一元一次方程不等式竞赛题

一次方程、方程组与不等式、不等式组

1.〖2006年陕西中考〗一件标价为600元的上衣，按8折销售仍可获利20元，设这件上衣的成本价为x元，根据题意，下面所列的方程正确的是 （ ）

A．600×0．8一x＝20 B．600×8一x＝20

C．600×0．8＝x一20 D．600×8＝x一20

【答案】A

【解析】根据利润＝售价一成本，可知A正确．

【考点】本题考察了一元方程在成本问题中的应用．

2.〖第2届希望杯〗

①若a＝0，b≠0，方程ax＝b无解；②若a＝0，b≠0，不等式ax＞b无解．

③若a≠0，方程ax＝b有唯一解x＝；④若a≠0，不等式ax＞b的解为x＞．则

（A）①、②、③、④都正确． （B）①、③正确，②、④不正确．

（C）①、③不正确，②、④正确． （D）①、②、③、④都不正确．

[答案]选 （B）

[解析]若a＝0，b＝－1，0x＞－l，可见②有解；若a≠0，如a＝－1，－x＞b x＜－b，④说法不正确．只有①，③是正确的．选 （B）．

【考点】本题是对含字母系数的一元一次方程(不等式)解的情况的考察．

3. 〖希望杯培训〗不等式21232xxx的解集是_________

【答案】x＜1

【考点】本题主要考察学生解不等式的能力，注意去分母时，每一项的变化．

4. 〖第6届希望杯〗某同学到集贸市场买苹果，买每千克3元的苹果用去所带钱数的一半，而其余的钱都买了每千克2元的苹果，则该同学所买的苹果的平均价格是每千克（ ）元．

（A）2．6． （B）2．5． （C）2．4． （D）2．3．

【答案】选 （C）

【解析】

5. 〖希望杯培训〗 关于x的不等式组x＋152＞x－32x＋23＜x＋a只有4个整数解，则a的取值范围是（ ）．

A． －5a－143 B． －5a＜－143 C． －5＜a－143 D． －5＜a＜－143

【答案】C

【解析】先求不等式组的解集，根据题意，进一步确定a的范围．

解不等式组x＋152＞x－32x＋23＜x＋a得，2132xa，由不等式组有4个整数解可知这4个解应是20，19，18，17，则a32应在16和17之间，即162317a，解不等式可得a的取值范围，选C．

6.〖2003年海淀中考〗某同学在A、B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元．

（1）求该同学看中的随身听和书包单价各是多少元?

（2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打八折销售，超市B全场购物满100元返购物券30元销售(不足100元不返券，购物券全场通用)，但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，你能说明他可以选择哪一家购买吗?若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱?

【详解】 （1)设书包的单价为x元，则随身听的单价为(4x一8)元．

根据题意，得4x一8＋x＝452．解这个方程，得x＝92． 4x一8＝4×92—8＝360．

即：该同学看中的随身听单价为360元，书包单价为92元．

（2）在超市A购买随身听与书包各一件需花费现金：450×80％＝361．6(元)

因为361．6＜400，所以可以选择超市A购买．

在超市B可先花费现金360元购买随身听，再利用得到的90元返券，加上2元现金购买书包，总计共花费现金：360＋2＝362(元)

因为362＜400，所以也可以选择在超市B购买．

因为362＞361.6，所以在超市A购买更省钱．

【考点】本题主要考察了一次方程的应用，本题的特点是：表述复杂，解答简单，重在分析．

1. 〖第 17届希望杯〗初一（2）班的同学站成一排，他们先自左向右从“1”开始报数，然后又自右向左从“1”开始报数，结果发现两次报数时，报“20”的两名同学之间(包括这两名同学)恰有15人，则全班同学共有______人．

【答案】 55或25

【解析】法一： 本题是发散性题目，应该分两种情况考虑.设全班一共有x个人，根据题意可知有两种情况：（一）、从右向左报数时，报20的同学没有到达第一遍报数为20的同学所在的位置，则有： 20201555x；（二）、从右向左报数时，报20的同学超过第一遍报数为20的同学所在的位置，则有401525x．

