《正态分布》 导学案
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《正态分布》 导学案
一、学习目标
1、 理解正态分布的概念和特点。
2、 掌握正态曲线的性质。
3、 能利用正态分布解决实际问题。
二、知识回顾
1、 频率分布直方图
绘制频率分布直方图的步骤：
（1）求极差；
（2）决定组距与组数；
（3）将数据分组；
（4）列频率分布表；
（5）绘制频率分布直方图。
2、 平均数与方差
平均数：＼（＼overline{x} ＝ ＼frac{x_1 ＋ x_2 ＋ ＼cdots ＋ x_n}｛n}＼） 方差：＼（s^2 ＝ ＼frac{1}｛n}（x_1 ＼overline{x}）＾2 ＋ （x_2
＼overline{x}）＾2 ＋ ＼cdots ＋ （x_n ＼overline{x}）＾2\）
三、新课导入
在我们的日常生活中，有很多随机现象的分布呈现出一种特殊的规律。比如，某地区同年龄人群的身高、体重，某种农作物的产量，某班学生的考试成绩等等，这些数据的分布都有一定的特点。而正态分布就是描述这类随机变量分布的一种重要的概率分布。
四、正态分布的概念
1、 正态曲线
如果随机变量 X 的概率密度函数为：＼（f(x) ＝ ＼frac{1}｛＼sigma\sqrt{2\pi}｝e^｛＼frac{（x ＼mu)＾2}｛2\sigma^2}｝＼），其中\（＼mu\）为平均数，＼（＼sigma\）为标准差，＼（x ＼in R\），则称随机变量 X 服从参数为\（＼mu\），＼（＼sigma\）的正态分布，记为\（X ＼sim N(＼mu, ＼sigma^2)＼）。其图象称为正态曲线。
2、 正态分布的特点
曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交。
曲线是单峰的，关于直线\（x ＝ ＼mu\）对称。
曲线在\（x ＝ ＼mu\）处达到峰值\（＼frac{1}｛＼sigma\sqrt{2\pi}｝＼）。
曲线与 x 轴之间的面积为 1。 当\（＼sigma\）一定时，曲线的位置由\（＼mu\）确定，曲线随着\（＼mu\）的变化而沿 x 轴平移。
当\（＼mu\）一定时，曲线的形状由\（＼sigma\）确定，＼（＼sigma\）越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；＼（＼sigma\）越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散。
五、标准正态分布
当\（＼mu ＝ 0\），＼（＼sigma ＝ 1\）时，正态分布称为标准正态分布，其概率密度函数为\（＼varphi(x) ＝ ＼frac{1}｛＼sqrt{2\pi}｝e^｛＼frac{x^2}｛2}｝＼），相应的正态曲线称为标准正态曲线。
对于标准正态分布，我们可以通过查标准正态分布表来求得随机变量在某个区间内的概率。
六、正态分布的应用
1、 利用正态分布估计总体的概率
设随机变量\（X ＼sim N(＼mu, ＼sigma^2)＼），则对于任意实数\（a\），＼（P(＼mu a ＜ X ＜ ＼mu ＋ a) ＼approx 06826\），＼（P(＼mu 2a ＜ X ＜ ＼mu ＋ 2a) ＼approx 09544\），＼（P(＼mu 3a
＜ X ＜ ＼mu ＋ 3a) ＼approx 09974\）。
2、 质量控制 在生产过程中，常常根据正态分布的原理对产品的质量进行控制。例如，在生产零件时，如果零件的尺寸服从正态分布，我们可以通过控制尺寸的均值和标准差来保证产品的质量。
3、 考试成绩分析
在考试成绩的分析中，常常假设成绩服从正态分布。通过计算平均分和标准差，可以了解学生的整体水平和成绩的分布情况。
七、例题讲解
例 1：已知随机变量\（X ＼sim N(5, 1)＼），求\（P(4 ＜ X ＜ 6)＼）。
解：因为\（＼mu ＝ 5\），＼（＼sigma ＝ 1\），所以\（P(4 ＜ X
＜ 6) ＝ P(5 1 ＜ X ＜ 5 ＋ 1) ＼approx 06826\）
例 2：某工厂生产的零件尺寸服从正态分布\（N(10, 01^2)＼），从生产的零件中随机抽取一个，其尺寸在\（99\）到\（101\）之间的概率是多少？
解：因为\（＼mu ＝ 10\），＼（＼sigma ＝ 01\），所以\（P(99 ＜
X ＜ 101) ＝ P(10 01 ＜ X ＜ 10 ＋ 01) ＼approx 06826\）
八、课堂练习
1、 已知随机变量\（X ＼sim N(3, 4)＼），求\（P(X ＜ 1)＼）。 2、 某班学生的数学成绩服从正态分布\（N(70, 10^2)＼），已知成绩在\（60\）分到\（80\）分之间的学生占总人数的\（6826\％＼），求该班学生数学成绩不及格（小于\（60\）分）的概率。
九、课堂总结
通过本节课的学习，我们了解了正态分布的概念、特点和应用。正态分布在实际生活中有广泛的应用，我们要能够运用正态分布的知识解决相关问题。
十、课后作业
1、 课本第____页第____题。
2、 思考：在实际问题中，如何判断一个随机变量是否服从正态分布？
