y ） =23.答：考察队在生态区考察的天数是23天.点评：本题涉及到的未知量多，最终转化为二元一次不左方程来解，希读者仔细咀嚼所用方法.例2 （江苏省第17届初中竞赛题）华鑫超市对顾客实行优惠购物，规左如下：（1） 若一次购物少于200元，则不予优惠：（2） 若一次购物满200元，但不超过500元，按标价给予九折优惠：（3） 若一次购物超过500元，其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠.小明两次去该超市购物，分別付款198元与554元.现在小亮决左一次去购买小明分两次购买的同样 多的物品，他需付款多少？解析：应付198元购物款讨论：第一次付款198元，可能是所购物品的实价，未享受优惠：也可能是按九折优惠后所付的款，故应分 两种情况加以讨论. 情形1：当198元为购物不打折付的钱时，所购物品的原价为198元.又554=450+104,英中450元为购物500元打九折付的钱，104元为购物打八折付的钱，104宁0.8 = 130 （元）. 因此，554元所购物品的原价为130+500=630 （元），于是购买小明花198+630=828 （元）所购的 全部物品，小亮一次性购买应付500X0.9+ （828 - 500） X0.8=712.4 （元）.情形2：当198元为购物打九折付的钱时，所购物品的原价为1920.9=220 （元）•仿情形1的讨论, 购220+630=850 （元）物品一次性付款应为500X0.94- （850 - 500） X0.8=730 （元）.综上所述，小亮一次去超市购买小明已购的同样多的物品，应付款712.40元或730元.例3 （2002年全国数学竞赛题）某项工程，如果由甲、乙两队承包，2?天完成，需付180000元；由 5乙、丙两队承包，3。