法二 ： 画出线段图表示出两次报数为20的点，即可得到答案．

2. 〖第2届希望杯〗

①若a＝0，b≠0，方程ax＝b无解．

②若a＝0，b≠0，不等式ax＞b无解．

③若a≠0，方程ax＝b有惟一解x＝

④若a≠0，不等式ax＞b的解为x＞．则

（A）①、②、③、④都正确． （B）①、③正确，②、④不正确．

（C）①、③不正确，②、④正确． （D）①、②、③、④都不正确．

【答案】选 （B）

【解析】若a＝0，b＝－1，0x＞－l，可见②有解，所以结论不真．若a≠0，如a＝－1，－x＞b

x＜－b，④不真．只有①，③是正确的．选 （B）．

【考点】本题是对含字母系数的一元一次方程(不等式)解的情况的考察．

3.〖希望杯培训〗下表给出甲、乙、丙三种食物的维生素AB，的含量及成本：

甲 乙 丙

维生素A（单位/千克） 400 600 400

维生素B（单位/千克） 800 200 400

成本（元/千克） 6 5 4

某食物营养研究所将三种食物混合成110千克的混合物，使之至少需含48 400单位的维生素A及

52 800单位的维生素B．求三种食物所需量与成本的关系式．

【详解】

设需甲、乙两种食物分别为xy，千克，则丙需(110)xy千克，设共需成本z元，

应有400600400(110)48400800200400(110)52800654(110)xyxyxyxyzxyxy≥

≥

【考点】本题考察了列不等式组的能力，解题关键应抓住体现不等关系的关键词语.如“至少”等．

4. 〖2006年威海中考〗小明和小亮共下了10盘围棋，小明胜一盘计1分，小亮胜一盘计3分．当他俩下完第9盘后，小明的得分高于小亮；等下完第10盘后，小亮的得分高于小明．他们各胜过几盘？（已知比赛中没有出现平局）

【分析】此题是一道反映不等关系的应用题，抓住“当他俩下完第9盘后，小明的得分高于小亮；等下完第10盘后，小亮的得分高于小明”这样的关键语句表示不等关系；另外应当明确在比赛中，小明赢的盘数恰好等于小亮输的盘数．

【详解】设下完10盘棋后，小亮胜了x盘，根据题意得，xxxx310)1(310，

解得25x413，则不等式组的正整数解为3x，

所以小亮胜3盘，小明胜7盘．

5. 〖第7届希望杯〗在某种浓度的盐水中加入“一杯水”后，得到新盐水，它的浓度为20％，又在新盐水中加入与前述“一杯水”的质量相等的纯盐后，盐水浓度变为，那么原来盐水的浓度是 （ ）

（A）23％． （B）25％． （C）30％． （D）32％．

【答案】选 （B）

【解析】

【考点】本题考察了含有参数（设而不求）的二元一次方程组的应用．

6. 〖2006年衡阳中考〗市政公司为绿化一段沿江风光带，计划购买甲、乙两种树苗共500株，甲种树苗每株50元，乙种树苗每株80元．有关统计表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为90％和95％．

（1）若购买树苗共用了28000元，求甲、乙两种树苗各多少株?

（2）若购买树苗的钱不超过34000元，应如何选购树苗?

（3）若希望这批树苗的成活率不低于92％，且购买树苗的费用最低，应如何选购树苗?

【分析】：由题意可知，第一题存在等量关系，考虑用方程来解决；后两个问题存在不等关系，可用不等式来解决．

【详解】（1）设购甲种树苗x株，则乙种树苗为(500－x)株．依题意得

50x＋80(500—x)＝28000 解之得：x＝400 ∴500－x＝500－400＝100

即：购买甲种树苗400株，乙种树苗100株．

（2）由题意得 ： 50x＋80(500－x)34000． 解之得x200

即：购买甲种树苗不小于200株．

（3）由题意可得90%x＋95％(500—x)≥92％·500 ∴x300

设购买两种树苗的费用之和为y元，则 y＝50x＋80(500－x)＝40000－30x

所以y＝40000－30x，其中y的值随x的增大而减小，所以x＝300时y有最小值，y＝40000－30300＝31000．

【考点】本题考察了方程与不等式知识在实际问题中的应用．

1.〖2006年河北中考〗某城市2003年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2005年底增加到363公顷，设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意所列方程正确的是 （ ）

A．300(1＋x)＝363 B．30021x＝363

C．300(1＋2x)＝363 D．36321x＝300

【答案】B

【解析】 由题意知2004年底绿化面积为300(1＋x)公顷，2005年底绿化面积为3002(1)x公顷，所以列方程为300(1＋x)2 ＝363．

【考点】本题是列方程类题目，将（1＋x）看作整体是关键，可能导致错误的原因是对03、04、05这三年绿化面积的数量关系理解不清．

2.〖第 14届希望杯〗 The admission price per child at all amusement park is 0f the admission

price per adult．If the admission prioe for 6 adults and 3 ! children is￥276，then the admission price

per adult is （ ） (admission price入场费，门票；amusement park：游乐园)

（A）￥24． （B）￥32． （C）￥36． （D）￥40．

【答案】C

【解析】